problemas resueltos de_interes_compuesto (1)

PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO

1. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

c) 2% trimestral?

d) 15% anual?

SOLUCIONES

SOLUCION

Para conocer la tasa de interès por periodo se divide la tasa anual entre la

frecuencia de conversión:

a) 30% anual capitalizable mensualmente

Tasa anual = 30%

Frecuencia de conversión = 12

025.012

30.0

conversiòn de frecuencia

anual interès de tasa ===i

i = 2.50% mensual

b) 16% anual capitalizable trimestralmente

Tasa anual = 16%


04.04

16.0



i = 4% trimestral

c) 2% trimestral

periodo = trimestre

Tasa anual = 2% x 4 = 8%


02.04

08.0



i = 2% trimestral

d) 15% anual

Tasa anual = 15%


15.01

15.0



i = 15% anual

2. ¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema

anterior?

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

SOLUCION

Periodo = mes


b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

SOLUCION

Periodo = trimestre


c) 2% trimestral?

SOLUCION

Periodo = trimestre


4. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000 en:

a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual simple.

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto

semestralmente.

d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible

trimestralmente.

SOLUCION

DATOS

I ?

Plazo = 1 año

C = $1,000.00

a) i = 20% anual simple

La fórmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el interés simple:

Como el plazo es 1 año, t = 1.

200.00I

20)(1)(1,000)(0.

===I

CitI

I = $200.00

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de interés simple, con

I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:

200.00I

)20)(1(1,000)(0.

===I

CitI

I = $200.00

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto

semestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se

resta del capital:

j = 20%

m =2

n = (1) (2) = 2 semestres

semestralsemestralm

ji −=−=== 10.0%10

2

%20

( )( )( )( )00.210,1

21.1000,1

10.1000,1

10.01000,1

1000,1

2

2

===

+=

+=

M

M

M

M

iM n

00.000,100.210,1 −=−=

I

CMI

I = $210.00

d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible

trimestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se

resta del capital:

j = 20%

m = 4

n = (1) (4) = 4 trimestres

trimestraltrimestralm

ji −=−=== 05.0%5

4

%20

( )( )( )( )51.215,1

21550625.1000,1

05.1000,1

05.01000,1

1000,1

4

4

===

+=

+=

M

M

M

M

iM n

00.000,151.215,1 −=−=

I

CMI

I = $215.51

5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta

de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:

a) Al cabo de un año

b) Al cabo de dos años

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:

DATOS

C = $50 000.00

j = 15%

m = 12

La tasa de interés compuesto para cada inciso es:

mensualmensualm

ji _0125.0_%25.1

12

%15 ====

El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando el

número de años por ñla frecuencia de conversión.

a) Al cabo de un año

n = 1(12) = 12 meses

( )( )( )( )160754518.1000,50

025.1000,50

.0125.01000,50

1

12

12

==

+=

+=

M

M

M

iCM n

M = $58,037.73

b) Al cabo de dos años

n = 2(12) = 24 meses

( )( )( )( )34735105.1000,50

0125.1000,50

.0125.01000,50

1

12

24

==

+=

+=

M

M

M

iCM n

M = $67,367.55

9. Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000

si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.24 anual

convertible trimestralmente?

DATOS

C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)

Tasa nominal anual = 0.24 = 24%

Plazo = 1 año

Periodo de capitalización = trimestre

Frecuencia de conversión = 4 (un año tiene 4 trimestres)

M = ?

SOLUCION

trimestral 6%

conversión de frecuencia

anual nominal tasa

==

=

4

24.0i

i

( )( )( ) trimestres

años en plazoconversión de frecuencia

414 ===n

n

( )( )( )( )26247696.1000,300

06.1000,300

06.01000,300

1

4

4

==

+=

+=

M

M

M

iCM n

M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)

26. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un

monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9%

convertible mensualmente?

DATOS

C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)

M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)

Plazo = 2 años

j = 9%

m = 12

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.

n = 2(12) = 24 meses

0075.0%75.012

%9

==

==

im

ji

C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular

$250 000.00 en dos años)

27. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si

ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18%

convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?

DATOS

C = ? (La cantidad que recibe en préstamo es un valor actual)

M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)

Plazo = 18 meses

j = 18%

m = 4

( )( )( )( )

957.85 208

0.8358314250000

0075.1250000

0075.01250000

1

24

24

===

+=

+=

−

−

−

C

C

C

C

iMC n

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.

n = (18/12)(4) = 6 trimestres

C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en préstamo

30. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye

intereses a razón de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año.

¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a

una tasa de interés de 12% convertible mensualmente?

DATOS

M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagaré)

i = 3% trimestral (Tasa de interés por periodo de la deuda)

45.0%50.44

%18

==

==

im

ji

( )( )( )( )

132.229881 499

0.76789574000 650

045.1000 650

045.01000 650

1

6

6

===

+=

+=

−

−

−

C

C

C

C

iMC n

plazo = 1 año (Tiempo en que se pagará la deuda)

plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se documentó la deuda)

plazo = 12 – 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)

j = 12%

m = 12

SOLUCION

Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses

después de que se firmó el pagaré.

01.0%12

%12

==

==

im

ji

n = 8 meses

C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se

( )( )( )

2446174.1611

20.92348322000 50

01.01000 50

18

==

+=

+=−

−

C

C

C

iMC n

descuenta)

34. Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un pagaré

por $140 000 con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10%

anual convertible semestralmente. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo

de un año descuenta el documento en su banco y éste le cobra 16% de interés

anual?

SOLUCION

El pagaré produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del

mismo en la fecha de su vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con

los siguientes:

DATOS

C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)

Plazo = 5 años (tiempo en que vencerá el pagaré)

j = 10%

m = 2

M = ? (valor nominal del pagaré)

M = $228 045.25 (valor del pagaré cuando venza)

Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del

descuento que aplica el banco:

M = 228 045.25

Plazo = 4 años

j = 16%

m = 1

C = ?

C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un año

después)

( )( )( )2477.228045

628894627.1140000

05.01140000

110

==

+=

+=

M

M

M

iCM n

( )( )

3615.125947

552291097.025.228045

16.0125.228045 4

==

+= −

C

C

C

36. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés efectiva

anual es de:

a) 10%?

b) 20%?

DATOS

Plazo = ?

C = C (el capital puede ser cualquier cantidad)

M = 2C (el monto será el doble del capital)

De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja el plazo (n):

a) 10%?( )( )

272540897.7041392685.0

301029995.0

10.1log

2log

10.1log2log

10.1log2log

10.12

10.12

10.012

1

==

=

==

=

=

+=

+=

n

n

n

C

C

CC

iCM

n

n

n

n

n

n = 7.272540897 años es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 10% efectivo anual

a) 20%?

39. Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de

interés. ¿En cuánto tiempo lo triplicará?

SOLUCION

La inversión inicial puede ser cualquier cantidad, la condición es que 18 meses

después será el doble de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de

interés con la que se duplica:

C = C

M = 2C

( )( )

8018.3079181246.0

301029995.0

20.1log

2log

20.1log2log

20.1log2log

20.12

20.12

20.012

1

==

=

==

=

=

+=

+=

n

n

n

C

C

CC

iCM

n

n

n

n

n

n = 3.8018 años es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 20% efectivo anual

n = 18 meses

n = ?

aplicando la fórmula de la tasa de interés compuesto, que se despeja de la

fórmula del monto a interés compuesto:

Despejando, tenemos:

Sustituyendo los datos, se tiene:

Para conocer el t iempo en que se tripl ica el capital, los datos son:

C = C

( ) ni1CM +=

1C

Mi n −=

60.03925922i =−=−=

−=

−=

1039259226.112

12

1

18

18

i

C

Ci

C

Mi n

A esta tasa se duplica el

capital

M = 3C

i = 3.9259226% mensual

n = ?

Ahora, de la fórmula del monto a interés compuesto se despeja otra para

calcular el plazo:

( )

( )( )

( )

meses 28.53n

i1logC

Mlog

n

==

==

+

=

+

=

52932504.28n

80.01672388

40.47712125

61.03925922log

3logn

60.039259221logC

3Clog

n

40. Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1º de febrero.

¿En qué fecha valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15% compuesta

mensualmente?

SOLUCION

La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la fecha

inicial. Los $55 000 es el monto (M)(o valor futuro de la inversión) y se busca la

La inversión se triplica en 28.53 meses

0.0125i

12

15%

m

ji

=

==

fecha final. Para encontrarla, primero calculamos el plazo de la inversión,

determinando el valor de “n” a interés compuesto:

j = 15%

m = 12

( )

( )( )

( )

exacto) tiempo ndo(considera septiembre de 22 final fecha

exacto) (tiempo días 233 365 x 7.67/12 n

)aproximado tiempo ndo(considera septiembre de 21 final fecha

días 20 meses 7n

meses 7.67n

i1logC

Mlog

n

===

====

==

+

=

+

=

672370808.7n

18870.00539503

50.04139268

1.0125log

1.1logn

0.01251log50000

55000log

n

42. ¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10 años?

SOLUCION

El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5

veces C, es decir, 5C.

DATOS

C = C

M = 5C

Plazo = 10 años

m = 1 (la frecuencia de conversión es 1, pues el plazo se expresa en años)

n = 10 años

De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja la tasa de interés

compuesto, se sustituyen los datos, y se resuelve:

43. ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20 000 que se

ha incrementado a $50 000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:

anual %17.4618943i ==−=

−==−=

−=

174618943.01174618943.1

1515

1

1010

i

iC

Ci

C

Mi n

a) mensualmente?

b) trimestralmente?

SOLUCION

Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de interés por

periodo (i), con la fórmula que se despeja de la fórmula del monto a interés

compuesto:

DATOS

j = ?

C = $20 000

M = $50 000

Plazo = 3 años

a) mensualmente?

La frecuencia de conversión es:

m = 12 Entonces:

n = 3 años x 12 = 36 meses

periodo) por (tasa mensual 2.578%i ==−=

−==−=

−=

025779201.01025779201.1

15.2120000

50000

1

3636

i

ii

C

Mi n

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

J = 30.94% anual convertible mensualmente

b) trimestralmente?

La frecuencia de conversión es:

m = 4 Entonces:

n = 3 años x 4 = 12 trimestres

periodo) por (tasa trimestral 7.9348438%i ==−=

−==−=

−=

079348438.01079348438.1

15.2120000

50000

1

1212

i

ii

C

Mi n


( )( )

309350417.0=

==

=

j

j

jmim

ji

1210.02577920

( )( )

mentetrimestral econvertibl anual 31.74%j =

===

=

317393752.0480.07934843j

jmim

ji

44. Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9

meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés

que ha ganado si la capitalización es trimestral.

DATOS

C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)

M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depósito)

plazo = 3 años y 9 meses

j = ?

m = 4 (la frecuencia de conversión es trimestral, o sea, 4 por año)

SOLUCION

Se busca la tasa de interés por periodo y luego la tasa nominal:

n = 15 trimestres (3 años x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 trimestres

periodo) por (tasa trimestral 5.03%i ==−=

−==−=

−=

050325627.01050325627.1

108862.21100000

208862

1

1515

i

ii

C

Mi n


( )( )

mentetrimestral econvertibl anual

201302508.04050325627.0

20.13% i ===

=

=

j

jmim

ji

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