clase 6 Álgebra

7/26/2019 Clase 6 lgebra

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CLASE N 6Razones y Proporciones


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Aprendizajes esperados:

Aplicar las propiedades de razones y proporciones.

Reconocer y distinguir entre una proporcin directay una proporcin in!ersa.

Resol!er pro"le#as de planteo aplicando elconcepto de proporcin co#puesta.


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Contenidos

$.Razones y Proporciones$.$%e&iniciones: razn y proporcin

$.'(eore#a &unda#ental de la proporciones

$.)Propiedades

$.*Clasi&icacin: Proporcin Continua y %iscontinua

$.+Serie de Razones

$.6Proporcionalidad directa

$.,Proporcionalidad in!ersa

$.-Proporcionalidad co#puesta.


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$. Razones y proporciones

Razn: Es el cuociente entre dos cantidades cualesuiera.Su notacin es:

a

"

a : "

y se lee: /a es a "0

$.$ %e&iniciones

a: antecedente1 ": consecuente

Nota: Es i#portante el orden de no#"ra#iento en una razn.


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Por lo tanto:

2313*4$,3.*+5

$-.5+$%ensidad Po"lacional 2

#'!i!en apro7i#ada#ente $5 personas.

Eje#plo:

La razn entre /po"lacin0 y /super&icie01 se conoce co#oDensidad Poblacional.

Por eje#plo1 la po"lacin de la ciudad de Concepcin es de$,3.*+5 8a"itantes1 distri"uidos en una super&icie de $-.5+$9#'.

(Segn los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadstica).

Encada


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Proporcin: Es la igualdad de dos razones:

"

a

d2c

a : " 2 c : d

y se lee: / a es a " co#o c es a d0

Ade#s1 a y d: e7tre#os

c y ": #edios

Eje#plo:

*5

)+

'552

$,+


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$.' (eore#a &unda#ental de las proporcionesEl producto de los #edios es igual al producto de los e7tre#os.

"

a

d2

c

ad 2 "c

ad 2 "ca : " 2 c : d

Eje#plo $:

*5

)+

6*2

+6

Es una proporcin ya ue )+;6* 2 *5;+6 2 '.'*5


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Eje#plo ':

La razn entre el ncuntos dulces tiene su 8er#ano?

Solucin:

Si 7 es el n


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$.) Propiedades

Si

"

a

d

2c 1 entonces:

a@ La proporcin es la #is#a si se ca#"ian de orden los e7tre#os

"

d

a2

c

"@ La proporcin es la #is#a si se ca#"ian de orden los #edios

c

a

d2

"

c@ La proporcin es la #is#a si se in!ierten las dosrazones

a

"

c2

d


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d@ Co#posicin de proporciones:

2

c

c d

a

a " 2d

c d

"

a "

e@ %esco#posicin de proporciones:

a

a B "

c2

c B d

"

a B "

d

2c B d

&@ Co#posicin y desco#posicin de proporciones:

a B "

a "

c B d2

c d


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$.* Clasi&icacin

Proporcindiscontinua:

Es auella ue tiene todos sus tr#inos distintos1 es decir:

"

a

d2

c es discontinua si a D " D c D d

Eje#plo: +

'+

32*+

Cuarta Proporcional eo#trica FCP@

Es un cuarto !alor ue junto a otros tres1 &or#an unaproporcin. En el ejercicio anterior:

'+ es CPentre *+1 + y 3

+ es CPentre *+1 '+ y 3

*+ es CPentre '+1 + y 3

3 es CPentre '+1 *+ y +


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Proporcin continua:

Es auella ue tiene los e7tre#os1 o #edios iguales.

"a

d2 "

Eje#plo:

"a

a2 c

3

6

6

2*

(ercera Proporcional eo#trica F(P@Es cada uno de los tr#inos no repetidosde una proporcincontinua.

3es (Pentre *y 6

*es (Pentre 3y 6

En el ejercicio anterior:


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Gedia Proporcional eo#trica FGP@

Es el tr#ino ue se repiteen una proporcin continua.

Eje#plo:

'

*

*2

-

*es #edia proporcional geo#trica FGP@ entre ' y -.


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$.+ Serie de razonesEs la igualdad de ' o #s razones.

"

a2

d

c2

&

e2 444 2 9

'

$2

*

'2

6

)2 444 2 51+2

-

*2

$5

+

a : c: e: 4 2 " : d: & : 4

Eje#plo $:

: constante deproporcionalidad

HR


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Eje#plo ':

a : " : c 2 ) : + : 6

a " c 2 *'

Si 1 deter#inar a1 " y c.

Solucin: a : " : c 2 ) : + : 61 entonces:Si

2+

"2

6

c2 9

)

a

Luego: a 2 )91 " 2 +9 y c 2 69

Co#o a " c 2 *'1 entonces: )9 +9 69 2 *'

$*9 2 *'

9 2 *'

$*9 2 )

Por lo tanto:a 2 31 " 2 $+ y c 2 $-


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$.6 Proporcionalidad directa

%os !aria"les son directa#ente proporcionales1 si al

au#entar Fdis#inuir@ una de ellas1 la otra ta#"inau#enta Fdis#inuye@.

yes directa#ente proporcional a 7 si7

y2 91 9: constante

Eje#plo:La siguiente ta"la representa la relacin entre el n


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r&ica#ente:

El gr&ico de una proporcin directa es una recta conpendiente positi!a o negati!a.


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$., Proporcionalidad in!ersa

%os !aria"les son in!ersa#ente proporcionales1 si al

au#entar una de ellas1 la otra dis#inuye Fy !ice!ersa@.

yes in!ersa#ente proporcional a 7 si y;72 91 9: constante

Eje#plo:

Para construir una piscina en '5 d=as se reuiere de *o"reros. Entonces se puede in&erir ue para de#orar $5 d=asse reuieren - o"reros1 y para de#orar + d=as se reuieren$6 o"reros1 y as= sucesi!a#ente.

Si ta"ula#os:N de obreros

(x)Das (y) k = y;x

* '5 -5

- $5 -5

$6 + -5

*54 '4 -54


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r&ica#ente:

El gr&ico de una proporcin in!ersa es una 8ipr"ola.


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$.- Proporcionalidad co#puesta

Es auella en ue inter!ienen #s de dos !aria"les.

Eje#plo:

Si + pasteleros producen en , d=as *55 tortas1 >cuntastortas pueden producir $* pasteleros en 3 d=as?

Solucin:In #todo prctico es el siguiente:

$ Se ordenan los datos dejando la incgnita Ftortas@1 en el centro:

N pasteleros N tortas %=as

+ *55 ,

$* 7 3


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N de Pasteleros y N de tortasson directa#ente proporcionales1 yaue1 #ientras #s pasteleros #ayor es la cantidad de pasteles

producidos.

%=as y N de tortasson directa#ente proporcionales1 ya ue1#ientras #s d=as1 #ayor es la cantidad de pasteles producidos.

'Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada !aria"le conla incgnita1 esto es:

N pasteleros N tortas%=as

+ *55 ,

$* 7 3

Entonces: + ; 7 ; , 2 $* ;*55 ;3

7 2 $* ;*55 ;3+;,

7 2 $.**5

Por lo tanto1 $* pasteleros en 3 d=as1 pueden producir $.**5 tortas.


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Los contenidos re!isados anterior#ente los puedesencontrar en tu li"ro1 desde la pgina 85 a la 89.

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