ANALISIS DE FOURIER [Fundamentos] Luis Antonio Bautista Hernndez luisantonio.bautista@gmail.com 13/08/2011 [Este documento es una recopilacinbreve de la teora bsica de Fourier.Se ha procurado hacer un seguimiento lgico del contenido de modo que resulte ser un documento de gua a quienes desconozcan por completo de los fundamentos necesarios para abordar este tema.] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10-50510x=2*sin(2.34*t)+6*sin(45*t)t(seg)0 100 200 300 400 500 600 7000100020003000Espectro de frecuencias1 INTRODUCCIN ElanlisisdeFourierrecibeelnombreenhonoraJosephFourier(1768-1830),matemtico francsquevividurantelaeranapolenicayacompaaNapolenensucampaaa Egipto).Fourier es honrado justamente al tener su nombre vinculado a esta importante rama del anlisis. Sin embargo, como podamos esperar, muchos de los contemporneos de Fourier y predecesores inmediatos contribuyeron a esta gran obra. LeonhardEuler(1707-1783)fueunmatemticosuizoconsideradoporalgunoselmayor analista que haya existido, en sus investigaciones aparecen las series de Fourier. Poco despus de esta observacin, en 1754, Jean D'Alembert (1717-1783) obtuvo el desarrollo trigonomtrico en cosenos para el reciproco de la distancia entre dos planetas en trminos de ngulos entre los vectores del origen a los planetas. Lasformulasintegralesparaloscoeficientesdefourieraparecieroneneltrabajode DAlembert. As,amediadosdelsigloXVIII,empezaronaaparecerlasseriestrigonomtricasylos matemticos mas importantes las estudiaron e hicieron clculos con ellas. La importancia de la teora de Fourier no fue totalmente entendida en ese tiempo y algunos delosclculossimplementeeranincorrectos.Sinembargosuaparicinenconexincon problemasimportantesplantepreguntasycondujoaunamayorinvestigacinsobreellas. Unapregunta,porejemplo,eracomounafuncinnoperidicapodaserrepresentada mediante una serie en senos y cosenos, que son peridicos. Hacia 1750, las formulas integrales para los coeficientes de Fourier ya eran conocidas, si bien no siempre se confiaba en ellas. Matemticos como Euler preferan obtener las series trigonomtricas de otra manera. ComoestudianteJosephfouriermostrtalentoparalasmatemticas,perolastomocomo profesinnicamentecuandosuorigen(erahijodeunsastre)leimpidiobteneruncargo militar. UnproblemamuyimportanteaprincipiosdelsigloXIXeraladescripcinmatemticadela conduccindelcalorendiferentesmedios.En1807,Fourierenviunartculosobreeste tema a la prestigiosa Academia de Ciencias de Paris, en calidad de concursante a un premio que se haba ofrecido al estudio mas exitoso de este problema. Gigantes de las matemticas como Laplace, Lagrange y Legendre fueron quienes calificaron el trabajo y lo rechazaron por faltaderigor.SinembargoalentaronaFourieraquecontinuaraconsuinvestigaciny completara los detalles que haba omitido. En 1811, Fourier envi una versin corregida de su artculo y gan el premio de la academia.Por ultimo en 1822, Fourier public el que ahora es suclsicotrabajoTheorieanalytiquedelachaleur,incorporandolamayorpartedesus resultados de 1811 junto con algunos nuevos[1]. Podemos decir con seguridad que la teora de Fourier nacida en el siglo XVIII, ha transcendido hasta nuestros tiempos para imponerse ya que ha fundamentado el principio de la era digital abarcandocamposnuncaantesimaginadosporlamentehumana.Sehaconstituidoenel peldaodelasmodernastecnologastalescomolastelecomunicacionesmodernas,el procesamientodeseales,laindustriamilitardeavanzada,laelectrnicaylavisinpor computadora entre otras aplicaciones. De otra parte debe darse especial reconocimiento al desarrollo de los algoritmos de Cooley y Tukey (1965) conocidos como las transformadas rpidas de Fourier yque seconstituy en la piezafundamentalquehizoposiblelaimplementacindelateoradeFourierenlas computadorasreduciendoeltiempodeprocesamiento,ysinelcuallateoradeFourierno 2 sera ms que una teora poco prctica en el caso del tratamiento del sonido y de la imagen aun disponiendo de la velocidad de los modernos procesadores. Tal como lo asegura Oppenheim la importancia del tratamiento discreto posible mediante el anlisis de Fourier, continuar creciendo casi con toda certeza y es probable que losfuturos desarrollos en este campo sean incluso ms importantes que los actuales [2]. Con este documento se pretende hacer un seguimiento de la teora de Fourier partiendo del conceptodeseriesdeFourierenvariablerealyenvariablecomplejarealizandosus deduccionesmediantelasseriesdeTaylorylaaproximacinpormnimoscuadrados.Paso seguido se estudia el concepto dela transformada de Fourier y su aplicacin a las funciones no peridicas,luego se estudia el concepto de transformadas de Fourier en variable discreta y finalmente se estudia la transformada rpida de Fourier donde se consideran los algoritmos computacionales respectivos. Adicionalalosconceptostericos,seconsiderarnalgunosejemplosyrutinasdeprogramas elaboradosenMatlabporserunaherramientaadecuadaparaestetipodeproblemasque involucran operaciones entre vectores y matrices adems de su facilidad de programacin. 3 1LAS SERIES DE TAYLOR SehapropuestoladeduccindelasidentidadesdelasseriesdeTaylordebidoaquese consideran importantes para definir las identidades de Euler. Taylorproponequeunafuncinf(x)sepuedeexpresarcomounasumainfinitade polinomios de la forma: + + + + =3322 1 0) c x ( a ) c x ( a ) c x ( a a ) x ( f Luegoelobjetodeestemtodoesdisponerdeunprocedimientoquepermitaobtenerel valor de los coeficientesa0 a1 an.La clave consiste en computar las derivas sucesivas de la serie y luego proceder a evaluar las derivadas de la serie parac x = . + + + + =3322 1 0) c x ( a ) c x ( a ) c x ( a a ) x ( f + + + + =3423 2 1) c x ( a 4 ) c x ( a 3 ) c x ( a 2 a ) x ( ' f + + + + =3524 3 2) c x ( a 5 4 ) c x ( a 4 3 ) c x ( a 3 2 a 2 ) x ( ' ' f 3625 4 3) c x ( a 6 5 4 ) c x ( a 5 4 3 ) c x ( a 4 3 2 a 3 2 ) x ( ' ' ' f + + + = + + + =26 5 4IV) c x ( a 6 5 4 3 ) c x ( a 5 4 3 2 a 4 3 2 ) x ( f Ahora evaluamos a cada polinomio en c x = . 0a ) c ( f = 1a ) c ( ' f = 2a 2 ) c ( ' ' f = 3a 3 2 ) c ( ' ' ' f = 4. 4 3 2 ) ( a c fIV = 5Va 5 4 3 2 ) c ( f = Apartirdelasanterioresecuacionespodemosdeducirelvalordeloscoeficientes desconocidos as: ) c ( f a0 = ) c ( ' f a1 = ! 2) c ( ' ' f2) c ( ' ' fa2= = ! 3) c ( ' ' ' f3 2) c ( ' ' ' fa3== ! 4) c ( f4 3 2) c ( ' ' ' faIV4= = En consecuencia deducimos que. ! n) c ( fn 4 3 2) c ( fa) n ( ) n (n= = 4 Reemplazando en la serie se obtiene. + + + + =3 2) c x (! 3) c ( ' ' ' f) c x (! 2) c ( ' ' f) c x )( c ( ' f ) c ( f ) x ( f Luego se puede escribir esta serie en notacin sumatoria. n0 n) n () c x (! n) c ( f) x ( f == Para el caso en que 0 c = , la serie de Taylor se transforma en. n0 n) n () x (! n) 0 ( f) x ( f==la cual se conoce como serie de Maclaurin. Como ejemplo de aplicacin de las series de Taylor, podemos obtener las series de Taylor de las funcionesxe , ) x ( sen y ) x cos(. DESARROLLO DE LA FUNCIN SENOIDAL MEDIANTE SERIES DE MACLAURIN Calculo de las derivadas + + + + =3322 1 0) x ( a ) x ( a ) x ( a a ) x ( sen + + + + =3423 2 1) x ( a 4 ) x ( a 3 ) x ( a 2 a ) x cos( + + + + = 3524 3 2) x ( a 5 4 ) x ( a 4 3 ) x ( a 3 2 a 2 ) x ( sen 3625 4 3) x ( a 6 5 4 ) x ( a 5 4 3 ) x ( a 4 3 2 a 3 2 ) x cos( + + + = + + + =26 5 4) x ( a 6 5 4 3 ) x ( a 5 4 3 2 a 4 3 2 ) x ( sen Evaluacin de las derivadas 0a ) 0 ( sen = 1a ) 0 cos( = 2a 2 ) 0 ( sen = 3a 3 2 ) 0 cos( = 4a 4 3 2 ) 0 ( sen = Despejando las incgnitas se tiene. 0 a0 = 1 a1 = 0 a2 = 5 ! 31a3= 0 a4 = ! 51a5 = Reemplazando en el polinomio original se obtiene. + + =! 7x! 5x! 3xx ) x ( sen7 5 3se puede escribir en notacin sumatoria. = =1 n1 n 21 n)! 1 n 2 (x) 1 ( ) x ( sen

DESARROLLO DE LA FUNCIN COSENOIDAL MEDIANTE SERIES DE MACLAURIN Calculo de las derivadas + + + + =3322 1 0) x ( a ) x ( a ) x ( a a ) x cos( + + + + = 3423 2 1) x ( a 4 ) x ( a 3 ) x ( a 2 a ) x ( sen + + + + = 3524 3 2) x ( a 5 4 ) x ( a 4 3 ) x ( a 3 2 a 2 ) x cos( 3625 4 3) x ( a 6 5 4 ) x ( a 5 4 3 ) x ( a 4 3 2 a 3 2 ) x ( sen + + + = + + + =26 5 4) x ( a 6 5 4 3 ) x ( a 5 4 3 2 a 4 3 2 ) x cos( Evaluacin de las derivadas 0a ) 0 cos( = 1a ) 0 ( sen = 2a 2 ) 0 cos( = 3a 3 2 ) 0 ( sen = 4a 4 3 2 ) 0 cos( = Despejando las incgnitas se tiene. 1 a0 = 0 a1 = ! 21a2= 0 a3 = ! 41a4 = 6 0 a5 = Reemplazando en el polinomio original se obtiene. + + =! 6x! 4x! 2x1 ) x cos(6 4 2se puede escribir en notacin sumatoria. = =0 nn 2n)! n 2 (x) 1 ( ) x cos(

DESARROLLO DE LA FUNCIN EXPONENCIAL MEDIANTE SERIES DE MACLAURIN Calculo de las derivadas + + + + =3322 1 0x) x ( a ) x ( a ) x ( a a e + + + + =3423 2 1x) x ( a 4 ) x ( a 3 ) x ( a 2 a e + + + + =3524 3 2x) x ( a 5 4 ) x ( a 4 3 ) x ( a 3 2 a 2 e 3625 4 3x) x ( a 6 5 4 ) x ( a 5 4 3 ) x ( a 4 3 2 a 3 2 e + + + = + + + =26 5 4x) x ( a 6 5 4 3 ) x ( a 5 4 3 2 a 4 3 2 e Evaluacin de las derivadas 00a e = 10a e = 20a 2 e = 30a 3 2 e = 40a 4 3 2 e = Despejando las incgnitas se tiene. 1 a0 = 1 a1 = ! 21a2 = ! 31a3 = ! 41a4 = ! 51a5 = Reemplazando en el polinomio original se obtiene. 7 + + + + + + =! 5x! 4x! 3x! 2xx 1 e5 4 3 2xse puede escribir en notacin sumatoria. ==0 nnx! nxe Resumen Series de Taylor de Algunas Funciones Bsicas. = =0 nn) n () c x (! n) c ( f) x ( f==0 nn) n () x (! n) 0 ( f) x ( f + + =! 7x! 5x! 3xx ) x ( sen7 5 3 = =1 n1 n 21 n)! 1 n 2 (x) 1 ( ) x ( sen + + =! 6x! 4x! 2x1 ) x cos(6 4 2= =0 nn 2n)! n 2 (x) 1 ( ) x cos( + + + + + + =! 5x! 4x! 3x! 2xx 1 e5 4 3 2x ==0 nnx! nxe 8 2LAS IDENTIDADES DE EULER EnsegundolugarseproponeeldesarrollodelasidentidadesdeEulerdebidoaqueestas identidades hacen parte fundamental de las identidades de los nmeros complejos. Con las frmulas antes desarrolladas podemos obtener las identidades de Euler. Partimos de la serie de Maclaurin de la funcin exponencial. + + + + + + =! 5x! 4x! 3x! 2xx 1 e5 4 3 2x Si reemplazamos el argumento de la funcinporix tal que 1 i = , se obtiene. + + + + =! 6x! 5xi! 4x! 3xi! 2xix 1 e6 5 4 3 2ix Reagrupando la parte real y la parte imaginaria se obtiene. ||.|

\|+ + +||.|

\|+ + = ! 7 ! 5 ! 3 ! 6 ! 4 ! 217 5 3 6 4 2x x xx ix x xeix Se concluye que. ) x ( iSen ) x ( Cos eix+ = Laidentidadanteriorsepuedereescribirdeotramanerasielargumentoesunnmero negativo. ) x ( iSen ) x ( Cos eix = A partir de las identidades anteriores podemos deducir dos nuevas identidades. 2e e) x cos(ix ix +=,i 2e e) x ( senix ix = Resumen (LAS IDENTIDADES DE EULER). ) x ( iSen ) x ( Cos eix+ = ) x ( iSen ) x ( Cos eix = 2e e) x cos(ix ix += i 2e e) x ( senix ix = 9 3APROXIMACIN POR MNIMOS CUADRADOS La tcnica de aproximacin por mnimos cuadrados se ha propuesto en tercer lugar debido a que son la base fundamental de la tcnica de aproximacin de las series de Fourier. La tcnica de aproximacin por mnimos cuadradospropone que a partir de una funcin f(x)es posible encontrar una funcing(x)que se aproxime af(x)en un intervalo axb. Laideaprincipaldeestatcnicaconsisteenplantearlafuncindeerrorentref(x)yg(x) para el intervalo dado. ( )} =badx ) x ( g ) x ( f ) x ( E Sin embargoeste mtodo contiene un error fundamental ya que siempre existe la posibilidad de que un error positivo se anule con un error negativo.Paraevitarelproblemaanteriorsepuedeplantearlaintegraldelvalorabsolutoperola funcinvalor absoluto presenta el inconveniente de no ser derivable en ciertos puntos.Los matemticos decidieron plantear la integral del cuadrado del error y esa es la principal razn por la cual se propone la integral de error cuadrtico as. ( )} =ba22dx ) x ( g ) x ( f ) x ( E Deotrapartelafuncindeaproximacing(x)sepuedeproponercomounacombinacin lineal de funciones generadoras. Partimos de una base )} x ( g , ), x ( g ), x ( g ), x ( g { Bn 3 2 1 =de tal modo que ) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c ) x ( gn n 3 3 2 2 1 1+ + + + = Setratadeencontrarelvalordeloscoeficientesc1,c2,c3,cndeg(x)queminimicenla integral del error cuadrtico. ( ) dx ) g fg 2 f ( dx ) x ( g ) x ( f ) x ( Eba2 2ba22} }+ = = Seplanteanlasderivadasparcialesdelafuncinerrorcuadrticoconrespectoalos coeficientes desconocidos hasta ahora. 0 dx )cgg 2cgf 2cf(c) x ( Eba k k k2k2=cc+cccc=cc} Para k=1,2,3,.,n Se resuelven cada una de las derivadas parciales. 10 0cfk2=ccPorque f(x)no depende de Ck ) x ( g )) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c (c cgk n n k k 3 3 2 2 1 1k k= + + + + +cc=cc ) x ( g )) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c ( 2cgg 2k n n 2 2 1 1k+ + + =cc Reemplazando en la integral preliminar se obtiene. 0 dx ) g ) g c g c g c ( 2 dx ) fg ( 2bakban n 2 2 1 1 k= + + + + } } Eliminando el factor comn (2)se obtiene la ecuacin caracterstica. } }= + + +bak kban n 2 2 1 1dx ) fg ( dx g ) g c g c g c ( Para k=1,2,3,.,n La anterior expresin se puede expresar as. } } } }= + + +bakbabak n n k 2 2bak 1 1dx fg dx g g c dx g g c dx g g c Para k=1,2,3,.,n Reemplazandoparacadaunodelosvaloresde(k)seobtieneelsiguientesistemade ecuaciones. } } } }} } } }} } } }} } } }= + + += + + += + + += + + +banbaban n n n 2 2ban 1 1ba3baba3 n n 3 2 2ba3 1 1ba2baba2 n n 2 2 2ba2 1 1ba1baba1 n n 1 2 2ba1 1 1dx fg dx g g c dx g g c dx g g cdx fg dx g g c dx g g c dx g g cdx fg dx g g c dx g g c dx g g cdx fg dx g g c dx g g c dx g g c 11 El sistema de ecuaciones anterior se puede reescribir como una matriz ampliada as. ||||||||||||.|

\|} } } }} } } }} } } }} } } }banban nban 2ban 1ba3ba3 nba3 2ba3 1ba2ba2 nba2 2ba2 1ba1ba1 nba1 2ba1 1dx fg dx g g dx g g dx g gdx fg dx g g dx g g dx g gdx fg dx g g dx g g dx g gdx fg dx g g dx g g dx g g Finalmente, para obtenerlos coeficientes, se procede a realizar la eliminacin gaussiana de la matriz ampliada. ||||||.|

\|n321c 1 0 0c 0 0 0c 0 1 0c 0 0 1 Enseguida se resumen el mtodo de aproximacin por mnimos cuadrados. 12 RESUMEN DEL MTODO (APROXIMACIN POR MINIMOS CUADRDOS). Dadaunafuncin ) x ( f,Existeunafuncin ) x ( gqueeslacombinacinlinealdeun conjuntodefuncionesqueconformanunabasegeneradoradelaforma. )} x ( g , ), x ( g ), x ( g ), x ( g { Bn 3 2 1 =Tal que. ) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c ) x ( g c ) x ( gn n 3 3 2 2 1 1+ + + + = Elvalordeloscoeficientes n 3 2 1c , , c , c , c seobtieneeliminadolamatrizampliada siguiente. ) 1 n ( x ) n (banban nban 2ban 1ba3ba3 nba3 2ba3 1ba2ba2 nba2 2ba2 1ba1ba1 nba1 2ba1 1dx fg dx g g dx g g dx g gdx fg dx g g dx g g dx g gdx fg dx g g dx g g dx g gdx fg dx g g dx g g dx g g+||||||||||||.|

\|} } } }} } } }} } } }} } } } Ejemplo. Encuentreunaaproximacinalafuncin) x ( sen ) x ( f = medianteunpolinomiodela forma: 3322 1 0x a x a x a a ) x ( g + + + =en el intervalo 2 x 0 s s . Solucin. Seproponeunabasedelaforma.} x , x , x , 1 { B3 2= queeslabasedelospolinomiosde grados tres. Se plantea la matriz. |||||||||||.|

\|} } } } }} } } } }} } } } }} } } } }2032062052042032022052042032022020420320220202032022020dx ) x ( sen x dx x dx x dx x dx xdx ) x ( sen x dx x dx x dx x dx xdx ) x ( xsen dx x dx x dx x xdxdx ) x ( sen dx x dx x xdx dx 13 Paso seguido se evala la matriz. |||||.|

\|6sin(2) + 4cos(2) 7 / 128 3 / 32 32/5 42 - 4sin(2) + 2cos(2) - 32/3 32/5 4 8/32cos(2) - sin(2) 32/5 4 8/3 21 + cos(2) - 4 8/3 2 2 Ahora se efecta la eliminacin gaussiana y se obtiene. |||||.|

\|6sin(2) + 4cos(2) 7 / 128 3 / 32 32/5 42 - 4sin(2) + 2cos(2) - 32/3 32/5 4 8/32cos(2) - sin(2) 32/5 4 8/3 21 + cos(2) - 4 8/3 2 2=|||||.|

\|0.0852 - 1 0 0 00.1360 - 0 1 0 01.0668 0 0 1 00.007 - 0 0 0 1 3 2x 0852 . 0 x 136 . 0 x 0668 . 1 007 . 0 ) x ( g + =0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 200.10.20.30.40.50.60.70.80.91xsin(x) Grficamente podemos observar en la grfica de f(x) queg(x) es una buena aproximacin. 14 4SERIES DE FOURIER LaideabsicadelateoradeFourierconsisteenproponerquetodafuncinperidicapor complejaqueestasea,sepuedeexpresarcomolasumademuchasfuncionessenoidaleso cosenoidalesdediferenteamplitudyfrecuencia.Enlagrficasiguientepodemosobservar como la funcin de abajo que tieneuna apariencia irregular, es la suma delas funciones de arriba las cuales son funciones senoidales con amplitudes y frecuencias distintas. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5053sin(2t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2022sin(4t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5054sin(5t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100103sin(2t)+2sin(4t)+4sin(5t) EntrminosmatemticoslateoradeFourierproponequetodafuncinperidica) t ( f con periodoT, definidaen el intervalo2 / T t 2 / T s s se puede expresar como una suma infinita de seales armnicas as. ) t n cos( b ) t 3 cos( b ) t 2 cos( b ) t cos( b) t n ( sen a ) t 3 ( sen a ) t 2 ( sen a ) t ( sen a a ) t ( fn 3 2 1n 3 2 1 0e + + e + e + e+ e + + e + e + e + = Siendoe,lafrecuenciafundamentalye n esunafrecuenciadeordensuperiortalque. T2t= e Escrito en forma ms compacta se tiene. ==e + e + =1 nn1 nn 0) t n cos( b ) t n ( sen a a ) t ( f 15 SetrataentoncesdeencontrarelvalordeloscoeficientesdelaseriedeFourier.Para encontrar estos coeficientes, nos basamos en el hecho de que los coeficientes corresponden a laexpresinquemejorseajustayparaelloseproponeelmtododeaproximacinpor mnimos cuadrados como se explica enseguida. Se parte de la base generadora. )} t n cos( ), t 2 cos( ), t cos( ), t n ( sen ), t 2 ( sen ), t ( sen , 1 { B e e e e e e = Apartirdelabasegeneradoraseproponelamatrizampliadadelsistemadeecuaciones correspondientes. Por razones de espacio se propone la matriz ampliada para la series de Fourier de orden dos. ||||||||||||||.|

\|e e e e e e e e ee e e e e e e e ee e e e e e e e ee e e e e e e e ee e e e} } } } } }} } } } } }} } } } } }} } } } } }} } } } } } 2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / Tdt ) t ( f ) t 2 cos( dt ) t 2 ( cos dt ) t cos( ) t 2 cos( dt ) t 2 ( sen ) t 2 cos( dt ) t ( sen ) t 2 cos( dt ) t 2 cos(dt ) t ( f ) t cos( dt ) t cos( ) t 2 cos( dt ) t ( cos dt ) t cos( ) t 2 ( sen dt ) t cos( ) t ( sen dt ) t cos(dt ) t ( f ) t 2 ( sen dt ) t 2 cos( ) t 2 ( sen dt ) t cos( ) t 2 ( sen dt ) t 2 ( sen dt ) t ( sen ) t 2 ( sen dt ) t 2 ( sendt ) t ( f ) t ( sen dt ) t 2 cos( ) t ( sen dt ) t cos( s ) t ( sen dt ) t 2 ( sen ) t ( sen dt ) t ( sen dt ) t ( sendt ) t ( f dt ) t 2 cos( dt ) t cos( dt ) t 2 ( sen dt ) t ( sen dt Enseguida se calcula cada una de las integrales requeridas. T dt2 / T2 / T=} 0 dt ) t n ( sen2 / T2 / T= e} 0 dt ) t n cos(2 / T2 / T= e} 0 dt ) t m cos( ) t n ( sen2 / T2 / T= e e} param n =2Tdt2) t n 2 cos(dt21dt2) t n 2 cos( 1dt ) t n ( sen2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2=e =e = e} } } } 2Tdt2) t n 2 cos(dt21dt2) t n 2 cos( 1dt ) t n ( cos2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2=e+ =e += e} } } } Al reemplazar en la matriz se obtiene lo siguiente. 16 ||||||||||||||.|

\|e e e e e e e e ee e e e e e e e ee e e e e e e e ee e e e e e e e ee e e e} } } } } }} } } } } }} } } } } }} } } } } }} } } } } } 2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T22 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / Tdt ) t ( f ) t 2 cos( dt ) t 2 ( cos dt ) t cos( ) t 2 cos( dt ) t 2 ( sen ) t 2 cos( dt ) t ( sen ) t 2 cos( dt ) t 2 cos(dt ) t ( f ) t cos( dt ) t cos( ) t 2 cos( dt ) t ( cos dt ) t cos( ) t 2 ( sen dt ) t cos( ) t ( sen dt ) t cos(dt ) t ( f ) t 2 ( sen dt ) t 2 cos( ) t 2 ( sen dt ) t cos( ) t 2 ( sen dt ) t 2 ( sen dt ) t ( sen ) t 2 ( sen dt ) t 2 ( sendt ) t ( f ) t ( sen dt ) t 2 cos( ) t ( sen dt ) t cos( s ) t ( sen dt ) t 2 ( sen ) t ( sen dt ) t ( sen dt ) t ( sendt ) t ( f dt ) t 2 cos( dt ) t cos( dt ) t 2 ( sen dt ) t ( sen dt ||||||||||||||.|

\|eeee}}}} }2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / Tdt ) t ( f ) t 2 cos( 2 / T 0 0 0 0dt ) t ( f ) t cos( 0 2 / T 0 0 0dt ) t ( f ) t 2 ( sen 0 0 2 / T 0 0dt ) t ( f ) t ( sen 0 0 0 2 / T 0dt ) t ( f 0 0 0 0 T Se efecta la eliminacin gaussiana de la matriz. ||||||||||||||.|

\|eeee}}}} }2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / T2 / Tdt ) t ( f ) t 2 cos(T21 0 0 0 0dt ) t ( f ) t cos(T20 1 0 0 0dt ) t ( f ) t 2 ( senT20 0 1 0 0dt ) t ( f ) t ( senT20 0 0 1 0dt ) t ( fT10 0 0 0 1 El resultado obtenido se emplea para generalizar la serie de Fourier de orden (n) al concluirse finalmente que. ==e + e + =1 nn1 nn 0) t n cos( b ) t n ( sen a a ) t ( f Donde. }=2 / T2 / T0dt ) t ( fT1a , }e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n ( senT2a ,}e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n cos(T2b ,n=0,1,2, 17 Resumen del mtodo(SERIES DE FOURIER). Dadaunafuncinperidicaf(t)conperiodoT,definidaenelintervaloT/2tT/2,dicha funcin se puede expresar como la suma infinita de trminos de la forma. ==e + e + =1 nn1 nn 0) t n cos( b ) t n ( sen a a ) t ( fDonde. T2t= e}=2 / T2 / T0dt ) t ( fT1a , }e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n ( senT2a ,}e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n cos(T2b , . = 0,1,2, n Ejemplo. EncuentrelaseriedeFourierdeordentresparafuncinquesemuestraenlafigura asumiendoT=5, k=2. Definida en el intervalo-T/2tT/2 s ss s =2 / 5 t 0 t 5 / 40 t 2 / T 0) t ( f Solucin. Al calcular los coeficientes de Fourier hasta orden cuatro, se obtiene la siguiente expresin. ) t56cos(94) t52cos(4) t58( sen21) t56( sen32) t54( sen1) t52( sen221) t ( g2 2tt tttt tt+ tt tt+ = La grfica de g(x) se muestra enseguida. 18 0 5 10 1500.511.5t1/2+2/t sin(2/5 t t)-...-1/2/t sin(8/5 t t) Aproximacin de Fourier de orden cuatro. 0 5 10 1500.511.52t1/2-...-4/1369/t2 cos(74/5 t t) Aproximacin de Fourier de orden 40. Puedeobservarsequeamedidaqueseincrementalacantidaddetrminos,laseriede Fourierse asemeja ms a la funcin original. Otroaspecto importante a observar es que en las discontinuidades de la funcin original, se presentan oscilaciones denominadasfenmeno de Gibbs en honor al Fsico Matemtico que las estudi [3]. 19 5SERIES DE FOURIER EN VARIABLE COMPLEJA La ventaja del empleo de notacin en variable compleja para la representacin de las series de Fourier radica en el hecho de que esta notacin conduce a expresiones ms sencillas que lasdesarrolladasenvariablereal.Estaesconseguridadlaprincipalraznporlacualla mayoradetextoshanabordadolateoradelanlisisdeFourierenelcampodelavariable compleja. Para obtener el desarrollo de las series de Fourier en variable compleja se propone una base de expresiones complejas as. } , e , e , e , e , e , e , e { Bt j 3 t j 2 t j t j 0 t j t j 2 t j 3 e e e e e e e = Ahora se propone un polinomio de la forma. + + + + + + =e e e e e t j 22t j1t j 00t j1t j 22e c e c e c e c e c ) t ( f Escrito de una manera ms compacta. =e=nt jnne c ) t ( f Se trata entonces de calcular el valor de los coeficientes nc de la expresin anterior. Partimosdelhechodequeloscoeficientesdebencorresponderalosvaloresquemejor ajustan la seriea la funcinf(t).Para encontrar los coeficientes que mejor ajustan la serie de Fourier a la funcin f(t), se propone el mtodo de mnimos cuadrados. Por cuestin de espaci proponemos la demostracin de la serie de Fourier de orden dos, pero cuyos resultados se extienden a la serie de Fourier de orden n. ||||||||||||||.|

\|} } } } } }} } } } } }} } } } } }} } } } } }} } } } } }eeeeeeeeeeee eeeee e e eee e e e ee e e e 2 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j 42 / T2 / Tt j 32 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 02 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 32 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 02 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 02 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 02 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 02 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j 32 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j 02 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j 32 / T2 / Tt j 4dt ) t ( f e dt e dt e dt e dt e dt edt ) t ( f e dt e dt e dt e dt e dt edt ) t ( f e dt e dt e dt e dt e dt edt ) t ( f e dt e dt e dt e dt e dt edt ) t ( f e dt e dt e dt e dt e dt e 20 Ahora calculamos cada una de las integrales. 0 dt e2 / T2 / Tt nj=}e , 0 n = T dt dt e2 / T2 / T2 / T2 / Tt j 0= = } } e Reemplazando se tiene. ||||||||||||||.|

\|}}}}}eee e 2 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j2 / T2 / T2 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 2dt ) t ( f e 0 0 0 0 Tdt ) t ( f e 0 0 0 T 0dt ) t ( f 0 0 T 0 0dt ) t ( f e 0 T 0 0 0dt ) t ( f e T 0 0 0 0 Efectuando la eliminacin Gaussiana se obtiene. ||||||||||||||.|

\|}}}}}eee e 2 / T2 / Tt j 22 / T2 / Tt j2 / T2 / T2 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j 2dt ) t ( f eT10 0 0 0 1dt ) t ( f eT10 0 0 1 0dt ) t ( fT10 0 1 0 0dt ) t ( f eT10 1 0 0 0dt ) t ( f eT11 0 0 0 0 Se concluye finalmente que. 21 +||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+ =ee ee ee e e e} } }} }t j 22 / T2 / Tt j 2 t j2 / T2 / Tt j t j 02 / T2 / Tt j2 / T2 / Tt j t j 22 / T2 / Tt j 2e dt ) t ( f eT1e dt ) t ( f eT1e dt ) t ( fT1e dt ) t ( f eT1e dt ) t ( f eT1) t ( f Se escribe en forma mas compacta mediante la notacin sumatorias as. =e=nt jnne c ) t ( f tal que.}e =2 / T2 / Tt jnndt ) t ( f eT1c Resumen SERIES DE FOURIER EN VARIABLE COMPLEJA. Dada una funcin peridicaf(t)con periodoT, definida en el intervalo T/2 t T/2. Esta funcin se puede expresar como una suma infinita de la forma. =e=nt jnne c ) t ( ftal que.}e =2 / T2 / Tt jnndt ) t ( f eT1c con,T2t= e 22 6ESPECTRO DE FRECUENCIAS El espectro de frecuencia de un fenmeno ondulatorio (sonoro, luminoso o electromagntico) queeslasuperposicindeondasdevariasfrecuencias,esunamedidadeladistribucinde amplitudesdecadafrecuencia.Tambinsellamaespectrodefrecuenciaalgrficode intensidad frente a frecuencia de una funcin desde el punto de vista de las matemticas. Elespectrodefrecuenciasodescomposicinespectraldefrecuenciaspuedeaplicarsea cualquier concepto asociado con frecuencia o movimientos ondulatorios como son los colores, las notas musicales, la voz humana, las ondas electromagnticas de radio o TV[4]. LagranfortalezadelanlisisdeFourierradicaenelhechodequepermiteidentificarel contenido de frecuencias de una funcin.Al igual que un prisma descompone la luz blanca en sus correspondientes ondas electromagnticas de diferente frecuencia;el anlisis de Fourier permite identificar el contenido de frecuencias de una funcin f(t). Espectro de frecuencias de la luz emitida por tomos de hierro libres en la regin visible del espectro electromagntico. Seal de voz y su correspondiente espectro de frecuencias. Un prisma sobre el cual incide la luz blanca, tiene la capacidad de separar las diferentes frecuencias las cuales son visibles al ojo humano. 23 El espectro de frecuencias de una seal puede ser interpretado como una serie de bandas de amplitud y frecuencia definidas. Lafiguraanterioresunbuenejemplogrficoparacomprendercomounafuncinenel dominio del tiempof(t),la cual esla superposicin de funciones senoidales o cosenoidales, puedeobservarsecomounafuncindeaparienciairregulardesdeelpuntodevistadel tiempoydelaamplitud.Sidisponemosdeunmtodoparasepararlasdiferentes componentes senoidales se la funcin original, entonces podemos identificar las amplitudes y frecuencias de cada una de estas componentes las cuales son visibles desde el punto de vista dela frecuencia y la amplitud comouna seriedelneas.La vista de la izquierda seconoce como funcin en el dominio del tiempo mientras que la vista de la derecha se conoce como la funcin en el dominio de la frecuencia. 0 0.5 1 1.5 2 2.5-505x=3sen(150t)+2sin(30t)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180050010001500Espectro de frecuencias Comosepuedeapreciarenlagrficaanterior,unafuncindelaforma. X=3sen(150t)+2sen(30t),seapreciacomodosfranjaseneldominiodelafrecuencia;una franja para cada una de las frecuencias de 30 y 150. Lagrficadeabajocorrespondeaunafuncindelaforma.X=3sen(150t),cuyoespectrode frecuencias corresponde a una nica franja en la frecuencia de 150. 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505x=3sen(150t)0 20 40 60 80 100 120 140 160050010001500Espectro de frecuencias 7RELACINENTRELASAMPLITUDESEN VARIABLEREALYVARIABLECOMPLEJADELAS SERIES DE FOURIER. Enseguida se muestra la forma de obtener el espectro de frecuencias de una funcin a partir de las series de Fourier tanto en variable real como en variable compleja. Series de Fourier en Variable Real. Dadaunafuncinperidicaf(t)conperiodoT,definidaenelintervaloT/2tT/2,dicha funcin se puede expresar como la suma infinita de trminos de la forma. ==e + e + =1 nn1 nn 0) t n cos( b ) t n ( sen a a ) t ( fDonde. T2t= e}=2 / T2 / T0dt ) t ( fT1a , }e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n ( senT2a ,}e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n cos(T2b , . = 0,1,2, n LascomponentesdeFourierenvariablereal,puedenserconsideradascomofasores vectores rotantes. 25 A partir de la anterior grfica es fcil concluir que las componentes de las series de Fourier en variable real pueden ser analizadas como la combinacin de vectores rotantes los cuales giran en sentido antihorario formado un ngulo (nt) con el eje (X) para el vector de amplitud (an) y un ngulo(nt) con el eje (Y) para el vector de amplitud(bn), de tal modo que estos dos vectores siempre se encuentran rotando a la misma frecuencia formando un ngulo de 90.A partirdelanteriorhechopodemosconcluirqueestosdosvectoressepuedensumar generandounaresultantedeamplitud(cn)elcualrotaalamismafrecuenciadesus componentes, cumplindose que. 2n2n nb a c + =, nbab) tan( = |

Se concluye que.) t n ( sen c ) t n cos( b ) t n ( sen an n n| + e = e + e Visto de esta manera, las series de Fourier en variable real se pueden reescribir as. =| + e + =1 nn 0) t n ( sen c a ) t ( f , tal que.}=2 / T2 / T0dt ) t ( fT1a ,}e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n ( senT2a ,}e =2 / T2 / Tndt ) t ( f ) t n cos(T2b , 2n2n nb a c + =, nnab) tan( = | , . =1,2,3, n}=2 / T2 / T0dt ) t ( fT1C Luegoelespectrodefourierestarcompuestoporunaseriediscretadeordenadasde amplitudnc ,con una serie de abscisas de frecuencia e n . EnseguidaseindicaunalistaderdenesparaejecutarenMatlabquepermitaobtenerel espectro de frecuencias de una funcin peridica dada. syms t f=4/5*t*(heaviside(t)-heaviside(t-5/2)); T=5; w=2*pi/T; s=1/T*int(f,t,-T/2,T/2); for n=1:40 a(n)=2/T*int(f*sin(n*w*t),t,-T/2,T/2); b(n)=2/T*int(f*cos(n*w*t),t,-T/2,T/2); s=s+a(n)*sin(n*w*t)+b(n)*cos(n*w*t); end d=[eval(1/T*int(f,t,-T/2,T/2)) eval(sqrt(a.^2+b.^2))]; g=s; subplot(2,1,1); ezplot(g,[0,6*T/2]); subplot(2,1,2); stem(d);title('Espectro de frecuencias'); 26 0 5 10 1500.511.52t1/2-4/441/t2 cos(42/5 t t)-...-1/20/t sin(16 t t)0 5 10 15 20 25 30 35 40 4500.20.40.60.8Espectro de frecuencias Respuestagrficaobtenidaapartirdelaslneasdeprogramacinpropuestas anteriormente. Series de Fourier en Variable Compleja. Dada una funcin peridicaf(t)con periodoT, definida en el intervalo T/2 t T/2. Esta funcin se puede expresar como una suma infinita de la forma. =e=nt jnne c ) t ( ftal que.}e =2 / T2 / Tt jnndt ) t ( f eT1c con,T2t= e EnprimerlugardebeaclararsequelaseriedeFourierenvariablecompleja,eslasumade pares conjugados de tal manera que al ser sumados se anulan las componentes imaginarias. En ese caso la serie de Fourier se puede reescribir en la siguiente forma.

} } }=ee e e ||.|

\|+||.|

\|+ =1 nt jn2 / T2 / Tt jn t jn2 / T2 / Tt jn2 / T2 / Te dt ) t ( f eT1e dt ) t ( f eT1dt ) t ( fT1) t ( f Podemos observar que. ( )} } e e e =2 / T2 / T2 / T2 / Tt jndt ) t ( f ) t n ( jsen ) t n cos(T1dt ) t ( f eT1 ( )} } ee + e =2 / T2 / T2 / T2 / Tt jndt ) t ( f ) t n ( jsen ) t n cos(T1dt ) t ( f eT1 27 Las dos expresiones anteriores son en consecuencia expresiones conjugadas. Podemos entonces escribir estas expresiones en notacin polar. u e =}j2 / T2 / Tt jnreT1dt ) t ( f eT1, ue=}j2 / T2 / Tt jnreT1dt ) t ( f eT1,detalmodoquer esla magnitud de los complejos conjugados. Reemplazando se puede expresar la serie de Fourier en la forma. ( ) ( )}=e u e u + + =1 nt jn j t jn j2 / T2 / Te re e reT1dt ) t ( fT1) t ( f Efectuando productos se tiene. ( )( )( )( )}=e + u e + u + + =1 nt n j t n j2 / T2 / Tre reT1dt ) t ( fT1) t ( f Desarrollando las expresiones exponenciales se tiene. }=e + u + =1 n2 / T2 / T) t n cos( r 2T1dt ) t ( fT1) t ( f Recordemos que}e =2 / T2 / Tt jndt ) t ( f e r,esel mdulo de la integral. Luego la serie de Fourier se puede escribir en la forma. } }=e e + u + =1 n2 / T2 / Tt jn2 / T2 / T) t n cos( dt ) t ( f eT2dt ) t ( fT1) t ( f Escrito de otra forma. =e + u + =1 nn 0) t n cos( c c ) t ( f Con }=2 / T2 / T0dt ) t ( fT1c,}e =2 / T2 / Tt jnndt ) t ( f eT2c, , 3 , 2 , 1 n = LuegoelespectrodeFourierestarcompuestoporunaseriediscretadeordenadasde amplitud nc ,conunaseriedeabscisasdefrecuenciae n ,cuyosvaloresseindican anteriormente. 28 EnseguidaseindicaunalistaderdenesparaejecutarenMatlabquepermitaobtenerel espectrodefrecuenciasdeunafuncinperidicadadaapartirdelaseriedeFourieren variable compleja. syms t f=4/5*t*(heaviside(t)-heaviside(t-5/2)); T=5; w=2*pi/T; s=0; for n=1:40 a(n)=eval(simple(eval(1/T*int(f*exp(-j*n*w*t),t,-T/2,T/2))*exp(j*n*w*t)+eval(1/T*int(f*exp(j*n*w*t),t,-T/2,T/2))*exp(-j*n*w*t))); h(n)=2*eval(1/T*int(f*exp(-j*n*w*t),t,-T/2,T/2)); s=s+a(n); end g=s; h=[eval(1/T*int(f,t,-T/2,T/2)) h]; subplot(2,1,1); ezplot(g,[0,6*T/2]); subplot(2,1,2); stem(abs(h)); 0 5 10 15-0.500.511.5t-...-4587328911378127/288230376151711744 sin(16 t t)0 5 10 15 20 25 30 35 40 4500.20.40.60.8 Resultado grfico obtenido. 29 8TRANSFORMADAS DE FOURIER UnadelasdesventajasdelasseriesdeFourierradicaenelhechodequesolosirvepara modelarfuncionesperidicas.LatransformadadeFourierpermiteaplicarlasseriesde Fourier a situaciones no peridicas. Pararesolverelinconvenientedelaaperiodicidad,losmatemticosadaptaronlasseriesde Fourieralcasoenelcualelperiodotiendeainfinito.Siconsideroqueunafuncinno peridicaescomotenerunafuncinperidicaconperiodoinfinito,entoncestengola solucin al problema de la aperiodicidad. Nota. Apartirdeestemomentolosclculossedesarrollarnsoloenvariablecomplejaporla ventaja de la simplicidad. Partimos de la serie de Fourier en variable compleja. Series de Fourier en Variable Compleja. Dada una funcin peridicaf(t)con periodoT, definida en el intervalo T/2 t T/2. Esta funcin se puede expresar como una suma infinita de la forma. =e=nt jnne c ) t ( ftal que.}e =2 / T2 / Tt jnndt ) t ( f eT1c con,T2t= e Con el fin de evitar confusiones aclaramos las siguientes expresiones. 0T2e =t Es la frecuencia fundamental. e = e0n Es un mltiplo de la frecuencia fundamental armnica. Luego la serie de Fourier queda as. =e=nt jne c ) t ( f, }e =2 / T2 / Tt jndt ) t ( f eT1c,T20t= e 0 nne = e0 1 n) 1 n ( e + = e + 0 0 0 n 1 nn ) 1 n ( e = e e + = e e + Luego0e = e AComo. T20t= e, entonceste A=2 T1 Reemplazamos en la serie de Fourier las anteriores expresiones. } =ee ||.|

\|=nt j2 / T2 / Tt je dt ) t ( f eT1) t ( f=} =ee ||.|

\|te A=nt j2 / T2 / Tt je dt ) t ( f e2) t ( f 30 Reordenando trminos se tiene. } =ee e A||.|

\|t=nt j2 / T2 / Tt je dt ) t ( f e21) t ( f Tomando el lmite al infinito se obtiene. }} =e e =ee e A||.|

\|t= e A||.|

\|t=nt j t jnt j2 / T2 / Tt jTe dt ) t ( f e21e dt ) t ( f e21lim ) t ( f Sea. } e t= e dt ) t ( f e21) ( Gt j Luego la serie de Fourier se transforma en. =ee A e =nt je ) ( G ) t ( f Puesto queT2t= e A y se ha acordado que T , e A es una expresin infinitesimal. Luego se concluye que. =ee A e =nt je ) ( G ) t ( fes una suma de Rienman que puede ser expresable en forma integral. } e =ee e = e A e = d e ) ( G e ) ( G ) t ( ft jnt j Se concluye finalmente que. } ee e = d e ) ( G ) t ( ft j,con } e t= e dt ) t ( f e21) ( Gt j Este par de ecuaciones son conocidas como las transformadas de Fourier. } e t= e dt ) t ( f e21) ( Gt jEs la transformada de Fourier. } ee e = d e ) ( G ) t ( ft jEs la transformada inversa de Fourier. 31 Debe observarse aqu algo interesante y es el hecho de que la transformada de Fourier puede ser vista como una funcin que tiene como parmetro de entrada a f(t)que es la funcin en eldominiodeltiempoytienecomosalidaaG()queeslafuncineneldominiodela frecuencia.DeotrapartelatransformadainversadeFouriertienecomoparmetrode entrada aG() y como parmetros de salida af(t). Se tiene entonces un par de ecuaciones de transformacin que son invertibles una a otra. Nota. EsimportanteaclararquelastransformadasdeFourierpuedenpresentarseendiferentes formas dependiendo del autor. 1). Una primer forma fue las desarrollada en este documento. } ee e = d e ) ( G ) t ( ft j } e t= e dt ) t ( f e21) ( Gt j 2). Otra forma puede ser la siguiente. } ee et= d e ) ( G21) t ( ft j } e = e dt ) t ( f e ) ( Gt j 3). Otra forma es la siguiente. } ee et= d e ) ( G21) t ( ft j } e t= e dt ) t ( f e21) ( Gt j Debe observarse que las tres formasantes presentadas no son ms que reacomodaciones del factor multiplicador. 32 9TRANSFORMADAS DISCRETAS DE FOURIER Una de las desventajas de las transformadas de Fourieren variable continua, es la dificultad de emplearlas en computadoras.Para resolver este inconveniente se ha propuesto una forma discreta de las transformadas de Fourier cuya deduccin se muestra enseguida. Antesdeentrarendetallesesimportanteaclararladiferenciaentrefuncionesenvariable continua y discreta, para lo cual proponemos el siguiente ejemplo. Consideremoslafuncin 2x 6 y =paraelintervalo.3 x 3 s s cuyagrficase muestra enseguida. -3 -2 -1 0 1 2 3-3-2-10123456Y=6-x2 Se asume que aunque la variable Xest restringida al intervalo 3 x 3 s s , la variable X toma infinitos valores los cual la hace continua para el intervalo propuesto. Paralasituacindelamismafuncinenvariablediscreta,esimportantedefinirenprimer lugar los valores lmites de Xy su incremento, as. 3 x 3 s s ,con25 . 0 = Ax.x A Es el incremento de la variable X valor de discretizacin. x n x A = SeasumequelavariableXsoloasumirvaloresmltiplosdelincrementode discretizacin. Para este caso se propone.2) ( 6 ) ( x x y = , Reemplazandox n x A = ,Se obtiene la siguiente expresin. 33 2) ( 6 ) ( x n x n y A = A Lamayoradeautoresrelacionadosconestostemasprefiereneliminareltrminox A del parmetro de la funcin quedando as. ( )246 ) (nn y = Tomando valores de12 , 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 = n En este caso el aspecto de la funcin en forma discreta es el siguiente.

-15 -10 -5 0 5 10 15-3-2-10123456 Las lneas de rdenes requeridas para obtener la grfica anterior en Matlab son las siguientes. n=-12:1:12; y=eval(vectorize('6-(n/4)^2')); stem(n,y); Partimos de las transformadas de Fourier en variable continua. } = dt t x e Gt j) ( ) (ee;} = e eted e G t xt j) (21) ( Paradiscretizarestepardeecuacionesesnecesariotenerencuentalassiguientes consideraciones de equivalencia entre variable continua y variable discreta. 34 Variable ContinuaVariable Discreta. } dt t Ae d0e e = A tt nAe0e k 0e Tt 2 T t NA Asumimos que la funcin en el dominio del tiempo consta de un notal de N muestras discretas separadas en el tiempo por un incremento t A .De otra parte asumimos que el tiempo en el cual se registran las N muestras corresponde a un periodoT . A partir de estas grficas tenemos que. t n t A =t N T A = AlreemplazarestasexpresionesenlastransformadasdeFouriersetienenlassiguientes expresiones. } = dt t x e Gt j) ( ) (ee se transforma en.t t n x e k Gt nt NkjA A =AA) ( ) (20te Simplificando se tiene.35 t e t n x k GNknjA A =te20) ( ) (, se escribe simplemente. t e n x k GNknjA =t 2) ( ) ( De otra parte se tiene que.

} = e eted e G t xt j) (21) ( se transforma en. A= A = At Ne k G e k G t n xNknjNknjttett t2) (21) (21) (2 2 Se escribe simplemente que. |.|

\|A=te k GNn xNknj1) (1) (2t Resumiendo se tiene el siguiente par de ecuaciones. t e n x k GNknjA =t 2) ( ) ( |.|

\|A=te k GNn xNknj1) (1) (2t Si combinamos el par de ecuaciones entonces podemos eliminar t A . Y se llega finalmente al siguiente par de ecuaciones. =Nknje n x k Gt 2) ( ) (,=Nknje k GNn xt 2) (1) ( El siguiente paso consiste en determinar los lmites de cada una de las sumatorias. En primer lugar para la primer sumatoria tiene como parmetro af(n)oX(n). 36 De acuerdo a la anterior grfica podemos observar que (n)toma valores que van desde cero, hasta(N-1).n=0,1,2,3, , N-1 Luego la primer sumatoria queda as. ==102) ( ) (NnNknje n x k Gt Ahora definimos los lmites de la siguiente sumatoria. =Nknje k GNn xt 2) (1) (. Considerando la expresinNknjet 2podemos observar que para0 = k,12=Nknjet N k =, 1) 2 (=n jet Podemos entonces tomar valor dek que vayan desdecero hasta 1 =N k. Luego la expresin sumatoria ser. ==102) (1) (NkNknje k GNn xt Resumen de las TRANSFORMADAS DE FOURIER EN VARIABLE DISCRETA. ==102) ( ) (NnNknje n x k Gt; ==102) (1) (NkNknje k GNn xt Seobtieneunpardeecuacionesnuevasquenospermitenobtenerlastransformadasde Fourier en variable discreta. 37 10CALCULO DIRECTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER LaaplicacindelastransformadasdeFourierenvariablediscretarequieredelempleode programasdecomputadoradebidoalagrancantidaddeoperacionesnecesariasparasu cmputo.EstahasidoseguramentelaraznporlacualelanlisisdeFourierfupoco reconocidoensutiempocuandonosedisponademquinasdecomputocomolasque tenemos en nuestros tiempos. Al partir de su definicin. ==102) ( ) (NnNknje n x k Gt Para su cmputo podemos ir haciendo reemplazos trmino a trmino as. Con objeto de simplificar la notacinse asume lo siguiente.NjNe Wt 2= ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( + + + + + = N x x x x x G 1 3 2) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( + + + + + =NW N x W x W x W x x G ) 1 ( 2 6 4 2) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( + + + + + =NW N x W x W x W x x G ) 1 ( 3 9 6 3) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 3 ( + + + + + =NW N x W x W x W x x G

) 1 )( 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 1) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( + + + + + = N N N N NW N x W x W x W x x N G Las anteriores operaciones pueden ser escritas como un producto matricial as. ||||||.|

\|=||||||.|

\|||||||.|

\| ) 1 () 2 () 1 () 0 () 1 () 2 () 1 () 0 (1111 1 1 1 1) 1 )( 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 1) 1 ( 2 6 4 21 3 2N GGGGN xxxxW W W WW W W WW W W WN N N N NNN SiendoNjNe Wt 2= Se puede observar que para el cmputo se requiere un total de 2N productos, lo cual exige grancantidaddeoperacionesloquelahacerealmenteineficienteenaplicacionesreales tales como el tratamiento de voz o imagen. 38 ComoejemplosehapropuestounprogramaenMatlabparaelclculodirectodela transformada de Fourier, cuyas lneas de programa se muestran en seguida. function y=four(x) N=size(x,1)*size(x,2); W=exp(-j*2*pi/N); for s=1:N for t=1:N M(s,t)=W^((s-1)*(t-1)); end end y=M*x'; Para probar la eficiencia del algoritmo se hanpropuesto las siguientes lneas de programa. tic;x=rand(1,N);y=four(x);toc Se propone un vector de N datos aleatorios y se registra el tiempo empleado por el algoritmo mediante las rdenestic y toc para evaluar la TDF. Paraejecutarlosclculos,sehaempleadounacomputadoraporttilTOSHIBACORE3,que disponedeunprocesadorconvelocidaddecmputode3000millonesdeoperacionespor segundo y un sistema operativo Windows 7. Durante los experimentos se obtuvo la siguiente tabla. NT(segundos) 1000.037 5001.024 10007.131 200048.763 3000158.826

0 500 1000 1500 2000 2500 3000020406080100120140160N vs T(seg) La misma grfica en escala logartmica presenta un aspecto lineal as. 39 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5-4-3-2-10123456Log(N)Log(T)Log(N)Vs Log(T) Se concluye queel tiempo de cmputo crececonsiderablemente a medida que N aumenta y esevidentequeunalgoritmocomoelanterioresextremadamenteineficientepara aplicacionescomolasdesonidoeimagendondelacantidaddedatosesdelordendelos millones de datos como es el caso de las imgenes. AfortunadamenteJ.W.CooleyyJohnTukeyen1965desarrollaronelalgoritmodela transformadarpidadeFourierolaFFT(FastFourierTransform)loscualespermitieron reducir el tiempo de cmputo de la transformada discreta de Fourier [5]. El desarrollo de la FFT se explica en el siguiente captulo. 40 11CALCULO DIRECTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER INVERSA (TDFI) Partimos de su definicin. ==102) (1) (NkNknje k GNn xt,1 , , 2 , 1 , 0 = N n | |==102) (1) (NkNknje k GNn x TDFIt Con objeto de simplificar la notacinse asume lo siguiente.NjNe Wt 2=| | ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (1) 0 ( + + + + + = N G G G G GNx | |1 3 2) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (1) 1 ( + + + + + =NW N x W x W x W G GNx | |) 1 ( 2 6 4 2) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (1) 2 ( + + + + + =NW N G W G W G W G GNx | |) 1 ( 3 9 6 3) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (1) 3 ( + + + + + =NW N G W G W G W G GNx | |) 1 )( 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 1) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (1) 1 ( + + + + + = N N N N NW N G W G W G W G GNN x Esta serie de expresiones pueden reescribirse como un producto matricial. ||||||.|

\|=||||||.|

\|||||||.|

\| ) 1 () 2 () 1 () 0 () 1 () 2 () 1 () 0 (1111 1 1 1 11) 1 )( 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 1) 1 ( 2 6 4 21 3 2N xxxxN GGGGW W W WW W W WW W W WNN N N N NNN Con NjNe Wt 2= Para el cmputo directo de la TDFI, se han diseado las siguientes lneas de programa. function y=ifour(x) N=size(x,1)*size(x,2); W=exp(j*2*pi/N); for s=1:N for t=1:N M(s,t)=W^((s-1)*(t-1)); end end y=1/N*(M*x'); 41 ConobjetodeprobarlaefectividaddelalgoritmoanteriorseproponeunasecuenciadeN datos, evaluar su TDF y a partir de la TDF, calcular TDFI. Se ejecuta en Matlab las siguientes lneas. X=rand(1,20); Y=four(x); Ifour(four(x)); xTDF(x)TDFI(TDF(x)) 0.5828 0.4235 0.5155 0.3340 0.4329 0.2259 0.5798 0.7604 0.5298 0.6405 0.2091 0.3798 0.7833 0.6808 0.4611 0.5678 0.7942 0.0592 0.6029 0.0503 9.6136 -0.8622 + 0.2904i -0.4435 - 0.1277i 0.9588 - 0.7826i -0.7030 - 0.5464i 0.7547 + 0.0622i -0.2459 + 0.5619i -0.3923 - 1.1458i -0.1398 - 0.3760i 1.4096 - 0.5717i 1.3692 + 0.0000i 1.4096 + 0.5717i -0.1398 + 0.3760i -0.3923 + 1.1458i -0.2459 - 0.5619i 0.7547 - 0.0622i -0.7030 + 0.5464i 0.9588 + 0.7826i -0.4435 + 0.1277i -0.8622 - 0.2904i 0.5828 + 0.0000i 0.4235 - 0.0000i 0.5155 - 0.0000i 0.3340 - 0.0000i 0.4329 - 0.0000i 0.2259 - 0.0000i 0.5798 - 0.0000i 0.7604 - 0.0000i 0.5298 - 0.0000i 0.6405 - 0.0000i 0.2091 - 0.0000i 0.3798 - 0.0000i 0.7833 - 0.0000i 0.6808 + 0.0000i 0.4611 + 0.0000i 0.5678 + 0.0000i 0.7942 + 0.0000i 0.0592 + 0.0000i 0.6029 + 0.0000i 0.0503 + 0.0000i

En la anterior tabla puede observarse que se cumple la igualdad x=TDFI(TDF(x)).

42 12LA TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER LatransformadarpidadeFourier(FFT)esunalgoritmoeficienteparacalcularla transformada discreta de Fourier y su inversa.Hay muchos algoritmos FFT diferentes con una ampliaparticipacindelasmatemticas,desdelasimplearitmticadenmeroscomplejos hasta la teora de grupos y teora de nmeros. UnaTransformadadiscretadeFourier(TDF),descomponeunasecuenciadevaloresensus componentesfrecuenciales.Estaoperacinestilenmuchoscamposperosucmputo directo a partir de su definicin es muy lento para ser prctico como se observ en el captulo anterior. LaFFTpresentaunaformaalternativaparacalcularlaDFTconmayorrapidez.Elcmputo delaTDFdeNpuntosenlaformadirectasegnladefinicin,toma(N2)operaciones aritmticas,mientrasquelaFFTpermitecalcularelmismoresultadoenslo(Nlog2N) operaciones. La diferencia de velocidad puede ser considerable, especialmente para los conjuntos de datos grandes,dondeNpuedeestarenlosmilesomillones.Enlaprctica,eltiempodeclculo puedeserreducidoporvariosrdenesdemagnitudenestoscasos,ylamejoraesmso menos proporcional a N/log2(N).Esta gran mejora hizo que muchos algoritmos basados en la prctica(FFT)seandegranimportanciaenunaampliavariedaddeaplicaciones,desde procesamientodigitaldeseales,lasolucindeecuacionesdiferencialesparcialesy algoritmos para la multiplicacin rpida de nmeros enteros grandes [5].

LaideabsicadelaDFTesqueapartirdeunasecuenciadeNvaloresX(n),quevandesde X(0)hastaX(N-1).Seobtienensuscomponentesfrecuencialesmediantelasiguiente expresin. ==102) ( ) (NnNknje n x k Gt Ahora si asumimos que N es un nmero par, entonces la sumatoria anterior se descompone en dos sumatorias as. ===+ = =12 /21 2 /02102) ( ) ( ) ( ) (NN nNknjNnNknjNnNknje n x e n x e n x k Gt t t Realizando un corrimiento de lmites en la segunda sumatoria se obtiene. =+==+ + = =1 2 /0) 2 / ( 21 2 /02102) 2 / ( ) ( ) ( ) (NnNN n kjNnNknjNnNknje N n x e n x e n x k Gt t t Desarrollando potencias se tiene. Nknjk k jNknjNN n kje e e ettt t 2 2 ) 2 / ( 2) 1 (+ = = Al reemplazar se tiene entonces. == + + =1 2 /021 2 /02) 1 )( 2 / ( ) ( ) (NnNknjkNnNknje N n x e n x k Gt t 43 Factorizando. ( )=+ + =1 2 /02) 2 / ( ) 1 ( ) ( ) (NnNknjke N n x n x k Gt Puedeobservarseenestemomentoqueahoralacantidaddeoperacionesrequeridasseha reducido aN(N/2)=N2/2. De otra parte, teniendo en cuenta quek) 1 (toma signos positivos o negativos dependiendo de sikes par o impar. Se obtienen las dos expresiones siguientes. ( )=+ + =1 2 /0) 2 / (2) 2 / ( ) ( ) 2 (NnNknje N n x n x k Gt, para 2 / , , 2 , 1 , 0 N k =( )=++ = +1 2 /0) 1 2 ( 2) 2 / ( ) ( ) 1 2 (NnNn kje N n x n x k Gt,para2 / , , 2 , 1 , 0 N k =( )NnjNnNknje e N n x n x k Gt t 21 2 /02 /2) 2 / ( ) ( ) 1 2 (=+ = + Asumiendo que.NjNe Wt 2=y reemplazando se tiene. ==10) ( ) (NnknNW n x k G, para1 , , 2 , 1 , 0 = N k Es la transformada de Fourier de la serie ) (n x , con1 , , 2 , 1 , 0 = N n ( )=+ + =1 2 /02 /) 2 / ( ) ( ) 2 (NnknNW N n x n x k G, para1 2 / , , 2 , 1 , 0 = N k ( ) | |=+ = +1 2 /02 /) 2 / ( ) ( ) 1 2 (NnknNnN W W N n x n x k G, para1 2 / , , 2 , 1 , 0 = N k | | ) ( ) ( ) (10n x TDF W n x k GNnknN = == | | ) 2 / ( ) ( ) 2 ( N n x n x TDF k G + + = ( ) | |nNW N n x n x TDF k G ) 2 / ( ) ( ) 1 2 ( + = + RecordemosqueparapoderaplicarlasanterioresidentidadesesnecesarioqueNseaun nmero par. 44 Resumen IDENTIDADES NECESARIAS PARA LA EVALUACIN DE LA FFT | | ) ( ) ( ) (10n x TDF W n x k GNnknN = ==,1 , , 2 , 1 , 0 = N k | | ) 2 / ( ) ( ) 2 ( N n x n x TDF k G + + =, 1 2 / , , 2 , 1 , 0 = N k ( ) | |nNW N n x n x TDF k G ) 2 / ( ) ( ) 1 2 ( + = +,1 2 / , , 2 , 1 , 0 = N k ConNjNe Wt 2= ,SiendoN un nmero par. SepuedeconcluirquelaTDFdeunasecuenciaX(n)deNdatos,sepuedeexpresarcomola composicindedosTDFdesecuenciasconN/2datos.Laprimeracomponenteser equivalentealaTDFdelasecuenciadelasuma) 2 / ( ) ( N n x n x + + ,con 1 2 / , , 2 , 1 , 0 = N n pero debe tenerse en cuenta que estas sern las TDFde orden par.LasegundacomponenteserequivalentealaTDFdelasecuenciadelasuma ( ) | |nNW N n x n x ) 2 / ( ) ( + , con1 2 / , , 2 , 1 , 0 = N n y en este caso debe tener en cuenta que estas sern las TDF de orden impar. PuedeobservarsequeesteesuntpicoproblemaderecursividaddondelaTDFdeuna secuencia X(n) de N datos, se puede expresar como la composicin de dos TDF de secuencias de longitud N/2.Luego cada una de las TDF de longitud N/2 se expresan como la composicin de dos TDF de longitud N/4y el proceso deber repetirse a cada subsecuencia de tal modo que al final se disponga de undato por cada secuencia, caso en elcual, algoritmo recursivo debe detenerse. Para que el algoritmo recursivo del clculo de la TDF tenga aplicabilidad ser necesario que el nmerodedatosdelasecuenciainicialx(n),seaunapotenciadedosdetalmodoque pN 2 = . El anterior requisito del tamao de pN 2 = , conduce a la pregunta Entonces la FFT deja de serprcticasieltamaodeNnoespotenciadedos?;esteinconvenienteseresuelve simplemente adicionando datos nulos a la secuencia preliminar X(n) de tal modo que se tenga una cantidad de datos equivalentes a la potencia ms cercana de dos. ParaelclculomediantecomputadoradelaFFT,diferentesautoreshanpropuestos diferentesalternativasentrelascualessehapropuestoeldenominadoalgoritmomariposa que se explica enseguida. La tcnica fundamental conocida como algoritmo mariposa recibe su nombre por la aparienciaque presentan las lneas cruzadas que indican como fluye la informacin durante el cmputo de la FFT.Las dos siguientes grficas se han planteado como ejemplo para el cmputo de la FFT para una secuencia de 16 datos. Puede observarse que inicialmente la secuencia de16 datos de la forma X(n) a los cuales se evaluar su FFT se disponen en la primera columna, la segunda columna estar compuesta por dossecuenciascadaunade8datosdetalmodoquelaprimersecuenciaserlasumade trminosdelaforma) 2 / ( ) ( N n x n x + + ylasegundasecuenciadedatoserdelaforma( ) | |nNW N n x n x ) 2 / ( ) ( + con7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 = n y NjNe Wt 2= .Lascolumnas siguientesseobtienenaplicandoelmismoprocesoacadaunadelassubsecuenciasdela 45 columna anterior y este proceso se repite hasta que el algoritmo mariposa tenga la forma ms elemental posible. Debe observarse que durante el proceso de clculode la secuencia de datos inicialmente en orden ascendente que va desdeX(0) hastaX(15), se va desordenando de tal modo que en la primersecuenciadelasegundacolumnasedisponenlostrminosparesquevandesdey(0) hastay(14)mientrasqueenlasegundasecuenciadelasegundacolumnasedisponen trminos desde y(1) hasta y(15). X(0)X(0)+X(8)=y(0)y(0)+y(8)=z(0) X(1)X(1)+X(9)=y(2)y(2)+y(10)=z(4) X(2)X(2)+X(10)=y(4)y(4)+y(12)=z(8) X(3)X(3)+X(11)=y(6)y(6)+y(14)=z(12) X(4)X(4)+X(12)=y(8)[y(0)-y(8)](W8)0=z(2) X(5)X(5)+X(13)=y(10)[y(2)-y(10)](W8)1=z(6) X(6)X(6)+X(14)=y(12)[y(4)-y(12)](W8)2=z(10) X(7)X(7)+X(15)=y(14)[y(6)-y(14)](W8)3=z(14) X(8)[X(0)-X(8)](W16)0=y(1)y(1)+y(9)=z(1) X(9)[X(1)-X(9)](W16)1=y(3)y(3)+y(11)=z(5) X(10)[X(2)-X(10)](W16)2=y(5)y(5)+y(13)=z(9) X(11)[X(3)-X(11)](W16)3=y(7)y(7)+y(15)=z(13) X(12)[X(4)-X(12)](W16)4=y(9)[y(1)-y(9)](W8)0=z(3) X(13)[X(5)-X(13)](W16)5=y(11)[y(3)-y(11)](W8)1=z(7) X(14)[X(6)-X(14)](W16)6=y(13)[y(5)-y(13)](W8)2=z(11) X(15)[X(7)-X(15)](W16)7=y(15)[y(7)-y(15)](W8)3=z(15) z(0)z(0)+z(8)=s(0)s(0)+s(8)=G(0) z(4)z(4)+z(12)=s(8)[s(0)-s(8)](W2)0= G(8) z(8)[z(0)-z(8)](W4)0=s(4)s(4)+s(12)= G(4) z(12)[z(4)-z(12)](W4)1=s(12)[s(4)-s(12)](W2)0= G(12) z(2)z(2)+z(10)=s(2)s(2)+s(10)=G(2) z(6)z(6)+z(14)=s(10)[s(2)-s(10)](W2)0= G(10) z(10)[z(2)-z(10)](W4)0=s(6)s(6)+s(14)=G(6) z(14)[z(6)-z(14)](W4)1=s(14)[s(6)-s(14)](W2)0= G(14) z(1)z(1)+z(9)=s(1)s(1)+s(9)=G(1) z(5)z(5)+z(13)=s(9)[s(1)-s(9)](W2)0= G(9) z(9)[z(1)-z(9)](W4)0=s(5)s(5)+s(13)= G(5) z(13)[z(5)-z(13)](W4)1=s(13)[s(5)-s(13)](W2)0= G(13) z(3)z(3)+z(11)=s(3)s(3)+s(11)= G(3) z(7)z(7)+z(15)=s(11)[s(3)-s(11)](W2)0= G(11) z(11)[z(3)-z(11)](W4)0=s(7)s(7)+s(15)= G(7) z(15)[z(7)-z(15)](W4)1=s(15)[s(7)-s(15)](W2)0= G(15) Podemosobservarquelaltimacolumnaestarcompuestaporlascomponentesdela transformada de Fourier las cuales estn en un aparente desorden. Sehaencontradoqueelaparentedesordendelosdatosdelaltimacolumnaenrealidad involucra un orden el cual se expresa en los siguientes trminos. Para encontrar el orden de la secuencia de datos de la ltima columna, se procede a listar los nmeros consecutivos partiendodesde 0,1,2, hasta N-1, de tal modo que N=2p. Paso seguido estosnmerosseexpresanennotacinbinariadatalmodoquecadabinarioserepresenta solo mediante (p) bits.Paso seguido los bits de los nmeros en notacin binaria se invierten y setraducenanotacindecimal;elnmerodecimalobtenidocorresponderalorden adecuadodecadaelementodentrodelasecuenciadedatos.Conobjetodeilustrarel procedimiento anterior se presenta la siguiente tabla. 46 Numero Decimal Binario Equivalente BinarioInversoDecimalEquivalente 0000000000 1000110008 2001001004 30011110012 4010000102 50101101010 6011001106 70111111014 8100000011 9100110019 10101001015 111011110113 12110000113 131101101111 14111001117 151111111115 Puede observarse que en efecto la secuencia obtenida en esta tabla coincide con la secuencia obtenidaenelclculodelaFFT.Surgeentonceslapregunta;cmoexplicar matemticamente porque este mtodo funciona?. Paradarunarespuestaaestapreguntaprocedemosahacerunseguimientoalprocesoen notacinbinaria.Disponemosencolumnalasecuenciadebinariosdesdeel0000hastael 1111yprocedemosaregistrarenlasiguientecolumnaunaprimerasecuenciadenmeros pares y luego una segunda secuencia de los nmeros impares. Numero Decimal Binario Equivalente Binario Reordenado 000000000 100010010 200100100 300110110 401001000 501011010 601101100 701111110 810000001 910010011 1010100101 1110110111 1211001001 1311011011 1411101101 1511111111 Sorprendentementepuedeobservarsequeelprocesodereordenamientoesequivalentea moverelprimerbitdecadanmerobinarioalaposicinfinal.Podemosobservar adicionalmente que la primera mitad de la secuencia obtenida termina en cero mientras que lasegundamitaddelasecuenciaterminaenuno.Teniendoencuentaquelassiguientes operacionesinvolucranintercambiodenmerosbinariosentrecadamediasecuencia; podemos concluir que dichos intercambios no afectarn la ubicacin del ltimo digito binario. Ahora efectuamos el reordenamiento de las siguientes secuencias. 47 Binario Reordenado Binarios Reordenados 00000000 00100100 01001000 01101100 10000010 10100110 11001010 11101110 00010001 00110101 01011001 01111101 10010011 10110111 11011011 11111111 Enestaetapapuedeobservarsecomoelintercambiodenmerosbinariosesequivalentea remover elprimerdigito binario a lapenltimaposicin. En consecuencia delas anteriores observacionesesfcildeducirqueelprocesocompletodeintercambiodenmerosbinarios mediante esta tcnica conduce finalmente a la inversin de bits. 13ALGORITMO PARA EL CLCULO DE LA FFT Como resultado de la teora estudiada sobre la FFT en este documento, se ha desarrollado un programa recursivo para la evaluacin de la FFT cuya estructura de programacin se muestra enseguida. El programa denominado (flt), se encarga de invocar dos funciones: la funcin (transrf) que se encargadeevaluarlaFFTyluegoinvocaalafuncin(reordenar)queseencargade reorganizar la secuencia G(k) de las componentes de la FFT. Lafuncin(transrf),evalalaFFTenformarecursivainvocndoseasmismapero adicionalmente invoca a las funciones: (pares) y (nones). La funcin (pares) se encarga de evaluarla primer subsecuenciadela formaX(n)+X(n+N/2), mientrasquelafuncin(nones)seencargadeevaluarlasegundasubsecuenciadelaforma [X(n)-X(n+N/2)](WN)n. Deotrapartelafuncin(reordenar)seencargadeinvocaralafuncin(dec2bin)que transforma el decimal en binario y luego invoca a la funcin (invec) que se encarga de invertir paresnones reordenartransrf flt invec 48 losbitsdelbinariodeentradacorrespondienteyfinalmenteinvocaalafuncin(bin2dec) para evaluar el decimal de salida. La siguientes son las lneas del programa para ejecutar en Matlab. function y=flt(x) y=reordenar(transrf(x)); function y=transrf(x) s1=pares(x); s2=nones(x); if size(s1,1)*size(s1,2)==1 y=[s1 s2]; else y=[transrf(pares(x)) transrf(nones(x))]; end

function y=pares(x) N=size(x,1)*size(x,2); for k=1:N/2 y(k)=x(k)+x(k+N/2); end function y=nones(x) N=size(x,1)*size(x,2); w=exp(-j*2*pi/N); for k=1:N/2 y(k)=(x(k)-x(k+N/2))*w^(k-1); end function y=reordenar(x) N=size(x,1)*size(x,2); M=log2(N); y=x; for k=0:N-1 y(bin2dec(invec(dec2bin(k,M)))+1)=x(k+1); end function y=invec(x) N=size(x,1)*size(x,2); y=x; for k=1:N y(k)=x(N-k+1); end Paramedirlaeficienciadelalgoritmo,sehaempleadounacomputadoraporttilTOSHIBA CORE3,quedisponedeunprocesadorconvelocidaddecmputode3000millonesde operaciones por segundo y un sistema operativo Windows 7. 49 Se propuso en Matlab la siguiente lnea de rdenes para diferentes valores de (p). x=rand(1,2^p);tic;flt(x);toc p 2pTiempo(seg) 82560.057 95120.094 1010240.211 1120480.535 1240961.542 1381923.744 14163848.602 153276819.496 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10402468101214161820N vs T(s) Puedeobservarsecomosehareducidoconsiderablementeeltiempodecmputorequerido para el clculo de la FFT con respecto al algoritmo que calcula la FFT en forma directa. Nota: Debeaclararsequeeltiemporegistradoenlaanteriortablacorrespondealtiempode cmputodelosalgoritmosdesarrolladosenestedocumentoyejecutadosenMatlabsin embargo si ejecutamos estos mismos clculo mediante el algoritmo FFT que dispone Matlab, el tiempo empleado es considerablemente ms bajo como se muestra enseguida. 50 p 2pTiempo(seg) Algoritmo (FLT) Tiempo (seg) Algoritmo (FFT) Matlab 82560.0630 95120.1310 1010240.2290 1120480.5880 1240961.6380.001 1381923.7810.001 14163848.6390.001 153276819.460.003 Puedeobservarseladiferenciaconsiderabledetiempoempleadoporambosalgoritmosyla pregunta es (Como logra el FFT de Matlab la reduccin de tiempo de cmputo de esa manera tanconsiderable?).Unaposiblerespuestaseguramentenosconduzcaaldiseodenuestro propio algoritmo en lenguaje C para ejecutar desde Matlab.Esta hiptesis se deja como tema de investigacin para posteriores documentos. 51 14ALGORITMO PARA EL CLCULO DE LA FFT INVERSA Para el clculo de la IFFT, partimos de su definicin. ==102) (1) (NkNknje k GNn xt Para ello se han diseado las siguientes lneas para ejecutar en Matlab. function y=iflt(x) N=size(x,1)*size(x,2); y=real(reordenar(itransrf(x))/N); function y=itransrf(x) s1=ipares(x); s2=inones(x); if size(s1,1)*size(s1,2)==1 y=[s1 s2]; else y=[itransrf(ipares(x)) itransrf(inones(x))]; end function y=ipares(x) N=size(x,1)*size(x,2); for k=1:N/2 y(k)=x(k)+x(k+N/2); end function y=inones(x) N=size(x,1)*size(x,2); w=exp(j*2*pi/N); for k=1:N/2 y(k)=(x(k)-x(k+N/2))*w^(k-1); end function y=reordenar(x) N=size(x,1)*size(x,2); M=log2(N); y=x; for k=0:N-1 y(bin2dec(invec(dec2bin(k,M)))+1)=x(k+1); end function y=invec(x) N=size(x,1)*size(x,2); y=x; for k=1:N y(k)=x(N-k+1); end 52 15INTERPRETACIN DE LA FFT Para hacer una adecuada interpretacin de la FFT, es importante partir de su definicin. | | ) ( ) ( ) (10n x TDF W n x k GNnknN = ==, con NjNe Wt 2=Recordemos que) (k G hace referencia a ) (0e k G Donde 0e e k =es un mltiplo de la frecuencia fundamental en radianes por segundo. Tte20 =es la frecuencia fundamental en radianes por segundo. t N T A = es el periodo. N es el nmero de datos de la secuencia G(k). t A es el incremento de tiempo de la secuencia x(n). Reemplazando se tiene. |.|

\|A=t NkG k Gt 2) ( De otra parte es importante aclarar que la TDF corresponde al contenido de frecuencias de laSecuenciax(n)peroporsuspropiedadesdesimetradebeconsiderarseeldobledela amplitud como se indica al final del captulo siete de este documento. SeproponeelsiguienteejemplocuyaslneasdeprogramaparaejecutarenMatlabsonlas siguientes. Ejemplo 1. Se propone una funcin de la forma) 5000 sin( 3 ) 1300 ( 2 ) ( t t sen t y + = , discretizada en los siguientes trminos:para una velocidadde muestreo de 2000 muestras porsegundo y un total de 210 muestras.Determine su espectro de frecuencias. N=2^10; n=0:1:N-1; mps=2000; Dt=1/mps; t=n*Dt; y=2*sin(1300*t)+3*sin(5000*t); z=fft(y); k=n; w=k*2*pi/(N*Dt); plot(w,2*abs(z)); title('Espectro de frecuencias'); xlabel('Frecuencia (r/s)'); ylabel('Amplitud'); 53 La respuesta grfica del problema es la siguiente. 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 1400005001000150020002500Espectro de frecuenciasFrecucencia (r/s)Amplitud Puede observarse la simetra de la respuesta del espectro de frecuencias. Ahora solo seleccionamos la primera mitad de la grfica anterior haciendo acercamiento. 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 60000500100015002000Espectro de frecuenciasFrecucencia (r/s)Amplitud 54 Podemosobservarenlagrficaqueenefectolasfrecuenciaspredominantessonde1300 (r/seg)y5000 (r/seg). Se propone ahora un ejemplo donde la cantidad de datos no sea una potencia de dos. 55 BIBLIOGRAFA [1].Historia del Anlisis de Fourier. http://proton.ucting.udg.mx/temas/matemati/guevara/Historia.htm. [2].Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer. Tratamiento de Seales en tiempo discreto.Editorial Prentice Hall, segunda edicin. [3].Roberto Rodrguez del Ro y Enrique Zuazua. Series de Fourier y Fenmeno de Gibbs. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/cubo.pdf