Republica Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Educación

Instituto Politécnico Santiago Mariño Sede – Barcelona

Cátedra: Algebra UV

Transformaciones LinealesProfesora: Alumno:Milagros Maita Carlos Yánez.

Barcelona, marzo 2017.

Transformación LinealEs un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un elemento de otro sub- espacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto grafico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar mas fácilmente.

Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Método de Gauss Jordán.

Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordán. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Jordán, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial, por ejemplo:

También se le llama matriz aumentada.

También se le llama matriz aumentada.Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:

NúcleoPodría decirse que se trata del componente principal o esencial de algo, al que se suman o acoplan otros elementos para conformar una totalidad o un conjunto.Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos losvectores en V que se mapean a cero en W.Ker(T) = {v V | T(v) = 0 W}∈ ∈

NulidadEs una transformación lineal.Sean V, W espacios vectorialessobre un campo F y sea T L(V, W). La nulidad de T se define como la ∈dimensión del núcleo de T: nulo(T) = dimensión (ker(T)

ImagenLa imagen es donde hay pivotesSean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea TL(V, W ). La imagen de T se define como el conjunto detodos los valores de la aplicación T.

RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.El rango es una propiedad no sólo de las matrices sino extensible a las aplicaciones lineales de las cuales las matrices son una representación fijada la base. Definamos en primer lugar el concepto de rango de una aplicación lineal de forma genérica. Dada aplicación o transformación lineal:

F: K - L m

Se define el rango simplemente como la dimensión del conjunto imagen de la aplicación:

Rango F = dim(Imf) < min(m , n)

RELACIONAR LAS MATRICES CON LAS TRANSFORMACIONES LINEALES .

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y condominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n. Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T.

EJERCICIOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES.

1). Si V1 = (1,-1) , V2 = (2,-1), V3=(-3,2) y W1=(1,0), W2=(0,-1), W3=(1,1).

¿Existe unatransformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1,2,3 ?

Solución: Si { v1, v2 , v3 }es base de R2 , entonces existe una única transformación lineal T: R2 à R

Pero: (-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1)Þ { v1, v2 , v3 } no es linealmente IndependienteÞ { v1, v2 , v3 }no es base de R2Þ no existe tal transformación lineal

2) . Sea T: R3 à R3 , transformación lineal , tal que : T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) = ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1) Encontrar T (x,y,z)Solución: Por demostrar que el conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R3Sea a.b.c Î R, tal que . a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0)a + b = 0 a + c = 0 Þ a = b = c = 0 a + b + c = 0Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente IndependienteSea (x,y,z) Î R3

entonces existen escalares a,b,c Î R tal que:a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z)a + b = xa + c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - xa + b + c = zUSACH – Álgebra 2005Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R3Existe una única T transformación lineal de R3en R3tal que :T(1,1,1) = (1,0,2) , T(1,0,1) = (0,1,1) , T(0,1,1) = (1,0,1)T(x,y,z) = T(a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1))T(x,y,z) = aT(1,1,1) + bT(1,0,1) + cT(0,1,1)T(x,y,z) = (x+y-z)T(1,1,1) + (z-y)T(1,0,1) + (z-x)T(0,1,1)T(x,y,z) = (x+y-z)(1,0,2) + (z-y)(0,1,1) + (z-x)(1,0,1)T(x,y,z) = (y , z-y , x+y)

Demuestre que la transformación T : R2→R2definida porT " xy = " x + 3 y x + 2 y es lineal.Solución´Sean u = " x1 y1 y v = " x2 y2

T(u + v) = T " x1 y1 + " x2 y2

T(u + v) = T " x1 y1 + " x2 y2 = T " x1 + x2 y1 + y2 x1 + x2) + 3 (y1 + y2) (x1 + x2) + 2 (y1 + y2) x1 + 3 y1 x1 + 2 y1 # + " x2 + 3 y2 x2 + 2 y2 T " x1 y1 + T " x2 y2 = T(u) + T(v)

METODO DE GAUSS JORDAN EJERCICIOS

Ejercicio2.

Ejercicio3.

EJERCICIOS DE NUCLEO NUDALIDAD IMAGEN Y RANGO.

Determine el núcleo de la transformación de R3en R2 definida comoT x y zx + y + z2 x + 2 y + 2 z

SoluciónUn vector v = (a, b, c)0 pertenece al núcleo de T si T(v) = 0, es decir si:T(v) = a + b + c2 a + 2 b + 2 c= 1 1 12 2 2 a b c= 0 ( en R2) 3Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirsea + b + c = 02 a + 2 b + 2 c = 0Reduciendo tenemos:a + b + c = 0

Determine el núcleo de T : R3→R3.T =xyz=x − zy + zx − ySoluciónSabemos que Ker(T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >0 de R3tal que T(v) = 0 (en R3)T(v) =x − zy + zx − y1 0 −10 1 11 −1 0x y z0 0 0Para resolver el sistema 1 0 −1 0 1 1 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0El sistema tiene solución ´única y es 0. Por tanto,Ker(T) = {0}

Determinemos el núcleo de T:0 0 −2 3 00 0 −2 3 00 0 −8 12 00 0 −10 15 00 0 1 −3/2 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0Por lo tanto, los vectores del núcleo tienen la forma

( x y z w) = x (1c 0 0 0 ) + y ( 0 1 0 0) + w(0 0 3/2 1 )es decirKer(T)= Gen ((1 0 0 0) (0 1 0 0) ( 0 0 3/2 1)

Determine la imagen de la transformación lineal de R3en R3 definida comoT x y z =2 x + 5 y + z8 x + 12 y + 6 z−4 x − 2 y − 4 z

SoluciónEl vector v1 = (a, b, c)0 de R3 de esta en la imagen de T si existe un vector (x, y, z) 0en R3tal que T((x, y, z) = v 0 1es decir si es consistente el sistema

2x + 5y + z = a8x + 12y + 6z = b-4x – 2y – 4z = c

Ejercicio de Rango.

F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2

Hallar el rango de la matriz siguiente:

Determinar el rango.

F2 = F2 − 3F1

F3= F3 − 2F1

Por tanto r(A) = 3 .

CONCLUSIONSe han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores. Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros. Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ya hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro.

BIBLIOGRAFIA

http://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html

http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo3.pdf

http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/21c.-TRANSFORMACIONES-LINEALES-3.pdf

https://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080114160648AAxrEmd

http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-17.pdf