ecuaciones flujo fluidos
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ECUACIONES DIFERENCIALES DEL
FLUJO DE FLUIDOS
Son ecuaciones generales que permiten resolver
diferentes sistemas sin necesidad de aplicar
balances de cantidad de movimiento:
• Ecuación de continuidad (conservación de
materia)
• Ecuación de movimiento
1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
• Se aplica la ley de conservación de la materia a
un pequeño volumen de fluido en movimiento.
Elemento estacionario de volumen, ∆x∆y∆z, a través del cual circula un fluido.
(ρx)x (ρx)x+∆x
(x,y,z)
(x+∆x,y+∆y,z+∆z)
∆x
∆y
∆z
x
y
z
ρx: Velocidad de flujo de materia por unidad de área
• Balance de materia
Velocidad de acumulación de
materia
Velocidad de entrada de
materia
Velocidad de salida de materia
= −
Velocidad de cambio de densidad
x
Volumen del
elemento
Velocidad de acumulación de
materia
=
Densidad del fluido en la
cara
x Velocidad
perpendicular a la cara
x Área de la cara
Velocidad de flujo de materia
=
Donde:
En cada dirección:
Por tanto, el balance de materia queda:
• Dividiendo la ecuación por ∆x∆y∆z y tomando
límites cuando estas dimensiones tienden a cero:
• Si la densidad del fluido permanece constante:
• En términos vectoriales:
2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
τxxx
(x,y,z)
(x+∆x,y+∆y,z+∆z)
x
y
z
τxxx+∆x
τzxz
τzxz+Δz
τyxy
τyxy+Δy
τxxx τxxx+∆x
τzxz
τzxz+Δz
τyxy
τyxy+Δy
Direcciones del transporte de cantidad de
movimiento debido a la componente x de la
velocidad
Direcciones de las fuerzas viscosas debido
al transporte de cantidad de movimiento
Balance de cantidad de movimiento en
estado no estacionario
Velocidad de acumulación
de cantidad de movimiento
Velocidad de entrada de cantidad de movimiento
Velocidad de salida de cantidad de movimiento
= −
Suma de fuerzas que
actúan sobre el sistema
+
• La cantidad de movimiento de entrada y de salida
se debe a dos mecanismos:
- Transporte convectivo
- Transporte viscoso
• Transporte convectivo
La cantidad de movimiento por transporte
convectivo, en dirección x, que entra por la cara y
es:
Cantidad de movimiento
por transporte convectivo
Flujo másico a través de
la cara y
Componente de velocidad
en dirección x = x = (ρyΔxΔz)(x)|y
Teniendo en cuenta el flujo en todas las caras del
cubo, el transporte convectivo neto en dirección x es:
• Transporte viscoso
La cantidad de movimiento por transporte viscoso en
dirección x que entra por la cara y es:
La cantidad de movimiento neta por transporte
viscoso en dirección x es:
Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema
son las debidas a la presión y a la fuerza
gravitacional, la resultante de estas fuerzas en la
dirección x es:
• La acumulación de cantidad de movimiento en
dirección x es:
• Fuerzas externas
Sustituyendo todos los términos en la ecuación de
balance de cantidad de movimiento, dividiendo
por ΔxΔyΔz y tomando el límite cuando Δx, Δy y
Δz tienden a cero, se llega a la componente x de
la ecuación de movimiento:
De la misma forma se obtienen las componentes
en y y z:
En notación vectorial, estas tres ecuaciones se
resumen en:
Para obtener las distribuciones de velocidad con
la anterior ecuación, se debe conocer la relación
entre los esfuerzos y los gradientes de velocidad,
la cual está dada por la generalización de la ley de
Newton de la viscosidad:
Esfuerzos normales:
Esfuerzos cortantes:
Cuando la densidad y la viscosidad son
constantes, la ecuación de movimiento recibe el
nombre de Navier-Stokes
TABLAS DE EC. CONTINUIDAD Y MOVIMIENTO Y
LEY NEWTON (ESFUERZOS)
EDICIÓN ANTIGUA DEL BIRD
Tabla 3.4-1: Ec. Continuidad
Tablas 3.4-2 a 3.4-4: Ec. Movimiento
Tablas 3.4-5 a 3.4-7: Ley Newton
NUEVA EDICIÓN DEL BIRD
Apéndice B1: Ley Newton
Apéndice B4: Ec. Continuidad
Apéndices B5 y B6: Ec. Movimiento
PROBLEMA
En una operación de fundición de cobre se hace pasar escoria fundida, rica en
cobre, sobre un mate con el fin de recuperar la mayor parte del cobre contenido en
la escoria. La operación es llevada a cabo en un horno (ver figura) de 20 metros de
largo y 7,5 metros de ancho. Asumiendo que:
- El mate permanece quieto.
- La escoria fluye continuamente a 2,5 m3/h (con flujo laminar) sobre el mate.
- La profundidad media de la escoria es de 0,5 m.
20 m
Escoria
Mate
7°
Determinar:
La ecuación para la
distribución de velocidad y de
esfuerzo en la capa de
escoria, dibujar perfiles.
La fracción de material que
permanece en el horno
durante por lo menos el doble
del tiempo medio de
residencia.
Encontrar las distribuciones de
velocidad, esfuerzo cortante,
las velocidades máxima y
media y el flujo volumétrico
(caudal), de un fluido que fluye
entre dos tubos coaxiales por
acción de una diferencia de
presión entre los planos de
entrada y salida del mismo.
L
R
PL
P0
Salida del
fluido
Entrada del
fluido
FLUJO A TRAVÉS DE DOS TUBOS
COAXIALES
aR
FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS
INMISCIBLES
Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante,
las velocidades máxima y media y el flujo volumétrico
(caudal), de dos líquidos inmiscibles que fluyen
horizontalmente por un gradiente de presión entre dos
planos horizontales.
L
P0 PL
Entrada del
fluido Salida del
fluido 2δ Fluido II
X = 0 X = L
W
x
y z
Fluido I
Propiedades de
los fluidos:
ρI > ρII
μI < μII
FLUJO TANGENCIAL DE UN FLUIDO
NEWTONIANO ENTRE DOS TUBOS CONCÉNTRICOS
Determinar los perfiles de
velocidad y de esfuerzo cortante
para el flujo laminar tangencial
de un fluido incompresible, en el
espacio comprendido entre dos
cilindros verticales coaxiales,
cuando el cilindro externo gira
con una velocidad angular ω.
R
aR ω
r z
FLUJO DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO A
TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR
Deducir la forma análoga a
la ecuación de Hagen-
Poiseulli para un fluido
pseudoplástico.
L
R
P0
PL
Entrada del
fluido
Salida del
fluido
(n <1)
n
zrz
dr
dv
VISCOSÍMETRO DE CONO Y PLATO
Deducir la expresión que permite determinar la viscosidad de un
fluido newtoniano por medio de un viscosímetro de cono y plato.
El viscosímetro consta de un
plato plano que permanece
quieto y sobre el cual se pone el
fluido, y de un cono invertido
que se introduce en la muestra
hasta que la punta toca el plato.
El cono se hace girar a una
velocidad angular (ω) constante
y la viscosidad se determina
midiendo el torque necesario
para hacer girar el cono.
ω
R
ϕ
1
0
r
Cono girando
Plato quieto
Fluido
0 ≈ ½°