notas de clase Álgebra líneal

Universidad Central

Departamento de matematicas

Algebra Lineal

Notas de clase - Primer corte

Docente: Adriana Juzga Leon

1. Introduccion

El problema central en el algebra es la solucion de ecuaciones lineales. Una ecuacion lineal o ecuacion de primergrado es una igualdad, que involucra una o mas variables elevadas a la potencia 1; es decir, una ecuacion queinvolucra solamente sumas y restas de una variable o mas variables elevadas a la primera potencia.

El caso mas simple y reconocido de estos sistemas es cuando el numero de incognitas coincide con el numero deecuaciones. Es decir, un sistema de n- ecuaciones y n- incognitas, entre los metodos para resolver este tipo desistemas se consideran como basicos:

Metodo de eliminacion: Se sustrae de una ecuacion los multiplos de otra ecuacion con lo cual el sistema sereduce a uno de menor tamano (obteniendo un sistema de n− 1 ecuaciones y n− 1 incognitas), el procesose repite hasta obtener el valor de cada una de las incognitas.

Metodo de determinantes: Se introducen los datos dentro de una estructura rectangular denominadamatriz y mediante un proceso conocido como regla de Cramer se soluciona el sistema.

En este contexto la eliminacion gaussina (la cual sera introducida en sesiones posteriores) puede considerarsecomo un metodo para resolver sistemas de tamano m x n. Como ejemplo de los metodos expuestos anteriormentese considerara el sistema de 2- ecuaciones y 2- incognitas dado por:

2x− y = 1 (1)

x+ y = 5 (2)

Usando el metodo de eliminacion y despejando en la ecuacion 2 el valor de la incognita o variable x, se obtiene:

x = 5− y

Reemplazando con este valor en la ecuacion (1), la misma se reduce a:

1

1 = 2x− y= 2(5− y)− y= 10− 2y − y= 10− 3y

1− 10 = −3y

−9 = −3y

3 = y

Reemplazando ahora con el valor y = 3 en la expresion x = 5− y, se obtiene:

x = 5− y= 5− 3

= 2

Luego, el sistema tiene la solucion dada por:

x = 2 (3)

y = 3 (4)

La interpretacion geometrica se obtiene al considerar los objetos geometricos dados en el sistema de ecuaciones(1) y (2). En particular la ecuacion (1) describe la recta:

2x− y = 1 ⇒ 2x− 1 = y (5)

Es decir, una recta de pendiente positiva m = 2 y corte en el eje y en el punto (0,−1). Por otra parte la ecuaciondescrita en (2) genera la recta:

x+ y = 5 ⇒ −x+ 5 = y (6)

Es decir, una recta de pendiente negativa m = −1 y corte en el eje y en el punto (0, 5). Luego, la solucion delsistema conformado por las ecuaciones lineales (1) y (2) viene dado por la interseccion de las rectas y = 2x− 1e y = −x+ 5, que desde luego no es otra que la 2− tupla (x, y) = (2, 3).

La segunda interpretacion del sistema hace uso del concepto de vector:

Vector: Se llama vector de tamano n a una tupla de n numeros reales o complejos, donde cada numero de lan− tupla se denomina componente del vector. Por ejemplo un vector en Rn se encontrara definido como:

v = (a1, a2, ..., an) donde ai ∈ R y 1 ≤ i ≤ n

Haciendo uso de esta definicion, el sitema descrito en las ecuaciones (1) y (2) se reescribe como:

2 x − 1 y = 1

1 x + 1 y = 5

⇓(21

)x +

(−11

)y =

(15

)

2

La ultima expresion se conoce como la representacion del sistema en terminos de una combinacion lineal.

Consideremos ahora el sistema de 3−ecuaciones y 3− incognitas dado por:

5x+ y + z = 7 (7)

−x+ y − z = −1 (8)

x+ y + z = 3 (9)

El cual se puede expresar como combinacion lineal del siguiente modo:

5 x + 1 y + 1 z = 7

−1 x + 1 y − 1 z = −1

1 x + 1 y + 1 z = 3

⇓ 5−11

x +

111

y +

1−11

z =

7−13

Desde luego la solucion de este sistema constituye una tripla en el espacio que se encuentra dada por la inter-seccion de los planos generados por (7), (8) y (9) como se estudiara mas adelante.

De acuerdo a la cantidad de soluciones que posea un sistema de m−ecuaciones y n−incognitas, estos se clasificancomo:

Sistema consistente: Existe al menos una solucion que satisface todas las ecuaciones dadas en el sistema.

Sistema inconsistente: No existe una solucion que satisfaga todas las ecuaciones dadas en el sistema.

Sistema dependiente: Existe una cantidad infinita de soluciones que satisfacen las ecuaciones dadas en elsistema.

Sistema independiente: Existe una UNICA solucion que satisface todas las ecuaciones dadas en el sistema.

Adicionalemte, de acuerdo a la cantidad de ecuaciones y de incognitas los sistemas se pueden clasificar como:

Sistema indeterminado: El numero de ecuaciones es menor al numero de incognitas. Estos generalmenteposeen un numero infinito de soluciones.

Sistema superdeterminado: El numero de ecuaciones es mayor al numero de incognitas.

Los ejemplos anteriormente expuestos usaron la notacion dada por la combinacion lineal (Es decir, haciendo usode vectores columna) o simplemte se escribieron cada una de las ecuaciones dadas en el sistema. Para introducirotra notacion denominada matricial nos valdremos del sistema:

2u+ v + w = 5

4u− 6v = −2

−2u+ 7v + 2w = 6

El cual se puede escribir como combinacion lineal del siguiente modo:

2 u + 1 v + 1 w = 5

4 u − 6 v + 0 w = −2

−2 u + 7 v + 2 w = 6

⇓ 24−2

u +

1−67

v +

102

w =

5−26

3

Si se escribe cada uno de los vectores columna de la expresion anterior dentro de un arreglo rectangular y deigual forma se acomoda un vector columna con las incognitas, se obtiene:

2 1 14 −6 0−2 7 2

uvw

=

5−26

(10)

En (10) el arreglo rectangular:

2 1 14 −6 0−2 7 2

Se conoce como matriz de coeficientes del sistema y se nota con la letra mayuscula A, mientras que:

uvw

Se denomina vector columna de las incognitas y se nota con la letra x, adicionalmente el vector:

5−26

Recibe el nombre de vector columna solucion o simplemente vector solucion y se nota con la letra b. Por tanto,se dice que el sistema descrito en (10) es un sistema Ax = b. Es importante notar que este tipo de sistemasconstituiran uno de los principales objetos de estudio del presente curso.

4

2. Matrices reales

2.1 Algebra basica de matrices reales

En la seccion anterior se uso de modo intuitivo el concepto de matriz cuando se reescribio un sistema en termi-nos de su matriz de coeficientes. En la presente seccion se definira un matriz como un arreglo rectangular denumeros y se estudiaran sus operaciones basicas y propiedades.

Una matriz Amxn se considera como el arreglo rectangular:

A = (aij)mxn =

a11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n

.

.

.am1 am2 am3 ... amn

mxn

el tamano de la matriz A es mxn ya que posee m filas y n columnas. La primer fila se notara por:

A1• =(a11 a12 a13 ... a1n

)la segunda fila por:

A2• =(a21 a22 a23 ... a2n

)en general la j - esima fila se notara por:

Aj• =(aj1 aj2 aj3 ... ajn

)Mientras que la primer columna se nota:

A•1 =

a11a21a31...

am1

la segunda columna por

A•2 =

a12a22a32...

am2

y en general la i - esima columna se notara por:

5

A•i =

a1ia2ia3i...ami

El elemento aij de un matriz se encuentra localizado en la interseccion de la i− esima fila con la j - esimacolumna

...

· · · aij · · ·...

fila i

columna j

Cuando la cantidad de filas coincide con la cantidad de columnas la matriz se dice cuadrada y su orden seencuentra determinado por la cantidad de filas. Por ejemplo:

A =

e+ 24 103 5

4π 3√

23 2e

1 52√

31

la matriz A tiene tres filas y tres colmunas por tanto es una matriz cuadrada de orden tres. Mientras que:

B =

(e3√

2354 4

)tiene dos filas y dos columnas luego es cuadrada de orden dos. Por ultimo, la matriz:

C =

(e5√

3 721 4 2

)tiene dos filas y tres columnas por tanto no es cuadrada y no se puede hablar del orden de la matriz C.

Definicion (Igualdad de matrices): Dos matrices A = (aij)mxn y B = (bij)mxn del mismo tamano son iguales sicoinciden componente a componente. Esto es si:

aij = bij para todo i y j (11)

Definicion (Suma matricial): Sean A = (aij)mxn y B = (bij)mxn matrices coincidentes en tamano, la sumamatricial A+B se desarrolla componente a componente. Si se considera C como la matriz resultante C = A+B,esta tendra componentes C = (cij)mxn, las cuales se encuentran dadas por:

cij = aij + bij (12)

Consideremos por ejemplo las matrices:

A =

(2 −53 1

)B =

(4 754 4

)A+B =

(2 + 4 −5 + 73 + 54 1 + 4

)=

(6 257 5

)La suma de las matrices

A =

(π −10 7

)B =

(71 e 054 4 12

)

6

no se encuentra definida puesto que tiene diferente tamano.

Definicion (Matriz cero): Una matriz en la cual todos sus elementos son iguales a cero se denomina matriz nulao matriz cero y se donota por 0

0 =

0 0 ... 00 0 ... 0

.

.

.0 0 ... 0

mxn

(13)

Definicion (Producto escalar de un matriz): El producto de una matriz por un escalar se obtiene al multiplicarcada componente de la matriz por una constante real c. Si A = (aij)mxn y c es una contante real c ∈ R entonces

cA = c(aij)mxn = (caij)mxn (14)

Por ejemplo, sean c la constante real c = 2 y la matriz

A =

(π −10 7

)→ cA = 2

(π −10 7

)=

(2π −20 14

)Teorema (Propiedades de la suma matricial): Sean A, B y C matrices de tamano mxn entonces:

i) A + B = B + A

ii) A + (B + C) = (A + B) + C

iii) A + 0 = A

iv) A + −A = 0

Demostracion:

i) Se procede por metodo directo. Sean A = (aij)mxn y B = (bij)mxn luego

A+B = (aij)mxn + (bij)mxn

= (aij + bij)mxn

= (bij + aij)mxn

= (bij)mxn + (aij)mxn

= B +A

ii) Se procede por metodo directo. Sean A = (aij)mxn, B = (bij)mxn y C = (cij)mxn. Luego:

[A+B] + C = [(aij)mxn + (bij)mxn] + (cij)mxn

= [aij + bij ]mxn + (cij)mxn

= [aij + bij + (cij)]mxn

= [aij + (bij + (cij))]mxn

= (aij)mxn+ [(bij + (cij))]mxn

= A+ [B + C]

7

iii) Se procede por metodo directo. Sean A = (aij)mxn y 0 = (0ij)mxn, ası:

A+ 0 = (aij)mxn + (0ij)mxn

= (aij + 0ij)mxn

= (aij)mxn

= A

iv) Se procede por metodo directo. Sea A = (aij)mxn luego −A = −(aij)mxn = (−aij)mxn y por tanto:

A+ (−A) = (aij)mxn + (−aij)mxn

= (aij − aij)mxn

= (0ij)mxn

= 0

Tal como se queria mostrar. �

Teorema (Propiedades del producto escalar): Sean A, B matrices de tamano mxn y c y d escalares reales(c, d ∈R). Entonces:

i) c(A+B)= cA+cB

ii) (c+ d)A= cA+dA

iii) (cd)A= c(dA)= d(cA)

iv) (1)A= A

Demostracion:

i) Se procede por metodo directo. Sean A = (aij)mxn y B = (bij)mxn y c un escalar real c ∈ R, luego:

c(A+B) = c [(aij)mxn + (bij)mxn]

= c [(aij + bij)mxn]

= [c(aij + bij)]mxn

= [caij + cbij ]mxn

= [caij ]mxn + [cbij ]mxn

= c [aij ]mxn + c [bij ]mxn

= cA+ cB

ii) Se procede por metodo directo. Sean A = (aij)mxn y B = (bij)mxn, c y d escalares reales c, d ∈ R, luego:

(c+ d)A = (c+ d)(aij)mxn

= [(c+ d)aij ]mxn

= [caij + daij ]mxn

= [caij ]mxn + [daij ]mxn

= c [aij ]mxn + d [aij ]mxn

= cA+ dA

8

iii) Se procede por metodo directo. Sean A = (aij)mxn y c y d escalares reales c, d ∈ R, luego:

(cd)A = (cd)(aij)mxn

= [(cd)aij ]mxn

= [cdaij ]mxn

= c [daij ]mxn

= c(dA)

de igual forma

(cd)A = (cd)(aij)mxn

= [(cd)aij ]mxn

= [dcaij ]mxn

= d [caij ]mxn

= d(cA)

iv) Se procede por metodo directo. Sea A = (aij)mxn, ası:

(1)A = (1)(aij)mxn

= [(1)aij ]mxn

= [aij ]mxn

= A

Tal como se queria mostrar. �

Definicion (Producto vector fila - vector columna): El producto de una matriz 1xn denominada vector fila poruna matriz nx1 denominada vector columna se encuentra definido como:

(a1 a2 a3 ... an

)1xn

b1b2b3...bn

nx1

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + ...+ anbn =

n∑i=1

aibi (15)

Como ejemplo consideremos las matrices:

A =(

1 3 −1 7)1x4

, B =

2−564

4x1

→ AB =(

1 3 −1 7)1x4

2−564

4x1

= 2−15−6 + 28 = 9

Definicion (Producto matricial): Sean A = (aij)mxn y B = (bij)nxp. El producto AB es una matriz C de tamanomxp

C = AB = (cij)mxp donde cij = Ai•B•j (16)

La ecuacion (16) dice que el elemento que se encuentra en la ij- esima posicion de AB se obtiene al multiplicarla i- esima fila de A por la j- esima columna de B. Es importante notar que la multiplicacion de una matriz A

9

con una matriz B solamente se define cuando el numero de columnas de A es igual al numero de filas de B.

Ademas, el tamano de la matriz resultante es

(Numero de filas de A) x (Numero de columnas de B)

El producto de matrices, en general no conmuta. Es decir:

AB 6= BA

Definicion (Matriz identidad): Una matriz cuadrada de orden n que tiene todos los elemntos diagonlaes igualesa 1 y todas las demas componente iguales a 0 se denomina matriz identidad de orden n y se denota por Ino simplemente I:

I =

1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0

. . .

0 0 0 ... 1

nxn

(17)

Teorema (Propiedades del Producto matricial): Sean A, B y C matrices de tamnao tal que las operacionesindicadas se puedan efectuar y sea c un escalar real (c ∈ R) entonces:

i) c(AB) = (cA)B = A(cB)

ii) A(BC) = (AB)C

iii) IA = AI = A

iv) (A+B)C = AC +BC

Si A es una matriz cuadrada, se pueden formar los productos o potencias:

A0 = I

A1 = A

A2 = A x A

A3 = A x A x A = A2 x A

A4 = A x A x A x A = A3 x A...

An = A x A x A x ... x A = An−1 x A

2.2 Polinomios de matrices

Sea f(x) el polinomio de grado n:

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

donde an, an−1, . . . a1, a0 son escalres reales y A es una matriz cuadrada. Por f(A) se designara la matrizresultante de:

f(A) = anAn + an−1A

n−1 + · · ·+ a1A+ a0I (18)

donde I es la matriz identidad del mismo orden que A. Como ejemplo consideremos el polinomio f(x) =2x2 + 3x− 7 y la matriz cuadrada de orden 2

10

A =

(1 10 1

)Ası,

f(x) = 2x2 + 3x− 7

f(A) = 2A2 + 3A− 7I

= 2

[(1 10 1

)2]

+ 3

(1 10 1

)− 7

(1 00 1

)= 2

[(1 10 1

)(1 10 1

)]+ 3

(1 10 1

)− 7

(1 00 1

)= 2

(1 20 1

)+ 3

(1 10 1

)− 7

(1 00 1

)=

(2 40 2

)+

(3 30 3

)+

(−7 00 −7

)=

(2 + 3− 7 4 + 3 + 00 + 0 + 0 2 + 3− 7

)=

(−2 70 −2

)2.3 Algunos tipos especiales de matrices

Definicion (Matriz transpuesta): Sea A una matriz de tamano mxn. La matriz AT obtenida al intercambiar lasfilas y las columnas se denomina matriz transpuesta de A. Si A = (aij)mxn entonces AT = (aji)nxm

Por ejemplo,

L =

1 2−3 1−4 3

3X2

→ LT =

(1 −3 42 1 3

)2X3

Teorema (Propiedades de la matriz transpuesta): Si Amxn y Bmxn son matrices y c un escalar real c ∈ R secumplen las propiedades:

i) (AT )T = A

ii) (cA)T = cAT

iii) (A+B)T = AT +BT

Demostracion:

i) Sea A = (aij)mxn una matriz, luego su matriz transpuesta esta dada por AT = [(aij)mxn]T

= (aji)nxm y

la transpuesta de la transpuesta; es decir, (AT )T es equivalente a (AT )T = [(aji)nxm]T

= (aij)mxn esteresultado coincide con A = (aij)mxn. Luego, (AT )T = A.

ii) Sea A = (aij)mxn una matriz y c un escalar real (c ∈ R), ası:

c(AT)

= c((aij)mxn)T

= c((aji)nxm)

= (caji)nxm

= (cA)T

11

iii) Sean A = (aij)mxn y B = (bij)mxn matrices, luego

(A+B)T = ((aij)mxn + (bij)mxn)T

= [(aij + bij)mxn]T

= (aji + bji)nxm

= (aji)nxm + (bji)nxm

= AT +BT

Lo que concluye la demostracion. �

Si se consideran A = (aij)mxn y B = (bij)nxp es posible demostrar la propiedad

(AB)T = BTAT

Definicion (Matriz simetrica y matriz antisimetrica): Una matriz cuadrada A se denomina simetrica si A = AT

y antisimetrica si A = −AT .

Como ejemplo se considerara la matriz

M =

1 2 32 −1 43 4 5

→ MT =

1 2 32 −1 43 4 5

la cual satisface M = MT y por tanto es simetrica. Por otra parte, la matriz:

D =

0 1 2−1 0 −5−2 5 0

tiene como matriz transpuesta:

DT =

0 −1 −21 0 52 −5 0

= −

0 1 2−1 0 −5−2 5 0

= −D

En este orden, se obtuvo DT = −D y por tanto −DT = D por lo que la matriz D ası definida se consideraantisimetrica.

Teorema (Descomposicion de una matriz): Toda matriz cuadrada A puede escribirse como

A = B + C

donde B es una matriz simetrica y C es una matriz antisimetrica.

Demostracion:

Sea A = (aij)nxn, luego A puede reescribirse como:

12

A = A

=1

2A+

1

2A

=1

2A+

1

2A+

1

2AT − 1

2AT

=

(1

2A+

1

2AT

)+

(1

2A− 1

2AT

)=

1

2

(A+AT

)+

1

2

(A−AT

)= B + C

donde B = 12

(A+AT

)Y C = 1

2

(A−AT

)basta probar que B es simetrica y C antisimetrica. Para tal fin:

Si B = 12

(A+AT

)BT =

[1

2

(A+AT

)]T=

1

2

(A+AT

)T=

1

2

(AT + (AT )T

)=

1

2

(AT +A

)=

1

2

(A+AT

)= B

Por tanto, B es una matriz simetrica.

Si C = 12

(A−AT

)CT =

[1

2

(A−AT

)]T=

1

2

(A−AT

)T=

1

2

(AT − (AT )T

)=

1

2

(AT −A

)= −1

2

(A−AT

)= −C

Luego, CT = −C lo que es equivalente a −CT = C lo cual nos permite afirmar que la matriz C esantisimetrica.

Lo cual concluye la demostracion. �

Como ejemplo se considerara la matriz:

A =

(1 5−3 7

)Esta se descompone como suma de una matriz simetrica y una antisimetrica del siguiente modo:

13

B =1

2

(A+AT

)=

1

2

((1 5−3 7

)+

(1 5−3 7

)T)

=1

2

((1 5−3 7

)+

(1 −35 7

))=

1

2

(2 22 14

)=

(1 11 7

)y

C =1

2

(A−AT

)=

1

2

((1 5−3 7

)−(

1 5−3 7

)T)

=1

2

((1 5−3 7

)−(

1 −35 7

))=

1

2

(0 8−8 0

)=

(0 4−4 0

)Luego,

A = B + C =

(1 11 7

)+

(0 4−4 0

)Definicion (Diagonal principal): En una matriz cuadrada A la diagonal principal es el conjunto ordenado deelemntos diagonales y se denota diag A. Si A = (aij)nxn la diagonal de A es diag A = (a11, a22, . . . , ann).

Definicion (Traza de una matriz): En una matriz cuadrada A la suma de sus elementos diagonales se denominatraza de la matriz y se denota Tr A.

Por ejemplo si se considera

A =

1 −3 4−4 6 12 −3 −4

se tiene diag A = (1, 6,−4) y Tr A = 1 + 6 + (−4) = 7− 4 = 3

Definicion (Matriz diagonal): Una matriz cuadrada A en la que todos sus elementos no diagonales son todosiguales a cero se denomina matriz diagonal.

Definicion (Matriz escalar): Una matriz diagonal en la que todos sus elementos diagonales son iguales a cero sedenomina matriz escalar.

A =

1 0 00 4 00 0 −5

es una matriz diagonal

14

D =

5 0 00 5 00 0 5

es una matriz escalar

Definicion (Matriz triangular superior): Una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por debajo de ladiagonal principal son iguales a cero se denomina matriz triangular superior.

A = (aij)nxn es triangular superior si aij = 0 para todo i � j

Definicion (Matriz triangular inferior): Una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima de ladiagonal principal son iguales a cero se denomina matriz triangular inferior.

A = (aij)nxn es triangular superior si aij = 0 para todo i ≺ j

B =

1 7 9 30 2 4 50 0 4 20 0 0 1

es una matriz triangular superior

D =

−3 0 0 05 21 0 0−17 4 3 0−52 8 9 1

es una matriz triangular inferior

Definicion: Sea A una matriz cuadrada:

i) Si AAT = ATA = I, la matriz A se dira ortogonal.

ii) Si A2 = A, la matriz A se dira idempotente.

iii) Si A2 = I, la matriz A se dira involutiva.

iv) Si Ar = 0 y Ar−1 6= 0, la matriz A se dira nilpotente, de ındice r.

3. Sistemas de ecuaciones lineales (2 x 2)

3.1 Propiedades de la recta

En la presente seccion se hara un breve repaso referente a las propiedades de la recta:

Si una recta cruza por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta tendra una pendiente dada por:

m =y2 − y1x2 − x1

si x2 6= x1 (19)

Si x2 − x1 = 0 y y2 6= y1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida.

Si la recta es paralela al eje x. Es decir, horizontal su pendiente sera igual a cero.

Cualquier recta (excepto una de pendiente indefinida) se puede escribir de la forma y = mx + b, dondem es la pendiente de la recta y b es la ordenada del corte de la recta con el eje y el cual se produce en elpunto (0, b).

15

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 es la pendiente de la recta L2 y adicionalmente L1 y L2 sonperpendiculares, entonces m2 = − 1

m1cuando m1 6= 0

3.2 Sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incognitas

Consideremos el sistema:

a11x + a12y = b1 (20)

a21x + a22y = b2 (21)

donde a11, a12, a21 y a22 son numeros dados, naturalemnte cada una de las ecuaciones (2) y (3) describe unarecta y el sistema tendra una solucion dada por la interseccion simultanea de las dos rectas, en caso de quelas rectas sean paralelas el sistema no tiene solucion o si por el contrario las dos rectas coinciden (es decir, sesobreponen) el sistema tiene infinitas soluciones.

Teorema (Existencia o no de soluciones en un sistema (2 x 2)): El sistema descrito en (2) y (3):

a11x + a12y = b1 (2)

a21x + a22y = b2 (3)

de dos ecuaciones con dos incognitas x e y, cumple alguna de las siguientes propiedades:

i) Tiene solucion unica si y solo si (a11a22 − a12a21) 6= 0

ii) Si las rectas generadas por (2) y (3) son paralelas. Es decir, el sistema no tiene solucion entonces

(a11a22 − a12a21) = 0

Demostracion:

i) Para demostrar esta afirmacion se deben considerar diversos casos:

Si a12 = 0, entonces la ecuacion (2) se reescribe como:

a11x+ a12y = b1

a11x+ 0y = b1

a11x = b1 → x =b1a11

y con este valor de x se reemplaza en la ecuacion (3) para hallar el valor de y y finalmente resolverel sistema. Dada la sencillez de este procedimiento se considerara este caso como trivial.

Si a22 = 0, entonces la ecuacion (3) se reescribe como:

a21x+ a22y = b2

a21x+ 0y = b2

a21x = b2 → x =b2a21

y con este valor de x se reemplaza en la ecuacion (2) para hallar el valor de y y finalmente resolverel sistema. Dada la sencillez de este procedimiento se considerara este caso como trivial.

16

Si a12 = a22 = 0 entonces el sistema de ecuaciones se transforma en:

a11x+ a12y = b1 ⇒ a11x = b1 ⇒ x =b1a11

a21x+ a22y = b2 ⇒ a21x = b2 ⇒ x =b2a21

Estas expresiones generan dos rectas verticales que desde luego solo representaran una solucion sicoinciden esto es si son la misma recta. Po lo cualse considerara este caso tambien como trivial.

Los casos antes considerados nos permiten afrirmar que a12 y a22 son diferentes de cero. Por tanto,es posible multiplicar la ecuacion (2) por a22 y la ecuacion (3) por a12. Esto es

a11x+ a12y = b1 ⇒ a11a22x+ a12a22y = b1a22 (22)

a21x+ a22y = b2 ⇒ a12a21x+ a12a22y = b2a12 (23)

Restando la expresion (5) de la (4) se obtiene

a11a22x− a12a21x = b1a22 − b2a12(a11a22 − a12a21)x = b1a22 − b2a12

Si en esta expresion se toma (a11a22 − a12a21) 6= 0 se obtiene:

x =b1a22 − b2a12a11a22 − a12a21

y por tanto bastarıa con reemplazar con este valor de x en cualquiera de las ecuaciones (2) o (3) paradespejar el valor de y solucionando el sistema. Luego, si (a11a22 − a12a21) 6= 0 el sistema tiene unasolucion unica.

ii) Si las rectas descritas en (2) y (3)

a11x + a12y = b1 ⇒ y = −a11a12

x + b1

a21x + a22y = b2 ⇒ y = −a21a22

x + b2

son paralelas estas deben tener la misma pendiente. Esto es

−a11a12

= −a21a22

⇒ a11a12

=a21a22

Dado que a12 y a22 son diferentes de cero se obtiene:

a11a12

=a21a22

⇒ a11a22 = a12a21 ⇒ a11a22 − a12a21 = 0

Tal como se queria mostrar. �.

17

4. Sistemas de ecuaciones lineales (3 x 3)

Consideremos el sitema de tres ecuaciones con tres incognitas dado por:

a11x + a12y + a13z = b1 (24)

a21x + a22y + a23z = b2 (25)

a31x + a32y + a33z = b3 (26)

cada numero aij con 1 ≤ i, j ≤ n es un numero dado y las incognitas del sistema son las variables x, y e z. Cadasolucion del sistema es una tripla (x, y, z) que se encuentra dada por la interseccion de los planos generados por(6), (7) y (8). Los posibles casos de interseccion son:

i) Los tres planos se intersectan en un punto unico, por tanto el sistema es soluble y tiene una unica solucion.

ii) Los tres planos son paralelos, por tanto nunca se intersectan y el sistema carece de solucion.

iii) Los tres planos no se intersectan simultaneamente, y la interseccion presentada es dos a dos. Es decir dosde ellos se intersectan y el tercero intersecta a cada uno de ellos; no obtante no existe ningun punto en elespacio en el cual los tres planos se toquen al mismo tiempo por tanto el sistema no tiene solucion.

iv) Dos planos son paralelos y el tercero los intersecta. Luego no se intersectan en forma simultanea y por tantoel sistema no presenta solucion.

v) Los tres planos se intersectan formando una lınea en el espacio y por tanto el sistema tiene una cantidadinfinita de soluciones.

vi) Los tres planos coinciden es decir se sobreponen y por tanto el sistema tiene una cantidad infinita desoluciones.

18

5. Sistemas equivalentes

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

con m ecuaciones y n incognitas x1, x2, ..., xn. Recordando el producto matricial el sistema de ecuacioneslineales anterior se puede reescribir como:

a11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n

.

.


mxn

x1x2...xn

nx1

=

b1b2...bm

mx1

El cual se escribe comunmente como Ax = b, donde:

A =

a11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n

.

.


mxn

la cual se denomina matriz de coeficientes del sistema o simplemente matriz de coeficientes

x =

x1x2...xn

nx1

vector columna que se denomina vector de incognitas. Mientras que:

b =

b1b2...bm

mx1

se denomina vector solucion.

19

Definicion (Sistema equivalente): Dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalentes, si ellos tiene exactamentelas mismas soluciones.

Teorema (Intercambio de filas): Sea (1) el sistema definido por:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...

ai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn = bi → Fila i

...

aj1x1 + aj2x2 + ...+ ajnxn = bj → Fila j

...


y tomemos (2) como el sistema:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...

aj1x1 + aj2x2 + ...+ ajnxn = bj → Fila i

...

ai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn = bi → Fila j

...


entonces (1) y (2) son equivalentes. Es importante notar que en los sistemas (1) y (2) se realizo un intercambioentre las filas i y j

Demostracion

Aunque el orden de las ecuaciones cambia se siguen teniendo la misma cantidad de ecuaciones. Luego, las solu-ciones o solucion permanecen invariantes para ambos sistemas y por tanto son equivalentes. Tal como se queriamostrar. �

Teorema (Multiplicacion de una fila por un escalar): Sea c un escalar real (c ∈ R) diferente de cero c 6= 0 y (1)el sistema dado por:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...


...


considerese tambien el sistema (2) dado por:

20

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...

cai1x1 + cai2x2 + ...+ cainxn = cbi → Fila i

...


son equivalentes. Nota: En el segundo sistema se multiplico la fila i - esima por el escalar real c.

Demostracion

Sea (y1, y2, ..., yn) una solucion del sistema (1). Luego satisface cada una de las ecuaciones de ese sistema, enparticular satisface su i - esima ecuacion. Esto es:

ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + ainxn = bi → ai1y1 + ai2y2 + ai3y3 + ... + ainyn = bi

se puede multiplicar a ambos lados de la igualdad por c:

ai1y1 + ai2y2 + ai3y3 + ... + ainyn = bi → cai1y1 + cai2y2 + cai3y3 + ... + cainyn = cbi

Ası, (y1, y2, ..., yn) satisface la i - esima ecuacion de (2), dado que las demas ecuaciones permanecen invariantesse puede concluir que toda solucion del sistema (1) es tambien solucion del sistema (2)

Sea (t1, t2, ..., tn) una solucion del sistema (2), luega satisface cada una del las ecuaciones en el sistema, enparticular satisface la i - esima ecuacion. Esto es:

cai1t1 + cai2t2 + cai3t3 + ... + caintn = cbi → cai1t1 + cai2t2 + cai3t3 + ... + caintn = cbi

Debido a que c es diferente de cero se puede dividir a ambos lados de la igualdad por c:

cai1t1 + cai2t2 + cai3t3 + ... + caintn = cbi → ai1t1 + ai2t2 + ai3t3 + ... + aintn = bi

Ası, (t1, t2, ..., tn) satisface la i - esima ecuacion de (1), dado que las demas ecuaciones permanecen invariantesse puede concluir que toda solucion del sistema (2) es tambien solucion del sistema (1). Por tanto, los sistemas(1) y (2) son equivalentes tal como se queria mostrar. �

Teorema (Adicion de filas): Sea c un escalar real y sea (1) el sistema definido por:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...


...


...


21

y tomemos (2) como el sistema:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...

(ai1 + caj1)x1 + (ai2 + caj2)x2 + ...+ (ain + cajn)xn = (bi + cbj) → Fila i

...


...


entonces (1) y (2) son equivalentes. Es importante notar que en los sistemas (1) y (2) se realizo un suma entrela filas i y c veces la fila j

Demostracion:

Si c = 0 los sistemas (1) y (2) son exactamente iguales y por tanto equivalentes.

Si c 6= 0.Sea (y1, y2, ..., yn) una solucion del sistema (1). Luego satisface cada una de las ecuaciones de ese sistema,en particular satisface su i - esima ecuacion y su j - esima ecuacion . Esto es:

ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + ainxn = bi → ai1y1 + ai2y2 + ai3y3 + ... + ainyn = bi

aj1x1 + aj2x2 + aj3x3 + ... + ajnxn = bi → aj1y1 + aj2y2 + aj3y3 + ... + ajnyn = bj

Luego se puede multiplicar la ecuacion aj1y1 + aj2y2 + aj3y3 + ... + ajnyn = bj por el escalar c, esto es

aj1y1 + aj2y2 + aj3y3 + ... + ajnyn = bj → caj1y1 + caj2y2 + caj3y3 + ... + cajnyn = cbj

Si ahora se suman las ecuaciones:

ai1y1 + ai2y2 + ai3y3 + ... + ainyn = bi

y

caj1y1 + caj2y2 + caj3y3 + ... + cajnyn = cbj

se obtiene:

ai1y1 + caj1y1 + ai2y2 + caj2y2 + ai3y3 + caj3y3 + ... + ainyn + cajnyn = bi + cbj

factorizando los terminos y1, y2 , ... , yn se obtiene:

(ai1 + caj1)y1 + (ai2 + caj2)y2 + (ai3 + caj3)y3 + ... + (ain + cajn)yn = bi + cbj

Ası, (y1, y2, ..., yn) satisface la i - esima ecuacion de (2), dado que las demas ecuaciones permanecen inva-riantes se puede concluir que toda solucion del sistema (1) es tambien solucion del sistema (2)

22

Sea (t1, t2, ..., tn) una solucion del sistema (2), luega satisface cada una de las ecuaciones en el sistema, enparticular satisface la i - esima ecuacion. Esto es:

(ai1 + caj1)t1 + (ai2 + caj2)t2 + (ai3 + caj3)t3 + ... + (ain + cajn)tn = bi + cbj

distribuyendo los terminos t1, t2, ..., tn se obtiene:

ai1t1 + caj1t1 + ai2t2 + caj2t2 + ai3t3 + caj3t3 + ... + aintn + cajntn = bi + cbj

los cuales se pueden dividir en las ecuaciones:

ai1t1 + ai2t2 + ai3t3 + ... + aintn = bi

caj1t1 + caj2t2 + caj3t3 + ... + cajntn = cbj

dado que c 6= 0 tenemos:

ai1t1 + ai2t2 + ai3t3 + ... + aintn = bi

aj1t1 + aj2t2 + aj3t3 + ... + ajntn = bj

Ası, (t1, t2, ..., tn) satisface la i - esima ecuacion y la j - esima ecuacion de (1), dado que las demas ecua-ciones permanecen invariantes se puede concluir que toda solucion del sistema (2) es tambien solucion delsistema (1). Por tanto, los sistemas (1) y (2) son equivalentes tal como se queria mostrar. �

Si se nota la fila i - esima como Fi, los tres teoremas antes enunciado se reescriben como:

(Intercambio de filas) Fi ↔ Fj

(Multiplicacion de una fila por un escalar) cFi

(Adicion o suma de filas) Fi + cFj

Las operaciones antes definidas se denominan operaciones elementales de filas.

Definicion (Matrices equivalentes): Sean A y B matrices del mismo tamano. Se dice que A es equivalente a B;si B se obtiene a traves de un numero finito de operaciones elementales entre filas. Esto se nota A ≈ B. Laequivalencia de matrices y de sistemas satisface las siguiente propiedades:

i) A ≈ A

ii) Si A ≈ B entonces B ≈ A

iii) Si A ≈ B y B ≈ C entonces A ≈ C

23

6. Metodo de la matriz escalonada

Definicion (Matriz escalonada): Se dice que una matriz es escalonada si el numero de ceros que precede alprimer elemento diferente de cero de una fila, aumenta fila por fila hasta obtener posiblemente una fila de soloceros.

B =

3 6 −9 30 2 4 50 0 4 20 0 0 1

es una matriz escalonada

D =

0 6 −9 30 0 4 50 0 0 20 0 0 0

es una matriz escalonada

Adicionalmente, del sistema

a11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n

.

.


mxn

x1x2...xn

nx1

=

b1b2...bm

mx1

podemos extraer:

a11 a12 ... a1n... b1

a21 a22 ... a2n... b2

.

.

.

am1 am2 ... amn

... bm

denominada matriz ampliada del sistema. Usando esta terminologıa se introduce

EL METODO DE LA MATRIZ ESCALONADA

1. Se forma la matriz ampliada correspondiente al sistema.

2. Al efectuar operaciones elementales entre filas se obtiene una matriz escalonada.

3. Se halla el sistema de ecuaciones que representa la matriz escalonada

4. En este ultimo sistema se halla la solucion. Es decir, el valor de cada una de las incognitas.

Ejemplo 1. Resolver mediante el metodo de la matriz escalonada el sistema:

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 (27)

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 (28)

3x1 + x2 − 2x3 = 4 (29)

24

se genera la matriz ampliada:

2 4 6

... 18

4 5 6... 24

3 1 −2... 4

se realizan las operaciones fila indicadas:

2 4 6

... 18

4 5 6... 24

3 1 −2... 4

F1→ 12F1→

1 2 3

... 9

4 5 6... 24

3 1 −2... 4

F2→F2−4F1→

1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

3 1 −2... 4

se continua realizando operaciones filas para obtener:

1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

3 1 −2... 4

F3→F3−3F1→

1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

0 −5 −11... −23

F2→− 13F2→

1 2 3

... 9

0 1 2... 4

0 −5 −11... −23

finalmente se realiza la operacion fila

1 2 3

... 9

0 1 2... 4

0 −5 −11... −23

F3→F3+5F2→

1 2 3

... 9

0 1 2... 4

0 0 −1... −3

La matriz

1 2 3... 9

0 1 2... 4

0 0 −1... −3

es una matriz escalonada cuyo sistema de ecuaciones es igual a:

x1 + 2x2 + 3x3 = 9 (30)

x2 + 2x3 = 4 (31)

−x3 = −3 (32)

De la ecuacion (14) se obtiene

−x3 = −1 → x3 = 3 (33)

reemplazando con el valor obtenido en (15) en la ecuacion (13), se obtiene:

x2 + 2x3 = 4

x2 + 2(3) = 4

x2 + 6 = 4

25

luego

x2 + 6 = 4 → x2 = 4− 6 = −2 (34)

reemplazando ahora con los valores obtenidos en (15) y (16) en la ecuacion (12) se tiene:

x1 + 2x2 + 3x3 = 9

x1 + 2(−2) + 3(3) = 9

x1 − 4 + 9 = 9

x1 + 5 = 9

luego

x1 + 5 = 9 → x1 = 9− 5 = 4 (35)

Luego el sistema dado en las ecuaciones (9), (10) y (11) tiene como solucion

x1 = 4

x2 = −2

x3 = 3

Es decir, el sistema dado en las ecuaciones (9), (10) y (11) tiene como solucion la tripla (x1, x2, x3) = (4,−2, 3)por tanto es un sistema consistente y un sistema independiente.


2x2 + 3x3 = 4 (36)

2x1 − 6x2 + 7x3 = 15 (37)

x1 − 2x2 + 5x3 = 10 (38)


0 2 3

... 4

2 −6 7... 15

1 −2 5... 10


0 2 3

... 4

2 −6 7... 15

1 −2 5... 10

F1↔F2→

2 −6 7

... 15

0 2 3... 4

1 −2 5... 10

F1↔F3→

1 −2 5

... 10

0 2 3... 4

2 −6 7... 15


1 −2 5

... 10

0 2 3... 4

2 −6 7... 15

F3→F3−2F1→

1 −2 5

... 10

0 2 3... 4

0 −2 −3... −5

F3→F3+F2→

1 −2 5

... 10

0 2 3... 4

0 0 0... −1

26

La matriz

1 −2 5

... 10

0 2 3... 4

0 0 0... −1


x1 − 2x2 + 5x3 = 10 (39)

2x2 + 3x3 = 4 (40)

0 = −1 (41)

de la ecuacion (23) se obtiene 0 = −1 lo cual representa una contradiccion y por tanto podemos concluir que elsistema dado por las ecuaciones (18), (19) y (20) carece de solucion y por tanto se dıra inconsistente.


2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 (42)

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 (43)

2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 (44)


2 4 6

... 18

4 5 6... 24

2 7 12... 30


2 4 6

... 18

4 5 6... 24

2 7 12... 30

F1→ 12F1→

1 2 3

... 9

4 5 6... 24

2 7 12... 30

F2→F2−4F1→

1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

2 7 12... 30


1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

2 7 12... 30

F3→F3−2F1→

1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

0 3 6... 12

F3→F3+F2→

1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

0 0 0... 0

La matriz

1 2 3

... 9

0 −3 −6... −12

0 0 0... 0

27


x1 + 2x2 + 3x3 = 9 (45)

−3x2 − 6x3 = −12 (46)

0 = 0 (47)

de la ecuacion (27), (28) y (29) es posible concluir que posee infinitas soluciones. Por ejemplo si se toma x3 = 0reemplazando en la ecuacion (28) se obtiene

−3x2 − 6x3 = −12

−3x2 − 6(0) = −12

−3x2 = −12

x2 = 4

si ahora se reemplaza con estos valores x3 = 0 y x2 = 4 en la ecuacion (27) se obtiene

x1 + 2x2 + 3x3 = 9

x1 + 2(4) + 3(0) = 9

x1 + 8 = 9

x1 = 1

ası la tripla (x1, x2, x3) = (1, 4, 0) es una solucion del sistema. Por cada valor que toma x3 existe una solucionpara el sistema luego existe una cantidad infinita de soluciones.

7. Metodo de Gauss - Jordan

Definicion (Pivote): Los primeros coeficientes no nulos de cada fila de una matriz escalonada se llaman pivotede esa fila. Dado que la matriz es escalonada cada pivote se debe encontrar mas a la derecha que el anterior.

B =

3 6 −9 30 2 4 50 0 4 20 0 0 1

Los pivotes de esta matriz son:

Pivote de F1 = 3

Pivote de F2 = 2

Pivote de F3 = 4

Pivote de F4 = 1

D =

0 6 −9 30 0 4 50 0 0 20 0 0 0

Los pivotes de esta matriz son:

28

Pivote de F1 = 6

Pivote de F2 = 4

Pivote de F3 = 2

Pivote de F4 = no posee pivote

Definicion (Forma escalonada reducida): Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglonessi cumple las siguientes condiciones:

1. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.

2. El primer numero diferente de cero en una fila (es decir el pivote de la fila) es exactamente igual a uno.

3. Si dos renglones sucesivos tiene elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglon o fila deabajo esta mas a la derecha que el de la fila inmediatamente anterior.

A =

1 7 0 −90 1 8 510 0 1 10 0 0 1

es una matriz escalonada reducida

L =

0 1 −1 320 0 1 −10 0 0 10 0 0 0

es una matriz escalonada reducida

METODO DE GAUSS - JORDAN

1. Se forma la matriz ampliada correspondiente al sistema.

2. Al efectuar operaciones elementales entre filas se hace que el coeficiente de x1 en F1 sea igual a uno.

3. Al efectuar operaciones elementales entre filas se hace que el coeficiente de x1 en las demas filas seaniguales a cero.

4. Al efectuar operaciones elementales entre filas se hace que el coeficiente de x2 en F2 sea igual a uno.

5. Al efectuar operaciones elementales entre filas se hace que el coeficiente de x2 en las demas filas seaniguales a cero.

6. Se continua el proceso hasta obtener al lado izquierdo de la lınea vertical que se escribe en la ampliada lamartiz identidad o la matriz identidad seguida de filas de ceros, y de este modo se halla el valor de cadauna de las variables.

Ejemplo 1. Resolver mediante el metodo de Gauss - Jordan el sistema:

2x1 + 3x2 − 4x3 = 2

−x1 − 2x2 + 5x3 = 9

4x1 + 5x2 − x3 = 7

x1 + x2 − x3 = 8

29


2 3 −4

... 2

−1 −2 5... 9

4 5 −1... 7

1 1 −1... 8


2 3 −4

... 2

−1 −2 5... 9

4 5 −1... 7

1 1 −1... 8

F1→ 1

2F1→

1 3

2 −2... 1

−1 −2 5... 9

4 5 −1... 7

1 1 −1... 8

F2→F2+F1→

1 3

2 −2... 1

0 − 12 3

... 10

4 5 −1... 7

1 1 −1... 8

Luego,

1 3

2 −2... 1

0 − 12 3

... 10

4 5 −1... 7

1 1 −1... 8

F3→F3−4F1→

1 3

2 −2... 1

0 − 12 3

... 10

0 −1 7... 3

1 1 −1... 8

F4→F4−F1→

1 3

2 −2... 1

0 − 12 3

... 10

0 −1 7... 3

0 − 12 1

... 7

Ahora,

1 3

2 −2... 1

0 − 12 3

... 10

0 −1 7... 3

0 − 12 1

... 7

F2→−2F2→

1 3

2 −2... 1

0 1 −6... −20

0 −1 7... 3

0 − 12 1

... 7

F1→F1− 3

2F2→

1 0 −7

... 31

0 1 −6... −20

0 −1 7... 3

0 − 12 1

... 7

Siguiendo el procso se obtiene

1 0 −7

... 31

0 1 −6... −20

0 −1 7... 3

0 − 12 1

... 7

F3→F3+F2→

1 0 −7

... 31

0 1 −6... −20

0 0 1... −17

0 − 12 1

... 7

F4→F4+

12F2→

1 0 −7

... 31

0 1 −6... −20

0 0 1... −17

0 0 −2... −3

continuando con las operaciones fila se obtiene:

1 0 −7

... 31

0 1 −6... −20

0 0 1... −17

0 0 −2... −3

F1→F1+7F3→

1 0 0

... −88

0 1 −6... −20

0 0 1... −17

0 0 −2... −3

F2→F2+6F3→

1 0 0

... −88

0 1 0... −122

0 0 1... −17

0 0 −2... −3

30

Por ultimo se realiza la operacion fila

1 0 0

... −88

0 1 0... −122

0 0 1... −17

0 0 −2... −3

F4→F4+2F3→

1 0 0

... −88

0 1 0... −122

0 0 1... −17

0 0 0... 31

de la ultima fila se obtiene 0 = 31 lo cual representa una contradiccion y ası el sistema carece de solucion y portanto es inconsistente.

Por otra parte, si se considera el sistema

x1 − 3x2 + x3 = 3

−x1 − 2x2 − 5x3 = 91

4x1 − 5x2 − x3 = 2

x1 − x2 − x3 = −8

este tendra un conjunto de soluciones dado por (x1, x2, x3), mientras que el sistema

x3 − 3x2 + x1 = 3

−5x3 − 2x2 − x1 = 91

−x3 − 5x2 + 4x1 = 2

−x3 − x2 + x1 = −8

tiene la solucion (x1, x2, x3), lo anterior nos sugiere que en un sistema se puede realizar un cambio de columnassiempre y cuando este mismo cambio se realice en la solucion.

Definicion (Sistema homogeneo): Un sistema:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...


donde b1 = b2 = ...bm = 0, es decir

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = 0

...

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = 0

se denomina homogeneo.

En un sistema homogeneo la solucion x1 = x2 = ... = xn = 0 se denomina solucion trivial y toda doluciondiferente de la trivial naturalmente se llama solucion no trivial.

31

8. Aplicaciones

1. Problema de administracion de recursos: Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tiposde comida a un lago que alberga tres especies diferentes de peces.

La especie 1 consume semanalmente: una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades delalimento 3.

La especie 2 consume semanalmente: tres unidades del alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 y cinco uni-dades del alimento 3.

A su vez, la especie 3 consume semanalmente: dos unidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cincounidades del alimento 3.

Semanalmente se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000unidades del alimento 3. ¿Cuantos peces de cada especie de pez pueden coexistir en el lago?

Solucion

Para solucionar dicho problema se deben establecer tres variables, una por cada especie de pez. Esto es:

x1 = Cantidad de peces de laespecie 1



Ahora, se debe plantear una ecuacion para la cantidad de alimento 1 que consume cada especie y la suministradapor el departamento de pesca y caza:

x1 + 3x2 + 2x3 = 25000

de igual forma para el alimento 2:

x1 + 4x2 + x3 = 20000

finalmente para el alimento 3

2x1 + 5x2 + 5x3 = 55000

estas ecuaciones nos llevan a plantear el sistema de tres ecuaciones y tres incognitas dado por:

x1 + 3x2 + 2x3 = 25000

x1 + 4x2 + x3 = 20000

2x1 + 5x2 + 5x3 = 55000

el cual puede ser escrito como combinacion lineal del siguiente modo:

112

x1 +

345

x2 +

215

x3 =

250002000055000

32

o usando la notacion Ax = b:

1 3 21 4 12 5 5

x1x2x3

=

250002000055000

El sistema antes descrito genera la matriz ampliada:

1 3 2

... 25000

1 4 1... 20000

2 5 5... 55000

(48)

Se realizan las siguiente operaciones fila:

1 3 2

... 25000

1 4 1... 20000

2 5 5... 55000

F2→F2−F1→

1 3 2

... 25000

0 1 −1... −5000

2 5 5... 55000

F3→F3−2F1→

1 3 2

... 25000

0 1 −1... −5000

0 −1 1... 5000

Luego

1 3 2

... 25000

0 1 −1... −5000

0 −1 1... 5000

F1→F1−3F2→

1 0 5

... 40000

0 1 −1... −5000

0 0 0... 0

esta ultima matriz

1 0 5

... 40000

0 1 −1... −5000

0 0 0... 0

(49)

genera el sistema de infinitas soluciones:

x1 + 5x3 = 40000

x2 − x3 = −5000

del cual se obtiene:

x1 = 40000− 5x3 (50)

x2 = −5000 + x3 (51)

por cada valor que toma x3 se presenta una solucion diferente. No obtante se cuenta con algunas reestriccionesdado que x1, x2 y x3 representan la cantidad de peces de cada especie estas no pueden tomar valores negativos;usando este hecho y la igualdad (4) es posible deducir:

33

x2 ≥ 0

x2 = −5000 + x3 ≥ 0

−5000 + x3 ≥ 0

x3 ≥ 5000

Ası x3 ≥ 5000. Por otra parte, de la ecuacion (3) se deduce:

x1 ≥ 0

x1 = 40000− 5x3 ≥ 0

40000− 5x3 ≥ 0

−5x3 ≥ −40000

−x3 ≥ −8000

x3 ≤ 8000

por tanto x3 ≤ 8000. Luego la solucion del sitema se encuentra dada por:

x1 = 40000− 5x3 (52)

x2 = −5000 + x3 (53)

5000 ≤ x3 ≤ 8000 (54)

2. Problema de la dieta balanceada: Un desayuno con granola y yogurt natural proporciona un equilibrio ade-cuado para empezar bien el dıa. Suponga que cada porcion de granola y cada porcion de yogurt a porta lasiguiente distribucion de nutrientes (por porcion):

Nutrimiento Granola YogurtCalorias 110 130

Proteinas (gr) 4 3Carbohidratos (gr) 20 18

Grasa (gr) 2 5

Si 295 calorias, 9 gr de proteınas, 48 gr de carbohidratos y 8 gr de de grasa son las cantidades aconsejadas porla comunidad medica para desayunar.

a) Escriba el sistema de ecuaciones que modele el problema de encontrar las cantidades exactas de granola yyogurt para preparar el desayuno ideal, explicando completamente el significado de las variables.

b) Escribir el sistema como un problema de combinaciones lineales.

c) Escribir el sistema como Ax = b

d) Si es posible, encuentre la combinacion lineal buscada. Es decir, solucione el sitema mediante Gauss - Jordan.

Solucion

a) Para solucionar dicho problema se deben establecer dos variables, una para la cantidad de granola consumiday otra para la cantidad de yogurt consumido. Esto es:

x1 = Cantidad de granola que se debe consumir

x2 = Cantidad de yogurt que se debe consumir

34

Ahora, se debe plantear una ecuacion para la cantidad de calorias que se debe consumir consume por cadacantidad de granola y yogurt:

110x1 + 130x2 = 295

de igual forma para la cantidad en gramos de proteinas:

4x1 + 3x2 = 9

para la cantidad en gramos de carbohidratos:

20x1 + 18x2 = 48

finalmente para la cantidad en gramos de grasa:

2x1 + 5x2 = 8

estas ecuaciones nos llevan a plantear el sistema de cuatro ecuaciones y dos incognitas dado por:

110x1 + 130x2 = 295

4x1 + 3x2 = 9

20x1 + 18x2 = 48

2x1 + 5x2 = 8

b) El problema se escribe como una combinacion lineal del siguiente modo:1104202

x1 +

1303185

x2 =

2959488

c) El sistema se excribe como Ax = b del siguiente modo:

110 1304 320 182 5

( x1x2

)=

2959488

d) Para solucionar el sistema antes decrito, se debe considerar que este genera la matriz ampliada:

110 130

... 295

4 3... 9

20 18... 48

2 5... 8

(55)

35

Se realizan las siguiente operaciones fila:

110 130

... 295

4 3... 9

20 18... 48

2 5... 8

F1↔F4→

2 5

... 8

4 3... 9

20 18... 48

110 130... 295

F1→ 1

2F1→

1 5

2

... 4

4 3... 9

20 18... 48

110 130... 295

Luego

1 5

2

... 4

4 3... 9

20 18... 48

110 130... 295

F3→ 1

2F3→

1 5

2

... 4

4 3... 9

10 9... 24

110 130... 295

F4→ 1

5F4→

1 5

2

... 4

4 3... 9

10 9... 24

22 26... 59

continuando con las operaciones filas se obtiene:

1 5

2

... 4

4 3... 9

10 9... 24

22 26... 59

F2→F2−4F1→

1 5

2

... 4

0 −7... −7

10 9... 24

22 26... 59

F3→F3−10F1→

1 5

2

... 4

0 −7... −7

0 −16... −16

22 26... 59

luego:

1 5

2

... 4

0 −7... −7

0 −16... −16

22 26... 59

F4→F4−22F1→

1 5

2

... 4

0 −7... −7

0 −16... −16

0 −29... −29

F2→− 1

7F2→

1 5

2

... 4

0 1... 1

0 −16... −16

0 −29... −29


1 5

2

... 4

0 1... 1

0 −16... −16

0 −29... −29

F3→− 1

16F3→

1 5

2

... 4

0 1... 1

0 1... 1

0 −29... −29

F4→− 1

29F4→

1 5

2

... 4

0 1... 1

0 1... 1

0 1... 1

Ahora,

1 5

2

... 4

0 1... 1

0 1... 1

0 1... 1

F3→F3−F2→

1 5

2

... 4

0 1... 1

0 0... 0

0 1... 1

F4→F4−F2→

1 5

2

... 4

0 1... 1

0 0... 0

0 0... 0

36

Por ultimo:

1 5

2

... 4

0 1... 1

0 0... 0

0 0... 0

F1→F1− 5

2F2→

1 0

... 32

0 1... 1

0 0... 0

0 0... 0

Esta ultima matriz:

1 0

... 32

0 1... 1

0 0... 0

0 0... 0

proporciona la solucion:

x1 =3

2(56)

x2 = 1 (57)

Luego se debe consumir una cantidad de granola exactamente igual a 32 y una cantidad de yogurt igual a

1.

3. Modelo de insumo producto de Leontief: Un modelo que se usa con frecuencia en economıa es el modelo deinsumo producto de Leontief, llamamdo ası en honor al nobel de economıa Wassily Leontief.

En este, supongamos que un sistema economico tiene n industrias. Existen dos tipos de demandas en cadaindusria: primero, una demanda externa la cual se realiza desde afuera del sistema, segundo una demanda quese hace de una industria a otra industria del mismo sistema.

Supongamos que el numero ei representa la demanda externa ejercida sobre la i- esima industria mientras queaij representa el numero de unidades de produccion de la industria i que se necesitan para producir una unidadde la industria j. Sea xi la produccion de la industria i.

Ahora supongamos que la produccion de cada industria es igual a su demanda total (es decir, la cantidad deproductos fabricados es igual a la cantidad de productos que solicita el publico tanto dentro del sistema ecnomicocomo fuera de el), la demanda total es igual a la suma de las demandas internas y las demandas externas. Porejemplo, para calcular la demanda interna de la industria 2 se observa que la industria 1 necesita a21 unidadesproduccion de la industria 2 para producir una unidad de propia produccion. Si la produccion de la industria 1es x1, entonces a21x1 es la cantidad total que ecesita la industria 1 de la industria 2. Ası, la demanda internatotal de la industria 2 es a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn.

Al igualar la demanda total a la produccion de cada industria se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn + e1 = x1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn + e2 = x2...

an1x1 + an2x2 + ...+ annxn + en = xn

37

Luego, multiplicando ambos lados de cada igualdad por −1 se obtiene:

−a11x1 − a12x2 − . . .− a1nxn − e1 = −x1−a21x1 − a22x2 − ...− a2nxn − e2 = −x2

...

−an1x1 − an2x2 − ...− annxn − en = −xn

y por tanto:

(1− a11)x1 − a12x2 − . . .− a1nxn = e1

−a21x1 + (1− a22)x2 − ...− a2nxn = e2...

−an1x1 − an2x2 − ...+ (1− ann)xn = en

Esta ultima expresion se conoce bajo el nombre de modelo de insumo - producto de Leontief.

3.1 MODELO DE LEONTIEF APLICADO A UN SITEMA ECONOMICO CON TRES INCOGNITAS: Su-pongamos que las demandas externas de un sistema economico con tres industrias esta dadas por 10, 25 y 20respectivamente. Suponga que

a11 = 0,2 =1

5a12 = 0,5 =

1

2a13 = 0,15 =

3

20

a21 = 0,4 =2

5a22 = 0,1 =

1

10a23 = 0,3 =

3

10

a31 = 0,25 =1

4a32 = 0,5 =

1

2a33 = 0,15 =

3

20

Encuentre el sistema que determine la produccion de cada industria de manera que la oferta de productos seaigual a la demanda:

Se deben calcular los terminos 1− aii, es decir:

1− a11 = 1− 0,2 = 0,8 =4

5

1− a22 = 1− 0,1 = 0,9 =9

10

1− a33 = 1− 0,15 = 0,85 =17

20

Luego el sistema solicitado es:

(1− a11)x1 − a12x2 − a13x3 = e1

−a21x1 + (1− a22)x2 − a23x3 = e2

−a31x1 − a32x2 + (1− a33)x3 = e3

reemplazando con los valores hallados, se tiene:

0,8x1 − 0,5x2 − 0,15x3 = 10

−0,4x1 + 0,9x2 − 0,3x3 = 25

−0,25x1 − 0,5x2 + 0,85x3 = 20

38

el cual es exactamente igual a:

4

5x1 −

1

2x2 −

3

20x3 = 10

−2

5x1 +

9

10x2 −

3

10x3 = 25

−1

4x1 −

1

2x2 +

17

20x3 = 20

9. Sistemas homogeneos

Definicion (Sistema homogeneo): Un sistema:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2...


donde b1 = b2 = ...bm = 0, es decir

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = 0

...

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = 0

se denomina homogeneo.

En un sistema homogeneo la solucion x1 = x2 = ... = xn = 0 se denomina solucion trivial y toda doluciondiferente de la trivial naturalmente se llama solucion no trivial.

Estos sistemas se reescriben como combinacion lineal del siguiente modo:

a11a21...

am1

x1 +

a12a22...

am2

x2 + . . .+

a1na2n

...amn

xn =

00...0

mx1

de igual forma tambien se puede reescribir como

a11 a12 . . . a1na21 a22 a2n...

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

=

00...0

mx1

Definicion (Sistema homogeneo asociado): El sistema lineal no homogeneo general se puede escribir como:

39

Ax = b

con A como la matriz de coeficientes, x el vector columna de incognitas y b el vector columna solucion el cuales diferente de cero b 6= 0, un sistema homogeneo asociado se define como:

Ax = 0

Teorema: Sean x1 y x2 soluciones al sistema no homogeneo Ax = b. Entonces su diferencia x1 − x2, es unasolucion al sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Demostracion:

Sean x1 y x2 soluciones al sistema no homogeneo Ax = b, esto es:

Ax1 = b

Ax2 = b

luego

0 = b− b = Ax1 −Ax2 = A(x1 − x2)

lo cual queire decir que (x1 − x2) es una solucion del sistema homogeneo Ax = 0 tal como se queria mostrar.�

Corolario: Sean u e v soluciones al sistema no homogeneo Ax = b. Entonces existe una solucion h al sistemahomogeneo asociado Ax = 0 talque:

v = u+ h

Demostracion:

Sean u e v soluciones al sistema no homogeneo Ax = b usando el teorema anterior se tiene que h = v − u essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0 y adicionalmente v = u+ h tal como se queria mostrar.�

Como ejemplo consideremos el sistema no homogeneo dado por:

x1 + 2x2 − x3 = 2

2x1 + 3x2 + 5x3 = 5

−x1 − 3x2 + 8x3 = −1

el cual genera la matriz ampliada:

1 2 −1

... 2

2 3 5... 5

−1 −3 8... −1

resolviendo mediante Gauss-Jordan se obtiene:

1 2 −1

... 2

2 3 5... 5

−1 −3 8... −1

F3→F3+F1→

1 2 −1

... 2

2 3 5... 5

0 −1 7... 1

F2→F2−2F1→

1 2 −1

... 2

0 −1 7... 1

0 −1 7... 1

40

Por tanto

1 2 −1

... 2

0 −1 7... 1

0 −1 7... 1

F3→F3−F2→

1 2 −1

... 2

0 −1 7... 1

0 0 0... 0

F1→F1+2F2→

1 0 13

... 4

0 −1 7... 1

0 0 0... 0

de esta ultima matriz

1 0 13

... 4

0 −1 7... 1

0 0 0... 0

se obtiene:

x1 + 13x3 = 4

−x2 + 7x3 = 1

el cual es equivalente a

x1 = 4− 13x3

x2 = −1 + 7x3

con lo que las soluciones se encuentran dadas por:

(x1, x2, x3) = (4− 13x3,−1 + 7x3, x3)

existen infinitas soluciones, una por cada valor de x3. No obtante la solucion puede ser escrita como:

(4− 13x3,−1 + 7x3, x3) = (4,−1, 0) + x3(−13, 7, 1)

= xp + xh

donde xp = (4,−1, 0) y xh = x3(−13, 7, 1). El termino xh es una solucion al sitema homogeneo asociado Ax = 0.

41

10. Inversa de una matriz

10.1 Ejemplo (Solucion simultanea de sistemas): Consideraremos los sistemas:

x1 + 2x2 = −3

2x1 + 5x2 = −8

y1 + 2y2 = 1

2y1 + 5y2 = 1

Los cuales generan las matrices ampliadas:

1 2... −3

2 5... −8

1 2... 1

2 5... 1

como los sitemas tiene los mismos coeficientes al lado izquierdo, estos se pueden reunir en una sola matriz delsiguiente modo

1 2... −3 1

2 5... −8 1

la cual se soluciona mediante Gauss - Jordan del siguiente modo:

1 2... −3 1

2 5... −8 1

F2→F2−2F1→

1 2... −3 1

0 1... −2 − 1

F1→F1−2F2→

1 0... 1 3

0 1... −2 − 1

luego las soluciones se encuentran dadas por:

(x1, x2) = (1,−2)

(y1, y2) = (3,−1)

10.2 Ejemplo: Solucionemos ahora el siguiente ejercicio:

Hallar una matriz

X =

(x11 x12x21 x22

)talque (

1 24 9

)(x11 x12x21 x22

)=

(1 00 1

)realizando los respectivos productos:(

1 24 9

)(x11 x12x21 x22

)=

(x11 + 2x12 x12 + 2x224x11 + 9x21 4x11 + 9x12

)=

(1 00 1

)

42

leugo por la igualdad de matrices se debe igualar componente a componente para obtener:

x11 + 2x12 = 1 x12 + 2x22 = 0

4x11 + 9x21 = 0 4x11 + 9x12 = 1

Los cuales generan las matrices ampliadas:

1 2... 1

4 9... 0

1 2... 0

4 9... 1

los cuales se pueden resumir en una sola matriz

1 2... 1 0

4 9... 0 1

la cual se soluciona mediante Gauss - Jordan del siguiente modo:

1 2... 1 0

4 9... 0 1

F2→F2−4F1→

1 2... 1 0

0 1... −4 1

F1→F1−2F2→

1 0... 9 − 2

0 1... −4 1

Ası:

X =

(x11 x12x21 x22

)=

(9 −2−4 1

)

Si nos detenemos a observar un poco el proceso realizado, se establece un metodo rapido para hallar la matrizX, este es:

i) Formar una matriz ampliada ası:A la izquierda de la lınea vertical va los numeros de la matriz conocida y a la derecha de la lınea la matrizidentica.

ii) Se efectuan operaciones elemntales entre filas, hasta que la matriz indentica qwuede a la izquierda de lalınea vertical.

iii) La matriz que queda a la derecha de la lınea vertical es la matriz X pedida.

10.3 Ejemplo: Como ejemplo consideremos la matriz A dada por:

A =

1 1 10 2 31 −1 3

se debe hallar una matriz X

X =

x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

talque AX = I.

Para tal fin se siguen los pasos dados anteriormente. Esto es:

43

i) Se forma la matriz ampliada:

1 1 1

... 1 0 0

0 2 3... 0 1 0

1 −1 3... 0 0 1

ii) se efectuan operaciones filas hasta obtener la matriz identidad al lado izquierdo:

1 1 1

... 1 0 0

0 2 3... 0 1 0

1 −1 3... 0 0 1

F3→F3−F1→

1 1 1

... 1 0 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

F1→2F1→

2 2 2

... 2 0 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

luego

2 2 2

... 2 0 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

F1→F1−F2→

2 0 −1

... 2 − 1 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

F3→F3+F2→

2 0 −1

... 2 − 1 0

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1


2 0 −1

... 2 − 1 0

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

F1→5F1+F3→

10 0 0

... 9 − 4 1

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

F1→ 110F1→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

Ası

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

F3→ 15F3→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 3... 0 1 0

0 0 1... − 1

515

15

F2→F2−3F3→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 0... 3

525 −

35

0 0 1... − 1

515

15

Por ultimo:

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 0... 3

525 −

35

0 0 1... − 1

515

15

F2→ 12F2→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 1 0... 3

1015 −

310

0 0 1... − 1

515

15

iii) La matriz que queda a la derecha de la lınea vertical es la matriz X pedida:

X =

910 − 2

5110

310

15 − 3

10

− 15

15

15

44

Definicion (Matriz inversa): Sean A y B dos matrices de tamano nxn. Suponga que AB = BA = I, donde Idenota la matriz identidad. Entonces B se llama matriz inversa de A y se denota por A−1. Entonces:

AA−1 = A−1A = I (58)

Si la matriz cuadrada A tiene inversa entonces la matriz A se dice invertible.Una matriz cuadrada que no seainvertible se llama singular mientras que una matriz invertible es tambien conocida como no singular.

De la anterior definicion se sigue inmediatamente que (A−1)−1 = A siempre que A sea invertible. Se aclara allector que NO toda matriz cuadrada posee inversa.

Los ejemplos 10.2 y 10.3 desarrollados con anterioridad en la presente seccion nos permiten afirmar que si:

A =

(1 24 9

)entonces A−1 =

(9 −2−4 1

)de igual forma:

A =

1 1 10 2 31 −1 3

entonces A−1 =

910 − 2

5110

310

15 − 3

10

− 15

15

15

Teorema (Unicidad de la matriz inversa): Si una matriz A es invertible entonces su matriz inversa es unica.

Demostracion:

Para esta demostracion se sunpondra que existen dos matrices diferentes que son matrices inversas de A y sellegara a que estas son exactamente iguales, lo cual comprobarıa que la matriz inversa es unica. Esto es:

Supongamos que B y C son matrices inversas de A. Por definicion de matriz inversa se cumple:

AB = BA = I AC = CA = I

en particular se tiene

AC = I

multiplicando ambos lados de esta igualdad por B se tiene:

AC = I

B(AC) = BI

(BA)C = B (debido a la asociatividaddel producto matricial)

IC = B (debido a que BA = I)

C = B

luego C = B y por tanto la matriz inversa de A es unica. Tal como se queria mostrar. �

Teorema (matriz inversa de un producto): Sean A y B dos matrices invertible de nxn. Entonces el productoAB es invertible y

45

(AB)−1 = B−1A−1 (59)

Demostracion

Supongamos que A es una matriz con inversa A−1 y B es una matriz con inversa B−1, es posible calcular elproducto B−1A−1. Si multiplicamos la expresion B−1A−1 por AB se obtiene:

(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B (debido a la asociatividad del producto matricial)

= B−1(I)B (debido a que A−1A = I)

= B−1(IB) (debido a la asociatividad del producto matricial)

= B−1B (debido a que IB = B)

= I (debido a que B−1B = I)

se calculara ahora el producto de AB con B−1A−1, esto es:

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 (debido a la asociatividad del producto matricial)

= A(I)A−1 (debido a que BB−1 = I)

= (AI)A−1 (debido a la asociatividad del producto matricial)

= AA−1 (debido a que AI = A)

= I (debido a que AA−1 = I)

en este orden de ideas (B−1A−1)(AB) = I = (AB)(B−1A−1) luego de acuerdo a la definicion de matriz inversase tiene (AB)−1 = B−1A−1 tal como se queria mostrar. �

Formalmente se define el procedimiento para encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada del siguientemodo:

1. Se escribe la matriz aumentada A I.

2. Se utilizan operaciones fila para llevar A a su forma escalonada reducida.

3. Se decide si A es invertible:

a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad entonces A−1 es la matrizubicada a la derecha de la lınea vertical.

b) Si la forma escalonada reducida de A tiene una o mas filas de ceros, entonces A no es invertible.

Por ejemplo calculemos la inversa de la matriz:

A =

(1 2−2 −4

)siguiendo el paso 1 se forma la matriz ampliada A I:

(1 2 1 0−2 −4 0 1

)de acuerdo la paso 2 se realizan operaciones fila para llevar A a su forma escalonada reducida:

(1 2 1 0−2 −4 0 1

)F2→F2+2F1→

(1 2 1 00 0 2 1

)

46

el paso 3 indica que como se presento una fila de ceros al lado izquierdo de la lınea vertical entonces A no esinvertible.

los anteriores hechos tambien se pueden resumir en: Una matriz de nxn es invertible si y solo si su forma esca-lonada reducida es la matriz identidad; es decir, si su forma escalonada reducida tiene n pivotes.

Definicion (Determinante de una matriz 2 x 2): Sea A una matriz 2x2 dada por:

A =

(a11 a12a21 a22

)el determinate de A notado det A es el numero:

det A = a11a22 − a21a12 (60)

Teorema (Inversa de una matriz 2x2): Sea A una matriz 2x2 dada por:

A =

(a11 a12a21 a22

)entonces:

i) A es invertible si y solo si det A 6= 0.

ii) Si det A 6= 0 entonces

A−1 =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)Demostracion:

Primero supongamos que det A 6= 0 y sea

B =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)entonces

BA =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)(a11 a12a21 a22

)

=1

a11a22 − a12a21

(a11a22 − a12a21 0

0 a11a22 − a12a21

)

=

(1 00 1

)de igual forma se muestra que AB = I asi queda demostrado que B = A−1, esto es:

A−1 =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)Tal como se queria mostrar. �

47

Ahora es importante considerar que si A es una matriz cuadrada y se cuenta con el sistema

Ax = b

y ademas A es invertible, entonces:

Ax = b

A−1Ax = A−1b

(A−1A)x = A−1b

x = A−1b

Es decir, la solucion unica del sistema vendrıa dada por el producto de la matriz inversa de A por el vectorcolumna b.

Los resultados anteriores se resumen en: Sea A una matriz de nxn. Entonces la seis afirmaciones siguientesson equivalentes. Es decir, cada una de ellas implica las otras cinco (de manera que si se cumple una, todas secumplen, y si una es falsa todas son falsas):

i) A es invertible.

ii) La unica solucion al sistema homogeneo Ax = 0 es la solucion trivial x = 0.

iii) El sistema Ax = b tiene solucion unica.

iv) La matriz escalonada reducida obtenida al realizar operaciones fila a la matriz A es la matriz identidad.

v) La matriz escalonada reducida de A tiene n pivotes.

vi) det A 6= 0

Adicionalmente, se presenta el teorema:

Teorema (Inversa de una transpuesta): Si A es invertible entonces AT es invertible y

(AT )−1 = (A−1)T (61)

Demostracion:

Sea A una matriz invertible y B = A−1 entonces

AB = BA = I

en particular AB = I luego:

AB = I

(AB)T = IT

BTAT = I

de igual forma BA = I ası

BA = I

(BA)T = IT

ATBT = I

por lo tanto AT es invertible y BT es el inverso de AT . Es decir

48

(AT )−1 = BT

= (A−1)T (se asumio que B = A−1)

en este orden de ideas (AT )−1 = (A−1)T tal como se queria mostrar. �.

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notas de clase Álgebra líneal

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