flujo de fluidos ideales

Bloque IIFlujo ideal

Lección 9Fluidos ideales

Ec. Euler y BernoulliFlujo irrotacional

Contexto

Bloque II

Flujo ideal


Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Definición fluido ideal

• Ecuaciones

• Flujo isentrópico y homentrópico

• Ecuación de Euler

• Ecuación de Bernoulli

• Ecuación de la vorticidad

• Flujo irrotacional y potencial de velocidad

• Ecuación de Bernoulli irrotacional

Bibliografía recomendada

Fluido ideal

• Definición: aquel en el que los coeficientes de transporte son nulos:

• Por tanto, no existe transporte molecular de: momento, masa o calor

• Validez: cualquier fluido real, excepto zona cerca pared CL

V k D

Ecuación de Euler

Ecuación de Bernoulli

Lección 10Potencial velocidad 3D.Flujo irrotac. 2D incomp.

Ejemplos

Contexto

Bloque II

Flujo ideal






Contenido

• Definición de potencial de velocidad

• Ejemplos de potencial velocidad 3D• Punto de remanso• Manantial/sumidero• Movimiento uniforme• Sólido de Rankine• Óvalo de Rankine• Doblete o dipolo• Flujo alrededor esfera

• Flujo irrotacional 2D incompresible

• Potencial complejo de velocidad. Propiedades

• Metodología uso potencial complejo

• Ejemplos

Potencial de velocidades

Definición:

Función escalar a partir de la cual se puede calcular el vector velocidad

v

Metodología

1. Proponemos una función

2. Calcularemos las 3 componentes de la velocidad

3. Líneas de corriente, caudal

4. Presión (ec. Bernoulli irrotacional)

Superposición de soluciones

Ejemplos de pot. vel 3D

• Punto de remanso

• Manantial/sumidero

• Corriente uniforme

• Sólido de Rankine

• Óvalo de Rankine

• Doblete o dipolo

• Flujo alrededor de una esfera

Punto de remanso

• Potencial de velocidades:

x

y

z2 2 2ax by cz

Manantial/sumidero


2 2 2( )

C C

r x y z

Movimiento uniforme


( , y , )x y zV x V x V V z

x

y

z

V

Sólido de Rankine


x

CV x

r

z

xV

Punto remanso

Óvalo de Rankine


1 2x

C CV x

r r z

xV

Doblete o dipolo


1 2

C C

r r

Flujo alrededor de una esfera


3

32

V R xV x

r

Flujo potencial

Definición:

Flujo irrotacional 2D incompresible

• Función de corriente

• Potencial complejo de velocidades

• Metodología

• Ejemplos

Función de corriente

Potencial complejo de velocidad

Propiedades del potencial complejo

dx

dydS

n

d

Metodología

1. Función f(z)

2. Calcular y como parte real/imaginaria de f

3. Cálculo de la velocidad: 2 métodos

a. v=grad

b. Calcular f’, y de ahí u=Re(f’), v=-Im(f’)

4. Líneas de corriente: =cte

5. Puntos de remanso: f’=0

6. Distribución de presión: ecuación Bernoulli

Ejemplos de potenciales complejos



• Torbellino

• Dipolo o doblete


• Esquinas/rincones

• Sólido/Óvalo Rankine 2D

• Flujo alrededor cilindro

Corriente uniforme áng. alfa


( ) if z V e z

x

y

V x

y

V

Manantial/sumidero


( ) ln2

qf z z

Lección 11Potenciales complejos

de velocidad

Contexto

Bloque II

Flujo ideal






Contenido

• Potencial complejo de velocidad


• Ejemplos• Torbellino

• Doblete o dipolo



• Sólido de Rankine

• Óvalo de Rankine

Definición potencial complejo

Metodología

1. Función f(z)



a. v=grad





Ejemplos de potenciales complejos



• Torbellino

• Dipolo o doblete



• Sólido/Óvalo Rankine 2D

Lección anterior

Torbellino


( ) ln2

f z i z

x

y

Dipolo o doblete


x

y

isz a e

imz a e

x

y

isz a e

imz a e

( ) ln( ) ln( )2 2

i iq qf z z ae z ae

Punto de remanso

• Potencial de velocidades: 2( )f z az

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Esquinas y rincones


( ) cos sen n nf z Az Ar n i n

sen nAr n cosnAr n

Esquinas y rincones

• n=4

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Esquinas y rincones

• n=2

Misma f(z) que “punto de remanso”

x

y

Esquinas y rincones

• n=1

Misma f(z) que “corriente uniforme”

x

y

0

Esquinas y rincones

• n=2/3

0

3

2

Esquinas y rincones

0

3

2

n=2/3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x

y

n=4

n=2

x

y

0

n=1

Sólido de Rankine 2D

• Potencial de velocidades

( ) ln2

qf z V z z

y

xV

Punto remanso

Xr

Y

Sólido de Rankine 2D

Corrienteuniforme

y

x

Manantial

Óvalo de Rankine


( ) ln( ) ln( )2 2

q qf z V z z d z d

z

xV

Óvalo de Rankinez

xV

Lección 12Pot. complejos velocidad

Método imágenes

Contexto

Bloque II

Flujo ideal






Contenido

• Potencial complejo de velocidad


• Ejemplos• Flujo alrededor cilindro

• Flujo alrededor cilindro con circulación

• Flujo alrededor cilindro con velocidad variable

• Método de las imágenes• Manantial

• Torbellino

Definición potencial complejo

Metodología

1. Función f(z)



a. v=grad





Flujo alrededor cilindro (I)

• Potencial de velocidades ( )M

f z V zz

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

Flujo alrededor cilindro (II)

V1

V2

-5 0 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

V33.127422.918922.710432.501932.293442.084941.876451.667961.459461.250971.042470.8339780.6254830.4169890.208494

Frame 001 10 Dec 2003

Campo de presiones

Flujo cilindro con circulación (I)


2

( ) ln2

af z V z i z

z

Flujo cilindro con circulación (II)

0

1

4 aV

14 aV

14 aV

Flujo cilindro con circulación (III)

• Caso /(4aV)=1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-6 -4 -2 0 2 4 6

Flujo cilindro veloc. variable


2

( ) ( )a

f z V t zz

Método de las imágenes

• Representación de flujos ideales en presencia de paredes

Solución:

Añadir un

elemento virtual

imagen especular

respecto a la pared.

Incorrecto

Mét. Imág: manantial (I)


( ) ln( ) ln( )2 2

q qf z z ia z ia

Manantial en z=iaImagen especular

respecto a eje “y”

del manantial original

Mét. Imág: manantial (II)

• Líneas de corriente

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Mét. Imág: torbellino (I)


( ) ln( ) ln( )2 2

f z i z ia i z ia

Torbellino en z=ia(giro anti-horario)

Imagen especular(giro horario)

respecto a eje y

del torbellino original

Mét. Imág: torbellino (II)

Líneas de corriente

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Torbellino normal

Pared 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1 0 1 2 3 4

Con método imágenes

Lección 13Aplicaciones de la

ecuación de Bernoulli

Contexto

Bloque II

Flujo ideal






Contenido

• Velocidad de descarga de un depósito(estacionario)

• Variación de la altura de un depósito(no estacionario)

• Tubo aspersor (sistema referencia no inercial)

• Oscilaciones tubo en U

Velocidad descarga depósito

Z1

p1 1

2

AD

AO A2

Z=0

Depósito presurizado descarga por orificio a la atmósfera.

Objetivo: v2

Variación altura depósito (I)

h(t)

pa 1

2

DD

D

Z=0

Objetivo: h(t)

1’

Tubo aspersor

z

g

R

1

e

2

Ec. Bernoulli:

– 1-e: ejes inerciales

– e-2: ejes no inercialesPotencial de fuerzas másicas:

2 2 2 2

2 2

r rU g r gz

Lección 14Cierre/apertura válvulas

Contexto

Bloque II

Flujo ideal






Contenido

• Cierre y apertura de válvulas• Ecuaciones

• Compresibilidad/elasticidad del fluido/conducto

• Órdenes de magnitud. Casos

• Caso 1: Cierre/apertura lenta

• Caso 2: Cierre/apertura intermedia

• Caso 3: Cierre/apertura rápida

• Ejemplo: Chimeneas de equilibrioen centrales hidráulicas

Cierre y apertura de válvulas

H

L

Volumen control

As(t)

x

Líneacorriente

Cierre y apertura de válvulas

Ecuaciones y órdenes de magnitud

2 20 0 0 0

1 1 0p p V

Va t a x x

002 2

0 0 0 0 0

1 1

Vp pV

a t a L L

2 20 0 0 0 0

(1)p L p

a Vt a

2 1 0

2

V V pU

t x x

20 0

0

V V gH p

t L L L

2 20 0 0 0

(1) L gH p

V t V V

Ej. Central hidroeléctrica

Embalse

Chimenea deequilibrio

turbina

Galería depresiónL=0’1-10 kmD=1-10 m

TuberíaforzadaL=0’1-1 kmD= 1 m

válvulaCorta paso agua

oscilación

Sobrepresiones100 bar

Lección 15Cavitación

Contexto

Bloque II

Flujo ideal






Cavitación

Cavitación

Formación de burbujas por descenso de presión y posterior

colapso de las mismas por aumento de presión

Cavitación

sólido

líquido

gas

Presión

Temperatura

EBULLICIÓN (presión constante)

CAVITACIÓN

(temperatura constante)

Tipos de cavitación

CavitaciónHidrodinámica

Tubo Venturi

Flujo alrededorcuerpo sumergido

CavitaciónAcústica

(Ultrasónica)

http://images.google.es/imgres?imgurl=www.dgifford.ndirect.co.uk/images/folio/images/ultrasound.jpg&imgrefurl=http://www.dgifford.ndirect.co.uk/images/folio/source/folio_20.html&h=450&w=450&sz=37&tbnid=i33iBxWTW58J:&tbnh=124&tbnw=124&start=19&prev=/images%3Fq%3Dultrasound%26hl%3Des%26lr%3D%26ie%3DUTF-8

Cavitación en Venturi

Velocidad máxima

Presión mínima

A1

A2V1 V2

L.C.

1

2

3

Formaciónde burbujas

Aumenta la presión

Implosiónde burbujas

Cavitación en Venturi

Cavitación en cuerpo sumergido

h2

eL.C.

Z=0

pa

Velocidad máxima

Presión mínimaFormaciónde burbujas

Cavitación pistón oscilatorio

z

xX(t)

líquido líquido

g

( ) sen X t a tOscilación pistón

flujo de fluidos ideales

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