FLUJO DE FLUIDOSINTERNO

Ing. Marcos Chambi Y.

INTRODUCCIÓN

En el caso de flujos reales, existen dos tipos de flujos permanentes de gran importancia conocidos como flujo laminar y flujo turbulento.

Flujo laminar. En este tipo de flujo de fluido, las partículas fluidas se deslizan según trayectorias paralelas. La corriente fluida parece desplazarse en láminas continuas con poca o ninguna mezcla o entrecruzamiento de una capa con las adyacentes.

Flujo turbulento. Aquí, las partículas fluidas se mueven en forma desordenada en todas las direcciones. Es decir, la corriente fluida se desliza con un movimiento al azar, desarreglado y agitado.

NÚMERO DE REYNOLDS

El comportamiento de un fluido, en lo que se refiere a las pérdidas de energía, depende de que el flujo sea laminar o turbulento. Por ello, es necesario contar con un medio para predecir el tipo de flujo sin tener que observarlo directamente. Se ha demostrado que es posible pronosticar si el flujo es laminar o turbulento, si se conoce la magnitud de un número adimensional denominado número de Reynolds Re.

Ya en forma experimental, o de modo analítico, se ha demostrado también que el carácter de un flujo que fluye por un tubo, depende de cuatro variables: la densidad del fluido, su viscosidad, el diámetro del tubo, y la velocidad media de flujo.

Precisamente, es el número de Reynolds que relaciona las variables anteriormente señaladas de modo siguiente:

(1)

donde, reiteramos, v es la velocidad media en m/s, D es el diámetro del tubo en m, es la densidad del fluido en kg/m3, y la viscosidad dinámica del fluido en N-s/m2 o Pa-s.

La ecuación (1) puede expresarse también en función de la viscosidad cinemática del fluido , en m2/s, así:

(2)

Como se podrá notar, el número de Reynolds es el cociente de las fuerzas de inercia sobre un elemento de fluido y las fuerzas debidas a la viscosidad. Las primeras, se desarrollan a partir de la segunda ley de Newton y, las segundas, relacionan el esfuerzo cortante con el área.

Los flujos con Re grandes tienden a ser turbulentos, debido a una velocidad elevada o una viscosidad baja. Contrariamente, se comportarán en forma laminar, porque tienen Re bajos, debido a que fluyen con velocidad baja o tienen viscosidad alta.

NÚMEROS DE REYNOLDS CRÍTICOS

Si Re 2000, el flujo es laminar.

Si Re 2000, el flujo es turbulento. Pero, en el rango de Re entre 2000 y 4000, es imposible predecir qué tipo de flujo existe; por lo tanto, éste se denomina región o zona crítica.

PÉRDIDA DE CARGA

En el estudio de los fluidos en movimiento, no se puede prescindir de la viscosidad y sus efectos. En todos los flujos, ya sean aceites, agua o aire, la viscosidad es un factor importante que debe considerarse. Por ejemplo, la figura 1., muestra el balance de energía entre dos puntos de un fluido en movimiento. Cuando el fluido fluye desde un punto hasta otro punto que se encuentra aguas abajo del primero, parte de la energía inicial se disipa como energía térmica o calor.

Figura 1. Balance de energía para dos puntos de un fluido

Véase que la suma de las tres cargas en el punto (2) no iguala a la carga total en el punto (1). La diferencia se conoce como pérdida de carga hL; término que, en la ecuación general de la energía (capítulo anterior), se ha definido como pérdida de energía en el sistema.

En el caso del flujo laminar, la resistencia al flujo se debe enteramente a la viscosidad. En el flujo turbulento, la resistencia al flujo se debe al efecto combinado de fuerzas relacionadas con la viscosidad y la inercia.

En el capítulo anterior, también hemos indicado que, en las pérdidas de carga hL se consideran, principalmente, las pérdidas por fricción, ocasionada por el movimiento del fluido en la propia tubería, y las pérdidas menores.

ECUACIÓN DE DARCY

Para el caso específico del flujo en tuberías, la fricción es proporcional a la carga de velocidad de flujo y a la relación entre la longitud de la tubería y el diámetro de la corriente. O sea,

(3)

donde, f es el factor de fricción, hL es la pérdida de carga en m, L es la longitud de la corriente de flujo en m, D es el diámetro interno de la tubería recta en m, y v es la velocidad media del fluido en m/s. Esta ecuación, comúnmente, conocida como la ecuación de Darcy, se utiliza para determinar la pérdida de energía debido a la fricción en las secciones rectas de tuberías y conductos circulares, tanto para flujo laminar como turbulento.

PÉRDIDA POR FRICCIÓN EN EL FLUJO LAMINAR

En el flujo laminar, la pérdida de carga por fricción viene dada por la ecuación de Hagen-Poiseuille:

(4)

Nótese que, esta ecuación involucra parámetros relacionados con las propiedades del fluido como la viscosidad y peso específico, las características geométricas de longitud y diámetro interno de la tubería, y la dinámica de flujo caracterizada por la velocidad media. En otras palabras, son las pérdidas por fricción viscosa en el interior del fluido las que rigen la magnitud de la pérdida de energía.

Reiteremos que, la ecuación (4) únicamente es válida para el flujo laminar. Sin embargo, líneas arriba, hemos señalado también que, la ecuación (3) puede utilizarse para calcular la pérdida por fricción en este tipo de flujo. Por lo tanto, igualando ambas ecuaciones y haciendo operaciones, resulta:

(5)

Teniendo en cuenta la definición del número de Reynolds en la ecuación (5), finalmente, se obtiene:

(6)

Ecuación válida para determinar el factor de fricción en todo tipo de tuberías y para cualquier fluido.

PÉRDIDA POR FRICCIÓN EN EL FLUJO TURBULENTO

Para el flujo turbulento en tuberías, es más conveniente utilizar la ecuación de Darcy para determinar la pérdida de energía debido a la fricción.

En este tipo de flujo, para determinar el valor del factor de fricción f, se recurre frecuentemente a relaciones experimentales, debido a que el flujo es caótico y varía constantemente. Mediante estas relaciones, se ha demostrado que f adimensional depende de otras dos cantidades también adimensionales, tales como el número de Reynolds y la rugosidad relativa /D de la tubería.

En la bibliografía, se pueden encontrar varias relaciones de este tipo, desarrolladas por varios investigadores notables como Rouse, Colebrook, Prandtl, van Karman y Nikuradse. De entre ellas, la más aceptada es la relación de Colebrook, una ecuación semiempírica, que está dada por:

(7)

donde, es la rugosidad (altura o profundidad de las imperfecciones) promedio de la superficie de la pared de la tubería, que depende, especialmente, del material de que está hecho el conducto y el método de su fabricación.

DIAGRAMA DE MOODY

Otro de los métodos más utilizados para determinar el factor de fricción, sobre todo, para el flujo turbulento, es aquél que emplea el diagrama de Moody (figura 2). El diagrama muestra la gráfica de f vs. Re, con una serie de curvas paramétricas relacionadas con /D.

L. F. Moody, fue quien ha generado esta familia de curvas con base en la ecuación de Colebrook, por lo que, el diagrama se denomina así en honor al nombre de su creador.

Para utilizar el diagrama de Moody, debe conocerse, necesariamente, el valor de Re y el de la rugosidad relativa.

Figura 2. Diagrama de Moody

Por lo tanto, los datos básicos que se requieren son el diámetro interior de la tubería, la naturaleza del material de que está hecha la tubería, la velocidad de flujo, y el tipo de fluido y su temperatura. Estos últimos, sirven para determinar la viscosidad y la densidad del fluido.

ECUACIÓN DE HAZEN-WILLIAMS

La ecuación de Darcy para determinar la pérdida de carga debido a la fricción es aplicable para cualquier fluido newtoniano. No obstante, existe un enfoque alternativo para el caso específico de flujo de agua en sistemas de tubería, comúnmente, conocido como la fórmula de Hazen-Williams.

Esta fórmula empírica es una de las más utilizadas para el diseño y análisis de sistemas hidráulicos. Su empleo se limita al flujo de agua en tuberías con diámetros mayores de 2” y menores de 6 pies. La velocidad de flujo no debe ser mayor a 10 pie/s. Asimismo, está elaborada para agua a 60 ºF. Por lo tanto, no es recomendable utilizar este método para temperaturas más bajas o altas.

Dicha fórmula de Hazen-Williams está dada por:(8)

donde, v es la velocidad de flujo en pie/s, R es el radio hidráulico en m, s es la pérdida de carga por unidad de longitud del conducto en pie/pie, y C es el coeficiente adimensional de rugosidad de Hazen-Williams.

El radio hidráulico (cociente del área de la sección recta por el perímetro mojado) para las secciones circulares es igual a D/4.

Si se emplean unidades del SI, es decir, cuando la velocidad media de flujo v está dada en m/s y el radio hidráulico R en m, el coeficiente numérico de 1,32 de la ecuación (8) debe sustituirse por 0,85. O sea,

(9)

El flujo volumétrico se calcula, como siempre, con la ecuación (1) de la sección anterior.

Para la resolución de las ecuaciones (8) y (9), es común utilizar una gráfica conocida como nomograma de Hazen-Williams para C específico.

PÉRDIDAS MENORES

Las pérdidas de carga que ocurren conforme el fluido pasa por dispositivos donde existen agrandamientos en el tamaño de la trayectoria de flujo, reducciones, entrada de fluido de un tanque a una tubería, salida del fluido de una tubería a un tanque, codos, uniones universales, tes, medidores y válvulas, se denominan pérdidas menores.

Coeficiente de resistencia. Por lo general, las pérdidas de energía menores son proporcionales a la carga de velocidad del fluido, conforme atraviesa cualquier dispositivo o accesorio mencionado líneas arriba. Pero, su estudio teórico suele ser muy complicado.

Por ello, es común que estas pérdidas de energía se evalúen mediante métodos experimentales. Con frecuencia, se expresan en función de un coeficiente de resistencia K. Es decir,

(10)

donde, hL es la pérdida menor, y v es la velocidad media de flujo en el tubo en la zona adyacente donde ocurre esta pérdida.

El coeficiente de resistencia es una cantidad adimensional, debido a que representa una constante de proporcionalidad entre la pérdida de energía y la carga de velocidad. Por lo general, se determina mediante ecuaciones empíricas, tablas y nomogramas.

Expansión brusca, pérdida en la salida y expansión gradual. Las pérdidas menores se calculan por medio de la ecuación siguiente:

(11)

donde, v1 es la velocidad media de flujo en la tubería anterior a la expansión.

En la expansión súbita, se ha demostrado que, el valor de K depende tanto de la relación de los tamaños de ambas tuberías como de la magnitud de la velocidad de flujo. En el caso de la pérdida en la salida de una tubería a un depósito, el valor de K se iguala a 1, sin que importe la forma de salida en el lugar de conexión de la tubería al tanque.

En la expansión gradual, la magnitud de K depende tanto de la razón de diámetros D2/D1 como del ángulo de la sección cónica .

Contracción brusca, pérdida en la entrada y contracción gradual. Las pérdidas de energía se determinan mediante la relación siguiente:

(12)

donde, v2 es la velocidad media de flujo en la tubería aguas abajo de la contracción.

En la contracción súbita, el valor de K depende de la razón de diámetros de ambas tuberías D1/D2 y de la velocidad de flujo.

Con respecto a la pérdida en la entrada de un depósito a una tubería, el valor de K depende de la geometría de la entrada. Y, para el caso de una contracción gradual, K depende de la razón de diámetros D1/D2 y el ángulo de la sección cónica.

Válvulas y acoplamientos. Las válvulas se utilizan para el control de flujo. Pueden ser de globo, ángulo, compuerta, mariposa, etc. Mientras que, los acoplamientos o accesorios tienen la función de dirigir la trayectoria del flujo o hacer que cambien su tamaño. Incluyen codos de diferentes diseños, tes, reductores, uniones universales, boquillas y orificios.

Aquí, la magnitud de K depende, especialmente, de la geometría de la válvula o accesorio de acoplamiento.

La pérdida de energía que ocurre cuando el fluido circula por una válvula o acoplamiento, se determina por medio de la ecuación (10) anterior.

Longitud equivalente. Un método comúnmente utilizado para determinar el coeficiente de resistencia en las válvulas y acoplamientos es el de las longitudes equivalentes de tubería Le. Matemáticamente, K está relacionada con la longitud equivalente, el diámetro interior de la tubería y el factor de fricción en la misma, de modo siguiente:

(13)

El valor de la razón Le/D se considera constante para un tipo dado de válvula o acoplamiento.

La longitud equivalente se define como la longitud de una tubería recta del mismo diámetro nominal que el de la válvula o acoplamiento, la cual tendría la misma resistencia que éstos. Como en el caso de K, los valores de Le también pueden determinarse mediante variadas ecuaciones empíricas, tablas y nomogramas, existentes en la bibliografía.

SISTEMAS DE TUBERÍAS EN SERIE

Las tuberías están en serie cuando éstas están conectadas extremo con extremo, y no existe en el sistema ramal alguno. Es de saber que, a lo largo de todo el sistema de tuberías en serie, el flujo volumétrico se mantiene constante.

Mientras que, las pérdidas de energía ocurridas en cada una de las tuberías que conforman el sistema en serie, se suman para obtener la pérdida de energía total. O sea,

(14)

y,(15)

SISTEMAS DE TUBERÍAS EN PARALELO

Los sistemas de tuberías en paralelo son aquéllos en los que el flujo original se ramifica en dos o más tuberías que vuelven a unirse, nuevamente, aguas abajo.

Aplicando el principio de flujo estable a un sistema de tuberías en paralelo, se deduce que el flujo volumétrico total es igual a la suma de los flujos de los ramales componentes del sistema. Mientras que, en lo referente a la pérdida de carga, todos los ramales componentes del sistema en paralelo tienen la misma carga total. En términos matemáticos, esto significa que,

(16)

y,(17)

Los problemas de flujos en sistemas de este tipo, normalmente, se resuelven aplicando tres principios que se enuncian a continuación.

(1) El flujo volumétrico total entrante en un nudo es igual al flujo total saliente del nudo (ecuación 16); (2) la pérdida de carga entre dos nudos es la misma en cada uno de los ramales que unen ambos nudos (ecuación 17); (3) el porcentaje del flujo volumétrico total que circula por cada uno de los ramales se mantiene constante, independientemente de la pérdida de carga que puede existir entre ambos puntos.

SISTEMAS DE TUBERÍAS RAMIFICADAS

Los sistemas de tuberías ramificadas, generalmente, están conformados por una o más tuberías que se separan o dividen en dos o más tuberías y, que éstas, no vuelven a reunirse, nuevamente, aguas abajo.

En la figura 3., se muestra un ejemplo de un sistema sencillo de tuberías ramificadas, donde tres depósitos están conectados por medio de tres

tuberías que se unen en un nudo. La dirección de la corriente ha de depender de: (1) las presiones y elevaciones de los depósitos; (2) los diámetros, las longitudes y tipo de tuberías.

Figura 3. Tuberías ramificadas

El problema general asociado a los sistemas de tuberías ramificadas, consiste en determinar el flujo volumétrico de cada una de las tuberías conociéndose los otros datos, tales como cotas de los depósitos, datos de las tuberías y propiedades del fluido. Este tipo de problemas se resuelven aplicando la ecuación de continuidad, que establece que, el flujo volumétrico total que llega al nudo ha de ser igual al flujo total que abandona dicho nudo. Por ejemplo, en la figura 3., el flujo en la tubería C debe ser igual a la suma de los flujos en A y B, o bien, los flujos en C y B será igual al flujo en A.

Este tipo de problemas requiere, por lo general, el uso de métodos de cálculo por aproximaciones sucesivas.

REDES DE TUBERÍAS

En la práctica, la mayoría de los sistemas de tuberías están conformados por muchas tuberías conectadas de forma compleja con muchos puntos con flujos entrantes y salientes. Tales sistemas de tuberías se conocen como redes de tuberías y, en realidad, es un complejo conjunto de tuberías en paralelo.

El análisis numérico de las redes de tuberías es muy complejo, pero, pueden obtenerse soluciones utilizando el método de Hardy Cross, llamado así en honor a la persona que ha desarrollado dicho método.

En la figura 4., se presenta un sistema sencillo de red de tuberías, conformado por un único circuito.

El método de cálculo consiste en asumir flujos en todas las ramas de la red y, a continuación, se hace un balance de las pérdidas de carga calculadas. Para que los

flujos en cada rama del lazo o circuito único mostrado en la figura 4., sean los correctos, se ha de verificar que,

(18)

Para aplicar esta expresión, la pérdida de carga en función del flujo ha de escribirse así, hL = kVn.

En caso de hacer uso la fórmula de Hazen-Williams, la expresión anterior toma la forma: hL = kV1,85.

Figura 4. Red de tuberías

Como se han asumido flujos V0, el verdadero flujo V en una tubería cualquiera de la red, puede expresarse como: (19)

donde, es la corrección que deberá aplicarse a V0. Entonces, mediante el desarrollo del binomio, se tiene:

(20)

A partir del segundo término se desprecian debido a que los valores de son pequeños comparado con V0.

Para el lazo o circuito mostrado en la figura 4, al sustituir la ecuación (18) por la (20), se obtiene:

(21)

Despejando , se tiene:

(22)

En general, para un circuito más complicado, tenemos:

(23)

Pero, hL = kV01,85 y hL/V0 = kV0

0,85. Por lo tanto, para cada lazo de la red, obtenemos:

(24)

Al utilizar la ecuación (24), debe tenerse cuidado con el signo del numerador.

La ecuación (18) indica que, los flujos que coinciden con el giro de las agujas de un reloj producen pérdidas de carga en el mismo sentido y se le asigna el signo (+); mientras que, los flujos no coincidentes con el giro de las agujas de un reloj producen caídas de carga también en sentido contrario y se le asigna el signo (-). Por otra parte, el denominador de la ecuación (24) siempre ha de ser positivo.

FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLE

En el flujo de fluidos compresibles, la resolución del balance de energía resulta más complicada debido a la variación de la densidad con los cambios de presión.

El campo del flujo compresible es muy amplio y cubre una enorme gama de variaciones de presión, velocidad y temperatura. Aquí, se ha de restringir el análisis a los flujos isotérmico y adiabático en tuberías uniformes y rectas. Utilizaremos como punto de partida, la ecuación diferencial de balance de energía:

(25)

Asumiendo un flujo en estado estacionario y un diámetro de tubería uniforme, el flujo másico m = V = Av, se mantiene constante. Por lo tanto, la ecuación (25):

(26)

Ésta es una ecuación diferencial básica que es necesario integrar. Para ello, se requiere conocer la relación existente entre la densidad y la presión.

Como esta integral depende de la naturaleza del flujo, son dos las condiciones importantes que se utilizan, los cuales son: el flujo isotérmico y el flujo adiabático en tuberías.

Flujo compresible isotérmico. Para integrar la ecuación (26), supongamos que se trata de un flujo isotérmico de fluido compresible ideal. Entonces, podemos utilizar la ecuación de estado de los gases ideales:

(27)

Sustituyendo la ecuación (27) en la ecuación (26), e integrando con la suposición de que f es constante, se tiene:

(28)

donde, R es la constante universal de los gases ideales, T la temperatura absoluta, M la masa molecular del gas, f es el factor de fricción y A, D y L, son el área de la sección transversal, el diámetro interior y la longitud de la tubería, respectivamente.Por las condiciones arriba dadas, podemos asumir que, v1 = v2 = constante. Por lo tanto, para hL, se obtiene:

(29)

Flujo adiabático compresible. Cuando la transferencia de calor a través de la pared de una tubería es despreciable, el flujo gaseoso en flujo compresible en una tubería recta de sección transversal constante es adiabático, conocido también como flujo isentrópico.

El análisis del flujo adiabático, se aplica a flujos de alta velocidad y entre puntos próximos, de modo que, la fricción y la transferencia de calor sean relativamente pequeñas. Su estudio, generalmente, se realiza mediante la ecuación:

(29)

o bien,

(30)

donde, es la relación de calores específicos CP y CV.

PROBLEMAS

BIBLIOGRAFÍA

- Mott, Robert L.; Mecánica de Fluidos, Ed. Prentice Hall- Giles, Ranald V.; Mecánica de los Fluidos e Hidraúlica, Ed. McGraw-Hill- Ocon García, J. y Tojo Barreiro, G.; Problemas de Ingeniería Química, Tomo I, Ed. Aguilar- McCabe, W. L., Smith, J. C. y Harriott, P.; Operaciones Unitarias en Ingeniería Química, Ed. McGraw-Hill- Geankoplis, C. J.; Procesos de Transporte y Operaciones Unitarias, Ed. Cecsa- Crane; Flujo de Fluidos en Válvulas, Accesorios y Tuberías, Ed. McGraw-Hill- Cengel, Yunus A.; Fluids Mechanics: Fundamentals and Applications, Ed. McGraw-Hill