1. Copyright @ 2006 Derechos reservados 2006 Instituto de Ciencias Matemticas - ICM Segunda Edicin - Mayo 2006 Derechos del Autor No. 024094-IEPI ISBN-9978-310-34-7 ------- - - - -------- AUTORIDADES DE LA ESPOL Rector Vicerrector General Director !CM Sub - Director !CM COMIT EDITORIAL Director: Profesores editores: Profesores colaboradores: Estudiantes colaboradores: Diseo Grfico: Distribucin: ICM-ESPOL Campus Gustavo Galindo, Km. 30.5 Va Perimetral Telfonos: (593-4) 2269525-2269526 Telefax: (593-4) 2853138 e-mal!: icm@espol.edu.ec www.cm.espol .edu.ec Impresin: POLIGRFICA C.A. Impreso en Ecuador/ Prmted In Ecuador Dr. Moiss Tacle Ing. Armando Altamirano Ing. Washington Armas Ing. Robert Toledo Ing. Washington Armas Ing. Guillermo Baquerizo Ing. Miriam Ramos Ing. Soraya Sols Ing. Pablo lvarez Mal. Csar Guerrero Ing. Dalton Noboa Sr. Alejandro Carrin Srta. Janett Loja Srta. Evelyn Pea Sr. Diego Cueva Tcnlg. Martha Ortega Tcnlg. Yen Chih Wang Tcnlg. Candy Wong

2. Prlogo El Instituto de Ciencias Matemticas, ICM, de la Escuela Superior Politcnica del litoral, responsable de la enseanza de una de las ciencias bsicas del conocimiento humano, tiene como parte de su Misin: "Definir lineamientos y elevar el nivel de la Educacin Matemtica en el pas"; consecuente con este principio, ha credo conveniente disear y desarrollar el presente texto, como un apoyo dirigido a los estudiantes del Bachillerato. Este libro revisa temas bsicos de nivel secundario Y, por su amplitud y profundidad, constituye una gua necesaria dentro de su proceso de aprendizaje. El presente texto ha sido estructurado de tal manera que sea de fcil lectura y comprensin, asequible para estudiantes de colegios que requieran fortalecer su formacin matemtica, preparndose as para enfrentar los retos que la vida universitaria les depare. los profesores pOdrn encontrar una ayuda didctica en la organizacin y el contenido de sus clases, de tal manera que se logre homogeneidad en la simbologa y lenguaje matemticos utilizados. Adems, el colorido de sus pginas facilita la visualizacin de los captulos y temas tratados. los ejercicios resueltos tienen como objetivo que el estudiante profundice sus conocimientos conforme los va adquiriendo y han sido desarrollados de manera tal que progresivamente se los aplique, empezando por lo ms elemental, hasta llegar a lo ms complejo. Adicionalmente, la orientacin del texto fomenta la investigacin de los temas tratados, avanzando as en el conocimiento hacia su consolidacin. la cristalizacin de esta obra se debe a la calidad acadmica de un equipo de profesores del ICM, integrado por los ingenieros Miriam Ramos, Guillermo Baquerizo y Saraya Sols, quienes con tesn, esfuerzo y largas horas de trabajo plasmaron este texto. En esta era de continuo cambio tecnolgico, las Matemticas son ms importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus estudIOs de Bachillerato, el uso de las Matemticas en la etapa universitaria y luego en su trabajo y en la vida diaria les permitir operar equipos de computacin, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar finanzas personales y ejecutar otros trabajos de resolucin de problemas sobre cualquier tema. Todo lo que se aprenda en Matemticas y la manera en que se adquiera ese conocimiento, le proporcionar a los estudiantes de nuestro pas una satisfaccin personal y una excelente preparacin para afrontar un futuro exigente y en constante cambio. 3. Tabla de Contenido CAPTULO 1 LGICA Y CONJUNTOS Introduccin a la Lgica...................... ... ......................................... .. 1.1 PROPOSICIONES................................................................. .. Proposicin ..... .... .... .... ..,.. ..... ..... .... .. ... .... .. ... ... ..,...... ... . Valor de verdad .............................. .. .. ......... ................. ....... Tabla de verdad .................................................................. . 1.2 OPERADORES LGICOS....................................................... . ~~~f~~~~~:::::::.".........................:.......::::::::::::::..:.:..............:....................::::::: Disyuncin .... ,........ .. ... .... ... ... ... .... ...... .. ..... .... ............ ... . Disyuncin exclusiva .. ......................................... ........... ...... Condicional. ....................... ..... ..... ................ .. ................ . Recproca, inversa, contrarrecproca." ............. ', .... " ......... .... .. Condiciones necesarias y suficientes..................................... Bicondicional ....... o oo , , , o, 1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.......................... Proposiciones simples y compuestas...................................... 1.4 FORMAS PROPOSICIONALES.... ... ...... .............................. .... . Variables proposicionales............................................... ...... . Formas proposicionales............................. .......................... . Tautologa, contradiccin, contingencia........... oo Implicacin l~ica .......... .................................................... .. EqUivalencia loglca ......... ............. ........ ..... ...... .. ................. .. 7 8 9 10 10 11 12 13 14 14 15 16 17 19 20 20 22 22 22 23 24 25 4. 1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS....................... Leyes de los operadores fundamentales Conjuncin y Disyuncin........ Leyes de los operadores Negacin, Condicional y Bicondicional. .... Leyes de las Implicaciones Lgicas........................................... 1.6 RAZONAMIENTOS.............. ................................. ................. . Razonamientos........................... ..o, o Validez de un razonamiento....................................................... 1.7 DEMOSTRACIONES............................................................ 1.7.1 Demostraciones directas................................................... 1.7.2 Demostraciones por contraposicin.................................... 1.7.3 Demostraciones por contraejemplo.................................... 1.7.4 Demostraciones por reduccin al absurdo........................... 1.8 CONJUNTOS.. ............................................................ ............ Conjunto.................. ............................ ........................... .. Cardinalidad............ .. ..... ............................................. ...... 1.8.1 Conjuntos relevantes ................................................. 1.9 CUANTIFICADORES...................................... ....................... . Cuantificador UniversaL....................................................... Cuantificador ExistenciaL ..................................................... Subconjunto....................................................................... Conjunto Potencia ................................................................ 1.9.1 Relaciones entre conjuntos............. .. ............................ Igualdad entre conjuntos................... .......................... Conjuntos disjuntos e intersecantes.............................. 1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.................................... . Unin entre conjuntos................................................. " ...... . Interseccin entre (onjutos............................................ o Diferencia entre conjuntos..o o Diferencia simtrica entre conjuntos................. " ...... ..o, ........ Complementacin de conjuntos............................................. 1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Leyes de las operaciones fundamentales Unin e Interseccin Otras leyes........................................................................ 25 26 26 27 29 29 30 33 33 34 35 36 39 39 40 40 41 42 42 42 43 44 44 44 44 45 45 45 46 46 47 47 48 5. 1.12 PREDICADOS............ ........... ...... ... ..... ..... .. ....................... ... 53 Predicados de una variable. .............. ....... ... .. .......... .............. 53 Conjunto de verdad de un predicado.... ........... .... ......... ...... ..... 54 Leyes de los conjuntos de verdad de predicados....................... 55 Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores. .............. 56 1.12.1 Leyes de los Cuantificadores...................... ... .... ....... .... 57 1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO.. .......... 58 Par Ordenado.......................................... ...... ....... ......... ..... .. 59 Producto Cartesiano................................. ........ ....... ....... ....... 59 Plano Cartesiano. ............ ..... ..... ......... ..... .... .......... ................ 59 Cardinalidad del producto cartesiano......... ........... ......... .......... 60 Propiedades del producto cartesiano......... ....... ....... ...... ..... ..... 61 1.14 RELACIONES..... ... ..... ...... ............................ ..................... ... 61 Relacin.............................................................................. 62 Dominio de una Relacin.... ....... .... ........ ......... .............. ........ 65 Rango de una Relacin.......................... ......... .............. ........ 65 Representacin sagital de una relacin.... .................... ........... 66 1.15 FUNCIONES.... ... .. .. ... .... .......... ..... ....... ............................... 67 Funcin................................... ........................................ 68 Variable independiente......... ............... ...... ...... ............. .... .. 68 Variable dependiente.......................... ...... ...... .... ............... 68 1.15.1 Tipos de funciones................................................... 70 Funcin Inyectiva...................................................... 70 Funcin Sobreyectiva................................................. 71 Funcin Biyectiva...................................................... 72 Funcin Inversible........... ...... ........ .............. ...... ........ 72 Funcin Inversa............................ ........... .. ....... ........ 73 Funcin Compuesta...... ......... ..... ... ............. ....... ........ 73 EJERCICIOS PROPUESTOS......................................................... . 79 CAPTULO 2 NMEROS REALES Introduccin..... ...... .... ...... ... .... .. ............................................ 111 2.1 REPRESENTACIN DECIMAL. ................................................ 113 Representacin decimal de nmeros racionales.. ... o, .. o,........ 114 Representacin decimal de nmeros irracionales............. ... . 115 6. 2 .2 OPERACIONES BINARIAS............... ............. ...... ....... ..... ...... 117 Operacin binaria............................................................... 117 2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias ...................... 117 2.3 OPERACIONES ENTRE NMEROS REALES............................ 119 Adicin..... .... ...... .... ......... ............................................. ... 120 Multiplicacin................... ................................................. 120 2.4 RELACIN DE ORDEN ............................................................ 121 2.4.1 Relacin de orden de nmeros enteros........ ....... ........... 121 Orden en Z................................................................ 121 2.4.2 Relacin de orden de nmeros reales............................ 122 Tricotoma de los Nmeros Reales................................ 122 2.5 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS......... ............. ....................................................... 123 Divisores y Mltiplos de un nmero entero.................. ...... ..... 123 Nmero Primo................................................... ....... .......... 124 Nmero Compuesto.......... ... ... .. .. ......... ... .... ............. ........... 124 Teorema fundamental de la Aritmtica.................................. 125 Mximo Comn Divisor................................... ..................... 125 Mnimo Comn Mltiplo............................ ...... ..................... 126 Nmeros Pares e Impares.. .. ................ ......... ...................... 127 2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.... ... ......... ..... ...... ...... ...... ........ 129 Expresin algebraica........................................................... 129 2.6.1 Propiedades de las fracciones.. .................. ..... ...... ........ 130 2.6.2 Propiedades de los exponentes.................................... 133 2.6.3 Productos notables..................................................... 137 2.6.4 Factorizacin............................................................. 139 2.6.5 Racionalizacin.......................................................... 144 2.7 VALOR ABSOLUTO................................................................ 146 Tipos de intervalo.............................................................. 147 Intervalo cerrado............................................................... 147 Intervalo abierto................ ................................................ 147 Intervalo semiabierto/semicerrado....................................... 147 Intervalo con extremos infinitos.......................................... 147 Valor absoluto.............. ............ .................. ..... ...... ....... ...... 148 Propiedades del valor absoluto...... ............ ............ .............. 149 7. 2.8 ECUACIONES........................................................................ 154 Identidad........................................................................ 154 Ecuacin.................................. ......... ..................... .......... 155 Propiedades de las igualdades............................................. 155 2.8.1 Ecuaciones lineales............ ...... ..... ...... ...... ...... ... .... .... 156 2.8.2 Ecuaciones cuadrticas..... ......................................... 159 Frmula general............ ................................... .......... ........ 161 Suma Algebraica de las Races de la Ecuacin Cuadrtica. 166 Producto Algebraico de las Races de la Ecuacin Cuadrtica. 166 2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto........................... .......... 167 2.8.4 Ecuaciones con radicales............................................ 168 2.8.5 Planteo de ecuaciones............................................... 170 2.9 INECUACIONES........................... ......................................... 178 Desigualdad..................... .......................... ........ ....... ....... 178 Inecuacin................................................... ......... ......... 178 2.9.1 Inecuaciones lineales................................................. 179 2.9.2 Inecuaciones cuadrticas............................................ 181 Propiedades de las desigualdades....... ........... ...... ......... 182 2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto.................................. 183 2.9.4 Planteo de inecuaciones.................... ... ... .... ....... ......... 187 2.10 INDUCCIN MATEMTICA.... .............................................. 190 2.10.1 Axiomas de Peano............................................ .... ... . 190 2.10.2 Teorema de induccin......... .......... ................. ........... 191 Teorema de Induccin.............................................. 191 2.11 TCNICAS DE CONTEO... ...... ..... .......................................... 196 Factorial.................................. .......................................... 196 Combinatoria................................................................... .. 197 Propiedades de las Combinatorias......... ..... ....... ..... ....... ....... 198 2.11.1 Principio de la suma................................................ 199 2.11.2 Principio de la multiplicacin..................................... 200 2.11.3 Permutaciones y combinaciones.. .......................... .... 202 Permutaciones........................................................ 203 Combinaciones......................................... ............... 204 2.12 TEOREMA DEL BINOMIO........... .......................................... 206 Teorema del Binomio......................... ...... ......................... 207 2.13 SUCESIONES........................... .................................... ...... 210 Sucesin..... ....... ,... ,...... " ...... .......... .......... ... ................... 211 Progresiones Aritmticas..................................................... 212 Progresiones Geomtricas................................................... 218 EJERCICIOS PROPUESTOS........... ............. ....... .......... ................. 225 8. CAPTULO 3 FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Introduccin......................................................................... 251 3.1 FUNCIONES DE VARIABLE REAL.. ........................... ............... 251 Funcin de una variable real............................................... 252 Dominio de una funcin de variable real.............................. 253 Rango de una funcin de variable real................................. 254 3.2 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES...................... ....... 256 Grfica de una funcin de variable real................ ..... ...... ........ 257 Criterio de la recta vertical.................................................... 257 3.3 TIPOS DE FUNCIONES ............... ........ ............ ..... ................... 259 3.3.1 Funciones Inyectivas.................................................. 260 Funcin Inyectiva...... ....................................... .. .... .. .. 260 Criterio de la recta horizontal...................................... 260 3.3.2 Funciones Sobreyectivas............................................ 261 Funcin Sobreyectiva................................................. 261 3.3.3 Funciones Crecientes................................................. 261 Funcin Creciente...................... ................................ 262 Funcin Estrictamente Creciente.............. ....... ............. 263 3.3.4 Funciones Decrecientes................ .............................. 264 Funcin Decreciente................................................... 264 Funcin Estrictamente Decreciente........... ....... ............ 265 Funcin Montona..................................................... 266 3.3.5 Funciones Pares o Impares.......................................... 266 Funcin Par............................................................... 266 Funcin Impar....... ............. ....................................... 267 3.3.6 Funciones Peridicas.................................................. 267 Funcin Peridica....................................................... 267 3.3.7 Funciones Acotadas................................................... 269 Funcin Acotada........................................................ 269 3.4 ASNTOTAS DE LA GRFICA DE UNA FUNCIN DE VARIABLE REAl. ...... ..... ....................... .......................... .................. 271 Asntota HorizontaL........................................................... 272 Asntota VerticaL............................................................... 272 3.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS....................... ........ 273 Aplicaciones de funciones definidas por tramos..................... 275 3.6 TCNICAS DE GRAFICACIN DE FUNCIONES..................... 275 Desplazamientos................................... ... ...... ........... ........ 276 Reflexiones. .......................................... ............... ............ 278 Compresiones o alargamientos........ .................................... 280 Valores absolutos............ ........ ....... .................. ................. 282 9. 3.7 FUNCIONES LINEALES""""""" ,.,.','.'"",,,.,,,.',, '. ', ,.. ".'""" Funciones Lineales................................... 00 . . . . . . . . . . . oo Rango de una Funcin Lineal"""""",."".",.",."".",."".""" Aplicacin de funciones lineales""""""""".",."".....""""" , 3.B FUNCIONES CUADRTICAS" """ """"" " "" "" ' " '.' ". ','.'""" Funciones Cuadrticas............ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8,1 Forma cannica de la funcin cuadrtica"".""",." .. """ 3,8,2 Rango de la funcin cuadrtica""""""""""""."..""" 3,8,3 Forma Factorizada de la Funcin Cuadrtica""",.",.. "", 3,8.4 Grfica de la Funcin Cuadrtica"""""""""".".".."" " Aplicacin de funciones cuadrticas.............................. ..... .. 3.9 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL.. ."."" " , Operaciones con Funciones.... ...... .......... .................. ..... .... . Propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones""", Composicin de Funciones de Variable Real""""""""""""", 3.10 FUNCIONES ESPECIALES""" ".""" ,." '." .. """ ,'." .. ",. ", '.'"" Funcin Valor Absoluto""" ".".'"""" " . ".'""" '."'.'" ,." '."", ~~~~:~~ ~~c~~~:::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::: Funcin Mximo Entero o Entero Mayor"""".. ",. "" "".",." ", 284 285 286 287 289 289 290 290 291 292 295 296 296 297 302 304 305 305 306 306 3.11 FUNCIN INVERSA DE UNA FUNCIN BIYECTIVA"""" "." ", 311 Funcin Biyectiva""", """""""""""""" "."" " " ".""""""" 312 3.12 FUNCIONES POLINOMIALES" """ """""".""", .", .. " .", ."", 314 Funcin Polinomial. """"""'" """ "" "'" """" " '.' ".", ,.', '. "" 315 3.12.1 Grficas de Funciones Polinomiales."""" . ",."""""". 315 Funcin Potencia.""""", "."" """", """' ,"" '.. ".' " '.".. '", 315 Cero de Multiplicidad m " " . " " " " " " " ... " " " " . " " . " " . " " " 317 Teorema del Valor intermedio"""".".""""."." " .. " .. " .."" 319 3,12,2 Operaciones con funciones polinomiales""" " ." ..."."" 320 Funcin racionaL"" ""',',"',' ..""""""" " .. """" '. " ." ,,,,,, 322 Divisin Sinttica"" "" """" ... """"""" "." """ '."'.','.'", 322 Teorema del residuo"""""" ..."""""".... " """ " ..""""", 324 Teorema del factor."""""""."""""""""""" .....",.""... 326 Forma anidada de una funcin polinomial"""" ..."""""" 327 3,12,3 Races de una ecuacin polinmica.""""" ...""""""" 328 Teorema del nmero de ceros""""" ...""""......."".""... 328 Regla de los signos de Descartes""" ..."""........."".".. ". 328 Teorema de los ceros racionales"""".",."""" ..""""""" 329 10. 3.13 FUNCIN EXPONENCIAL..... ........ ...... ......... ...... .... ....... ......... 332 Funcin ExponenciaL... ...... ....... ............ ............. ... ... .......... 333 3.13.1 Funcin Exponencial NaturaL... ... ....... ....................... 338 Aplicacin de la funcin exponenciaL..... ... ... .... ...... ... ... 340 3.14 FUNCIN LOGARTMICA...................................................... 342 Funcin Logartmica .. .. ... ............................. .......... ........ .... . 343 3.14.1 Funcin Logaritmo Natural.......... ........ ...................... 347 3.14.2 Funcin Logaritmo Comn........................................ 347 3.14.3 Propiedades de los logaritmos.................................. 352 3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales................... 354 3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logartmicas...................... 359 EJERCICIOS PROPUESTOS................................................. ......... 367 CAPTULO 4 TRIGONOMETRA Introduccin............................. ................................................. 397 4.1 NGULOS Y SUS MEDIDAS..................................................... 398 Semirrecta .... ... ... ........................................................... .. 398 ~gulo ................................... ......... . ... .................... 3~ 4.1.1 Unidades angulares............ ......... ........................ ....... 400 Ubicacin de los ngulos respecto a su medida.... ......... 401 4.1.2Clasesdengulos........................................................ 402 Coterminales............................... ........................ 402 Consecutivos............. ................................................ 402 Adyacentes...................................... ......................... 402 Complementarios....................................................... 403 Suplementarios......................................................... 403 Opuestos por el vrtice........................................... ..... 403 4.1.3 Relacin entre grados sexagesimales y radianes...... ........ 403 4.2 FUNCIONES TRI GONOMTRICAS ELEMENTALES..................... 406 Funciones trigonomtricas................................................... 407 Valores de las funciones trigonomtricas de ngulos notables........ 411 4.3 GRFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS...................... 412 Funcin Seno............................... ..................................... 413 Funcin Coseno................................................................. 414 Funcin Tangente. ... .............. ............................. .... ........... 422 Funcin Cotangente........................... ................. ............... 423 Funcin Secante.......................... ...... ....................... ......... 429 Funcin Cosecante............................................................. 429 4.4 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS.................... ....... 430 Funcin seno inverso.....,..,....... o............... o.................. o,. o.... 430 Funcin coseno inverso........................ ................................ 431 11. Funcin tangente inversa... ................................................. 431 Funcin cotangente inversa......... .............................. ... ... .... 431 Funcin secante inversa .... ....... .... .. ........ ..... ... ... .................. 432 Funcin cosecante inversa... ............................................... 432 4.5 IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS...... ... ...... ...... ................. . 436 Identidades Cocientes...................... .............. ... .... ..... ........ 436 Identidades Reciprocas...... ... ... ...... ....... ... ... ... .............. ....... 436 Identidades Pitagricas.. ...... .... ...... ....... ...... ... ... ...... ... ......... 437 Identidades Pares o Impares............................................... 437 Identidades de suma y diferencia de medidas de ngulos...... 440 Identidades de ngulo doble... ...... ... .. .. .......... ... .......... ......... 446 Identidades de ngulo mitad............................................... 447 Identidades de suma a producto........................................... 451 Identidades de producto a suma.......................................... 452 4.6 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMTRICAS.... ... ... ..... 455 Ecuaciones trigonomtricas............ .... .. ... .... ... ....... ....... ...... . 456 Inecuaciones trigonomtricas.............................................. 463 EJERCICIOS PROPUESTOS............. ...... ..... .. ... .. .................. ......... 467 CAPTULO S MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EINECUACIONES. Introduccin................... ..... ....... ............ ...................... ...... 475 5.1 MATRICES....................... ........... ........... .................... ......... 476 Matriz............................................................................ ... 476 Igualdad entre matrices...................................................... 478 5.1.1 Clases de matrices...................... ..... ... ... .................. ... 478 Matriz fila ............................................. ..................... 478 Matriz columna. ... ... .... ...... ......................................... 478 Matriz rectangular............. ........................... ..... ....... .. 479 Matriz cuadrada................... .............. .......... ............ .. 479 Matriz triangular superior.. ....... ... ...... .......................... 479 Matriz triangular inferior.............. ................... ............. 480 Matriz nula................................................................ 480 Matriz diagonaL......................................................... 480 Matriz escalar.. ...... ... ....... ...... ... .... ....................... ....... 480 Matriz identidad......................................................... 480 5.1.2 Qperacionesconmatrices.......................... ............... .... 481 Suma entre matrices............. ....... .......... .. .... ... ....... ..... 481 Propiedades................................................. .......... 481 Multiplicacin de una matriz por un escalar..... ... ...... .. .. ... 482 Propiedades.......................... ... .. ..... ...... .. .... ........... 483 Multiplicacin entre matrices............ ....... ... ................. 485 Propiedades.. ... ... .. .. ... ................................. ....... .... 486 Transposicin de una matriz.... ....... ............. .......... .. ..... 488 Matriz simtrica...................... .. ............... ...... ............ 488 12. Matriz antisimtrica.. ............................. ....... ............. . 488 Propiedades de la transposicin de matrices............. 489 Inversa de una matriz.................................... ............. 491 Propiedades de la inversa de una matriz.... .. ............ .. 492 5.2 DETERMINANTES.. ....... ... .. .... ....... ...... ....... ............ ............. ... 495 Teorema 5.1. ...... .. ............................................................. 496 Teorema 5.2...................................................................... 496 Propiedades de los determinantes............ .......................... 499 5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.................................... 506 Sistemas de ecuaciones lineales.... .......... .. ............ .... ........... 507 Representacin matricial de un sistema de ecuaciones lineales......... 507 Representacin de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada. ...... ........ ....... ........ .. .. .. .. .. .. ...... ... ................ 508 S. E. L. homogneos.. .. ........ ................ .............. .................. 508 Solucin de un S. E. L.......................................................... 508 Mtodos de Gauss y de Gauss Jordan ................................... 510 S. E. L. consistentes e inconsistentes.. .. ................................... . 510 Regla de Cramer.... ... .... ... ......... ..... .... .. .. ............ ............. .... 519 Teorema resumen.... .... ...................................................... 523 5.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN EL PLANO (S.E . N.L. ) .................................................................. ........ 524 Sistemas de ecuaciones no lineales.. .... ........ ............ ........... 524 5.5 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES EN EL PLANO (S.I.L.) 528 Conjunto factible............ ................................................... 529 Programacin lineal............................................................ 532 S.6 SISTEMAS DE INECUACIONES NO LINEALES (S.I.N.L.) ............ 535 Sistemas de inecuaciones no lineales.. ....... ............... ....... ... 535 EJERCICIOS PROPUESTOS. ... ............................. ......................... 539 CAPTULO 6 NMEROS COMPLEJOS Int roduccin............................... ........................ ....................... 555 6.1 NMEROS COMPLEJOS.......... ........... ...................................... 556 Nmeros complejos.. .. .. ........... ....... .................................... 557 6.2 OPERACIONES.... ... ........... ..... ... .. ...... .. ... ....... ................ ..... ... 560 Suma entre nmeros complejos.................................... ...... 561 Propiedades..... .. .. ............. ............... ....... ............. ........ ..... 561 Multiplicacin de un nmero complejo por un valor reaL.... .......... 561 Propiedades.. ... ....... ............. .......... ....... ........... ....... ... ....... 561 Multiplicacin entre nmeros complejos.. ................. ............. 562 Propiedades..... ..... ..... ..... ... ......... ............. ............. ............ 562 Divisin entre nmeros complejos......... ....... ....... ................ . 563 13. 6.3 REPRESENTACIN GEOMTRICA. ....................... .................... 565 Mdulo y argumento de un nmero complejo.......... ...... ......... 566 6.4 NOTACIN DE EULER.................... ...... ....... .......... ........ .......... 566 Multiplicacin entre nmeros complejos................ ...... ......... 568 Divisin entre nmeros complejos.............. .......... ............... 568 Potenciacin de nmeros complejos............ ...... ................... 568 Radicacin de nmeros complejos...... .............. ................... 573 6.5 APLICACIONES. .. .. .. ... .. .... ..... .. ... ...... ....... ................. ............. 577 Funciones hiperblicas........................................................ 577 Funciones polinomiales......................................... .............. 579 Teorema fundamental del lgebra...... .... ...... ............ ............ 579 Otras aplicaciones.............................................................. 580 EJERCICIOS PROPUESTOS........... ................ ...... ...... ................... 583 CAPTULO 7 GEOMETRA PLANA Introduccin.. .. ........ .. ............................................................. .. . 589 7.1 FIGURAS GEOMTRICAS................ ..... ..... .............................. 590 Punto.......... ....................... ............................................ 590 Recta ..............................................,... .......... ................ . 590 Plano....................................... .... .. .. ..... .... ...................... . 591 Puntos colineales............................................................... 591 Puntos coplanares............... ... ............................................ 591 Semirrecta o rayo............................................................... 591 Segmento de recta ... ... ....... ...... .... ...... .... ........ ..... .... .. ...... ... 591 Semiplano............................... ....................................... 591 Convexidad........ ...................... ........................................ 591 Figuras autocongruentes................................. .... .. .... .. .... .... 592 Figuras no autocongruentes............................ ........ ............. 593 7.2 RECTAS EN EL PLANO.... .......................... ...... ................ ........ 593 Perpendicularidad...... .... .......... ..... .... ... .. ... .... ... ... ... ... ..... 594 Propiedades de la perpendicularidad entre rectas................ 594 Paralelismo...................................................................... 595 Propiedades del paralelismo entre rectas.... .............. ........... 595 Propiedades de la perpendicularidad, paralelismo e interseccin entre rectas................................................................................. 596 Rectas oblicuas.................................................................. 596 7.3 NGULOS................... .............. ............... ...... ........... ............. 596 ~ngulos opuestos por el vrtice........ ...... ............ ........... ....... 596 ~ngulos externos............. ......... .... ... ... ....... ...... .............. .. .. 597 ~ngulos internos................. ... .... ............... ...... ..... .. ............ 597 ~ngulos correspondientes..... ........................ ................ ...... 597 Angulos alternos externos....... .......... ...... ............ ................ 597 14. ~ngulos alternos internos...... ...... ....... ... ...... ...... ........... ....... 597 Angulos conjugados externos.......... ...... ...... ...... ...... ............ 597 ngulos conjugados internos................ ....... ...... ................ .. 597 Propiedades de los ngulos......................... ..... ........ ...... ...... 598 7.4 POLIGONALES Y POLGONOS................................................. 599 PoligonaL....................... ....... .. ........ ...... ... .. .. .. ....... .... ... 599 Polgono Simple.................................................................. 600 DiagonaL......................................................................... 600 Nombres de polgonos de acuerdo a su nmero de lados............... 601 Propiedades de los polgonos................................................ 601 Polgono regular................................................................. 602 7.5 TRINGULOS.... .. ........... ..... .................................................. 603 Tringulos........................................................................ 604 Clasificacin de tringulos por la longitud de sus lados.. ................ 604 Clasificacin de tringulos por la medida de sus ngulos...... ........ 604 Propiedades de los tringulos........ ............ .......................... 605 Rectas y puntos notables en el tringulo.................... .......... 605 Bisectriz....................... ..... .. .......................................... 606 ncentro........................................................................ 606 Circunferencia inscrita.............. ,.. .o , o , . o . . . . . . , . . . 606 Mediatriz......... ................. ......... ...... ............................... 606 Circuncentro.......... ... ...... .......................................... ... .. 606 Circunferencia circunscrita................ o, .... o, .... o,......... .. .. .. 606 Altura.......................... ............ ...... ............................... 606 Ortocentro.................................................................... 606 Mediana...................................................................... 607 Baricentro................................................................. 607 Centro de gravedad........................................................ 607 7.6 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA............ .................................... 608 Teorema de Thales...................... ................... ........ ...... ...... 609 Corolario del Teorema de Thales.. ............... .......... ...... ........... 609 Semejanza y Congruencia de Polgonos.......... ....... ................. 610 Polgonos semejantes.............................. ....................... 611 Polgonos congruentes........................................ ............ 611 Congruencia y semejanza de Tringulos.......... ............ ............ 612 Criterios para la congruencia de tringulos...... ................... 612 Criterio LAL (Lado-ngulo-Lado).................................. 612 Criterio ALA (ngulo-Lado-ngulo).... ........ ................... 612 Criterio LLL (Lado-Lado-Lado) ........ ............................. 612 Criterios para la semejanza de tringulos.. ...... ....... ........... 612 Criterio AA (ngulo-ngulo)....................................... 612 Criterio ALL (ngulo-Lado-Lado)........ .............. ........... 613 Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)..................................... 613 15. 7.7 RESOLUCIN DE TRINGULOS............................ .. ............... .. 617 Teorema 7.2: DePitgoras....... ..... ..... ................................... 618 Teorema7.3....................................................................... 618 Teorema 7.4...................................................... ....... .......... 618 Teorema 7.5: Ley de los Senos.... ......................................... 619 Teorema 7.6: Ley de los Cosenos.......................................... 620 7.7.1 Tringulos Rectngulos............................................... 621 ngulo de elevacin y ngulo de depresin..... ............... 622 7.7.2 Tringulos Acutngulos u Obtusngulos........................ 628 7.8 CUADRILTEROS.. ... .............................................................. 635 Cuadriltero......................................... ..... ......... ........ 635 Paralelogramo................................................................. 635 Propiedades de los paralelogramos.... .............................. 635 Paralelogramos ms utilizados.................. ....... ...... .............. 636 Rectngulo........................................................... ... ..... 636 Cuadrado...................................... ........... ....... ............. 636 Rombo............. ............. ... .. ......................... .. .. ... ... ... 636 Romboide..... ............. ........ ..... ..... ... ..... ........ .... ........ .... 636 Trapecio...... ....... ... .. ........................... ......... ........... ......... 636 Trapezoide........... ..... .... ........ ........... ................. ..... .... ...... 636 7.9 PERMETRO Y REA DE UN POLGONO........ ....... ............. .... .. . 638 Permetro de un polgono.. ........ ............ ...... ...... .......... ....... 638 SuperfiCie y rea................................................................. 638 Permetro y rea de polgonos ms conocidos............... ........ 639 Cuadrado.................................................................... 639 Rectngulo............................ .......................... ............. 639 Tringulo. ........ ... ..... .. .................. ... ........... ... ........... 639 Paralelogramo............................................................ 639 Rombo .... ............ .... ....... ..... ............... .. ........... .. .... . 639 Trapecio... ... ...... ..... .... ... .. ..................... ... ..... .. ........... 639 7.10 CIRCUNFERENCIA Y CRCULO.. .... ........................................ 645 Circunferencia y crculo .......... .......................... ....... ........... 645 Elementos de la circunferencia y el crculo........ ....... ............ 645 Radio.................................. ... ... .. .. .. ...... ...... ... ... ... .... 646 Cuerda ............. ........ ....... .......................................... 646 Dimetro....... ........ ............ ..... ...... .... .. ........................ 646 Arco.................................................. ..... .. ................. 646 Secante.................................................... ............... .... . 646 . Tangente............. ............................................. ........... 646 An!ulos en la circunferencia................................................. 648 ~ngulo central..... ..... .......... ............... ................. ............ 648 ~ngulo inscrito............................................................... 649 ~ngulo interior. .................... ............. ...... ......... .......... ..... 649 ~ngulo exterior. .............................................................. 649 Angulosemi-inscrito....... .... ...... ...... ....... ...... .............. ...... 649 16. 7.11 POLGONOS Y CIRCUNFERENCIAS... ",.".".",.. ,." ...." .."" .."" 654 Polgono inscrito o circunscrito"""""""".""" "" .. ""."".. "" 655 Apotema""".""."",.""",.""""""""""."".""."".""."."" 655 7.12 FIGURAS CIRCULARES, """,,,,,' .. ',, .. ,,,, ..,,,' .. '," .. '," .. ', """ "'" 657 Sector circular", .. """"" '''''' " .. "' .. ',,, ..,," ..',, ..."' ... "' .. ' "'''''' 657 Segmento circular",,,,,,,,,,,,,,,, .",' .. ' "' .. ',,' .. '," ... ',, .",' .. '" """ 658 Corona o anillo circular"" .. " "" .."".""""" .. "" .. "" .. "".",,,,,,, 658 rea del crculo", .. " .. "" ",,,,,,, ..,,,' .. "" ..", '" ", ..,,,' .. ' "' .."",,,, 659 rea del sector circular",,,,,,,,,, ..,,,, ..,"' .. ',,,,, .. ,..,.. ,.. ',,,, .. ,,,,,,, 660 rea del segmento circular"" " """ .. "" ..""""".. ""."" .."""" 661 rea de la corona circular""""".""."" .. "" .. "" .. "" ... " .. "".", 661 EJERCICIOS PROPUESTOS" """""'" ",' .. '", .. ,,,, ..,," .. ',,, .", " .. " "'" 673 CAPTULO 8 GEOMETRA DEL ESPACIO Introduccin,,,,,,,,,,, """"'" "'"'''' """' .. " .. "' .. ',,,,, """",,,," .. " .. ' '" 681 8.1 FIGURAS EN EL ESPACIO" "" " .. """"""" .."" .."" .."" .. "".. "", 682 Figuras no contenidas en el plano""" ..""... " .. "."."" ..""..."" 682 8.2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO""""""""""""."".. "".. "" Rectas alabeadas,,,,,,, """""", '" """ '",''' "" ....,.. ', .... ", .. "", Posiciones de una recta respecto a un plano"" .. "."" .."".. "" Planos paralelos,,,, .. ,"" .. """,,,,, .. ,"'"'''' """'" " .. ", .. " ", .. ,,, ~~~:~ g~~i~~o~~:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 8.3 CUERPOS GEOMTRICOS,,,,,,,,, ,,,, .. ,"" .. " " .. ,,,' .. ' "' .. ', .... "",,,,, ~Iiedro"",""""""""""""""""""""'"""".",.",.""""", Propiedades de un poliedro convexo""""""""" .. """", Diagonal del poliedro"",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,..,,,,, Nombre de poliedros segn el nmero de caras"""" ......"" Poiiedro Regular"" ," ' '" ," ," '" ," ,'" ," '" ," ," ,," ," '" ," ,"" " " ,'" Tipos de poliedros regulares """"""""""""""'''''''''''''''''' Tetraedro regular,,,,,,.,,, .. ,,,, ..,, ....,, " .. ", ".", ", ,,' .. ' '" "" Hexaedro regular", " "" """' .. '", .. "" ..,, " ... ' " .. ", ..,,,, "" Octaedro regular,,,, "",," .. " " .. "' .. ',,' .. ', " ... ''' .. '' " .. " "'" Dodecaedro regular"""" .. " " .. " " .... ,.. ' ,,".. "' ..,, ...."."" Icosaedro regular" "'''' "' ..,, " .. " " .. ", ..,", ..,", .. "" .. "",,, 683 683 684 684 685 685 686 686 687 688 688 688 688 688 688 689 689 689 17. 8.4 PRISMAS............................................................................... 689 Prisma ..................................... .. ....................... 690 Generatriz.................................................................. 690 Altura del prisma............................................................ 690 Prisma recto.................................................................. 690 Prisma recto regular................. ................... ................... 690 Prisma oblicuo.......................................... ....... .............. 691 Paraleleppedo.. .. ........ ....................... .............. ...... .. .. .... 691 Ortoedro...... ... ... .. .... ... ... .... ......... ........ .... .. ... ......... ... 691 8.5 PIRMIDES... ...... ........ .......................................................... 693 Pirmide......................................................................... 693 Pirmide recta...................................... ........ ...................... 693 Pirmide regular........................ ..... ............................. ....... 693 Apotema de la pirmide........ ...... ....................... ..... ............. 694 Pirmide truncada.............................................................. 694 8.6 REAS DE POLIEDROS........................... .. .... ..:..................... .. 694 Tipos de reas de prismas y pirmides.............. ................... 695 rea de poliedros regulares................................ ............... 695 reas de las superfiCies de un prisma recto.......... ................. .. 695 reas de las superfiCies de una pirmide regular........ ............. 695 reas de las superficies de una pirmide truncada regular........ 696 8.7 VOLUMEN DE POLIEDROS...................................................... 701 Volumen del paraleleppedo recto rectangular.......................... 701 Volumen del cubo................................ .. ............ ............ ..... 701 Volumen de una pirmide.................... ............. .................. 702 Volumen de una pirmide truncada........ ...... ...... ........ ........... 703 8.8 CUERPOS DE REVOLUCIN.. .................................................. 707 Superficie de revolucin........ .......... ....... ............ ................ 707 Slido de revolucin........ ............. ........ .. .... ......................... 708 Cuerpos de revolucin............. ............... ...... ....... ................ 708 Cilindro recto............. .................................................... 708 Cono recto................................... ................................. 708 Cilindro de revolucin. ..... .. ......... ........... .. .............. ...... .... 709 Cono de revolucin.................................... ..................... 709 rea de la superficie lateral y de la su perficie total de un cilindro recto 709 rea de la superficie lateral y de la superfiCie total de un cono recto 709 Cono truncado.......................... ....... ... ...................... .... .. ... 713 Cono truncado de revolucin................................................ 713 Esfera slida y superfiCie esfrica.. ... ... ... ............. ................... 714 Esfera slida de revolucin............. .. ...... ...... ... ....... ............... 714 Elementos de la esfera slida y la superficie esfrica............... 714 Radio............. .......................... ..... .. ........ ................... 715 Dimetro............................... ...................................... 715 Casquete esfrico........................................................... 715 18. Huso esfrico... ............ ................................................. 715 Plano secante.... .. .................. ....... ... .... ......................... 715 Plano tangente............. ........... .. .................................... 715 Volmenes de cuerpos de revolucin..................................... 715 Cilindro......................... ...... .. ....... ..... ..... ...... ... ...... 715 Cono........................... ... .. .. ... ...... ............. .... .. .............. 716 Cono truncado............................................................... 716 Esfera (slida).. ....... ...................................................... 716 EJERCICIOS PROPUESTOS...... .......... .................. ...... .................. 739 CAPTULO 9 VECTORES EN EL ESPACIO Introduccin................................................................................ 745 9.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. .... .. ... ...... .... ....... .. . 745 Magnitudes escalares........ ............... .............. .... ....... ........ 746 Magnitudes vectoriales.............................. ................. ........ 746 Vector en el espacio............ ...... ..... ...... ................ .. .............. 747 Magnitud de un vector. ........ ..... ................... .................... 749 Vector cero........,........................................................... 749 Vectores iguales.................. ........... ............ ...... ..... ... ... ....... 749 9.2 OPERACIONES ENTRE VECTORES....... ........................ ..... ....... 750 Suma vectoriaL............................... ... ....................... ......... 750 Propiedades................................................................. 751 Resta vectorial............ .... ... ................................................ 752 Multiplicacin de un vector por un escalar....... ....... .................. 753 Propiedades.............. .... ... .. .... ......... .... ....... ................ .. 753 Vectores paralelos............. .. .... .... ... ..... .... ........................... 754 Combinacin lineaL.... ... .... ;.......................... ....................... 756 Espacio vectorial.. ... .......... ........................... ...... ................. 756 Producto escalar........ ...... ....... ............. ............... .... .... ........ 759 Propiedades.................................. .......................... ..... 759 Medida del n~ulo entre dos vectores.......... ......... ... ............. ... 760 Teorema 9.1: Anguloformado entredosvectores.. ......... ............ 760 Vectores ortogonales.......................................................... 760 Teorema9.2: DesigualdaddeCauchy-Schwarz......................... 762 Desigualdad triangular...... .......... .... ..... ....... ...... ... .... ........... 763 Norma de un vector. ....... ... ...... ... .. .. .... .......... ..... ...... .. ..... ..... 764 9.3 VECTORES UNITARIOS.......................................................... 765 Vector unitario... .................... ... ......... .... ....... ............... ...... 765 Proyecciones escalares y vectoriales..... .... ....... ... .... ............... 765 Proyeccin vectoriaL.. .. .. ........ ................ ........ ..................... 765 Proyeccin escalar. ................... ............................ .... ...... .... 766 19. 9.4 PRODUCTO VECTORIAL.............. ..... ...................................... 769 Producto vectoriaL.................................. ...... ....... ................ 769 Propiedades............................................................... 770 Teorema de la Norma del Producto Cruz...... ....... ....... ....... ....... 771 Producto cruz de vectores i, j, k........................................... 771 9.5 APLICACIONES GEOMTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL.. ......... 773 rea de la superficie de un paralelogramo...... ............ ........... 773 Volumen de un paraleleppedo...... ............ .................. ........... 778 Producto mixto.. ........... .............. ............ ......... ..... ............... 779 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 781 CAPTULO 10 GEOMETRA ANALTICA Introduccin... .. ... ..... ......... ..... .............. ..... ............ ................ 785 10.1 RECTAS EN EL PLANO........................................................... 786 Recta ....................................................................... ..... 786 10.1.1 Distancia entre dos puntos............ ............ ...... ............ 787 Distancia entre dos puntos......... ....... ......... .................. 788 10.1.2 Punto medio de un segmento de recta ........................ 789 Punto medio de un segmento de recta..... ..... ........... ....... 790 10.1.3 Ecuacin de la recta ................................................... 791 Ecuaciones paramtricas de la recta.............................. 792 Forma simtrica de la ecuacin de la recta....................... 793 Forma general de la ecuacin de la recta......... .............. 793 Vector normaL......... ....................... ............ .... .......... 794 10.1.4 Pendiente de una recta.................. ............................. 796 Pendiente de una recta............................................... 796 Ecuacin de la recta punto - pendiente............................. 798 Rectas paralelas........... ................ ............ ................. 802 Rectas coincidentes...... .................. ........................... 802 Rectas secantes........................................................ 802 Teorema de: Pendiente de rectas paralelas.... ........ ............. 802 Teorema de: Pendiente de rectas perpendiculares ................. 804 10.1.5 Distancia de un punto a una recta.. ................ ............... 805 10.2 SECCIONES CNICAS......... ............. ....... ....... ....................... 809 10.2.1 Circunferencia............. .... .. ...................... .. ............... 811 Circunferencia. ............. ... ...... ................................... 811 Forma cannica de la ecuacin de una circunferencia.... 811 Forma general de la ecuacin de una circunferencia...... 812 Clculo de los elementos de una circunferencia............ 815 Ecuacin de la recta tangente a una circunferencia...... 817 20. 10.2.2 Parbola................................................................. 830 Parbola.................................................................. 830 Eje de simetra........ .......... ................ ........................ 830 Vrtice.............................................................. :.. 830 Lado recto................................................................. 830 Forma cannica de la ecuacin de la parbola.................... 830 Forma general de la ecuacin de una parbola..... ...... ... ... 833 10.2.3 Elipse..................... ................................................. 840 Elipse... ............. ... .. .... ....... ....... ...... ..... ......... ........ 840 Eje mayor........................................................... 840 Semieje mayor y semidistancia focaL....... ....... ....... 840 Centro................. .... .................................... 840 Vrtices.... ... ....... ... ... ... .. .................................... 840 Lado recto....................... .............. ....... ....... ....... 840 Semieje menor.................................................... 840 Excentricidad.... ............................................... 840 Clculo de la longitud del eje menor...... ...... ........ .. ........ 840 Forma cannica de la ecuacin de una elipse. ................ 841 Ecuacin de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas........ ... ... ... ........... .. .............................. 842 Eje mayor horizontaL................................... ........ 842 Eje mayor verticaL................................ ..... ....... .. 842 Forma general de la ecuacin de una elipse................. 842 10.2.4 Hiprbola............................... ....................... .......... 847 Hiprbola... ..... ...... .. .. ... .... ...... ..... .... ....... .... .... .... 847 Eje transverso... .......................... ...... ................. 847 Eje conjugado... ... .............................................. 847 Centro.... ........ ...... .............. ...... .. .. ... ... ............ 848 Distancia focaL.................................................. 848 Vrtices........ ............ ......... ......... ........... ....... 848 Semieje conjugado.............................. ............... 848 Lado recto......................................................... 848 Excentricidad.... ..... .... ... ......... ..... .... .. ......... ...... 848 Forma cannica de la ecuacin de una hiprbola.. ......... 848 Ecuacin de la hiprbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas........................................................... 849 Eje horizontaL......................................................... 850 Eje verticaL............................................... .............. 850 Asntotas oblicuas de una hiprbola.............................. 850 Hiprbola cuyo centro es 0(0, O)............................ 851 Hiprbola cuyo centro es O(h, k).. .. .. .... ................. 851 Eje transverso horizontaL................................ 851 Eje transverso verticaL................................... 851 Hiprbolas conjugadas.............................................. 851 Rectngulo auxiliar..................................................... 851 Hiprbolas equilteras............................................... 851 Forma general de la ecuacin de una hiprbola........ ................ 852 21. 10.2.5 Lugares geomtricos.................................................. 858 10.2.6 Excentricidad.............................. ............... ............... 864 EJERCICIOS PROPUESTOS..................... ........ .................. .... ....... 865 CAPTULO 11 ESTADSTICA Y PROBABILIDADES Introduccin........................................ ....... .......... .. ........ .... ....... . 871 Primera fase: (Los censos)................................. .. ....... ... .... 871 Segunda fase: (De la descripcin de los conjuntos de la aritmtica poltica).............. ........ ..... ... ... ..... ..... ........ ........... .. ..... 872 Tercera fase: (Clculo de probabilidades) ............................. . 872 11.1 ESTADSTICA DESCRIPTIVA. .......... .... .. ..................... ........... 872 Estadstica descriptiva............... ................ ... ............. ....... .. 873 Estadstica inferencial......................................................... 873 Mtodo estadstico........ ......... ... ........ ..... ...... ... ..... ......... ..... 873 Errores estadsticos comunes.... ......... ....................... ...... ... 874 Sesgo................. .. ....................................................... 874 Datos no comparables.. ................... ..... ....... .......... ......... 874 Proyeccin descuidada de tendencias. ..... .... .. ..... .. .... ......... 874 Muestreo incorrecto............ ..... ....... ...... .......... ....... ......... 874 Conceptos bsicos...... ..... ... ....................... ............ .... .. ....... 874 Elemento o ente....................... ........... ..................... ...... .... 874 Poblacin.. ......... ..... ........ ....... ... .... .... .. ..... .. ............... ....... 875 Poblacin finita .......... ...... .......... ... ...... ........ ..... .... .. ........ 875 Poblacin infinita............................................................ 875 Muestra.................................................................. .. ...... 875 Variable............................................. .. .... ..... ....... .... ..... .. 875 Variables Cuantitativas......... .............. .. ......... .................... . 875 Discretas........... .... .. ..... .......... ...... ...... ....... ...... ....... .... 875 Continuas..................... ...... ................... ..................... 875 Variables Cualitativas o Atributos.. ........................ ...... ...... .. 875 Ordinales........ ......... ... ......... ..... .. ....................... ... ...... 875 Nominales....... ..... ...... ... ................ ....... .... .............. ..... 876 Clasificacin de las variables..... ..... ....... ..... .................. ....... 876 Variables unidimensionales...... ......... ..... ...................... ... 876 Variables bidimensionales............ .... ........ .............. ......... 876 Variables multidimensionales....................... ................... 876 Escala de medicin de variables...... .................................... 876 Tipos de medidas. ............. ......... ...... ...... ................ ...... . 876 22. 11.2 ORGANIZACIN DE LOS DATOS.... .... .. ...... ....... ... .. ... ... ... 877 Tablas de frecuencia.......... .... ...... ...... ... ............ .... ... .......... . 877 Tabla de tipo 1..... ....... .......... ......... ... ... ......... ............. ..... 877 Tabla de tipo Il.... .. .... ...... ... ... .......... ... .... ...... ... ... ...... ..... 877 Tabla de tipo III (Tabla de intervalos).. .... ...... ..... ...... ... ... 879 Tabla de distribucin de frecuencias. ...... ...... ... .......... ......... ... 880 Frecuencia absoluta .. .. .................... ..... .. ....... .................. 880 Frecuencia absoluta acumulada..... ... .... ............................ 880 Frecuencia relativa........... ..... .. ...... ... .............................. 880 Frecuencia relativa acumulada............... ... ...... ...... .......... 880 Modelos de tablas estadsticas...... ................ ....... ...... ........ .. 881 11.3 GRFICOS DE REPRESENTACIN.. ........... .. ....... ... .. .... .. .. 886 Histograma........... ..... .. ........ ... ........ ................... ..... 886 Poligonal de frecuencias ............ ..................................... 887 Diagrama de tallo y hojas.................. ............. ...... ......... 888 11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.. ................................ 890 Media aritmtica........... .......... ......... ....... ....... ...... ...... .... 890 Mediana.... .. ... .... ... ...... .... ..... ..... ... .. .............................. 891 Moda.. .. ..... ...... ........... .............. .................................. 892 Medidas de tendencia no centrales...... ............. ............. ........ 894 Cuarteles............ .. ...... ...... ... .... .... .. ..... ... .. ................. . 894 Deciles...... ....... .".. ... ... ... .... ........ ..... ... .. .... ..... .. ........ ...... 894 Percentiles.. ... .. .. .. ..... ................................................ 895 11.5 MEDIDAS DE DISPERSIN ...................... .......................... 896 Rango...................... ........ .... ...... .... .. ..................... ..... . 896 Varianza.... .. ............. .. ...... ........... .................. ......... 896 Desviacin Tpica.......................................... ........... ..... .. 896 11.6 PROBABILIDADES. ................................................ ............. 897 Experimento aleatorio... ............. ... ................. ........ ..... .. ...... 898 Espacio muestral... ... ..... .. .... .. ... ..... .. ......... ... .. .... .......... ....... 898 Evento o suceso...... ..... ..................... ...... ....... ....... ....... ....... 899 Eventos mutuamente excluyentes. ......... ....... ...... .......... ....... 899 Eventos complementarios...... ................ ............................... 900 Probabilidad clsica..... .... ............... .................................... 900 11. 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDADES.. ............. ...... ....... ............ 903 Unin............. .. .......................................................... 903 Interseccin................. ...... ......... .. ...... .. .. ............. ..... . 903 Complemento. ..... .. ... .......... .... .... ...... ..... ..... ...... ...... .... 904 Subconjunto.... ...... ..... ............. ................ ................. 904 Propiedades.......................... .... .... ..... ...... ......... ...... 906 Diagrama de rbol. ...... ......... ............ .... ....... ..................... . 908 Tringulo de Pascal. ... .... ............. ...... ................................. 916 23. EJERCICIOS PROPUESTOS... ..................... ,.......................... ....... 923 Apndice A Postulados de Euclides................................................ 929 Apndice B Postulados........ .......... .... ............................ ............ 931 Postulados de Cavalieri. ... .......... ....... ..... ....... ....... ... ... . 931 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS............... ............. ...... .. ........ ... ... 933 GLOSARIO DE TRMINOS..................... .. ............................. 941 BIBLIOGRAFA .. ........................................................ ...... 945 24. Introduccin Para que se pueda tener una idea global de esta obra, a continuacin se presenta un enfoque panormico de sus componentes. El material del libro incluye: Tabla de Contenido: Representa el detalle del ndice temtico de esta obra, para que el lector pueda ubicar de manera rpida los tpicos de su inters. - r.tM. dfI Contenido -_._......... ~- =:== .: Once Captulos: Los cuales han sido seleccionados en base a las exigencias actuales del conocimiento que debe adquirir un estudiante del bachillerato. Cada captulo se puede diferenciar del resto, ya que se han utilizado colores distintos. Glosario de Trminos: Contiene el significado de expresiones que se utilizan en este texto, con el propsito de no dejar dudas o imprecisiones. Glosarlo de trminos ~'&"-"""'.--"'""'"""'-"~'1"""" -- 1 25. Los once captulos a los cuales se hace referencia, son: lgica y Conjuntos: Con el uso de la Lgica Matemtica como lenguaje, se establecen criterios de verdad, se emplean mtodos de anlisis y razonamiento; y, se usan implicaciones y equivalencias lgicas para conocer cmo se realiza una demostracin. Considerando que los conjuntos constituyen uno de los conceptos bsicos de las matemticas, se puede obtener una descripcin detallada de los fundamentos de la Teora de Conjuntos. Ambos conceptos se enlazan de manera lgica para plantear el tema de funciones sobre conjuntos finitos, tema de trascendental importancia en el conocimiento matemtico. Nmeros: En la parte aritmtica se desea que el estudiante recuerde las operaciones fundamentales sobre los nmeros; un tema relevante lo constituyen la manipulacin de fracciones y los radicales. Cuando se utiliza el lgebra se espera que el estudiante adquiera destrezas mnimas como objeto de estudio de cantidades que pueden considerarse en la forma ms general posible. El planteo y resolucin de problemas es fundamental en la formacin profesional del futuro ingeniero. Funciones de una Variable Real: El concepto de funcin se refiere a toda correspondencia matemtica que cumpla con las condiciones de existencia y unicidad. Se tratan los diferentes tipos y caractersticas que las funciones poseen, haciendo especial nfasis en su graficacin como requisito indispensable para los cursos de clculo. Las aplicaciones de este tema merecen especial atencin, pues se reconocer la utilidad particular de las funciones lineales, cuadrticas, exponenciales y logartmicas, en diversas situaciones que ocurren a nuestro alrededor. Trigonometria: Las razones trigonomtricas son la base fundamental de numerosas aplicaciones matemticas y fsicas, por ello, en este captulo se conocer el significado de cada una, comprobando sus propiedades y relaciones en las denominadas identidades trigonomtricas. Nuevamente, el enfoque grfico es prioritario para el estudio de las funciones trigonomtricas y sus correspondientes inversas. Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones: Para el modelamiento de mltiples ecuaciones se introduce el concepto de matriz con sus diferentes clasificaciones. La aplicacin del determinante nos permitir distinguir entre matrices singulares y regulares, as como resolver sistemas de ecuaciones lineales. Mientras que para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y de inecuaciones se utilizar el anlisis grfico propuesto en el captulo de Funciones de una Variable Real. Nmeros Complejos: Se ha considerado este captulo por la limitacin de los nmeros reales para resolver rafees de ndice par de nmeros negativos, ampliando los conceptos ya tratados en el captulo de Nmeros. Tambin se muestra la relacin que tienen estos nmeros con las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. 2 26. Geometra Plana: El estudio de la geometra en el plano es de fundamental importancia, ya que a partir de subconjuntos no vacos se pueden establecer sus relaciones y propiedades, as como calcular permetros y reas de superfcies que utilizamos en nuestra vida diaria. Geometra del Espacio: La profundizacin en esta parte de la geometra proveer las referencias necesarias para construir cuerpos en tres dimensiones, identificando sus elementos principales y estableciendo las expresiones necesarias para el clculo de reas de superficies laterales, superfcies totales y volmenes. Vectores: Se realiza un anlisis vectorial en el plano y en el espacio, con las diferentes operaciones permitidas entre ellos o con valores escalares. Se introducen los conceptos de combinacin lineal y espacio vectorial, fundamentos de un curso de lgebra Lineal, as como la aplicacin geomtrica del producto punto y producto cruz. Geometra Analtica: En este captulo se estudiarn definiciones y propiedades de figuras en el plano, partiendo del planteamiento de igualdades condicionadas que llevarn a identificar lugares geomtricos de rectas y cnicas, estudiando sus grficas, elementos; V, caractersticas principales. Estadstica y Probabilidades: Aunque este tema puede resultar bastante extenso, solamente nos enfocaremos en la estadstica descriptiva y daremos una breve introduccin a la teora de Probabilidades. Se podr organizar un conjunto de datos en forma tabular y realizar su representacin grfica, encontrar las medidas de tendencia central y de dispersin; y, se utilizarn los conceptos del captulo referente a Conjuntos para encontrar los elementos que corresponden a eventos de espacios muestrales y la probabilidad de su ocurrencia. Cada captulo presenta el siguiente esquema: Introduccin al tema: En donde el lector obtiene una referencia apropiada de cada captulo mediante antecedentes histricos y biogrficos, as como de su importanCia y trascendencia en las matemticas. Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 1ntroduccln La dettnfd6n de matrtz aparece por primera vez en el ano 18SO, IntrodUCIda por J. J. Sylvester. ~n embargo. hace ms de dos mil anos los matemti- cos chinos habfan descubierto ya un m~todo de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales y por lo tanto empleaban tablas con nmeros. 3 27. Normalmente esta introduccin tiene la foto de un personaje que distingue de manera adecuada el tema que se comenzar a analizar. La foto incluye el nombre del personaje, pas de origen y perodo de vida. Induccin a la seccin: En bsqueda de la coherencia con el propsito del nuevo material de lectura, se prepara al lector con nexos para las diferentes secciones. _ ..... DeSde el puntO de 'ItSbI hIstnco, 11 ~ lIneII ..-gI6 como UN ~ PI'" rao/Yer ~ ~CCIn" dIsb1bud6n de ~ Y~ ~ .. FUera MrN de Iot at8do& lkIIdos durante 11 segunda ,...,....-.. en .. ~ es ldudI .,.,. 11 optImIud6n dt 11 dIIlJ1bud6n de 101 ~."'-'---r"" ...ltUde ....... ~Aunque 101 ~ ~ CGI1denetI II'IIIOIde """9' INe6ucon CIbw dentoI_1nc:6gnIla en estIo RCd6n ~ lIUI:StRI ftbdo sOlo doI; YW1ItI6eIpwI poder ~~. Secciones: Cada captulo ha sido dividido en temas, de acuerdo a los conceptos que se pretende analizar. Estas agrupaciones, denominadas secciones, muestran de manera detallada cada tpico con la profundidad y aplicacin que el caso amerita. Tambin se puede contrastar con lo que se supone el lector ya conoce sobre el tema. Cada seccin se encuentra numerada segn corresponda al captulo que se est analizando. Objetivos: Al iniciar cada seccin, el profesor puede plantearde manera especfica en conjunto con sus estudiantes lo que se pretende lograr al finalizar la lectura de cada una de ellas. El cumplimiento de tales objetivos confirmar la comprensin de los diferentes conceptos. 4 28. Definiciones: Estas declaraciones representan las propiedades y los significados ms relevantes que el lector no debe olvidar. Une matriz cuedrada A, se dice que es sIf'MtrIca, si Y 1610 si, AT =.4. Esto se puede representllr slmb6Ucamente por Vi 't'J(CIJ ,.. .,.). Teoremas: Proporcionan el material necesario para complementar la importancia del marco terico de definiciones y demostraciones. Ejemplos resueltos: Representan aplicaciones concretas y directas a partir del anlisis de cada tema. La complejidad de los mismos guarda un orden creciente en una misma seccin. Algunos de los ejemplos seleccionados tienen relacin con otras ramas de las ciencias y con la vida real. Ejemplo 5.1 Identlfic"'f'1nn dp filas V~CO:I:um=n:.s:.____~~~~ En~ __ A,.,=GD Lo}i/4 I .. (1 2). lo}i/4! '" (3 4). lo}i/4 3 .. (5 6). 5 29. Ejercicios propuestos: Al finalizar cada captulo se plantean ejercicios organizados por seccin, los mismos que tienen diversos grados de dificultad y se presentan en forma de preguntas de tipo Verdadero/Falso, Opcin Mltiple y de Desarrollo. La finalidad de estos ejercicios es promover el trabajo independiente y la autocrtica por parte del estudiante. En la parte final del texto se muestran las respuestas a los ejercicios propuestos, exceptuando aquellos que requieren demostraciones o construccin de tablas y grficas. ACi,'g,.". i"~Ii.h Ejercicios propuestos 5.1 Matrices y operaciones 1. Si A Y B son dos matrices cuadradas cualesquiera, entonces (A+BJ'= A' + B' + 2AB a) Verdadero 2. Dada la ecuacin matricial: (~ !)x=(! b) Falso - 1 71 hallar X. 8 -3/ 3. a) Determine la matriz 2X2 A=(u~), para la cual GIj =i+ j-2. b) Sea 8=[0 o). Es B una matriz diagonal? O -2 e) Sea C=A+B Es e una matriz identidad? d) Sea la matriz Jx2 D= (dlj)' para la cual dI) =2+3j-4, encuentre: (i) DA (ii) DB (iii) De 6 30. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Introduccin a la Lgica Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen una mentalidad lgica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones vlidas. Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lgica aristotlica, donde todo argumento debe ser o verdadero o falso, no existe una tercera posibilidad. Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos. La frase: "Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa", sugiere que la palabra sobre tiene tres diferentes significados en la misma oracin. Por ello, se necesita de un lenguaje que sea ms preciso: la lgica simblica. Su propsito consiste en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplificar el anlisis de argumentos lgicos complicados. La lgica simblica es la rama de las matemticas que nos permite reconocer la validez de una argumentacin, as como tambin nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemticas son las definiciones, stas en general no responden a la pregunta qu es?, sino a la pregunta qu caractersticas tiene? Adems, las definiciones tienen una parte conceptual (qu significa?) y una parte operativa (cmo se trabaja?). Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento, cuando a la edad de 14 aos intent reformar la lgica clsica. En 1666, deseaba crear un mtodo general en el cual todas las verdades de la razn serian reducidas a una especie de clculos, llamando a la lgica simblica "caracterstica universal", El sueo de Leibniz no se realiz hasta que Boole separ los smbolos presentes en las operaciones matemticas, de los conceptos sobre los cuales operaban y estableci un sistema factible y sencillo de lgica simblica. 7 31. En 1854, Boole expuso sus ideas en su obra "An Investigation of the Laws of Thought" (Investigacin de las Leyes del Pensamiento). Desgraciadamente, este trabaja no recibi buena aceptacin, y no fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell (1872- 1970) Y Alfred North Whitehead (1861-1947) utilizaron la lgica simblica en su obra "Principia Mathematica" (1902), que el mundo de la matemtica dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 aos antes. El lgebra booleana constituye un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Es usada ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y computadoras; YI sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas. En el nivel de lgica digital de una computadora, el hardware trabaja con diferencias de voltaje, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. En este captulo se tratar de responder a la pregunta cmo podemos llegar a ser ms lgicos? Se pretende aplicar la lgica no solamente en el estudio de las ciencias, sino tambin en la vida cotidiana. Es necesario poder comunicarse de manera inteligente con los dems; se requiere adquirir capacidad para analizar los argumentos de nuestros dirigentes y legisladores; necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las aseveraciones de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lgica es una parte importante del mundo que nos rodea y en este captulo sentaremos las bases que nos ayudarn a ser definitivamente ms lgicos. 1.1 Proposiciones Objetivos pg.8 32. Captulo 1 Lgica y Conjuntos La lgica es un mtodo de razonamiento que no acepta conclusiones errneas. Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos. Todo debe definirse de tal forma que no d lugar a dudas o imprecisiones en la veracidad de su significado. Nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario, un enunciado u oracin se puede definir como "una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayscula y termina con un punto". Sin embargo, en lgica simblica una oracin tiene un significado mucho ms especfico y se llama proposicin. Una proposicin es una unidad semntica que, o slo es verdadera o slo es falsa. Los elementos fundamentales de la lgica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algn tipo de imprecisin (carecen de sentido), no son objeto de estudio de la lgica. Ejemplo 1.1 Oraciones que son proposiciones. 5 es un nmero primo. -17+38=21. Todos los nmeros enteros son positivos. Vicente Rocafuerte fue presidente del Ecuador. Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisin y sin ambigedades o subjetivismo. Usualmente, las primeras letras del alfabeto espaol en minscula se usan para representar proposiciones. Ejemplo 1.2 Representacin simblica de proposiciones~.:.._. S es un nmero primo puede ser representada por la letra a, de la forma: a : 5 es un nmero primo. p; q 33. Ejemplo 1.3 Oraciones que no son proposiciones. Lava el auto, por favor. Hola, cmo ests? iAprate! La conceptualizacin cambii! lo absurdo en azul. x +S=9. iMallana se acabar el mundo! Las primeras cuatro oraciones no son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones. El quinto enunciado no es una proposicin, ya que el valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad. La sexta oracin no es una proposicin porque su valor de verdad no se puede determinar. El valor de verdad de una proposldn es la cualidad de veraddad que describe adecuadamente la proposidn. ste puede ser verdadero o falso. Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, Fa/se. Se podra utilizar cualquiera de ellas, pero la convencin a seguir en el texto ser el uso de O y 1, tomando como referencia el sistema de numeracin binario. En el ejemplo 1.1 podemos observar que el valor de verdad de la segunda proposicin es VERDADERO, mientras que el valor de verdad de la tercera proposicin es FALSO. Verdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lgicos de la unidad semntica descriptiva con sentido completo. Ese valor es lo que ms nos interesa sobre una proposicin. Una tabla de verdad es una representacin de los posibles valores de verdad que podrfa tomar una proposicin. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lgicas. 34. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Ejemplo 1.4 Construccin de tablas de verdad. a b e a b O O O O O I a O O O I O O O I O I I I I O I O O I I I O I I I O I I I La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresin lgica. 1.2 Operadores Lgicos Gbjet vos En nuestro lenguaje comn usamos frecuentemente proposiciones ms complejas, no tan simples o elementales. pg.l. 35. Ejemplo 1.5 Proposiciones que no son simples. No te encontr en tu casa. Fui al banco y estaba cerrado. Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos. El carro de Juan o es azulo es negro. SI me gano la lotera, entonces me compro una casa. Estudio en la ESPOL si y slo si me esfuerzo. Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lgicos. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayora, son denominados partes invariables de la oracin. Sea a una proposicin, la negacin de a, representada simblicamente por -.a, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad : a -.a . o I I O Cuadro 1.1: Tabla de Verdad de la Negacin. Este operador lgico cambia el valor de verdad de una proposicin : si a es una proposicin verdadera, -,a es falsa; si a es una proposicin falsa, ~ es verdadera. La negacin se presenta con los trminos gramaticales : "no", "ni", "no es verdad que", "no es cierto que". Ejemplo 1.6 Negacin de proposiciones. Si se tiene la proposicin: a: Tengo un billete de cinco dlares. La negacin de a es: -.a: No tengo un billete de cinco dlares. Ejemplo 1.7 Negacin de proposiciones. Si se tiene la proposicin: a: No quiero hacer el viaje. La negacin de a es: -.a: Quiero hacer el viaje. pg . 12 36. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Sean a y b propOSICIones, la conjuncin entre a y b, representada simblicamente por alb, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: a b alb O O O O I O I O O I I I Cuadro 1.2: Tabla de Verdad de la Conjuncin. Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. En espaol, la conjuncin copulativa se presenta con los trminos gramaticales: "y", "pero", "mas", y signos de puntuacin como: la coma, el punto, y el punto y coma. Ejemplo 1.8 Conjuncin de proposiciones Si se tienen las proposiciones: a: Obtengo buenas notas. b: Gano una beca. La conjuncin entre a y bes: alb: Obtengo buenas notas y gano una beca. Ejemplo 1.9 Conjuncin dE" proposiciones Si se tienen las proposiciones: a: Trabajo mucho. b: Recibo un bajo sueldo. La conjuncin entre a y b se puede expresar como: alb: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo. pag 1! 37. Sean a y b proposiciones, la disyuncin entre a y b, representada simblicamente por avb, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad : a b avb O O O O l l l O l l l l Cuadro 1.3: Tabla de Verdad de la Disyuncin. Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. En espaol, la disyuncin se presenta con el trmino gramatical "o". Ejemplo 1.10 DisyunCin de pr' ,posiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Tengo un libro de Trigonometra. b: Tengo un libro de lgebra. La disyuncin entre a y b es: avb: Tengo un libro de Trigonometra o uno de lgebra. Como se podr notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos libros, razn por la cual esta disyuncin recibe el nombre de disyuncin inclusiva. En el lenguaje espaol suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre si. La expresin "o estoy en Quito o estoy en Guayaquil" denota la imposibilidad de estar fsicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo. Sean a y b proposIciones, la disyuncin exclusiva entre a y b, representada simblicamente por t1'I.b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: pg.l a b t1'I.b O O O O l l l O l l l O Cuadro 1.4: Tabla de Verdad de la Disyuncin Exclusiva. 38. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera . La disyuncin exclusiva allb puede expresarse como: (avb) 1 ~(alb) En espaol, la disyuncin exclusiva se presenta con el trmino gramatical "o", "o slo", "o solamente", "o.." o..,", Ejemplo 1.11 Disyuncin exclusiva de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Estoy en Quito. b: Estoy en Guayaquil. La disyuncin exclusiva entre a y bes: l1llb: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simblicamente por a-4b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: a b a-4b O O I O I I I O O I I I Cuadro 1.5: Tabla de Verdad de la Condicional. Este operador lgico tambin se denomina enunciacin hipottica o implicacin. En la proposicin a-4b, a es el antecedente, hiptesis o premisa; b es el consecuente, conclusin o tesis; y la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso. En espaol, la proposicin a~b se puede encontrar con los siguientes trminos gramaticales: "si a, entonces b", "a slo si b", "a solamente si b", "b si a", "si a, b", "h con la condicin de que a", "b cuando a", "b siempre que a", "b cada vez que a", "b ya que a", "b debido a que a", "b puesto que a", "b porque a", "se tiene b si se tiene a", "slo si b, a", "b, pues a", "cuando a, b", " los a son b", "a implica b", o cualquier expresin que denote causa y efecto. pg.15 39. Ejemplo 1.12 Condicional de proposiciones Si se tienen las proposiciones: a: Juan gana el concurso. b: Juan dona $ 10000. La condicional entre a y bes: a~b : Si Juan gana el concurso, dona $ 10000. Parafraseando la condicional, tenemos: Juan gana el concurso slo si dona $ 10000. Juan dona $ 10000 si gana el concurso. Si Juan gana el concurso, entonces dona $ 10000. Juan dona $ 10000 puesto que gana el concurso. Juan dona $ 10000 debido a que gana el concurso. Juan dona $ 10000 siempre que gane el concurso. Si Juan gana el concurso, dona $ 10000. Cuando Juan gane el concurso, dona $ 10000. Juan dona $ 10000 porque gana el concurso. En base a este ejemplo, nos podemos preguntar: cundo se quebrantar la promesa de Juan? Esto ser nicamente cuando Juan gane el concurso y no done el dinero. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a~b, las cuales se denominan: recproca, inversa y contrarrecproca (o contrapositiva). La Recproca, es representada simblicamente por: b~a. La Inversal es representada simblicamente por: oa----t-,b. La Contrarrecproca, es representada simblicamente por: ~b~-,a. Ejemplo 1.13 Va, laciones de la conulclonal A partir de la proposicin : "Si es un automvil, entonces es un medio de transporte". La Recproca sera: "Si es un medio de transporte, entonces es un automvil". La Inversa sera: "Si no es un automvil, entonces no es un medio de transporte". La Contrarrecproca sera : 'Si no es un medio de transporte, entonces no es un automvil". pg.6 40. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Cabe anotar que una proposicin puede ser reemplazada por su contrarrecproca sin que se afecte su valor de verdad, lo cual no se cumple con la recproca o la inversa. A continuacin se verifica este hecho en el siguiente ejemplo, Ejem