UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ÁLGEBRA LINEAL BÁSICA (2015555)

Anteriormente llamada: (2001004) Algebra lineal; (2001279) Algebra lineal I

Tipología: Fundamentación (4 créditos) (4 h/sem: Clase + Taller) (Prerrequisito: NINGUNO)

Profesora: Sandra Carolina García Martínez. Edificio: 404. Oficina: 311. Atención: L y Mie: 16-17.

E-mail: sacgarciama@unal.edu.co Blog: cursoscgunal.wordpress.com

Descripción:

El curso básico de álgebra lineal consta de dos partes. En una de ellas se estudian los espacios vectoriales, las transformaciones lineales, el álgebra de las matrices, la teoría de determinantes y la solución de sistemas de ecuaciones lineales. La otra parte del curso tiene que ver con aspectos geométricos elementales del álgebra lineal y se estudian conceptos y técnicas básicas de álgebra vectorial en R2, R3 y Rn. Se destacan la existencia de las bases, el teorema del rango para transformaciones lineales, el teorema de representación de transformaciones lineales por medio de matrices, el algoritmo de Gauss-Jordan para calcular rangos, nulidades, determinantes, inversas de matrices y resolver sistemas de ecuaciones lineales. En la parte geométrica se destacan el producto interno, la noción de distancia, la desigualdad triangular, la desigualdad de Cauchy-Schwartz y método de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Objetivos: Que el alumno al finalizar el curso esté en capacidad de reconocer y aplicar los conceptos, resultados y técnicas fundamentales del álgebra lineal básica tales como los espacios vectoriales, las transformaciones lineales, las matrices, los determinantes, el algoritmo de Gauss-Jordan, la solución de sistemas de ecuaciones lineales y los aspectos básicos de la geometría vectorial del plano, del espacio y de Rn. En particular, deberá poder aplicar la estructura euclidiana usual en Rn a diversas situaciones geométricas y físicas, en lo referente a distancias, perpendicularidad, paralelismo, etc.

PARCELACIÓN DEL CONTENIDO

Febrero- 2015

CAPITULO SEMANA TEMAS

SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

1

Introducción a los sistemas lineales. Sistemas homogéneos. Solución de sistemas. Sistemas equivalentes.

Operaciones elementales entre Filas. Matrices equivalentes. Matriz escalonada.

2

Algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación de Gauss. Sustitución hacía atrás.

Análisis del conjunto solución de un sistema.

VECTORES EN Rn

3

Vectores en Rn. Vectores y coordenadas. Vectores libres. Operaciones (suma y producto por escalar) y sus propiedades

Combinación lineal. Espacio generado. Producto Ax. Espacio nulo y espacio columna de una matriz.

4

Independencia lineal. Producto escalar y propiedades. Magnitud. Angulo. Ortogonalidad. Paralelismo. Proyección de un vector.

Rectas, planos e hiperplanos en Rn. Producto cruz en R3.

MATRICES

5

Definición y tipo de matrices. Suma y producto por escalar. Propiedades.

Producto de matrices y propiedades. Matrices invertibles. Transposición. Matriz simétrica, antisimétrica, idempotente, nilpotente, ortogonal.

6

Matrices elementales. Factorización LU.

7 Determinantes. Propiedades. Cálculo de determinantes. Matriz Adjunta

8

Espacios Vectoriales. Definición y propiedades. Subespacios vectoriales.

ESPACIOS VECTORIALES

9

Generalización de los conceptos de combinación lineal, espacio generado e independencia lineal. Base y dimensión. Coordenadas respecto a una base ordenada.

Cambio de base. Rango y nulidad.

10

Producto escalar y base ortonormal. Matriz ortogonal. Proyección ortogonal.

Proceso de Gram-Schmidt. Factorización QR

TRANSFORMACIONES LINEALES

11

Transformaciones lineales. Definición y propiedades básicas. Núcleo e imagen.

Matriz asociada a una transformación lineal.

12

Transformaciones inyectivas, sobreyectivas e Isomorfismos.

Algebra de transformaciones lineales.

VALORES Y VECTORES PROPIOS

13

Valores y vectores propios. Propiedades básicas. Espacio propio.

Valores y vectores propios de matrices especiales. Matrices semejantes. Caracterización de valores y vectores propios

14

Matrices diagonalizables.

Matrices ortogonalmente diagonalizables.

PERIODO DE

EXÁMENES

5 Primer Examen (Sis. Lineales-Vectores Rn)

10 Segundo Examen (Matrices- Esp. vectoriales)

15 Tercer Examen (Transf. lineales-valores propios)

Método de trabajo:

El profesor de la clase magistral presentará los principales conceptos del curso.

Es deber del estudiante, el preparar cada tema previamente a la correspondiente clase, realizar, previamente al taller, al menos los ejercicios indicados como Guías y participar activamente en las discusiones de las clases y talleres.

Evaluación:

3 Parciales (25% cada uno).................75% Quizes y participación .........…............25%

NOTAS: Los quizes se realizarán al final de la clase y se informarán con una semana de anticipación.

Bibliografía:

-George Nakos David Joyner. Algebra Lineal con Aplicaciones, International Thomson Editore. 1999.

-Strang, G. Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2009.

-Roman, S. Advanced Linear Algebra, Springer, 1992.

-Kolman, B. Algebra Lineal. McGraw-Hill.

-Fraleigh, B. and Beauregard, R. Linear Algebra Addison-Wesley, 1994

-Hoffman, K. and Kunze, R. Álgebra Lineal Pearson-Prentice Hall. Octava edición, 2001.

-Héctor Jairo Martínez y Ana María Sanabria. Álgebra Lineal, Programa Editorial Universidad del Valle. 2014.