notas de clase 6-a

INGENIERÍA FINANCIERAOpciones

Universidad De Los Andes , Bogotá Colombia Profesor: Julio E Villarreal N

Definiciones básicas y terminología

Perfil de pago-riesgo(payoff) de las opciones

Las estrategias “clásicas con opciones”

El principio “PUT-CALL parity”

Introducción a la valoración de Opciones: El modelo BINOMIAL

La formula de “Black-Scholes” para valorar opciones.

LECTURAS 61. Capítulos 20,21, INVESTMENTS, Bodie,Kane,Markus/5 edition.

2. Staying out of the holes in Black-Scholes.pdf

3. Black, How we came up with the option formula. pdf.



Una opción CALL es un contrato que concede a su tenedor el derecho mas no la obligación, de COMPRAR en el futuro en una fecha específica un activo específico (el activo subyacente) a un precio fijo predeterminado.

La característica distintiva de este contrato es la flexibilidad que posee quien tiene el derecho a comprar pues esta en sus manos decidir si resulta razonable o no ejercer el derecho a comprar

Tomemos un ejemplo sencillo: una “CALL Option” sobre un cero (Treasury Bond) a 20 años y cupón del 8% anual.



Supongamos que nuestro precio pre - determinado (STRIKE PRICE) es de $76USD , la fecha de vencimiento de la opción (EXPIRATION DATE) es Septiembre 19.

Asumamos igualmente que el precio de dicha opción es $1.50 USD.

Podemos entonces fácilmente imaginarnos la decisión que nuestro inversionista enfrentará en la fecha de expiración de su opción estableciendo un rango de posibles valores para nuestro T-Bond (activo subyacente)



La siguiente tabla y gráfica muestran el perfil de pago clásico de una opción CALL (payoff)



Note al menos dos hechos relevantes del comportamiento del perfil de pago-riesgo de una opción CALL:

1. Cuando el precio del activo subyacente (S) es inferior al “strike price”(K) la opción de comprar no tiene sentido pues el valor de mercado del activo es inferir al precio predeterminado. El el argot financiero tal situación, P(S0)< K, es referida como “Out- Of The

Money Option”

2. Cuando el valor del activo subyacente (S) supera el “strike price”(K) , la utilidad bruta en la operación es una en función lineal del cambio en el precio del

activo,(note que la pendiente de dicha recta es de 45º)



Una opción PUT es un contrato que concede a su tenedor el derecho mas no la obligación, de VENDER en el futuro en una fecha específica un activo específico (el activo subyacente) a un precio fijo predeterminado.

La característica distintiva de este contrato es la flexibilidad que posee quien tiene el derecho a vender pues esta en sus manos decidir si resulta razonable o no ejercer su derecho.

Tomemos un ejemplo sencillo: una “PUT Option” sobre nuestro mismo cero (Treasury Bond) a 20 años y cupón del 8% anual .



Supongamos que nuestro precio pre - determinado (STRIKE PRICE) es de $76USD , la fecha de vencimiento de la opción (EXPIRATION DATE) es Septiembre 19.

Asumamos igualmente que el precio de dicha opción es $2.0 USD.

Podemos entonces fácilmente imaginarnos la decisión que nuestro inversionista enfrentará en la fecha de expiración de su opción estableciendo un rango de posibles valores para nuestro T-Bond (activo subyacente)



La siguiente tabla y gráfica muestran el perfil de pago clásico de una opción PUT (payoff)



Note al menos dos hechos relevantes del comportamiento del perfil de pago-riesgo de una opción PUT:

1. Cuando el precio del activo subyacente (S) es superior al “strike price”(K) la opción de vender no tiene sentido pues el valor de mercado del activo es superior al precio predeterminado.

2. Cuando el valor del activo subyacente (S) es inferior al “strike price”(K) , la utilidad bruta en la operación es una en función lineal del cambio en el precio del activo,(note que la pendiente de

dicha recta es de 45º). El el argot financiero la situación, P(S0)<

K, es referida como “In - The Money Option”.



Los perfiles de pago (payoff) descritos hasta ahora representan el punto de vista de quien posee el derecho a decidir sobre el derecho bien a comprar o a vender (long).

Es importante recordar que si bien la Opción es un contrato que da el derecho mas no la obligación ha ejercer dicho derecho esto es solo valido para el comprador de la Opción (long)

No obstante par quien emite la opción , “Write the option”, es decir el otro lado del contrato, es OBLIGATORIO vender / comprar el activo subyacente al precio predeterminado (k) si el comprador / vendedor decide ejercer su derecho.



Los “payoffs” desde el punto de vista del emisor de las opciones seria para nuestro 2 ejemplos:



Terminología (jerga) propia de las de Opciones:

“Long an option”: quien compra la opción y por lo tanto tiene el derecho de decidir sobre la opción

“Short or write an option” : quien vende la opción y por lo tanto esta obligado a responder por la opción en caso de que el comprador la ejerza.

“Strike Price” (K): precio predeterminado al cual se puede ejercer la opción (precio a pagar/recibir por el activo subyacente).

“Expiration Date”: fecha en la que los derechos contractuales terminan.

“European Option”/ Opción Europea: el derecho solo se puede ejercer en una fecha especifica (expiration date).

“American Option”/ Opción Americana: el derecho de ejercicio de la opción se puede hacer efectivo en cualquier momento desde la iniciación del contrato hasta su vencimiento (expiration date).



Terminología propia de las de Opciones:

“ Option’s Premium ” / Precio o costo de la opción: es el precio de mercado del contrato en el momento de adquisición o transacción.

“Underlying”: es el activo subyacente sobre el cual se tiene derecho a decidir (comprar / vender)

“at-the-money”(ATM): la expresión hace referencia a los contratos de opciones en los cuales el precio de ejercicio (K) es igual o muy cercano al valor spot del activo subyacente.(S0).

“in-the-money”(ITM): Se utiliza para referirse a las opciones que de ejercerse inmediatamente generarían un ingreso / beneficio positivo (+ payoff).

“out-of-the-money”(OTM): es la situación análoga pero contraria al caso de ITM, es decir se aplica para referirse a la situación en la cual ejercer la opción genera cero beneficio para su poseedor (-payoff).



Retomemos los perfiles de riesgo-pago de nuestras dos opciones primarias:

Opción Call:



K StS0$0

$(St-K)

S0-Kmax{St-K,0} ❶

Retomemos los perfiles de riesgo-pago de nuestras dos opciones primarias:

Opción Put:



StS0

$0$(K-St)

K-S0max{K-St,0} ❷

K

Opciones - Estrategias clásicas.

Como resulta claro, e igual que los otros contratos derivados, el perfil de pago (payoff) de las opciones provee suficiente información para entender la alta correlación entre su “valor” y el valor o precio de activo subyacente.

Dicha alta correlación lo hace un instrumento elegible para realizar coberturas en las posiciones del activo subyacente.

No obstante la estructura del perfil de pago/riesgo es, a diferencia de lo observado en los derivativos previamente estudiados (particularmente Futuros y Forwards), asimétrica.

Gráficamente dicha asimetría se puede observar en el quiebre (ángulo de 45º) que es distintivo del perfil de riesgo de la opciones.



Opciones - Estrategias clásicas.

Conceptualmente, dicha asimetría significa que el inversionista que esta largo (long), mediante el ejercicio del derecho a decidir (flexibilidad), puede en principio limitar su perdida potencial mientras mantiene abierta la posibilidad de obtener ganancias significativas.

No obstante esta característica tan atractiva es solamente una cara de la moneda, en muchas circunstancias y particularmente para el inversionista que esta corto (short) en el contrato las perdidas pueden ser significativas mientras que las ganancias potenciales pueden estar igualmente acotadas.

Esta particularidades de las opciones las hace un instrumente muy atractivo no solo para hacer cobertura de riesgos subyacentes si no también para asumir posiciones especulativas.



Estrategia # 1. “Protective Put”

Recordemos que el perfil de pago de una Opción PUT, muestra que quien esta “long” en la opción se beneficia de la disminución en el precio del activo subyacente.

Para ser mas preciso, en una opción ATM, por cada dólar de disminución en el precio del activo subyacente, el inversionista obtiene exactamente un dólar de incremento en valor de su posición (payoff).

En otras palabras el perfil de pago (payoff) del Put muestra que su beneficio potencial esta negativamente correlacionado con el incremento en el precio del activo subyacente.

Recuerde que : Put “payoff” = max{K-St,0}



“Protective Put” - Ejemplo

Supongamos por ejemplo que nuestro activo subyacente es un “pasive index” sobre el S&P-500 que tiene un nivel actual de 1.100 (04/15/04); Algunos “expertos” creen que el mercado entrará en una fase “bearish” al menos en lo que resta del año; usted desea cubrir el riego de una caída del valor en su posición ( “downside risk”) si efectivamente el mercado se mueve a la baja.

Por lo tanto adquiere (long) una opción PUT Europea con plazo de 8 meses (12/15/04) con “strike price=K=1.100)

Analicemos como se comportaría su posición , el instrumento de cobertura y el portafolio resultante.

Por facilidad consideraremos solamente los payoffs “brutos”



PROTECTIVE PUT



1.100 1.3001.000 1.200900

1.100 1.3001.000 1.200900

S&P 500

1.100 1.3001.000 1.200900

S&P 500

S&P 500

Index Payoff PUT Payoff

Index + PUT Payoff

Estrategia # 2. “Covered CALL”

Recordemos que el perfil de pago de una Opción CALL, muestra que quien esta “long” en la opción se beneficia de un incremento en el precio del activo subyacente.

Pare ser mas preciso en una opción Call ATM, por cada dólar de incremento en el precio del activo subyacente, quien esta long en la posición en opciones (call) obtendrá un dólar de ganancia bruta.

En otras palabras el perfil de pago-riesgo de una opción Call muestra que su beneficio potencial esta positivamente correlacionado con el incremento en los precios de activo subyacente.

Recuerde que: Call “payoff” = max{St-K,0}



“Covered Call” - Ejemplo

Supongamos por ejemplo que nuestro activo subyacente es un “pasive index” sobre el S&P-500 que tiene un nivel actual de 1.100 (04/15/04); Algunos “expertos” creen que el mercado entrará en una fase “bullish” pero claramente moderada, al menos en lo que resta del año; usted desea mejorar su posición incrementando sus ingresos mediante la venta de opciones CALL sobre su S&P-500 index.

Por lo tanto vende (short/write) una opción CALL Europea con plazo de 8 meses (12/15/04) con “strike price=K=1.200)

Analicemos como se comportaría su posición , el instrumento derivado (Call Option) y el portafolio resultante.

Por facilidad consideraremos solamente los payoffs “brutos”



COVERED CALL



Index Payoff

1.100 1.3001.000 1.200900

S&P 500

1.100 1.3001.000 1.200900

S&P 500

(Write) CALL Payoff

1.100 1.3001.000 1.200900

Index + W-CALL Payoff

Estrategia # 3. “Opciones versus Acciones”

Suponga ahora que un inversionista dispone de un presupuesto de inversión de $100.000 USD y que podría:

1. Invertir en acciones de una nueva “high thech -start up” que recientemente realizó su IPO y que se negocia actualmente en un precio de $100 (podría adquirir 10.000 acciones). No obstante los analistas esperan que dependiendo del éxito comercial de los nuevos productos anunciados por la compañía el precio de la acción se mueva bruscamente.

2. Invertir $900.000 a la tasa libre de riesgo (T-Bonds) y comprar $10.000/C opciones call (ATM) cuyo precio (premium) es $ 5 por opción (podría comprar 2000 opciones).



Opciones versus Acciones



100 20050 1500

S100 20050 1500

S100 20050 1500

S

100 20050 1500

S

Payoff 1 Acción Payoff 2 Calls Payoff T-B

Payoff 1 Acción

Payoff 2 Calls + $ 90 en T-B

Estrategia # 4. “STRADDLE”

Suponga ahora que el sentimiento general del mercado es “neutral”; no obstante usted como inversionista no comparte dicha percepción y por el contrario cree que en los próximos seis meses, dependiendo si se estabiliza o no la actual tendencia de recuperación económica el mercado tendrá un viraje brusco bien hacia un escenario “bullish” o hacia uno “bearish”

Actualmente el indice “NASDAQ” esta en los 2.030 (04/15/04).

Usted decide por lo tanto, y dada su incertidumbre sobre la dirección del movimiento que usted espera en los mercados, conformar un portafolio de opciones ATM mediante la compra de una opción CALL y una opción PUT sobre el indice NASDAQ ambas opciones con “expiration date” en 10/15/04 .



A STRADDLE



2.030 2.2301.930 2.1301.830

NASDAQ

2.030 2.2301.930 2.1301.830

NASDAQ

2.030 2.2301.930 2.1301.830

NASDAQ

Payoff Call Payoff Call

Payoff Straddle

Utilidades

Estrategia # 5. “COLLARS”

Suponga ahora que su actual posición (long) esta 100% en acciones de una compañía y representa un total de $500.000 USD ; sin embargo dicha “inversión” deberá ser liquidada en tres meses para cubrir la compra de una vivienda de descanso.La acción se transa hoy a $ 80.0 USD

Aunque en términos generales la inversión, que se hizo hace 5 años, ha generado en promedio un rendimiento del 13% anual en USD, usted esta preocupado de lo que puede pasar en los próximos tres meses cuando precisamente usted necesitara el dinero para cerrar la compra de la vivienda.

Su primera reacción fue implementar una estrategia tipo “protective put” comprando “puts” con K=$80 para cubrir el “downside risk” y asegurar los quinientos mil dólares.




Desafortunadamente los precios cotizados para “puts” ATM hacen extremadamente costosa la estrategia de cobertura. que hacer entonces?

Usted decide entonces vender (short) una opción CALL ITM (K=95) y con el premium recibido comprar (long) la opción PUT ATM (K=$80), ambas opciones tienen una madurez de tres meses.

En otras palabra usted financia el costo de su cobertura mediante la venta de opciones Call de esta manera y dependiendo de los precios relativos de las opciones es posible que pueda hacer su cobertura “gratis”.






80 10070 9060

S

80 10070 9060

S

95 95

(Write) CALL Payoff

PUT Payoff

80 10070 9060

S

95

Stock Payoff

COLLAR Payoff

Estrategia # 6. “Opciones versus Acciones - 2”

Inversiones en el mercado de opciones, son consideradas como posiciones altamente apalancadas financieramente.

La razón de esta denominación, independientemente de que la inversión se haya financiado con deuda, tiene que ver con la altísima sensibilidad del payoff de las opciones frente a los movimientos del precio del activo subyacente.

Esta alta sensibilidad de los “payoffs” de la opciones al precio del activo subyacente, se comporta de manera muy similar al retorno de una inversión,en el mismo activo, que se financia con un alto nivel endeudamiento .

Examinaremos 4 estrategias de inversión diferentes, pero equivalente en el monto de recursos propios aportados, que claramente ilustran el alto “apalancamiento” de las opciones.




Supongamos que usted posee información “privilegiada” (inside information) sobre un nuevo producto para el SIDA en el cual Merck ha estado trabajando en los últimos años , dependiendo de los resultados ( que hasta ahora parecen muy positivos ) usted cree que hay una alta probabilidad de que la acción se mueva hacia el alza “salte” ; sin embargo si las pruebas con humanos no resultan favorables la compañía deberá cerrar el proyecto y llevar los costos de I&D (R&D) al Estado de Resultados.

Los resultados finales de las pruebas estarán disponible en máximo tres meses.

la siguiente es la información disponible sobre la compañía en el momento de decisión:




Merck / acción y cotización de Opciones CALL (04/15/04)



Merck/S0(04/15/04)=$50

Strike Plazo Premium

$50 1-mes $3.0

$60 1-mes $0.50

$50 3-meses $5.0

$60 3-meses $2.0


Considera las siguientes posibles estrategias:

a) Comprar 1 acción de merck a $50 USD (RP=$50USD)

b) Comprar 10 opciones ATM con plazo de 3 meses (RP=10x$5=$50 USD)

c) Comprar 25 opciones ITM con plazo de 3 meses (RP=25x$2=$50 USD)

d) Tomar prestado $450 USD y comprar 10 acciones (RP=[10x$50]-[$950]=$50 USD)

Note que todas las estrategias implican un monto de recursos propios igual (RP de $50USD).



-400%

-200%

0%

200%

400%

600%

800%

1000%

40 45 50 55 60 65 70 75 80

E # 1= long 1 stockE # 2 =Long 10 Options ATME # 3 =Long 25 Options ITME # 4 = Long 10 stock+(Borrow $450)




Merck- Opciones versus acciones

PUT-CALL parity

El principio de “paridad” PUT-CALL, establece una función 1:1 (inequívoca / recíproca) entre el precio de una opción PUT y el precio de una opción CALL emitidas sobre el mismo activo subyacente , con igual “Strike price (K)”, e igual “Expiration date”.

El soporte de la relación PUT-CALL parity puede ser fácilmente comprendido mediante el uso de argumento de no arbitraje y el principio del precio único.

Recordemos: si dos activos producen, bajo cualquier escenario probable de la economía, los mismos flujos de caja futuros (future payoffs) , el precios de los dos activos deberá ser el mismo. De lo contraria inversionistas podrían obtener ganancias anormales con cero riesgo (free-lunch)



PUT-CALL parity

Para demostrar la consistencia y robustez del principio de paridad PUT-CALL , se conforman dos portafolios diferentes:

Portafolio 1.= una acción (S) + una opción PUT sobre la acción S; o de manera simplificada “STOCK + PUT”.

Portafolio 2.= una opción CALL sobre la acción S + un T-Bono cuyo precio actual es el valor presente de nuestro “strike price”; o de manera simplificada CALL+T-Bond; esta última estrategia también es conocida como “CALL + CASH”.

Observe que cualquiera que sean los posibles escenarios futuros de la economía, par efectos prácticos los podemos “discretizar” en dos casos claramente diferentes: Escenario 1, cuando ST<=K ;

Escenario 2, cuando ST>K . Observemos que pasa con los flujos de

nuestros dos portafolios (payoffs).



PUT-CALL parity



Esc.1ST<=K

Esc. 2ST>K

Posición t=0 Valor t=T Valor t=T

“long” 1 acción ST ST

“long” 1 PUT K - ST 0

TOTAL K ST

Portafolio 1. Stock+Put Portafolio 2. Call+T-BondEsc.1

ST<=KEsc. 2ST>K

Posición t=0 Valor t=T Valor t=T

“long” 1 CALL 0 ST - K

“long” T-Bond(*) K K

TOTAL K ST

(*) Observe que tener una inversión en T-Bond por un valor igual al VP de K, es por supuesto equivalente a un “cero” cuyo principal es igual a K

Portafolio 1 (stock+Put)=Portafolio 2 (Call+T-bond)

PUT-CALL Parity ⇒St+Pt=Ct+PV(K)

PUT-CALL parity

De manera mas formal y utilizando capitalización continua podemos finalmente expresar nuestra relación de paridad entre una opción PUT y una opción CALL como:



❶Esta ecuación de paridad es muy útil, a partir de ella podemos por ejemplo responder la siguiente pregunta: Como podemos a partir de opciones construir una acción SINTÉTICA?

PUT-CALL Parity - Ejemplo

Portafolio 1. STOCK + PUT : Una acción S cuyo precio actual es $100 USD + una opción PUT ATM sobre la acción S.

Portafolio 2. CALL + CASH: Una opción CALL ATM sobre la acción S + Una inversión en T-bills cuyo valor futuro es igual a K=$100 USD.



Introducción a la Valoración de Opciones

El modelo BINOMIAL

Antes de proceder a utilizar y entender la formula de B-S para valorar opciones en tiempo CONTINUO (finanzas continuas) es importante desarrollar nuestra intuición de los conceptos básicos detrás de su formulación.

Para dicho objetivo iniciaremos con una aproximación DISCRETA del proceso de valoración de activos a un solo periodo conocido como árbol BINOMIAL de un paso

Utilizaremos adicionalmente nuestros ya conocidos conceptos de NO ARBITRAJE (ley del precio único) + Activos SINTÉTICOS (replicando flujos de caja).



El modelo BINOMIAL de un solo paso

Definimos un mundo de Tiempo-DISCRETO en el cual tenemos un activo (acción St) que en nuestro próximo y

único período puede tomar uno de dos valores : 1.St+∆t>St o

2. St+∆t<St ; en otras palabras nuestra acción puede subir

(goes UP) o bajar (goes DOWN).

∆t es período de tiempo fijo y conocido (día, mes, trimestre etc.)

Los inversionistas pueden tomar prestado e invertir (prestar) a la tasa libre de riesgo (r) que es conocida y fija durante el periodo (∆t-t)

El precio de nuestro activo S es conocido.



Podemos entonces representar nuestro mundo en tiempo-DISCRETO usando arboles binomiales:



Su

Sd

S

max(Su-k,0)

max(Sd-k,0)

C=??

1(1+r)=R

1(1+r)=R

1

Stock

Bond

CALL Option(k=100)

Securities Payoff (Cf)

(U=1.07)>(R=1.02)>(D=.95)

107

95

100

7

0

C=??

1.02

1.02

1

Stock

Bond

CALL Option(k=100)


(U=1.07)>(R=1.02)>(D=.95)

P(Su)=.95=95%

P(Sd)=.05=5%

Previamente nosotros ya habíamos resuelto la manera de replicar un activo como la Opción con base en el subyacente (S) y el bono libre de riesgo.

Formalmente tenemos: {Su(x)+R(y)=Cu} , {Sd(x)+R(y)=Cd} ; es decir un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (x,y)

{107(x)+1.02(y)=7} , {95(x)+1.02(y)=0}; resolviendo el sistema tenemos: x=0.583333;y=-54.330

En otras palabras nosotros podemos replicar el payoff de la Opción en cualquiera de los dos posibles escenarios de la economía (up / down) mediante un portafolio así: long .583333 unidades de la acción S y tome prestado (note el signo negativo) un valor igual a $54.330 a una tasa de interés (r) por periodo.



Nuestro Portafolio (long) .583333 unidades de S menos una posición pasiva (short / tomar prestado) -54.330 es una opción SINTETICA sobre nuestra acción S con “strike price” igual a K=$100 y plazo de un período.

Como conocemos el precio de nuestros dos activos (S , B) podemos fácilmente determinar el valor del portafolio que deberá ser igual por argumentos de no arbitraje al precio de nuestra opción CALL.

C= (.583333)($100)+(-54.330)($1)=$4.003



De manera mas formal tenemos que para replicar un opción con base en el subyacente (S) y un T-Bond (B) tenemos:



(Su×X)+(R×Y ) =Cu

(Sd×X)+(R×Y ) =Cd(1)

X =Cu−CdSu−Sd

Y =SuCd−SdCuR(Su−Sd

(2)

ValueRP=C = (X×S)+(Y ×1) (3)

De manera mas general tenemos:



(u×X)+(R×Y ) =Cu

(d×X)+(R×Y ) =Cd(1)

X =Cu−Cdu−d

Y =uCd−dCuR(u−d)

(2)

ValueRP=C = X+Y =Cu−Cdu−d +

uCd−dCuR(u−d)

=1

R× (

R−du−dCu)+(

u−Ru−dCd)

I f!∗ =R−du−d

C =1

R× [!∗Cu+(1−!∗)Cd]

(3)

Antes de continuar con una formulación binomial de mas de un paso observe los siguientes puntos IMPORTANTES

1. Nuestras probabilidades REALES (95% por el escenario de incremento, y 5% por el escenario de disminución), no SE UTILIZAN para determinar el valor de nuestra opción. Por que?

2. La valoración se hace mediante la construcción de una opción SINTETICA en la que los posibles valores de la opción en los dos escenarios probables se replican de manera exacta.

3. La opción sintética se valora con argumentos de NO ARBITRAJE.



Continuación...

4. La opción es un activo redundante; recuerde si hay solamente dos posibles estados de la economía e igualmente dos activos no redundantes (S,B) un tercer activo deberá ser REDUNDANTE. En otras palabras siempre podemos replicar la opción con base en el activo subyacente y los T-Bonds.

5. El cociente DELTA de la opción (∆); tiene en principio dos interpretaciones; a) representa el numero de unidades de S (subyacente) que se requiere en el portafolio S+B para replicar la opción ; b) igualmente representa la sensibilidad del precio de la opción ante cambios en el precio del subyacente.

DELTA DE LA OPCION

6. En nuestro caso por cada dólar que se mueva la acción S nuestra opción se moverá 58,333 centavos de dólar.



!=cu− cdSu−Sd

Continuación...

7. Note que la expresión final de nuestra ecuación (3), puede ser interpretada así: el valor de la opción es igual al valor presente del valor esperado de su flujo de caja (payoff) usando como probabilidad para el

estado de incremento (Cu) π*, y para su complemento (Cd) una

probabilidad de (1- π*)

En nuestro ejemplo π*= 0.58333 y (1- π*) = (1-.58333) = 0.41667

IMPORTANTE !! note que estas probabilidades son DIFERENTES a las probabilidades reales del 95% y 5%.

π*,(1- π*); se conocen como Probabilidades bajo NEUTRALIDAD AL RIESGO (Risk neutral probabilities)



Continuación...

8. Los resultados que se obtienen valorando la opción sintética (portafolio S+B) bajo argumentos de no arbitraje son por supuesto idénticos a los que se obtienen valorando la opción como el valor presente esperado en un “mundo de neutralidad al riesgo” (risk neutral probabilities).



Call = (.58333×100)+(−54.330×1) = 4.0032

Call =(0.58333×7)+((1− .58333)×0)

1.02= 4.0032

El modelo BINOMIAL de dos pasos



107

95

114.49

101.65

90.25

100

1.02

1.02

1.0404

1.0404

1.0404

1

??

??

14.49

1.65

0

??

Stock

T-Bond

Call Option K=100, (T-t=2p)

u=1.07>R=1.02>d=.95

Su

Sd

Suu

Sdu

Sdd

S

R

R

RR

RR

RR

1

??

??

max(Suu-K,0)

max(Sdu-K,0)

max(Sdd-K,0)

??

Stock

T-Bond


u=1.07>R=1.02>d=.95

Siguiendo los mismos procedimientos 1. de replicar en cada nodo los flujos de la opción, o 2. utilizando las probabilidades bajo un mundo neutral al riesgo obtenemos fácilmente:



8.960

0.9436

14.49

1.65

0

5.510


u=1.07>R=1.02>d=.95

Detalle ilustrativo del calculo del valor de la opción en el nodo superior al final del periodo uno (nodo (1,1))

1. Replicando el payoff de la opción:



(X×114.49)+(Y ×1.0404) = 14.49

(X×101.65)+(Y ×1.0404) = 1.65

X = 1

Y =−96.116878RP=Call = (1×107)+(−96.116878×1.02) = 8.960

(1)

Detalle ilustrativo del calculo del valor de la opción en el nodo superior al final del periodo uno (nodo (1,1))

2. RISK NEUTRAL PROBABILITIES:



!∗ =1.02− .95

1.07− .95= .583333

C =(14.49× .58333)+((1− .58333)×1.65)

1.02= 8.960

(2)

Podemos generalizar fácilmente nuestro análisis de dos periodos a N periodos. todas nuestras conclusiones se mantienen.

Note : los valores por período de “r”, “u” y “d” permanecen

constantes; por lo tanto π*,(1- π*) -RISK NEUTRAL PROBABILITIES- también se mantienen constantes.

Observe que nuestra nueva opción sintética en el nodo (1,1) es diferente a la anterior (nodo 0,0) .

El Delta(∆) de la opción cambia dinámicamente en función del cambio del subyacente .

Las Valoraciones de la opción usando Risk-neutral probabilities y el costo del portafolio que replica la opción son iguales.

El Delta(∆) de la opción es también conocido como DELTA de cobertura o “DELTA HEDGE”. Por que?



“Delta Hedge”(∆) , la clave para construir un portafolio sin riesgo .

Nuestra solución discreta, usando arboles binomiales, nos permite concluir que el precio de una opción debe ser igual al “costo” de la opción sintética ( portafolio que replica el payoff de la opción).

Este portafolio es básicamente igual a (∆*S)-B por lo tanto podemos esquemáticamente decir que (∆*S)-B=C ❶⇒ (∆*S)-C=B ❷Note: a) que las expresiones identificadas como ❶ y ❷ son equivalentes.Note: b) que la expresión ❷ nos permite concluir que nuestro portafolio (∆*S)-C, es un “ACTIVO LIBRE DE RIESGO” pues es igual a B, que como sabemos es una inversión/ préstamo a la tasa “libre de Riesgo”.



Veamos con los números de nuestro ejemplo previo lo que pasa con un portafolio en el que se esta “long” en (∆) unidades de S y “short” (write) la Opción CALL (=❷)

Recuerde nuestro resultado:(∆)=0.58333, C=4.003, B= (tomar prestado a la tasa libre de riesgo) -54.330

Por lo tanto nuestro portafolio deberá ser una posición igual a :P= {(.583333)(S)}-C.

Si estamos en lo correcto dicho portafolio ❷, deberá ser un portafolio LIBRE de RIESGO y por lo tanto tener una rentabilidad igual a “r”(risk-free rate).



Recuerde: (∆*S)-B=C ❶⇒ (∆*S)-C=B ❷ ∴❶=❷= Risk-Free Portafolio

62.416-7=55.416

55.4166-0=55.416

58.3333-4.003=54.330

!Stock-Call

54.330*(1.02)=55.416

54.330*(1.02)=55.416

54.330

Risk-free bond




62.416

55.4166

58.3333

7

0

4.003

55.416

55.416

54.330

!Stock

Bond

CALL Option(k=100)

(U=1.07)>(R=1.02)>(D=.95)

Efectivamente nuestro portafolio es libre de riesgo. Tal como se demostró es equivalente a una inversión a la tasa libre de riesgo .

Note que en los cálculos anteriores que el portafolio : long DELTA unidades de el subyacente (∆S)+ short de call opción sobre el subyacente (C), genera un flujo cierto de $55.416. Es efectivamente un portafolio sin riesgo

Los cálculos anteriores demuestran que independientemente de que los inversionistas son adversos al riesgo y por lo tanto requieren una compensación al mismo; la opción, como activo redundante, puede siempre ser replicada e igualmente es posible construir un portafolio LIBRE DE RIESGO.



Podemos entonces valor la opción bajo los supuestos de un mundo NEUTRAL al RIESGO. lo anterior significa que su precio deberá ser el VP (descontando a la tasa libre de riesgo) del valor esperado de los flujos de la opción calculado con base en probabilidades neutras al riesgo. (“RISK-NEUTRAL PROBABILITIES”)

Recuerde que nuestra aproximación al valor de la opción fue el de obtener su valor a partir de otros activos (S) y (B). En otras palabra valoramos la opción en términos relativos a al precio del subyacente (S) y una inversión libre de riesgo (T-Bonds).

El precio de la acción tiene incorporada toda información disponible y representa el valor presente de los flujos esperados, es claro que dicho precio ya refleja las probabilidades reales del movimiento futuro de la acción (UP / DOWN) . Por lo tanto, NO NECESITAMOS nuevamente dichas probabilidades reales para valorar la opción.



El procedimiento anterior , bien usando “risk-neutral probabilities” o replicando los flujos de la opción, muestra que cuando nuestro subyacente (S) se mueve,Δ también se mueve.Por lo tanto cada ves que S cambia de precio es necesario re-balancear nuestro portafolio, para poder REPLICAR los flujos de caja de nuestra opción y construir nuestro portafolio sin riesgo.

En un mundo donde el precio de nuestra acción cambie continuamente, será necesario un re-balanceo continuo de nuestro portafolio (”dynamic hedging”).

Que pasa con nuestra distribución binomial en la medida que N⇒∞?

Que pasa si simultáneamente a incrementar el numero de pasos de nuestro modelo binomial el periodo de tiempo se reduce δt⇒0 ?. (a día, a hora, a segundo a fracción de segundo).



Histograma de Probabilidad para una distribución Binomial con parámetros (N, P(x=.5))



De un mundo donde nuestra acción puede tomar solo dos valores (Up / Down) en cada período de tiempo, hacia un mundo donde continuamente nuestra acción puede cambiar de precio y puede tomar un valor positivo cualquiera en el espectro completo

De un mundo DISCRETO (Distribución BINOMIAL), hacia un mundo CONTINUO (distribución NORMAL).

Del movimiento discreto “Random-walk” al movimiento continuo BRAWNIANO

De las finanzas discretas a la finanzas en tiempo CONTINUO y el cálculo estocástico en finanzas.



notas de clase 6-a

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