Ingeniera MatemticaFACULTAD DE CIENCIASFSICAS Y MATEMTICASUNIVERSIDAD DE CHILElgebra Lineal 12-2

Control 2

P1. (6,0 ptos.) Sea un plano y L una recta y sea P 2 R3 un punto cualquiera. Denotamos por R a la proyeccinortogonal de P sobre el plano y Q a la proyeccin ortogonal de P sobre la recta L.

Demuestre que si R 6= Q, entonces la recta que pasa por los puntos R y Q es perpendicular a la recta L.P2. Sean n 2 N, n 1 y W denido por

W = fA 2Mnn(R)j A es simtrica ynXi=0

aii = 0g:

a) (2,0 ptos.) Probar que W es s.e.v. deMnn(R).b) (4,0 ptos.) Considere n = 3 y las siguientes matrices deM33(R):

A =

0@0 1 01 0 00 0 0

1A B =0@0 0 10 0 01 0 0

1A C =0@0 0 00 0 10 1 0

1A D =0@1 0 00 0 00 0 1

1A E =0@0 0 00 1 00 0 1

1APruebe que W = hfA;B;C;D;Egi.

P3. a) (2,0 ptos.) Considere el espacio vectorialMnn(R) y a 2 R. Se dene

Wa = fA 2Mnn(R)j Traza(A) = ag

donde

Traza(A) =nXi=0

aii (la suma de los elementos de la diagonal de A):

Pruebe que Wa es s.e.v. deMnn(R) si y slo si a = 0.b) (2,0 ptos.) Sea Pn el espacio vectorial de los polinomios con coecientes en R de grado menor o igual que n.Sean p; q 2 Pn tales que fp; qg es l.i. Demuestre que fp; q; p qg es l.i. si y slo si grado(p) 1 y grado(q) 1.c) (2,0 ptos.) Sean U;W dos s.e.v. de un e.v. V tales que dim(V ) = 3 y dim(U) = dim(W ) = 2, con U 6= W .Demuestre que dim(U \W ) = 1.

Justifique cada una de sus respuestasTiempo: 3:00 hrs.

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