TEMA VI

FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES

1. Introducción.-

2. Flujo de una sola fase.-

2.1. Ecuación del balance de energía.-

2.2. Flujo isotérmico de un gas ideal en una tubería horizontal:

2.2.1. Velocidad máxima y relación crítica de presiones.-

2.2.2. Flujo de calor requerido para mantener condiciones

isotérmicas.-

2.3. Flujo no isotérmico de un gas ideal en una tubería horizontal.-

2.4. Flujo adiabático de un gas ideal en una tubería horizontal.-

3. Flujo de mezclas bifásicas gas-líquido en tuberías.-

3.1. Tipos de flujos.-

3.2. Erosión.-

3.3. Caída de presión.-

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1. INTRODUCCIÓN.-

En este tema vamos a estudiar los problemas que surgen cuando un gas fluye en una

tubería de modo tal que los cambios de temperatura y presión puedan ser importantes. En

estos casos, la densidad del gas no permanece constante, y, si varía en los puntos de entrada

y salida considerados en más de un 10%, no se podrán aplicar las ecuaciones vistas para el

flujo de fluidos incompresibles.

En estos casos, lo importante es la variación relativa de presiones (P1 – P2) / P1, o la

de temperaturas, puesto que si el gas circula a alta presión y su densidad no varía

apreciablemente, se puede tratar como el flujo de un fluido no compresible.

Otro aspecto de estos problemas es que la velocidad de flujo tiene un valor máximo

posible que no se puede sobrepasar, y que corresponde a la velocidad del sonido en las

mismas condiciones. Además, el término de energía potencial en la ecuación de balance de

energía, gz, es despreciable.

Finalmente, el flujo de dos fases, formadas por un líquido y un gas o un vapor, se

complica más. Generalmente, la velocidad del gas es mucho mayor que la del líquido, lo

cual dará lugar a pérdidas de energía adicionales, a las que hay que sumarles las que se

producen cuando hay cambio de fase de gas a líquido.

2. FLUJO DE UNA SOLA FASE.-

2.1. ECUACIÓN DEL BALANCE DE ENERGÍA.-

Se ha visto que la ecuación general del balance de energía para el flujo de un fluido a

través de una tubería es de la forma:

v.dP + c.dc + g.dz + dweje + dwL = 0

Si no se considera el trabajo de la bomba, y teniendo en cuenta la ecuación de

Darcy-Weisbach:

v.dP + c.dc + g.dz + 4..(dL/D).c2 = 0

El último término de esta ecuación no se puede integrar fácilmente debido a que c

varía al variar la presión, (puesto que varía ), y, por tanto, depende de L (figura 1). Por

eso es conveniente utilizar la ecuación de continuidad e introducir el gasto másico G.

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G = A . . c (flujo y estado estacionarios)

c = G /(A.) = (G.v.4)/(.D2) = (G.v)/A

dL

C1 C C+dC C2

L

Figura. 1. Flujo de un fluido compresible.

El factor de fricción, , no es constante, y depende del (Re) y de /D. Para una tubería

dada, /D es constante, y, por tanto, depende sólo del (Re). Pero como:

(Re) = (D.c.)/µ = (D.G.)/(A..µ) = 4G/(.D.µ)

Dicho número se afectará sólo por las variaciones de viscosidad del fluido.

El problema se podría tratar como el del flujo no isotermo de líquidos, pero la

viscosidad de los gases varía poco con la presión y la temperatura, y además presenta

valores muy bajos, por lo que el (Re) tiene, en todos los casos, un valor muy alto y, por

tanto, el factor es prácticamente constante.

Sustituyendo en la ecuación anterior, quedaría en la forma:

v.dP + c.dc + g.dz + 4..(dL/D).(G/A)² . v² = 0

Pero: c.dc = d(c²/2) = d(G²/A².².2) = (G/A)²d(v²/2) = (G/A)².v.dv

Y, por tanto,

v.dP + (G/A)².v.dv + g.dz + 4..(dL/D).(G/A)².v² = 0

Para una tubería horizontal, dz = 0, y, dividiendo todo por v² e integrando para toda

la tubería:

(kg/m2.s)2

Para integrar el primer término, hace falta saber la naturaleza del flujo, y los dos

casos más importantes corresponden al flujo isotérmico y al flujo adiabático de un gas.

Si la tubería no fuese horizontal, aparecería el término: = g.z/vm², pero

el volumen específico de un gas es muy alto y, además, habría que tener en cuenta la

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D

P P

diferencia entre (vaire - vgas). Todo esto hace que ese término sea despreciable siempre,

independientemente de la horizontalidad o no de la tubería.

2.2. FLUJO ISOTÉRMICO DE UN GAS IDEAL EN UNA TUBERÍA

HORIZONTAL.-

Normalmente, es difícil mantener condiciones isotérmicas en la circulación de un gas

por una tubería, pero se puede aceptar ese régimen si la variación relativa de temperaturas,

(T1 – T2)/T1 es inferior al 10%. De no ser así, se puede dividir la tubería en tramos donde se

cumpla esa relación.

Para un gas ideal: P.V = n.R.T ===> P =(m/M)(RT/V) ==>

P = (Rgas.T)/v ==> 1/v = P/(Rgas.T) ==> dP/v = P.dP/(Rgas.T)

Por tanto,

Si se sustituye en la ecuación general, como P.v = cte

Si se define un volumen específico medio: P1 .v1 = Pm . vm = vm .(P1 + P2)/2

Si la caída de presión en la tubería es pequeña, o cuando la velocidad del gas no

supera los 35 m/s, el segundo término de la ecuación es despreciable, y el fluido puede

considerarse como incompresible. Quedaría la ecuación:

Ecuación de Weymouth (pérdida de presión igual al rozamiento).

A veces es conveniente tomar Rgas.T en vez de P1.v1, y la ecuación quedaría:

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Si el gas no se comportase idealmente, habría que introducir otros refinamientos,

como el factor de compresibilidad, u otros: P.V = Z.n.R.T

2.2.1. VELOCIDAD MÁXIMA Y RELACIÓN CRÍTICA DE PRESIONES.-

Si nos fijamos en la ecuación anterior,

puede observarse que, para una presión constante de entrada del gas P1, la velocidad de flujo

de masa G varía al modificarse la presión aguas abajo, P2.

Existen dos condiciones extremas:

a) Si P1 = P2 ==> 4 (L/D) (G/A)² = 0 ==> G = 0

b) Si P2 = 0, el segundo término sería infinito, a menos que G -> 0.

Por tanto, para un valor intermedio de P2 el flujo ha de alcanzar un valor máximo.

Multiplicando la ecuación anterior por (A/G)²:

Diferenciando con respecto a P2, a P1 constante:

La velocidad de flujo es máxima cuando dG/dP2 = 0 , ==>

donde el subíndice w representa las condiciones de salida para el flujo máximo.

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Pero como:

Puede demostrarse que esta velocidad máxima del gas es igual a la velocidad del

sonido en ese medio, y se alcanza si se transmite calor con suficiente rapidez para mantener

las condiciones isotérmicas.

Si a partir de una presión P1 se va reduciendo la presión de salida P2, la velocidad de

flujo irá aumentando hasta alcanzar un valor máximo cuando la presión sea Pw. Ese valor

máximo, según la ecuación anterior es:

Después este valor permanece constante aún cuando la presión de salida disminuya

más. Por ejemplo, si en la salida la tubería está conectada a un recipiente con una presión

P2<Pw, las condiciones de flujo en la tubería no se modifican y el valor de la presión a la

salida seguirá siendo Pw. La caída de presión de Pw a P2 tiene lugar por la expansión lateral

del gas al salir de la tubería.

Figura.2. Condiciones de flujo máximo.

El valor de Pw que hace máximo el gasto de gas, se calcula sustituyendo en la

ecuación:

Simplificando y multiplicando por 2:

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P1

v1

P2

v2

Cw

Pw

vw

C1

L

de la cual puede obtenerse Pw por tanteo. La relación (P1/Pw) se denomina relación crítica

de presiones.

2.2.2. FLUJO DE CALOR REQUERIDO PARA MANTENER CONDICIONES

ISOTÉRMICAS.-

A medida que disminuye la presión en la tubería, la energía cinética del fluido

aumenta a expensas de la energía interna, y la temperatura tiende a disminuir. Por tanto,

para mantener las condiciones isotérmicas hay que suministrar una determinada cantidad de

calor.

La ecuación del balance de energía referida a la unidad de masa es:

q1-2 = h + g z + c²/2 + weje (J/kg)

Si se trata de una tubería horizontal y un gas ideal a temperatura constante,z = 0 =

h. Si además no se realiza trabajo ==> q1-2 = c²/2

Así, la cantidad de calor necesario es equivalente al incremento de energía cinética

del fluido.

Si la velocidad de flujo de masa es G, el calor total a transferir por unidad de tiempo

es:

En los casos en los que la variación de energía cinética es pequeña, el flujo de calor

requerido es también pequeño, y las condiciones son casi adiabáticas.

2.3. FLUJO NO ISOTÉRMICO DE UN GAS IDEAL EN UNA TUBERÍA

HORIZONTAL.-

En general, cuando un gas ideal se expansiona o se comprime, la relación entre la

presión y el volumen específico puede representarse por P.vk = cte, donde k es el índice

politrópico. Con esto:

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Y sustituyendo en la ecuación general del balance de energía:

La velocidad máxima se obtiene en este caso con la expresión:

Un resultado aproximado para condiciones adiabáticas se obtiene utilizando la

ecuación anterior, y sustituyendo k por = cP/cv , pero es sólo una aproximación porque

esa sustitución implica reversibilidad.

11.4.- FLUJO ADIABÁTICO DE UN GAS IDEAL EN UNA TUBERÍA

HORIZONTAL.-

Para un proceso adiabático reversible, P.V = cte, pero en los casos irreversibles es

difícil conocer el índice k correspondiente.

Por eso es conveniente abordar el problema por otro camino.

La ecuación general del balance de energía en forma diferencial en un sistema donde

no se realice trabajo es:

dq1-2 = dh + g dz + c dc

Para flujo adiabático:

dh + g dz + (G/A)² v dv = 0

Por otra parte:

dh = du + d(P v) = cv dT + d(P v) = cp dT

de forma que : dT = [d(P v)]/[cp - cv]

y, por tanto:

Sustituyendo este valor en la ecuación general, y considerando una tubería

horizontal:

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Integrando se obtiene una relación entre P y v para el flujo adiabático en una tubería

horizontal, que se puede llevar a la ecuación general del balance de energía expuesta al

principio del tema:

(A)

Diferenciando:

Sustituyendo el valor de K de la ecuación primera:

Con lo que la ecuación general queda en la forma:

Esta expresión permite calcular v2, conocidos G y P1, o calcular G, conocidos v1 y

v2.

La presión de salida P2 se obtiene sustituyendo el valor v2 en la ecuación (A).

El flujo máximo se obtiene diferenciando con respecto a v2 y tomando dG/dv2 = 0.

En este caso,

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La velocidad del gas en condiciones adiabáticas nunca sobrepasa el 20% de la

obtenida para la misma diferencia de presiones en condiciones isotérmicas. Para tuberías

con L > 1.000 D, la diferencia no excede el 5%.

En la práctica, la velocidad no suele estar limitada por las condiciones de la tubería

en sí, sino por el desarrollo de la velocidad sónica en los accesorios, por lo que hay que

tener cuidado en la selección de los mismos para el transporte de gases a elevadas

velocidades.

Para gases cuyo comportamiento se desvíe mucho del ideal, hay que utilizar otras

ecuaciones (Van der Waals, Redlich-Kwong, etc.), o si se conoce la entalpía, se puede

utilizar la ecuación:

q1-2= h + g z + c²/2 + weje

Este método resulta útil para el tratamiento del flujo de vapor de agua a altas

presiones.

3. FLUJOS DE MEZCLAS BIFASICAS GAS-LÍQUIDO EN TUBERÍAS.-

El flujo bifásico, además de estar implicado en algunos fenómenos naturales

habituales, (lluvia, nieve, niebla, digestión alimentaria, etc.), interviene en numerosos

procesos y operaciones: sedimentación, fluidización, filtración, destilación, absorción,

extracción, cristalización, etc.; también en la eliminación de humos por chimeneas,

funcionamiento de calderas, condensadores, refrigerantes, hornos, etc.; y en la fabricación

de acero, papel, pinturas, tintas, productos alimenticios; en oleoductos y gasoductos, etc.

Con tantas y tan importantes implicaciones no es de extrañar el gran auge del estudio

del flujo bifásico en los últimos años, y el hecho de que éste haya llegado a constituir un

capítulo de la mecánica de fluidos tan importante como el de los fluidos compresibles.

Para poder diseñar las instalaciones donde tienen lugar el flujo bifásico, se requiere

una buena información sobre los posibles tipos de flujos, las variaciones que se producen en

los mismos, los máximos caudales permisibles, etc.

Lógicamente, el flujo bifásico obedecerá a todas las leyes de la mecánica de fluidos,

pero las ecuaciones resultarán más complejas y numerosas.

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Al ser muchas las variables en juego, ni siquiera el uso del análisis dimensional

proporciona una simplificación importante. Se suele abordar su estudio combinando teoría y

práctica, es decir, planteando modelos más o menos sencillos con parámetros obtenidos a

partir de datos experimentales.

Nosotros veremos solamente el flujo bifásico gas-líquido en tuberías.

En él hay que destacar, en primer lugar, la dificultad para cuantificar la naturaleza

del flujo. Asimismo, tampoco son conocidas las velocidades de las fases individuales en un

punto; en la mayor parte de los casos, la fase gaseosa va mucho más rápida que la fase

líquida, acelerando ésta y provocando una pérdida adicional de energía.

Los factores más importantes del flujo de dos fases son: la determinación del tipo y

estabilidad del flujo, la probabilidad de que el flujo ocasiones problemas de erosión, y el

cálculo de la caída de presión.

3.1. TIPOS DE FLUJO.-

Son numerosos los trabajos realizados para determinar el tipo de flujo en una mezcla

bifásica. Una clasificación relativamente sencilla y aceptada es la propuesta inicialmente por

Baker, (Hewitt, Hoogendoorn, Griffith, Wallis, etc.), recogida en forma de diagrama, válido

para tuberías horizontales (hay otro similar para tubos verticales).

En él,

: densidad; µ : viscosidad; σ : tensión superficial.

En las figuras 3 y 4 están representados estos flujos, y en la tabla 1 se da una indicación de

las velocidades que producen estos regímenes.

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Figura.3. Diagrama de Baker.

Figura.4. Modelos de flujo para el flujo de dos fases.

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El flujo de burbuja está constituido por una dispersión de burbujas gaseosas en un

líquido continuo; el de tapón, también llamado globular o de pistón, por grandes burbujas o

glóbulos gaseosos que, en el caso de tubos horizontales, se desplazan por la parte superior

del mismo, mientras que para los verticales ocupan casi todo el diámetro; en el flujo

estratificado ya hay una separación completa de las dos fases, circulando el líquido por la

parte inferior del tubo y el gas por la superior; el flujo ondulante se produce cuando en el

anterior aumenta el caudal de gas, produciendo una especie de oleaje en la tubería; si estas

olas llegan a ser suficientemente grandes como para alcanzar la parte superior del tubo, se

producirán compartimentos con flujo estratificado u ondulante separados entre sí por

barreras de líquido espumoso; en este caso el flujo se llama embolsado o compartimentado;

cuando el flujo de gas sigue aumentando, se produce flujo anular, en el que el líquido

circula junto a las paredes y en el centro el gas que arrastra más o menos gotas de líquido;

finalmente, en el flujo disperso o de pulverización, es el gas el que ocupa toda la

conducción, arrastrando gotas de líquido en su seno.

Debe evitarse el flujo embolsado, pues da lugar a condiciones no estacionarias,

siendo preferible realizar el diseño para flujo anular. Una correlación empírica para evitar

el flujo embolsado es:

c (mínima ambas fases) (m/s) > 3,05 + 0,024 D

siendo D el diámetro de la tubería en mm.

Tabla 1. Regímenes de flujo para el flujo horizontal de dos fases.

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3.2. EROSIÓN.-

En los sistemas de dos fases aparecen con frecuencia problemas de erosión, por lo

que se han sugerido muchas relaciones para evitar esa condición, que se produce

especialmente cuando las velocidades son elevadas.

Puesto que son deseables velocidades altas para evitar el flujo embolsado, hay una

situación de compromiso entre ambas.

La erosión se considera importante cuando:

donde y (m/s)

3.3. CAÍDA DE PRESIÓN.-

En líneas precedentes se ha podido comprobar la complejidad del flujo bifásico gas-

líquido para el que las condiciones varían temporal, transversal y longitudinalmente.

Nosotros trataremos simplemente el caso de un flujo estacionario y unidimensional,

es decir, se estudia un modelo simplificado para poder cuantificar la caída de presión,

basado en correlaciones empíricas que son válidas solo para el intervalo experimental

estudiado.

De otro modo no sería posible, dada la dificultad de especificar el tipo de flujo, la

interacción entre ambas fases, y las rápidas fluctuaciones existentes entre ellos. Hay que

tener presente que la caída de presión tendrá dos términos:

PT = Pfricción + Paceleración

a los cuales hay que sumar otro término, Pgravedad, cuando el flujo no sea horizontal.

Existen en la bibliografía propuestos diversos modelos de flujo, con distintos

tratamientos matemáticos, que proporcionan mejores resultados según sea el tipo de flujo en

cuestión. (Ver “Ingeniería Química”. Tomo 3. Flujo de fluidos. Costa-Novella. Edit.

Alhambra. 1985). Entre ellos:

- Flujo homogéneo: ambas fases fluyen como una sola.

- Flujo separado: ambas fases independientes.

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- Flujo mixto: varios modelos basados en la interacción entre las fases.

- Flujo crítico.

Nosotros estudiaremos el modelo de flujo separado, que proporciona buenos

resultados para el flujo anular. Aplicaremos siempre este modelo, aún cuando el flujo no sea

anular, pero teniendo presente la existencia en la bibliografía de otros modelos más

adecuados.

Este modelo fue propuesto primeramente por Lockhart y Martinelli, y a ellos se

debe su nombre, aunque posteriormente fue mejorado por Chisholm, Turner y Wallis. Ellos

sugieren que la caída de presión se calcula como si una de las fases, (cualquiera de ellas)

circulara sola por la tubería, y al valor obtenido se le aplica posteriormente un factor

correctivo que tiene en cuenta la presencia de la otra fase.

Este factor correctivo se representa como L o G, de modo que:

PT / PG = 2G, o PT / PL = 2

L

Estos dos factores se pueden calcular gráficamente a partir de la relación PL/ PG,

donde se tienen curvas por separado según sea la naturaleza del flujo de las dos fases.

Figura.5. Relación entre X y Φ para el flujo de dos fases.

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