Mecnica-FI2001Problemas Propuestos y ResueltosKim Hauser Vavrae-mail: khauser@ug.uchile.clVersin abril, 2011NDICE1. Cinemtica 51.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Dinmica 142.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.1. Dinmica de Varias Partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253. Trabajo y Energa 333.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414. Equilibrio y Oscilaciones 474.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.1. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.2. Oscilaciones acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.3. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535. Fuerzas Centrales 595.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636. Movimiento Relativo: Sistemas No Inerciales 676.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737. Slido Rgido y Sistemas de Partculas 807.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868. Lista de Respuestas 922PRLOGOLo que usted encontrar en estas pginas es una coleccin de problemas de fsica que compren-den la utilizacin de las herramientas del clculo innitesimal y lgebra lineal, fundamentalmente.Lagranmayoradeestosproblemashansidoextradosdeevaluacionesdel cursoMecnica(ac-tualmente, cdigoFI2001, del 3osemestredeIngenierayCiencias, Plancomn, F.C.F.M., delaUniversidad de Chile) del cual he sido profesor auxiliar.Hay dos puntos que representan bien mis intenciones: 1o, que mediante la ejercitacin con estosproblemas, escogidos con mucha atencin, el lector encuentre comprensin de las materias involu-cradas, y 2o, que, en la medida de lo posible, stos representen la clase de problemas a los que, comoalumno, unopodraverseenfrentado. As esqueelpropsitoesfacilitarelestudiodecualquierestudiante de estas materias, pero este escrito podra resultar particularmente til a los alumnos dela F.C.F.M. de la U. de Chile.Estetextocuentaconlassolucionesdealgunosdelosproblemasquepresenta. stashansidoredactadas por m, algunas veces basndome en resoluciones de otras personas (profesores de ct-edra, auxiliares, etc). Pese a que he buscado ser explicativo, muchas veces, al redactar, me parecique una lectura liviana y poco profunda por parte del lector no sera suciente para comprender sucontenido; creo que es inherente al proceso del aprendizaje la necesidad de una lectura activa. Enparticular, si el lector encuentra partes del desarrollo que no comprende o que no son explicadas consuciente detalle, ser de gran benecio desentraarlas, por su cuenta o con ayuda.Los problemas con solucin en el texto son menos que los que se dejan propuestos. Esto respondea mi conviccin de que una buena forma de aprender a resolver problemas de fsica es abordar losproblemas sin mirar las pautas de solucin (al menos en primera instancia). De todas formas, al nalse agrega una seccin de respuestas de los problemas, lo que a veces ayuda a orientarse. De cualquiermanera, recomiendo enfticamente resolver o tratar de resolver por cuenta propia los problemas quetienen pauta antes de mirar la pauta.En la mayora de las soluciones, usted encontrar zonas de desarrollo algebraico que explcita eintencionalmente he dejado como trabajo personal, pues considero que esto es una forma concreta deno inhibir la ejercitacin; no quisiera que el texto se vuelva un compendio de clculos de integrales,derivadas, productos cruz, etc. Busco, ms bien, que sirva para aprender las lneas de razonamientoque llevan a entender y resolver los problemas.Con el paso del tiempo, he ido encontrando diversos errores en las respuestas a los problemasy/o en la redaccin de sus soluciones. He hecho el esfuerzo de corregirlos, pero no tengo dudas:siempre quedarn errores escondidos a mis ojos. Usted, probablemente, los encontrar antes que yo.Buena suerte!!!3Nota de la versinSe han incorporado vnculos internos que facilitan la navegacin por el interior del docu-mento en la versin digital. stos aparecen al comienzo de cada problema o solucin en laforma: Resp., Prob. y Sol..El siguiente es un ejemplo de un problema que cuenta con solucin, adems de respuesta alnal del documento. Los problemas cuya solucin no se ha incluido muestran slo el vnculohacia la lista de respuestas (Resp.).Ejemplo: P.7.6Resp.Sol.Una lmina circular de radio R, densidad homognea...Desde la lista de respuestas es posible redirigirse al enunciado de los problemas a travs deProb. y, cuando corresponde, tambin a la solucin (Sol.).4CAPTULO1CINEMTICA1.1 ProblemasP.1.1Resp.Una partcula se mueve con rapidez v0 constante, sobre un riel circular de radio R colocado en posi-cin horizontal sobre una supercie tambin horizontal. La partcula se encuentra atada medianteuna cuerda inextensible a un bloque que cuelga debajo de un agujero localizado a una distancia R/2del centro del riel. Suponga que vo es sucientemente pequeo para que la cuerda no se destense.(a) Determine la rapidez del bloque en funcin del ngulo .(b) Obtenga la rapidez mxima del bloque.(c) Determine la aceleracin a del bloque cuando la partcula que se mueve sobre el riel pasapor la posicin = 0.gvoRFig. P.1.12RovoFig. P.1.25PROBLEMAS 1. CINEMTICAP.1.2Resp.Una partcula se mueve por el interior de un tubo de largo 2R que gira con una velocidad angularconstanteo. La partcula inicia su movimiento desde el punto medio del tubo, desplazndose porsu interior con una rapidez constante vo respecto al mismo. Determine:(a) El radio de curvatura de la trayectoria descrita, en funcin del tiempo.(b) Ladistanciarecorridaporlapartculadesdequeiniciasumovimientohastaquellegaalextremo del tubo.P.1.3Resp.Sol.Se observa una partcula en movimiento con respecto a un sistema de referencia inercial. La trayec-toria est dada por las siguientes funciones: = Aek, z = hdonde , y z son las respectivas coordenadas cilndricas (con A, k, h positivos). Suponiendo que surapidez es constante (vo) y conocida:(a) Calcule la velocidad v de la partcula en funcin de , A, k, h y vo.(b) Encuentre su aceleracina en funcin de los mismos parmetros.(c) Pruebe que av.(d) Encuentre una expresin para (t).P.1.4Resp.Considere una curva espiral descrita en coordenadas esfricas por las ecuaciones:r = R, = N,dondeRyNsonconstantesconocidas(Nenteropar). Unapartculasemuevesobrelaespiralpartiendo desde el extremo superior (= 0) y manteniendo una velocidad angular cenital constantey conocida,= 0. Se pide:(a) Utilizando coordenadas esfricas, escriba los vectores velocidad y aceleracin para una posi-cin arbitraria de la partcula sobre su trayectoria.(b) Determine el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el ecuador (= 90o).(c) Encuentre una expresin para la longitud total de la espiral y para el tiempo que la partcu-la tarda en recorrerla. Indicacin: De ser difcil de calcular, puede dejar expresada la integral.Fig. P.1.46PROBLEMAS 1. CINEMTICAP.1.5Resp.Sol.La trayectoria de un punto P, en coordenadas cilndricas, se dene con:(t) = 0, (t) =?, z(t) = h B(t)Sesabeque(t)esunafuncinmontona, (0) =0yque(0) =0ydondeh, By0soncantidades positivas conocidas.(a) Obtenga las expresiones para los vectores velocidad y aceleracin en este ejemplo.(b) Obtenga una expresin para el vector tangentet y para la rapidez de P. Comente sobre lossignos de estas cantidades.(c) Obtenga expresiones para las aceleraciones centrpeta y tangencial:a(t) =acent(t) +atg(t)(d) Cul es la funcin (t) si se sabe que la aceleracin apunta todo el tiempo perpendicular aleje Z?P.1.6Resp.Una barra rgida de largo L se mueve apoyada en dos paredes rgidas que forman un ngulo rectoentre ellas.Suponga que el ngulo = (t) es una funcin arbitraria del tiempo.(a) Determine el vector posicin r(t), velocidad v(t) y aceleracin a(t) del punto medio de labarra.(b) El radio de curvatura de una trayectoria se dene como = v3/ |v a|. Calcule el radio decurvatura de esta trayectoria. Interprete el resultado y dibuje la trayectoria.(c) Suponga ahora que el apoyo inferior de la barra se mueve con rapidez constante vo a partirdel momento en que la barra est en la posicin vertical. Encuentre la funcin(t) que dalugar a ese movimiento.Fig. P.1.6L7PROBLEMAS 1. CINEMTICAP.1.7Resp.Sol.Considere una curva espiral cnica descrita en coordenadas esfricas por las ecuaciones:= 45o, = 2 rR,dondeResunaconstanteconocida. Unapartculasemuevesobrelaespiral partiendodesdeelorigen manteniendo una velocidad radial constante y conocida, r = c. Se pide:(a) Determine la distancia radial del punto P en el cual la rapidez de la partcula es 3c.(b) Encuentre una expresin para la longitud total de la espiral y para el tiempo que la partculatardaenrecorrerla. Nota: Estbiensi dejasusolucinentrminosdeunaintegral muycomplicada.(c) Determine el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el punto P.Fig. P.1.745oFig. P.1.8xAOPRDP.1.8Resp.El punto de unin P entre un pistn y una biela de largo D se mueve a lo largo del eje x debido aque el cigeal (disco), de radio R y centro en un punto jo O, rota a velocidad angular constante .En el instante t = 0 la biela est horizontal ( = 0, x = R + D).(a) Encuentre una expresin para la distancia x(t) entre P y O como funcin del tiempo t.(b) Encuentre la velocidad v(t) de P.(c) En la expresin para v(t) considere el caso R D y luego encuentre una expresin aprox-imada para la aceleracin de P. Cmo se compara la magnitud de la aceleracin mximadel pistn con la aceleracin del punto A?P.1.9Resp.SupongaqueesposibleexcavaruntnelentredospuntosAyBdelaTierra. Laaceleracindegravedad (que apunta hacia el centro de la Tierra) al interior del tnel tiene una magnitud que esproporcional a la distancia r desde el centro de la Tierra:[a[ =gRrdondegeslaaceleracindegravedadenlasuperciedelaTierrayResel radiodelaTierra.Asumiendo que un vehculo parte del reposo en el puntoA y se mueve sin roce en el interior deltnel, bajo el efecto de la gravedad, calcule:8PROBLEMAS 1. CINEMTICA(a) El tiempo que requiere para llegar al punto B, que est a una distancia R del puntoA, enlnea recta.(b) La rapidez mxima del movimiento resultante.Nota: Considerequelaaceleracinrealdelvehculoeslaqueresultadetomarlaaceleracinquetendra el cuerpo si no estuviera restringido a moverse en el tnel y proyectarla en la direccin deltnel.RABrFig. P.1.99SOLUCIONES 1. CINEMTICA1.2 SolucionesS.1.3Prob.Resp.(a) Dadoqueestamosdescribiendolaposicindelapartculaencoordenadascilndricas, elvector posicin es, por denicin:r = + zk = Aek + hAekkr = Akek + Aek + hkAek kr = Aek (k + + hkk)No conocemos an el valor de, pero sabemos que la rapidez de la partcula vale siemprevo, esto es: [[r[[ = vo [[r[[ = A ek_k2+ 1 + h2k2= vo A ek=vok2+ 1 + h2k2()r =vok2+ 1 + h2k2 (k + + hkk)(b) Con el resultado anterior, calculamos a = r:a =vok2+ 1 + h2k2 (k )=vo k2+ 1 + h2k2 (k )Pero de ():=voAekk2+1+h2k2() a =vo2Aek(k2+ 1 + h2k2)(k )(c) Denamos primero, para simplicar la notacin, B vo/k2+ 1 + h2k2.Demostrar que av se puede hacer de dos formas, pero ambas para concluir que av= 0.La primera, ms simple, es considerar que vv = vo2. As:ddt(vv) =av +v a = 2av = 0La otra es calcular directamente av:av =B3Aek (k )(k + + hkk)=B3Aek (k k) = 0 av10SOLUCIONES 1. CINEMTICA(d) Por ltimo, de () tenemos que:=ddt=BAek ekd=BAdt /__ekd=_BAdtekk=BAt + c depende de las condiciones iniciales, que no tenemos.Despejando y reemplazando el valor de B obtenemos:(t) =1k ln_kvoAk2+ 1 + h2k2t + kc_S.1.5Prob.Resp.(a) El vector posicin en coordenadas cilndricas esr = o + zk.Pero z = h B. As:v = o B k, a = o 2 + Bk(b)t =v|v|y |v| =_2o 2+ B2 2= _2o + B2.Como (t) es montona y en t = 0 [= 0 > 0] entonces [ (t) > 0, t] |v| =_2o + B2=t =o_2o + B2 B_2o + B2k y v =_2o + B2(c) Como v = vt (coordenadas intrnsecas), a = vt + vdtdt. Ahora, v =_2o + B2ydtdt= o_2o + B2 =a = o 2. .acent + _2+ B2. .atangt(d) Si a apunta perpendicularmente al eje z, entonces a k = 0. Peroa k = B = 0= 0 pues B ,= 0. Con esto: =Cteycomo(0) =o (t) =o. Estoltimoimplicaque(t) =ot + c, pero(0) = 0, por lo tanto(t) = ot .11SOLUCIONES 1. CINEMTICAS.1.7Prob.Resp.Las coordenadas que denen la posicin de la partcula (en el caso de conos suele ser muy til eluso de coordenadas esfricas) cumplen con:= /4; =2rR; r = c.(a) La velocidad en esfricas es v = r r +r +r sen . Ahora: =2 rR=2cRy sen =2/2v = c r + r2c2R2.Entonces |v| =_c2+ r222c2R2= 3c (la ultimaigualdadse cumple enel punto P) 9 = 1 + 2r22R2, de donde:r =2R(b) Se pide una expresin para la longitud y el tiempo transcurrido desde t = 0 hasta que llegaal punto P.L=t2_t1____drdt____dt =t2_t1|v| dt =t2_t1c_1 + r222R2dt.Pero r = c, y como r(t = 0) = 0 (parte del origen) entonces r = ct. As:L=t2_t1c_1 + t222c2R2dt.Este resultado es completo (salvo la resolucin de la integral) si se conoce el tiempo t2enque la partcula llega a P. Como escogimos t1= 0, entonces:t2=t2_t1dt =r2_r1dtdrdr.El teorema de la funcin inversa respalda entonces que: t2=r2_r1drdrdt=2R_0drc=2Rc.t2=2Rc.(c) Para usar la frmula del radio de curvaturac=v3|v a|, debemos calcular el vector acel-eracin en el punto P, pues la velocidad ya la tenemos. De reemplazar las coordenadas y susderivadas en la frmula para la aceleracin en coordenadas esfricas, se obtiene que:12SOLUCIONES 1. CINEMTICAaP= 4c2R r 4c2R + 22c2R,vP= c r + 22c , y vP= [vP[ = 3c.Al hacer el producto cruz y calcular la norma se obtiene: |vPaP|=286c3R. Con esto,el radio de curvatura en el punto P es:c=27R286.13CAPTULO2DINMICA2.1 ProblemasP.2.1Resp.Para pasar un bulto P de masa m de un lado al otro de un ro de ancho R se utiliza el mtodo quesigue. P se ata a una cuerda de largo R que est unida al extremo de una vara de largo R. La barrase hace girar desde su posicin horizontal con velocidad angular0 en torno a una rtula que unela orilla del ro con el otro extremo de la vara. Despreciando todo roce:(a) Demuestrequemientraslacargavaportierrarmelatensindelacuerdaesconstante.Determine su valor.(b) Determine el valor de 0 para que P se despegue del suelo justo antes de llegar al ro.R RRgoFig. P.2.1ghvoFig. P.2.2P.2.2Resp.Sol.Una partcula P de masa m se lanza por el interior de un recipiente cilndrico con eje vertical, radio Ry altura h. El roce de P con la pared cilndrica es despreciable; domina el roce viscoso Fr.v.= cv de14PROBLEMAS 2. DINMICAP con el uido que llena el recipiente. La partcula es lanzada en contacto con la supercie cilndrica,con velocidad horizontal de magnitud v0. Determine:(a) La velocidad vertical vz como funcin del tiempo y la funcin z(t).(b) La velocidad angular de P como funcin del tiempo.(c) Valor que debe tener el coeciente c para que P alcance justo a dar una sola vuelta, suponien-do que el recipiente es innitamente alto (h ).P.2.3Resp.Considere un tubo con forma de L dentro del cual puede deslizar una cuenta de masa m. Escogiendounsistemadecoordenadascilndricas, unbrazodeltubocoincideconelejez. Elotrosemuevegirando con velocidad angular constante0, contenido siempre en el plano x-y (z=0). La cuentaes desplazada por el interior de este ltimo brazo hacia el eje z, gracias a la accin de una cuerdaque recorre el interior del tubo y es tirada en el extremo opuesto. La traccin es tal que la cuentaadquiere una velocidad constante v0. Considerando que inicialmente la cuenta est a una distanciaR del eje z:(a) Determine la velocidad y aceleracin de la cuenta en funcin de su distancia al eje de rotacin.(b) Calcule el radio de curvatura c de la trayectoria de la cuenta en funcin de .Es importante hacer un grco de esta funcinc(), precisando su valor para=0 y sucomportamiento para . Considere en este caso v0= 0R, con una constante.(c) Determine la tensin de la cuerda en funcin de y la fuerza normal que la pared interiordel tubo ejerce sobre la cuenta.vox-yoFig. P.2.3Fig. P.2.4RmgP.2.4Resp.Una partcula de masa m puede deslizar sin roce por el interior de una circunferencia de radio R yeje horizontal. Se suelta desde la posicin ms baja,(0)= 0, con velocidad angular(0)=0. Losdatos son: m, R, g y 0.(a) Escriba la ecuacin de movimiento (2da ley) y seprela en ecuaciones escalares. Una de estasecuaciones puede ser integrada una vez en forma inmediata.15PROBLEMAS 2. DINMICA(b) Integrando tal ecuacin se obtiene2= algo que tiene que ser positivo. Obtenga una desigual-dad para cos . Fsicamente qu ocurrira si la desigualdad se hiciera igualdad?(c) Encuentre una expresin para la fuerza normal en funcin de los datos y de (t). Imponien-do que la fuerza normal apunte hacia el centro obtenga una desigualdad para cos . Fsica-mente qu podra ocurrir si la desigualdad se hiciera igualdad?(d) Para qu valor de 0 ambas desigualdades coinciden?(e) Si el dibujorepresentaaunapartculaquedeslizaapoyadaenel interiordeuncilindrodeejehorizontal,bajoqucondicioneslapartculaoscilarespectoalpuntomsbajosindespegarse jams?(f) Bajo qu condiciones desliza girando en un solo sentido sin despegarse jams?P.2.5Resp.Considere una supercie cnica como la indicada en la gura, que se encuentra en un ambiente singravedad. En un cierto instante se impulsa una partcula de masa m sobre la supercie interior delcono, con una velocidad inicial vo en direccin perpendicular a su eje. En ese momento la partculaest a una distancia ro del vrtice del cono. El roce entre la partcula y la supercie es despreciable.El ngulo entre el eje del cono y la generatriz es .(a) Escriba las ecuaciones de movimiento de la partcula en un sistema de coordenadas que leparezca adecuado.(b) Determinelafuerzaquelasuperciecnicaejercesobrelapartculacuandostasehaalejado hasta una distancia r = 2ro del vrtice del cono. Determine la rapidez de la partculaen ese momento.m voroFig. P.2.5gye, dl0Fig. P.2.6xP.2.6Resp.Considereunsistemacompuestoporunresorteyunamasaqueseencuentranal bordedeunapiscinamuyprofunda, comoseindicaenlagura. El resorteesdelargonatural l0yconstanteelstica k. A ste se ja una pared mvil de masa despreciable. El sistema se prepara de tal modoquelapartculapuntual demasamsecolocajuntoaestaparedensuposicindecompresinmxima, esdecirenx= l0, segnelsistemadecoordenadasquesemuestraenlagura, ysesuelta desde el reposo. Se pide:16PROBLEMAS 2. DINMICA(a) Cul es la condicin que asegura que la masa m se mover desde x = l0?(b) Encuentre el valor mximo de d que permita a la masa llegar al borde de la piscina (x = 0)con velocidad no nula. Entregue el valor de esta velocidad no nula.(c) Considere que la masa entra a la piscina inmediatamente cuando x> 0. Una vez que entra,la masa experimenta una fuerza de roce viscoso lineal, de constante . Suponga adems queno hay fuerza de empuje (la masa es puntual). Determine entonces el alcance mximo quealcanzar la masa y su velocidad lmite.P.2.7Resp.Una partcula de masa m est ubicada sobre la supercie de una esfera de radio R, en presencia degravedad. En el instante inicial, se lanza la partcula con una velocidad horizontalv0= v0 , tangentea la supercie, y con un ngulo (t = 0) = /3.(a) Encuentre la velocidad y aceleracin de la partcula en funcin de .(b) Determine el valor del ngulo en que la partcula se despega de la supercie.0g v0RFig. P.2.7P.2.8Resp.Hay un hilo enrollado alrededor de un cilindro de radio R. En la punta del hilo hay un cuerpo demasa m que se suelta, cuando = 0, con velocidad inicial v(t = 0) = v0 , perpendicular al hilo, loque determina que el hilo se comienza a enrollar. La distancia inicial entre el cuerpo y el punto B detangencia del hilo con el cilindro es L0.No hay gravedad.Nota: Las coordenadas cilndricas en este problema persiguen al punto de tangencia B, y es conve-niente escribir el vector posicin como: r = R + L(t) .(a) Determine la ecuacin de movimiento para la distanciaL(t) correspondiente a la longitudde hilo que queda por enrollar en el tiempo t (distancia entre los puntos B y la posicin dela masa).(b) Obtenga la velocidad angular en funcin de .(c) Suponiendo que el hilo se corta si la tensin sobrepasa el valor Tmax, obtenga el valor deen el momento del corte.17PROBLEMAS 2. DINMICAyxt = 0Fig. P.2.8at = 0RBL0v0yL(t)xt > 0Fig. P.2.8bRBP.2.9Resp.Una partcula P de masa m puede moverse solo por un riel horizontal circunferencial de radio R, enausencia de gravedad.El nico tipo de roce que hay es roce viscoso lineal, Fr.v.= cv.(a) Determine el valor que debe tener v0 para que P se detenga justo cuando ha avanzado mediavuelta.zyxFig. P.2.9omFig. P.2.10P.2.10Resp.Considere una bolita de masa m ensartada en una barra de manera que puede deslizar sin roce porella. La masa est atada mediante un resorte, de constante elstica k y largo natural lo, a un extremode la barra, y esta ltima, a su vez, gira c/r al mismo extremo en un plano horizontal con velocidadangular constante. En t = 0 la bolita se suelta con el resorte comprimido en lo/2 y (0) = 0:(a) Qu relacin deben cumplir m, k ypara que la bolita realice un movimiento armnicosimple a lo largo de la barra?(b) Determine la compresin del resorte como funcin del tiempo.18PROBLEMAS 2. DINMICAP.2.11Resp.Sol.Un bloque B de masa m est apoyado en una supercie plana con la cual tiene coecientes de roceesttico y dinmicoeyd. El bloque est adems unido a un resorte (constante elstica k y largonatural lo) cuyo otro extremo est jo a la supercie (gura). Inicialmente el resorte est con su largonatural. La supercie se v inclinando muy lentamente a partir de la posicin horizontal (=0).Siempre es cierto que e> d.(a) Cul es el ngulo mximo antes que B deslice?(b) Suponiendo que cuando = , se deja de mover la supercie plana y el bloque comienza adeslizar, determine el mximo estiramiento del resorte y determine la mxima rapidez quealcanza B durante el movimiento.(c) Determinesi, unavezalcanzadoelestiramientomximo, Bpermaneceenreposoosisedebiera satisfacer una condicin especial para que eso ocurra.gFig. P.2.11 Fig P.2.12hRogP.2.12Resp.Sol.Un anillo de masamdesciende, debido a su propio peso, por un alambre de forma helicoidal deradio Roy paso tal que z= h R1. No hay roce anillo-alambre, pero s hay roce viscoso: el anilloes frenado por un roce viscoso lineal Frvl= cv.La condicin inicial es (0) = 0, z(0) = h y(0) = 0 y la aceleracin de gravedad es g.(a) Obtengaelvectorunitariotangentetdelatrayectoriaylaexpresinmsgeneralposiblepara la fuerza normal

N.(b) Descomponga la ecuacin (vectorial) de movimiento en ecuaciones escalares.(c) Delasecuacionesanterioresobtengalaformaexplcitade(t) =(t)enfuncindelosdatos: m, Ro, R1, c y g.P.2.13Resp.Una partcula de masa m est atada a 2 cuerdas independientes de igual largo, cuyos otros extremosestn jos a los puntosA y B, separados entre s una distanciaH (ver gura). La partcula rota entorno al eje vertical AB, mantenindose en el plano horizontal ubicado a media distancia entre ambospuntos.(a) Determine el mnimo valor de la velocidad angular que le permite a la partcula mantenerun movimiento circular uniforme con ambas cuerdas tensas (Datos: m, g, H).19PROBLEMAS 2. DINMICAImportante: En las partes b) y c) los puntos A y B se transforman en oricios a travs de loscuales las 2 cuerdas pueden ser recogidas en forma controlada.(b) Si ambas cuerdas son recogidas a una tasa igual y constante,L = vo, muestre que r r3.Obtenga la constante de proporcionalidad.(c) Sienelrecogimientodelascuerdasseobservaque, cuandor =H, lavelocidadangularde la partcula es 2_gH, determine la velocidad angular y la tensin de cada cuerda cuandor = H/2.LLmABgroH/2H/2Fig. P.2.13Fig P.2.144bgP.2.14Resp.UnapartculaPeslanzadahaciaarribadeslizando, enausenciaderoce, porlalneahelicoidaldenida en coordenadas cilndricas por = 4b, z = 3b.En t=0, la partcula P est en = 0, z = 0 y con(0) = .(a) Obtenga y escriba expresiones para el vector posicin, velocidad y aceleracin de P.(b) Obtenga la rapidez y el vector unitario tangente a la trayectoria.(c) Escriba la ecuacin de movimiento y sela para deducir de ella el tiempo quePtarda endetenerse.(b) Escriba la fuerza normal como una funcin vectorial explcita en el tiempo.P.2.15Resp.Si la partcula de la gura parte desde el punto=0 con rapidez inicial vo, determine el ngulomximo que alcanza en el semi-cilindro estando contnuamente adherida a el. Considere que noexiste roce.20PROBLEMAS 2. DINMICAFig P.2.15gvoRP.2.16Resp.Considere una partcula de masa m que desliza sin roce por el interior de una supercie cnica, enpresencia de gravedad. En coordenadas esfricas, la supercie queda denida por:ro2 r 2ro, = , 0 < 2,vo2rogro/2roFig. P.2.16La partcula es lanzada con una velocidad inicial horizontal vo= vo , cuando r = ro.Sedeseaconocerlascondicionesquedebecumplirvoparaquelapartculanuncasesalgadelasupercie del cono (en efecto, podra salirse por abajo o por arriba).(a) Escriba la ecuacin de movimiento y seprela en las ecuaciones escalares. Encuentreenfuncin de r.(b) Encuentre r2en funcin de r.(c) Cul es el mximo valor de vo tal que la partcula no se escape por arriba?(d) Cul es el mnimo valor de vo tal que la partcula no se escape por abajo?D, entonces, el rango de valores que puede tomar vopara que la partcula nunca se escape de lasupercie cnica.21PROBLEMAS 2. DINMICA2.1.1. Dinmica de Varias PartculasP.2.17Resp.Sol.Tres varas ideales (perfectamente rgidas y de masa despreciable) forman un tringulo equiltero delado D. El vrtice O est jo en el techo mientras que los otros dos vrtices tienen partculas de masam. El sistema oscila, en el plano del dibujo, en torno al punto jo O. La condicin inicial es (0) = oy(0)= 0. En lo que sigue puede usar, por cada fuerza F que desconozca, la forma F=ff , dondef es un escalar desconocido yf s debiera ser conocido.(a) Obtengalasexpresionesparalosmomentosangulares

O,

(G)Oy

Gsinhacerusodelarelacin que existe entre estos tres vectores.(b) Obtengalostorques O, (G)Oy Gsinhacerusodelarelacinqueexisteentreestostresvectores y escriba las ecuaciones a las que conduce cada una de las tres ecuaciones del tipo

=.(c) Encuentre la(s) condicin(es) para que las ecuaciones anteriores sean consistentes entre s.(d) Integre una vez la ecuacin a la que todas se redujeron.(e) Escriba la ecuacin de movimiento (2daley) del centro de masa y, usando esto con todo loanterior, obtengaenformatotalmenteexplcitalafuerzaexternatotal. Escribaadems, lafuerza (funcin de ) que el techo ejerce para mantener jo al punto O.DgFig. P.2.17OFig P.2.18abgOm1m2P.2.18Resp.Una barra rgida ideal sin masa de largo L=a + b puede girar en un plano vertical en torno a unpunto jo O que separa a la barra en un brazo de largo a y otro de largo b. En los extremos de labarra hay partculas de masas m1 y m2.(a) Determine el momento angular y el torque, con respecto a O, del sistema.(b) De lo anterior obtenga la ecuacin dinmica para el ngulo , e intgrela una vez.(c) Si el sistema es soltado desde el reposo con 0, este se acerca o se aleja de = 0?22PROBLEMAS 2. DINMICAP.2.19Resp.Dos partculas, de masas m1 y m2, que estn unidas por una cuerda de largo d, se mueven sin roce porel interior de un tubo. El tubo est unido de manera perpendicular a un eje que gira con velocidadangular constante . Inicialmente se suelta al sistema con movimiento nulo con respecto al tubo ycon la masa m1 a una distancia R del eje.(a) Escriba las ecuaciones de movimiento y seprelas en ecuaciones escalares.(b) Resuelva estas ecuaciones y encuentre las distancias de las partculas al eje, 1y2, comofunciones explcitas del tiempo.(c) Calcule el valor de la tensin de la cuerda.Fig. P.2.19dm2m1Fig. P.2.20 vom2mLgP.2.20Resp.Considere un sistema de dos masas m y 2m, respectivamente, unidas por una cuerda inextensible delargo L y colocadas sobre una supercie horizontal entre dos paredes paralelas, como se indica enla gura. El roce con la supercie es despreciable. Inicialmente, la lnea que une a las dos partculasesperpendicularalas2paredes. Sedaunimpulsoalapartculademasa2m, demodoquesuvelocidad inicial es vo, paralela a las paredes. Determine:(a) el tiempoquetranscurreantesdequealgunadelasdosmasaschoqueconunadelasparedes, y(b) la tensin de la cuerda justo antes del impacto.P.2.21Considere dos partculas de masa m cada una, unidas por una barra de largo L. El sistema se encuen-tra en equilibrio en la posicin vertical, en el borde de una supercie horizontal ubicada en z= 0,como se indica en la gura. Ent =0 la partcula 1 (inferior) se impulsa en forma horizontal conrapidez vo.(a) Determine el ngulo que la barra forma con la vertical y la velocidad vertical del centro demasa ( zCM) en funcin del tiempo.(b) Determine la velocidad vertical de la partcula 1 ( z1) en funcin del tiempo. Para qu condi-cin de vo la partcula 1 puede en algn momento ascender (es decir, tener z1> 0)?23PROBLEMAS 2. DINMICA(c) Determinelamagnituddelafuerzaquelabarraejercesobrelaspartculasmientraselsistema cae.Fig. P.2.21zmm12voz = 0g24SOLUCIONES 2. DINMICA2.2 SolucionesS.2.2Prob.Resp.(a)khFig. S.2.2Comenzamosporelegirunsistemadecoordenadascilndricascon origen tal que la coordenada z sea nula en el fondo del cilin-dro. Con esto el vector posicin inicialmente queda: r = R + hk.La posicin, velocidad y aceleracin para cualquier instante estdeterminada entonces por los vectores:r = R + zk, v = R + zk, a = R 2 + R + zkLas fuerzas existentes son el roce viscoso, de la forma Fr.v.= cv, la normal

N= N , yel peso mg= mgk. Reemplazando v en la expresin para el roce viscoso, las ecuacionesescalares de movimiento quedan: ) mR 2= N) mR= cR Integrablek) m z = mg c z IntegrableBuscamos vz(t) = z(t)k, que sale de integrar la ecuacin k):d zdt= (g +cm z) d zg +cm z= dt / z(t)_ zo=0,t_to=0mcln(1 +cmg z) = t z(t) =mgc_ecmt1_Para encontrar z(t) integramos z(t):dz =mgc_ecmt1_dt /z(t)_zo=h,t_to=0 z(t) = h _m2gc2ecmt_t0 mgct z(t) = h mgct m2gc2_ecmt1_(b) Para calcular la velocidad angular, integramos):d = cmdt /_o= voR,t_to=0 ln_R vo_ = cmt(t) =voR ecmt()25SOLUCIONES 2. DINMICA(c) La condicin a imponer para que d slo una vuelta (fi= 2), suponiendo que (h ),es que tambin el tiempo que demora en caer hasta el fondo del cilindro ser innito (t ).As, podemos integrar la ecuacin ():d=voR ecmtdt /=2_=0,t=_t=o 2= vomRc_ecmt_0= 0 + mvoRc c =mvo2RS.2.11Prob.Resp.(a) gFig. S.2.11Comenzamos por denir un sistema de referencia como elque se muestra en la gura, con origen en la posicin inicialdelbloque. Segneso, g =g sen g cos ylafuerzatotal sobre el bloque (mientras est bajando o en reposo) seescribir como:

F = mg + N kx

f ,dondeser el coeciente de roce esttico o dinmico dependiendo de la situacin. Si elbloque va cuesta arriba, fd= +fd .Recordemos entonces las condiciones del problema: resorte inicialmente en su largo natural(x = 0), y el bloque sin velocidad inicial. Acta el roce esttico con el plano, i.e, an no se hasobrepasado el lmite en el que el bloque desliza. El plano se va inclinando MUY lentamente:eso quiere decir (quizs el enunciado debe ser ms explcito en esto) que podemos asumirque y sontanpequeosquecadainstantesepuedeconsiderarcomounasituacinesttica en que el plano no se inclina.Ya con estas consideraciones, podemos hacer suma de fuerzas, en la situacin esttica parael bloque en x = 0, y para un ngulo arbitrario. Entonces:Fy : mg cos + N= 0Fx : mg sen fe= 0Usando ambas ecuaciones y recordando que [[

fe[[ e|

N| = emg cos , obtenemos que:mg sen emg cos La condicin de estar a punto de deslizar corresponde a la igualdad en la ecuacin anterior,pues la fuerza de roce esttico estar a un paso de ceder. Para ese instante lmite, se tendrque el ngulo de deslizamiento cumple con= arctan e .26SOLUCIONES 2. DINMICA(b) Ahoralasituacinesqueel bloquehacomenzadoadeslizarsobrelasupercie, quesemantendr desde ahora con una inclinacin .Es fundamental en este punto1replantear la ecuacin de movimiento. Ahora: ) m x = kx fd + mg sen ) mg cos = Ncon fd= dmg cos x =d xdx x = kmx + g(sen d cos ) x_0 xd x =x_0_kmx + g(sen d cos )_dx x22= k2mx2+ g(sen d cos )xAntes de seguir, recordar quees un valor que cumple la ecuacin sen =e cos , ypor lo tanto: x22= k2mx2+ g cos (ed)x. ()Como queremos buscar para qu valor de x el bloque se detiene, i.e, x = 0,_k2mx + g cos (ed)_x = 0La solucin nula indica el primer instante con velocidad nula (al momento de partir). La otrasolucin da:xmax=2mgk(ed) cos .Este valor es positivo gracias a quee>d(hasta donde conozco, esto ocurre en la granmayora de los casos).Por ltimo, como conocemos x en funcin de x, para calcular la velocidad mxima durante elmovimiento descendiente volvamos a la ecuacin x = kmx +g cos (ed), y calculemospara qu valor x se cumple x( x) = 0 (que es la condicin para que x sea mximo).0 = km x + g cos (ed) x =mgkcos (ed)Finalmente reemplazamos x en (), para obtener: xmax=_mk g cos (ed) .1En general, para jar ideas, he intentado representar como una discontinuidad este cambio cualitativo en el estadode un sistema, en cuanto a la intuicin que nos llevar realmente a cuestionar si podemos seguir usando o no la ecuacinde movimiento que escribimos en la parte (a). Este anlisis es en general necesario cuando, en presencia de friccin, ocurreun cambio de sentido en el movimiento.27SOLUCIONES 2. DINMICA(c) Queremos saber si es necesaria alguna condicin para que, una vez que se alcanza xmax, elbloque permanezca en reposo. Responder esto de manera rigurosa requiere de un anlisisbastante complejo. Si bien es largo, el mejor argumento que he encontrado es el que sigue.Calcularemos cul es el mximo valor detal que el bloque no se mueva si es dejadoen reposo con un estiramiento del resortex=(siempre con=), para nalmentecomparar max con xmax.Enestepuntohagamoselsiguienteanlisis: supongamos, sloporunmomento, quenoexistieraroceenlasituacin. Lanicaposicindeequilibrioposible(esdecir, si dejoelbloque en reposo, permanece en reposo) sera aquella en que: x(eq) = 0 mg sen keq= 0 eq=mgksen =mgke cos Luego, volviendo a nuestra situacin con roce, si se deja al bloque en x = eq y en reposo, setendr quefe= 0 (por decirlo as, no hace falta fuerza de roce).Entonces ahora debemos hacer un anlisis que consta de tres casos, poniendo atencin en elsentido en el que acta fe:caso(i)=eq. Es el caso trivial.

fe= 0. El bloque permanece en reposo sin restriccinalguna; es ms, ni siquiera es necesaria la existencia de una fuerza de roce esttico.caso(ii) 0, en este caso siempre se tendr quefe eN= mg cos e. No hace falta ninguna condicin para que permanezca en reposo.caso(iii) >eq. Enestecasolacomponentedelpeso, cuestaabajo, esmenorquelafuerza del resorte, cuesta arriba, entonces para mantener el equilibrio, el roce estticodebe apuntar cuesta abajo.

fe= +fe . Luego, para que x(x = ) = 0:0 = k +mg sen + fe= k +mge cos + fe fe= k mge cos Entonces, que se cumplafe emg cos 2mgke cos . max=2mgke cos Estemaxesel mximoestiramientoposibleparael cual, si sedejael bloqueenreposo, se mantendr en reposo.Los casos (i) y (ii) no exigen condiciones. En cambio, el caso (iii) exige que xmax< max paraque el bloque permanezca en resposo. Y de la parte (b) obtuvimos:xmax=2mgk(ed) cos < max No hace falta ninguna condicin (en ninguno de los 3 casos) para que el bloquepermanezca en reposo si se detiene en x = xmax.28SOLUCIONES 2. DINMICAS.2.12Prob.Resp.(a)hRo kFig. S.2.12Lo primero que se debe hacer es denir un sistema de refe-rencia (indicado en la gura) al cual le asociamos un sistemade coordenadas cilndricas, y escribimos el vector posicinque cumple la restriccin fsica del anillo: ste desliza por lahlice.r = Ro + (h R1)kEntonces:v = Ro R1kt =v|v|=Ro_R2o + R21 R1_R2o + R21k .Lanormal,comosiempre,debeserperpendicularalalambrehelicoidal,yestoqueparamuchas personas es difcil de visualizar signica que la normal tiene componentes en ,y k:

N= N + N + Nkk.Sin embargo, la nica forma de escribir una normal realmente factible, es decir, perpendicularal alambre, es que se cumpla la ecuacin dada por

N t = 0,NRo_R2o + R21NkR1_R2o + R21= 0 N=R1RoNk .(b) La aceleracin y la fuerza total son: a = Ro Ro 2 R1 k y F = mgk + N +R1Ro Nk +Nkk cRo + cR1 k.Separado en ecuaciones escalares, queda: ) mRo 2= N) mRo =NkR1RocRo k) mR1 = mg + Nk + cR1 (c) Como debemos calcular(t), entonces debemos buscar una ecuacin integrable en la que notengamos coecientes desconocidos. Ms explcitamente, no podemos integrar ninguna deestas ecuaciones pues no sabemos cmo varan N y Nk en funcin de las coordenadas o deltiempo. Buscamos una ecuacin integrable despejando Nkde la ecuacink) y reemplazn-dola en), lo que da: =gR1R2o + R21cm d dt=gR1R2o + R21cm 29SOLUCIONES 2. DINMICA_0d R1R2o+R21g cm =t_0dtmc_0d R1R2o+R21mgc= t mcln_R1R2o + R21mgc_0= t ln_1 R2o + R21gR1cm _ = cmt 1 R2o + R21gR1cm = ecmt(t) =mcgR1R2o + R21_1 ecmt_ .30SOLUCIONES 2. DINMICAS.2.17Prob.Resp.(a)2g1 OT1T2Fig. S.2.17En este problema ser muy til tener denidas las co-ordenadas polares que se muestran en la gura, asoci-adas al ngulo que dene cualquier posicin del sis-tema. Bajoestesistemadecoordenadas,podemosde-scomponer gy escribir la posicin de las masas 1 y 2desde el origen O.g = cos sen r1O=32D 12D , r2O=32D + 12D Tambintendremos que tener la posicin del centro de masa G y la posicin de cada partcula vistadesde G como origen:rG=32D , r1G= D2, r2G=D2.Dejo al estudiante el clculo explcito de

O,

(G)Oy

G, advirtiendo con nfasis que es nece-sarioconocercabalmentesusignicado: elsubndiceindicaconrespectoaqupuntoestoymidiendo los vectores posicin de las partculas. El superndice (G) quiere decir que se cal-cula como si el sistema fuera una sola partcula en G con la masa de todo el sistema (en estecaso 2m). Estos clculos entregan:

O= mriOviO= 2mD2k

(G)O= 2mD234 k =32mD2k

G=12mD2k(b) O= riO

Fext(i), GO=rG

Fext, G= riG

Fext(i).Debe notarse en este punto que la tensin de la barra que une las dos masas es una fuerzainterna, quenoalteraladinmicadel sistema; comprobarloanteriorpuedeserdegranutilidad para la comprensin del lector.Lo que an nos falta escribir son las tensiones T1y T2segn las coordenadas que estamosusando.

T1= T1 cos(/6) + T1 sen(/6) ,

T2= T2 cos(/6) T2 sen(/6) .De esta manera, las fuerzas externas sobre la partcula i (omitiendo el aporte de la tensininterna) y la fuerza total externa son:

Fext(i)= mg +

Ti,

Fext= Fext(1) +

Fext(2)y, por lo tanto, los torques resultan:31SOLUCIONES 2. DINMICAO= 3Dmg sen k(G)O= (3Dmg sen +34D(T1T2))kG=34D(T2T1)kHaciendo

= () para cada caso:()O2mD2 = 3Dmg sen ()(G)O32mD2 = (3Dmg sen +34D(T1T2))()G12mD2 =34D(T2T1)(c) De las ecuaciones anteriores se deduce que, para cualquier valor de , T1T2= mg sen .(d) Con la ecuacin anterior, las 3 ecuaciones son equivalentes a la primera: = 32gD sen .Entonces,d d= 32gD sen _od = 32gD_osen d,lo que con las condiciones iniciales(0) =o= 0 y (0) = o implica:2=g3D(cos cos o)(e) La 2aley de Newton para el centro de masa G es: FEXT= M

AG, donde, en este caso, M = 2my

AG= rG= D322 +D32 .La fuerza externa total sobre el sistema son las tensiones

T1y

T2y la gravedad que actasobre cada masa, FEXT= T1 +

T2 + 2mg.Separada ya en ecuaciones escalares segn y la ecuacin de movimiento es: ) 32(T1 + T2) + 2mg cos = D3m 2)12(T1T2) 2mg sen = D3m La ecuacin) es equivalente a la ecuacin()(G)O. Si miramos la parte (d), podemos reem-plazar2en ), y junto con la ecuacin de la parte (c), tendremos el sistema de ecuacionespara T1 y T2, cuya solucin es:T1=mg2sen + 53mg3cos 3mg cos oT2= mg2sen + 53mg3cos 3mg cos oBajo la asumida suposicin de que las barras transmiten la tensin de manera instantnea,tendremos que la reaccin del techo debe ser, simplemente FT=

T1

T2.32CAPTULO3TRABAJO Y ENERGA3.1 ProblemasP.3.1Resp.Un anillo de masamse encuentra inserto en una barra vertical. El anillo est unido mediante unresorte ideal de constante elstica k y largo natural nulo a un punto jo P ubicado a una distanciaDde la barra. El anillo est inicialmente en reposo en el punto O, tal que el resorte se encuentrahorizontal (ver gura). La rugosidad de la barra aumenta desde el punto O hacia abajo, lo que semodela con un coeciente de roce dinmico variable en la formad= ay donde a es una constanteconocida e y es la distancia a lo largo de la barra medida desde el punto O hacia abajo.(a) Muestre que la normal ejercida por la barra sobre el anillo es constante y determine su valor.(b) Determine hasta qu distancia ymax desciende el anillo.(c) Indiqueel trabajorealizadoporcadaunadelasfuerzasqueactansobreel anilloenelrecorrido descrito en la parte (b).kgOPD = ayyFig. P.3.1 r4Fig. P.3.233PROBLEMAS 3. TRABAJO Y ENERGAP.3.2Resp.Sol.Una partcula P de masa m se mueve sin roce sobre la supercie exterior de un cono de ngulo /4.El sistema est muy lejos de la Tierra, no hay peso. Pcomienza su movimiento a distancia rodelvrtice (ver gura P.3.2), con velocidad perpendicular al eje Z y velocidad angular(0) = o. Apartedelanormal, hayunafuerzadeatraccinqueelejeZejercesobrelapartcula. Encoordenadascilndricas esta fuerza es

f = B 2(3.1.1)donde B es una constante conocida sucientemente grande para que, dadas las condiciones iniciales,P no pueda despegarse del cono.(a) Encuentre la velocidad angular de P en funcin de la coordenada esfrica r.(b) Determine si f es o no conservativa.(c) Escriba la energa mecnica total en trminos de r y r.(d) Existensolucionesenquelacoordenadaesfricarestacotadaentredosvalores, rminyrmax?P.3.3Resp.Una masa puntual m se encuentra bajo la accin de un campo gravitatorio de una esfera de radioR, la cual tiene un tnel que la atraviesa como se indica en la gura. La esfera tiene una masaMconocida y, por lo tanto, una densidad = 3M/(4R3) tambin conocida. Considere que se cumpleM>> m y que no hay fuerzas externas. Suponga adems que la masa m parte desde el reposo enr = .(a) Determine la magnitud y direccin de la fuerza gravitacional que ejerce la masa M sobre lamasa puntual m en funcin de la distancia r entre la masa m y el centro O de la esfera, paraambos casos r > R y r R.Nota: Para r R considere que solamente la masa Me(r) al interior de una esfera de radio racta sobre la masa puntual. Adems, puede considerar que esta masa efectiva se comportacomo una masa puntual que se ubica en el centro O.(b) Cul es la rapidez vs de la masa m cuando pasa por la supercie de la masa M?(c) Cul es la rapidez vo de la masa m cuando pasa por el centro O de la esfera de masa M?Fig. P.3.3RrmM kgdABxyFig. P.3.434PROBLEMAS 3. TRABAJO Y ENERGAP.3.4Resp.Una partcula de masa m desliza sin roce por una rampa cuya forma est denida por la ecuacin:_x aa_2+_y bb_2= 1La partcula parte desde el reposo en el punto A y al alcanzar el punto B sigue deslizando sobre unasupercie horizontal rugosa de largo d para nalmente chocar con la plataforma de masa desprecia-ble que est ja a dos resortes, como se indica en la gura. Como resultado del impacto, la partculase detiene cuando los resortes de comprimen una distancia . Considerando que la constante elsticade ambos resortes es k, calcule el coeciente de roce cintico que debe existir entre la partcula yla supercie horizontal.P.3.5Resp.Sol.Una partcula puntual que se mueve por una circunferencia de radioa es atrada por un punto Cde la misma, por una fuerza de mdulo F= k/r2, donde r es la distancia al punto C. Determine eltrabajo de la fuerza al ir la partcula del punto A, diametralmente opuesto a C, a un punto B ubicadoa medio camino entre C y A, tambin en la circunferencia.Fig. P.3.5ABCkgcmaxvoFig. P.3.6P.3.6Resp.Unbloque demasamselanza poruna superciehorizontalrugosa conuna velocidadinicialvo.Elbloqueestatadoalextremodeunresortedelargonatural Loyconstanteelsticak, comosemuestra en la gura. En el instante inicial, el resorte se encuentra sin elongacin ni compresin (ensu largo natural).Determine el coeciente de roce cintico c, si se sabe que el bloque se detiene luego de avanzar unadistancia max.35PROBLEMAS 3. TRABAJO Y ENERGAP.3.7Resp.Sobre un plano horizontal liso desliza una partcula de masa m, empujada por una barra que giracon respecto a un punto jo con velocidad angular o con respecto a uno de sus extremos.La partcula tiene roce slo con la barra, y est caracterizado por coecientes de roce estticoeydinmico d. En la condicin inicial la partcula se encuentra a una distancia o del eje de rotacin yen reposo relativo respecto de la barra.(a) Encuentre una expresin para la distancia de la partcula al eje de rotacin, en funcin deltiempo, (t).(b) Determineel trabajoquerealizalafuerzanormal desdeel momentoinicial hastaquelapartcula alcanza una distancia 1 con respecto al centro de giro.g odFig. P.3.7gR2RPFig. P.3.8P.3.8Resp.Dos partculas de igual masa m estn unidas por una cuerda ideal de largo 2R. El sistema se sueltaa partir del reposo, con la cuerda en posicin horizontal, estirada y sin tensin. En ese instante eltope P, jo con respecto al suelo, se encuentra a una distancia R por debajo del punto medio de lacuerda. Se sabe que el tope puede soportar una fuerza mxima de (7/2)mg. Determine el ngulo enel instante que se rompe el tope.P.3.9Resp.Sol.Una partculaP de masa m desliza sin roce por el interior de un cono invertido. El cono tiene ejevertical, vrticeabajoyngulocaracterstico =/3. Lapartculaestunidaaunhilo, siempretenso, que pasa por el vrtice del cono. La tensinTes tal que la distancia entre la partcula y elvrtice disminuye en la forma: rovot. En el instante inicial P est a distancia ro del vrtice girandode modo que(0) = o, en torno al eje central.(a) ReduzcalasegundaleydeNewtonatresecuacionesescalareseindiqueladependenciaexplcita en t de cada una de las coordenadas de P.(b) Obtenga la condicin que debe cumplirse para que el hilo est tenso en el instante inicial.(c) Obtenga el trabajo WT de la tensin T desde el momento inicial hasta el instante t1 en que ladistancia de P al vrtice es la mitad de la inicial. Explique el signicado fsico del signo deeste trabajo.36PROBLEMAS 3. TRABAJO Y ENERGA(d) Obtenga la energa cintica en un instante t arbitrario y de ah obtenga la diferencia K1K0entre la energa cintica nal (t= t1) y la inicial(t= 0). Cunto vale K1K0WT? Porqu?gvoTFig. P.3.9Fig. P.3.10g RvoCOP.3.10Resp.Unapartculademasamsemueveconrapidezconstantevoporel exteriordeunsemicilindrohorizontal de radio R. Adems del peso y la fuerza normal que ejerce la supercie, la partcula estsometida a otras dos fuerzas. La primera es una fuerza F1 que est descrita por la expresin:

F1= c(xz2 + x2zk)dondeces una constante conocida y las coordenadasx, zse miden respecto al origen O. La otrafuerza, F2, para la cual no se cuenta con una expresin explcita, es la que permite que la partculase mueva con rapidez constante en su trayectoria desde el origen O a la cspide C. Se pide:(a) Mostrar que la fuerza F1 es conservativa.(b) Determinar una expresin para el potencial asociado a F1.(c) Determinar el trabajo efectuado por la fuerza F2 en el trayecto de O hasta la cspide C.P.3.11Resp.ConsidereuncuerpoconlaformadeunanilloderadioR, cuyamasatotal Mseencuentrauni-formemente distribuida en toda su extensin. Una partcula de masa m se encuentra atrapada porla fuerza de atraccin gravitacional que ejerce este cuerpo, movindose a lo largo de la lnea rectaperpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro (ver gura). Suponga queM>> m, demodo que el anillo no es afectado por la presencia de la masa pequea m.(a) Mostrar que la fuerza de atraccin sobre la partcula tiene la expresin:

F(z) = GMmz(z2+ R2)32k,donde la coordenada z y k se indican en la gura.(b) Si la partcula est inicialmente en reposo en z=R, calcule su velocidad cuando cruza elplano del anillo (z = 0).(c) Suponga que adems de la fuerza de gravitacin existe una fuerza no conservativa

Fnc= Fnc(z)k,dondeFnc(z)>0 y es el signo de z. Esta fuerza se opone entonces al movimiento de lamasa m. Dada la misma condicin inicial que en la parte (b), determine la funcin Fnc(z) demodo que la masa m llega al plano del anillo (z = 0) con velocidad nula.37PROBLEMAS 3. TRABAJO Y ENERGAIndicacin. Para la parte (a), calcule la componente de la fuerza de atraccin en la direccinkgenerada por un elemento dM del anillo, y luego integre sobre el anillo para conocer la fuerza totalde atraccin.zROkFig. P.3.11 Fig. P.3.12ABgxyP.3.12Resp.Considere un carro de funicular de masa m que se mueve desde el puntoA, de mxima velocidadde descenso, hasta el punto B en que se detiene. El movimiento ocurre sobre un riel recto de largoL que forma un ngulo con la horizontal. El carro cuenta con un motor que le ejerce una fuerzaparalela al riel, tal que su posicin a lo largo del riel sea x(t) = L sen( t2T), donde T es una constanteconocida.Se deben considerar, adicionalmente, los efectos de un roce dinmico entre el carro y el riel, cuyo coe-ciente es , y una fuerza de roce viscoso con el aire, que apunta en direccin contraria al movimien-to, con la forma Frv= cv, donde c es una constante conocida.Calcule el trabajo efectuado por el motor en el descenso del carro desdeA a B. Puede sernulo este trabajo? Explique su respuesta.P.3.13Resp.Considere un sistema con dos bloques, de masa m cada uno, unidos por cuerda ideal que pasa porunapoleatambinidealubicadaenelbordedeunasuperciehorizontaldelargod. Unodelosbloques puede deslizar sobre la supercie, con la cual tiene un coeciente de roce cintico variable,de la forma c= ax. En la expresin anterior, a es una constante desconocida.Inicialmente, se deja sobre la supercie al bloque, en reposo y en la posicin x = 0, donde comienzasu movimiento (ver gura). Determine el valor de la constante a tal que el bloque se detenga justoen el borde opuesto de la supercie.c= axxmgmdFig. P.3.13P.3.14Resp.En el instante inicial se tiene un bloque de masa m deslizando por un plano horizontal con veloci-dad vo. Hay dos fuerzas que van frenando al bloque: una fuerza de roce deslizante (bloque-plano),caracterizada por un coeciente de roce , y el roce viscoso lineal (bloque-aire), caracterizado por uncoeciente de roce c. Para hacer ms sencillas las expresiones, suponga que vo est dado por38PROBLEMAS 3. TRABAJO Y ENERGAvo=mgc,donde g es la aceleracin de gravedad.(a) Determine la velocidad v(t) como funcin explcita del tiempo y de ella obtenga el instantetmax en que el bloque se detiene.(b) Determine la distancia que alcanza a recorrer el bloque hasta detenerse.(c) Determine separadamente el trabajo que hace cada una de las dos fuerzas de roce desde elinstante inicial hasta que el bloque se detiene. Comente sobre el signicado de la suma deestos dos trabajos.P.3.15Resp.Considere un bloque de masa m que circula por el interior de una supercie cilndrica de radio Ryejevertical. Elbloquetambinseencuentraapoyadoenelsuelo, conelcualnotieneroce. Sinembargo, el contacto del bloque con la pared cilndrica est caracterizado por un coeciente de rocecintico. Inicialmente, elbloqueselanzaconunarapidezvo, comoloindicalagura. Sepidedeterminar:(a) La velocidad angular del bloque en funcin del ngulo recorrido,().(b) La velocidad angular del bloque en funcin del tiempo,(t).(c) Cunto tiempo tarda el bloque en detenerse? Qu ngulo recorre entre el instante inicial yel instante nal en que se detiene?(d) Calcule, por denicin, el trabajo realizado por la fuerza de roce cintico entre el instanteinicial y el instante en que el bloque se detiene.gvoFig. P.3.15P.3.16Resp.Unapartculademasamdeslizasinrocesobreunplanohorizontalinnito. Enalgnpuntodelplano hay un oricio por el cual pasa una cuerda ideal, que recoge a la partcula hacia el oricio. Elrecogimiento se realiza externamente a velocidad constante, vo (ver gura). En el instante inicial, lapartcula se encuentra a una distancia 0 del oricio y con una velocidad angular o.(a) Considerandocoordenadaspolaresenelplano, calcule(). Hint: expreseacomounaderivada total con respecto al tiempo.(b) Calcule la tensin de la cuerda en funcin de la distancia de la partcula al oricio, T().Qu ocurre con el valor de la tensin a medida que la cuerda es recogida y la partcula seacerca al oricio?39PROBLEMAS 3. TRABAJO Y ENERGA(c) Calcule, pordoscaminosdistintos, eltrabajoquerealizalatensindelacuerdaentreelinstante inicial y el instante en el cual la partcula se encuentra a una distancia 1 del oricio.gmTvoFig. P.3.1640SOLUCIONES 3. TRABAJO Y ENERGA3.2 SolucionesS.3.2Prob.Resp.(a) Para encontrar la velocidad angular en funcin de r hay que ver que, ya sea escribiendola fuerza

f en coordenadas cilndricas (como est dada en el enunciado) o en coordenadasesfricas, se tendr que la componente segn es cero. Entonces, por la 2aley de Newton,a= 0 =1r sen ddt(r2 sen2)y como = 3/4 r2 = constante = r2o o= r2oo. De lo anterior: =r2oor2.(b) Hay varias formas de demostrar que esta fuerza es conservativa. La primera es calcular lasderivadascruzadas, paralocual debemosescribirlafuerzaencoordenadascartesianas1.Para hacerlo, notemos que f = B2 = B3, donde estamos deniendo = x + y .Tomando en cuenta que =_x2+ y2, se obtiene:fx= Bx_x2+ y23, fy= By_x2+ y23, fz= 0Es directo demostrar que fixj= fjxi.Eso signica que existe un potencial escalar Utal que

f =

U. Ahora, en coordenadascartesianas,

U=Ux +Uy +Uz k. ParallegaralafuncinUsepuedehacerunainte-gracin, poniendoatencinenquelasderivadassonparciales, sinembargo, esmuytiltratar de adivinar lo que uno imagina que debera ser U, y luego corroborar que es la fun-cin correcta. En este caso, se comprueba fcilmente queU= B_x2+ y2= B.Es importante notar que encontrar el potencial escalar U es suciente para demostrar quefes conservativa, y que tiene la ventaja evidente de que, valga la redundancia, se encuentra elpotencial, cosa que no se logra mostrando que las derivadas cruzadas de f son iguales.He dejado una ltima alternativa la ms simple al nal slo porque en un curso de mecni-canoesnecesariamenteconocidoque, encoordenadascilndricas, elgradienteseescribe

U=U +1U +Uz k.1La razn de que esto no sea vlido para cualquier sistema de coordenadas tiene que ver con el operador

(). Lacondicin para que exista una funcin escalar U tal que f =

U es que

f = 0, lo que en coordenadas cartesianas seescribe( fzy fyz ) ( fzx fxz) + ( fyx fxy )k= 0; en otras coordenadas, el rotor es distinto y no se puede extender elconcepto de las derivadas cruzadas.Se demuestra que para cualquier funcin escalar A, (

A) = 041SOLUCIONES 3. TRABAJO Y ENERGAComo

f = B2 =

U U=U(), esdecir, Uslodependedelacoordenada.Luego,U= B2 U= B.(c) La energa total (constante, pues la normal no hace trabajo) ser entonces E = K +U, dondeK=12mvv, y U es el potencial escalar asociado a

f , que ya encontramos. En coordenadasesfricas, v = r r + r + r sen = r r + r 22.Reemplazando la expresin que se tiene para y recordando que, en este caso, = r/2,E =12m r2+ mr4o2o4r22Br.(d) Si existen, los valores rmin y rmax que acotan a la coordenada r son, en general, denominadospuntos de retorno. Y por razones que debieran ser obvias, la coordenada r alcanza mnimos omximos cuando su derivada se anula. Buscamos, por lo tanto, valores de r para los cuales r = 0.Para esto, tengamos en cuenta dos cosas con respecto a la ltima expresin para la energa:1. Dadoquelaenergaseconserva(lanicafuerzanoconservativa,

N, norealizatrabajo), y como inicialmente r = 0 y r = ro, la energa vale siempre:E =mr4o2o4r2o2Bro2. Cualquier punto de retorno r hace que r = 0, es decir:E =mr4o2o4r22BrEntonces, de estas dos ecuaciones,mr4o2o4r2o2Bro=mr4o2o4r22Brmr4o2o4_ 1r2o1r2_2B_ 1ro1r_ = 0_ 1ro1r__mr4o2o4_ 1ro+ 1r_2B_ = 0De esta ltima ecuacin, se desprenden las soluciones:r1= roy r2=ro42Bmr3o2o1Se concluye lo siguiente:Laprimerasolucintenaqueserro. Lasegundatienesentidofsico(r2>0) slosi secumple:B >mr3o2o42.42SOLUCIONES 3. TRABAJO Y ENERGAS.3.5Prob.Resp.Usaremos las coordenadas polares para un sistema de referencia con origen en el centro de la circun-ferencia. El ngulo crece en el sentido en que se mueve la partcula, y vale cero cuando la partculase encuentra en el punto A. Adems, = a.La magnitud de la fuerza atractiva est dada en el enunciado, F = k/r2, donde r es la distancia entreC y la partcula. Del dibujo debemos encontrar, entonces, la direccin de la fuerza atractiva y el valorde r en funcin de y de los datos. CABr

FFig. S.3.5Para el valor de r usamos el teorema del coseno, notando que el ngulocorrespondiente es :r2= a2+ a22a2cos( ) = 2a2(1 + cos )La proyeccin de la fuerza F en el sistema polar elegido queda:

F = kr2 cos(/2) +kr2 sen(/2)El desarrollo que estamos haciendo tiene sentido si queremos calcular el trabajo entre el puntoAy elBpor la denicin de trabajo (WBA=_rBrA

Fdr). Debe notarse que la fuerza en cuestin esconservativa,puesesunafuerzacentral(concentrodeatraccinenC)ydependeexplcitamenteslo de la coordenada r, por lo tanto si se busca la funcin potencial correspondiente, el trabajo de Fentre A y B se obtiene con la frmula Wtotal= K, pues como E = cte, K = U. El trabajo pedidoES el trabajo total porque la fuerza normal no trabaja (

Ndr).Para calcular la integral de trabajo, noten que el radio es siempre constante. Por eso, d = 0. Luego,al diferenciarr = , se obtiene dr = ad. As:

Fdr =akr2sen(/2)d=ak sen(/2)2a2(1 + cos )d WBA=k2a/2_0sen(/2)1 + cos dSlo falta notar que:cos = 2 cos2(/2) 1 1 + cos = 2 cos2(/2)y quesen(/2)2 cos2(/2)=dd_1cos(/2)_ WBA=k2a_1cos(/2)_/20=k2a_2 1_WBA=k2a_2 1_43SOLUCIONES 3. TRABAJO Y ENERGAS.3.9Prob.Resp.(a) La geometra del problema nos permite elegir coordenadas esfricas para la descripcin delmovimiento. Las fuerzas actuando sobre la partcula son como lo muestra la gura. r

N

T

TmgFig. S.3.9

N = N

T = T rmg = mg cos r + mg sen Por otra parte, la aceleracin en coordenadas esfricases a = ( r r 2r 2sen2) r+(r + 2 r r 2sen cos ) +1r sen ddt(r2 sen2) .Con respecto a las coordenadas, del enunciado tenemos directamente quer = rovot r = vo, r = 0, y = /3 == 0.De esa forma la ecuacin de movimiento, separada en ecuaciones escalares, queda: r) T= m(rovot) 234 mg2) N=32mg + m(rovot) 234)ddt(r2 sen2) = 0De la ecuacin) obtenemos que, como el trmino dentro de la derivada debe ser constante,entonces en particular se puede evaluar en t = 0:(rovot)2 = r2oo =r2oo(rovot)2Por lo tanto, si escogemos que (t = 0) = 0,(t) =r2oovo1(rovot) roovo(b) Si evaluamos la ecuacin r) para t= 0, obtenemos que: T(0)=34mro2o mg2. Luego, sise desea que en el instante inicial el hilo est tenso, debe imponerse que T(0)>0, lo queentrega la condicin:ro2o>23g .44SOLUCIONES 3. TRABAJO Y ENERGA(c) A grandes rasgos, siempre hay dos formas de calcular el trabajo que realiza una fuerza: (i) pordenicin_WF=_

Fdr_, y (ii) a travs de los teoremas _Wtotal= Kf Ki, Wnc= Ef Ei.En ocasiones ser til deducir tambin lo siguiente a partir de los teoremas:Wtotal= Wc +WncWc= WtotalWnc= Kf Ki(Ef Ei)Wc= UiUf,donde Wc es el trabajo de todas las fuerzas conservativas y U es la suma de los potencialesasociados a cada fuerza conservativa.Forma (i): Para calcular el trabajo por denicin, debemos primero conocer dr. Para esto, nota-mos que, en coordenadas esfricas:drdt=drdt r + rddt + rddtsen Esto lo sealo como ayuda intuitiva para entender que:dr = dr r + rd + rd sen Ahora, como = /3 se mantiene constante, d= 0. As,dr = dr r + rd sen .Porotrolado, debemosrecordar, delaparte(a), quer =ro vot, y =r2oor2.Entonces, de la ecuacin ( r), la tensin es:T=mrr4o2or434 mg2=mr4o2or334 mg2

T= _mr4o2or334 mg2_ rWT=_

Tdr = ro/2_ro_mr4o2or334 mg2_drWT=98mr2o2o mgro4.Notarque si se cumple la condicin de la parte (b), este trabajo es positivo, comotiene que ser.Forma (ii): En este problema, tenemos 3 fuerzas actuando sobre la partcula. Entonces,Wtotal= Wmg +WT +WN.Pero

Ndr WN= 0.As, calcularemos WT= WtotalWmg, con Wtotal= Kf Ki y Wmg= UiUf, donde45SOLUCIONES 3. TRABAJO Y ENERGAU es la energa potencial gravitacional.Dadoqueg = gk, salvounaconstanteaditiva, U(z) =mgz, conz =0enelvrtice del cono. Recordando la relacin entre coordenadas esfricas y cartesianas,z=r cos , para ri=roy rf=ro/2, tendremos zi=ro/2 y zf=ro/4 respectiva-mente. Entonces,Wmg= U(zi) U(zf ) = mg(ro/2 ro/4) Wmg=mgro4.Ahora, para el trabajo total necesitamos la energa cintica, y para ello la velocidad.v = r r + r + r sen = vo r + r2oorsen As,Ki=12mv2i=12m(v2o + r2o2o34)Kf=12mv2f=12m(v2o + 3r2o2o) Wtotal=98mr2o2oy por lo tanto,WT=98mr2o2o mgro4.(d) Al responder de ambas formas la parte (c) hemos respondido parte de la (d).Ya escribimos la velocidad para un r cualquiera, por lo que slo basta reemplazar r = rovot,para obtener que:K(t) =12m_v2o + 34r4o2o(rovot)2_ .Tambin obtuvimos ya la diferencia de energa cintica, que corresponde al trabajo total:Kf Ki=98mr2o2o.Con todo lo dicho, incluso sin hacer clculos el alumno debe ser capaz de reconocer que, envirtud de que WN= 0, Kf KiWT corresponde al trabajo del peso Wmg.46CAPTULO4EQUILIBRIO Y OSCILACIONES4.1 ProblemasP.4.1Resp.Un resorte de constante elstica k y largo natural b tiene una partcula de masa m en un extremo,mientras que el otro extremo est jo a una pared en un punto Q. Una barra ideal (masa despreciable)de largo2b est sujeta en un extremo a una rtula, a distancia2b bajo Q como lo indica la gura.En el otro extremo la barra est ja a la partcula de masa m.(a) Cunto debe valer m para que = /2 se un punto de equilibrio estable del sistema?(b) Obtenga la frecuencia angular de pequeas oscilaciones en torno a ese punto de equilibrio.Fig. P.4.12b2bk, bQgFig. P.4.2LLDDk, loOP.4.2Resp.Se tiene una barra sin masa que puede rotar libremente en torno a su punto medio, jo en O. Enlos extremos de la barra hay dos masas m, las cuales a su vez estn unidas a resortes idnticos de47PROBLEMAS 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONESconstante elstica k y largo natural lo. Considere queD=4loyL=2lo. El movimiento ocurre enausencia de gravedad.(a) Determine los puntos de equilibrio del sistema y su estabilidad.(b) Si el sistema es soltado desde una conguracin cercana al nico equilibrio estable, calculela frecuencia de pequeas oscilaciones.(c) Considere, porltimo, queel sistemaessumergidoenunmedioviscosodemaneratalquelamasainferiorexperimentaunafuerzadeltipo

F= v, con d, que van a lo largo del alambre.(a) Encontrar los puntos de equilibrio y analizar estabilidad.(b) Demostrar que en este caso, la frecuencia de peq. osc. en torno al punto de equilibrio establees: 2=2_2 12_2R d2R2+ d2g48PROBLEMAS 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONESP.4.5Resp.Sol.Un hilo de largo L que est sujeto a un puntoA pasa por una masa libre m (puede deslizar por elhilo sin roce), pasa por una polea ja B y luego termina vertical, teniendo en su otro extremo otrapartcula de masa m. La parte vertical del hilo tiene un largo y variable, como sugiere la gura. Lamasa libre se mantiene siempre equidistante de los puntos A y B pero puede subir o bajar, de modoque los tres puntos siempre forman un tringulo issceles. La distancia entre A y B es D.(a) Obtenga una relacin entre la posicin verticalyde la masa de la izquierda y la posicinvertical x de la masa central para luego obtener la energa potencial asociada a este sistema.Obtenga valor(es) de x para posicin(es) de equilibrio. Describa su estabilidad.(b) Escriba la energa cintica K del sistema en funcin de x y de x.(c) Obtenga la expresin aproximada para K en torno a la(s) posicin(es) de equilibrio y obtengala(s) frecuencia(s) de pequeas oscilaciones.g yDxmmBAFig. P.4.5ogk, lomFig. P.4.64.1.1. Oscilaciones amortiguadasP.4.6Resp.Una esfera de masa m tiene un agujero que le permite deslizar sin roce a lo largo de una barra rgidadispuesta horizontalmente que rota con velocidad angularoconstante. La esfera est unida al ejede rotacin mediante un resorte (k, lo).Por alguna razn, se ejerce sobre la esfera una fuerza de roce viscoso, de la forma Fv= c .La esfera se libera en reposo relativo a la barra con el resorte no deformado.Determine (t) para todos los valores posibles de c. Suponga quekm> 2o.4.1.2. Oscilaciones acopladasP.4.7Resp.Sol.Resp.Dospartculasdeigual masamestnunidasporunresortedeconstanteelsticak. Unadelaspartculasestunidaaltechoporotroresorteidntico, tambindeconstanteelsticak, ylaotrapartcula cuelga libremente. Considere movimiento vertical solamente.(a) Escriba las ecuaciones de movimiento para este sistema.(b) Calcule las frecuencias propias del sistema.49PROBLEMAS 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONES(c) Determine los modos normales del sistema y descrbalos cualitativamente.gkkmmFig. P.4.7gk, lok, loR12mmFig. P.4.8P.4.8Resp.Dos masas iguales quedeslizansinrocepor unriel circunferencial deradioR, seencuentranacopladas por dos resortes iguales, de constante elstica k y largo natural lo. Suponga que el planodenido por el crculo es perpendicular a la gravedad, de modo que sta no afecta la dinmica delas masas.(a) Determine la conguracin de equilibrio.(b) Calcule las frecuencias propias de oscilacin.(c) Determine los modos propios de oscilacin. A qu tipo de movimiento corresponde cadauno?P.4.9Resp.Una cuerda de largo 3a y de masa despreciable tiene adosadas dos masas iguales m, una en la posi-cin a y la otra en 2a a partir de la pared (ver gura). No hay gravedad.Suponga que la componente horizontal de la tensin de la cuerda, , es constante, y que slo haydesplazamientos transversales, es decir, slo hay movimiento en el eje vertical del dibujo, y las posi-ciones horizontales permanecen constantes.(a) Escriba las ecuaciones de movimiento aproximadas para las dos masas.(b) Calcule las frecuencias propias de oscilacin.(c) Determine los modos normales y descrbalos cualitativamente.50PROBLEMAS 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONESmmFig. P.4.9mBgk, loFig. P.4.104.1.3. Oscilaciones forzadasP.4.10Resp.Sol.Considere un bloque de masa m que est apoyado sobre un resorte de constante k y largo naturallo, bajo la accin de la gravedad. El punto B de donde se sostiene el resorte se encuentra en t = 0 alnivel de la mesa.(a) Encuentre la altura de equilibrio de la masa.(b) En t =0, cuando la masa est quieta y en la posicin de equilibrio, el puntoBcomienzaa oscilar verticalmente.El movimiento deBpuede ser descrito como rB(t) =Ao sin(t) .Encuentre la ecuacin que describe el movimiento de la masa.(c) Resuelva la ecuacin de movimiento para las condiciones iniciales dadas.(d) Manteniendo la amplitud Aoja, considere que la frecuencia es menor que la frecuenciade resonancia. Cul es la frecuencia mxima para que la masa nunca choque con la mesa?P.4.11Resp.Un carro de largo 2lcy masaMpuede deslizar sin roce por un riel de largoL. El carro tiene jo,acadalado, unodelosextremosdeunresorteideal(masanula), deconstanteelsticakylargonatural lo. El extremo libre de cada resorte se ja a dos paredes ubicadas en los extremos del riel. Setiene, as, un sistema resorte-carro-resorte.Sobre el carro se monta un motor, capaz de hacer girar con velocidad angular un brazo de masadespreciable y largoR en cuyo extremo hay una masa m (ver gura). En la prctica, puede sercontrolada conectando el motor a una fuente de voltaje variable, pero para sus clculos considereque es constante. Puede suponer que inicialmente el brazo-masa se encuentra horizontal y haciala derecha.(a) Encuentrelaposicindelcentrodemasadelsistema, enfuncindelacoordenadaxdelcentro del carro, medida desde la pared izquierda del riel. Escriba la 2oley de Newton parael centro de masa.(b) Resuelva la E.D.O. resultante para x(t), usando como condiciones iniciales que x(0)= 0 yque el sistema parte en el punto de equilibrio x(0) = L/2.51PROBLEMAS 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONES(c) Tomeel lmitedex(t)cuandotiendea lafrecuenciade resonanciao,que usteddebeidenticar. Puede serle til la Regla de LHpital.k, lok, loRmM2lcLgFig. P.4.1152SOLUCIONES 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONES4.2 SolucionesS.4.5Prob.Resp.(a) La relacin para x e y viene del hecho suponer que el hilo es ideal (inextensible y sin masa).As, a partir de la geometra, observamos quex, yy el largo total del hilo, L, cumplen larelacin:g yDxmmFig. S.4.5L = y + 2_D24+ x2y = L _D2+ 4x2.Con la relacin anterior, podemos escribir el potencial gravitacional de ambas masas slo enfuncin de x:U(x) = mgx mgyU(x) = mg(x + L _D2+ 4x2) .Las posiciones de equilibrio se buscan haciendodUdx (xeq) = 0,dUdx (xeq) = mg +4mgxeq_D2+ 4x2eq= 0 xeq= D23Es claro que xeq= D23no es una solucin fsica factible, pues en esa posicin la cuerda nopuede estar tensa. As:xeq=D23.Para la estabilidad evaluamos xeq end2Udx2 :d2Udx2 (xeq) =4mgD2(D2+ 4x2eq)3/2d2Udx2 (xeq) =33mg2D.Comod2Udx2 (xeq) > 0, entonces xeq es una posicin de equilibrio estable.53SOLUCIONES 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONES(b) La energa cintica es la suma de las energas cinticas de cada masa:K =12m x2+ 12m y2Paraencontrar yenfuncindexy xvolvemosalarelacinencontradaenlaparte(a).Derivando esa relacin c/r al tiempo obtenemos: y = 4x xD2+ 4x2 y2=_16x2D2+ 4x2_ x2K =12m_D2+ 20x2D2+ 4x2_ x2.(c) Este es un problema atpico en que la energa cintica no depende nicamente de la derivadatemporal de la coordenada ( x en este caso), sino tambin de la coordenada misma (x en estecaso).Cuandosetieneunsistemaconungradodelibertad(esdecir, descriptibleporunasolacoordenada, digamos) y la energa mecnica total queda escrita como: E=12 2+ U().En particular, la energa cintica queda K =12 2, con =constante. En tal caso, la frecuenciade pequeas oscilaciones en torno a un punto de equilibrio estable, eq, se escribe como:2p.o.=d2Ud2 (eq)Este es un caso en que no es una constante, pues depende de la coordenada x. En esta solu-cin se propone como aceptable usar como aproximacin(x) (xeq), para luego aplicarlafrmulaanterior. Sinembargo, sedejaconstanciadequeexisteunmtodomejorpararesolver el problema. Quien escribe reconoce no manejar de manera correcta tal mtodo, yes slo por eso que, en esta versin, se mantendr lo propuesto ms arriba. La aproximacinsimple mencionada pide evaluar (xeq) :(x) = m_D2+ 20x2D2+ 4x2_ (xeq) = 2m,por lo tanto, usando el valor ded2Udx2 (xeq) encontrado en la parte (a):2p.o.=33g4D.54SOLUCIONES 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONESS.4.7Prob.Resp.(a) Comenzamosdeniendolascoordenadasx1yx2querepresentanlaposicinvertical, apartir del techo, de las masas 1 y 2, respectivamente. Entonces, si se dene segn el sentidoen que apunta la gravedad, la ecuacin de movimiento segn queda, para cada masa:gx1x212Fig. S.4.7masa 1 : m x1= mg k(x1lo) + k(x2x1lo)masa 2 : m x2= mg k(x2x1lo)(b) Notemos que, con un poco ms de trabajo, las ecuaciones anteriores quedan como sigue: x1=km(x22x1) + g, x2= k(x2x1) + g + klomAs, estas ecuaciones acopladas se pueden escribir en la forma matricial:_x1x2_ =km_ 2 11 1_ _x1x2_+_gg +klom_Este sistema lineal, luego de denir X =_x1x2_, lo expresamos de la forma:

X = M

X + C,y as podemos remarcar lo siguiente: toda la informacin de este sistema relacionada conlos modos y frecuencias propias de oscilacin est contenida en la matriz M, siendo, en esteaspecto, totalmente irrelevante el vector constante C =_gg +klom_.1Buscar frecuencias propias de oscilacin signica buscar soluciones en que todas las coorde-nadas del sistema oscilan con la misma frecuencia (x1y x2en este caso), lo que se expresacomo X = eit

Xo. Entonces se prueba esta solucin en la ecuacin homognea:

X = (i)2eit

Xo2

Xo= M

Xo1Gracias a que las ecuaciones para las masas son l.i. (no son redundantes), entonces las las de la matrizM son l.i.,y por lo tantoM es invertible. Entonces es claro que una solucin particular del sistema inhomogneo

X=M

X + C esla solucin constante

Xp= M1

C. De esta forma, la solucin general para este sistema ser la solucin de la ecuacinhomognea,

Xh, ms una solucin particular constante. Es por eso que, en trminos de las oscilaciones cuyas frecuenciaspropias y modos normales buscamos, slo nos interesa la ecuacin homognea.55SOLUCIONES 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONESEsta es la ecuacin de valores y vectores propios de la matriz M, donde v = Xo es un vectorpropio asociado al valor propio = 2.2Se busca entonces los valores de tales que det(MI) = 0: (2km+ )( km+ ) ( km)2= 0 2+ 3km + ( km)2= 0 = 3 52km21=3 +52km, 22=3 52km(c) Para obtener los modos normales de oscilacin, buscamos los vectores propios vi asociados alos valores propios i= 2i , a travs de la ecuacin (MiI)vi= 0. Realizando el lgebracorrespondiente, se llega a los siguientes vectores propios (no normalizados): v1=_1152_ ,v2=_11+52_ .Notarquelasegundacomponentede v1,152, esnegativa, ylaprimeraespositiva, porlo tanto, para la frecuencia propia1, el sistema oscila en contrafase, es decir, mientras unamasa sube, la otra baja o viceversa. Para v2, ambas componentes tienen igual signo, lo quesignica que si el sistema oscila con frecuencia 2, ambas masas suben o ambas bajan.S.4.10Prob.Resp.(a) Denamos la altura del bloque, medida desde el suelo, como y. Para calcular la altura deequilibrio se puede hacer suma de fuerzas igual a cero, o a travs de la energa potencialtotal. Por el segundo mtodo,U(y) = mgy + 12k(y lo)2Para encontrar el y de equilibrio,dUdy (yeq) = 0 yeq= lo mgk.(b) ConsiderandoahoraquelabasesemuevedeacuerdoayB=Ao sen(t), laecuacindemovimiento para el bloque queda:m y = k((y yB) lo) mg m y + ky = k(lo mgk) + kAo sen(t) .2En general, la ecuacin de valores y vectores propios se expresa Mv =v, y por lo tanto, la condicin para encontrarsoluciones no triviales para ves que det(M I)=0, pues de esa forma, M Ies una matriz no invertible y as sedescarta la solucin v = 0. En trminos de 2, la ecuacin caracterstica est dada por det(M + 2I) = 0.56SOLUCIONES 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONES(c) Si denimos2o=km, yrecordandoqueyeq=lomgk, laecuacinanteriorlapodemosescribir como: y + 2o(y yeq) = 2oAo sen(t)La resolucin de esta ecuacin es menos trabajosa si se hace el cambio de variables:= y yeq= y,de manera que la ecuacin queda: + 2o= 2oAo sen(t)SabemosquelasolucingeneraldeestaE.D.O. esigualalasolucindelaecuacinho-mognea ms una solucin particular.Ec. homognea:h + 2oh= 0 h(t) = o sen(ot + )Por su parte, la particular se encuentra intentando una solucin de la forma:p(t) = Dsen(t),lo que se reemplaza en la ecuacin inhomognea para conocer el valor de D:2Dsen(t) + 2oDsen(t) = 2oAo sen(t) D =2oAo2o2 p(t) =2oAo2o2 sen(t)Con todo, la solucin general de la ecuacin inhomognea es:(t) = h(t) + p(t) = o sen(ot + ) +2oAo2o2 sen(t)Ahora debemos aplicar las condiciones iniciales para conocer o y . Hay que ser cuidadosospues las C.I. las conocemos para la variable y, por lo tanto es necesario reescribirlas para lavariable :y(0) = yeq (0) = 0 = 0 y(0) = 0 (0) = 0 o= oAo2o2 (t) =oAo2o2[o sen(t) sen(ot)]Finalmente, y(t) = (t) + yeqy(t) =oAo2o2[o sen(t) sen(ot)] + lo mgk.57SOLUCIONES 4. EQUILIBRIO Y OSCILACIONES(d) La condicin para que el bloque no choque con la mesa es equivalente a preguntarse si puedeocurrir que y=0, e imponer una restriccin a partir de eso. En nuestro problema hemossupuesto implcitamente que la altura de equilibrio est sobre el suelo (lgico), es decir, quelomgk> 0. Por otra parte, el enunciado nos dice que < o, luego 2o2> 0.As, tenemos que poner atencin en la funcinf (t) = [o sen(t) sen(ot)]: el mximovalor que toma esta funcin esf (t+) = o + , mientras que el mnimo esf (t) = (o +). Nos preocupa quef (t) sea muy negativa, pues de ser as, y(t) podra anularse. El peorcaso es, justamente, quef (t) = (o + ).Imponemos, entonces, que y(t) = 0:oAo2o2[o + ] + lo mgk= 0oAoo= lo mgkDe donde se despeja que el mximo valor, menor queo, que puede tomarde maneraque el bloque no choque con el suelo es:max= o_1 Aolomgk_ .De este resultado se observa que si Ao> lomgk, no es posible evitar que el bloque choque.Esto tiene mucho sentido, pues Ao es la amplitud con que oscila el punto B.58CAPTULO5FUERZAS CENTRALES5.1 ProblemasP.5.1Resp.Sol.Considereunapartculademasamquesemueveenuncampodefuerzadeatraccincentral

F = c r, donde c es una constante positiva (note que la magnitud de la fuerza es constante).(a) Demuestre que la partcula no puede escapar de este campo de atraccin.(b) Si se verica que la partcula se encuentra en una rbita circular de radio r = ro, determine elperodo de pequeas oscilaciones que experimenta la distancia entre la partcula y el centrode atraccin cuando la partcula sufre una pequea perturbacin radial.(c) Supongaquelapartculaseencuentraenlarbitacircunferencialdelaparte(b)y,comoresultadodeunimpulsoradial, endireccinopuestaal centrodeatraccin, lapartculaqueda en una rbita tal que su distancia mxima al centro de atraccin es 2ro. Determinecunto aumenta la energa mecnica total de la partcula como resultado de este impulso.P.5.2Resp.Desde la tierra se desea lanzar un satlite en rbita parablica y para ello se procede como sigue.Primero se coloca en una rbita circunferencial de radio R. En un punto B de esta rbita se disparasuscohetestangencialmenteyquedaenunarbitaelpticacuyoradiomnimoesR. Alalcanzarsu radio mximo (punto A), se dispara nuevamente en forma tangencial sus cohetes, alcanzando larapidez que obtuvo en B y queda en rbita parablica. Se pide determinar:(a) La rapidez del satlite en su rbita circunferencial.(b) Excentricidaddelarbitaelptica(osencillamenteelcocienteentrelosradiosmximoymnimo).(c) Velocidades en A y B en el caso de la rbita elptica.Puede considerar como datos: G, la masa M de la tierra y el radio R.59PROBLEMAS 5. FUERZAS CENTRALESB ATierraFig. P.5.2Fig. P.5.3P.5.3Resp.Porunplanohorizontaldeslizasinroceunapartculademasamunidaaunhilo. stepasaporunagujeroyterminaunidoaunresortedeconstanteelsticakverticalmentedebajodelagujero.Cuando el resorte est en su largo natural, la partcula est justo en el agujero. En lo que sigue sepide estudiar la dinmica de la partcula cuando es soltada a una distancia o del agujero y con unavelocidad perpendicular al hilo, de magnitud vo.(a) Determine la ecuacin de movimiento.(b) Encuentre la relacin entre o y vo para que la rbita sea circunferencial.(c) Obtenga la frecuencia de pequeas oscilaciones en torno a esta rbita circunferencial.(d) Determine si en aproximacin de pequeas oscilaciones la rbita es cerrada.P.5.4Resp.Una partcula de masa m est sometida a la fuerza central que proviene de la energa potencial:U(r) = a2lnrro(a) Determine el radio rcde la rbita circunferencial caracterizada por una velocidad angularo conocida y no nula. Determine tambin el momento angular lo asociado a ella.(b) Determine la frecuencia p.o. de las pequeas oscilaciones del valor de r(t) en torno a r = rccuando la rbita es levemente no circunferencial pero tiene el mismo valor lodel momentoangular. Cuanto vale o/p.o.?Se trata de una rbita cerrada?P.5.5Resp.(Nota: Si bien la fuerza total en este problema no es una fuerza central, conviene resolverlo haciendousodelosmismosconceptosdepotencialefectivoyenergaquelosusadosenlosproblemasdefuerzas centrales.)Una partcula de masa m desliza sin roce por el interior de un embudo de eje vertical, cuya superciese puede representar con la expresin z()= L2/, donde L es una constante conocida y es lacoordenadaradial cilndrica. Si enlacondicininicial lapartculaestadistanciaLdel ejedelembudo (ver gura), y tiene una velocidad tangente a la supercie, horizontal de magnitud vo, sepide:60PROBLEMAS 5. FUERZAS CENTRALES(a) Determinar el valor de vo tal que la partcula se mantenga rotando siempre a la misma altura.(b) Si votiene un valor igual a la mitad del encontrado en (a) determine la altura mnima a laque llega la partcula en su movimiento.gOZz() = L2/Fig. P.5.5C BAMarteFig. P.5.6P.5.6Resp.Sol.UnanavedemasamseaproximaaMarte(demasaM)enunarbitaABparablica. Cuandolanave alcanza el punto B de mnima distancia a Marte, frena usando sus cohetes y pasa a una rbitaelptica tan bien calculada que amartiza en un punto C, opuesto a B, en forma tangencial. Los datosson m, M, rB y el radio RM de Marte. Obtenga:(a) La velocidad de la nave en B justo antes de frenar.(b) La energa cuando la nave est en su rbita elptica.(c) La velocidad con que llega a C.P.5.7Resp.Considereunapartculademasamquesemueveenrbitacircularderadiooalrededordeunpunto desde el cual se ejerce una fuerza de atraccin de magnitud:f () = k/3(a) Si enunciertoinstanteseledaunimpulsoradial alapartculademodoqueadquiereinstantneamente una velocidad radial = v1, determine a qu valor tiende la rapidez de lapartcula cuando el tiempo tiende a innito.(b) Si a partir de la situacin descrita inicialmente (la partcula se mueve en rbita circular) seacelera instantneamente la partcula en su direccin de movimiento, de modo de duplicarla rapidez que tena en rbita circular, dibuje un diagrama esquemtico del potencial efectivoresultante despus del impulso y calcule a qu valor tiende la rapidez de la partcula en lamedida que se aleja del origen (en otras palabras, cuando tiende a innito).61PROBLEMAS 5. FUERZAS CENTRALESP.5.8Resp.Considere el movimiento de una partcula de masa m bajo la accin de una fuerza central del tipo:

F = rn > 0El valor del momentum angular= mr2 es conocido.(a) Obtenga el potencial efectivo asociado a esta fuerza y grafquelo para el caso n > 0.(b) Calculeelradiodelarbitacircularydetermineelperododepequeasoscilacionesentorno a esa rbita.(c) Determine para qu valores de n se obtienen rbitas cerradas, es decir, el cociente entre elperododelarbitacircularyel perododepequeasoscilacionesentornoaesarbitacircular debe ser un nmero racional. Graque una de estas rbitas.P.5.9Resp.Una masa puntual m, que yace sobre un plano, est conectada a un punto jo en el plano O a travsde un resorte de constante elstica k y largo natural nulo.(a) Usando coordenadas polares en el plano, encuentre las ecuaciones de movimiento.(b) Encuentre el potencial efectivo y grafquelo.(c) Obtenga los puntos de equilibrio del potencial efectivo y estudie las pequeas oscilacionesen torno a esos puntos, dando las frecuencias propias de oscilacin. Dibuje la rbita que hacela partcula en el plano.OkmFig. P.5.962SOLUCIONES 5. FUERZAS CENTRALES5.2 SolucionesS.5.1Prob.Resp.(a) Lafuerzacentralatractivadelproblematieneunpotencialasociadoquedebieraserfciladivinar:

F = c r = (cr)r r =

(cr) U(r) = crYa con esto, hay dos cosas muy tiles que podemos armar:La fuerza total F es conservativa -pues proviene de un potencial- y, por lo tanto, laenerga mecnica total E se conserva.La fuerza total F es central -no hace torque- y, por lo tanto, el momentum angular

= mr v = mr2 k es constante1.Con las anteriores dos caractersticas de este sistema, se busca el potencial efectivo, que sedene a partir de la ecuacin de la energa mecnica E = K +U(r). En coordenadas polares:K =12mv2=12m( r2+ r22)Sin embargo, como la fuerza es central, =cte=mr2 , por lo que, despejando y reem-plazando en K, se obtiene:E =12m r2+

22mr2+ U(r)Hay que notar que este procedimiento, vlido para cualquier fuerza central con un potencialU(r) asociado, permite transformar un problema bidimensional (r, ) en uno unidimen-sional2(slo r).Se dene entonces, el potencial efectivo Ue f (r) =

22mr2+U(r). El primer trmino es conocidocomo barrera centrfuga. Referidas a este nuevo potencial, existen 3 propiedades impor-tantes que destacar:(i) LosmnimosomximosdeUe f (rc), correspondenapuntosdeequilibrioparalacoordenadar: sisedejaorbitandouncuerpoenr =rc, con r =0, entoncesper-manecer en ese estado, describiendo una rbita circunferencial de radio rc.(ii) Si se hace una pequea perturbacin radial de la rbita circunferencial de un cuerpo,ste oscilar radialmente en torno a r = rc siempre y cuandod2dr2Ue f (rc) > 0 (estableen rc). En ese caso, la frecuencia angular de pequeas oscilaciones radiales se calculacomo 2p.o.=d2dr2 Ue f (rc)m.1Pordenicin,siunafuerzaescentral,seescribecomo

F=F(r) r = r

F=r rF r =0.Porlotanto,d

dt= =0. As,

es constante, lo que signica que el movimiento est siempre contenido en un plano. De ah que seescogen las coordenadas polares r y para la descripcin del movimiento.2Se dice que el problema queda unidimensional porque la ecuacin resultante es una ecuacin para r y r, es decir, sloaparece la funcin r(t) y ya no aparece (t).63SOLUCIONES 5. FUERZAS CENTRALES(iii) (Lea con atencin y paciencia, y aydese del grco que sigue) Si de la ecuacin delaenergamecnicasedespeja r2,seobtiene r2=2m_E Ue f (r).Aqusevquesiempre debe cumplirse E Ue f (r); de otra manera se tendra r2< 0.LospuntosparaloscualesE=Ue f (r)(quenosiempreexisten!!)sonllamadospuntosderetorno, pueshacenque rcambiedesigno(pasandoporcerocuandor = r).Si para una rbita particular (E, , m y U(r)) existen dos puntos de retorno, r y r+,entonces se dir que la rbita es ligada, y el cuerpo orbitante siempre se mantendrcon r [r, r+]. rbitas que no poseen dos puntos de retorno son llamadas, por msobvio que sea, rbitas no ligadas.Volviendodeestepequeoresumenanuestroproblema, tenemos el potencial efectivoUe f (r) =

22mr2+ cr. Se graca Ue f (r), para concluir:

22mr2Ue f (r)Ue f (r)EE=Ue f (r) r=0U(r) = crr+rrFig. S.5.1A partir del grco vemos que, en este prob-lema,paracualquiervalordeE,siempreex-istirn dos puntos de retorno ry r+. Por lotanto, lasrbitassonligadas, oloqueeslomismo, la partcula no puede escapar de estecampo de atraccin.(b) La rbita circunferencial es de radio ro sidUe fdr(ro) =

2mr3o+ c = 0 2= cmr3oAs, reemplazamos 2end2dr2Ue f (ro) para obtener:d2dr2Ue f (ro) =32mr4o=3cro2p.o.=3cmro(c) Queremos calcular el aumento de energa mecnica total. Para ello, primero calculemos laenerga inicial de la rbita circunferencial ( r = 0):Ei=

22mr2o+ cro=cro2+ cro Ei=32cro64SOLUCIONES 5. FUERZAS CENTRALESPara conocer el valor de la energa nal, lo nico que hace falta es notar que el impulso esradial, y esto quiere decir que el momentum angular l no cambia despus del impulso (paramayor claridad, recuerde que un impulso es una fuerza aplicada por un t, y si esa fuerzaacta radialmente, entonces no realiza torque!!).Finalmente, evaluamos nuestra energa nal en el momento de mximo radio 2ro, es decir,cuando r = 0:Ef=

22m(2ro)2+ 2cro=cro8+ 2cro=178 croPor lo tanto, el aumento de energa total esEf Ei=178 cro32croEf Ei=58croS.5.6Prob.Resp.(a) La trayectoria inicial AB es parablica, por lo tanto, 2= 1, o, lo que es lo mismo, E = 0.Por otra parte, la energa mecnica total esE =12mv2 GMmr= 0As, la velocidad en B se despeja evaluando r = rB, lo que d:v2B=2GMrB.(b) Para continuar, hay que tener claro que:La energa total cambia pues, de un momento a otro - es decir, para un mismo radior -, la rapidez cambia.Comoel frenadoesunimpulsotangencial, el momentumangularcambia; nosepuede calcular usando vB de la parte (a).Para la rbita elptica resultante, es decir, entre B y C, la energa y el momentum angular semantendrn constantes.Recordemos que, gracias a que la fuerza total es central, podemos escribir la energa mecni-ca total nueva como:E/=12m r2+

22mr2 GMmrAcesimprescindiblenotarqueenlospuntosByC, r =0. As, tenemoslasiguienteigualdad:E/=

22mr2B GMmrB=

22mR2M GMmRM,donde se ha usado que rC= RM. A partir de la igualdad anterior, es fcil despejar 2, lo queentrega:

2=RMrBRM + rB2GMm2Reemplazando 2en la expresin E/=

22mr2 GMmr, con r = rB o r = RM, se obtiene que:65SOLUCIONES 5. FUERZAS CENTRALESE/= GMmRM + rB.(c) LavelocidadenCsepuedeobtenerdirectamentedelaecuacinE/=12mv2CGMmRM. Sinembargo, existe otra manera, que muestro ac como complemento:En los puntos en que la velocidad es perpendicular al vector posicin (B y C en particular),o equivalentemente, en los puntos en que r = 0 , se cumple que= mrv. As:

2= m2R2Mv2C=RMrBRM + rB2GMm2v2C=rBRM2GM(RM + rB).66CAPTULO6MOVIMIENTO RELATIVO: SISTEMAS NO INERCIALES6.1 ProblemasP.6.1Resp.Sol.Una plataforma de ancho 2L, rota en el plano de la gura con velocidad angular constante alrede-dor de un punto O, mediante un brazo de largo R, de modo que el piso de la plataforma se mantienesiempre horizontal. Al centro de la plataforma se deposita un bloque de masa m -que tiene roce nulocon la plataforma- en un momento en que el brazo de largo R est en posicin horizontal.Suponga R sucientemente pequeo como para que el bloque no choque contra los extremos de laplataforma.(a) Encuentre el desplazamiento mximo que experimenta el bloque sobre la plataforma (dis-tancia mxima al centro de la plataforma).(b) Determinecul esel valormximodelavelocidadangular paraqueel bloquenosedespegue de la plataforma.L LgORFig. P.6.1aoLgFig. P.6.2P.6.2Resp.Sol.67PROBLEMAS 6. MOVIMIENTO RELATIVO: SISTEMAS NO INERCIALESConsidereunpndulosimpledelargoLymasamquecuelgadeunanilloquesepuedemoverlibremente a lo largo de una barra horizontal. Estando el pndulo en reposo, se impulsa el anillo conuna aceleracin ao constante a lo largo de la barra. Determine:(a) Mxima desviacin del pndulo con respecto a la vertical.(b) Tensin mxima que experimenta la cuerda y el ngulo con respecto a la vertical donde stase alcanza.P.6.3Resp.Sol.Considere el sistema Sol-Tierra, con la masa del Sol mucho mayor a la de la Tierra, M >> m, ambossujetos nicamente a la fuerza de gravitacin mutua. Dena un sistema de referencia inercial S conorigen en el centro del Sol, de vectores unitarios (i,j, k). Dena tambin un sistema de referencia noinercial S/, con el mismo origen pero con vectores unitarios (i/,j/, k/) (por simplicidad los vectores ky k/ no estn indicados en la gura). El