clase 2 álgebra

MATEMÁTICAMATEMÁTICA

ClaseÁlgebra

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Identificar los factores presentes en un término algebraico, para determinar factor común.

• Utilizar técnicas para determinar factor común

simple y compuesto.• Identificar productos

notables en una expresión algebraica.

• Simplificar y operar expresiones algebraicas

fraccionarias. • Factorizar expresiones algebraicas.

Contenidos

Álgebra• Definición

• Factorización de expresiones algebraicas

• Productos notables

• Operatoria con expresiones algebraicas

Permite expresar la información mediante operaciones con números y letras.Ejemplos:

2(x +5)El doble de la suma entre x y 52x + 5El doble de x, aumentado en 5

3xEl triple de un número xx – 2 Un número x disminuido en 2x + 3Un número x aumentado en 3

La mitad de un número xLenguaje algebraicoLenguaje usual

2x

El orden de las palabras puede hacer la diferencia al momento de expresar una frase en lenguaje algebraico.

Álgebra 1. Definición

• Lenguaje algebraico

…podrás conducir cuando tengas el doble de tu edad, más cuatro años…

…cuando tenga el doble de la suma entre mi edad y cuatro años?…


• Lenguaje algebraico

El orden de las palabras puede hacer la diferencia al momento de expresar una frase en lenguaje algebraico.

“factor numérico”

5 m2n

“factor literal”


35

z w


Término algebraico

Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”.

11a2b4,5w3zxy3z, 5m2n,

11 a2b4



1 xy3z



a



Ejemplos:


• Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta.

Ejemplos:

1) 6x5 – 2 5z

2) 9a4 + 5xy6 – 2x + 13y

3)



Clasificación 1)Monomio: Expresión algebraica que consta de un término algebraico.

2) Polinomio: Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. Se clasifican en:

-Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

-Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos.



Términos semejantes

Son aquellos términos algebraicos que tienen los mismos factores literales, incluyendo el exponente de cada uno de ellos.

Ejemplos:

- Los términos y son semejantes. - Los términos y NO son semejantes.

7a3b 3a3b3x5 2x4



Álgebra 2. Factorización

• Factor común monomioSe emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen un término algebraico en común.

2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y

Al descomponer...

(El factor común es : 2xy)2xy + 4xy2 – 6x2y =

= 2xy(1 + 2y – 3x)

Ejemplo:

La factorización consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.

Álgebra

• Factor común polinomioCuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un término algebraico común, a veces al agruparlos convenientemente se obtienen grupos de factores comunes.

Ejemplo: Agrupando...

Factorizando por partes...

Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...

xz + xw + yz + yw == (xz + xw) + (yz + yw)

= x(z + w) + y(z + w)

= (z + w)(x + y)

2. Factorización

Álgebra

• Cuadrado de binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

(6x – 2y)2 = (6x)2 – 2(6x∙2y) + (2y)2 = 36x2 – 24xy + 4y2

Ejemplo:

3. Productos notables

La fórmula del cuadrado de binomio se puede obtener geométricamente:

bab

a ab2

2

a bb

a

a b

a

b

Álgebra 3. Productos notables

• Cuadrado de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ejemplo:Aplicando la fórmula...

Desarrollando potencias...

Multiplicando...

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3

= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x)∙(4y2)– 8y3

= 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3

(3x – 2y)3 =

Álgebra

• Cubo de binomio: 3. Productos notables

• Suma por diferencia:

Aplicando la fórmula...

(a + b)∙(a – b) = a2 – b2

(9x + 4y)∙(9x – 4y) = (9x)2 – (4y)2

= 81x2 – 16y2

Ejemplo:


• Producto de binomios:

Ejemplo:

(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab


Desarrollando...

(x + 5)∙(x + 1) =

= x2 + 6x + 5

x2 + (5 + 1)x + 5 ∙ 1

Esta propiedad solo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.



Desarrollando...

(y – 8)∙(y + 7) =

= y2 – y – 56

y2 + (– 8 + 7)y – 8 ∙ 7


Desarrollando...

(2y – 8)∙(2y + 7) =

= 4y2 – 2y – 56

(2y)2 + (– 8 + 7)∙(2y) – 8 ∙ 7



Desarrollando...

= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) (2x + 3y + 4z)2 =

= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

• Cuadrado de trinomio:

Ejemplo:


Entre monomios:Se obtiene como el producto entre el m.c.m. de los coeficientes numéricos, y cada uno de los factores literales, con su mayor exponente.

Ejemplo:El m.c.m. entre: 2x7y3, 4x3yz4 y 6y5

es: 12x7y5z4

Álgebra 4. Operatoria

• Mínimo común múltiplo

x2 + 4x +4x2 + 2 x

Entre polinomios:

El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. El m.c.m. se obtiene como el producto de cada factor elevado a su mayor exponente.

Ejemplo:Determinar el m.c.m. entre:

y

m.c.m. :

Factorizando... x(x + 2) (x + 2)2

x(x + 2)2


Se obtiene como el producto entre el M.C.D. de los coeficientes numéricos y los factores comunes a todos los términos, con su menor exponente.

Ejemplo:

El M.C.D. entre: 18x4y3, 24x3y2z5 y 12y8

es: 6y2


Entre monomios:• Máximo común divisor

x2 + 4x + 4x2 + 2x

El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Se obtiene como el producto de los factores comunes a todos los términos, con su menor exponente.

Ejemplo:Determinar el M.C.D. entre:

y

M.C.D. :

Factorizando... x(x + 2) (x + 2)2

(x + 2)

Entre polinomios:


• Máximo común divisor

Si los denominadores son iguales, se mantiene el denominador y se suman (restan) numeradores, según corresponda.

Con z ≠ 0zzz321

Ejemplo:


• Adición y sustracción

Si los denominadores son distintos, se debe encontrar el m.c.m entre ellos. Luego se amplifican las fracciones, de modo que el denominador sea el m.c.m., y se suma o resta, según corresponda.

Con b ≠ 1 y b ≠ – 1

1b

b1-b

1Ejemplo:

1)-1)(b(b

1)-b(b1)(b (Desarrollando)

1)-1)(b(bb-b1b 2

(Reduciendo términos semejantes)

1b1b

2

2


• Adición y sustracción

(a + b)

(a – b) 1

a – b= ∙

(a + b)(a – b):

(a + b)(a + b) 1

a – b

Si a b y a –b, entonces: Factorizando y simplificando

Dividiendo:

(a + b)2

a2 – b2: 1

a – b=

(a + b)

(a – b)

1

a – b:=

= (a + b)

Ejemplo:

Antes de operar las fracciones algebraicas, conviene factorizar sus numeradores y denominadores, pues generalmente se simplifican algunas expresiones.

4. Operatoria Álgebra

• Multiplicación y división

Síntesis de la clase

Definición

Lenguaje algebraico

Expresiones algebraicas

Operatoria

m.c.m y M.C.D

Adición y sustracción

Multiplicación y división

Álgebra

Productos notables

Cuadrado de binomio:

Suma por su diferencia

Producto de binomios

22 2)( bababa

22))(( bababa

bccbaacaba )())(( 2

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Equipo Editorial Matemática

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