FUNCIONES EXPONENCIALES

Sección 4.2

Expresiones exponenciales

Anteriormente habíamos considerado funciones de potencia que tienen la variable en la base y una potencia constante.

(base variable) (potencia constante) ,

tales como x2 , 4x3 , 8x2/3 , etc.

Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma

(base constante) (potencia variable) ,

tales como 2x , 4x , 1

2

𝑥, etc.

Propiedades de exponentes

Propiedades de exponentes

Propiedades de exponentes

Propiedades de exponentes

Práctica: Simplificar cada una de las

siguientes expresiones

1

2

3

1

2

−4

23

3−2

3(24)

5(2−2)

5 + 2(4−1)

13

23

2

1

4

2 × 2 × 2

1

3

2

3(16)

5(1

2

2)

5 + 2(1

4

1)

1

8

24

13

8

12

32

48

5(1

4)

5 + 2(1

4)

16

1= 16

1

9

5

4

5 + 2

4= 5.5

Funciones Exponenciales

Una función f(x) = ax, donde x es un número real, a > 0

y a 1, se llama una función exponencial con base a.

La base necesita ser positiva para evitar los números

complejos que ocurrirían al tomar raíces pares de un

número negativo.

Los siguientes son ejemplos de funciones

exponenciales.

f (x) 2x f (x) 1

2

x

f (x) (3.57)x

Trazar la gráfica de una función exponencial

Para trazar la gráfica de una función exponential :

1. Identificar el dominio, rango, y asíntota horizontal

de la función.

2. Determinar is la gráfica es creciente o decreciente.

3. Calcular algunos valores de la función y organizar

los pares ordenados en una tabla.

4. Localizar los puntos representados por los pares

ordenados en un plano cartesiano y conectarlos

con una curva suave que se acerca a la asíntota

horizontal y que crece o decrece rápidamente.

Ejemplo

Trazar la gráfica de la función exponencial f (x) = 2x.

Notamos:

• f(x) es creciente en

todo su dominio.

• Dominio: Todos los

reales

• Campo de valores:

(0,∞) ó y > 0

• y = 0 es una asíntota

horizontal

Trazar la gráfica de la función exponencial f (x) = 2x.

Ejemplo

Trazar la gráfica de

Ejemplo(cont.)

Trazar la gráfica de

Notamos:

• f(x) es decreciente

en todo su dominio.

• Dominio: Todos los

reales

• Campo de valores:

(0,∞) ó y > 0

• y = 0 es una asíntota

horizontal

Gráficas de funciones exponenciales (básicas)

Observar las siguientes gráficas de algunas funciones

exponenciales y trata de identificar patrones .

Nota que si a>1, la gráfica es creciente, mientras que si 0<a<1

(una fracción positiva), la gráfica es decreciente. Además,

nota que todas estás gráficas pasan por el punto (0,1).

Gráficas de Funciones Exponenciales

¿Se mantiene el patrón que notaste?

Aquí se muestran tablas y gráficas

de f(x) = 3x y g(x) = 3

2

𝑥 .

Definición

La función exponencial, f(x) = ax, está definida

cuando a es un número positivo diferente de 1 y

x es cualquier número real :

f(x) es creciente

dominio: R

rango: y>0

f(x) es decreciente

dominio: R

rango: y>0

Otras gráficas (cont.)

Trazar la gráfica de f(x) = 3x-2 y comparar con f(x)= 3x

x 𝑦 = 3𝑥

-3 1

27

-2 19

-1 13

0 1

1 3

2 9

3 27

x 𝑦 = 3𝑥−2

-1 1

27

0 19

1 13

2 1

3 3

4 9

5 27

Observemos tablas de

valores de 3x y 3 x-2:

Otras gráficas (cont.)

Trazar la gráfica de f(x) = 3x-2

Notas:

• La gráfica de g(x) es

idéntica a la gráfica de

f(x) pero se ha trasladada

hacia el lado derecho.

• El dominio de ambas

funciones es R

• El rango de ambas

funciones es y > 0.

• y = 0 es una asíntota

horizontal

Gráficas (cont.)

Trazar la gráfica de q(x) = 3x - 2

x 𝑦 = 3𝑥

-3 1

27

-2 19

-1 13

0 1

1 3

2 9

3 27

x 𝑦 = 3𝑥 − 2

-3 1

27−2

-2 19−2

-1 13−2

0 -1

1 1

2 7

3 25

Observemos tablas de

valores de 3x y 3 x-2:

Gráficas (cont.)

Trazar la gráfica de q(x) = 3x - 2

Notas:

• Las gráficas de q(x) y f(x)

tienen la misma forma pero

q(x) se ha trasladada hacia

abajo.

• El dominio de ambas

funciones es R

• El rango de q(x) es y > -2.

• y = -2 es una asíntota

horizontal

Ejemplo

Trazar la gráfica de 𝑓 𝑥 = 1

2

𝑥

+ 5

1

2

−3

+ 5

1

2

−2

+ 5

1

2

−1

+ 5

1

2

0

+ 5

1

2

1

+ 5

1

2

2

+ 5

= 13

= 9

= 7

= 6

= 5.5

= 5.25