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Propiedad Intelectual Cpech
ÁlgebraÁlgebra20102010
Clase N° 1Clase N° 1Conjuntos numéricos I
Propiedad Intelectual Cpech
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Propiedad Intelectual Cpech
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.
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Propiedad Intelectual Cpech
1. Números Naturales1.1 Consecutividad numérica
1.2 Paridad e imparidad
1.3 Números primos
1.4 Múltiplos y divisores
1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
1.6 Operatoria en los naturales
2. Números Cardinales
Conjuntos Numéricos
3. Números Enteros3.1 Operatoria en los enteros
3.2 Propiedades
3.3 Prioridad de las operaciones
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1. Números Naturales (N)
1.1 Consecutividad numérica
Conjunto de la forma:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito, ordenado y discreto.
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir:• Sucesor
Si n pertenece a IN, su sucesor será n +1.
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n - 1 n + 1n
Naturales Consecutivos
• Antecesor:Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n -1
antecesor sucesor
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1.2 Paridad e imparidad
• Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2 2n + 22n
Antecesor par Sucesor par
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Se obtiene sumando 2 al número impar. Si el número es 2n-1,
entonces su sucesor es 2n+1.
• Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 12n -1
Antecesor impar Sucesor impar
Se obtiene restando 2 al númeroimpar. Si el número es 2n-1, entonces, su antecesor es 2n-3.
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1.3 Números Primos
Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
Nota: El 1 NO es primo.
1.4 Múltiplos y Divisores
• Múltiplos Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera.
Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.
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• Divisores Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide exactamente. (Cabe en él una cantidad exacta de veces)
Por ejemplo:
Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.
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• Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común.
Ejemplo:
-Algunos múltiplos de 3 son:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}
-Algunos múltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}
-Algunos múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,…}
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m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor)
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método:
3 6 15 3
4 2 5 2
1 5 5
1
Se divide cada número por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m.
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• Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.
Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
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El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.
(Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor)
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método:
36 18 24 2
18 9 12 3
6 3 4
Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6
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1.6 Operaciones en IN• Adición, sustracción, multiplicación y
división
Esta información se encuentra en tu libro en la página 18.
Propiedades de la Adición:
a) Clausura:
b)Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:
La suma de dos números naturales es siempre un natural.
Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12
a + b = b + a
a + b = c, donde a y b sumandos y c suma.
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c) Asociativa:
Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:
a +(b+c) = (a+b) + c
Ejemplo: 13 +(5+9) = (13+5) + 9 13 + (14) =(18) + 9 27 = 27
Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.
Propiedades de la Multiplicación:
a)Clausura:
El producto de dos números naturales es siempre un natural.
a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto.
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4 ∙ (15) = (20) ∙ 3
Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:
Por ejemplo: 4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙ 3
Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34
a (b∙c) = (a∙b) c
b) Conmutativa:
c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:
Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1.
Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.
a∙b = b∙a
170 = 170
60 = 60
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RECUERDA QUE:
En la sustracción:
a - b = c, donde a minuendo, b sustraendo y c diferencia.
En la división:
a : b = c, donde a dividendo, b divisor y c cuociente.
Si la división NO es exacta:
a : b = c, donde a dividendo, b divisor, c cuociente y d resto.
d
Ejemplo:
16 : 5 = 3
1
16: dividendo, 5: divisor, 3: cuociente y 1: resto
Donde, 16 = 5 ∙ 3 + 1
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2. Números Cardinales ( N0)Conjunto de la forma:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito, ordenado y discreto.
2.1 Operaciones en IN0
• Adición, sustracción, multiplicación y división
Si a es un número cardinal, entonces:
En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”.
a + 0 = 0 + a = a
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3. Números Enteros (Z)Conjunto de la forma:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito, ordenado y discreto.
Se puede representar como: Z = Z- U IN0
Z = Z- U {0} U Z+
Recta numérica:
Z- Z+
0-3 -2 -1 1 2 3
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Paridad e imparidad
• Números Pares {…,- 4, - 2, 0, 2, 4,……}
Son de la forma 2n, con n en los enteros.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2 2n + 22n
Antecesor par Sucesor par
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Se obtiene sumando 2 al número impar. Si el número es 2n-1,
entonces su sucesor es 2n+1.
• Números Impares {- 3, - 1, 1, 3, 5, 7,...}
Son de la forma 2n-1, con n en los enteros.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 12n -1
Antecesor impar Sucesor impar
Se obtiene restando 2 al númeroimpar. Si el número es 2n-1, entonces, su antecesor es 2n-3.
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Valor absoluto:
El valor absoluto de un número representa la distancia del número al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5 505 unidades 5 unidades
Luego:|-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12
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3.1 Operaciones en Z
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos:
Si a y b son números enteros, entonces se cumple que:
a) Al sumar enteros de igual signo, se suman los
números y el signo se mantiene.
Ejemplo:
25 + 8 = +33
-5 + - 9 = -14
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b) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo: -10 + 7 = -3
75 + -9 = +66
c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el
inverso aditivo del sustraendo. a – b = a + - b Ejemplo:
5 – 9 = 5 + - 9 = – 4
a – (-b) = a + b Ejemplo:
12 – (-8) = 12 + 8 = 20
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-42 ∙ -8 = +336
d) Si a y b son dos números enteros de igual signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.
e) Si a y b son dos números enteros de distinto signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.
Ejemplo:
Ejemplo:
-28 : -7 = +4
125 : -5 = -25
37 ∙ -5 = -185
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3.2 Propiedades
La suma de números enteros cumple con la propiedad de Clausura, Conmutatividad y Asociatividad.
Ejemplo:
(-3)+ 2 = 2 + (-3)
-1 = -1
La suma de números enteros tiene “elemento neutro”: el cero.
Ejemplo: (-8)+ 0 = -8
Además, cada número entero posee inverso aditivo.
Si a IZ, entonces – a IZ.
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3.3 Prioridad en las operaciones
Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como:
-5 + 15 : 3 - 3 = ?
¿Qué se resuelve primero?
El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es:
1° Paréntesis
2° Potencias
4° Adiciones y sustracciones
3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)
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Resolver : -5 + 15 : 3 - 3
Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 23.
= -5 + 5 – 3= 0 – 3
= – 3
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Equipo Editorial: Patricia ValdésPablo Espinosa