dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que ... · asíntotas verticales y...

Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden.

) ( ) __________x

a L í m f x→− ∞

= 2

) ( ) ______x

b L í m f x→−

=− 2

) ( ) ______x

c L í m f x→−

=+

2) ( ) ________

xd L í m f x

→−=

1) ( ) _______

xe L í m f x

→

=−

1

) ( ) _______x

f L í m f x→

=+

1) ( ) _______

xg L í m f x

→=

4) ( ) ________

xh L í m f x

→

=−

4

) ( ) _________x

i L í m f x→

=+

) ( ) _________x

j L í m f x→+ ∞

=

Dada la gráfica de la función f, encuentre:

a) 4

( )xL í m f x

−→ −=

b)

4( )

xL í m f x

+→ −=

c) ( )

xL í m f x→− ∞

=

d)

2( )

xL í m f x

−→ −=

e)

2( )

xL í m f x

+→ −=

f)

2( )

xL í m f x→−

=

g)

2( )

xL í m f x

−→=

h)

2( )

xL í m f x

+→=

i)

2( )

xL í m f x→

=

j) ( )

xL í m f x→+ ∞

=


1) ( )

xa L í m f x

+→ −

= 1

) ( )x

b L í m f x→−

=−

1

) ( )x

c L í m f x→−

=

3) ( )

xd L í m f x

+→

= 3

) ( )x

e L í m f x→

=−

3

) ( )x

f L í m f x→

=

) ( )x

g L í m f x→+ ∞

= 2

) ( )x

h L í m f x+→

=

) :i f tiene discontinuidades removibles en ) :j f tiene discontinuidades esenciales en


5) ( )

xa L í m f x

+→ −

= 5

) ( )x

b L í m f x→−

=−

5

) ( )x

c L í m f x→−

=

3) ( )

xd L í m f x

+→

= 2

) ( )x

e L í m f x→

=−

) ( )x

f L í m f x→− ∞

=

) ( )x

g L í m f x→+ ∞

= 1

) ( )x

h L í m f x+→

= 1

) ( )x

i L í m f x→

=−

1) ( )

xj L í m f x

→=


0) ( )

xa L í m f x

+→

= 0

) ( )x

b L í m f x→

=−

0

) ( )x

c L í m f x→

=

2) ( )

xd L í m f x

+→ −

= 2

) ( )x

e L í m f x→−

=−

2

) ( )x

f L í m f x→−

=

) ( )x

g L í m f x→− ∞

= 3

) ( )x

h L í m f x−→

=


Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. Sí el límite no existe, especifique o utilice el símbolo ∞ o – ∞ donde sea apropiado.

1) ( )

xa L í m f x

+→ −

= 1

) ( )x

b L í m f x→−

=−

1

) ( )x

c L í m f x→−

=

1) ( )

xd L í m f x

+→

= 1

) ( )x

e L í m f x→

=−

1

) ( )x

f L í m f x→

=

) ( )x


= ) ( )x

h L í m f x→+ ∞

=


Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. Sí el límite no existe, especifique o utilice el símbolo ∞ o – ∞ donde sea apropiado.

2) ( )

xa L í m f x

+→

= 2

) ( )x

b L í m f x→

=−

2

) ( )x

c L í m f x→

=

0) ( )

xd L í m f x

+→

= 0

) ( )x

e L í m f x→

=−

0

) ( )x

f L í m f x→

=

) ( )x


= ) ( )x

h L í m f x→+ ∞

=


INCREMENTOS Y TASAS

(Costos, ingresos y utilidad) Un gerente de producción estima que el costo semanal para producir x toneladas de leche en polvo está dada por C(x) = 500x – x2 y el ingreso por la venta de x toneladas está dada por R(x) = 800x – 0.01x2. Se le ha encargado al gerente de producción ampliar la producción de 100 a 120 toneladas semanales. Calcule:

a) El incremento en el costo.

. 5,600.00L

b) El Incremento en el ingreso.

.15,956.00L

c) El Incremento en la Utilidad.

.10,356.00L

d) La tasa de cambio promedio del ingreso.

797.80 /Lempiras tonelada

(Costos, ingresos y utilidad) Un fabricante de alimento para perros, tiene un costo semanal para producir x toneladas de alimento dado por C(x) = 17,350 + 25x y un ingreso por la venta de x toneladas de R(x) = 75x – 0.01x2. La compañía tiene como meta para el próximo mes hacer un incremento en la producción de 1,000 a 2,250 toneladas semanales. Calcule:

a. El incremento en el costo.

. 31,250L

b. El Incremento en el ingreso.

. 53,125L c. El Incremento en la Utilidad.

. 21,875L

d. La tasa de cambio promedio en la utilidad.

17.50 /Lempiras tonelada

(Funciones de Costo, ingreso y utilidades) Para un monopolista, la función de costo (en lempiras) es

30 004 20 5000( ) .C x x x= + + y la función de demanda es p = 450 – 4x (p en lempiras). Si el nivel de producción se incrementa de 50 unidades a 100 unidades, calcule:


4 500 Lempiras.,


2450 4 450 4( ) ( )R x p x x x x x= ⋅ = − = − 7 500 Lempiras.,−

c. El Incremento en la Utilidad.

12 000 Lempiras.,−

d. La tasa de cambio promedio del costo.

90 / .Lempiras unidad

22

2 2

2x x

xx

Lím→

− +

−2

31

2

1x

xx

Lím→

−− +−

(Funciones de Costo, ingreso y utilidades) Una Compañía según estimaciones realizadas encuentra que el costo mensual para producir x libras de carne de pollo está dada por la ecuación: C(x) = 30x + 19,000 y el ingreso obtenido por la venta de x libras está dada por R(x) = 90x – 0.01x2. La Compañía quiere incrementar la producción de 1,000 libras a 1,500 libras mensuales. Calcule:


15 000.00. ,L


32 500. ,L

c. El Incremento en la Utilidad.

17 500. ,L

d. La tasa de cambio promedio del costo.

30 /Lempiras libra

LIMITES

1. Evaluar: 1

3 2

2 2.

xL í mx x

+ −

→ −,R=1

8

2. 0

2

9 3

xL í mx x→ + −

, R=12

3. 10 3

2 4 51x

xx xL í m

+

→

−− −−

, R=36

1−

4. 2 2 1

3 82x

x xxL í m

→

+ −+−−

, R= + ∞

5. 6 4 32 7 33 23 8 12x

x x xx x xL í m

→ ∞

− + − +− +−

, R= + ∞

6. , R= - 1

8

7.

R=+∞ ,

8. , R=+∞

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

1) Dada la función2

1( ) .xf x

x=

−

a. Utilice límites infinitos para encontrar las asíntotas verticales.

R= 1 .x es una asíntota vertical=∴

b. Utilice límites al infinito para encontrar las asíntotas horizontales. R= 𝑦𝑦 = 2 es una asíntota horizontal

c. Haga un hacer un bosquejo de la gráfica de la función.

Dada la función

a) Utilice límites infinitos para encontrar las asíntotas verticales. R= 1 .x es una asíntota vertical=∴ b) Utilice límites al infinito para encontrar las asíntotas horizontales. R= 𝑦𝑦 = 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢 ℎ𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑢𝑢𝑜𝑜 c) Haga un hacer un bosquejo de la gráfica de la función.

2 7

2 42 3 1

3 2 15xx x

x x xLím→ ∞

− +− − + −

31

2 1( ) .f x

x−=

−

2) Dada la función1

2 2( ) .xf x

x+

=−

Utilice límites infinitos y límites al infinito para encontrar las

asíntotas verticales y horizontales de la función ( ),f x para luego hacer un bosquejo de su gráfica.

R/ 1x es una asíntota vertical=∴ , 𝑦𝑦 = 12

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢 ℎ𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑢𝑢𝑜𝑜

3) Dada la función2 3

1( ) xf x

x+

=−

. Encuentre, si existen:

a. Las asíntotas horizontales. R/ 𝑦𝑦 = 2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢 ℎ𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑢𝑢𝑜𝑜

b. Las asíntotas verticales. R/ Por lo tanto, 1x = es una asíntota vertical

a) Haga un bosquejo de la gráfica de f.

5) Utilizando el cálculo de límites infinitos y límites al infinito, encuentre las asíntotas verticales y

horizontales de la función 2 6

2 2( ) .

( ) ( )x xf x

x x+ −

=+ −

R/ 2x = − es una asíntota vertical

R/ 1y = es una asíntota vertical

CONTINUIDAD

1) Dada la función f definida por: 2

12

11

1

1

,( ) .

,

x si xxf x

si x

+ ≠ − −= = −

Determine la continuidad de f

en 1.x = − Justifique su respuesta. R/ la función f es discontinua en 1.x = −

2) Dada la función f definida por:

90 2

12

,( ) .

4 5,

si xxf xx si x

≤ ≤ += − >

Determine la continuidad de f

en 2.x = Justifique su respuesta. R/ la función es continua en X=2

3) Dada la función definida por:

Determine la continuidad en x=1

R/ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 1

4) Dada la función definida por: 23 1 00 0

2 5 0

,( ) ,

,

x si xf x si x

x si x

− <

= = + >

Determine la continuidad de f en 0.x = R/ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 0 DEFINICION DE DERIVADA

1) Dada la función 22 1( )f x x−= + .

a) Encuentre '( )f x utilizando la definición de derivada.

R/ 4'( )f x x= −

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en R/ 4 3y x= − +

21

12 1

1

,( )

5 4 ,

si xf x x

x si x

<= − − ≥

1.x =

2) Dada la función22 5( )f x x= + .

a) Encuentre '( )f x utilizando la definición de derivada. R/ 4'( )f x x=

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en 1.x =

R/ 4 3y x= +

3) Dada la función 2 2( )f x x x= − . Encuentre '( )f x utilizando la definición de derivada. R/ 2 2'( )f x x= −

4) Dada la función 22 3( )f x x x= − . Encuentre '( )f x utilizando la definición de derivada.

R/ 4 3'( )f x x= −

5) Sea la función: 2 2( )f x x= −

a) Utilice la definición de derivada para hallar '( ).f x

R/ 12 2

'( )f xx

−=

−

b) Determine la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la función ( )f x en el punto donde x = – 1.

R/ 1 32 2

y x= − +

REGLAS DE DIFERENCIACION

1) Encuentre la derivada de la función 3 35 23 2

210 5( ) .f x x x

x= − − + Simplifique la

respuesta y déjela sin exponentes negativos.

R/

41 / 34

6 150'( )f x x

xx= + −

2) Encuentre la derivada de la función 2 3 2

3 56 3( ) .f x x

x x= − + − Simplifique la

respuesta y déjela sin exponentes negativos.

R/ 5 / 331 23 6 10

3'( ) / x

f xxx

= + −

3) Halle la derivada de la función: 3310 216 6 2( ) 3 5f x x x x x−= − + − + . Deje su respuesta en forma simplificada y sin exponentes negativos. R/

94 1/3 1/ 2

9 4 1160'( )f x x

x x x= + + −

4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones. Utilice la regla indicada y deje su respuesta en forma simplificada.

a)

R/ 6 5 3 270 48 112 27 24 6'( )f x x x x x x= − − + + −

b)

2

34 3

2 1( ) xxf x

x+ −

=+

(cociente)

R/ 4 3 2

3 28 4 18 8 1

2 1'( )

( )x x x xf x

x− − + + +

=+

c)

R/

d) 2

23 1

2 4( ) x xg x

x x− −

=+ −

(cociente)

R/( )

2

2

7 22 62

2'( )

4

x xg xx x

− +=

+ −

3 34 7 4 2 5( ) ( ) ( )f x x x x x= + − − + (producto)

5 3 224 4 48 28 43'( )f x x x x x= − + − +

( )( )3 2 45 4 1 2 6 3( )f x x x x x= − + − − (producto)

REGLA DE LA CADENA

1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena y las reglas de derivación para productos, para cocientes y para funciones exponenciales y logarítmicas.

a)

R/

b)

R/

c)

R/

d)

R/

e)

R/

f)

R/

3

220 2 1'( )

3 1(3 1)xf xxx

+= − −−

42 1( )3 1

xf xx

+= −

2 45 3

( ) 5 2 3 2f x x x

= + −

2 4 4 24 2

'( ) 2 5 2 3 2 165 36 50f x x x x x x

= + − + −

4

322 1

16( )( )( )

xf xx

−=

−3 2

422 2 1 2 3 64

16( ) ( )'( )

( )x x xf x

x− − + −

=−

2

312 3

1'( )xx

f x = − +

43

1( )x

f x = +

7 36 1 2 3( ) ( )y x x= + −

6 2' 120(6 1) (2 3) ( 1)y x x x= + − −

( )

22 3

2 22

2

3 2

1 38'3 8

x xyx x

+ = − +

23

23

2

8xyx

−=

+

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MULTIPLE

Seleccione el inciso que corresponde a la respuesta correcta.

1) Si 3( )xL í m f x

a +→

= y 3,( )xL í m f x

a −→

= − entonces

a) ( )x

L í m f xa→

no existe.

b) f es discontinua en .x a=

c) a) y b) son correctas.

d) Ninguna de las anteriores es correcta.

2) Si f es continua en 1x = y además, 1

0,( )xL í m f x

+→

=1

0,( )xL í m f x

−→

= entonces

a) 1 0.( )f =

b) 1

0.( )x

L í m f x→

=



3) Si 3

( )xL í m f x

+→

= + ∞ y 3

( ) ,xL í m f x

−→

= − ∞ entonces

a) 3

( )x

L í m f x→

= ∞ (no existe).

b) f es discontinua en 3.x =

c) f tiene una asíntota vertical en la recta 3.x =

d) Todas las anteriores son correctas.

4) Si 2y x b= + es la ecuación de la recta tangente a la curva de la función ( )f x en el punto (2, – 1), entonces

a) 2 2'( )f = y 5.b = −

b) 2 5'( )f = y 2.b =



5) Si 3,( )xL í m f x→ ∞

=+

entonces

a) 3.( )xL í m f x→ ∞

= −−

b) La recta 3y = es una asíntota horizontal de ( ).f x



6) Si 2

3,( )xL í m f x

+→

= ( )g x es positivo en todo intervalo que contenga a 2 y 2

0,( )xL í m g x

+→

=

entonces

a) 2

( ) .( )x

f xL í mg x+→

= + ∞

b) La recta 2x = es una asíntota vertical.



7) Si 2 2

( ) , ( )x x

L í m f x L í m h x C→ →

= + ∞ = y 2

( ) ( ) ,x

L í m h x f x→

= − ∞ entonces

a) 0.C <

b) 0.C >



8) Si 0,r

xL í m x→ ∞

=+

entonces

a) 0.r >

b) 0.r <



9) La función de demanda para un producto está dada por 60 .1

px

=−

Si la producción se

incrementa de 9 a 49 unidades y el ingreso se define por R(x) = x p, entonces

a) El incremento en la demanda es de 20 lempiras y la tasa de cambio promedio en el ingreso es de 5.50 lempiras por unidad.

b) El incremento en la demanda es de – 20 lempiras y la tasa de cambio promedio en el ingreso es de 5.50 lempiras por unidad.

c) El incremento en la demanda es de – 20 lempiras y la tasa de cambio promedio en el ingreso es de – 5.50 lempiras por unidad.


10) Si 1

2 3,

1x

xM L í m

x→

− +=

−entonces

a) 14

.M =

b) 4.M =

c) 14

.M = −


11) Sea f una función tal que 2( )f x x= para 1x > − y 2 1( )f x x= + para 1,x < − entonces

a) 1

( ) 1xL í m f x

−→

= −−

b) 1

( ) 1xL í m f x

+→

=−

c) 1

( ) no existexL í m f x→−


12) La ecuación de la recta tangente a la curva de la función 2( )f x x= en el punto donde 4x = es:

a) 0.5 2y x= − +

b) 0.5 2y x= − −

c) 0.5 2y x= − .


13) Si 2 5( ) ( )x x

yL í m f x L í m f x→ ∞ → ∞

= − =+ −

entonces

a) 5y = es una asíntota horizontal.

a) 2y = − es una asíntota horizontal.



14) Si 2,( )x cL í m g x

−→

= 0( )h x < en todo intervalo que contenga a c y 0,( )x cL í m h x

−→

=

entonces

a) ( ) .( )x c

g xL í mh x−→

= − ∞

b) La recta x c= es una asíntota vertical.



15) La función de demanda para un producto está dada por 540

1.p

x=

+ Si la cantidad se

incrementa de 16 a 25 unidades , entonces La tasa de cambio promedio en el precio es de

a) 18− lempiras por unidad.

b) 2 lempiras por unidad. c) 2− lempiras por unidad.


16) Si 2

2

2

1( ) ,

xf x

x=

− entonces

a) 1

( )xL í m f x→

= + ∞−−

b) 1

( )xL í m f x→

= − ∞+−

c) 1 es una asíntota verticalx = −


17) Si 5

2

2 5 3

3 3( ) ,

x xf x

x x

− +=

− entonces:

a) ( ) ( )x xL í m f x y L í m f x→ →

= − ∞ = + ∞+∞ −∞

b) ( ) ( )x xL í m f x y L í m f x→ →

= + ∞ = − ∞+∞ −∞

.

c) 1( ) ( )x xL í m f x L í m f x→ →

= = −+∞ −∞

d) 0.( ) ( )x xL í m f x L í m f x→ →

= =+∞ −∞

18) Si 24

4,

16x

xL L í m

x→

−=

−entonces

a) .8L = −

b) 18

.L = −

c) 18

.L =


19) Suponga que 5( )x aL í m f x

−→

= − y que 0( )g x < en todo intervalo que contenga a a y

suponga demás que 0,( )x aL í m g x

−→

= entonces

a) ( ) .( )x a

f xL í mg x→

= + ∞−

b) ( ) .( )x a

f xL í mg x→

= − ∞−

c) La recta y = a es una asíntota horizontal.


20) La función de ingreso para un producto de cierta empresa está dada por 270

2( ) .

xR x

x=

+ Si la

cantidad se incrementa de 9 a 16 unidades, entonces La tasa de cambio promedio en el ingreso es de

a) 234 lempiras por unidad.

b) 234− lempiras por unidad.

c) 33.43 lempiras por unidad. d) Ninguna de las anteriores es correcta.

21) Si 2

2

4( ) ,

xf x

x

+=

− entonces

a) 2

( )xL í m f x→

= + ∞−−

b) 2

( )xL í m f x→

= − ∞+−

c) 2 es una asíntota verticalx = −


22) Si 3 5

2 5

4 3 2

3 5 6( ) ,

x xf x

x x x

− +=

+ − entonces:

a) ( )xL í m f x→

= − ∞−∞

b) ( )xL í m f x→

= + ∞−∞

.

c) 0( ) .xL í m f x→

=−∞

d) 13

( )xL í m f x→

= −−∞

23) Si 2

23

9,

6x

xP L í m

x x→

−=

− + −entonces

a) 65

.P =

b) 65

.P = −

c) El límite no existe. d) Ninguna de las anteriores es correcta.

24) Suponga que 2( )x bL í m g x→

= −+

y que 0( )f x > en todo intervalo que contenga a b y

suponga demás que 0,( )x bL í m f x→

=+

entonces

a) ( ) .( )x b

g xL í mf x→

= − ∞+

b) ( ) .( )x b

g xL í mf x→

= + ∞+

c) La recta y = b es una asíntota horizontal.


25) Si 5 3 22 6 3 9( ) ,f x x x x= − + − entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x = 1 es:

a) 10. b) 2. C) 2− .


dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que ... · asíntotas verticales y...

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