Universidad de ConcepcionFacultad de Ciencias Fsicas y MatematicasDepartamento de FsicaFsica 510145 - Introduccion a la Fsica Universitaria

CCQ

Problemas Resueltos

1. Movimiento Rectilneo

1. Un automovil se mueve segun la ecuacion de itinerario

x(t) = 10 + 3t2 ,

con las unidades de medida en SI.

a) Obtenga el desplazamiento del movil entre t1 = 2 s y t2 = 7 s.

b) Calcule la velocidad media en dicho intervalo.

c) Aproxime la velocidad en t0 = 2 s, tomando:

1) t = 0,1 s

2) t = 0,01 s

3) t = 0,001 s

Sugerencia: Calcule la velocidad media entre t0 y t0 + t para cada t.

d) Que tipo de movimiento realiza la partcula? Deduzca una expresion para la velocidaden funcion del tiempo y con ella calcule la velocidad instantanea en t1 = 1 s y en t2 = 2 s.

Solucion:

a) Como el movimiento ocurre en una sola dimension, podemos obviar el caracter vectorialde las cantidades en juego.

El desplazamiento por definicion es:

x = x(t2) x(t1) = 10 + 3 72 (10 + 3 22) = +135 m

donde el signo ((+)) indica que el desplazamiento se realizo hacia el sentido positivodel eje X.

O bien:~r = 135i m

b) Por definicion

vm =x

t2 t1 =135

7 2 = +27m

s

1

donde el signo ((+)) indica que la velocidad apunta hacia el sentido positivo del eje X.

O bien:

~vm = 27im

s

c) Para aproximar la velocidad, se calculara las velocidades medias

1) t = 0,1 sPor definicion

vm =x(2,1) x(2)

0,1=10 + 3 2,12 (10 + 3 22)

0,1= +12,300

m

s

O bien

~vm = 12,300im

s

2) t = 0,01 sPor definicion

vm =x(2,01) x(2)

0,01=10 + 3 2,012 (10 + 3 22)

0,01= +12,030

m

s

O bien

~vm = 12,030im

s

3) t = 0,001 sPor definicion

vm =x(2,001) x(2)

0,001=10 + 3 2,0012 (10 + 3 22)

0,001= +12,003

m

s

O bien

~vm = 12,003im

s

Al parecer la velocidad en t0 = 2 s es dada por

v(t0) = +12m

s, ~v(t0) = 12i

m

s

d) Se trata de movimiento rectilneo acelerado con aceleracion a = 6 m/s2, velocidad inicialv0 = 0 m/s y posicion inicial x0 = 10 m (hemos considerado que el tiempo inicial est0 = 0 s)

Con la informacion anterior, podemos obtener la ecuacion para la velocidad

v(t) =>0

v0 + at = 6tm

s

2

O bien

~v(t) = 6t im

s

Entonces, la velocidad en t1 = 1 s

v(t1) = +6m

s, o bien ~v(t1) = 6i

m

s

y la velocidad en t2 = 2 s

v(t2) = +12m

s, o bien ~v(t2) = 12i

m

s

Notese que esta velocidad es igual a la que se encontro aproximando en la preguntaanterior.

2. Suponga que la posicion de una partcula que se mueve en lnea recta y con velocidad cons-tante, es x = 3 m en t = 1 s; y x = 5 m en t = 6 s.

a) Construya la grafica de la posicion en funcion del tiempo

b) Determine la velocidad con que se mueve la partcula.

c) Determine la ecuacion itinerario.

d) Donde se encontrara la partcula en el tiempo t = 10 s? Y en t = 15 s?

e) Cual es el desplazamiento entre t = 10 s y t = 15 s?

Solucion:

a) La partcula realiza movimiento rectilneo uniforme. El grafico de la posicion en funciondel tiempo es una recta.Para Dibujar la recta basta con conocer dos puntos.

b) La velocidad de la partcula es dada por la pendiente de la recta tangente al grafico de laposicion versus el tiempo. Como la grafica es una recta, basta con obtener la pendientede esta.

v =x

t=5 (3)

6 1 = 2

5= 0,4 m

s

3

O bien:

~v = 25i = 0,4i

m

s

c) La ecuacion itinerario es de la forma

x(t) = x0 + v(t t0)

Podemos utilizar x0 = 3 m y t0 = 1 s. La velocidad ya la calculamos y es dada porv = 25 ms

Entonces la ecuacion itinerario es

x(t) = 3 25

(t 1) = 135 2

5t = (2,6 0,4t) m

o bien~r(t) = (2,6 0,4t) i m

d) En t = 10 s la partcula se encontrara en la posicion

x(t = 10) = 135 2

5 10 = 33

5= 6,6 m

o~r(t = 10) = 6,6i m

En t = 15 s la partcula se encontrara en la posicion

x(t = 15) = 135 2

5 15 = 43

5= 8,6 m

o~r(t = 15) = 8,6i m

e) Por definicion, el desplazamiento es dado por:

x = x(t = 15) x(t = 10) = 435(33

5

)= 2 m

o~r = 2i m

3. Considere el grafico de velocidad mostrado en la figura (1)

a) Esboce la grafica de la posicion suponiendo que el movimiento solo ocurre en el eje X ysabiendo que en t0 = 0 s la posicion es x0 = 5 m.

b) A partir de la grafica, encuentre la velocidad como funcion del tiempo.

4

Figura 1: Grafica v(t) v/s t

c) Obtenga la ecuacion itinerario.

d) Encuentre el desplazamiento total (entre ti = 0 s y tf = 10 s).

e) Calcule la distancia recorrida total (entre ti = 0 s y tf = 10 s).

Sugerencia 1: Utilice funciones definidas por tramos.Sugerencia 2: Para calcular la distancia total, calcule lo que avanzo la partcula, luego calculelo que retrocedio la partcula y sume estas distancias.

Solucion:

a) Considere los siguientes puntos

El grafico debe intersectar al eje X (vertical) en x0 = 5 m. Esto ocurre cuandot0 = 0 s.

Entre t = 0 s y t = 3 s el movimiento es rectilneo uniforme con velocidad 6 m/s.Dado que

v =x

t= x = vt

Entonces el desplazamiento entre t = 0 y t = 3 es dado por

x = 6 (3 0) = +18 m

Esto es equivalente a calcular el area entre la curva del grafico de la velocidad y eleje horizontal, cuyo resultado es el desplazamiento.

As, en t = 3 s la posicion es

x(t = 3) = x(t = 0) + x = 5 + 18 = +13 m

5

Luego, entre t = 3 s y t = 5 s la velocidad es cero y entonces la posicion nocambia.

Finalmente, entre t = 5 s y t = 10 s el movimiento es rectilneo uniforme convelocidad 10 m/s. Entonces el desplazamiento entre t = 5 s y t = 10 s es dado por

x = 10 (10 5) = 50 m

Esto es equivalente a calcular el area entre la curva del grafico de la velocidad y el ejehorizontal, cuyo resultado es el desplazamiento. En este caso el area es ((negativa))por estar bajo el eje horizontal.

As, en t = 10 s la posicion es

x(t = 10) = x(t = 5) + x = 13 50 = 37 m

b) A partir de la grafica de la figura (1), se encuentra que la velocidad es una funcion por

6

tramos:

v(t) =

6 m/s , si 0 t < 3

0 m/s , si 3 t < 5

10 m/s , si 5 t 10

(1)

c) Considere los siguientes intervalos

1) Si 0 t < 3. Entonces se trata de un movimiento rectilneo uniforme con velocidad6 m/s. Luego

x(t) = x0 + v(t t0)con x0 = 5 s cuando t0 = 0 s. As

x(t) = 5 + 6(t 0) = (5 + 6t) m

2) Si 3 t < 5. Entonces la velocidad es nula, es decir la posicion no cambia, de modoque podemos calcular la posicion en t = 3 s a partir de la ecuacion itinerario deltramo anterior.

x(t) = x(t = 3) = 5 + 6 3 = 13 m3) Si 5 t 10. Nuevamente se trata de un movimiento rectilneo uniforme con

velocidad 10 m/s. Luegox(t) = x0 + v(t t0)

con t0 = 5 s. La posicion x0 podemos obtenerla a partir de la ecuacion itinerariodel tramo anterior que en este caso se trata de una funcion constante x0 = 13 m.Luego

x(t) = 13 10(t 5) = (63 10t) mEntonces la ecuacion itinereario es una funcion por tramos dada por:

x(t) =

(5 + 6t) m , si 0 t < 3

13 m , si 3 t < 5

(63 10t) m , si 5 t 10

(2)

d) Por definicion el desplazamiento es:

x = x(tf ) x(ti) = x(10) x(0) = 37 (5) = 32 m

e) Para obtener la distancia total, calculemos la distancia avanzada, la distancia retrocediday sumemos ambas cantidades.

1) Distancia avanzada: Entre el tiempo t = 0 s y t = 3 s la partcula avanza(velocidad positiva), entonces la distancia recorrida es

dA = |x| = |x(3) x(0)| = |13 5| = 18 m

7

2) Distancia retrocedida: Entre el tiempo t = 5 s y t = 10 s la partcula retrocede(velocidad negativa), entonces la distancia recorrida es

dR = |x| = |x(10) x(5)| = | 37 13| = | 50| = 50 m

Entonces la distancia total recorrida es

dT = dA + dR = 18 + 50 = 68 m

4. Desde un mismo lugar parten simultaneamente en lnea recta y en el mismo sentido un auto yun corredor de fondo. El corredor mantiene una velocidad constante de 6 m/s y el auto partedel reposo y acelera a razon de 4 m/s2 . Considere que el movimiento ocurre en la direccionpositiva del eje x y suponga que el movimiento comienza en el origen del sistema de referencia

a) Escriba las ecuaciones itinerario del auto y del corredor.

b) Determine el tiempo que tarda el auto en alcanzar al corredor

c) A los 8 s de iniciado el movimiento, Que distancia separa a uno del otro?

Solucion:

a) Identificaremos con el superndice a las variables relativas al auto y con el superndice clas relativas al corredor

Consideremos que el tiempo inicial es cuando los moviles estan en el origen delsistema de coordenadas

t0 = 0 s

Ambos moviles parten desde el origen del sistema de referencia

~r0a = 0 m , ~r0c = 0 m

El corredor realiza movimiento rectilneo uniforme (velocidad constante)

~vc(t) = +6 m/s

El auto realiza movimiento rectilneo acelerado con velocidad inicial nula (parte delreposo)

~v0a = 0 m/s , ~a(t) = +4 m/s2

Entonces la ecuacion itinerario del corredor es

~rc(t) = +6t m o bien xc(t) = +6t m

Mientras la ecuacion itinerario del auto es

~ra(t) = +4

2t2 = +2t2 m o bien xa(t) = +2t

2 m

8

b) Cuando el auto alcanza al corredor, en ese instante ambos se encuentran en la mismaposicion

~ra(t) = ~rc(t) = 2t2 = 6tdespejando el tiempo en que el auto alcanza al corredor

t2 3t = 0 = t1 = 0 s o t2 = 3 s

Se obtienen dos soluciones, t1 = 0 s que es cuando ambos moviles estan en el origen yt2 el tiempo buscado

t = 3 s

El auto alcanza al corredor tres segundos despues de que ambos estuviesen en el origen.

c) A los 8 s el auto estara en la posicion ~ra(t = 8 s) y el corredor se encontrara en ~rc(t = 8 s)

La posicion de auto es

~ra(t = 8 s) = 2 82 = 128 m o bien xa(t = 8 s) = 128 m

La posicion del corredor es

~rc(t = 8 s) = +6 8 = 48 m o bien xc(t = 8 s) = 48 m

Luego la distancia d que separa ambos moviles es

d = |~rc ~ra| = |xc xa| = |48 128| = 80 m

5. Un motociclista se mueve horizontalmente y arranca desde el reposo con una aceleracion de2 m/s2 hacia una pared que se encuentra a 120 m.

a) Que distancia ha recorrido la moto tras 4 segundos de recorrido? A que distancia seencuentra de la pared?

b) Cuanto tiempo tardara el motorista en chocar con la pared?

c) Suponga que tras 8 segundos desde que comenzo su movimiento, el motorista decideapretar los frenos para evitar chocar con la pared, logrando una desaceleracion de 3 m/s2.Calcule el tiempo que tarda en detenerse

d) Logra detenerse a tiempo antes de chocar con la pared?

Indicacion: No olvide utilizar cifras significativas.

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Solucion: Primero obtengamos la ecuacion itinerario y la velocidad. Se trata de un movi-miento rectilneo acelerado. Supongamos que el movimiento ocurre en la direccion positivadel eje x y que parte (del reposo) del origen en el tiempo t0 = 0 s. Entonces

t0 = 0 s , ~r0 = 0 m , ~v0 = 0m

s, ~a = 2

m

s2

As

~r(t) = +2

2t2 = t2 m (3)

~v(t) = 2t m/s (4)

a) Remplazamos t = 4 s en la ecuacion itinerario (3)

~r(t = 4 s) = 42 = 16 m

Como la moto siempre avanzo entonces la distancia recorrida corresponde al modulodel desplazamiento

drecorrida = |~r| = |~r(t = 4 s) ~r(t = 0 s)| = |16| = 16 mComo la pared se encuentra en ~rpared = 120 m entonces, el motorista se encuentra dela pared, a una distancia

da la pared = |~r(t = 4 s) ~rpared| = |16 120| = | 104| = 104 m

b) Como la pared se encuentra a 120 m de distancia desde donde comenzo el movimientola moto entonces el choque ocurre cuando ~r(tchoque) = 120 m, es decir

t2choque = 120 = tchoque =

120 = 11,0 sdonde debemos elegir tchoque > 0 porque el choque ocurre posterior a t = 0 s

tchoque = 11,0 s

Tras comenzar su movimiento, el motorista tarda 11,0 s en chocar con la pared.

Para resolver las ultimas dos preguntas debemos modificar la ecuacion itineraraio y laecuacion de velocidad a partir de t = 8 s

En t = 8 s la posicion del motorista es (Ver ecuacion (3))

~r(t = 8 s) = 82 = 64 m

La velocidad en t = 8 s (Ver ecuacion (4))

~v(t = 8 s) = 2 8 = 16 ms

10

A partir de t = 8 s el movimiento del motorista es rectilneo acelerado pero con aceleracioncontra la velocidad (va frenando), es decir

~a = 3 ms2

Luego, la ecuacion itinerario y la velocidad para t > 8 s (y hasta que frena) es

~r(t) =

(64 + 16(t 8) 3

2(t 8)2

) m (5)

~v(t) =(

16 3(t 8)) m/s (6)

c) Cuando logra detenerse, la velocidad es nula, es decir ~v(tdetencion) = 0 (esto ocurredespues de t = 8 s). Entonces (Ver ecuacion (6))

16 3(tdetencion 8) = 0 = tdetencion = 163

+ 8 = 13,3 s

d) Para saber si se logra detener a tiempo, basta con calcular la posicion cuando se detiene,es decir ~r(tdetencion), y comparar con la posicion de la pared ~rpared = 120 m

~r(tdetencion) =

(64 + 16(13,3 8) 3

2(13,3 8)2

) = 106,7 m

Como la posicion en que se detiene es anterior a la posicion de la pared, entonces elmotorista salva ileso.

6. Un auto en una carretera avanza a 120 km/h y adelanta a un camion cuando aparece ensentido contrario otro auto a 100 km/h. Los dos conductores frenan simultaneamente y frenanambos con una aceleracion de magnitud igual a 5, 0 m/s2.

a) Plantee las ecuaciones de movimiento para cada auto indicando el sentido consideradocomo positivo.

b) Calcule cuanto tiempo tarda cada vehculo en detenerse.

c) Cual debe ser la distancia mnima entre los autos, al inicio de la frenada, para que nochoquen entre s?

Indicacion: No olvide utilizar cifras significativas.

Solucion:

a) Consideremos que el primer auto, el que avanza a 120 km/h, va en la direccion positivadel eje x mientras que el segundo va en sentido opuesto, es decir se mueve hacia ladireccion negativa del eje x. Tambien consideremos que la posicion del primer autocuando comienza a frenar es el origen del sistema coordenado.

11

La posicion inicial (cuando comienza a frenar) del segundo auto, es desconocida perose sabe que debe estar en algun lugar positivo del eje x, ~r02 = +r02 (para que los autosse encuentren).

Ambos autos realizan movimiento rectilneo acelerado con el modulo de la aceleraciona = 5, 0 m/s2

i) Auto 1. Se mueve en la direccion positiva del eje x con velocidad v01 = 120 km/h =33,3 m/s y frena (aceleracion en la direccion negativa del eje x)

~r1(t) =

(33,3t 5,0

2t2) m (7)

~v1(t) = (33,3 5,0t) m/s (8)

ii) Auto 2. Se mueve en la direccion negativa del eje x con velocidad v01 = 100 km/h =27,8 m/s y frena (aceleracion en la direccion positiva del eje x)

~r2(t) =

(r02 27,8t+

5,0

2t2) m (9)

~v2(t) = (27,8 + 5,0t) m/s (10)

b) Los autos se detienen cuando su velocidad es nula

i) Auto 1, ~v1(tdet 1) = 0

33,3 5,0tdet 1 = 0 = tdet 1 = 33,35,0

= 6,7 s

ii) Auto 2, ~v2(tdet 2) = 0

27,8 + 5,0tdet 2 = 0 = tdet 2 = 27,85,0

= 5,6 s

El auto 1 tarda 6,7 s en detenerse, mientras el auto 2 solo tarda 5,6 s.

c) Calulemos la posicion en que se detienen cada vehculo ~r1(tdet 1) y ~r2(tdet 2)

i) El auto 1 se detiene en

~r1(tdet 1) =

(33,3 6,7 5,0

26,72

) = 111 m

ii) El auto 2 se detiene en

~r2(tdet 2) =

(r02 27,8 5,6 +

5,0

25,62

) =

(r02 77,3

) m

12

Se busca que la posicion del auto 2 sea ((mayor )) que la posicion del auto 1 para que noocurra el choque

~r2(tdet 2) ~r1(tdet 1) =(r02 77,3

) 111 =

(r02 188

) m

entoncesr02 188 0 = r02 188 m

Entonces, si la posicion inicial del auto 1 es el origen ~r01 = 0 m, la del auto 2 debeser ((mayor o igual )) que ~r02 = 188 m. Es decir, los autos deben estar separados unadistancia mnima de 188 m cuando comienzan a frenar.

Otra manera de razonar es calcular la distancia de frenado del auto 1 y la distanciade freando del auto 2. La suma de estas distancias sera la mnima separacion inicial entrelos vehculos.

2. Movimiento parabolico

1. Un proyectil se dispara horizontalmente desde un canon ubicado en la cima de una colinade 45,0 m de altura sobre la llanura. Si la rapidez del proyectil en la boca del canon es de900 km/h, obtenga

a) El tiempo que permanece el proyectil en el aire.

b) La distancia horizontal a la que el proyectil golpea el suelo de la llanura.

c) El vector velocidad justo antes que el proyectil golpee el suelo.

Solucion: Considere el siguiente sistema de referencia

-~v0 = 900 km/h

-x

6y

?~g

QQQQQs~vf

d

h = 45,0 m

La posicion inicial del proyectil es~r0 = 45 m

mientras la velocidad inicial es

~v0 = 900km

h= 250

m

s

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y la aceleracion corresponde a la aceleracion de gravedad

~g = 9,8 ms2

Entonces las ecuaciones cinematicas son dadas por (fijando el tiempo inicial t0 = 0 s cuandoel proyectil es disparado)

x(t) = 250t m , y(t) =(

45 g2t2)

m

y

vx(t) = 250m

s, vy(t) = gt m

s

a) Para calcular el tiempo que permanece en el aire o tiempo de vuelo tv debemos calcularel tiempo en que el proyectil toca el suelo, es,decir, cuando y(tv) = 0 m

45 g2t2v = 0 = tv =

2 45g

= 3,0 s

obviamente, el proyectil toca suelo despues del tiempo inicial t0 = 0 s, es decir, debeser mayor que cero

tv = 3,0 s

b) Conocido el tiempo de vuelo, basta con reemplazar en x(t) para determinar la distanciahorizontal d

d = x(tv) = 250 3,0 = 750 m

c) Conocido el tiempo de vuelo, basta con reemplazar en vx(t) y vy(t) para obtener lavelocidad ~vf

vx(tv) = 250m

s, vy(tv) = g 3,0 = 29 m

s

Luego la velocidad justo antes de tocar el suelo es

~vf =(

250 29) m

s

o bien, el modulo de la velocidad (rapidez) es dada por

vf =

2502 + (29)2 = 252 ms

con angulo de depresion (respecto de la horizontal, hacia abajo)

= arctan

(29

250

)= 6,62

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2. Un proyectil se dispara desde lo alto de un edificio de 30 m, con una velocidad inicial de 9 m/sformando un angulo de 45 por sobre la horizontal en t = 0 s. En ese mismo instante, un autoque se encuentra a 40 m de la base del edificio, parte desde el reposo con una aceleracionconstante de 2 m/s2 con direccion hacia el edificio.

a) Dibuje un esquema de la situacion planteada, representando el origen del sistema dereferencia en la base del edificio. Indique en dicho esquema, la direccion de la velocidaddel proyectil y de la aceleracion del auto.

b) Escriba las ecuaciones para la velocidad y la posicion, en funcion del tiempo, para losdos moviles.

c) Calcule el tiempo de impacto del proyectil en tierra.

d) Impacta el proyectil con el auto? Si la respuesta es afirmativa, determine al distanciacon respecto de la base del edificio en el cual es impactado. Si la respuesta es negativa,determine la distancia a la cual se encuentra el auto del proyectil, al momento delimpacto.

Solucion:

a) El esquema podra ser de la siguiente forma

b) Para el auto:

~va(t) = 2t ms

, ~ra(t) =(

40 a2t2) = ~ra(t) = (40 t2) m

Para el proyectil:

~vp(t) = 9 cos 45 +

(9 sen 45 gt

)

~rp(t) = 9 cos 45t +

(30 + 9 sen 45t g

2t2)

reemplazando los valores

~vp(t) =(

6,36 + (6,36 9,8t)) m

s, ~rp(t) =

(6,36t + (30 + 6,36t 4,9t2)

)m

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c) La condicion de llegada al suelo es cuando yp = 0 m para el proyectil.

30 + 6,36t 4,9t2 = 0 = t1 = 1,91 s o t2 = 3,21 scomo buscamos un tiempo posterior al lanzamiento en t = 0 s, se debe cumplir que eltiempo de llegada al suelo es t = 3,21 s.

d) La posicion horizontal del proyectil, al caer en tierra, es (tomamos el tiempo de cadade la pregunta anterior)

xp(t = 3,21) = 6,36 3,21 = 20,42 m (11)

mientras que la posicion del auto en el mismo tiempo es

xa(t = 3,21) = 40 3,212 = 29,70 m (12)

Por lo tanto, el proyectil no impacta al auto y estos quedan a una distancia de 9,28 m.

3. Marcelo Salas patea un balon con direccion hacia un aro de basketball, con una rapidez inicialde 9 m/s, con un angulo de 70 sobre la horizontal. El origen del sistema de referencia seencuentra en el punto de partida del balon. El aro se encuentra a una altura de 3,05 m y ElMatador acierta su disparo cuando el balon va descendiendo.

a) Determine las ecuaciones para la velocidad y la posicion del balon, para todo instantede tiempo.

b) Determine la altura maxima que alcanza el balon.

c) Determine el tiempo que tarda el balon en llegar al aro.

d) Determine la distancia horizontal al aro a la que se encuentra Marcelo cuando patea elbalon.

Solucion:

a) Considere el sistema de referencia dado en la siguiente figura

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Tomemos el tiempo inicial t0 = 0 s como el instante cuando el balon es pateado.

Por otro lado, la posicion inicial del balon es el origen

~r0 = 0 m

y la velocidad inicial es dada por

~v0 = 9 cos 70i+ 9 sen 70j =(

3,08i+ 8,46j) m

s

Las ecuaciones que rigen el movimiento parabolico son:

x(t) = x0 + v0x(t t0) , y(t) = y0 + v0y(t t0) 12g(t t0)2

vx(t) = v0x , vy(t) = v0y g(t t0)haciendo los reemplazos correspondientes (g = 9,8 m/s2)

x(t) = 3,08 t m , y(t) = 8,46 t 4,9 t2 mvx(t) = 3,08 m/s , vy(t) = 8,46 9,8 t m/s

b) Determinaremos el tiempo que tarda el balon en alcanzar la altura maxima hmax. Paraesto debemos considerar el instante de tiempo en que la velocidad vertical del balonse anula.

vy(t) = 8,46 9,8 t = 0 = t = 8,469,8

= 0,86 s

reemplazando este tiempo en la posicion vertical obtenemos

hmax = y(0,86) = 8,46 0,86 4,9 (0,86)2 = 3,65 mLa altura maxima que alcanza el balon es hmax = 3,65 m.

c) Para determinar el tiempo que tarda en llegar al aro debemos considerar el instante detiempo en que el balon se encuentra en y = 3,05 m.

y(t) = 8,46 t 4,9 t2 = 3,05 = 4,9 t2 8,46 t+ 3,05 = 0de modo que

t1 = 0,51 s , t2 = 1,21 s

Dado que el matador encesta cuando el balon va descendiendo podemos deducirque esto ocurre en el tiempo t2 = 1,21 s. El tiempo t1 = 0,51 s ocurre cuando el balonva subiendo. Vease la siguiente figura

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Entonces el tiempo que tarda el balon en llegar al aro es t2 = 1,21 s.

d) Como conocemos el tiempo en que el balon llega al aro, basta con reemplazar en x(t)para obtener la distancia horizontal a la que se encuentra el aro de Marcelo Salas.

x(t = 1,21 s) = 3,08 1,21 = 3,73 mLa distancia horizontal al aro a la que se encuentra Marcelo cuando patea el balon es3,73 m.

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Movimiento RectilneoMovimiento parablico