Universidad Central

Algebra Lineal

Notas de clase segundo corte

1. Matriz inversa

Ejemplo: Solucionemos el siguiente ejercicio:

Hallar una matriz

X =

(x11 x12x21 x22

)talque (

1 24 9

)(x11 x12x21 x22

)=

(1 00 1

)realizando los respectivos productos:(

1 24 9

)(x11 x12x21 x22

)=

(x11 + 2x12 x12 + 2x224x11 + 9x21 4x11 + 9x12

)=

(1 00 1

)leugo por la igualdad de matrices se debe igualar componente a componente para obtener:

x11 + 2x12 = 1 x12 + 2x22 = 0

4x11 + 9x21 = 0 4x11 + 9x12 = 1

Los cuales generan las matrices ampliadas:

1 2... 1

4 9... 0

1 2... 0

4 9... 1

notemos que estos se pueden resumir en una sola matriz ya que tienen los mismos coeficientes:

1 2... 1 0

4 9... 0 1

la cual se soluciona mediante Gauss - Jordan del siguiente modo:

1

1 2... 1 0

4 9... 0 1

F2→F2−4F1→

1 2... 1 0

0 1... −4 1

F1→F1−2F2→

1 0... 9 − 2

0 1... −4 1

Ası:

X =

(x11 x12x21 x22

)=

(9 −2−4 1

)

Si nos detenemos a observar un poco el proceso realizado, se establece un metodo rapido para hallar la matrizX, este es:

i) Formar una matriz ampliada ası:A la izquierda de la lınea vertical va los numeros de la matriz conocida y a la derecha de la lınea la matrizidentica.

ii) Se efectuan operaciones elemntales entre filas, hasta que la matriz indentica qwuede a la izquierda de lalınea vertical.

iii) La matriz que queda a la derecha de la lınea vertical es la matriz X pedida.

10.3 Ejemplo: Como ejemplo consideremos la matriz A dada por:

A =

1 1 10 2 31 −1 3

se debe hallar una matriz X

X =

x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

talque AX = I.

Para tal fin se siguen los pasos dados anteriormente. Esto es:

i) Se forma la matriz ampliada:

1 1 1

... 1 0 0

0 2 3... 0 1 0

1 −1 3... 0 0 1

ii) se efectuan operaciones filas hasta obtener la matriz identidad al lado izquierdo:

1 1 1

... 1 0 0

0 2 3... 0 1 0

1 −1 3... 0 0 1

F3→F3−F1→

1 1 1

... 1 0 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

F1→2F1→

2 2 2

... 2 0 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

2

luego

2 2 2

... 2 0 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

F1→F1−F2→

2 0 −1

... 2 − 1 0

0 2 3... 0 1 0

0 −2 2... −1 0 1

F3→F3+F2→

2 0 −1

... 2 − 1 0

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

continuando con las operaciones fila se obtiene:

2 0 −1

... 2 − 1 0

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

F1→5F1+F3→

10 0 0

... 9 − 4 1

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

F1→ 110F1→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

Ası

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 3... 0 1 0

0 0 5... −1 1 1

F3→ 15F3→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 3... 0 1 0

0 0 1... − 1

515

15

F2→F2−3F3→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 0... 3

525 −

35

0 0 1... − 1

515

15

Por ultimo:

1 0 0

... 910 −

25

110

0 2 0... 3

525 −

35

0 0 1... − 1

515

15

F2→ 12F2→

1 0 0

... 910 −

25

110

0 1 0... 3

1015 −

310

0 0 1... − 1

515

15

iii) La matriz que queda a la derecha de la lınea vertical es la matriz X pedida:

X =

910 − 2

5110

310

15 − 3

10

− 15

15

15

Definicion (Matriz inversa): Sean A y B dos matrices de tamano nxn. Suponga que AB = BA = I, donde Idenota la matriz identidad. Entonces B se llama matriz inversa de A y se denota por A−1. Entonces:

AA−1 = A−1A = I (1)

Si la matriz cuadrada A tiene inversa entonces la matriz A se dice invertible. Una matriz cuadrada que no seainvertible se llama singular mientras que una matriz invertible es tambien conocida como no singular.

De la anterior definicion se sigue inmediatamente que (A−1)−1 = A siempre que A sea invertible. Se aclara allector que NO toda matriz cuadrada posee inversa.

3

Los ejemplos 10.2 y 10.3 desarrollados con anterioridad en la presente seccion nos permiten afirmar que si:

A =

(1 24 9

)entonces A−1 =

(9 −2−4 1

)de igual forma:

A =

1 1 10 2 31 −1 3

entonces A−1 =

910 − 2

5110

310

15 − 3

10

− 15

15

15

Teorema (Unicidad de la matriz inversa): Si una matriz A es invertible entonces su matriz inversa es unica.

Demostracion:

Para esta demostracion se sunpondra que existen dos matrices diferentes que son matrices inversas de A y sellegara a que estas son exactamente iguales, lo cual comprobarıa que la matriz inversa es unica. Esto es:

Supongamos que B y C son matrices inversas de A. Por definicion de matriz inversa se cumple:

AB = BA = I AC = CA = I

en particular se tiene

AC = I

multiplicando ambos lados de esta igualdad por B se tiene:

AC = I

B(AC) = BI

(BA)C = B (debido a la asociatividaddel producto matricial)

IC = B (debido a que BA = I)

C = B

luego C = B y por tanto la matriz inversa de A es unica. Tal como se queria mostrar. �

Teorema (matriz inversa de un producto): Sean A y B dos matrices invertible de nxn. Entonces el productoAB es invertible y

(AB)−1 = B−1A−1 (2)

Formalmente se define el procedimiento para encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada del siguientemodo:

1. Se escribe la matriz aumentada A I.

2. Se utilizan operaciones fila para llevar A a su forma escalonada reducida.

3. Se decide si A es invertible:

4

a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad entonces A−1 es la matrizubicada a la derecha de la lınea vertical.

b) Si la forma escalonada reducida de A tiene una o mas filas de ceros, entonces A no es invertible.

Por ejemplo calculemos la inversa de la matriz:

A =

(1 2−2 −4

)siguiendo el paso 1 se forma la matriz ampliada A I:

(1 2 1 0−2 −4 0 1

)de acuerdo la paso 2 se realizan operaciones fila para llevar A a su forma escalonada reducida:

(1 2 1 0−2 −4 0 1

)F2→F2+2F1→

(1 2 1 00 0 2 1

)el paso 3 indica que como se presento una fila de ceros al lado izquierdo de la lınea vertical entonces A no esinvertible.

los anteriores hechos tambien se pueden resumir en: Una matriz de nxn es invertible si y solo si su forma esca-lonada reducida es la matriz identidad; es decir, si su forma escalonada reducida tiene n pivotes.

Definicion (Determinante de una matriz 2 x 2): Sea A una matriz 2x2 dada por:

A =

(a11 a12a21 a22

)el determinate de A notado det A es el numero:

det A = a11a22 − a21a12 (3)

Teorema (Inversa de una matriz 2x2): Sea A una matriz 2x2 dada por:

A =

(a11 a12a21 a22

)entonces:

i) A es invertible si y solo si det A 6= 0.

ii) Si det A 6= 0 entonces

A−1 =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)Demostracion:

Primero supongamos que det A 6= 0 y sea

5

B =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)entonces

BA =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)(a11 a12a21 a22

)

=1

a11a22 − a12a21

(a11a22 − a12a21 0

0 a11a22 − a12a21

)

=

(1 00 1

)de igual forma se muestra que AB = I asi queda demostrado que B = A−1, esto es:

A−1 =1

det A

(a22 −a12−a21 a11

)Tal como se queria mostrar. �

Ahora es importante considerar que si A es una matriz cuadrada y se cuenta con el sistema

Ax = b

y ademas A es invertible, entonces:

Ax = b

A−1Ax = A−1b

(A−1A)x = A−1b

x = A−1b

Es decir, la solucion unica del sistema vendrıa dada por el producto de la matriz inversa de A por el vectorcolumna b.

Los resultados anteriores se resumen en: Sea A una matriz de nxn. Entonces la seis afirmaciones siguientesson equivalentes. Es decir, cada una de ellas implica las otras cinco (de manera que si se cumple una, todas secumplen, y si una es falsa todas son falsas):

i) A es invertible.

ii) La unica solucion al sistema homogeneo Ax = 0 es la solucion trivial x = 0.

iii) El sistema Ax = b tiene solucion unica.

iv) La matriz escalonada reducida obtenida al realizar operaciones fila a la matriz A es la matriz identidad.

v) La matriz escalonada reducida de A tiene n pivotes.

vi) det A 6= 0

6

Adicionalmente, se presenta el teorema:

Teorema (Inversa de una transpuesta): Si A es invertible entonces AT es invertible y

(AT )−1 = (A−1)T (4)

Demostracion:

Sea A una matriz invertible y B = A−1 entonces

AB = BA = I

en particular AB = I luego:

AB = I

(AB)T = IT

BTAT = I

de igual forma BA = I ası

BA = I

(BA)T = IT

ATBT = I

por lo tanto AT es invertible y BT es el inverso de AT . Es decir

(AT )−1 = BT

= (A−1)T (se asumio que B = A−1)

en este orden de ideas (AT )−1 = (A−1)T tal como se queria mostrar. �.

2. Determinantes

En secciones anteriores se habia definido el determinante de una matriz cuadrada de orden dos y se utilizo lanotacıon det A para este, se introducira ahora otra notacion adicional, esta es la de |A| que denotara de igualforma el determinate de la matriz A.

Consideremos un numero real, tal como se enciono anteriormente, este se puede considerar como una matriz detamano uno por uno. Se define asi el determinante de orden uno del siguiente modo:

A = [a11]1x1 → det A = |A| = a11 (5)

Definicion (Determinante de orden dos): Dada la matriz

A =

(a11 a12a21 a22

)se define el determinante de orden dos como el numero:

7

det A = |A| = a11a22 − a21a12 (6)

Definicion (Determinante de orden tres): Dada la matriz

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

se define el determinate de orden tres como el numero:

det A = |A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a23a12a31 − a31a22a13 − a21a12a33 − a23a32a11 (7)

Cada uno de los terminos de esta expresion se puede obtener a partir del producto una diagonal que se dibujaimaginariamente sobre la matriz cuadrada de orden tres dicho procedimiento se denomina regla de Sarruss.

Definicion (El menor ij de una matriz): El menor ij de una matriz denotado por Mij o Aij es el determinanteque resulta de suprimir la fila i y la columna j en una matriz. Por ejemplo si:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

se tiene que

M11 = det

[(a22 a23a32 a33

)]= a22a33 − a32a23

M12 = det

[(a21 a23a31 a33

)]= a21a33 − a31a23

M13 = det

[(a21 a22a31 a32

)]= a21a32 − a31a22

M21 = det

[(a12 a13a32 a33

)]= a12a33 − a32a13

M22 = det

[(a11 a13a31 a33

)]= a11a33 − a31a13

M23 = det

[(a11 a12a31 a32

)]= a11a32 − a32a12

ademas

8

M31 = det

[(a12 a13a22 a23

)]= a12a23 − a22a13

M32 = det

[(a11 a13a21 a23

)]= a11a23 − a21a13

M33 = det

[(a11 a12a21 a22

)]= a11a22 − a21a12

si la matriz es de tamano 3x3 posee los nueve menores que se indicaron anteriormente, si la matriz es de tamano4x4 tiene 16 menores; en general si la matriz es de tamano nxn tendra n2 menores.

Definicion (Cofactor): El cofactor ij denotado por cij es una matriz A se calcula:

cij = (−1)i+jMij (8)

Por ejemplo, si

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

se tiene

c11 = (−1)1+1M11 = M11 = a22a33 − a32a23

c12 = (−1)1+2M12 = −M12 = −(a21a33 − a31a23)

c13 = (−1)1+3M13 = M13 = a21a32 − a31a22

naturalmente existe un cofactor por cada menor. Es decir si la matriz es de tamano 3x3 existen un total denueve cofactores y si la matriz es de tamano nxn existe un total de n2 cofactores.

Por otra parte, la definicion dada en (3) para el determinante de orden tres:

det A = |A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a23a12a31 − a31a22a13 − a21a12a33 − a23a32a11

puede reescribirse como:

det A = |A| = a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a31a22)

= a11M11 − a12M12 + a13M13

= a11c11 + a12c12 + a13c13

la expresion det A = |A| = c11M11 + c12M12 + c13M13 se denomina expansion por cofactores.

9

Como ejemplo consideremos la matriz de orden tres:

A =

3 5 24 2 3−1 2 4

luego

det A = |A| = a11c11 + a12c12 + a13c13

= 3

∣∣∣∣ 2 32 4

∣∣∣∣− 5

∣∣∣∣ 4 3−1 4

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣ 4 2−1 2

∣∣∣∣= 3(8− 6)− 5(16 + 3) + 2(8 + 2)

= 3(2)− 5(19) + 2(10)

= −69

Definicion (determinante de orden n):Dada una matriz de tamano nxn, entonces el determinate de A notadopor det A o de igual forma |A| se encuentra dado por:

|A| = a11c11 + a12c12 + ..+ a1nc1n (9)

donde la expresion del lado derecho se denomina tambien expansion por cofactores.

Es importante notar que el dterminante de una matriz se puede desarrollar por cualquiera de sus filas y elresultado no se alteraria, asi por ejemplo

|A| = ai1ci1 + ai2ci2 + ..+ aincin (10)

serıa el determinante de la matriz A calculado por la i - esima fila de la matriz, que naturalmente coincide conel valor dado en la expresion (5).

3. Propiedades de los determinantes

El calculo de algunos determinates mediante cofactores puede llegar a ser algo extenso y tedioso para el estu-diante razon por la cual se deben introducir algunas propiedades que simplifiquen el calculo de los determina-tes.Dichas propiedades se presenta a continuacion:

1. Sea L una matriz cuadrada que adicionalmente es triangular inferior entonces det L es igual al productode los elementos que se encuentran en su diagonal principal. Es decir; si

L =

a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0

...an1 an2 an3 · · · ann

entonces det L = a11 x a22 x a33 x ... x ann.

10

2. Sea U una matriz cuadrada que adicionalmente es triangular superior entonces det U es igual al productode los elementos que se encuentran en su diagonal principal.

U =

a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n

...0 0 0 · · · ann

entonces det U = a11 x a22 x a33 x ... x ann.

3. Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano entonces det AB = det A det B.

4. Si A es una matriz cuadrada entonces det A = det AT .

5. El intercambio de filas (o columnas) distintas de una matriz A tiene el efecto de multiplicar el determinatede A por menos uno. Es decir si

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...ai1 ai2 · · · ain

...aj1 aj2 · · · ajn

...an1 an2 · · · ann

el intercambio de la fila i y la fila j produce la matriz

B =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...aj1 aj2 · · · ajn

...ai1 ai2 · · · ain

...an1 an2 · · · ann

y se cumple det B = −det A

6. Si una fila o columna de una amtriz cuadrada A se multiplica por un escalar real c, entonces el determinantede A se multiplica por c. Es decir si

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...ai1 ai2 · · · ain

...an1 an2 · · · ann

al multiplicar la fila i-esima de A por la constante c se obtiene la matriz:

11

B =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...cai1 cai2 · · · cain

...an1 an2 · · · ann

y se cumple det B = c (det A)

7. Si una matriz A tiene una fila o columna de ceros entonces el determinate de la matriz A es igual a cero.Por ejemplo si:

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...0 0 · · · 0

...an1 an2 · · · ann

entonces det A = 0.

8. Si una matriz A tiene dos o mas filas (o columnas) iguales entonces el determinante de la matriz A esigual a cero. Es decir, si

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...ai1 ai2 · · · ain

...ai1 ai2 · · · ain

...an1 an2 · · · ann

entonces det A = 0

9. Sean

A =

a11 a12 · · · a1i · · · a1na21 a22 · · · a2i · · · a2n

...an1 an2 · · · ani · · · ann

y

B =

a11 a12 · · · δ1i · · · a1na21 a22 · · · δ2i · · · a2n

...an1 an2 · · · δni · · · ann

dos matrices cuyos elementos son iguales exeptuando en la columna i- esima, si se forma la matriz

12

C =

a11 a12 · · · a1i + δ1i · · · a1na21 a22 · · · a2i + δ2i · · · a2n

...an1 an2 · · · ani + δni · · · ann

entonces det C = det A + det B.

10. Sean

A =

a11 a12 · · · a1i · · · a1na21 a22 · · · a2i · · · a2n

...ai1 ai2 · · · aii · · · ain

...an1 an2 · · · ani · · · ann

y

B =

a11 a12 · · · a1i · · · a1na21 a22 · · · a2i · · · a2n

...δi1 δi2 · · · δii · · · δin

...an1 an2 · · · ani · · · ann

dos matrices cuyos elementos son iguales exeptuando en la fila i- esima, si se forma la matriz

C =

a11 a12 · · · a1i · · · a1na21 a22 · · · a2i · · · a2n

...ai1 + δi1 ai2 + δi2 · · · aii + δii · · · ain + δin

...an1 an2 · · · ani · · · ann

entonces det C = det A + det B.

11. Si una matriz A tiene una fila (o columna) que es multiplo escalar de otra fila o columna entonces det A = 0.Es decir, si A es la matriz dada por

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...ai1 ai2 · · · ain

...cai1 cai2 · · · cain

...an1 an2 · · · ann

entonces det A = 0

13

12. Sea A una matriz cuadrada, si se suma un multiplo escalar de una fila (o columna) de A a otra fila (ocolumna) de A, entonces el determinate de la matriz A no se altera.

Ejemplos:

1.Calcular el determinante de la matriz:

A =

0 a 0 0b 0 0 00 0 0 c0 0 d 0

El determinante es igual a:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a 0 0b 0 0 00 0 0 c0 0 d 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣∣∣b 0 0 00 a 0 00 0 0 c0 0 d 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ usando la propiedad cinco e intercambiando lasfilas 1 y 2.

= −

−∣∣∣∣∣∣∣∣b 0 0 00 a 0 00 0 d 00 0 0 c

∣∣∣∣∣∣∣∣ usando la propiedad cinco e intercambiando lasfilas 3 y 4.

=

∣∣∣∣∣∣∣∣b 0 0 00 a 0 00 0 d 00 0 0 c

∣∣∣∣∣∣∣∣= badc usando la propiedad uno

Ası, det A = |A| = badc.

2. Calcular el determinante de la matriz B donde B se encuentra dada por:

B =

a 1 11 a 11 1 a

El determinante es igual a:

14

|A| =

∣∣∣∣∣∣a 1 11 a 11 1 a

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣a− 1 1− a 0

1 a 11 1 a

∣∣∣∣∣∣ usando la propiedad 12 se pueden restar la fila 1 y la fila 2.

=

∣∣∣∣∣∣a− 1 0 0

1 a+ 1 11 2 a

∣∣∣∣∣∣ usando la propiedad 12 se pueden sumar la columna 1 y la columna 2.

=

∣∣∣∣∣∣a− 1 0 0

0 a− 1 1− a1 2 a

∣∣∣∣∣∣ usando la propiedad 12 se pueden restar la fila 2 y la fila 3.

=

∣∣∣∣∣∣a− 1 0 0

0 a− 1 01 2 a+ 2

∣∣∣∣∣∣ usando la propiedad 12 se pueden sumar la columna 2 y la columna 3.

= (a− 1)2(a+ 2) usando la propiedad 1

3. Demostrar que |A| = (y − x)(z − x)(z − y) donde

A =

1 1 1x y zx2 y2 z2

se calcula el determinante de la matriz A, esto es:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 1 1x y zx2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣1 0 0x y − x z − xx2 y2 − x2 z2 − x2

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣ y − x z − xy2 − x2 z2 − x2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ y − x z − x(y − x)(y + x) (z − x)(z + x)

∣∣∣∣= (y − x)(z − x)

∣∣∣∣ 1 1y + x z + x

∣∣∣∣= (y − x)(z − x)

∣∣∣∣ 1 0y + x z + x− (y + x)

∣∣∣∣= (y − x)(z − x)

∣∣∣∣ 1 0y + x z − y)

∣∣∣∣= (y − x)(z − x)(z − y)

4. Determinantes e inversas

15

Definicion (matriz adjunta): Sea A una matriz cuadrada de tamano nx n. Se formara la matriz con los cofactoresy se tomara su transpuesta, esta matriz obrenida se llama matriz adjunta de A y se nota adj A. Ası, dada A

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...ai1 ai2 · · · ain

...an1 an2 · · · ann

se forma la matriz de cofactores la cual denominaremos C, esta es

C =

c11 c12 · · · c1nc21 c22 · · · c2n

...ci1 ci2 · · · cin

...cn1 cn2 · · · cnn

donde cada cofactor cij se encuentra dado por la formula

cij = (−1)i+jMij

tal como fueron definidos en las notas de clase de la semana 5. Una vez formada la matriz de cofactores secalcula su transpuesta y esta sera la matriz adj A buscada:

adj A = CT =

c11 c21 · · · cn1c12 c22 · · · cn2

...c1i c2i · · · cni

...c1n c2n · · · cnn

Propiedad: La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los correspondientes cofactoresde esa fila da el determinante, pero la suma de los elementos de una fila (o columna) por los correpondientescofactores de otra fila da cero.

Corolario Sea A una matriz cuadrada cuyo determinante es diferente de cero, la inversa de lamatriz A se encuentra dada por:

A−1 =1

|A|adj A

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A, donde:

A =

1 1 10 2 31 −1 3

Primero se calcula el determinate de la matriz A y se verifica que este es diferente de cero, esto es:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 1 10 2 31 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 1 10 2 30 −2 2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 1 10 2 30 0 5

∣∣∣∣∣∣ = (1)(2)(5) = 10

posteriormente se calculan cada uno de los cofactores:

16

c11 = (−1)1+1M11 =

∣∣∣∣ 2 3−1 3

∣∣∣∣ = 9

c12 = (−1)1+2M12 = −∣∣∣∣ 0 3

1 3

∣∣∣∣ = 3

c13 = (−1)1+3M13 =

∣∣∣∣ 0 21 −1

∣∣∣∣ = −2

c21 = (−1)2+1M21 = −∣∣∣∣ 1 1−1 3

∣∣∣∣ = −4

c22 = (−1)2+2M22 =

∣∣∣∣ 1 11 3

∣∣∣∣ = 2

c23 = (−1)2+3M23 = −∣∣∣∣ 1 1

1 −1

∣∣∣∣ = 2

c31 = (−1)3+1M31 =

∣∣∣∣ 1 12 3

∣∣∣∣ = 1

c32 = (−1)3+2M32 = −∣∣∣∣ 1 1

0 3

∣∣∣∣ = −3

c33 = (−1)3+3M33 =

∣∣∣∣ 1 10 2

∣∣∣∣ = 2

Ası la matriz de cofactores se encuentra dada por:

C =

c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

=

9 3 −2−4 2 21 −3 2

y por tanto la adjunta se encuentra dada por:

adj A = CT =

9 −4 13 2 −3−2 2 2

Ası

A−1 =1

|A|adj A

=1

10

9 −4 13 2 −3−2 2 2

17

5. Regla de Cramer

Consideremos el sistema no homogeneo:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

el cual puede reesciribirse de la forma Ax = b, esto es

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...an1 an2 · · · ann

x1x2...xn

=

b1b2...bn

Claramente si el determinante de la matriz A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...an1 an2 · · · ann

es diferente de cero el sistema tiene

una unica solucion que se encuentra dada por x = A−1b.

Sea D = |A| = det A y se definen

A1 =

b1 a12 · · · a1nb2 a22 · · · a2n

...bn an2 · · · ann

→ D1 = det (A1)

A2 =

a11 b1 · · · a1na21 b2 · · · a2n

...an1 bn · · · ann

→ D2 = det (A2)

...

An =

a11 a12 · · · b1a21 a22 · · · b2

...an1 an2 · · · b2

→ Dn = det (An)

Ası el sistema Ax = b tiene solucion dada por x = (x1, x2, · · · , xn) donde

18

x1 =D1

D

x2 =D2

D...

xn =Dn

D

Ejemplo:Resolver usando la regla de Cramer el sistema

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24

3x1 + 1x2 − 2x3 = 4

Para resolver dicho problema se escribe el sistema de la forma Ax = b, esto es: 2 4 64 5 63 1 −2

x1x2x3

=

18244

luego A =

2 4 64 5 63 1 −2

y b =

18244

. Se verificara ahora que el determinate de la matriz A es diferente

de cero, esto es:

D = det A

=

∣∣∣∣∣∣2 4 64 5 63 1 −2

∣∣∣∣∣∣= 6

Dado que el determinante es diferente de cero, se plantean los terminos:

A1 =

18 4 624 5 · · · 64 1 −2

→ D1 = det (A1) = 24

A2 =

2 18 64 24 63 4 −2

→ D2 = det (A2) = −12

A3 =

2 4 184 5 243 1 4

→ D3 = det (A3) = 18

Ası:

x1 =D1

D=

24

6= 4

x2 =D2

D=−12

6= −2

x3 =D3

D=

18

6= 3

19

Ası la solucion del sistema se encuentra dada por x = (x1, x2, x3) = (4,−2, 3)

6. Vectores en Rn

Definicion (vectores o puntos en Rn): Se define Rn como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas es decirRn = {(x1, x2, . . . , xn)} donde cada xi es un numero real. Los elementos de Rn son llamados puntos o vectores.

Ejemplos:

1. La tripla (2, 3, 5) es un punto de R3.

2. La dupla (π, 0) es un vector o punto de R2

3. El numero −3 es un elemento de R1 o R.

4. La 4-tupla (i, 0, 0, 0) con i =√−1 no es un vector de R4 ya que una de sus componentes no es un numero real.

Definicion (Igualdad de vectores en Rn): Dos vectores en Rn se dicen iguales si coinciden componente a com-ponente. Es decir, sean X = (x1, x2, ..., xn) e Y = (y1, y2, ..., yn) elementos de Rn se dice que X = Y si y solosi xi = yi para todo 1 ≤ i ≤ n.

Por ejemplo el vector (3, 9) ∈ R2 y el vector (3, 9,−1) ∈ R3 no son iguales ni diferentes puesto que pertenecena diferentes espacios Rn.

Definicion (Suma de vectores): Sean X = (x1, x2, ..., xn) e Y = (y1, y2, ..., yn) elementos de Rn se define la sumade vectores en Rn como:

X + Y = (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)

obviamente X + Y es nuevamente un elemento de Rn.

Por ejemplo, consideremos los vectores X = (3, 9, 0,√

2) e Y = (7, 0,√

2,−√

2) luego la suma viene dada por:

X + Y = (3, 9, 0,√

2) + (7, 0,√

2,−√

2)

= (3 + 7, 9 + 0, 0 +√

2,√

2−√

2)

= (10, 9,√

2, 0)

Definicion (Producto escalar): Sea X = (x1, x2, ..., xn) un elemento de Rn y c una constante real. Entonces sedefine el producto escalar como

cX = c(x1, x2, ..., xn) = (cx1, cx2, ..., cxn)

naturalemnte cX pertenece a Rn.

Como ejemplo consideremos la constante real c = π y X = (π + 1, π2,√π, 3π

32 ). Ası:

cX = π(π + 1, π2,√π, 3π

32 )

= (π(π + 1), ππ2, ππ12 , 3ππ

32 )

= (π(π + 1), π3, π32 , 3π

52 )

20

Definicion (0 vector o vector cero): El vector de Rn que tiene todas sus componentes iguales a cero, se denotapor 0

0 = (0, 0, ..., 0)

y se denomina 0 vector o vector cero.

Definicion (Resta de vectores): Sean X = (x1, x2, ..., xn) e Y = (y1, y2, ..., yn) vectores de Rn se define la restade vectores en Rn como:

X − Y = X + (−1)Y = (x1, x2, ..., xn) + (−1)(y1, y2, ..., yn)

= (x1, x2, ..., xn) + (−y1,−y2, ...,−yn)

= (x1 − y1, x2 − y2, ..., xn − yn)

Teorema (Propiedades de la suma y el producto escalar de vectores en Rn): Sean X = (x1, x2, ..., xn), Y =(y1, y2, ..., yn) e Z = (z1, z2, ..., zn) vectores de Rn y c, d constantes reales c, d ∈ R entonces:

a) X + Y = Y +X.

b) X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z.

c) X + 0 = X.

d) X + (−X) = 0.

e) c(X + Y ) = cX + cY .

f) (c+ d)X = cX + dX.

g) c(dX) = (cd)X.

h) 0(X) = 0

i) 1(X) = X

Un vector dirigido es una pareja ordenada de elementos de Rn, Si V = (AB) es un vector dirigido los puntos Ay B son llamados punto inicial y punto final respectivamente del vector V . Ademas el vector V tiene direccionde A hacia B y se dice que esta localizado en A. Se denotara V = (A,B) por V = ~AB.

Definicion (Equivalencia de vectores): Sean U = ~AB y V = ~CD, se dice que U es equivalente a V si

B −A = D − CEjemplo: Sea U = ~AB donde A = (1, 2, 3), B = (−4, 3, 2) y V = ~CD donde C = (2, 1, 4) y D = (−3, 2, 3).Luego,

B −A = (−4, 3, 2)− (1, 2, 3)

= (−5, 1,−1)

de igual forma

D − C = (−3, 2, 3)− (2, 1, 4)

= (−5, 1,−1)

por tanto B −A = D − C lo que implica que los vectores U = ~AB y V = ~CD son equivalentes.

Definicion (Vectores paralelos y sentidos): Sean U = ~AB y V = ~CD, se dice que U es paralelo a V si existe unnumero c diferente de cero talque:

(B −A) = c(D − C)

21

i Si c � 0, se dice que los vectores U = ~AB y V = ~CD tienen el mismo sentido.

ii Si c ≺ 0, se dice que los vectores U = ~AB y V = ~CD tienen sentido opuesto.

Como ejemplo consideremos los vectores U = ~AB y V = ~CD donde A = (4, 2), B = (6, 4), C = (0, 0),D = (1, 1),. Ası

B −A = (6, 4)− (4, 2)

= (2, 2)

= 2(1, 1)

de igual forma

D − C = (1, 1)− (0, 0)

= (1, 1)

luego (B − A) = 2(D − C) y por tanto los vectores U = ~AB y V = ~CD son paralelos ademas como c = 2 esmayor que cero luego los vectores tienen el mismo sentido.

Es de observar que un vector U = ~AB con punto inicial A y punto final B es equivalente al vector V = ~0(B −A)cuyo punto iniciales el origen y punto final es B − A, naturalmente el punto final (B − A) es una n-tupla esdecir un elemento de Rn por esta razon los elementos de Rn se llamaron vectores. De ahı que si se da el puntoX = (1, 2, 3) perteneciente a R3 este se considera como el vector con punto inicial en el origen (0, 0, 0) y puntofinal en (1, 2, 3).

Definicion (Norma o longitud de un vector): Sea X = (x1, x2, ..., xn) un vector de Rn, se define la norma olongitud de X denotada por ‖X‖ como

‖X‖ =√

(x1)2 + (x2)2 + ...+ (xn)2

Ejemplos:

1. Si X = (1, 3,−4, 5) entonces ‖X‖ =√

(1)2 + (3)2 + (−4)2 + (5)2 =√

51.

2. Si X = (π, π, π, π, π) entonces ‖X‖ =√

(π)2 + (π)2 + (π)2 + (π)2 + (π)2 =√

5(π)2 = π√

5

Estos ejemplos no sirven para mostrar que la norma de un vector es siempre un numero real positivo tal comose mostrara en secciones posteriores.

7. Propiedades de la norma en Rn

Definicion (Norma o longitud de un vector): Sea X = (x1, x2, ..., xn) un vector de Rn, se define la norma olongitud de X denotada por ‖X‖ como

‖X‖ =√

(x1)2 + (x2)2 + ...+ (xn)2

Ejemplos:

22

1. Si X = (1, 3,−4, 5) entonces ‖X‖ =√

(1)2 + (3)2 + (−4)2 + (5)2 =√

51.

2. Si X = (π, π, π, π, π) entonces ‖X‖ =√

(π)2 + (π)2 + (π)2 + (π)2 + (π)2 =√

5(π)2 = π√

5

Teorema (Propiedades de la norma en Rn): Sean X = (x1, x2, ..., xn) e Y = (y1, y2, ..., yn) vectores de Rn y seac un escalar real (c ∈ R), entonces:

i) ‖X‖ ≥ 0

ii) ‖X‖ = 0 si y solo si X = 0

iii) ‖X‖ = ‖−X‖

iv) ‖cX‖ = c ‖X‖

v) ‖X + Y ‖ ≤ ‖X‖+ ‖Y ‖ Desigualdad triangular.

23