mecánica de fluidos: problemas ecuaciones generales de conservación

8/19/2019 Mecánica de Fluidos: Problemas Ecuaciones Generales de Conservación

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Ecuaciones generales

P.1 Cuando un chorro incide sobre una placa inclinada como la que se muestra en la figura se divide en doschorros 2 y 3 de igual velocidad V = V ch pero con caudales diferentes: αQ en 2 y (1 − α)Q en 3, siendo α lafracción correspondiente. El motivo es que, en un flujo sin fricci ón, el fluido no puede ejercer fuerza tangencialF t sobre la placa. La condición F t = 0 nos permite obtener α. Realice este análisis y obtenga α como funcióndel ángulo de la placa θ . ¿Por qué la respuesta no depende de las propiedades del chorro?

1

2

3

θ

F t = 0

(1-α)Q, V

α

Q, V

F n

, Q, A, V ρ

PROBLEMA 8.9 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estradé, A.L. Sánchez Pérez, C. Mart́ınez Bazán, “Ingenierı́aFluidomecánica”, Paraninfo 2012

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P.2 Cuando el flujo en un conducto se expande súbitamente de A1 a A2, como se indica en la figura, aparecentorbellinos de baja velocidad y baja fricción en las esquinas y el flujo se expande de forma gradual hasta A2aguas abajo. Empleando el volumen de control sugerido para flujo estacionario y suponiendo que p ≈ p1 en laesquina anular, como se muestra en la figura, demuestre que la presión aguas abajo está dada por

p2 = p1 + ρV 21

A1

A2 1 −

A1

A2.

Desprecie la fricción en la pared.

p2 , V 2 , A2

p1 , V 1 , A1

Presión p1

Volumen de

control

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P.3 La compuerta de la figura permite controlar y medir el flujo en un canal abierto. En las secciones 1 y 2 elflujo es uniforme y la presión es la hidrostática. La anchura del canal es b perpendicular al papel. Despreciandola fricción con el fondo, obtenga una expresión para la fuerza F necesaria para sostener la compuerta. ¿Paraque valor de h2/h1 la fuerza es máxima? En el caso de velocidad muy baja V

21 gh1, ¿para qué valor de h2/h1

la fuerza será la mitad de la máxima?

V 1h1

F

A

h2

Compuerta anchura b

V 2


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P.4 Al igual que se observa en el fregadero de una cocina cuando cae sobre él el agua del grifo, figura (a), uncanal de agua a gran velocidad (V 1, h1) puede “saltar” a una condición de baja velocidad y baja enerǵıa (V 2,h2) como se observa en la figura (b). La presión en las secciones 1 y 2 es aproximadamente la hidrostática y lafricción en la pared es despreciable. Use las relaciones de continuidad y cantidad de movimiento para obtenerh2 y V 2 en función de h1 y V 1.

Resalto

hidráulico

V 1

V 2

< V 1 h

2 > h

1

h1

(a) (b)PROBLEMA 8.7 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estradé, A.L. Sánchez Pérez, C. Mart́ınez Bazán, “Ingenierı́a

Fluidomecánica”, Paraninfo 2012

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P.5 La bomba horizontal de la figura descarga agua a 20 oC con 57 m3/h. Despreciando las pérdidas, ¿qué po-tencia en kilovatios proporciona la bomba al agua?

D2 = 3 cm D1 = 9 cm

120 kPa

400 kPa

Bomba

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P.6 El sifón de la figura funciona continuamente mientras haya fluido en el depósito, una vez se le ha proporcio-nado la succión suficiente. Empleando la ecuación de Bernoulli sin pérdidas, demuestre que (a) la velocidad desalida V 2 solo depende de la gravedad y la altura H y (b) la presión mı́nima (de vaćıo) se produce en el punto3 y depende de la distancia L + H .

3

1

2

h

L

H

V 2

10


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11


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P.7 El tubo acodado de la figura tiene D1 = 27 cm y D2 = 13 cm. Por él circulan 10000 l/min de agua a 20oC

con p1 = 194 kPa (manométrica). Calcule el momento requerido en el punto B para mantener el tubo quieto.

1

2

V 2, p2 = pa

B

50 cm

50 cm

V 1, p1

C

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P.8 En la figura se representa agua moviéndose a trav́es de un conducto de 50 cm de alto y 1 m de acho. Lacompuerta BC cierra completamente el conducto cuando β = 90o. Suponiendo flujo unidimensional, ¿cuál es elángulo β que hará que la fuerza del chorro de salida sobre la placa sea de 3 kN?

F = 3 kN

50 cm

1.2 m/s

Articulación B

C

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P.9 Una turbomáquina simple está construida mediante un disco con dos conductos internos que salen tan-gencialmente a través de dos orificios cuadrados, como se muestra en la figura. Un flujo de agua a 20oC entraperpendicularmente por el centro del disco, tal y como se indica. El disco se debe mover a 250 rpm un peque ñodispositivo mediante un par de 1,5 N · m. ¿Cuál es el gasto másico de agua necesario en kilos por segundo?

Q

2 cm

2 cm

32 cm

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P.10 [EX 08-09-05] Un chorro de agua de di ámetro D j y velocidad V j incide perpendicularmente sobre unapared en la que se ha practicado un orificio de diámetro Ds < D j. Parte del agua escapa a través del orificioy el resto se desv́ıa radialmente 90o respecto del chorro en la configuración axisimétrica que se muestra en lafigura. Considere que la velocidad del chorro es suficientemente alta para poder despreciar los efectos de friccióny gravitatorios.

j

V

sV s

D D

r

h(r)

V j

pa ps

Suponiendo que la presión a la derecha de la pared, ps, es igual a la presión atmosférica, ps = pa:

1. Determine la velocidad V s del chorro que escapa a través del orificio. ¿Que fracción del caudal del chorroatraviesa el orificio?

2. Determine la velocidad V r del fluido que se desv́ıa radialmente.

3. Determine el espesor h de la peĺıcula de ĺıquido sobre la pared en función de la distancia r al eje desimetrı́a.

4. Determine la fuerza que el chorro ejerce sobre la pared, dejando la expresión en función únicamente delos siguientes parámetros: ρ, V j, D j y Ds.

Suponiendo que la presión a la derecha de la pared, ps, es menor que la presión atmosférica, ps < pa:

5. Determine cuánto vale entonces la velocidad V s del chorro y la fracción del caudal del chorro que atraviesael orificio. ¿Que condición debe cumplir ps para que todo el caudal del chorro pase a través del orificio?

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P.11 [EX 11-09-06] Se considera la boquilla esquematizada en la figura adjunta. Dos corrientes de un fluido dedensidad ρ penetran en la misma por la sección de entrada e a través de dos tubos concéntricos de diámetros D1y D2 a velocidades U 1 y U 2, respectivamente. En el interior de la boquilla las dos corrientes se mezclan y giran90 grados en el codo antes de salir a la atmósfera a través del conducto de salida, de diámetro Ds. Conocida lapresión en la sección de entrada, pe, y la presión atmosférica, pa, se pide:

1. Detemine la velocidad en la sección de salida, U s.2. Calcule la fuerza total que se ejerce sobre la boquilla, F = F xex + F yey.

3. Calcule el momento que se ejerce sobre la boquilla respecto al punto 0 indicado en la figura, situado en laintersección de los ejes de los conductos de entrada y salida.

Nota: Ignore el efecto de las fuerzas másicas.

U s

U 2

U 2

U 1

e

s

D1

D2

0

pa

pe

x

y Ds

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P.12 Se considera el movimiento de un ĺıquido de densidad ρ que circula por el interior de un conducto quepresenta una contracción, tal y como se indica en la figura adjunta. Las secciones de entrada y salida tienen áreasA1 y A2 respectivamente. Se conocen también las presiones p1 y p2 en dichas secciones, ası́ como la velocidad delfluido en la sección de entrada, U 1, que supondremos uniforme. Sabiendo que el fluido que rodea la contracciónes aire en reposo a presión atmosférica, pa, se pide:

1. Detemine la velocidad en la sección de salida, U 2.2. Calcule la fuerza total que se ejerce sobre la boquilla.

Nota: Utilice el volumen de control indicado en la figura; ignore el efecto de las fuerzas m ásicas.

2

z

r

n

nn

n

n n

U 1

U 2

p2

Σ1

Σ l

Σ l

A1 A2

p1

Σ

EJEMPLO 6.1 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estradé, A.L. Sánchez Pérez, C. Martı́nez Bazán, “IngenieŕıaFluidomecánica”, Paraninfo 2012

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P.13 Los ensayos de un álabe bidimensional en un túnel aerodinámico muestran que el perfil de velocidad aguasarriba permanece uniforme, mientras que aguas abajo se identifica claramente una estela de espesor crecientedonde existe un déficit de velocidad, tal y como se indica en la figura adjunta. En particular, las medidasrealizadas en una cierta posición x = x0 aguas abajo revelan que el perfil de velocidad en la estela vaŕıa deforma lineal desde el valor u = U/2 en y = 0 hasta alcanzar el valor u = U en el borde de la estela, situado eny = ±y0. Para analizar el problema, considere el volumen de control limitado lateralmente por las dos ĺıneas

de corriente que se extienden desde x → −∞, y = ±y−∞ (y−∞ < y0) hasta x = x0, y = ±y0, y limitadointeriormente por la superficie del álabe. Suponiendo que el aire se comporta como un fluido incompresible condensidad constante ρ y que los esfuerzos viscosos son despreciables en la estela y a lo largo de las ĺıneas decorriente, se pide:

1. Obtenga el valor de y−∞ en función de y0.

2. Determine el valor de la fuerza de resistencia sobre el álabe como función de ρ, y0 y U . Para el análisisasuma que la presión en todo el contorno exterior del volumen de control considerado es constante e iguala p∞ y desprecie el efecto de las fuerzas másicas.


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P.14 Considere el flujo bidimensional del canal que se muestra en la figura. Debido a la presencia de un obst áculoen el fondo del canal, el nivel de agua del canal aguas arriba del obst áculo, h1, desciende hasta alcanzar unvalor constante e igual a h2 aguas abajo de este, con la consiguiente aceleración del flujo. Suponiendo que lavelocidad aguas arriba, u1, y aguas abajo, u2, del obstáculo es uniforme, y despreciando los efectos viscosos enel seno del fluido, se pide:

1. Determine la distribución de presiones aguas arriba, p1(y), y aguas abajo, p2(y), del obstáculo.

2. Calcule la velocidad aguas arriba, u1, y aguas abajo, u2, del obstáculo.

3. Calcule la fuerza horizontal, F , que el fluido ejerce sobre el obstáculo.

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P.15 Una máquina toma aire en régimen estacionario por la sección 1 y lo descarga por las secciones 2 y 3. Laspropiedades en cada sección son las siguientes:

Sección A, m2 Q, m3/2 T, oC p, atm z, m1 0.04 3 294 1.35 12 0.1 1 310 2 33 0.02 1.5 366 ?? 1

(1) (3)

(2)

Q = ?W=110 W

VC

La máquina comunica al aire una potencia de Ẇ = 110 kW. Calcule la presión p3 en atm y el calor transferidoal sistema Q̇ en kW. Suponga que el aire es un gas perfecto con R = 287 y c p = 1004 J/Kg·K.

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P.16 Se desea construir un cohete propulsado por agua. El cohete consiste en un cuerpo ŕıgido en cuyo interiorse encuentra un globo de volumen V (t), dependiente del tiempo, que contiene agua. La boquilla del globo, deárea A0 V

2/3, se encuentra pegada a la base del ingenio (véase figura adjunta). Para calcular la velocidadvertical que alcanzará el cohete, se propone seguir los siguientes pasos:

1. Aplique la ecuación de conservación de la masa al volumen de control definido por la superficie interior del

globo y la sección de salida (boquilla) para obtener una relación entre la variación temporal de volumendel globlo, dV (t)/dt, y la velocidad de salida del lı́quido relativa al cuerpo del cohete, vS . Tenga en cuenta(en especial en el siguiente apartado) que, en un sistema de referencia inercial fijo a tierra, dicho volumende control se mueve a la velocidad del cohete, vc(t). (3 puntos)

2. Haciendo uso de la ecuacíon de conservación de la cantidad de movimiento, calcule la fuerza total ejercidasobre el cohete en un instante dado, t, en función del volumen instantáneo de agua, V (t), su derivada tem-poral, dV (t)/dt, la velocidad instantánea del cohete, vc(t), y su derivada temporal, dvc/dt. Para simplificarel problema se sugiere lo siguiente:

Suponga que la práctica totalidad del volumen de agua se mueve a la misma velocidad que el cuerpodel cohete, vc(t).

El fluido exterior no ejerce fuerza de resistencia aerodinámica sobre el cohete, tan sólo la fuerza

debida a una presión atmosférica uniforme, pa.No se debe despreciar el peso del volumen de agua.

3. Si el cuerpo del cohete tiene una masa m, escriba la ecuación (segunda ley de Newton) que proporcionala variación temporal de su velocidad, vc(t), haciendo uso de la fuerza calculada en el apartado anterior.Compruebe que el resultado es el siguiente:

(m + ρV (t)) dvc

dt =

ρ

A0

dV (t)

dt

2− (m + ρV (t)) g,

siendo ρ la densidad del agua y g la aceleración de la gravedad. (3 puntos)

4. Suponga que el volumen de agua viene dado por la ley V (t) = V 0(1 − kt), siendo V 0 el volumen inicial y k

una constante. Demuestre que en el instante en el que el globo se vaćıa, tf = 1/k, la velocidad viene dadapor: (2 puntos extra)

vc = kV 0

A0ln

1 +

ρV 0m

−

g

k

NOTA: A pesar de las simplificaciones realizadas, las ecuaciones obtenidas son las mismas que se utilizan enlos veh́ıculos lanzadores reales.

a

V(t)

vS

v (t)c

g

p

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P.17 A trav́es del sistema de conductos que se muestra en la figura circula un flujo de agua con velocidadmedia V y presión pe en la sección de entrada. El sistema de conductos presenta una bifurcación, de modo queel flujo principal se divide en dos y descarga a la atmósfera a través de las ramas 1 y 2, con velocidades V 1 yV 2, respectivamente. Suponiendo conocidas las velocidades V , V 1 y V 2, aśı como los diámetros D , D1 y D2, delos conductos, se pide:

1. Calcule la fuerza total que ejercen el fluido y la atmósfera sobre el conjunto de conductos.2. Determine el momento, respecto del punto 0 de la figura, que se ejerce sobre el conjunto de conductos.

3. Razone brevemente qué lugar elegirı́a para colocar una sujeción para el sistema de conductos.

4. Haga aplicación numérica de los apartados 1 y 2 en el caso V = 4 m/s, V 1 = 3,79 m/s, V 2 = 1,91 m/s,D = D1 = 15 cm, D2 = 5 cm, L1 = 5 m, L2 = 8 m, pe − pa = 5000 N/m

2, α = 30o

Nota: Ignore los efectos de las fuerzas másicas.

L1

L2

α

L

D1

V 1

D2

V 2

V

D pa

pa

pe0

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P.18 Las áreas de las secciones de la turbomáquina axial de la figura son, respectivamente A1 y A2. Además dela carcasa fija exterior, la turbomáquina contiene partes móviles en su interior a través de las que se extrae delfluido un trabajo W por unidad de tiempo. La reacción qúımica en la cámara de combustión y la transmisiónde calor a través de las paredes dan lugar a una aportación conjunta de calor al fluido por unidad de tiempo Q.Se conoce el valor de la fuerza axial F que ejerce el gas sobre la turbomáquina. Suponiendo que en la entrada yla salida el movimiento es en dirección axial con propiedades uniformes, se pide obtener el valor de la densidad

ρ2, la presión p2 y la velocidad u2 a la salida en función de las condiciones ρ1, p1 y u1 en la entrada y de losvalores W , Q y F .

2u

F

W Q

p

ρ

u p

ρ1

2

1

1

2


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P.19 La figura adjunta representa una bomba centŕıfuga de geometŕıa conocida por la que circula agua convelocidad y presión a la entrada V o y po uniformes. Sabiendo que, debido a la geometrı́a interna, la velocidad a lasalida, donde las condiciones también son uniformes con p = pa, forma un ángulo α con la dirección tangenciallocal, se pide determinar:

1 La velocidad radial a la salida de la bomba

2 La fuerza axial a la que está sometida la bomba

3 El par que se comunica al agua en este proceso

4 Potencia que debe tener el motor que arrastra a la bomba en el supuesto de que el rendimiento sea launidad


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P.20 Un resalto hidráulico se mueve por efecto de la gravedad con velocidad constante U sobre una capa ĺıquidahorizontal de espesor h0, dejándola en movimiento con una velocidad U 1 y espesor h1. Suponiendo despreciableslos esfuerzos viscosos y las variaciones de presión asociadas al movimiento en el aire, aśı como las fuerzas defricción en la superficie sólida, se pide obtener los valores de U 1 y h1 en función de U , h0 y g. Compruebe quelas distribuciones de presión aguas arriba y aguas abajo del salto hidráulico son de la forma p = pa + ρ(h0 − z) y p = pa + ρg(h1 − z) , donde pa, y z representan la presión en el aire y la distancia vertical a la superficie sólida.

h0

h1 U 1

U

pag


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P.21 Una corriente bidimensional, gaseosa y uniforme de presión p1, densidad ρ1 y velocidad v̄1 = u1ēx incidesobre una cascada de álabes que distan entre sı́ una distancia L, ejerciendo sobre cada uno de ellos una fuerzaF̄ = F xēx + F y ēy. Sabiendo que el gas es calorı́ficamente perfecto, que los álabes están aislados térmicamente yque las fuerzas másicas no influyen en el movimiento, se pide escribir las ecuaciones que permiten calcular lascondiciones uniformes de presión p2, densidad ρ2 y velocidad v̄2 = u2ēx + v2ēy que se alcanzan aguas abajo dela cascada.

=

=

=

F y

ρ

p

v

2

2

2

LF x

p

v

1

1

1

ρ


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P.22 Por el tubo de área A en forma de doble codo circula un gasto volumétrico Q, constante, de un ĺıquidode densidad ρ. Sabiendo que la presión en las secciones de entrada y salida es pe y ps respectivamente, sepide calcular la fuerza que se ejerce sobre el tubo y la l ı́nea de acción de dicha fuerza. Suponga que puedendespreciarse las fuerzas másicas, que las velocidades a la entrada y la salida son uniformes y que en el exteriordel tubo la presión es pa.

A

pe

L

Q ps

pa

Q

EJEMPLO 6.3 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estradé, A.L. Sánchez Pérez, C. Martı́nez Bazán, “IngenieŕıaFluidomecánica”, Paraninfo 2012

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P.23 (11-02-1998) El secador de pelo con simetrı́a axilsimétrica de la figura debe proporcionar de maneraestacionaria un gasto másico de aire G a una temperatura T s y a presión atmosférica pa a traves de una seccióncircular de salida de radio R. El aire entra radialmente en el dispositivo a presión pa y temperatura T a atraves de una entrada lateral de área A. Se sabe que en el interior del secador existe una resistencia eléctricaque proporciona una cantidad de calor Q por unidad de tiempo y un ventilador que transmite una potenciaal fluido W . Debido a la presencia del ventilador, la velocidad del fluido a la salida tiene tanto componente

axial como azimutal, con cociente uθ/uz = β conocido. Suponiendo para simplificar el cálculo que las paredesinteriores fijas del dispositivo y las paredes del ventilador son adiabáticas, que el aire se comporta como ungas ideal de constante Rg y calor especı́fico a presión constante c p, que el efecto de la gravedad es despreciableen el movimiento y que las propiedades del fluido son uniformes en las secciones de entrada y salida, se pidedeterminar en función de G, T s, T a, pa, A, R, Rg, c p y β :

La velocidad en la sección de entrada ur, asi como las componentes uθ y uz de la velocidad en la secciónde salida.

La fuerza que se ejerce sobre el secador, F , indicando claramente su dirección y sentido.

La potencia total que el secador transmite al fluido Q + W .

El par que el fluido ejerce sobre el secador.

ur

u

A

z uθ2R

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P.24 (28-01-2002) Considere el aspersor de riego que se muestra en la figura. A través del conducto deentrada, de sección de paso A, se suministra un caudal de agua conocido, Q, a una presión de suministro pe.Dicho caudal descarga al exterior donde la presión es la presión atmosférica, pa, a través de dos brazos, de áreade paso As, y longitud R, simétricamente situados. Debido al par que el fluido ejerce sobre el aspersor, éste giraa una velocidad angular constante, ω . Considerando un sistema de referencia fijo (inercial), se pide,

Se pide:

1. - Calcule la velocidad del fluido, relativa al aspersor, a la salida de cada uno de los brazos, U s.

2. - Obtenga la fuerza total que se realiza sobre el aspersor indicando su dirección y sentido. Considere quelos esfuerzos de fricción del aire son despreciables y que la presión en la superficie exterior del aspersor es pa.

3. - Suponiendo conocido el valor de la velocidad angular ω, calcule el par que el fluido ejerce sobre elaspersor. En el movimiento estacionario del aspersor, dicho par es igual al par de resistencia, debido a lafricción, que se ejerce sobre el eje de giro.

4. - Si se considera que el par de resistencia es nulo, calcule el valor de la velocidad angular a la cual gira elaspersor.


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P.25 [26-03-2010] Por el interior del tubo de la figura circula un gasto másico ṁ de un ĺıquido perfecto dedensidad ρ y calor espećıfico c, que descarga a la atmósfera. En las secciones de entrada y de salida, de seccionesAe y As respectivamente, el flujo es uniforme y, a través de las paredes del conducto, hay un flujo total de calorpor unidad de tiempo Q̇ hacia el lı́quido. Sabiendo que en la sección de entrada la presión es pe y la temperaturaT e, y que el conjunto se encuentra en una atmósfera a presión pa, determine:

1. Velocidades de entrada y salida en el conducto (2 puntos).2. Componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejercen, conjuntamente, el lı́quido y la atmósfera sobre

el conducto (4 puntos).

3. Temperatura del l ı́quido en la sección de salida (4 puntos).

pa

pa

ṁ

Q̇

As

T s

ue

pe

T e

vs

Ae

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P.26 [07-02-2005] Considere el movimiento de un barco que navega a velocidad de crucero U ∞ constante. Elbarco está dotado de un sistema de propulsión como el que se muestra en la figura. Dicho sistema ingiere uncaudal Q de agua por la sección de entrada, de área Ae. Una hélice carenada comunica al fluido un trabajo Ẇ por unidad de tiempo y el agua sale en forma de chorro por la secci ón de salida, de área As. Las cotas ze y zsde las secciones de entrada y salida son conocidas.

Utilizaremos un sistema de coordenadas (x, y, z) ligado al barco y con origen en la superficie del agua. La

presión atmosférica es pa, la densidad ρ y la gravedad −gez. En este sistema de referencia el fluido se ve venircon velocidad U ∞ex desde x = −∞. Supondremos además que las velocidades U eez y U sex en las secciones deentrada y salida son uniformes. Suponiendo conocidos U ∞, Q, ρ, Ae, As, ze, zs, pa y g :

1. Aplique la ecuación de continuidad en forma integral para obtener una relación entre las velocidades deentrada y salida, U e y U s. A continuación exprese estas velocidades en función de los datos conocidos, enparticular del caudal Q que circula por el sistema.

2. Aplique la ecuación de Bernoulli a la lı́nea de corriente genérica indicada en la figura para obtener el valorde la presión pe en la sección de entrada. Tenga en cuenta que lejos del barco la distribución de presiones p∞(z) es la hidrostática.

3. Aplique la ecuación integral de cantidad de movimiento para obtener la componente x de la fuerza que

se ejerce sobre el sistema propulsivo (incluya la contribución de la presión atmosférica que actúa sobre lapared exterior del mismo). Recuerde que la presión de salida de un chorro es igual a la presión ambienteen la sección de salida, que en este caso corresponde a la presión hidrostática en z = zs

4. Aplique la ecuación de Bernoulli con trabajo entre las secciones de entrada y salida para obtener el trabajoẆ que realiza la hélice sobre el fluido.

z

x

p∞(z)

g

U ∞

pa

ĺınea de corriente

Ae, U e, pe

As, U s, ps

Ẇ

ze

zs

Q

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P.27 [11-09-2006]

Se desea realizar el diseño preliminar de un veh́ıculo sustentado por colchón de aire (hovercraft )como el mostrado en la figura. El veh́ıculo, de masa total M , está dotado de un compresor quetoma aire de la atmósfera para mantener la presión en el interior del colchón de aire, p0, por encima

de la presión atmosférica, pa. Esta sobrepresión genera una fuerza vertical que soporta el peso delveh́ıculo. El aire a presión descarga a la atmósfera a través de la ranura, de altura h, que quedaentre el borde inferior de las faldillas y el suelo. El colchón de aire tiene planta cuadrada de ladoL y es lo suficientemente grande para poder considerar que el aire en su interior est á en reposo,excepto quizás cerca de la ranura de descarga. Se pide:

1. Obtenga la presión, p0, que se necesita en el interior del colchón de aire para soportar el pesototal del veh́ıculo.

2. Utilizando la ecuación del Bernoulli sin pérdidas entre un punto genérico del depósito y lasección de salida, determine la velocidad con que el aire contenido en el interior del colchóndescarga a la atmósfera, V s, aśı como el gasto másico total ṁ.

3. Escriba la ecuación que permite relacionar la presión existente en el interior del colchón, p0,y la potencia suministrada por el compresor al fluido, Ẇ . El diámetro, D, y las longitudes,l1 y l2, del conducto de aire se indican en la figura adjunta.

4. Determine la potencia que el compresor debe suministrar al fluido en el siguiente caso deaplicación práctica: M = 200 Kg, L = 2 m, D = 20 cm, l1 = 50 cm, l2 = 1 m, h = 1 cm.Considere que las paredes del conducto de alimentación son lisas ( = 0), que la entrada tieneun coeficiente de pérdidas K e = 0,8, que el codo es acoplado y de curvatura normal, y que elfluido de trabajo es aire con densidad ρ = 1,2 kg/m3 y viscosidad µ = 1,5 × 10−5 kg/(m·s).

Nota: Ignore el efecto de las fuerzas másicas.

Ẇ

V s

l1

l2

L

pa

p0

h

ṁ

D

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P.27 Solución

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P.28 [24-03-2010] Se tiene un conducto circular de di ámetro D por el que fluye un ĺıquido de densidad ρ,viscosidad µ y calor espećıfico c constantes. Como medidor de caudal, en un punto del conducto hay una placadelgada con un orificio de diámetro d por el que el fluido es guiado, descargando en la sección 2 en forma deun chorro de diámetro igual al del orificio. El ĺıquido en el espacio que rodea al chorro en la sección 2 puedeconsiderarse en reposo a una presión igual a la del chorro. Aguas abajo, el chorro se va abriendo hasta que en3 ocupa toda la sección del conducto con velocidad uniforme.

Entre las secciones 1, aguas arriba de la placa, y 2 se conecta un manómetro diferencial de tubo en U conun fluido manométrico de densidad ρm. La lectura del manómetro es h, según se muestra en la figura.

DV 1, p1

2

h

1

V 2, p2d

V ≃ 0

V ≃ 0

3

V 3, p3

Los datos conocidos en este problema son: los diámetros D y d (definimos el cociente β = d/D), las propie-dades del ĺıquido ρ, µ y c, la densidad del fluido manométrico ρm y la lectura del manómetro h. Se pide:

1. Obtener la expresíon para la diferencia de presiones p1 − p2 a partir de la lectura del manómetro.

2. Relacionar las velocidades V 1 del ĺıquido en el conducto y V 2 del chorro.

3. Mediante aplicación de la ecuación de Bernoulli a la ĺınea de corriente central entre las secciones 1 y 2,relacionar la diferencia de presiones p1 − p2 con las velocidades.

4. Escribir la expresión para el caudal Q en términos de los datos conocidos del problema.

5. Calcular la fuerza horizontal F que ejerce el fluido sobre la placa de orificio. Simplificar convenientementela expresión.

6. Mediante aplicación de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento a un volumen de controladecuado, calcular la caı́da de presión p1 − p3. Suponer que no hay rozamiento en la pared del tubo.

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P.28 Solución

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P.29 [17-05-2010] La figura muestra esquemáticamente el ensayo en banco hidrodinámico de un sistema depropulsión de un submarino. En esencia, consta de un conducto de secciones de entrada y salida Ae y As,respectivamente, que absorbe agua del exterior por la entrada y la expulsa por la salida. En el interior delconducto hay partes móviles a través de las cuales se aporta una potencia mecánica Ẇ al fluido que circula porel conducto, haciendo posible la obtención de una fuerza neta de empuje E para la propulsión del submarino.Suponiendo que el submarino se encuentra en reposo, se pide:

1. Relacione, utilizando la ecuación de conservación de la masa, las velocidades U e y U s en la secciones deentrada y salida, respectivamente.

2. Obtenga, mediante el uso de la ecuación de la cantidad de movimiento, la fuerza de empuje E que generala planta propulsiva especificada, en función de las condiciones en la entrada y en la salida.

3. Suponiendo flujo ideal, relacione las condiciones en la sección de entrada y las condiciones aguas arribaa gran distancia de la misma. Para ello haga uso de la ecuaci ón de Bernoulli entre los puntos 1 y e de lafigura.

4. Aplicando la ecuación de la energı́a en forma integral, relacione la potencia aportada Ẇ con el resto devariables fluidodinámicas que aparecen en el problema. Considere que la variación de energı́a interna entrela entrada y la salida es despreciable, y que las superficies fijas y móviles están aisladas térmicamente.

5. Utilizando las relaciones anteriores, demuestre que el resultado final tiene la forma

E/(ρ1/3 Ẇ 2/3A1/3s ) = f (Ae/As)

NOTA: Considere que los efectos de la gravedad son despreciables y, en consecuencia, la presión exterior alsubmarino es una constante p∞. Suponga además condiciones uniformes en la entrada y en la salida.

E

Ae

Ẇ

ρ

µ

e1

As

U s ps

U e

pe p∞

p∞

s

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P.29 Solución

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P.30 [28-06-2010] Un sistema de extracción de humos industrial, como el mostrado en la figura, toma aire através de una campana circular de diámetro De y lo expulsa a la atmósfera a través de un tubo de diámetroDs < De. Para hacer circular el aire se utiliza un ventilador que realiza un trabajo Ẇ por unidad de tiemposobre el fluido. En el régimen t́ıpico de operación, la densidad ρ y la viscosidad µ del aire pueden suponerseconstantes. Conocido el valor de la presión atmosférica, pa, y sabiendo que, por tratarse del flujo de un gas, elefecto de la gravedad resulta despreciable, se pide:

1. Utilizando la ecuación de continuidad en forma integral, obtenga una ecuación que ligue las velocidadesen las secciones de entrada y salida, U e y U s, con los datos del problema. Suponga que la velocidad esuniforme en las secciones de entrada y salida (1.5 puntos).

2. Aplique la ecuación de Bernoulli a lo largo de la ĺınea de corriente indicada en la figura (entre los puntos(0), lejos de la entrada, y (e), en la secci ón de entrada) y obtenga una ecuación que ligue la presión y lavelocidad en la entrada, pe y U e, con los datos del problema (1.5 puntos).

3. Obtenga las dos componentes, F x e F y, de la fuerza ejercida por el fluido sobre el sistema extractor,incluyendo la fuerza realizada por el aire ambiente en reposo (4 puntos).

4. Utilizando la ecuación de la enerǵıa en forma integral obtenga la velocidad de salida de los gases U s enfunción de la potencia del ventilador Ẇ y los datos del ploblema, para ello suponga que la temperatura

de los gases es la misma a la entrada y a la salida (2 puntos).

5. Calcule los valores numéricos de U s, U e, pe, F x y F y para el siguiente caso de aplicación práctica: De = 2

m, Ds = 0,1 m, ρ = 1,2 kg/m3, µ = 1,8 × 10−5 kg/(m·s), Ẇ = 1000 W, pa = 101300 Pa (1 punto).

Nota: datos del problema: De, Ds, ρ,µ, Ẇ , pa.

Ẇ

U e pe

pa

U 0 Ĺınea de corriente

De

Ds

U s

pa

x

y

pa

(0)

(e)

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P.31 [19-05-2011]

El depósito de sección transversal A que se muestra en la figura contiene un ĺıquido de densidad ρhasta una altura h (h(t = 0) = h0) y aire a una presión p0 que consideraremos constante durante elproceso de descarga. El ĺıquido descarga a la atmósfera a través de una tobera inclinada un ángulo α

con la horizontal y de longitud despreciable. Se pide:

1. Suponiendo flujo ideal, determine la velocidad con que el chorro de ĺıquido descarga a la atmósfe-ra.

2. Escriba la ecuacíon que permite determinar la evolución de la altura de lı́quido dentro del depósitoh(t), junto con sus condiciones iniciales.

3. Determine la fuerza neta que ejerce el fluido sobre el depósito.

4. Obtenga el valor que debe tener la presión del gas p0 para que la báscula, sobre la que está co-locado el conjunto, marque un peso nulo.

Nota: Considere despreciables la masa del aire presurizado en el dep ósito y la masa del depósito.Considere también que el proceso es casi-estacionario.

h

Aire

p0

paAtmósfera

Líquido

vs

α

ρ

As

A

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P.31 Solución

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P.32 [28-06-2011]

Por la unión en forma de T de la figura adjunta circula un ĺıquido de densidad ρ y viscosidad µ. Enlas secciones de entrada 1 y 2, de diámetros D y D/2 respectivamente, los valores de la presión son p1y p2, mientras que los valores de las velocidades son U 1 y U 2. El conducto descarga a la atmósfera, don-

de la presión es pa, a través de la sección s. Suponiendo flujo uniforme en las entradas y salidas, se pide:

1. Determinar el valor de la velocidad en la sección de salida del conducto, U s.

2. Obtener la fuerza neta que se ejerce sobre el conducto F = (F x, F y), en función del ángulo α.

3. Calcular el momento neto (respecto al punto O de la figura) que el fluido ejerce sobre la uníonen T, expresando también el resultado en función del ángulo α.

O

D

U 1

U 2

U s

α

pa

p1

p2

L

D/2

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P.32 Solución

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P.33 [21-03-2012]

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P.33 Solución (1 de 4)

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P.34 [16-03-2012]

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P.35 [16-03-2012]

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P.36 [28-05-2012] Un chorro de agua (densidad ρ) vertical, ascendente, sale de una tobera de diámetro d0; suvelocidad a la salida de la tobera es V 0.

1. Suponiendo que el movimiento es ideal, estacionario y unidimensional, determine:

a ) la velocidad del agua v(z) y el diámetro del chorro d(z) en función de la distancia z a la salida de latobera,

b) la altura máxima hmax que puede alcanzar el chorro y

c ) el volumen de agua en el chorro hasta una altura h < hmax .

pa

d(z)

d0

zV 0

liq, densidad ρ

v(z)ḡ

2. Considere ahora que el chorro impacta contra un disco de diámetro D situado a una altura h. El chorro sedeflecta y sale radialmente mojando toda la superficie inferior del disco, como se esquematiza en la figura.

d(z)

d0

h

z

liq, densidad ρ

V 0

V s

δ s

Ddisco, masa M

g

Suponiendo que el movimiento es ideal y estacionario,

a ) Determine la velocidad radial V s con la que el chorro abandona la superficie del disco en su extremoy el espesor δ s de la capa de ĺıquido allı́, suponiendo δ s h.

b) Escriba la expresión para la fuerza F̄ que el chorro ejerce sobre el disco, identificando adecuadamentela notación.

c ) Determine la fuerza F̄ a través del análisis de un volumen de control adecuado. Para calcular elvolumen del chorro, puede despreciar el volumen de la zona donde el movimiento tiene componenteradial y utilizar la expresión obtenida en el apartado 1c .

d ) Determine la altura de equilibrio heq a la que el chorro podrı́a sostener un disco de masa M .

e ) Determine el valor máximo M max de la masa del disco que el chorro puede levantar.

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P.37 [22-02-2013] En la figura representamos un chorro de l ı́quido que apunta verticalmente sobre una placacaliente de sección circular de masa M y radio R que está situada a una distancia H de la salida del chorro.Queremos calcular la velocidad del chorro U j para que la placa se mantenga estacionaria a esa distancia. Paraello, sabiendo que las fuerzas de viscosidad son despreciables, que la gravedad g = −gez actúa verticalmente,que el flujo de calor por conducción de la superficie de la placa al fluido es Q y que la densidad del l’ıquido esconstante con la temperatura:

Haga uso de la ecuación de Bernoulli y de la ecuación de continuidad para obtener la velocidad radial U ry la anchura de la lámina de agua bajo la placa h H en el borde de salida de la placa en función de lavelocidad U j .

Obtenga la fuerza vertical neta que el fluido ejerce sobre la placa, en funci ón de la velocidad U j , conside-rando que el volumen de control tiene un volumen conocido V 0. La presión atmosférica es P a.

Imponga equilibrio de fuerzas para despejar la velocidad vertical U j del chorro necesaria para soportar laplaca.

Calcule el incremento de temperatura ∆T del fluido en la sección de salida. Considere despreciable latransferencia de calor a través de la superficie libre.

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P.37 Solución

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P.38 [20-05-2013] La figura muestra un modelo de inyector formado por una carcasa fija y un émbolo dediámetro D que se desplaza a una velocidad V respecto de la carcasa fija. Se pretende operar el inyectoranclándolo en un único punto O y mover el émbolo aplicando sobre él una fuerza F , mediante un actuadoraxial.

000000000000000000000000000000000000

000

000

111111111111111111111111111111111111

111

111

Carcasa

pa pa

V sDV F

O

d

Émbolo

Aplicando el Análisis Dimensional, se pide:

1. Determine las magnitudes f́ısicas de als que depende la potencia W que debe suministrar el actuador.

2. Utilice el Teorema Π para reducir el número de parámetros de los que depende W

3. Simplifique la expresión anterior para el caso en que los efectos de la viscosidad son despreciables.

A continuación se realizará un análisis detallado del sistema, para lo cual, utilizando las Ecuaciones deConservación:

4. Determine la velocidad de descarga del chorro V s en la atmósfera, en funcíon de los datos del problema.

5. Determine la fuerza ejercida conjuntamente por el fluido sobre el émbolo y sobre la carcasa, F̄ E + F̄ C .

6. Determine el momento ejercido por el fluido conjuntamente sobre el émbolo y la carcasa M̄ O,E + M̄ O,C ,

respecto del punto O .

Para realizar los apartados 5 y 6, considere que el término no estacionario es despreciable en las ecuacionescorrespondientes.

7. Aplicando la ecuación de Bernoulli, obtenga la presión sobre la superficie del émbolo, pE , suponiendo queésta es uniforme. Indique en qué casos es aplicable este resultado.

8. Con el resultado del apartado anterior, desglose las fuerzas y momentos ejercidos por el fluido sobre elémbolo y la carcasa. Indique los valores de la fuerza F̄ ejercida por el actuador y de la reacción (fuerza ymomento) en el punto O .

9. A la vista del análisis realizado, comente los resultados obtenidos mediante análisis dimensional.

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P.39 [14-01-2014] La figura muestra un depósito de masa M con base cuadrada de lado L que, inicialmente,contiene agua hasta un nivel H 0 < L. El depósito está montado sobre una báscula que mide la fuerza verticalejercida por el depósito sobre la misma. En estas condiciones se pide:

1. Determine la fuerza medida por la báscula F B0 en estas condiciones.

2. Determine la fuerza neta F c realizada por el fluido (agua + aire) sobre la compuerta triangular indicadaen la figura.

En el instante t = 0, se comienza a llenar el depósito mediante dos chorros concéntricos que inciden en el centrodel depósito, con caudales Q1 y Q2 y temperaturas T 1 y T 2. Estos chorros caen desde una altura H medidadesde el fondo del depósito y con secciones iniciales A10 y A20 respectivamente, como se indica en la figura yvan llenando el depósito que, en un instante genérico, alcanza un nivel h(t). Si consideramos despreciables losefectos viscosos en el trayecto de los chorros hasta la superficie libre del depósito,(Nota: Especifique claramentelos volúmenes de control utilizados y las velocidades de sus contornos v̄c)

3. Determine las velocidades (v1, v2) y las secciones de los mismos (A1, A2) al incidir sobre la superficie libredel agua contenida en el depósito.

4. Determine la ley de variacíon de h con el tiempo.

5. Considerando el proceso como quasi-estacionario, determine la fuerza F B medida por la báscula en estascondiciones.

En el instante t = t1 la temperatura del agua contenida en el depósito es T 0. En este instante se abren losdos conductos de salida indicados en la figura, de dimensiones despreciables frente a L y frente a h. Si sepuede considerar que los esfuerzos viscosos son despreciables, que la sección transversal de los conductos es As(iguales), y que el proceso de descarga es quasi-estacionario,

6. Determine el caudal de salida Qs que sale porcada uno de los conductos de salida, comofunción de h(t).

7. Escriba la ecuacíon y condiciones iniciales

que determinan la altura h como función deltiempo en las nuevas condiciones. Obtengael valor asintótico de h para t → ∞.

8. Escriba la ecuación (con las condiciones ini-ciales adecuadas) que determina la tempera-tura del agua en el depósito. Considere pa-ra ello que los dos chorros se mezclan muyrápido con el agua existente en el depósitoy que, en consecuencia, el agua que sale porlas toberas de salida lo hace a la temperatu-ra instantánea del agua en el depósito T (t).Desprecie los términos de trabajo producido

por disipación viscosa y por la gravedad, laenergı́a cinética y considere todo el procesoadiabático. Considere que la enerǵıa internadel ĺıquido viene data por e(T ) = cvT . Ob-tenga el valor asintótico de la temperatura T para t → ∞.

9. Indique la fuerza medida por la báscula en las nuevas condiciones. Determine el área de salida As para que,en tiempos grandes, las toberas compensen exactamente el efecto de los chorros de entrada y la b ásculamida exactamente el peso del depósito y el peso del agua.

10. Cuestión opcional. Punto adicional Determine el momento neto, respecto el origen de coordenadas,ejercido por el agua sobre el depósito.

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P.40 [21-05-2014]El Flyboard es una tabla de propulsión a chorro que, conectada a una moto de agua, permiteal usuario elevarse sobre la superficie y vivir la sensación de volar sobre el mar (véase figura). La tabla disponede un orificio de entrada de diámetro De que se conecta a través de una bifurcación en “Y” con dos toberas desalida idénticas orientadas en dirección opuesta, ambas con diámetro Ds. Conocido el caudal Q que circula porel sistema, se pide:

1. Determine la velocidad ve y vs en las secciones de entrada y salida y los gastos másicos Ge y Gs quecirculan por ellas en función de magnitudes conocidas (ρ, Q, De y Ds).

2. Suponiendo que el flujo en la bifurcación es no viscoso, utilice la ecuación de Bernoulli entre las seccionesde entrada y salida para determinar la presi ón manométrica en la sección de entrada, pe = pe − pa, enfunción de magnitudes conocidas (ρ, Q, De, Ds, ve, vs, Ge y Gs). Suponga para el análisis que entrada ysalida se encuentran a la misma cota, ze zs.

3. Obtenga la fuerza total F̄ Flyboard que el agua y el aire exterior, a presión pa, ejercen sobre la tabla. Expreseel resultado en función de magnitudes conocidas (ρ, Q, De, Ds, ve, vs, Ge, Gs, pe y ps ≡ pa).

4. Determine los valores numéricos de ve, vs, Ge, Gs, pe y F̄ Flyboard en el caso particular Q = 3800 litros/min,De = 10 cm y Ds = 5 cm. Suponga que el sistema opera con agua de mar, cuya densidad es ρag-sal =1025 kg/m3, y que el volumen de fluido contenido entre las secciones de entrada y salida de la bifurcación

en “Y” es de V fluido = 2 litros.

5. Sabiendo que la manguera de conexión a la moto de agua tiene un peso de 1,25 kg/m y que el peso delusuario más la tabla es de W usuario+tabla = 120 kg, se pide estimar la altura máxima que se podŕıa alcanzaren “vuelo” vertical estacionario.

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Solución:

Para el flujo estacionario de un líquido (ρ = cte) la ecuación de conservación de la masa se reduce a

s

Gs −e

Ge = 0

Escribiendo Gi = ρQi y teniendo en cuenta que hay dos salidas idénticas, cada una con un gasto másicoGs y un caudal Qs, y una única única entrada, con gasto másico Ge y caudal Qe, resulta

2Gs −Ge = 0 → 2Qs −Qe = 0 → 2Qs = Qe ≡ Q → Qe ≡ Q, Qs ≡Q

2

un resultado trivial que ya estaba indicado en la figura que acompaña al enunciado. Las definiciones decaudal y gasto másico permiten calcular las velocidades ve y vs en las secciones de entrada y salida y losgastos másicos correspondientes Ge y Gs

ve = Qe

Ae=

4Q

πD2e

vs = Qs

As=

2Q

πD2s

Ge = ρQ Gs = ρQ

2

(1)

La presión manométrica en la sección de entrada se puede despejar directamente de la ecuación deBernoulli en función de ve y vs

pe + ρv2e2

+ ρgze = ps + ρv2s2

+ ρgzs

de donde

pe = ps pa

+ρv2s − v

2e

2 + ρg (zs − ze)

0

→ pe = pe − pa = ρv2s − v

2e

2

Para el flujo estacionario de un líquido (ρ = cte) con entradas y salidas 1D, la ecuación de conservaciónde la cantidad de movimiento se reduce a

s

Gsv̄s −e

Gev̄e = −

Σc

pn̄ dσ +

Σc

f̄ v dσ +

V c

ρḡ dV

W̄ fluido≡ ρḡV fluido

Particularizando esta ecuación al caso de una entrada y dos salidas idénticas, cada una con velocidad vs,y recordando que en las secciones de entrada y salida unidimensionales los esfuerzos viscosos son nulos,la ecuación anterior se puede reescribir en la forma

2Gsv̄s −Gev̄e = − peAen̄e − 2 psAsn̄s −

Σp

pn̄ dσ +

Σp

f̄ v dσ

F̄ Flyboard→agua=−F̄ agua→Flyboard

+ρḡV fluido

donde la integral de las fuerzas de presión y de viscosidad extendida a la pared sólida de la bifurcación enY del Flyboard representa la fuerza que ésta realiza sobre el líquido que circula por su interior. Teniendoen cuenta que esta fuerza es igual, pero de signo contrario, a la fuerza que el agua realiza sobre el Flyboard ,y despejando esta última, tenemos

F̄ agua→Flyboard = Gev̄e − 2Gsv̄s − peAen̄e − 2 psAsn̄s + ρḡV fluido

Expresión en la que podemos incluir la fuerza que la atmósfera exterior a presión pa realiza sobre lacarcasa del Flyboard sin más que trabajar con presiones manométricas ( pi = pi − pa)

F̄ agua+atm→Flyboard = Gev̄e − 2Gsv̄s − p

eAen̄e − 2 p

s 0

Asn̄s + ρḡV fluido

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Nótese que la presión manométrica en la sección de salida es cero por tratarse de un chorro libre quedescarga a la atmósfera. Por otro lado, en este problema

v̄e = veēz, v̄s = −vsēz,

n̄e = −ēz, n̄s = −ēz,

lo que sustituido en la ecuación anterior proporciona la siguiente expresión para la fuerza total que losfluidos (agua + aire atmosférico) ejercen sobre el Flyboard

F̄ agua+atm→Flyboard = (Geve + 2Gsvs + p

eAe − ρgV fluido) ēz

Haciendo aplicación numérica para los datos que se indican en el enunciado se obtienen los siguientesvalores

ve = 8,064 m/s vs = 16,13 m/s Ge = 64,92 kg/s Gs = 32,46 kg/s

pe = pe − pa = ρv2s − v

2e

2

= 99977 Pa 0,9867 atm

F̄ agua+atm→Flyboard = (523,5

Geve

+ 1047

2Gsvs

+785,2

peAe

− 20,1

ρgV fluido

) ēz N = 2336 ēz N 238 ēz kgf

Como puede comprobarse, la contribución más importante a la fuerza que los fluidos ejercen sobre elFlyboard es la fuerza de propulsión a chorro asociada al flujo convectivo de cantidad de movimiento en lastoberas de salida. No obstante, los términos de presión y flujo convectivo de cantidad de movimiento en lasección de entrada también son muy importante, tanto que la combinación de ambos da una contribuciónincluso mayor a la de los chorros de salida. Finalmente, se puede observar que el peso del fluido contenidoen el volumen de control resulta totalmente despreciable frente al resto de términos que aparecen en elbalance de cantidad de movimiento.

En condiciones de vuelo estacionario, la fuerza vertical hacia arriba que el agua y la atmósfera ejercensobre el Flyboard debe ser igual a la fuerza vertical hacia abajo que debe soportar el sistema. Esta fuerzaes debida al peso del usuario, la tabla, la parte emergida de la manguera y la correspondiente columnade agua. De este modo, para obtener la altura H igualamos la fuerza vertical total que se ejerce sobre elFlyboard (238 kg) con la suma de los pesos del usuario más la tabla (120 kg), la parte emergida de lamanguera (1,25H ) y la correspondiente columna de agua (ρAeH ), de donde podemos despejar H paraobtener

238 = 120 + (1,25H + 8,05

ρAe

H ) → H = 238− 120

1,25 + 8,05 = 12,7 m

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P.41 [23-6-2014]El doctor Claw, cansado de que el inspector Gadget le gane todas las batallas, decide hacer unmodelo que le permita comprender el funcionamiento del gadgeto-helic óptero. El modelo está compuesto portres álabes por los que se deja salir un ĺıquido, de densidad ρ0 y viscosidad µ0, inyectado desde una botella demasa m + ρ0V 0, siendo V 0 el volumen de la botella. El volumen de la botella coincide con el volumen inicial deĺıquido dentro de la botella. En el cuello de la botella existe un regulador de caudal que permite controlar elcaudal que sale de la botella y mantenerlo constante. El ĺıquido circula por el interior de cada álabe y sale por

el extremo de los mismos, por una sección de área A0, con componente circunferencial y formando un ángulo αcon la horizontal. Se genera una fuerza vertical F y, que se pide calcular. La velocidad de giro de las aspas es ω .

1. Calcule el tiempo máximo de vuelo si el caudal de salida del lı́quido por cada álabe se mantiene constantee igual a Q. Tenga en cuenta que el volumen de fluido en el interior de la botella cambia a pesar de queel volumen de la botella permanece constante.

2. Obtenga la fuerza vertical F y generada por el ĺıquido en función del caudal Q de l ı́quido que sale por cadaálabe y del ángulo α. Considere que el tiempo de vaciado de la botella es mucho mayor que el tiempo deresidencia del ĺıquido en los álabes, de modo que el proceso es casi estacionario. El efecto de la gravedades despreciable en el movimiento del l ı́quido. Especifique claramente el volumen de control elegido.

3. Calcule la fuerza vertical total en funcíon de la velocidad de giro ω si la fuerza de sustentación ejercidapor el aire sobre cada álabe es L = ρ

aire(ωR)2SC

L/2, siendo la densidad del aire ρ

aire, el área de cada

álabe S y el coeficiente de sustentación C L datos conocidos.

4. Aplicando equilibrio de momentos, obtenga la velocidad de giro ω . Para ello, calcule el par generado porel fluido al salir respecto del eje de giro y tenga en cuenta que la fuerza de resistencia del aire sobre cadaálabe D = ρaire(ωR)

2SC D/2 se aplica a una distancia 3R/4 del eje de giro. El coeficiente de resistenciaC D es conocido. Calcule, además, la potencia desarrollada por el artilugio.

5. Usando la segunda ley de Newton, escriba la ecuación que permite calcular la velocidad vertical de ascensodel conjunto U (t) si el modelo está pensado para elevar una masa M . Tenga en cuenta que la masa deĺıquido almacenada en la botella cambia con el tiempo y que el caudal de ĺıquido que sale por los álabesse mantiene constante Q modificando la apertura del regulador de caudal que se encuentra en la botella.

6. Resuelva la ecuación anterior para obtener la velocidad de ascenso U (t) en el caso ρ0V 0 ∼ ρ0Qt M + m

si U (t = 0) = 0.

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P.42 Solución

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P.43 Un ĺıquido de densidad ρ y calor especı́fico c constantes forma un chorro bidimensional plano de espesorh y velocidad uniforme v que incide sobre una cuña asimétrica de forma y dimensiones mostradas en la figura.La cuña divide el chorro en dos capas de flujo desigual de modo que una fracci ón α del flujo volumétrico Q (Qes flujo volumétrico por unidad de longitud en la dirección z) se desvı́a hacia el lado que forma un ángulo θ yel resto se desvı́a hacia el otro lado formando un ángulo 2θ.

v, T 0

Q

h

L

(1− α)Q

pa

2θ

θ

αQ

T 1

T 2

y

xx̄0

h1

h2

pa

pa

q

q

El proceso es estacionario. Suponga que los efectos de la viscosidad y gravitatorios son despreciables.

1. Determine la velocidad uniforme del fluido en cada una de las dos capas de fluido que se forman sobre lacuña.

2. Determine los espesores h1 y h2 de las capas de fluido.

3. Determine la fuerza F̄ (por unidad de longitud en la dirección z) que el lı́quido del chorro y el aire ambienteejercen sobre la cuña.

4. Determine el momento M̄ 0 de la fuerza F̄ con respecto a la esquina de la cuña en x̄0. Indique el valor dela fracción α que produciŕıa un momento M̄ 0 nulo.

5. Conocidas la temperatura T 0 del chorro incidente y las temperaturas T 1 y T 2 de las capas de ĺıquidocuando pierden el contacto con la cuña, determine el flujo de calor por unidad de superficie q que setransfiere desde el ĺıquido a la cuña. Suponga que el flujo de calor es uniforme sobre la cuña y que no haycalor transferido por conducción entre el ĺıquido y el aire ambiente.

6. Calcule numéricamente los resultados anteriores usando los siguientes datos:

v = 0,4 m/s; h = 10 cm;T 0 = 20

◦C; T 1 = 18◦C; T 2 = 15

◦C;ρ = 1000 kg/m3; c = 4216 J/(kg K);L = 30 cm; θ = 20◦; α = 0,8.

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P.44 [13-1-2015] El depósito ciĺındrico de la figura, de diámetro D y altura H , se llena de un fluido de densidadρ. Para ello se utiliza una tubeŕıa, de sección circular y diámetro d D, situada en el fondo del depósito ypor la que entra un caudal Q constante y conocido. La tubeŕıa de alimentación se cierra cuando la válvula deflotador A alcanza una posición horizontal. El flotador, que tiene un volumen V y una densidad ρv > ρ/2, se unemediante una varilla sin masa de longitud l a una rótula en el punto O que permite a la varilla girar libremente.Utilizando el volumen de control V c especificado en la figura

1. Calcule el tiempo necesario para que la válvula alcance una posicíon horizontal si la válvula estabainicialmente en z = 0.

2. Obtenga la fuerza vertical F z y el par M (momento de la fuerza F z) respecto al punto O ejercida por lavarilla sobre la válvula A. Para ello aplique la segunda ley de Newton a la válvula A y tenga en cuentaque la velocidad de ascensión de la superficie de agua es dh/dt y que el flotador tiene un volumen V /2sumergido en el fluido.

3. Calcule la variación de la presión en el fondo del depósito z = 0 con la altura de agua h. Tenga en cuentaque la velocidad del fluido en el depósito es vertical en todo el depósito, excepto en una región pequeñaalrededor de la sección de entrada del depósito de tamaño d D.

4. Obtenga la fuerza horizontal que el fluido ejerce sobre el depósito ciĺındrico sabiendo que la presión del

fluido que entra por la tubeŕıa de alimentación es igual a la presión en el fondo del depósito.

NOTA: La presión del aire en el exterior es pa.

O

Q

H

h

D

F zz l

A

g

x V c

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P.45 [20-5-2015] Considere un chorro de agua vertical, descendente, que emerge a presi ón atmosférica pa ytemperatura ambiente T a de una tobera circular de diámetro D0 con velocidad inicial U 0. La salida de la toberase encuentra a una altura z = H 0. Una vez que el chorro fluye en la atm ósfera, se acelera por efecto de lagravedad y su diámetro D(z) disminuye progresivamente. El flujo es estacionario, axisimétrico y las propiedadesf́ısicas del agua (densidad ρ, viscosidad µ, calor especı́fico c y conductividad térmica k) son constantes.

1. (1 pt) Indique la condición que debe satisfacer la velocidad U 0 para que los efectos viscosos sean despre-ciables en el chorro y este pueda analizarse como un chorro ideal. En el resto del problema, suponga quese cumple esta condición.

2. (1 pt) Determine la velocidad del chorro U (z) en función de la altura z .

3. (1 pt) Determine el diámetro del chorro D(z) en función de la altura z.

4. (1 pt) En la expresión para la velocidad del chorro, haga aparecer expĺıcitamente el número de Froude

F r = U 2

0

gH 0y considere el ĺımite F r 1, correspondiente a efectos gravitatorios despreciables. Determine

la velocidad y el diámetro del chorro en este caso y suponga aplicable este lı́mite en el resto del problema.

El chorro (considerado ideal y con efectos gravitatorios despreciables) incide sobre una placa circular deradio R > D0/2, que lo deflecta en un peĺıcula en la que el agua fluye radialmente.

5. (2 pt) Determine la velocidad radial del agua en la peĺıcula U r al abandonar el borde de la placa y elespesor h de la peĺıcula en este punto.

6. (2 pt) Calcule la fuerza neta F̄ p que el chorro y el aire ambiente ejercen sobre la placa.

7. (2 pt) Si la placa se encuentra a temperatura constante T p > T a, calcule la temperatura T r de la pelı́culaen el borde de la placa. Considere que el chorro solamente intercambia calor con la placa (no intercambiacalor con el aire ambiente) y utilice la siguiente estimaci ón para el gradiente de temperatura sobre la

placa: ∇T = T r − T p

h ēz.

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P.46 [30-6-2015] La incubadora esquematizada en la figura consiste en una cámara donde el aire se remansaa la temperatura T c > T a y una ligera sobrepresión pc > pa. Un ventilador aspira aire ambiente y lo hacepasar a través de un calentador que lo calienta hasta la temperatura deseada T c. El aire entra en el conductode suministro a través de una entrada de sección Ae y escapa de la cámara incubadora a través de una ranurade sección As. Podemos considerar en esta aplicación que el aire es incompresible y sus propiedades fı́sicasno dependen de la temperatura. En las secciones de entrada y salida, la velocidad y temperatura del aire son

uniformes. Las paredes del dispositivo están térmicamente aisladas. El tamaño de la cámara, de volumen V c, esmuy grande comparado con las secciones de entrada y salida, V c A

3/2s , A

3/2e , lo cual justifica la aproximación

de que el aire está en remanso en la cámara. El flujo es estacionario y podemos despreciar los efectos gravitatorios.

aire, T a, pa

aire, T a

, pa

Q̇

Ẇ aire, T c, pc

área Ae

v ∼ 0

área As

z x

1. Si el aire de la cámara, aproximadamente en reposo en la mayor parte de su volumen, se acelera de maneraideal por efecto de la sobrepresión para salir con velocidad uniforme a través de la ranura, determine lavelocidad uniforme vs con la que el aire escapa de la incubadora a través de la ranura de área As.

2. Determine el gasto másico G de aire que circula por el sistema.

3. Determine la velocidad ve y presión pe del aire en la sección de aspiración de la bomba, de área Ae.

4. Suponiendo despreciables los efectos de la disipación viscosa de enerǵıa, y puesto que las paredes deldispositivo están térmicamente aisladas, el aumento de temperatura del aire se consigue por el único efectode la potencia caloŕıfica transferida por la resistencia del calentador. Determine la potencia caloŕıfica Q̇que se transfiere al aire.

5. Determine la potencia Ẇ que el ventilador comunica al aire en estas condiciones de operaci ón.

6. Determine la fuerza F̄ que el aire del interior y el aire ambiente, en reposo, ejercen sobre el dispositivo.

7. Calcule numéricamente Q̇ y Ẇ con los datos Ae = 510−3 m2, As = 410

−3 m2, T a = 15 ◦C, T c = 60

◦C, pc − pa = 0,6 Pa, ρ = 1,2 kg/m3, µ = 1,8 10−5 kg/(m s), cv = 717 J/(kg K).

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P.47 [27-3-2015] El dispositivo mezclador de la figura está compuesto por dos tubeŕıas, una horizontal rectade diámetro D y otra vertical de diámetro d que finaliza en un codo de 180o. El sistema admite dos corrientesde un mismo gas, de propiedades Rg y γ conocidas, por los extremos de la tubeŕıa horizontal. El gas entrapor un lado con presión p1 y densidad ρ1 y, por el otro, con presión p2 y densidad ρ2, todas ellas conocidas.Ambas corrientes se mezclan y salen por la tubeŕıa vertical formando un chorro descendente que descarga a laatmósfera a presión ambiente pa.

v2, p2, ρ2

x y

z

ḡd

aire, pa

D

v1, p1, ρ1

vs, ρ

s

Por tratarse de un gas, el efecto de las fuerzas másicas es despreciable. Sabiendo además que el proceso demezclado es estacionario y que no se produce intercambio significativo de calor con el exterior, se pide:

1. Determine el gasto másico Gs que sale por la sección de salida.

2. Aplicando la ecuacíon de la energı́a al sistema mezclador, estime la densidad del gas ρs en la sección desalida; suponga para ello que la energı́a cinética de los gases es despreciable frente a su energı́a térmica:

v2

2 h con h = e +

p

ρ = c pT =

γ

γ − 1

p

ρ

Nota: esta aproximación sólo es válida cuando la velocidad del gas es mucho menor que la velocidad delsonido.

3. Combinando los dos resultados anteriores, determine la velocidad del gas vs en la sección de salida.

4. Calcule la fuerza neta F̄ = F xēx + F z ēz que el gas y el aire exterior en reposo ejercen sobre el dispositivo.

5. Determine la temperatura del gas T s en la sección de salida.

Aplicación numérica:

6. Calcule el valor del gasto Gs, la densidad ρs, la velocidad vs, la fuerza F̄ , y la temperatura T s a partir delos siguientes datos:

D = 4 cm, d = 3 cm

v1 = 20 m/s, p1 = 1,4 atm, ρ1 = 1,7 kg/m3

v2 = 10 m/s, p2 = 1,5 atm, ρ2 = 1,5 kg/m3

γ = 1,4, Rg = 287 J/(kg · K), pa = 1 atm ≡ 101325 Pa

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P.47 Solución

1. Determine el gasto másico Gs que sale por la sección de salida.

− ρ1v1A1

G1− ρ2v2A2

G2+ ρsvsAs

Gs= 0 → Gs = G1 + G2 = (ρ1v1 + ρ2v2)π

D2

4

2. Aplicando la ecuacíon de la energı́a al sistema mezclador, estime la densidad del gas ρs en la sección desalida; suponga para ello que la energı́a cinética de los gases es despreciable frente a su energı́a térmica:

v2

2 h con h = e +

p

ρ = c pT =

γ

γ − 1

p

ρ

Gs

e +

p

ρ h

+v2

2 + gz

s

− G1

e +

p

ρ h

+v2

2 + gz

1

− G2

e +

p

ρ h

+v2

2 + gz

2

= Ẇ MAQ + Q̇

Despreciando la enerǵıa potencial (gz) y la energı́a cinética (v2/2) frente a la energı́a térmica (h) y teniendoen cuenta que no hay superficies móviles que realicen trabajo sobre el fluido ( Ẇ MAQ = 0) ni intercambio

significativo de calor con el exterior ( Q̇ = 0), la ecuación anterior se reduce a

Gshs − G1h1 − G2h2 = 0

o bienρsvsAs

Gs

γ

γ − 1

psρs

hs

− ρ1v1A1 G1

γ

γ − 1

p1ρ1

h1

− ρ2v2A2 G2

γ

γ − 1

p2ρ2

h2

= 0

Simplificando esta expresión y escribiendo las áreas en función de los diámetros se obtiene finalmente lavelocidad en la sección de salida

vs pad2 − (v1 p1 + v2 p2)D

2 = 0 → vs =

v1 p1 + v2 p2

pa

D

d

2

donde se ha tenido en cuenta que ps = pa.

3. Combinando los dos resultados anteriores, determine la velocidad del gas vs en la sección de salida.

ρs = GsvsAs

= (ρ1v1 + ρ2v2) π

D2

4

vs πd2

4

= (ρ1v1 + ρ2v2)D

2v1 p1 + v2 p2

pa

D

d

2

vs

d2

= ρ1v1 + ρ2v2

(v1 p1 + v2 p2)/pa

4. Determine la temperatura del gas T s en la sección de salida.

p

ρ = RgT → T s =

1

Rg

pa

ρs=

1

Rg v1 p1 + v2 p2

ρ1v1 + ρ2v25. Calcule la fuerza neta que el gas y el aire exterior en reposo ejercen sobre el sistema, F̄ = F xēx + F z ēz.

Gsv̄s − G1v̄1 − G2v̄2 = − p1n̄1A1 − p2n̄2A2 − psn̄sAs − F̄ gas→mezclador

Para incluir el efecto del aire exterior a presión atmosférica pa solo hay que sustituir las presiones absolutaspor presiones manométricas

F̄ = F̄ gas→mezclador + F̄ ext = −Gsv̄s + G1v̄1 + G2v̄2 − p

1n̄1A1 − p

2n̄2A2 − p

sn̄sAs

Sustituyendo v̄s = −vsēz, v̄1 = v1ēy, v̄2 = −v2ēy, n̄1 = −ēy y n̄2 = ēy y teniendo en cuenta que la presi ónen la sección de salida es igual a la presi ón atmosférica, ps = ps − pa = 0, tenemos

F̄ = Gsvsēz + G1v1ēy − G2v2ēy + p

1ēyA1 − p

2ēyA2

= Gsvsēz + (G1v1 + p

mecánica de fluidos: problemas ecuaciones generales de conservación

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