ud 6. Álgebra teorÍa

1

http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon

MATEMÁTICAS. 1º ESO

UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA

IES Illa de San Simón

Departamento de Matemáticas

UD 6. ÁLGEBRA

TEORÍA

• Cuando las letras expresan números, las trataremos como tales en cuanto a las

operaciones y sus propiedades.

• La parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de las

expresiones con letras y números se denomina álgebra.

Letras en vez de números. ¿Para qué sirve el álgebra?

Para expresar propiedades aritméticas

Ejemplos:

• El orden de los sumandos no altera la suma (propiedad

conmutativa)

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

• Multiplicar un número por una suma equivale a multiplicar por cada sumando y

sumar los productos parciales (propiedad distributiva)

𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐

Para expresar relaciones entre magnitudes. Fórmulas

Ejemplos:

• El área de un triángulo, A, se calcula conociendo las longitudes de su base, b, y

de su altura, a.

• La distancia, d, recorrida por un móvil a velocidad constante, v, en un cierto

tiempo, t, es:


2



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Para expresar y operar números desconocidos

Empleando una letra, podemos representar un número cuyo valor aún no conocemos,

operar con él y relacionarlo con otros números.

Ejemplo:

Para codificar matemáticamente un problema y facilitar su resolución

Para generalizar relaciones numéricas


3



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas surgen al traducir a lenguaje matemático

situaciones en las que aparecen datos desconocidos o indeterminados que

se representan por letras.

Son expresiones algebraicas:

3𝑥 − 5 𝑥2 + 1 (𝑎+1)∙𝑏

5

(𝑡+1)2

3

𝑎+𝑏

𝑎

Las operaciones, al incluir valores que no se conocen, quedan

necesariamente indicadas.

• El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma cuando las

letras se transforman en números conocidos.

Por ejemplo, el valor numérico de (𝑎+1)∙𝑏

5 para a=9 y b=3 es

(9+1)∙3

5= 6

Monomio

Las expresiones algebraicas más simples, formadas por

productos de letras y números, se llaman monomios.

Un monomio consiste en el producto de un número conocido

(coeficiente) por una o varias letras (parte literal).

Ejemplo:


4



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Polinonomios

Un polinomio es la suma (o resta) indicada de varios monomios.

El grado de un polinomio es el del sumando de mayor grado.

Ejemplo:

Suma y resta de monomios y polinonomios

Los monomios solo se pueden sumar (o restar) cuando son semejantes. Cuando no son

semejantes, la operación se deja indicada.

Multiplicación de monomios

El producto de dos monomios es siempre otro monomio.


5



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Multiplicación de un monomio por un polinomio

Como el polinomio es una suma, aplicamos la propiedad distributiva; es decir,

multiplicamos por cada sumando.

División de monomios

Para dividir dos monomios, seguiremos aplicando lo que sabemos sobre operaciones

con números, sin necesidad de aprender procedimientos nuevos.

Como comprobarás en los siguientes ejemplos, se pueden obtener diferentes tipos de

resultados.

Al dividir dos monomios, se puede obtener:

• Un número

• Otro monomio

• Una fracción algebraica


6



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Ecuaciones

Igualdades algebraicas: ecuaciones e identidades

Observa la diferencia entre las igualdades siguientes:

3𝑥 − 4 = 8 6𝑥 − 4𝑥 = 2𝑥

La igualdad se cumple La igualdad se cumple

solamente para 𝑥 = 4 cualquier valor de x

(Es una ecuación) (Es una identidad)

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple solamente

para ciertos valores de las letras.

Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple siempre, independientemente

de los valores que tomen las letras.

Elementos de una ecuación:

Para poder manejar las ecuaciones, es necesario nombrar sus elementos:

IMPORTANTE


7



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando sus soluciones coinciden

Qué es resolver una ecuación:

Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones. Es decir, averiguar los valores que

deben tomar las incógnitas para que se cumpla la igualdad.

Veamos como resolver algunas ecuaciones sencillas:


8



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Primeras técnicas para la resolución de ecuaciones

Resolución de la ecuación 𝒙 + 𝒂 = 𝒃

Para resolver la ecuación 𝒙 + 𝒂 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, restamos 𝒂 en ambos miembros.

𝒙 + 𝒂 = 𝒃 → 𝒙 + 𝒂 − 𝒂 = 𝒃 − 𝒂 → 𝒙 = 𝒃 − 𝒂

Resolución de la ecuación 𝒙 − 𝒂 = 𝒃

Para resolver la ecuación 𝒙 − 𝒂 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, sumamos 𝒂 en ambos miembros.

𝒙 − 𝒂 = 𝒃 → 𝒙 − 𝒂 + 𝒂 = 𝒃 + 𝒂 → 𝒙 = 𝒃 + 𝒂


9



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Resolución de la ecuación 𝒙 ∙ 𝒂 = 𝒃

Para resolver la ecuación 𝒂𝒙 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, dividimos entre 𝒂 en ambos

miembros.

𝒂𝒙 = 𝒃 →𝒂𝒙

𝒂=

𝒃

𝒂 → 𝒙 =

𝒃

𝒂

Resolución de la ecuación 𝒙/𝒂 = 𝒃

Para resolver la ecuación 𝒙/𝒂 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, multiplicamos por 𝒂 en ambos

miembros. 𝒙

𝒂= 𝒃 →

𝒙

𝒂∙ 𝒂 = 𝒃 ∙ 𝒂 → 𝒙 = 𝒃 ∙ 𝒂


10



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Resolución de ecuaciones de primer grado con una

incógnita

Para resolver una ecuación, la iremos transformando mediante sucesivos pasos, en otras

equivalentes cada vez más sencillas, hasta despejar la incógnita. Es decir, hasta que

quede sola en un miembro y en el otro un número conocido.

Para transformar una ecuación en otra equivalente utilizaremos dos recursos:

• Reducir sus miembros

• Transponer sus términos, de un miembro a otro

OJO


11



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Ejercicios para practicar


12



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA




13



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA




14



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA



Resolución de problemas mediante ecuaciones de

primer grado con una incógnita

Las ecuaciones son una potente herramienta para resolver problemas. Observa los

siguientes problemas resueltos para aprender el proceso que hay que seguir para

conseguir encontrar la solución.

PROBLEMAS RESUELTOS:


15



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA




16



UD .6 ÁLGEBRA

TEORÍA




ud 6. Álgebra teorÍa

Documents