representación de funcionesº bach... · 2011-11-25 · 2 ejercicio nº 9.- haz la gráfica de la...

1

Representación de funciones Ejercicio nº 1.- Representa gráficamente la siguiente función:

y x3 3x2 2 Ejercicio nº 2.- Estudia y representa la función:

y x4 2x2 1 Ejercicio nº 3.- Estudia la siguiente ecuación y dibuja su gráfica:

Ejercicio nº 4.- Estudia y representa la siguiente función:

Ejercicio nº 5.- Representa la función:

Ejercicio nº 6.- Estudia y representa la función:

Ejercicio nº 7.- Representa gráficamente la función:

Ejercicio nº 8.- Representa la siguiente función:

xxx

y 323

23

642

24

xx

xf

xxxxf 43

2 23

2

2

4

1

x

xxf

2

22

3

x

xy

2

12

x

xxy

2

Ejercicio nº 9.- Haz la gráfica de la siguiente función:

Ejercicio nº 10.- Dibuja la gráfica de la función:

Ejercicio nº 11.- a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) 2 2sen x; x [0, 2]

b) Represéntala gráficamente: Ejercicio nº 12.- Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) 1 sen2 x; x [0, 2] Dibuja su gráfica, utilizando la información obtenida. Ejercicio nº 13.- Dada la función:

f (x) cos x sen x , x [0, 2] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica. Ejercicio nº 14.- Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:

y 2 sen2 x, x [0, 2] Utilizando la información obtenida, representa la función. Ejercicio nº 15.- Dada la función:

y 1 2 cos x , x [0, 2] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente.

1

222

x

xxxf

22

4

)(

x

xxf

3

Ejercicio nº 16- Representa gráficamente la función:

y e1x2

Ejercicio nº 17- Dibuja la gráfica de la función:

f (x) xex2 Ejercicio nº 18- Estudia y representa:

f (x) x2ex Ejercicio nº 19- Representa:


y (x 1)ex

Ejercicio nº 21- Representa la función:

y x2lnx Ejercicio nº 22- Representa gráficamente:

Ejercicio nº 23- Estudia y representa la siguiente función:

y ln(x2 9) Ejercicio nº 24- Estudia y representa la función:

Ejercicio nº 25- Estudia y representa:

1

1

2

xxf

4

1

2

xxf

2x

1xlnxf

1

x

exf

x

4

Solución Representación de funciones Ejercicio nº 1.- Representa gráficamente la siguiente función:

y x3 3x2 2 Solución:

Dominio= R

Simetrías:

f (x) x3 3x2 2. No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

Ramas infinitas:

Puntos singulares:

f ' (x) 3x2 6x

Puntos singulares: (0, 2); (2, 2)

Cortes con los ejes:

Con el eje Y x 0 y 2 Punto (0, 2)

Con el eje X x3 3x2 2 0 (x 1)(x2 2x 2) 0

Puntos (1, 0); (2,73; 0); (0,73; 0).

Puntos de inflexión:

f '' (x) 6x 6 0 x 1 Punto (1, 0)

Gráfica:

xflímxflímxx

,

202

0030230'

xx

xxxxxf

73,0

73,2

2

122

2

842022

101

2

x

xxxx

xx

5

Ejercicio nº 2.- Estudia y representa la función:

y x4 2x2 1 Solución:

Dominio= R

Simetrías:

f (x) x4 2x2 1 f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

Ramas infinitas:

Puntos singulares:

f ' (x) 4x3 4x 4x (x2 1)

Puntos singulares: (0, 1); (1, 0); (1, 0)



Con el eje X y 0 x4 2x2 1 0

Cambio: x2 z z2 2z 1 0

Puntos (1, 0) y (1, 0).


f '' (x) 12x2 4

Puntos (0,58; 0,44) y (0,58; 0,44)

Gráfica:

xflímxflímxx

,

1

101

004

0140'2

2

x

xx

xx

xxxf

1

111

2

442 2

x

xxz

58,03

1

3

1

12

404120'' 22 xxxxf

6

Ejercicio nº 3.- Estudia la siguiente ecuación y dibuja su gráfica:

Solución:

Dominio= R

Simetrías:

ni respecto al origen.

Ramas infinitas:

Puntos singulares:

f ' (x) x2 4x 3



x3 6x2 9x 0 x(x2 6x 9) 0 x(x 3)2 0


f '' (x) 2x 4

Gráfica:

xxx

y 323

23

Yxfxxx

xf eje al respecto simétrica es no :impar ni par es No . 323

23

xflímxflímxx

,

3

1

2

24

2

44

2

121640'

x

xxxf

3

4,1;0,3 :Puntos

32Con el eje 0 2 3 0

3

xX y x x

0,3,0,0 Puntos3

0

x

x

3

2,2 Punto20'' xxf

7


Solución:

Dominio= R

Simetrías:

Ramas infinitas:

Puntos singulares:

f ' (x) 2x3 8x

Puntos singulares: (0, 6); (2, 2); (2, 2)



x4 8x2 12 0. Cambio: x2 z


f '' (x) 6x2 8

642

24

xx

xf

. eje al respecto simétrica :par Es . 642

24

Yxfxx

xf

xflímxflímxx

,

2

204

0

0420'2

2

x

xx

x

xxxf

42Con el eje 0 4 6 0

2

xX y x

22

66

2

48

2

168

2

48648

xz

xzz

0,2,0,6,0,2,0,6 Puntos

15,13

4

3

4

6

80860'' 22 xxxxf

8

Puntos: (1,15; 1,56); (1,15; 1,56)

Gráfica:

Ejercicio nº 5.- Representa la función:

Solución:

Dominio= R

Simetrías:

Ramas infinitas:

Puntos singulares:

f '(x) 2x2 2x 4



2x3 3x2 12x 0 x (2x2 3x 12) 0

Puntos: (0, 0); (1,81; 0); (3,31; 0)


f '' (x) 4x 2

xxxxf 43

2 23

3 224 . No es par ni impar no es simétrica respecto al eje ni al origen.

3f x x x x Y

xflímxflímxx

,

1

2

2

31

2

91

2

8110220' 2

x

xxxxxf

3

20,2;

3

7,1 :singulares Puntos

3 22 Con el eje 0 4 0

3X y x x x

81,1

31,3

4

1053

4

969301232

0

2

x

xxxx

x

9

Gráfica: Ejercicio nº 6.- Estudia y representa la función:

Solución:

Dominio= R {2, 2}

Simetrías:

Asíntotas verticales:

Asíntota horizontal:

Si x y si x , f (x) < 1 la curva está por debajo de la asíntota.

Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (, 2) (2, 0); es creciente en (0, 2) (2, ).

Corte con los ejes:

6

13,

2

1 Punto

2

1

4

20'' xxf

2

2

4

1

x

xxf

Yxfx

xxf eje al respecto simétrica :par Es .

4

12

2

vertical asíntota es 2

2

2

xxfl ím

xfl ím

x

x


2

2

xxfl ím

xfl ím

x

x

horizontal asíntota es 11

yxflímxflímxx

2222

33

22

22

)4(

10

)4(

2228

)4(

)2(·)1()4(2'

x

x

x

xxxx

x

xxxxxf

00100' xxxf

.4

10, en mínimo un Tiene

1 1Con el eje 0 Punto 0,

4 4Y x y

10

Con el eje X y 0 x2 1 0 No corta al eje X

Puntos (0,62; 0); (1,62; 0).

Gráfica:

Ejercicio nº 7.- Representa gráficamente la función:

Solución:

Dominio= R

Simetrías:

No tiene síntotas verticales.

Asíntota oblicua:

Posición de la curva respecto a la asíntota:

f (x) 2x > 0 si x (curva por encima).

f (x) 2x < 0 si x (curva por debajo).


f ' (x) > 0 para todo x 0 f (x) es creciente. (Hay un punto de inflexión en (0, 0)).

Corte con los ejes:


Con el eje X y 0 x 0 Punto (0, 0)

Gráfica:

2

22

3

x

xy

origen al respecto simétrica :impar Es . 2

22

3

xfx

xxf

oblicua asíntota es 22

42

2

222

3

xyx

xx

x

xy

22

24

22

424

22

322

)2(

122

)2(

4126

)2(

2·2)2(6'

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf

00621220' 2224 xxxxxxf

11

Ejercicio nº 8.- Representa la siguiente función:

Solución:

Dominio= R

Simetrías:

al origen.


Asíntota oblicua:


f (x) (x 1) < 0 si x (curva por debajo)

f (x) (x 1) > 0 si x (curva por encima)


Puntos (1, 1) y (3, 5).

Signo de f ' (x):

2

12

x

xxy

respecto ni eje al respecto simétrica es no :impar ni par es No . 2

12

Yx

xxxf


2

2

xxfl ím

xfl ím

x

x


11

2

12

xy

xx

x

xxy

2

2

2

22

2

2

2

34

2

1242

)2(

)1()2)(12('

x

xx

x

xxxxx

x

xxxxxf

3

1

2

24

2

44

2

121640340' 2

x

xxxxxf

12

f (x) es creciente en (, 1) (3, ); es decreciente en (1, 2) (2, 3). Tiene un máximo en (1, 1) y un mínimo en (3, 5).

Corte con los ejes:

Puntos: (0,62; 0); (1,62; 0)

Gráfica:

Ejercicio nº 9.- Haz la gráfica de la siguiente función:

Solución:

Dominio= R {1}

Simetrías:

origen.


Asíntota oblicua:


1 1Con el eje 0 Punto 0,

2 2Y x y

62,1

62,0

2

411010 eje el Con - 2

x

xxxxyX

1

222

x

xxxf

2

2

2 2. No es par ni impar: No es simétrica respecto al eje ni respecto al

2

x xf x Y

x


1

1

xxflím

xflím

x

x


13

1

222

xy

xx

x

xxy

13

f (x) (x 3) < 0 si x (curva por debajo).

f (x) (x 3) > 0 si x (curva por encima).


Puntos (0, 2) y (2, 6).

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (, 0) (2, ); es decreciente en (0, 1) ) (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 6).

Corte con los ejes:


Puntos: (2,73; 0); (0,73; 0)

Gráfica:

Ejercicio nº 10.- Dibuja la gráfica de la función:

Solución:

Dominio= R {2}

Simetrías:

2

2

2

22

2

2

)1(

2

)1(

222222

)1(

)22()1()22('

x

xx

x

xxxxx

x

xxxxxf

2

00)2(020' 2

x

xxxxxxf

2 2,732 4 8Con el eje 0 2 2 0

0,732

xX y x x x

x

22

4

)(

x

xxf

14

al origen.


Asíntota horizontal:


Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (, 2) (2, ); es creciente en (2, 2).

Corte con los ejes:



Gráfica:

Ejercicio nº 11.- a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) 2 2sen x; x [0, 2]

b) Represéntala gráficamente:

respecto ni eje al respecto simétrica es no :impar ni par es No . )2(

42

Yx

xxf


2

2

xxfl ím

xfl ím

x

x

horizontal asíntota es0

encima por curva00

debajo por curva00

yxfxflím

xfxflím

x

x

334

2

)2(

84

)2(

8)2(4

)2(

)2(2·4)2(4'

x

x

x

xx

x

xxxxf

2840' xxxf

.2

12, en máximo un Tiene

15

Solución:

a) Dominio [0, 2]

Puntos de corte con los ejes:


Con el eje X y 0 2 sen x 0

Máximos y mínimos:

f '(x) 2cos x

Estudiamos el signo de f ''(x) 2sen x en esos puntos:

b) Gráfica:

Ejercicio nº 12.- Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) 1 sen2 x; x [0, 2] Dibuja su gráfica, utilizando la información obtenida. Solución:

Dominio [0, 2]


0,

2 Punto

2122 xxsenxsen

2

3

200'

x

x

xcosxf

0,

2:Mínimo0

2''f

4,

2

3:Máximo0

2

3''f

16


Con el eje X y 0 1 sen2 x 0

No corta al eje X.


f '(x) 2sen x cos x

Estudiamos el signo de f ''(x) 2 (cos2 x sen2 x) en esos puntos:

f ''(x) > 0 en x 0, x y x 2

Mínimos: (0, 1), (, 1), (2, 1)

Gráfica:

Ejercicio nº 13.- Dada la función:

f (x) cos x sen x , x [0, 2] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica. Solución:

Dominio [0, 2]



solución. tiene No112 xsenxsen

2

3,

20

2,,00

020'

xxxcos

xxxxsen

xcosxsenxf

2

3 y

2 en 0''

xxxf

2,

2

3,2,

2 :Máximos

17

Con el eje X y 0 cos x sen x 0 1 tg x 0


f ' (x) sen x cos x

f ' (x) 0 sen x cos x 0 tg x 1 0 tg x 1

Estudiamos el signo de f '' (x) cos x sen x en esos puntos:

Gráfica:

Ejercicio nº 14.- Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:

y 2 sen2 x, x [0, 2] Utilizando la información obtenida, representa la función. Solución:

Dominio [0, 2]



Con el eje X y 0 2 sen2 x 0 sen2 x 2

No corta al eje X.


0,

4

5,0,

4 Puntos

4

5,

41 xxxtg

4

7,

4

3

xx

2,

4

3 en Mínimo0

4

3''f

2,

4

7 en Máximo0

4

7''f

solución. tiene No2 xsen

18

y' 2sen x cos x

Estudiamos el signo de y'' 2 (cos2 x sen2 x) en esos puntos:

y'' < 0 en x 0, x y x 2:

Máximos: (0, 2); (, 2); (2, 2)

Gráfica: Ejercicio nº 15.- Dada la función:

y 1 2 cos x , x [0, 2] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. Solución:

a) Con el eje Y x 0 y 3 Punto (0, 3)

Con el eje X y 0 1 2 cos x 0

b) y' 2 sen x

y' 0 sen x 0 x 0, x , x 2

Signo de y':

Máximos en (0, 3) y en (2, 3).

Mínimo en (, 1).

2

3,

20

2,,00

020'

xxxcos

xxxxsen

xcosxseny

:2

3 y

2 en 0''

xxy

1,

2

3;1,

2 :Mínimos

0,3

4,0,

3

2 Puntos

3

4

3

2

2

1

x

x

xcos

19

c)

Ejercicio nº 16- Representa gráficamente la función:

y e1x2

Solución:

Dominio= R

Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

y 0 es asíntota horizontal (la curva está por encima)


y' 2xe1x2

y' 0 2x 0 x 0

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (, 0); es decreciente en (0, ). Tiene un máximo en (0, e).

Gráfica:

Ejercicio nº 17-

xxfxflímxflímxx

todo para 0 0

20

Dibuja la gráfica de la función:

f (x) xex2 Solución:

Dominio= R

Asíntotas:


y 0 es asíntota horizontal si x (f (x) < 0)


f ' (x) ex2 xex2 (1 x)ex2

f ' (x) 0 1 x 0 x 1

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (, 1); es creciente en (1, ). Tiene un mínimo en (1, e).

Corta a los ejes en (0, 0).

Gráfica:

Ejercicio nº 18- Estudia y representa:

f (x) x2ex Solución:

Dominio= R

Asíntotas:

02

2

xx

x

xx e

xlímxelímxflím

parabólica Rama,

x

xflímxflím

xx

21


y 0 es asíntota horizontal cuando x (f (x) > 0)


f ' (x) 2xex x2ex (2x x2)ex

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (, 2) (0, ); es decreciente en (2, 0). Tiene un máximo en

Corta a los ejes en (0, 0).

Gráfica:

Ejercicio nº 19- Representa:

Solución:

Dominio= R {1}

Asíntotas:

02

2

xx

x

xx e

xlímexlímxflím

parabólica Rama,

x

xflímxflím

xx

2

002020' 2

x

xxxxxxf

2

42, y un mínimo en 0, 0 .

e

1

x

exf

x

vertical. asíntota es 1

1

1

xxflím

xflím

x

x

22

y 0 es asíntota horizontal si x (f (x) < 0)


f ' (x) 0 ex(x 2) 0 x 2

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (, 1) (1, 2); es creciente en (2, ). Tiene un mínimo en

(2, e2).

Corta al eje Y en (0, 1). No corta al eje X.

Gráfica:


y (x 1)ex Solución:

Dominio= R

Asíntotas:


y 0 es asíntota horizontal cuando x (y < 0)


y' ex (x1)ex (x2)ex

y' 0 x 2 0 x 2

Signo de y':

01

x

elímxflím

x

xx

parabólica Rama,

x

xflímxflím

xx

22 )1(

)2(

)1(

)1('

x

xe

x

exexf

xxx

01

1

xx

x

xx e

xlímexlímxflím

parabólica Rama,

x

xflímxflím

xx

23

f (x) es decreciente en (, 2); es creciente en (2, ). Tiene un mínimo en




Gráfica:

Ejercicio nº 21- Representa la función:

y x2lnx Solución:

Dominio (0, )

Asíntotas:


Signo de y ':

2

12, .

e

.verticales asíntotas tiene No .00

xflímx

parabólica Rama,

x

xflímxflím

xx

1221

·2' xlnxxxlnxx

xxlnxy 2

2

1

2

1

vale) (no 0

0120'

exxln

x

xlnxy

24


No corta al eje Y, pues no está definida en x 0.

Con el eje X y 0 x2lnx 0

Gráfica:

Ejercicio nº 22- Representa gráficamente:

Solución:

Dominio (, 1) (1, )

Simetrías:

f (x) f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

Asíntotas:

y 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para toda x).


mínimo un Tiene ., en creciente es y 0, en edecrecient es 2

1

2

1

eexf

.2

1, en 2

1

ee

0,1 Punto10

vale) (no 002

xlnx

xx

1

1

2

xxf


xxflímx


xxflímx

0

xflímxflímxx

25

f ' (x) 0 x 0 (no vale)

f (x) no tiene puntos singulares (en x 0 no está definida).

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (, 1); y es decreciente en (1, ).

f (x) no corta a los ejes.

Gráfica:

Ejercicio nº 23- Estudia y representa la siguiente función:

y ln(x2 9) Solución:

Dominio (, 3) (3, ).

Simetrías:

f (x) f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

Asíntotas:

2

12 1

xxf

32

2

32

)1(2·1

2

1'

x

xxxxf


xxflímx


xxflímx

sparabólica Ramas

0,

0,

x

xflímxflím

x

xflímxflím

xx

xx

26


y' 0 2x 0 x 0 (no vale)

No tiene puntos singulares (en x 0 no está definida f (x)).

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (, 3); y es creciente en (3, ).


No corta al eje Y, pues f (x) no está definida en x 0.

Gráfica: Ejercicio nº 24- Estudia y representa la función:

Solución:

Dominio= R

Simetrías:

f (x) f (x) Es simétrica respecto al eje Y.

Asíntotas:


y 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para todo x).


9

2'

2

x

xy

2 2Con el eje ( 9 0 9 1 10X ln x x x

0,10;0,10 :Puntos

4

1

2

xxf

0

xflímxflímxx

27

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (, 0) y es decreciente en (0, ).


No corta al eje X.

Gráfica: Ejercicio nº 25- Estudia y representa:

Solución:

Dominio:

D (, 1) (2, )

Asíntotas:

2/12

24

4

1

x

xxf

3232

2/32

)4()4(2

22·4

2

1'

x

x

x

xxxxf

000' xxxf

.2

1,0 en máximo un Tiene

1 1Con el eje 0 Punto 0, .

2 2Y x y

2x

1xlnxf

:es dominio el Luego .02

1 si definida está función La

x

x


xxflímx


xxflímx

28


f '(x) 0 para todo x f (x) no tiene máximos ni mínimos.

Signo de f '(x):

f (x) es decreciente en (, 1) (2, ).

La curva no corta a los ejes.

Gráfica:

.horizontal asíntota es 0

)0)(,(si0

)0)(,(si0

yxfxxflím

xfxxflím

x

x

)2()1(

3

)2(

12·

)1(

1

)2(

)1(2·

2

1

1'

2

xxx

xx

xx

xx

x

xxf

representación de funcionesº bach... · 2011-11-25 · 2 ejercicio nº 9.- haz la gráfica de la...

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