ALGEBRA

LINEAL

EJEMPLO DE SUMA DE MATRICES

−6 924 0

+ −4 20 5

= −10 1124 5

Como podemos observar sumamos la primer columna

de la primera matriz con la primer columna de la

segunda matriz y de la misma forma la segunda columna

de la primera matriz con la segunda columna de la

segunda matriz.

EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

A= 1 2 34 0 1

2x3 3x2 B= −1 20 10 3

Procedemos a resolver:

1(-1) =-1 1(2)= 2 4(-1)= -4 4(2)= 8

2(0)= 0 2(1)= 2 0(0)= 0 0(1)= 0

3(0)= 0 3(3)= 9 1(0)= 0 1(3)= 3

Luego sumamos los resultados de cada columna:

-1+o+o= -1

2+2+9= 13

-4+0+0= -4

8+0+3= 11

Los centros son iguales

−1 13−4 11

SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

1. Método de Gauss Jordan: reducción de filas y

columnas, sustitución hacía atrás.

Fila intercambiada una con otra sin cambiar el valor

de las variables.

Fila multiplicada por cualquier numero diferente a

cero.

Sumar filas entre si o restar.

Si se reduce a cero elementos de la columna uno,

la fila pivote será la fila uno y si es la dos la fila

pivote será la dos y así sucesivamente.

EJEMPLO

2x+y+z=0

- x -y+z=1

X-2y+3z=5

x= -1 este es el resultado que se le asigna a cada

y= -2 incógnita de la ecuación que nos dieron.

z= 0

2 1 1 0−1 −1 1 11 −2 3 5

F2= f2+f1 1 0 2 1−1 −1 1 11 −2 3 5

F2= f2+f3

1 0 2 10 −3 4 61 −2 3 5

F2= f2/-3 1 0 2 1

0 1 −4

3− 2

0 −2 1 4

F2= f2/1 1 0 2 10 1 −1.33 − 20 −2 1 4

F3= f2*-2

1 0 2 10 1 −1.33 − 20 0 1 0

F2= f2*3/-1.33 1 0 0 10 1 0 − 20 0 1 0

METODO DE KRAMMER

Se utilizan solo variables.

Primero se saca la determinante de la matriz sin tomar en cuenta

la matriz ampliada ósea los números que están después del signo

igual esos no se tomas para sacar la determinante original.

Segundo la primer columna se cambia por la columna ampliada y

se procede a sacar la determinante.

Tercero se cambia la segunda columna por la columna ampliada y

se saca la determinante.

Cuarto se cambia la tercera columna por la columna ampliada y se

saca la determinante.

Quinto cada resultado de las determinantes se divide dentro del

resultado de la determinante original.

Y de esta manera obtenemos nuestros resultados.

EJEMPLO:

A= 3x+5y-2z=8 3 5 -2 3 5

5x-8y- z= 11 5 -8 -1 5 -8

9x+11y+7z=15 9 11 7 9 11

|A|=-168-45-110-144+33-174= -609

A= 8 5 -2 8 5

11 -8 -1 11 -8 |A|= -448-75-242-240+88-385= -1302

1 15 11 7 15 11

A= 3 8 -2 3 8

5 11 -1 11 -8 |A|= 231-72-150+198+45-280= -28

9 14 7 9 15

A= 3 5 8 3 5

5 -8 11 5 -8 |A|= -360+495+440+576-363-375= 413

9 11 15 9 11

-1302= 62 -28= 4 413= -59

-609 29 -609 87 -609 87

TRANSPUESTA

DE MATRIZES

EJEMPLO

2 −1 75 3 98 4 2

AT

2 5 8−1 3 47 9 2

Las filas pasan a ser columnas.

Es una matriz anti simétrica.

3 4 24 6 52 5 8

AT

3 4 24 6 52 5 8

INVERSA DE UNA MATRIZ

Encontrar una matriz que al multiplicarse con la

matriz original tiene que dar por resultado la

matriz identidad.

A la matriz original se le coloca paralelamente (a

la par) su matriz identidad

Ejemplo:

A I

INVERSA DE COFACTORES

Para encontrar el cofactor eliminamos filas y columnas de la siguiente manera:

A=−1 −2 11 1 32 0 0

PASO 1:

Encontrar la determinante de la matriz original

−1 −2 11 1 32 0 0

−1 −21 12 0

|A|=-14

PASO 2:

Sacar la determinante de cada cofactor, un cofactor por cada

elemento de la matriz (“tomando en cuenta que si la posición del

numero del cual sacamos el cofactor, si la suma de su posición

en fila y su posición de columna es un numero par el resultado de

la determinante no cambiara, pero si es un numero impar a la

determinante cambiara de signo”).

+A=1 30 0

-A1 32 0

+A1 12 0

-A−1 −22 0

A−2 11 3

|A|= 0 |A|=6 |A|=-2 |A|=-4 |A|=-7

-A= −1 11 3

A=−1 −21 1

|A|= 4 |A|=

A=0 6 −20 −2 4

−7 4 1

esta matriz sale de unir la determinante de cada cofactor

0 0 −76 −2 4

−2 4 1es la transpuesta de la matriz del las determinantes de cada cofactor

A=0 6 −20 −2 4

−7 4 1*

1

−14es el inverso de la determinante de la matriz orginal

Se multiplica la transpuesta por el inverso de la determinante de la matriz original

0 0 1/2−3/7 1/7 −2/71/7 2/7 −1/14

DETERMINANTE

DE UNA MATRIZ

Determinante de una matriz de 2*2

B= −1 34 −4

Matriz original

|B|= (-1)(-4)-(3)(4) *Multiplicamos de forma

diagonal

|B|= 4-12 *Efectuamos una diferencia

dentro de los productos

encontrados

|B|= -8 *El resultado será la determinante

de nuestra matriz original

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3*3

|A|= 0+48+3+0+8-8 Sumamos algebraicamente los productos

|A|=51 El resultado de la determinante es 51

DETERMNANTE DE MATRICES POR

EL METODO DE LEPLACE

Desarrollaremos El METODO DE LAPLACE Para

Matrices De Cualquier Dimensión, de la siguiente

manera:

1. Identificamos la fila o columna con mas ceros

(Podemos realizar el método de reducción de

filas)

𝐴 =−2 4 31 0 43 1 2

Fila con mas ceros

2. Tomamos en cuenta los números de la fila con mas 0, y

realizamos la formula siguiente:

1x .X

. 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 + 1x . Y .

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 + 1x . Z .

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

Este uno Elevamos el uno Es el numero que

Es constante a la potencia que resulte tomamos de nuestra

de la suma de la posición del matriz original.

numero que tomamos

La matriz resultante después

de haber eliminado la fila y

columnas del numero que

tomamos de la matriz

La desarrollamos de la siguiente manera:

12+1 .1

. 4 3

1 2 + 12+2 . 0

. _2 3

3 2 + 12+3 . 4 .

_2 4

3 1

-1 . 1 . 5 + 1 . 0 . -13 . + (-1) . 4 . -14

-5 + 0 + 56

|A|= 51

Los números -1, 1 y -1 resultan de elevar nuestra constante a la potencia que indique lasuma de su posición (fila + columna)

Los números 1, 0 y 4 los obtenemos de nuestra matriz original después de haberidentificado la fila o columna con mas ceros

Los números 5, -13 y -14 son la determinante de las matrices que nos quedan después deeliminar la fila y columna correspondiente

Cuando tenemos estos números: el resultado de la potenciación de nuestra constante, elnumero base de nuestra matriz original y la determinante correspondiente multiplicamosestos resultados entre si

Finalmente sumamos los resultados y obtenemos la determinante de la matriz original.

APLICACIONES DE

ECUACIONES A PROBLEMAS

PROBLEMA:

Se tiene un presupuesto de Q63.00 para elaborar un pastel. La mezcla de todos

los ingredientes deben sumar 14 libras. El precio de los ingredientes por libra es

el siguiente: azúcar Q10.00, harina Q3.00 y royal Q3.00; el costo total del azúcar

debe ser igual al de la harina. ¿Cuántas libras de cada ingrediente se deben

usar?

Las ecuaciones las podemos resolver de dos formas:

X= Azúcar

Y= Harina

Z= Royal

METODO DE KRAMMER:

10x + 3y + 3z = 63 Se tiene un presupuesto de Q63.00 para elaborar un pastel

10x=3y el costo total del azúcar debe ser igual al de la harina

X + y + z = 14 La mezcla de todos los ingredientes deben sumar 14 libras

10x + 3y + 3z = 63

10x – 3y + 0 = 0

x + y + z = 14

A= 10 3 310 −3 01 1 1

63014

A= |A|= -21

Esta matriz nos servirá de base después

Formamos las ecuaciones

Ordenamos incógnitas y escalares

Formamos la matriz

Encontrar la determinante de la matriz original

10 3 310 −3 01 1 1

|𝐴1 | = −63

|𝐴2 | = −210

|𝐴3 | = −21

Sacar determinantes de las matrices con filas sustituidas

A= 10 3 310 −3 01 1 1

63014

Matriz original

Matrices con filas sustituidas y sus determinantes

𝐴1 =63 3 30 −3 014 1 1

𝐴2 =10 63 310 0 01 14 1

𝐴3 =10 3 6310 −3 01 1 14

Determinantes

X= -63 = 3

-21

Y= -210= 10

-21

Z= -201= 1

-21

Respuesta: Se deben utilizar 3 libras de azúcar, 10 de

harina y 1 de royal.

Encontramos los valores de las incógnitas

Valor de las incógnitas

METODO DE REDUCCION DE FILAS:

A= 10 3 310 −3 01 1 1

63014

F2=F2-F1 A= 10 3 30 −6 −31 1 1

63−6314

F1=F1-

F3(3)

F2=F2/-3

A= 7 0 00 2 11 1 1

212114

F1=F1/7

F2=F2-F3 A= 1 0 0

−1 1 01 1 1

3714

F2=F2+F1

F3=F3-F1

A= 1 0 00 1 00 1 1

31011 F3=F3-F2

A= 1 0 00 1 00 0 1

31010

Respuesta: Se deben utilizar 3 libras de azúcar, 10 de

harina y 1 de royal.