fourier trans 2
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TRANSFORMADAS DE FOURIER
f x( ) = aj i 2πb−a
jxej=−∞
∞
∑
aj =1L
−i2π
Ljxe f(x)dx
a
b
∫ =1L
−i2π
Ljxe f (x)dx
−L2
L2
∫
k =2πL
j ; aj =2πL
ˆ f 2πL
j⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
ˆ f 2πL
j⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =
L2π
aj ⇔ ˆ f k( )=L2π
aLk2π
f x( ) = aj i 2πb−a
jxej=−∞
∞
∑ =12π
ˆ f 2πL
j⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
i2πL
jxej=−∞
∞
∑ 2πL
K K
L → ∞
f x( ) =12π
ˆ f (k)ikxe dk
−∞
∞
∫
ˆ f k( ) =12π
f (x)−ikxe dx
−∞
∞
∫
f x( ) =12π
12π
f(x' )−ikx'e dx'
−∞
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
ikxe dk−∞
∞
∫
ˆ f k( ) =12π
f (x)−ikxe dx
−∞
∞
∫
f x( ) =12π
ˆ f (k)ikxe dk
−∞
∞
∫
f x( ) = dx' f (x')1
2πik(x−x')
dk e−∞
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
−∞
∞
∫
(x’-x)
=
(x-x’)
Ortogonalidad de las funciones ikxe2π
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ :“ “
ikxe2π
, ik' xe2π
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ =
−ikxe2π
ik'xe2π−∞
∞
∫ dx=1
2πi(k'−k) xe
−∞
∞
∫ dx=δ(k'−k) =δ(k−k')
k ↔ ω
x↔ t
=δ(k'−k) =δ(k−k')
iωte2π
, iω'te2π
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
=δ(ω'−ω)=δ(ω −ω' )
Ejemplos:
1. Onda plana: ↔ f x( ) =ik0xef t( )=
iω0te
ˆ f ω( )=12π
f(t)−iω te
−∞
∞
∫ dtˆ f (ω) =12π
iω0te −iω te−∞
∞
∫ dt=12π
i(ω0−ω)te−∞
∞
∫ dt
ˆ f (ω) = 2π δ(ω−ω0)
ˆ f (ω) = 2π δ(ω−ω0)
2. Función pulso: f t( )=
0 , t<0
1 , 0≤t ≤T
0 , T <t
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
ˆ f ω( )=12π
f(t)−iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ f ω( )=12π
iω
−iωTe −1( ) → Re ˆ f ω( )[ ] =12π
sen(ωT)ω
=12π
−iωte dt0
T
∫T
T
f t( )=
0 , t<−T2
1 , −T2
≤t≤T2
0 , T2
<t
⎧
⎨
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪ ⎪
→ ˆ f ω( ) =12π
f (t)−iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ f (ω) =12π
−iωte dt−
T2
T2
∫ =12π
iω
−iω T2e −
iω T2e
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
ˆ f (ω) =22π
sen(ωT2
)
ω=
T2π
sen(ωT2
)
ωT2
f t( )=
0 , t<−T2
1 , −T2
≤t≤T2
0 , T2
<t
⎧
⎨
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪ ⎪
−T2
T2
T2π
2πT
−2πT
→ ˆ f (ω) =T2π
sen(ωT2
)
ωT2
f t( )=
0 , t<−T2
1 , −T2
≤t≤T2
0 , T2
<t
⎧
⎨
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪ ⎪
→ ˆ f (ω) =T2π
sen(ωT2
)
ωT2
f t( )=1
T ∞
→ ˆ f ω( ) =12π
−iωte dt−∞
∞
∫ = 2π δ(ω)
T ∞
3. Función coseno:
f t( )=cos(ω0t) → ˆ f ω( ) =12π
f (t)−iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ f ω( )=12π
cos(ω0t)−iωte dt
−∞
∞
∫ =12π
−iωtiω0te + −iω0te2( )e dt
−∞
∞
∫
ˆ f (ω) =1
2 2π−i(ω−ω0 )te +
−i(ω+ω0 )te( )−∞
∞
∫ dt
ˆ f (ω) =2π
2 2πδ(ω −ω0)+δ(ω +ω0)[ ]
ˆ f (ω) =π2
δ(ω −ω0)+δ(ω +ω0)[ ]
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
ˆ f ω( )=12π
f(t)−iωte dt
−∞
∞
∫ =12π
f(t)−iωte dt+ f (t)
−iωte dt0
∞
∫−∞
0
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
ˆ f (ω) =12π
f(t)iωte dt+ f (t)
−iωte dt0
∞
∫0
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
=12π
f (t)iωte +
−iωte( )dt0
∞
∫
ˆ f ω( )=2π
f(t)cos(ωt)dt0
∞
∫
ˆ f (ω) =12π
−f(t)iωte dt+ f (t)
−iωte dt0
∞
∫0
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
ˆ f ω( )=12π
f(t)−iωte dt
−∞
∞
∫ =12π
f(t)−iωte dt+ f (t)
−iωte dt0
∞
∫−∞
0
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
=12π
f (t)iωt
−e +−iωte( )dt
0
∞
∫
ˆ f ω( ) =−i2π
f(t)sen(ωt)dt0
∞
∫
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T .← → ⏐ ⏐ ˆ f ω( )
g(t) F .T .← → ⏐ ⏐ ˆ g ω( )
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ f(t) +g(t) F .T .← → ⏐ ⏐ ˆ f ω( )+ˆ g ω( )
f (t) F .T .← → ⏐ ⏐ ˆ f ω( )⇒ (a+ib) f (t) F .T .← → ⏐ ⏐ (a+ib) ˆ f ω( )
2. : f (t) =f *(t) ⇒ ˆ f ω( )= ˆ f * −ω( )
Re ˆ f (ω)[ ] =Re ˆ f (−ω)[ ]
Im ˆ f (ω)[ ]=−Im ˆ f (−ω)[ ]
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Propiedades de las transformadas de Fourier:
3. :ˆ f 0( ) =
12π
f (t)dt−∞
∞
∫
f 0( ) =12π
ˆ f (ω)dω−∞
∞
∫
4. Identidad de Parseval : f *(t)g(t)dt−∞
∞
∫ = ˆ f *(ω)ˆ g (ω)dω−∞
∞
∫
12π
ˆ f * (ω)−iωte dω
−∞
∞
∫⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
−∞
∞
∫12π
ˆ g (ω' )iω'te dω
−∞
∞
∫ '⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ dt=
= dω ˆ f * (ω) dω' ˆ g (ω')−∞
∞
∫1
2π−i (ω −ω't)
dt e−∞
∞
∫⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
−∞
∞
∫ δ(ω'−ω)
f (t) =g(t)⇒ f(t) 2
dt−∞
∞
∫ = ˆ f (ω) 2
dω−∞
∞
∫
Teorema de Rayleigh
Propiedades de las transformadas de Fourier:
5. : f (t) F .T .← → ⏐ ⏐ ˆ f ω( )⇒ f(t +a) F .T.← → ⏐ ⏐ iωae ˆ f ω( )
ˆ g ω( ) =12π
g(t)−iωte dt
−∞
∞
∫ =12π
f(t+a)−iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ g ω( ) =12π
f(u)−iω(u−a)e du
−∞
∞
∫ =iωae2π
f(u)−iωue du
−∞
∞
∫
ˆ g ω( ) =iωae ˆ f (ω)
f (t+a)=g(t)
Teorema de convolución:
Se define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t)del siguiente modo:
f ∗g( )(t) =12π
f(u)−∞
∞
∫ g(t−u)du
2π f ∗g( )(t)= du12π
ˆ f (ω)iωue dω
−∞
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
−∞
∞
∫12π
ˆ g (ω')iω'(t−u)e dω'
−∞
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
= dω ˆ f (ω)iω't
dω' ˆ g (ω') e −∞
∞
∫12π
i (ω−ω')ue du−∞
∞
∫⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
−∞
∞
∫ ’
2π f ∗g( )(t)= dω ˆ f (ω) ˆ g (ω)−∞
∞
∫ iωtef ∗g( )(t) =
12π
ˆ f (ω) ˆ g (ω)−∞
∞
∫ iωte dω
ˆ f ∗ˆ g ( )(ω) =12π
ˆ f (ω')−∞
∞
∫ ˆ g (ω −ω')dω'
2π ˆ f ∗ˆ g ( )(ω)= dω'12π
f (t)−iω'te dt
−∞
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
−∞
∞
∫12π
g(u)−i (ω−ω')ue du
−∞
∞
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
= dt f (t)−iωu
du g(u) e −∞
∞
∫1
2π−iω' (t−u)e dω'
−∞
∞
∫⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
−∞
∞
∫ t-u
2π ˆ f ∗ˆ g ( )(ω)= dt f(t) g(t)−∞
∞
∫ −iωteˆ f ∗ˆ g ( )(ω) =
12π
f(t)g(t)−∞
∞
∫ −iωte dtˆ f ∗ˆ g ( )(ω) =
12π
f(t)g(t)−∞
∞
∫ −iωte dt ˆ f ∗ˆ g = fg
f (t) =0 , t >
T2
cos(ω0t) , t <T2
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
→ ˆ f ω( ) =12π
f (t)−iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ f ω( )=12π
cos(ω0t)−iωte dt
−T2
T2
∫ =12π
−iωtiω0te + −iω0te2( )e dt
−T2
T2
∫
ˆ f (ω) =1
2 2π−i (ω−ω0 )te +
−i(ω+ω0 )te( )−
T2
T2
∫ dt
ˆ f (ω) =1
2 2π
−i (ω −ω0 )tieω −ω0
+−i (ω+ω0 )t
ieω +ω0
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
−T2
T2
ˆ f (ω) =1
2 2πi(−2i)ω −ω0
sen(ω −ω0)T2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ +
i(−2i)ω +ω0
sen(ω +ω0)T2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
ˆ f (ω) =12π
T2
sen(ω −ω0)T2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
ω−ω0( )T2
+sen(ω +ω0)
T2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
ω +ω0( )T2
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
f (t) =0 , t >
T2
cos(ω0t) , t <T2
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
→ f t( ) =h(t)g(t)
h(t) =0 , t >
T2
1 , t <T2
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
; g t( ) =cos(ω0t)
ˆ g (ω)=π2
δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)[ ]ˆ h (ω)=
T2π
sen(ωT2
)
ωT2
ˆ h ∗ˆ g ( )(ω) =12π
h(t)g(t)−∞
∞
∫ −iωte dt
ˆ f =hg= ˆ h ∗ˆ g
ˆ h ∗ˆ g ( )(ω) =12π
ˆ h (ω' )−∞
∞
∫ ˆ g (ω −ω')dω'=
=12π
T2π
sen(ω'T2
)
ω'T2
−∞
∞
∫π2
δ(ω −ω'−ω0)+δ(ω −ω'+ω0)[ ]dω'
ˆ f (ω) =(ˆ h ∗ˆ g )(ω)=12π
T2
sen(ω−ω0)T2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
ω−ω0( )T2
+sen(ω +ω0)
T2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
ω +ω0( )T2
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
Ejercicios:
1. Encontrar la transformada de Fourier de la función seno:
f(t) = sen(0t)
2. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f(t) = e-a|t| ; (a>0)
3. Encontrar la transformada de Fourier de la (t):
4. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f (t) =−
tae , t >0
0 , t<0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ ; (a>0)
Ejercicios:
1. Encontrar la transformada de Fourier de la función seno:
f t( )=sen(ω0t) → ˆ f ω( ) =12π
f (t)−iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ f ω( )=12π
sen(ω0t)−iωte dt
−∞
∞
∫ =12π
−iωtiω0te − −iω0te2i( )e dt
−∞
∞
∫
ˆ f (ω) =1
2i 2π−i (ω−ω0 )te −
−i(ω +ω0 )te( )−∞
∞
∫ dt
ˆ f (ω) =2π
2i 2πδ(ω −ω0)−δ(ω +ω0)[ ]
ˆ f (ω) =iπ2
δ(ω +ω0)−δ(ω −ω0)[ ]
2. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f t( )=−ate ; (a>0) → ˆ f ω( ) =
12π
f (t)−iωte dt
−∞
∞
∫ˆ f ω( )=
12π
−ate −iωte dt−∞
∞
∫ =22π
−ate cos(ω0t)dt0
∞
∫
u=cos(ω0t) ; du=−ω0 sen(ω0t)
dv= −ate dt ; v=−ate
−a
−ate cos(ω0t)dt0
∞
∫ =1a
−ω0
a−ate sen(ω0t)dt
0
∞
∫ =
u=sen(ω0t) ; du=ω0 cos(ω0t)
dv= −ate dt ; v=−ate
−a
1a
−ω0
a−
−ate sen(ω0t)a
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
0
∞
+ω0
a−ate cos(ω0t)dt
0
∞
∫⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ =
−ate cos(ω0t)dt0
∞
∫ =
1a
1+ω0
a
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
2 =a
a2 +ω02
−−ate cos(ω0t)
a
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
0
∞
−ω0
a−ate sen(ω0t)dt
0
∞
∫ =1a
−ω0
a
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
2−ate cos(ω0t)dt
0
∞
∫ˆ f (ω) =
2π
aa2 +ω0
2
3. Encontrar la transformada de Fourier de la (t):
f t( )=δ(t) → ˆ f ω( ) =12π
f (t)−iωte dt
−∞
∞
∫ˆ f ω( )=
12π
δ(t) −iωte dt
−∞
∞
∫ =12π
ˆ f (ω) =2π2π
=12π
a1+iωa
4. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f (t) =−
tae , t >0
0 , t<0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ ;(a>0)→ ˆ f ω( ) =
12π
f (t)−iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ f ω( )=12π
−tae −iωte dt
0
∞
∫ =12π
− 1a
+iω⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ te dt
0
∞
∫
ˆ f ω( )=12π
−1a
+iω⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ te
−1a
+iω⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
0
∞
=12π
11a
+iω
1−iωa1−iωa
ˆ f ω( )=2π
2πa
1+ω2a2 −iωa2
1+ω2a2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
5. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f (t) = e−t
a cos(ω0t) , t >0
0 , t <0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ ; (a>0)
6. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f (t) =h(1−at) , t >
1a
0 , t <1a
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
; (h,a>0)
7. Usando el teorema de Rayleigh, calcular:
sen2 tt2 dt
−∞
∞
∫
5. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f (t) = e−t
a cos(ω0t) , t >0
0 , t <0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ ; (a>0)
f t( )=h(t)g(t)
h(t) =−
tae , t >0
0 , t <0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ ;(a>0)
g t( ) =cos(ω0t) F.T . ⏐ → ⏐ ˆ g (ω) =π2
δ(ω −ω0)+δ(ω +ω0)[ ]
F.T . ⏐ → ⏐ ˆ h ω( ) =2π
2πa
1+ω2a2 −iωa2
1+ω2a2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
ˆ f (ω)
=
ˆ f =hg= ˆ h ∗ˆ g ˆ h ∗ˆ g ( )(ω) =12π
h(t)g(t)−∞
∞
∫ −iωte dt
ˆ h ∗ˆ g ( )(ω) =12π
ˆ h (ω' )−∞
∞
∫ ˆ g (ω −ω')dω'=
=12π
2π2π
a1+ω'2 a2 −i
ω'a2
1+ω'2 a2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
−∞
∞
∫π2
δ(ω −ω'−ω0) +δ(ω −ω'+ω0)[ ]dω'
=1
2 2πa
1+(ω−ω0)2a2 +
a1+(ω +ω0)
2a2 −i(ω−ω0)a
2
1+(ω −ω0)2 a2 +
(ω −ω0)a2
1+(ω −ω0)2a2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
6. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
f (t) =h(1−at) , t >
1a
0 , t <1a
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
; (h,a>0)
ˆ f ω( )=12π
f(t)−iωte dt
−∞
∞
∫ =2π
f(t)cos(ωt)dt0
∞
∫
=2π
h(1−at)cos(ωt)dt0
1a
∫
=h2π
cos(ωt)dt−a tcos(ωt)dt0
1a
∫0
1a
∫⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
tcos(ωt)dt0
1a
∫ =
u=t ; du=dt
dv=cos(ωt)dt ; v=sen(ωt)
ω
tsen(ωt)ω
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
1a−
sen(ωt)ω0
1a
∫ dt
tcos(ωt)dt0
1a
∫ =
1a
sen(ωa
)
ω+
cos(ωt)ω2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
1a
1a
sen(ωa
)
ω+
cos(ωa
)−1
ω2
ˆ f (ω) =h2π
−a( )cos(
ωa
)−1
ω2
ˆ f (ω) =ha
2π
1−cos(ωa
)
ωa
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
2
7. Usando el teorema de Rayleigh, calcular:
sen2 tt2 dt
−∞
∞
∫
f t( )=
0 , t<−T2
1 , −T2
≤t≤T2
0 , T2
<t
⎧
⎨
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪ ⎪
→ ˆ f (ω) =T2π
sen(ωT2
)
ωT2
f t( )=0 , t >
T2
1 , t ≤T2
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
→ ˆ f (ω) =T2π
sen(ωT2
)
ωT2
f t( )=0 , t >
T2
2πT
, t ≤T2
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
→ ˆ f (ω) =sen(ω
T2
)
ωT2
→ ˆ f (ω) =senω
ωf t( )=
0 , t >1π2
, t ≤1
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
=sen2 ω
ω2 dω−∞
∞
∫ = ˆ f (ω)2dω
−∞
∞
∫ = f (t)2dt
−∞
∞
∫
Rayleigh
= f (t)2dt
−∞
∞
∫ =π2
dt−1
1
∫ =π
sen2 tt2 dt
−∞
∞
∫ =π