EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico.

Expresión Algebraica: Conjunto de cantidades expresadas con letras y números unidos entre sí por operaciones.Ejemplos:a) 4ax – 7yb) –5a2b3

c) a + b – c + d

Término: Expresión algebraica conformada exclusivamente por productos y/o cuocientes.Ejemplo: 2mn3

En un término hay que distinguir el factor numérico y el factor literal.El factor numérico (o coeficiente) que indica las veces que el factor literal se repite como sumando.En el término 2m2 el coeficiente es 2. En el término –5ab el coeficiente es –5.El factor literal, que es la letra con su exponente.En el término 4a3 el factor literal es a3 En el término 7a2b4 el factor literal es a2b4

Grado de un término algebraico: Corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal.Ejemplo: El grado de –3x2yz3 es 6 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 3.

Monomio: Expresión algebraica de un solo término.Ejemplos:a) 7kb) –0,5xy

Polinomio: Es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Ejemplos:a) -7x2 + 4x – 5xyb) 6x4 - 5x3 + x2 + 4x + 9

De acuerdo a la cantidad de sumando, el polinomio recibe otras denominaciones:

Binomio: Polinomio que consta de dos términos.Ejemplos: a) 5x2y + 2x2y3

b) -4x + 3y

Trinomio: Polinomio que consta de tres términos. Ejemplos: a) 5x + 6y + 3zb) –1 + ab + 3a2b

Evaluación de expresiones algebraicas

Evaluar o valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.Ejemplo:

Valoremos la expresión 4x2y – 5xy2 - xy, considerando que x = -1 e y = 2.

4x2y – 5xy2 – xy = 4·(-1)2·2 - 5·(-1) ·22 – (-1) ·2 = 4·1·2 - 5·(-1) ·4 – (-1) ·2 = 8 + 20 + 2 = 30

Términos semejantes

Dos términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal.Ejemplos:a) 4m y –2m son términos semejantesb) pq y p2q NO son términos semejantes

Adición de términos algebraicos

Para sumar dos o más términos algebraicos, éstos deben ser términos semejantesEjemplos:1. 8x – 4x + 3x – x = 6x2. –2ab + 6ab + 4ab – 8ab – ab = - ab 3. x2y + 5 x2y – 2x2y = 4x2y

Eliminación de paréntesis

Tenemos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o un signo negativo.Si es positivo, no varían los términos al eliminar el paréntesis. Si es negativo, los términos cambian al signo opuesto que tenía.Ejemplos: a) a + (b + c) = a + b + cb) a – (b + c) = a – b – c c) x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN

Multiplicación de términos algebraicosSe debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay.Ejemplos:1. 5xy2 · -7x3y2 = -35x4y4

2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) = -10x2y + 8xy2 – 6x2y2 3. (3x – 2y)(4x + 5y) = 12x2 + 15xy – 8xy – 10y2 = 12x2 + 7xy – 10y2

4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) = 2a2 – 4ab + 10a2b – 14a – 5ab + 10b2 – 25ab2 + 35b.

En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

Cuadrado del BinomioCorresponde al producto de un binomio por sí mismo. Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b)2 y luego (a - b)(a - b) que puede expresarse como (a - b)2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo.

Luego podemos enunciar que:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

Donde representa al primer término del binomio y al segundo.

Ejemplos:a) (x + 7)2 = x2 + 2·x·7 + 72 = x2 + 14x + 49b) (2a – 3b)2 = (2a)2 - 2·2a·3b + (3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2

Suma por DiferenciaCorresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b)

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir, “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo”

Ejemplos:a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2

b) (7m2 + 5n3)(7m2 – 5n3) = (7m2)2 – (5n3)2 = 49m4 – 25n6

Multiplicación de Binomios con un Término ComúnEste producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común a.Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión.

(x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15

(x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x2 – 5x - 14Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14

La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:

Concluimos entonces que

“El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

Ejemplos:a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 6·12 = x2 + 18 x + 72b) (a + 7)(a – 3) = a2 + (7 – 3)a + 7·-3 = a2 + 4a - 21

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz. Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea mx - my + mz = m( x - y + z ).Ejemplos: Factorizara) 6ab2 – 18a2b3 = 6ab2(1 – 3b)b) 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ). Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que (a b)2 = a2 2ab + b2. Luego, se tendrá inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2. Ejemplos: Factorizara) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2. Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b). Ejemplos: Factorizara) 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b).b) 4x2 – 0,01 = (2x)2 – (0,1)2 = (2x + 0,1)(2x – 0,1)

Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n. Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Luego, se tendrá inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: Factorizara) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)(x + 3)b) x2 + 5x – 14 = x2 + (7 – 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x – 2)

EJERCICIOS

1. Los lados de un triángulo son a, 2a y 3a. Entonces su perímetro es:

a) 5a b) 6a c) 5a3 d) 6a3 e) Falta Información

2. Si x = 2 e y = -1, el valor de la expresión 2x2y – 3xy2 + xy es:

a) -16 b) -22 c) -26 d) -4 e) -12

3. El producto de (a2 + b3)(a2 – b3) es:

a) a4 b) 2a4 – 2b6 c) a4 – b9 d) a4 – b6 e) 2a4 – 2b9

4. El producto (a + b)·n es igual a:

a) ab + n b) a + bn c) abn d) an + bn e) (a + b)n

5. La edad de una persona es (a – 2). ¿Cuántos años tenía hace (10 – a) años?

a) 2a - 12 b) -12 c) 12 – 2a d) 2a - 8 e) 8 – 2a

6. Si p – q = 7 y r – s = 8, entonces p – q – 2r + 2s es:

a) -9 b) -3 c) -1 d) 15 e) 23

7. El área de un rectángulo de lados a y a + b es:

a) 2a + b b) 4a + 2b c) a2 + b d) a2 + ab e) 2a + ab

8. La expresión x2 – 5x + 6 es equivalente a:

a) (x – 3)(x + 2) b) (x – 3)(x – 2) c) (x + 3)(x - 2) d) (x – 1)(x + 6) e) (x + 1)(x – 6)

9. El área de un cuadrado de lado (2 – x) es:

a) 8 – 4x b) 4 – 4x + x2 c) 4 + x2 d) 4 – 2x e) 4 + 4x + x2

10. La expresión equivalente a x6 – x3 es:

a) x3 b) x9 c) x3(x3 – 1) d) x3(x2 – x) e) (x2 – x)3

ALTERNATIVAS

1. Alternativa A: Incorrecta. Faltó considerar que a tiene coeficiente 1.Alternativa B. CORRECTA. El perímetro de un triángulo corresponde a la suma de sus lados. Luego a + 2a + 3a = 6a.Alternativa C. Incorrecta. El error se produce porque no se consideró el coeficiente de a, y porque no hay claridad en la suma de términos semejantes. Hay que comprender que a + 2a + 3a significa a + (a + a) + (a + a + a) = 6aAlternativa D: Incorrecta. a + 2a + 3a = a + (a + a) + (a + a + a) = 6a y NO 6a3 Alternativa E: Incorrecta. Se sabe que el perímetro corresponde a la suma de sus lados y que estos tienen por medida términos semejantes, luego se puede determinar lo solicitado.

2. Alternativa A: CORRECTA. Al reemplazar los valores dados de x e y, obtenemos 2·22·(-1) - 3·2·(-1)2 + 2·(-1) = -8 – 6 – 2 = -16.Alternativa B. Incorrecta. El error se produce al resolver (-1)2 = 2Alternativa C. Incorrecta. Si no se respeta el orden de operación se llega a esta alternativa. Recuerda que primero se deben desarrollar los paréntesis.Alternativa D: Incorrecta. Al resolver -3·2(-1)2 comenzando por el producto de los signos, se está pasando a llevar el orden de operación y se llega al valor incorrecto, 6.Alternativa E: Incorrecta. Hay que tener mucha claridad con la regla de los signos, más por menos es menos.

3. Alternativa A: Incorrecta. No se pueden simplificar elementos de un producto, o sea eliminar b3 con –b3.Alternativa B. Incorrecta. El producto a2 · a2 es a4 y NO 2a4 ya que los coeficientes son unos y 1 · 1 es 1.Alternativa C. Incorrecta. Al multiplicar potencia se suman los exponentes.Alternativa D: CORRECTA. El producto dado corresponde a un suma por su diferencia y, de acuerdo a lo visto, su desarrollo es (a2 + b3)(a2 – b3) = (a2)2 – (b3)2 = a4 – b6 Alternativa E: Incorrecta. Doble error. se sumaron los coeficientes y se multiplicaron los exponentes en vez de sumarlos.

4. Alternativa A: Incorrecta. No se pueden sumar términos que no sean semejantes. Hay que tener muy claro que a + b es distinto que a · b.Alternativa B. Incorrecta. El hecho que haya un paréntesis está indicando que n debe multiplicar tanto al valor a como a b. No solamente a b.Alternativa C. Incorrecta. No se pueden sumar términos que no sean semejantes. Hay que tener muy claro que a + b es distinto que a · b.Alternativa D: CORRECTA. El valor n multiplica a todos los términos contenidos en el paréntesis, independiente que esté a la izquierda o a la derecha de él (conmutatividad).Alternativa E: Incorrecta. Se confunde producto con potencia. Piensa que 5 · 3 = 15 es muy distinto a 53 = 125

5. Alternativa A: CORRECTA. Hace (10 – a ) años su edad era (a – 2) – (10 – a) = a – 2 – 10 + a = 2a - 12Alternativa B. Incorrecta. No hay que olvidar que al restar un polinomio se debe colocar paréntesis, si no se produce error al operar. a – 2 – 10 – a = -12.Alternativa C. Incorrecta. Si te preguntaran que edad tenías hace 5 años, sé que lo contestarías sin ninguna duda. Aplica ese mismo razonamiento y operación para este ejercicio.Alternativa D: Incorrecta. Operatoria algebraica incorrecta.

Alternativa E: Incorrecta. Se restó en forma inversa a lo que correspondía y además no se colocó el paréntesis que debe llevar al restar polinomios.

6. Alternativa A: CORRECTA. p – q – 2r + 2s = p – q – 2(r + s), al factorizar por –2. Reemplazando p – q y r – s, obtenemos 7 - 2·8 = 7 – 16 = -9.Alternativa B. Incorrecta. Se realiza la operación errada 7 – (8 + 2) = 7 – 10 = --3.Alternativa C. Incorrecta. No hay claridad sobre el procedimiento, se opta por restar las cantidades dadas, o sea 7 – 8 = -1.Alternativa D: Incorrecta. No hay claridad sobre el procedimiento, se opta por sumar las cantidades dadas, o sea 7 + 8 = 15.Alternativa E: Incorrecta. Se efectúa el procedimiento correcto, pero se comete un error de signos, quedando la expresión como 7 + 16 = 23.

7. Alternativa A: Incorrecta. Se conoce como determinar el área del rectángulo, pero la resolución algebraica es errada al multiplicar a · a = 2a.Alternativa B. Incorrecta. Se confunde perímetro con área.Alternativa C. Incorrecta. Se conoce como determinar el área del rectángulo, pero la resolución algebraica es errada al multiplicar a por (a + b) y señalar a2 + b.Alternativa D: CORRECTA. El área de un rectángulo corresponde al producto de largo por ancho, o sea a(a + b) = a2 + ab.Alternativa E: Incorrecta. El error proviene de el producto a(a + b) = 2a + b.

8. Alternativa A: Incorrecta. El producto –3 por 2, no corresponde al valor 6 que se debe obtener.Alternativa B. CORRECTA. Al sumar –3 con –2, resulta –5 y al multiplicarlos da 6, por lo que corresponde a los valores buscados.Alternativa C. Incorrecta. El producto 3 por –2 es –6 y se busca que de 6.Alternativa D: Incorrecta. Al sumar –1 con 6 resulta 5 y no –5 como se quiere.Alternativa E: Incorrecta. Aunque al sumar 1 con –6 resulta –5, uno de los elementos buscado, al efectuar el producto da –6 y no 6 como se requiere.

9. Alternativa A: Incorrecta. Se confunde perímetro por área.Alternativa B. CORRECTA. El área de un cuadrado el lado por lado, o sea (2 – x)(2 – x) = (2 – x)2 = 4 – 4x + x2.Alternativa C. Incorrecta. Hay conocimiento del área de un cuadrado, pero la resolución de (2 – x)(2 – x) es incorrecta.Alternativa D: Incorrecta. Es importante saber que el producto de x por x es x2 y no 2x.Alternativa E: Incorrecta. Error al resolver el cuadrado de un binomio. El último termino es siempre positivo, el anterior depende de la expresión dada. En esta caso es negativo.

10. Alternativa A: Incorrecta. No se pueden restar términos que no son semejantes.Alternativa B. Incorrecta. Se confunde con la multiplicación de potencias de igual base.Alternativa C. Incorrecta. La expresión (x2 – x)3 corresponde al cubo de un binomio y no guarda relación con la expresión dada, aunque lo parezca.Alternativa D: Incorrecta. Al multiplicar potencias, los exponentes deben sumarse y no multiplicarse como lo insinúa esta alternativa.Alternativa E: CORRECTA. La expresión dada es factorizable por x, por x2 y por x3. Siempre se factoriza por el máximo común divisor, en este caso, x3.