Producto escalarSaltar a: navegacin, bsqueda En matemtica, el producto escalar, tambin conocido como producto interno, producto interior o producto punto (en ingls, dot product), es una operacin binaria definida sobre dos vectores de un espacio eucldeo cuyo resultado es un nmero o escalar. Esta operacin permite explotar los conceptos de la geometra eucldea tradicional: longitudes, ngulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse tambin en los espacios eucldeos de dimensin mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.ndice 1 Definicin general 2 Definicin geomtrica del producto escalar en un espacio eucldeo real 2.1 Proyeccin de un vector sobre otro 2.2 ngulos entre dos vectores 2.3 Vectores ortogonales 2.4 Vectores paralelos o en una misma direccin 3 Propiedades del producto escalar 4 Expresin analtica del producto escalar 5 Norma o Mdulo de un vector 6 Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales 7 Generalizaciones 7.1 Formas cuadrticas 7.2 Tensores mtricos 8 Vase tambin 9 Referencias 9.1 Bibliografa 10 Enlaces externos

Definicin generalEl producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermtica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrtica definida positiva.Un producto escalar se puede expresar como una expresin:

donde es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que est definido . La funcin (que toma como argumentos dos elementos de , y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes condiciones:1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha: 2. Hermiticidad: ,3. Definida positiva: , y si y slo si x = 0,donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermtica se convierte en ser simtrica.Tambin suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si adems es completo, se dice que es un espacio de hilbert. Si la dimensin es finita y el cuerpo es el de los nmeros reales, se dir que es un espacio eucldeo; si el cuerpo es el de los nmeros complejos (y la dimensin es finita) se dir que es un espacio unitario.Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que est definido, de la siguiente manera:

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.Definicin geomtrica del producto escalar en un espacio eucldeo real

A B = |A| |B| cos().|A| cos() es la proyeccin escalar de A en B.El producto escalar de dos vectores en un espacio eucldeo se define como el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman.

En los espacios eucldeos, la notacin usual de producto escalar es Esta definicin de carcter geomtrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.Proyeccin de un vector sobre otroPuesto que |A| cos representa el mdulo de la proyeccin del vector A sobre la direccin del vector B, esto es |A| cos = proy AB, ser

de modo que el producto escalar de dos vectores tambin puede definirse como el producto del mdulo de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.ngulos entre dos vectoresLa expresin geomtrica del producto escalar permite calcular el coseno del ngulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definicin formal: que nos dice que la multiplicacin de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

Vectores ortogonalesDos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ngulo recto entre s. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

ya que el .Vectores paralelos o en una misma direccinDos vectores son paralelos o llevan la misma direccin si el ngulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de radianes (180 grados).Cuando dos vectores forman un ngulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los mdulos vale lo mismo que el producto escalar.

Propiedades del producto escalar1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

Expresin analtica del producto escalarSi los vectores A y B se expresan en funcin de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base cannica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Norma o Mdulo de un vectorSe define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio mtrico considerado.Se calcula a travs del producto interno del vector consigo mismo.

Efectuado el producto escalar, tenemos:

de modo que

Por componentes, tomando la base cannica en formada por los vectores unitarios {i, j, k}

de modo que

Productos interiores definidos en espacios vectoriales usualesCitamos a continuacin algunos productos estudiados generalmente en Teora de Espacios Normados. Todos estos productos -llamados cannicos- son slo algunos de los infinitos productos interiores que se pueden definir en sus respectivos espacios.

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

Siendo el nmero complejo conjugado de En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos reales

donde tr(A) es la traza de la matriz B y es la matriz traspuesta de A. En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos complejos

donde tr(A) es la traza de la matriz B y es la matriz traspuesta conjugada de A. En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:

En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:Dado tal que :

GeneralizacionesFormas cuadrticasDada una forma bilineal simtrica definida sobre un espacio vectorial puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar eucldeo mediante la frmula:

Donde:

es una base del espacio vectorial Puede comprobarse que la operacin anterior satisface todas las propiedades que debe satisfacer un producto escalar.Tensores mtricosSe pueden definir y manejar espacio no-eucldeos o ms exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que tambin podemos definir longitudes, ngulos y volmenes. En estos espacios ms generales se adopta el concepto de geodsica en lugar del de segmento para definir las distancias ms cortas en entre puntos y, tambin, se modifica ligeramente la definicin operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor mtrico , tal que la restriccin del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .As, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente de la siguiente manera:

Producto Escalar de Vectores El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geomtrica. Comenzaremos con la manera geomtrica, que tiene un significado intuitivo. Tomemos dos vectores y , y llamemos al ngulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

en que y corresponden a las longitudes de los vectores y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

Si usamos la representacin cartesiana, se tiene que:

es decir, se satisface el teorema de Pitgoras, conocido de nuestros estudios de geometa elemental. Indudablemente, la definicin del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ngulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definicin dada, es fcil ver que el producto escalar de dos vectores puede tambien definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,