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Problemas resueltos de inducción

Problemas resueltos sobre inducción.

Problemas resueltos sobre inducción.

Inducción matemática

Descripción

Tres pasos

1

2

3

La inducción matemática se aplica a las afirmaciones que dependen de un parámetro que suele tomar valores enteros que comienzan a partir de un valor inicial. Puede considerarse como una máquina que realiza una demostración de una afirmación para cada valor finito del parámetro en cuestión.

Demostrar que la afirmación es verdadera para el primer valor del parámetro.

Hipótesis de inducción: La afirmación es válida para algún valor m del parámetro.

Demostrar que la afirmación es verdadera para el valor m+1 del parámetro.

Problemas resueltos sobre inducción.

Inducción matemática

21 3 5 2 1n nL

Problema

Demostración por inducción

1

2

3

Si n=1, entonces la afirmación sólo dice que 1=1, lo que obviamente es correcto.

Demostrar que la fórmula siguiente es verdadera para todos los enteros positivos n.

22

1 3 5 2 1 1 1 3 5 2 1 2 1

2 1 1 .

m m m

m m m

L L

Aplique la hipótesis de inducción a esta parte.

21 3 5 2 1m mLHipótesis de inducción:

Debemos demostrar que: 21 3 5 2 1 1 1 .m mL

Problemas resueltos sobre inducción.

Inducción matemáticaProblema

Solución

1

2

3

Demostrar que la suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es (n-2).

El primer valor del parámetro n es 3. Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es . Por tanto, la afirmación es válida para n=3.Hipótesis de inducción: La suma de los ángulos de un polígono convexo de m lados es (m-2). Debemos demostrar que: la suma de los ángulos de un polígono convexo de (m+1) lados es (m-1).

Esto se obtiene de las partes 1 y 2, mediante la descomposición de un polígono de (m+1) lados en una unión de un polígono de m lados y un triángulo, tal y como se indica en la imagen de la derecha.

De la imagen se deduce que la suma de los ángulos de polígono azul de (m+1) lados de la izquierda es (m-2)+ = (m-1).

La suma de los ángulos del triángulo rojo es .

La suma de los ángulos del polígono azul de m lados es

(m-2) por 2).

Problemas resueltos sobre inducción.

Inducción matemática

Problema

Hallar una expresión para fn y demostrarla por inducción.

Solución

Fórmula

1f .

2 1n

n nxx

n n x

Sea y

Realizar el cálculo manualmente o mediante un CAS

0

1f ,

2x

x

1 0f f f , 0.n n n

1 2 3

2 3 2 4 3f , f ,f .

3 2 4 3 5 4

x x xx x x

x x x

Problemas resueltos sobre inducción.

Inducción matemática

Demostración

1

Afirmación

2

Sea y

Entonces,

Si insertamos n = 0 en la fórmula, obtenemos

que es verdadero.

Supongamos que

0

1f ,

2x

x

1 0f f f , 0.n n n

1f .

2 1n

n nxx

n n x

0

0 1 0 1f

0 2 0 1 2

xx

x x

1f .

2 1m

m mxx

m m x

Problemas resueltos sobre inducción.

Inducción matemática

Demostración (cont.)

Afirmación

3

Utilizar la hipótesis de inducción para sustituir esta parte.

0

1 2 1f .

2 1 3 2

m mx m m x

m m x m m x

Sea y

Entonces,

Debemos demostrar que la hipótesis de inducción implica

Mediante un cálculo directo

0

1f ,

2x

x

1 0f f f , 0.n n n

1f .

2 1n

n nxx

n n x

1

1 1 1 2 1f .

3 21 2 1 1m

m m x m m xx

m m xm m x

1 0f f fm mx x

Problemas resueltos sobre inducción.

Cómo hallar una fórmula de suma

Problema

Obtendremos la fórmula empleando métodos que pueden aplicarse para el cálculo de sumas de potencias enteras positivas de números enteros de 0 a n. NOTA: Esto tiene importantes aplicaciones en la integración

Solución

En este caso sólo hemos invertido el orden de la suma.

Conclusión

Esto se basa en que S(n) es una suma de n polinomios, cada uno de ellos de grado 3 en n. Como puede que el resultado sea nulo, el grado debe ser < 4.

3

0

.n

k

k

33

0 0

n n

k k

k n k

3 3 2 2 33 3 .n k n n k nk k

33 3 2 2 3

0 0 0

3 3 .n n n

k k k

k n k n n k nk k

33

0 0

n n

k k

S n k n k

4

Halle una fórmula para la suma

Comenzaremos observando que

Después, observemos que

es un polinomio de grado en n.

Por ello,

Problemas resueltos sobre inducción.

La suma como polinomio

Problema

Aquí sólo hemos utilizado la definición de la suma S(n).

Conclusión

Propiedades del polinomio S(n):

1. S(0) = 0.

2. S(n + 1) = S(n) + (n + 1)3.

Método Hallar los coeficientes ak utilizando las condiciones 1 y 2 del polinomio S(n).

3

0

.n

k

kHallar una fórmula para la suma

33

0 0

n n

k k

S n k n k

4 es un polinomio de grado en n.

4 3 24 3 2 1 0 .S x a x a x a x a x a 4 Un polinomio general de grado es

Problemas resueltos sobre inducción.

Propiedades del polinomio suma 3

1. 0 0, 2. 1 1 .S S n S n nCondiciones

Para determinar los coeficientes ak, k = 1,…,3, utilizamos la 2ª condición.

4 3 24 3 4 2 4 3 1 4 3 2

4 3 24 3 2 1 4 3 2 1

4 6 3 4 3 2

1 3 3 1.

a n a a n a a a n a a a a n

a a a a a n a n a n a n

La última ecuación debe ser válida para todos los valores de n. Los polinomios de los dos lados de la ecuación son iguales si y sólo si los coeficientes de los diversos términos del orden también lo son. Esto da lugar a ecuaciones para los coeficientes ak.

00 0 .S a

4 3 24 3 2 1 .S n a n a n a n a n

4 3 2

4 3 2 1

34 3 24 3 2 1

1 1 1 1

1 .

a n a n a n a n

a n a n a n a n n

La 1ª condición para S( n ) implica que

Por ello,

La 2ª condición para S( n ) implica que

Problemas resueltos sobre inducción.

Cálculo de los coeficientes 3

1. 0 0, 2. 1 1 .S S n S n nCondiciones

4 4

3 4 3

2 4 3 2

1 4 3 2 1

4 3 2 1

4 1

6 3 3

4 3 2 3

1

a a

a a a

a a a a

a a a a a

a a a a

Este sistema de ecuaciones lineales se resuelve por eliminación. La 2a ecuación da como resultado a4=1/4. Si sustituimos este valor en la 3a ecuación obtenemos a3=1/2. Si sustituimos estos valores en la 4a ecuación, tenemos a2=1/4. Entonces, el valor de a1 proviene de la última ecuación.

4

3

2

1

1/ 4

1/ 2

1/ 4

0

a

a

a

a

4 3 24 3 4 2 4 3 1 4 3 2

4 3 24 3 2 1 0 4 3 2 1 0

4 6 3 4 3 2

1 3 3 1

a n a a n a a a n a a a a n

a a a a a a n a n a n a n a

correspondiente a los polinomios en la variable n sólo es válida si los coeficientes de los polinomios son iguales. Por lo tanto, obtendremos:

La ecuación

Cálculo en una variable

Autor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa

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