UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGROSISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

CURSO DE NIVELACIÓN PRIMER SEMESTRE 2013

ÁREA 5 DE CIENCIAS COMERCIALES Y ADMINISTRATIVAS – M4

INTEGRANTES:

Burgos Arce Ailyn Beatriz

Campoverde Salvatierra Levinson Eduardo

Sánchez Espinoza Misshel Marlene

Sánchez Garaicoa Keyla Pilar

Zurita Bermúdez José Roberto

DOCENTE:

ING. KAREN LEÓN

PERÍODO:

ABRIL - AGOSTO DEL 2013

Milagro – Ecuador

PRESENTACIÓN

Mediante el lenguaje algebraico en la vida diaria; frecuentemente resolvemos problemas que involucran la conceptualización de los componentes de base en el proceso involucra habilidad para descomponer una operación; por ejemplo la suma como un conteo, la multiplicación como una adición repetida, esto empieza como una dinámica familiarizada con las propiedades del grupo de las operaciones.

El acto de que nosotros, los alumnos sabemos desbaratar una operación para aclarar el problema, que posiblemente de solución, pero si manipulamos la información con el lenguaje algebraico será mucho más exitosa la resolución del problema.

Es viable que nosotros manejemos la información con el pensamiento algebraico, partiendo de que el desarrollo de dicho pensamientos un proceso largo, pues de esta manera enfrentaremos dificultades tanto en el campo aritmético como en el álgebra, es necesario implementar nuevas estrategias de manipuleo en el lenguaje matemático.

Este modelo puede servir para diseñar estrategias de enseñanza-aprendizaje, para enfrentar las dificultades que se presentan y ayudarles a superar el rechazo a las matemáticas. Se pretende desarrollar una secuencia de enseñanza que vincule aspectos numéricos, geométricos y algebraicos.

En este proceso, los alumnos pueden comprender más acerca de su propio pensamiento y aprendizaje. Para ello, hemos llevado a cabo un proyecto de aula enfocado en cinco temas de expresiones algebraicas:

Suma de Fracciones con Denominadores Compuestos

Resta de Fracciones con Denominadores Compuestos

Suma y Resta Combinadas con Coeficientes Fraccionarios

Multiplicación de Fracciones

Multiplicación de Fracciones Mixtas Algebraicas

Cada uno de estos temas será presentado mediante la explicación de ejercicios. Esta presentación se basa en la transición de la aritmética al algebra, es un modelo que incorpora significados relacionados con el razonamiento proporcional numérico y geométrico.

Aquí se presenta una parte explicita entre la vinculación de dominios matemáticos, indispensable para que el alumno interprete los problemas en el lenguaje matemático.

SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS

En esta clase de ejercicio no tomaremos en cuenta a los numeradores puesto que nos enfocaremos solo en sus denominadores.

13x+3

+ 12x−2

+ 1

x2−1

Primer Paso:

Identificamos en cada uno de los denominadores los respectivos casos de factorización existente en cada término.

En el primer término encontramos factor común.

En el segundo término encontramos nuevamente factor común.

En el tercer término encontramos una diferencia de cuadrados.

13x+3

+ 12x−2

+ 1

x2−1=¿

13(x+1)

+ 12(x−1)

+ 1( x+1 )(x−1)

Segundo Paso:

Procedemos a sacar el común denominador que hay entre todos los términos de cada denominador.

Luego de esto dividimos el común denominador para cada termino y asi obtendremos los resultados del denominador.

13(x+1)

+ 12(x−1)

+ 1( x+1 )(x−1)

=¿

2 ( x−1 )+3 ( x+1 )+66 ( x+1 )(x−1)

Tercer Paso:

Realizamos las operaciones respectivas que encontramos en el numerador. En este caso son multiplicaciones.

2 ( x−1 )+3 ( x+1 )+66 ( x+1 )(x−1)

=¿

2x−2+3 x+3+66 (x+1 )(x−1)

Cuarto Paso:

Como paso final procedemos a reducir los términos semejantes y es asi como obtendremos el resultado final de nuestro ejercicio.

2x−2+3 x+3+66 (x+1 )(x−1)

=¿

5 x+76 ( x+1 )( x−1)

RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS

X – 2 X + 3 X² + 12X + 16

X² - 3 X² + 3X – 4 X + 3Xᵌ - 4X²

Factorizamos el primer denominador, su factor común es X, la misma que

multiplica a X-1

En el segundo término el denominador se resuelve mediante el trinomio de la

forma x²+bx+c

Nuestro ejercicio es:

X² + 3X – 4

(x ) (x )

X² + 3X

+

+ 3X – 4

-

X² + 3X – 4

(X + 4) (X – 1)

X + 3Xᵌ - 4X²

X² (X² +3X – 4)

X² (X² +3X – 4)

X² (X + 4) (X – 1)

4- + =

Aquí Factorizamos de la siguiente manera:Abrimos 2 paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de x² que es x, la anotamos en cada paréntesis

Y como en el primer término no tenemos signo, sabemos que el signo es positivo (+) realizamos ley de signos(+) (+) nos da (+) y (+) (-) nos da (-)

Luego buscamos 2 números que multiplicado nos de -4 y restado no de 3, esos números son +4 y -1

Pasamos al siguiente denominador, vamos a factorizarlo, aquí tenemos factor común, su factor común es X² la misma que multiplica a X² +3X - 4

4

Aquí tenemos otro caso de factorización en lo que es igual al segundo denominador, que es trinomio de la forma x²+bx+c, seguimos el mismo procedimiento.

Ya teniendo resuelto los dos casos encontrados en el

tercer denominador, le ponemos la X² del caso anterior,

en la cual nos quedaría X² (X + 4) (X – 1)

X – 2 X + 3 X² + 12X +16 X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)

Luego de haber factorizado los denominadores debemos buscar el común denominador, es decir el M.C.M. de estos tres denominadores,X – 2 X + 3 X² + 12X + 16X(X–1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)- +

El mínimo se construye tomando una de cada una es decir: (X + 4) y (X – 1) por que ambos están repetidos y como tenemos una X y una X², ponemos la del mayor exponente porque multiplicando 2

X – 2 X + 3 X² + 12X + 16 X(X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)

Las X nos dan X² entonces nuestro mínimo queda

M.C.M.X² (X + 4) (X – 1)

Después de haber sacado el mínimo pasamos a dividir sus denominadores, multiplicando con cada uno de los numeradores

+ -

+ - =

Entonces vamos a resolver el primer término fraccionario, que tenemos:

X – 2 luego: X – 2 X (X – 1) multiplicamos X (X – 1) X² (X + 4) (X – 1) m.c.m

Y el total de la división dividimos

Y nos queda: X – 2 X(X + 4) (X – 2) X (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)

2 =

1

=

Luego seguimos el mismo procedimiento en el segundo y tercer término fraccionario, y nos queda:

X + 3 X² (X + 3)X² + 12X + 16X² + 12X + 16(X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1)

Ya de haberlos resuelto nos queda:

X – 2 X + 3 X² + 12X + 16 X(X + 4) (X – 2) - X² (X + 3) + X² + 12X + 16 X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1

=

=

=

+-

-

-

X² (X + 4) (X – 1)

m.c.m

Después de haber resuelto cada una de las fracciones y asegurarnos que ya tenemos en el denominador el m.c.m. es decir

=

Procedemos a resolver como se suman o se restan fracciones homogéneas, que es conservar el mismo denominador y efectuar las operaciones del numerador

X (X + 4) (X - 2) - X² (X + 3) + X² + 12X + 16X² (X + 4) (X – 1)

Entonces vamos a dejar el mismo denominador X² (X + 4) (X – 1)

=

Y empezamos a resolver las operaciones del numerador, por ejemplo aquí podemos hacer propiedad distributiva

X (X + 4)

X² + 4X

X² + 4X X - 2

Xᵌ + 4X²

- 2X² - 8X Xᵌ + 2X² - 8X

Multiplicando desde la izquierda, aplicando la ley de signos.

Aquí en caso que haya un signo ( + ) y ( - ), ponemos el signo del mayor.

21

En el segundo tenemos un menos, esta expresión pasamos a resolverla de las siguiente manera, aplicando la ley de signos.

- X² (X+ 3) - Xᵌ - 3 X²

Y en el tercero como no tenemos una propiedad distributiva, nos queda lo mismo.

X² + 12X + 16

Nos queda:

X – 2 X + 3 X² + 12X + 16Xᵌ +2X² - 8X- Xᵌ - 3X² + X² + 12X + 16 X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1)

+- =

-

Ahora en el numerador vamos a eliminar la reducción de términos semejantes por ejemplo:

Xᵌ +2 X² - 8X- Xᵌ - 3X² + X² + 12X + 16X² (X + 4) (X – 1)

=

Como Xᵌ uno tiene signo positivo y el otro negativo lo eliminamos.En X² tenemos + 2X² - 3X² y + X², sumamos los signos iguales restamos el signo diferente y como el resultado nos da +3X² - 3X² lo eliminamos y de la misma manera los demás términos. Y el resultado de la reducción d los términos semejantes nos queda:

Aquí factorizas 4X + 16X² (X + 4) (X – 1)

El resultado es:

=

4(X + 4) X² (X + 4) (X – 1)

Por ultimo simplificamos el numerador y denominador iguales y obtenemos la respuesta

4X + 16 4(X + 4) 4 R.X² (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1) X² (X – 1)

=

X – 2 X + 3 X² + 12X +16 X² - 3 X² + 3X – 4 X + 3Xᵌ - 4X²

X – 2 X + 3 X² + 12X + 16X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)

X(X + 4) (X – 2) - X² (X + 3) + X² + 12X + 16X² (X + 4) (X – 1)

Xᵌ +2 X² - 8X- Xᵌ - 3X² + X² + 12X + 16X² (X + 4) (X – 1)

4X + 16 4(X + 4) 4X² (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1) X² (X – 1)

=

=

=

=

=

= =

-

-

+

+

SUMA Y RESTA COMBINADAS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS

DE 514m4−2

5n4 RESTAR LA SUMA DE

13m2n2−1

4mn3−n4;

27m4+ 3

5m3n−2

5m2n2+ 5

3n4 CON

114m4− 7

20m3n+ 1

4m2n2−2

3n4

1) Se identifican lo polinomios tanto del minuendo como del sustraendo, y luego se los ordenan de acuerdo a su variable literal.

13m2n2−1

4mn3−n4;

27m4+ 3

5m3n−2

5m2n2+ 5

3n4

114m4− 7

20m3n+ 1

4m2n2−2

3n4

_______________________________

2) Se efectùa la suma de los polinomios que hacen parte del sustraendo, para ello debemos reducir cada uno de lo tèrminos que encontremos en la operación.

Buscamos el común denominador para resolver cada una de las sumas de fracciones.

13m2n2−1

4mn3−n4;

27m4+ 3

5m3n−2

5m2n2+ 5

3n4

27m4+ 1

14m4 =

4+114

= 514m4

114m4− 7

20m3n+ 1

4m2n2−2

3n4

_______________________________514m4

13m2n2−1

4mn3−n4;

27m4+ 3

5m3n−2

5m2n2+ 5

3n4

114m4− 7

20m3n+ 1

4m2n2−2

3n4

_______________________________514m4

+14m3n

13m2n2−1

4mn3−n4;

27m4+ 3

5m3n−2

5m2n2+ 5

3n4

114m4− 7

20m3n+ 1

4m2n2−2

3n4

_______________________________514m4

+14m3n+ 11

60m2n2

13m2n2−1

4mn3−n4;

27m4+ 3

5m3n−2

5m2n2+ 5

3n4

35− 720

= 12−720

= 520

=14m3n

13+ 14

= 4+312

= 712

712

−25

= 35−2460

= 1160m2n2

114m4− 7

20m3n+ 1

4m2n2−2

3n4

_______________________________514m4

+14m3n+ 11

60m2n2−1

4mn3

13m2n2−1

4mn3−n4

27m4+ 3

5m3n−2

5m2n2+ 5

3n4

114m4− 7

20m3n+ 1

4m2n2−2

3n4

_______________________________514m4

+14m3n+ 11

60m2n2−1

4mn3 /¿

3) Debajo del minuendo 514m4−2

5n4 escribimos el resultado de la suma

anterior cambiando los signos y así obtendremos:

514m4−2

5n4

−514m4

−14m3n−11

60m2n2+ 1

4mn3

_________________________________

4) En este caso encontramos un término con signo negativo y uno con signo negativo, entonces procedemos a eliminar ambos términos:

−1−23

= −3−23

= −53

−53

+ 53

= //

514m4−2

5n4

−514m4

−14m3n−11

60m2n2+ 1

4mn3

_________________________________

//

5) En lo que resta de la operación contamos con solo un término de cada variable; esto no indica que transcribiremos los mismos término como resultado total de la operación:

514m4−2

5n4

−514m4

−14m3n−11

60m2n2+ 1

4mn3

_________________________________

// −14m3n−11

60m2n2+ 1

4mn3−2

5n4

MULTIPLICACION DE FRACCIONES

La multiplicación de números fraccionarios, o como multiplicación fracciones, debemos multiplicar los numeradores y denominadores por separado y respectivamente con la otra fracción, para aclarar la manera de resolver estas operaciones a continuación se irán ampliando los conceptos para dar uno o varios métodos de resolver cada caso de la multiplicación fraccionarios.

EJERCICIO 1:

a 2 - 81 x _a+11_ x _2a -12_ x __a 3 +5a 2 _

2a2+10aa2 - 36 2a+18 2a +22

Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las fracciones que se van a multiplicar.

(a-9) (a+9) x _a+11__ x _2(a-6)_ x _a 2 (a+5)_

2a(a+5) (a-6) (a+6) 2(a+9) 2(a+11)

Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numerados y denominadores.

(a-9) ( a+9) x __a+11 _ _ x _2(a-6)_ x __a 2 (a+5)_

2a(a+5) (a-6) (a+6) 2(a+9) 2(a+11)

Hemos simplificado (a+9) del primer numerador con (a+9) del tercer denominador, (a) del primer denominador con (a2) del cuarto denominador, (a+5) del primer denominador con (a+5) del cuarto denominador, (a+11) del segundo numerador con (a+11) del cuarto denominador, (a-6) del segundo denominador con (a-6) del tercer numerador y (2) del tercer numerador con (2) del denominador.

Y simplificando queda esto:

_a (a-9) _

4 (a+6)

Se multiplican entre si las expresiones que quedan tanto en numerador como en denominador.

_a 2 - 9ª_

4ª+24

EJERCICIO 2:

_a 2 +7a+10 _ x _a 2 -3ª-4_ x _a 3 -2a 2 -3a_

a2-6a-7 a2+2a-15 a2-2a-8

Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las fracciones que se van a multiplicar.

_(a+5) (a+2)_ x _(a-4) (a+1)_ x _a (a-3) (a+2)_

(a-7) (a+1)(a+5) (a-3) (a-4) (a+2)

Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numerados y denominadores.

_(a+5)(a+2)_x _(a-4)(a+1) _ x _a (a-3) (a+2)_

(a-7) (a+1)(a+5)(a-3)(a-4)(a+2)

Hemos simplificado (a+5) del primer numerador con (a+5) del segundo denominador, (a+2) del primer numerador con (a+2) del tercer denominador, (a+1) del primer denominador con (a+1) del segundo numerador, (a-4) del segundo numerador con (a-4) del tercer denominador, (a-3) del segundo denominador con (a-3) de tercer numerador

Y simplificando queda esto:

_a(a+2)_

(a-7)

Se multiplican entre si las expresiones que quedan tanto en numerador como en denominador.

_a 2 +2a_

a-7

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES MIXTAS ALGEBRAICAS

Las multiplicaciones fraccionarias algebraicas no serán un gran problema, si ya

conoces la manera de multiplicar fracciones comunes, pues el principio es el

mismo, excepto que en algebra, existen valores desconocidos o literales que irán

descubriéndose a medida que avances en la operación.

La respuesta del producto de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica.

Además al momento de multiplicar potencias deberás sumar los exponentes

cuando posean la misma base, es decir que si el literal es diferente en cada

fracción, las potencias no se suman, pero si son literales iguales, deberás

sumarles de acuerdo a las propiedades de la potenciación.

Ejercicio Propuesto.

¿ X− x3−6 xx2−25

∙ x+1− 8x+3

Se busca el común denominador entre todos los términos de los

denominadores en este caso será (x2-25) en los términos que se

encuentran antes del signo de multiplicación y el común denominador que

corresponde a los términos que se encuentran después del punto de

multiplicación será (x+3).

¿x (x2−25 )−(x3−6 x)

x2−25∙

( x+1 ) ( x+3 )−(8)x+3

Realizamos la destrucción de los paréntesis (teniendo en cuenta que si el

paréntesis está presidido por el signo (+), no cambia el signo y si está

presidido por el signo menos (-) cambia todos los signos que se

encuentran precediéndolo. Además realizamos la División de común

denominador y multiplicamos por los respectivos numerables.

¿ x3−25x−x3+6 x

x2−25∙x2+3 x+x+3−8

x+3

Reducimos términos semejantes y se analiza el ejercicio para poder ver si

encontramos los casos de factorización ya sea en los Numeradores como

Denominadores.

¿ −19 xx2−25

∙x2+4 x−5x+3

TERMINO DE LA FORMAx2+bx+c

Se extrae la raíz del 1er, termino dicha raíz de

coloca dentro de los paréntesis para realizar el

caso de factorización (x_,___)(x_,___), dichas

raíces van presididas por los signos (+) y (-)

quedando así : (x+,__) (x-,___) los mismos que

nos indican que vamos a buscar 2 números

que nos darán como resultado un numero que

multiplicado nos de 5 y restado 4.

DIFERENCIA DE

CUADRADO PERFECTO

Se extrae la raíz cuadrada del

1er término y después los

agrupamos las raíces

extraídas en dos términos

separados por los paréntesis

uno con signo (+) y el otro

con sino (-)

Entonces el ejercicio quedaría de la siguiente manera.

¿−19 x

( x+5 )(x−5)∙

( x+5 )(x−1)x+3

A continuación para obtener la respuesta de nuestro enunciado

procedemos a la simplificación de los denominadores con numeradores y

numeradores con denominadores.

¿−19 x

( x+5 )(x−5)∙

( x+5 )(x−1)x+3

R// ¿−19x (X−1)( x+5 )(x+3) RESPUESTA OBTENIDA

DIFERENCIA DE

CUADRADO PERFECTO

Se extrae la raíz cuadrada del

1er término y después los

agrupamos las raíces

extraídas en dos términos

separados por los paréntesis

uno con signo (+) y el otro

con sino (-)

CONCLUSIONES

Revisarán los conceptos básicos y la operatoria con expresiones

algebraicas.

Una expresión algebraica, en una o más variables (letras), es una

combinación cualquiera de estas variables y de números, mediante una

cantidad finita de operaciones: adición, sustracción, multiplicación,

división, potenciación o radicación.

Reconozcan e interpreten fórmulas y expresiones algebraicas.

Utilicen las expresiones algebraicas para representar y generalizar los

diferentes casos de factorización.

Realicen operaciones básicas con expresiones algebraicas.

Identifiquen y desarrollen los diversos casos de factorización que se

encuentren en las diferentes operaciones de expresiones algebraicas.

BIBLIOGRAFÍA

http://videomate21.blogspot.com/2011/12/ejercicio-29.html Autor: Aurelio Baldor – Álgebra de Baldor