ECUACIONES DIFERENCIALES DEL

FLUJO DE FLUIDOS

Son ecuaciones generales que permiten resolver diferentes sistemas sin necesidad de aplicar balances de cantidad de movimiento:

Ecuacin de continuidad (conservacin de materia)

Ecuacin de movimiento

1. ECUACIN DE CONTINUIDAD

Se aplica la ley de conservacin de la materia a un pequeo volumen de fluido en movimiento.

z(x+x,y+y,z+z)

y( )( )Elemento

estacionario de

x xzx x+x

volumen, xyz, a

(x,y,z)travs del cual circula

x

un fluido.

x

x: Velocidad de flujo de materia por unidad de rea

Balance de materia

Velocidad deVelocidad deVelocidad de

acumulacin de=entrada desalida de

materiamateriamateria

Donde:

Velocidad deVelocidad deVolumen

acumulacin de=cambio dexdel

materiadensidadelemento

En cada direccin:

Velocidad deDensidad delVelocidadrea

flujo de= fluido en lax perpendicular xde la

materiacaraa la caracara

Por tanto, el balance de materia queda:

Dividiendo la ecuacin por xyz y tomando lmites cuando estas dimensiones tienden a cero:

En trminos vectoriales:

Si la densidad del fluido permanece constante:

2. ECUACIN DE MOVIMIENTO

zx z+z

zyx y+y(x+x,y+y,z+z)Direcciones del transporte

de cantidad de

movimiento debido a la

xx x

xx x+x

ycomponente x de la

(x,y,z)yx yvelocidad

zx z

x

Direcciones de las

zx z+z

fuerzas viscosas debido

yx y+y al transporte de

xx xyx yxx x+xcantidad de

movimiento

zx z

Balance de cantidad de movimiento en estado no estacionario

Velocidad deVelocidad deVelocidadSuma de

acumulacin =entrada de de salida de+ fuerzas que

de cantidad decantidad decantidad deactan sobre

movimientomovimientomovimientoel sistema

La cantidad de movimiento de entrada y de salida se debe a dos mecanismos:

Transporte convectivo

Transporte viscoso

Transporte convectivo

La cantidad de movimiento por transporte convectivo, en direccin x, que entra por la cara y es:

Cantidad deFlujo msicoComponente

movimiento

x de velocidad = (yxz)(x)|y

por transporte = a travs de

convectivola cara yen direccin x

Teniendo en cuenta el flujo en todas las caras del cubo, el transporte convectivo neto en direccin x es:

Transporte viscoso

La cantidad de movimiento por transporte viscoso en direccin x que entra por la cara y es:

La cantidad de movimiento neta por transporte viscoso en direccin x es:

Fuerzas externas

Si las fuerzas externas que actan sobre el sistema son las debidas a la presin y a la fuerza gravitacional, la resultante de estas fuerzas en la direccin x es:

La acumulacin de cantidad de movimiento en direccin x es:

Sustituyendo todos los trminos en la ecuacin de balance de cantidad de movimiento, dividiendo por xyz y tomando el lmite cuando x, y y z tienden a cero, se llega a la componente x de la ecuacin de movimiento:

De la misma forma se obtienen las componentes en y y z:

En notacin vectorial, estas tres ecuaciones se resumen en:

Para obtener las distribuciones de velocidad con la anterior ecuacin, se debe conocer la relacin entre los esfuerzos y los gradientes de velocidad, la cual est dada por la generalizacin de la ley de Newton de la viscosidad:

Esfuerzos normales:

Esfuerzos cortantes:

Cuando la densidad y la viscosidad son constantes, la ecuacin de movimiento recibe el nombre de Navier-Stokes

TABLAS DE EC. CONTINUIDAD Y MOVIMIENTO Y

LEY NEWTON (ESFUERZOS)

EDICIN ANTIGUA DEL BIRD

Tabla 3.4-1: Ec. Continuidad

Tablas 3.4-2 a 3.4-4: Ec. Movimiento

Tablas 3.4-5 a 3.4-7: Ley Newton

NUEVA EDICIN DEL BIRD

Apndice B1: Ley Newton

Apndice B4: Ec. Continuidad

Apndices B5 y B6: Ec. Movimiento

PROBLEMA

En una operacin de fundicin de cobre se hace pasar escoria fundida, rica en cobre, sobre un mate con el fin de recuperar la mayor parte del cobre contenido en la escoria. La operacin es llevada a cabo en un horno (ver figura) de 20 metros de largo y 7,5 metros de ancho. Asumiendo que:

El mate permanece quieto.

La escoria fluye continuamente a 2,5 m3/h (con flujo laminar) sobre el mate. La profundidad media de la escoria es de 0,5 m.

Determinar:

La ecuacin para la distribucin de velocidad y de esfuerzo en la capa de escoria, dibujar perfiles.

La fraccin de material que permanece en el horno durante por lo menos el doble

Escoria

Mate

7 20 m

del tiempo medio de residencia.

FLUJO A TRAVS DE DOS TUBOS COAXIALES

Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante, las velocidades mxima y media y el flujo volumtrico (caudal), de un fluido que fluye entre dos tubos coaxiales por accin de una diferencia de presin entre los planos de entrada y salida del mismo.

Salida del fluido

PL

aRL

P0

Entrada delR

fluido

FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS

INMISCIBLES

Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante, las velocidades mxima y media y el flujo volumtrico (caudal), de dos lquidos inmiscibles que fluyen horizontalmente por un gradiente de presin entre dos planos horizontales.

W

Entrada del

fluidoyFluido IISalida del

zfluido

xFluido I2

Propiedades deL

los fluidos:X = 0X = L

I > IIP0PL

I < II

FLUJO TANGENCIAL DE UN FLUIDO

NEWTONIANO ENTRE DOS TUBOS CONCNTRICOS

Determinar los perfiles der

z

velocidad y de esfuerzo cortante

para el flujo laminar tangencial

de un fluido incompresible, en elaR

espacio comprendido entre dos

cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro externo gira con una velocidad angular .

R

FLUJO DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO A TRAVS DE UN TUBO CIRCULAR

Deducir la forma anloga a la ecuacin de Hagen-Poiseulli para un fluido pseudoplstico.

dvz n

rz

dr

(n