Claselgebra

Es la relacin entre nmeros y letras donde intervienen operaciones como la multiplicacin, divisin, potencias y/o races.

Consta de un factor numrico, denominado coeficiente y un factor literal.15a3b5,ab2c,5x2y,Ejemplos

Es la relacin entre trminos algebraicos, mediante la adicin y/o sustraccin. Ejemplos

Las expresiones algebraicas se clasifican en:

Son aquellos trminos algebraicos que tienen el mismo factor literal.

Ejemplos

Los trminos 6a2by 5a2bson semejantes

Los trminos2x4y 7x2NO son semejantes

Slo pueden ser sumados o restados los coeficientes numricos de los trminos semejantes.

ab2c + 3ab2c 5ab2c = (1 + 3 5) ab2c

= (4 5) ab2c

= ( 1) ab2c

= ab2cEjemplo

Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numricos y los factores literales entre s.

Ejemplo 3x 2xy = 6x2yMonomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada trmino del polinomio.

Ejemplo

3ab4 (5a2b + 2ab2 4ab) = 15a3b5+ 6a2b6 12a2b5

Polinomio por polinomio: Se multiplica cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio.

Ejemplo(2x + y)(3x + 2y) == 6x2 + 7xy + 2y26x2+ 4xy+ 3xy+ 2y2

Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas caractersticas que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicacin.

1) Cuadrado de binomio:

El primer trmino al cuadrado ms(menos) el doble del primer trmino por el segundo trmino, ms el segundo trmino al cuadrado.

(5x 3y)2 = (5x)2 2(5x 3y) + (3y)2 = 25x2 30xy + 9y2

2) Cubo de binomio:

El primer trmino al cubo, ms(menos) el triple del primer trmino al cuadrado, por el segundo trmino, ms el segundo trmino al cuadrado, por el primer trmino, mas(menos) el segundo trmino al cubo.

Aplicando la frmula...Desarrollando potencias...Multiplicando...(3x)3 3 (3x)2 2y + 3 (3x) (2y)2 (2y)3= 27x3 3 (9x2) 2y + 3 (3x) (4y2) 8y3= 27x3 54x2y + 36xy2 8y3(3x 2y)3 =

3) Suma por su diferencia:

El primer trmino al cuadrado menos el segundo trmino al cuadrado.Aplicando la frmula...(5x + 6y)(5x 6y) =(5x)2 (6y)2= 25x2 36y2Ejemplo

4) Producto de binomios con un trmino comn:

El trmino en comn al cuadrado ms la suma de los trminos diferentes por el trmino comn, ms el producto de los trminos distintos.

Aplicando la frmula...Desarrollando...1) (x + 4)(x + 2) == x2 + 6x + 8x2 + (4 + 2)x + 4 2Aplicando la frmula...Desarrollando...2) (y 4)(y + 2) == y2 2y 8y2 + ( 4 + 2)y 4 2

5) Cuadrado de trinomio:

EjemploAplicando la frmula...Desarrollando...= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x 3y) + 2(2x 4z) + 2(3y 4z) (2x + 3y + 4z)2 = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

Consiste en escribir una expresin algebraica en forma de multiplicacin.

1) Factor comn: Se emplea para factorizar una expresin en la cual todos los trminos tienen algo en comn (puede ser un nmero, una letra, o la combinacin de los dos. Ejemplo2xy + 22xyy 23xxyAl descomponer...(El factor comn es 2xy)2xy + 4xy2 6x2y == 2xy(1 + 2y 3x)

2) Factor comn compuesto: Cuando en una expresin algebraica, no todos los trminos tienen un factor comn, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. EjemploAgrupando...Factorizando por partes...Volvemos a factorizar, ahora por (z + w)...xz + xw + yz + yw = (xz + xw) + (yz + yw)= x(z + w) + y(z + w)= (z + w)(x + y)

3) Diferencia de cubos: EjemploAplicando la frmula...Desarrollando...8x3 64y3 =(2x)3 (4y)3= (2x 4y)((2x)2 + 2x 4y + (4y)2 )= (2x 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

27x3 + 8y3 =4) Suma de cubos: EjemploAplicando la frmula...Desarrollando...(3x)3 + (2y)3= (3x + 2y)((3x)2 3x 2y + (2y)2)= (3x + 2y)( 9x2 6xy + 4y2)

5) Reconocer productos notables: 36a2 81y2 = (6a + 9y)(6a 9y) x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.Ejemplos1) Si x2 25 0, entoncesFactorizando...Simplificando...Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:

2) Si a b y a b, entonces Factorizando y simplificandoDividiendo= (a + b)

Entre monomios: Corresponde a todos los factores literales con su mayor exponente. Ejemplo 1El m.c.m. entre:3x5y2, 18x2yz6 y 9y3es: 18x5y3z6Ejemplo 2El m.c.m. entre:x4y2z3 , x2y , xy6zes: x4y6z3

Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. x2 + 2x + 1x2 + xDeterminar el m.c.m. entre: y m.c.m. : Factorizando...x(x + 1)(x + 1)2x(x + 1)2Ejemplo

Entre monomios: Corresponde a los factores literales comunes con su menor exponente. Ejemplo 1El M.C.D. entre:3x5y2, 18x2yz6 y 9y3es: 3yEjemplo 2El M.C.D. entre:a4b2, a5bc y a6b3c2es: a4b

Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. x2 + 2x + 1x2 + xEjemploDeterminar el M.C.D. entre: y M.C.D. : Factorizando...x(x + 1)(x + 1)2(x + 1)

Cul de las siguientes expresiones es igual a 4x2 49?

A) (2x 7)2B) 4(x 7)2C) (2x + 7)(2x 7)D) 4(x + 7)(x 7)E) (4x 7)(x + 7)

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU 2011.

Habilidad:AplicacinD1. Magdalena tiene (3m + n) frutas. Para preparar un tutti frutti utiliza m frutas y luego agrega (m n). Cuntas frutas le quedaron en el refrigerador?

A) m

B) 3m

C) 5m

D) m + 2n

E) 3m + n

Si tiene (3m + n) frutas y utiliza (m + m n), entonces le quedan:(3m + n) (m + m n) =3m + n m m + n =m + 2nPor lo tanto, le quedan (m + 2n) frutas.(Eliminando parntesis)(Reduciendo trminos semejantes)

Habilidad:AplicacinB2. La diferencia entre el triple de (7x 3y) y el doble de (x + 9y) es

A) 6x 12y

B) 19x 27y

C) 19x 12y

D) 19x + 6y

E) ninguna de las expresiones anteriores.

21x 9y 2x 18y =19x 27yLa diferencia entre el triple de (7x 3y) y el doble de (x + 9y) escrito matemticamente es:3(7x 3y) 2(x + 9y) = (Distribuyendo) (Reduciendo trminos semejantes)

Habilidad:AplicacinA3. El largo de un rectngulo mide (5p + 3q) cm y su permetro (16p + 8q) cm. Si p > 0 y q > 0, entonces la expresin que representa el ancho del rectngulo es

A) (3p + q) cm

B) (3p + 7q) cm

C) (6p + 2q) cm

D) (6p + 14q) cm

E) ninguna de las expresiones anteriores.

Para obtener el ancho, al permetro del rectngulo debemos restarle 2 veces el largo y luego dividir todo por 2, entonces:Ancho =

Ancho =

(Reemplazando) (Distribuyendo)

Ancho =

Ancho =

Ancho = (3p + q) cm(Reduciendo trminos semejantes)(Dividiendo por 2 ambos trminos)Ancho =

(Simplificando)

Habilidad:AplicacinE4. La expresin equivalente a (3q + 2r)(5q 6r) + 3qr es igual a

A) 15q2 + 11qr 12r2

B) 15q2 + 3qr 12r2

C) 15q2 11qr 12r2

D) 15q2 15qr 12r2

E) 15q2 5qr 12r2

(3q + 2r)(5q 6r) + 3qr =15q2 18qr + 10qr 12r2 + 3qr = 15q2 5qr 12r2 (Multiplicando binomios)(Reduciendo trminos semejantes)

Habilidad:AplicacinB5. A una hoja rectangular se le cortan cuadrados iguales de lado m en sus esquinas, como se muestra en la figura. Si m > 1, entonces la expresin que representa el rea achurada es

A) 2m2 + 2B) 2m2 + 7m + 2C) 5m2 + 7m + 2D) 6m2 + 3m + 2E) ninguna de las expresiones anteriores.

rea achurada = rea del rectngulo 4 veces rea del cuadradorea achurada = (3m + 2)(2m + 1) 4 m2rea achurada = 6m2 + 3m + 4m + 2 4 m2rea achurada = 2m2 + 7m + 2 (Multiplicando binomios)(Reduciendo trminos semejantes)