notas de clase cÁlculo iii
TRANSCRIPT
NOTAS DE CLASECÁLCULO III
Doris HinestrozaDiego L. Hoyos
1
Índice general
1. Funciones Vectoriales 51.1. El Espacio Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Funciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Límites, derivadas e integrales. . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2.1. Teoremas básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Curvas y Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Longitud de arco y reparametrización de una curva. . . . . . . 141.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2. El vector aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.3. *Ecuaciones de Frenet para una curva plana. . . . . . . 21
2. Campos Escalares en R2 y R3 242.1. Gráfica de z = f(x, y). Curvas y superficies de nivel. . . . . . . 24
2.1.1. Superficies cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Límites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.4. El concepto de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4. La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.1. El vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6. Máximos y Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.1. Criterio para determinar extremos de funciones de dosvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.2. Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.7. *Temas de Lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7.1. Campos Escalares y Campos Vectoriales . . . . . . . . . 65
2
2.7.2. Derivada en una dirección de un campo escalar en Rn.Derivadas direccionales y parciales. . . . . . . . . . . . . 66
2.7.3. Diferenciabilidad de un campo escalar en Rn. . . . . . . 682.7.4. Regla de la cadena para campos escalares en Rn. . . . . 712.7.5. Derivada en una dirección de un campo vectorial. Deriva-
da direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.7.6. Diferenciabilidad de un campo vectorial . . . . . . . . . 742.7.7. Regla de la cadena para campos vectoriales. . . . . . . . 762.7.8. Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares . 802.7.9. Naturaleza de un punto crítico teniendo como criterio los
valores propios de la matriz Hessiana . . . . . . . . . . . 822.7.10. Criterio para determinar extremos de funciones de dos
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.7.11. Ley de la conservación de la energía. Campos conservativos 85
3. Integrales Múltiples 873.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.1. Propiedades de la Integral doble . . . . . . . . . . . . . 883.1.2. Integración en regiones más generales . . . . . . . . . . 893.1.3. Cálculo de integrales dobles: áreas y volúmenes. . . . . . 913.1.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.4.1. La fórmula del cambio de variable . . . . . . . 973.2. Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.1. Regiones más generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2.2. Cambio de variable en integrales triples. . . . . . . . . . 104
3.2.2.1. Coordenadas cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . 1053.2.2.2. Coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Aplicaciones de las integrales múltiples. . . . . . . . . . . . . . 1073.3.1. Momentos y centros de masa. . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.2. Densidad y masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3.3. Momento de Inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.4. Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.4.1. Valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Su-perficie 1174.1. Integral de Línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.1. Propiedades de la Integrales de línea . . . . . . . . . . 1194.2. El concepto de trabajo como integral de línea . . . . . . . . . . 1214.3. Campos conservativos y funciones potenciales . . . . . . . . . . 1234.4. El teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.5. Área de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3
4.6.1. Integral de superficie de una función escalar . . . . . . . 1334.6.2. Integral de superficie de un campo vectorial . . . . . . . 134
4
Capítulo 1
Funciones Vectoriales
En este capítulo combinaremos el álgebra lineal y los métodos fundamentalesdel cálculo para estudiar algunas aplicaciones de las curvas y algunos problemasde Mecánica.
1.1. El Espacio Rn
El espacio Rn es el conjunto de todas las n-uplas de números reales:
Rn = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, 3, ...n) .
Los elementos de Rn se le llaman vectores.
En Rn definimos la suma de vectores y producto por escalares. Si −→a = (x1, x2, ..., xn)
y−→b = (y1, y2, ..., yn) entonces −→a +
−→b es el elemento de Rn dado por
−→a +−→b = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn).
Para cada escalar λ ∈ R, el vector λ−→a es definido por
λ−→a = (λx1, λx2, ..., λxn).
El producto escalar entre dos vectores de Rn está definido por
−→a · −→b =
n∑
i=1
xiyi.
Recordemos algunas propiedades del producto escalar:
5
−→a · −→b =−→b · −→a
(−→a +−→b ) · −→c = −→a · −→c +
−→b · −→c
(−→λa)
· −→b = λ(−→a · −→b
)
= −→a ·(−→λb)
La longitud o norma de un vector de Rn es definida por
||−→a || =√−→a .−→a =
√
(x1)2
+ (x2)2
+ ... + (xn)2
o
||−→a ||2 = −→a · −→a .
La distancia entre −→a y−→b se define por
dist(−→a ,−→b ) = ‖−→a −−→
b ‖,
para cada −→a y−→b ∈ Rn
Propiedades importantes de la definición de longitud o norma son las siguientes:
||−→a || ≥ 0, ∀−→a ∈ Rn
||λ−→a || = |λ| ||−→a ||||−→a +
−→b || ≤ ||−→a || + ||−→b ||
∣
∣
∣
−→a · −→b∣
∣
∣ ≤ ||−→a || ||−→b ||
El ángulo θ entre los vectores −→a y−→b está dado por la relación.
cos θ =−→a · −→b
‖−→a ‖ ‖−→b ‖
En el caso que −→a y−→b ∈ R3 definiremos otro producto entre vectores conocido
como producto vectorial que se denota por −→a ×−→b y lo definimos como
−→a ×−→b =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1).
6
Recordemos algunas propiedades del producto vectorial
−→a ×−→b ⊥ −→a y −→a ×−→
b ⊥ −→b
−→a ×−→b = −−→
b ×−→a(−→a +
−→b ) ×−→c = −→a ×−→c +
−→b ×−→c
−→a ×(−→
b ×−→c)
= (−→a · −→c )−→b −
(−→a · −→b)−→c
(λ−→a ) ×−→b = λ
(−→a ×−→b)
= −→a ×(
λ−→b)
(−→a ×−→b ) · −→c = −→a ·
(−→b ×−→c
)
.
La norma de −→a ×−→b está dada por
||−→a ×−→b || = ||−→a || ||−→b ||sen θ
donde θ es el ángulo comprendido entre estos vectores.
1.2. Funciones Vectoriales
Una−→F : J → Rn donde J es un conjunto de números reales, se llama función
vectorial.El valor de la función
−→F en t lo designaremos corrientemente por
−→F (t). Puesto
que−→F (t) ∈ Rn
−→F (t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))
donde cada fi es una función real fi : J → R, i = 1, 2, ...n. Las funcionesfi son llamadas las componentes de la función vectorial
−→F . Así, cada función
vectorial da origen a n funciones reales f1, f2,...,fn. Indicaremos esta relación
por−→F = (f1, f2,..,fn). Llamamos a la variable t el parámetro de la función.
La ecuación −→x =−→F (t) donde −→x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, nos permite definir
las ecuaciones
x1 = f1(t)x2 = f2(t)
...xn = fn(t)
llamadas ecuaciones paramétricas con parámetro t.En algunos casos representaremos las funciones vectoriales como combinaciónlineal de la base usual en Rn. Por ejemplo cuando n = 2 algunas veces uti-lizaremos la representación
−→F (t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j donde i = (1, 0)
7
y j = (0, 1) y cuando n = 3 utilizaremos−→F (t) = (x(t),y(t),z(t)) =x(t)i +
y(t)j+z(t)k donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k =(0, 0, 1).
Ejemplo 1.2.1 Consideremos el caso de la ecuación de una recta que pasapor el punto P0 = (a, b, c) y tiene vector director −→a = (l, m, n) . Las ecuacionesparamétricas de la recta están dadas por
x = a + lt,
y = b + mt,
z = c + nt.
Estas variables las podemos escribir en forma vectorial de la siguiente manera−−→F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a+lt, b+mt, c+nt) = (a, b, c)+t(l, m, n) = P0+t−→a ,donde el parámetro t ∈ R. Así, la ecuación vectorial de la recta define lafunción vectorial −→
F (t) = P0 + t−→a .
Ejemplo 1.2.2 Si consideramos las ecuaciones paramétricas dadas por x =cos t y y = sent, 0 ≤ t ≤ 2π, obtenemos la función vectorial
−→F (t) = cos ti + sen tj.
La norma o longitud de−−→F (t) para cada t está dada por
∥
∥
∥
−→F (t)
∥
∥
∥ =√
cos2 t + sen2t = 1.
El vector−→F (t) describe una circunferencia de radio 1 en sentido contrario a
las manecillas del reloj dando una vuelta completa cuando t aumenta de 0 a2π.
1.2.1. Operaciones algebraicas.
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las funcionesvectoriales. Sean
−→F ,
−→G , funciones vectoriales definidas sobre un dominio común
y f una función real, entonces definimos las funciones−→F +
−→G, f
−→F ,
−→F · −→G,
mediante(−→
F +−→G)
(t) =−−→F (t) +
−−→G(t),
f−→F (t) = f(t)
−→F (t),
(−→F · −→G
)
(t) =−→F (t) · −→G(t).
8
(El producto aquí considerado es el de producto escalar).Observemos que el producto escalar de funciones vectoriales es una funciónreal.Además en el caso de que
−→F y
−→G tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial(−→
F ×−→G)
(t) =−→F (t) × −→
G (t).
1.2.2. Límites, derivadas e integrales.
Los conceptos fundamentales de límite, continuidad, derivadas e integral puedengeneralizarse naturalmente para funciones vectoriales.Si
−→F = (f1, f2,..,fn) es una función vectorial y L = (l1, l2, ..., ln) ∈ Rn, definimos
el límite por
lımt→a
−→F (t) = L ⇐⇒ lım
t→af1(t) = l1, lım
t→af2(t) = l2, lım
t→afn(t) = ln
siempre que los límites existan.Diremos que
−→F es continua en a si lım
t→a
−→F (t) =
−→F (a). Es decir,
−→F es continua
en a si y solo si cada componente es continua en a.Si una función vectorial continua está definida en el intervalo [a, b], entonces ca-da componente real es continua en [a, b] y por lo tanto integrable. Así podemosdefinir
∫ b
a
−→F (t)dt =
(
∫ b
a
f1(t)dt,
∫ b
a
f2(t)dt, ...,
∫ b
a
fn(t)dt
)
Igualmente, la derivada−→F ′(t) de una función vectorial
−→F (t) se define exacta-
mente de la misma forma que la derivada de una función real, es decir−→F (t) es
diferenciable en t, si
−→F ′(t) = lım
h→0
−→F (t + h) −−→
F (t)
h
existe. De acuerdo a la definición del límite para funciones vectoriales podemos
decir que la función vectorial−−→F (t) es diferenciable si y sólo si cada componente
es diferenciable. En este caso
−→F ′(t) = (f ′
1(t), f′2(t), ..., f
′n(t))
Diremos que−→F es continua, derivable o integrable en un intervalo si cada com-
ponente lo es. De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobrelímites, continuidad, derivación e integración de funciones reales son válidospara las funciones vectoriales.
9
Denotaremos las derivadas por
−→F ′(t) = Dt
−→F =
d−→F
dt.
En el caso de n = 2, si−→F (t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j,
−→F ′(t) = Dt
−→F =
d−→F
dt=
(
dx
dt,dy
dt
)
=dx
dti +
dy
dtj.
En el caso de n = 3, si−→F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j+z(t)k,
−→F ′(t) = Dt
−→F =
d−→F
dt=
(
dx
dt,dy
dt,dz
dt
)
=dx
dti +
dy
dtj+
dz
dtk.
1.2.2.1. Teoremas básicos
Teorema 1.2.1 Si−→F ,
−→G , funciones vectoriales y f una función real son
diferenciables, entonces lo mismo ocurre con las funciones−→F +
−→G, f
−→F ,
−→F ·−→G,
y tenemos
(−→F +
−→G)′ =
−→F ′ +
−→G′
(f−→F )′ = f ′−→F + f
−→F ′
(−→F · −→G
)′=
−→F ′ · −→G +
−→F ·
−→G′
Si−→F y
−→G tienen valores en R3, entonces
(−→F ×−→
G)′
=−→F ′ ×−→
G +−→F ×
−→G′
Demostración. Vamos a demostrar la segunda propiedad. Las demás se prue-ban de manera similar.
(f−→F )′ = ((ff1)
′, (ff2)
′, ..., (ffn)
′)
= (f ′f1 + ff ′1, f
′f2 + ff ′2, ..., f
′fn + ff ′n)
= f ′(f1, f2, ..., fn) + f(f ′1, f
′2, ..., f
′n)
= f ′−→F + f−→F ′
El siguiente es un teorema muy importante y caracteriza las funciones vectori-ales que tienen longitud constante.
10
Teorema 1.2.2 Una función vectorial−→F (t) diferenciable tiene longitud con-
stante en un intervalo abierto I, si y sólo si−→F (t) ·−→F ′(t) = 0. Esto significa que
los vectores−→F (t) y
−→F ′(t) son perpendiculares para cada t ∈ I.
Demostración. Vamos inicialmente a suponer que la longitud de−→F (t) es
constante. Definamos la función g(t) = ||−→F (t)||2 =−→F (t) · −→F (t). De acuerdo a
la hipótesis g(t) = c para todo t ∈ I donde c es una constante. Por lo tantog′(t) = 0 en I. Como g es un producto escalar, tenemos que
g′(t) =−→F ′(t) · −→F (t) +
−→F (t) ·
−→F ′(t) = 2
−→F (t) ·
−→F ′(t) = 0,
entonces−→F (t) · −→F ′(t) = 0 en I.
Para mostrar el recíproco consideremos que−→F (t) · −→F ′(t) = 0 en I y definamos
g(t) =∥
∥
∥
−→F (t)
∥
∥
∥
2
. Derivando g(t) tenemos que g′(t) = 2−→F (t) · −→F ′(t) y aplicando
la hipótesis tenemos que g′(t) = 0 para todo t ∈ I. Así la longitud de−→F (t) es
constante.
Los siguientes teoremas se demuestran teniendo en cuenta las propiedades delos vectores y los teoremas básicos de derivadas de una variable como la reglade la cadena y los teoremas fundamentales del cálculo.
Teorema 1.2.3 (Regla de la cadena para funciones vectoriales). Sea−→G =
−→F u donde
−→F es una función vectorial y u es una función real. Si u es
continua en t y−→F es continua en u(t) entonces G es continua en t. Además si
u es diferenciable en t y−→F es diferenciable en u(t) entonces
−→G es diferenciable
en t y −→G′(t) =
−→F ′(u(t))u′(t).
Teorema 1.2.4 (Primer Teorema Fundamental del Calculo para funciones
Vectoriales) Sea−→F : [a, b] → Rn una función vectorial continua y definamos
−→A (t) =
∫ t
a
−→F (s)ds, a ≤ t ≤ b
Entonces−→A′ existe y
−→A′(t) =
−→F (t).
Teorema 1.2.5 (Segundo Teorema Fundamental del Calculo para funciones
Vectoriales). Supongamos que la función−→F tiene derivada continua
−→F ′ en un
intervalo I. Entonces para cada t ∈ I tenemos
∫ t
a
−→F ′(s)ds =
−→F (t) −−→
F (a)
11
o−→F (t) =
−→F (a) +
∫ t
a
−→F ′(s)ds.
1.3. Curvas y Tangentes
A las funciones vectoriales diferenciables las llamaremos curvas y las denotare-mos con la letra −→r en lugar de la letra
−→F . Así, una curva en Rnes una función
−→r : I → Rn diferenciable; la curva es regular, si−→r′ (t) 6= −→
0 para todo t. A noser que se diga lo contrario, nuestras curvas siempre serán regulares. Tambiénllamaremos curva o trayectoria al rango o conjunto imagen de la función −→r ,esto es, al conjunto C definido por
C = −→x : −→x = −→r (t) para algún t ∈ I.
En este caso, la función −→r se denomina parametrización de C, y diremos quela curva C está descrita paramétricamente (o parametrizada) por −→r . Cuandon = 2 ó 3 podemos representar geométricamente la curva. Por ejemplo, en elcaso de n = 3, la curva descrita por −→r (t) = P + t−→a es una línea recta que pasapor el punto P y tiene vector director −→a .
Observación 1.3.1 El gráfico de cualquier función real y = f(x) puede serdado en forma paramétrica mediante las ecuaciones: x = t y = f(t) o en formavectorial como
−→r (t) = (t, f(t)).
Definición 1.3.1 La derivada−→r′ (t0) de una curva −→r en t0 está ligada al con-
cepto de tangencia, como en el caso de una función real. Formamos el cocientede Newton −→r (t0 + h) −−→r (t0)
h,
12
Investigamos el comportamiento de este cociente cuando h → 0. El cociente esel producto del vector −→r (t0 + h) − −→r (t0) por el escalar 1/h. Observemos queel numerador es paralelo a este cociente. Si hacemos que h → 0 tenemos que
lımh→0
−→r (t0 + h) −−→r (t0)
h=
−→r′ (t0)
suponiendo que este límite exista. La interpretación geométrica sugiere la sigu-iente definición.
Definición 1.3.2 Sea C la curva parametrizada por −→r = −→r (t). Si la derivada−→r′ existe y no es nula, la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto−→r (t0) y tiene vector director
−→r′ (t0) está dada por −→r (t) = −→r (t0) + t
−→r′ (t0). El
vector−→r′ (t0) se llama vector tangente a C en −→r (t0).
Ejemplo 1.3.1 Recta. Consideremos la función vectorial −→r (t) = P + t−→a ,
siendo −→a 6= −→0 , tenemos que
−→r′ = −→a , así que la recta tangente coincide con la
curva de −→r .
Ejemplo 1.3.2 Circunferencia. Si −→r (t) describe una circunferencia de radioR y centro en el punto P , entonces ||−→r (t) − P || = R. El vector −→r (t) − Pgeométricamente representa un vector que va desde el punto P al punto −→r (t).Puesto que este radio vector tiene longitud constante, tenemos que −→r (t) − P
y su derivada (−→r (t) − P )′ =−→r′ (t) son perpendiculares y por lo tanto el radio
vector es perpendicular a la recta tangente. Así pues, para una circunferenciala definición de tangente coincide con aquella dada en la geometríáa elemental.
Puede pensarse que la curva C es la trayectoria de una partícula que se mueveen el espacio a medida que transcurre el tiempo t, así, −→r (t) es la posición
de la partícula en el tiempo t.−→r′ (t) es entonces la velocidad de la partícula,
que también denotamos −→v (t). La norma de la velocidad ‖ −→v (t) ‖ se denomina
13
rapidez de la curva y se denota v(t). La segunda derivada−→r′′(t) es la aceleración
de la curva y se denota −→a (t).Si conocemos la aceleración de una partícula en un tiempo t y si también sabe-mos su velocidad y su posición en un tiempo específico t0, entonces podemosconocer su velocidad y su posición en cualquier tiempo t, como se muestra enel siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.3.3 Se sabe que la aceleración de una partícula que se mueve en
el espacio está dada por −→a (t) = 2t−→i + sent
−→j + cos 2t
−→k . Si su velocidad y
posición en t = 0 están dados por −→v (0) =−→i y −→r (0) =
−→j , hallar su posición
en cualquier tiempo t.
Solución. Puesto que −→a (t) =−→v′ (t), entonces
−→v (t) =∫ −→a (t)dt =
∫
(2t−→i +sent
−→j +cos 2t
−→k )dt = t2
−→i −cos t
−→j + 1
2 sen2t−→k +−→c ,
donde la constante −→c = (c1, c2, c3). Por un lado −→v (0) = (0,−1, 0)+(c1, c2, c3) =(c1, c2−1, c3) y por otro lado, −→v (0) = (1, 0, 0), de tal manera que c1 = 1, c2 = 1
y c3 = 0, y la velocidad es entonces −→v (t) = (t2+1)−→i +(1−cos t)
−→j + 1
2 sen2t−→k .
Ya podemos hallar su posición puesto que
−→r (t) =
∫
−→v (t)dt = (t3
3+ t)
−→i + (t − sent)
−→j − 1
4cos 2t
−→k + (c1, c2, c3)
y puesto que por hipótesis −→r (0) = (0, 1, 0), y por otro lado −→r (0) = (c1, c2,− 14 +
c3) tenemos que la posición en un tiempo t está dada por −→r (t) = (t3
3+ t)
−→i +
(t − sent + 1)−→j + (1
4 − 14 cos 2t)
−→k .
1.4. Longitud de arco y reparametrización de unacurva.
Sea C una curva parametrizada por −→r = −→r (t), t ∈ [a, b]. Si reemplazamos tpor una función diferenciable h : [c, d] → [a, b], creciente o decreciente de otravariable u, t = h(u), obtenemos una nueva parametrización de −→r de la forma−→α (u) = −→r (h(u)), esto es, la composición de r con h.
Nota: A veces, para simplificar la notación y cuando no haya peligro de con-fusión, denotaremos la reparametrización −→α con la misma letra −→r y en lugarde escribir t = h(u) escribimos t = t(u) así: −→r (u) = −→r (t(u)); lo mismo parala inversa u = h−1(t) escribimos u = u(t). Si h es creciente, diremos que elcambio de parámetro preserva la orientación y si h es decreciente, diremos que
14
h invierte la orientación.
Ejemplo 1.4.1 Sabemos que la ecuación y =√
1 − x2, x ∈ [−1, 1] repre-senta la mitad superior de un círculo de radio 1. Podemos parametrizar di-cho semicírculo por −→r (t) = (t,
√1 − t2), t ∈ [−1, 1] con orientación del
punto (−1, 0) al punto (1, 0). Escribiendo t = t(u) = cosu obtenemos lareparametrización −→r (u) = (cosu,
√1 − cos2 u) = (cos u, sen u). Si tomamos
u ∈ [0, π] = [arc cos(1), arc cos(−1)] obtenemos una reparametrización que in-vierte la orientación pues en dicho intervalo cos es decreciente.
La longitud de una curva −→r = −→r (t) para t ∈ [a, b] se define por
L(−→r ) =
b∫
a
||−→r′ (t)||dt
En los casos n = 2 y n = 3, esto es, cuando −→r (t) = (x(t), y(t)) y −→r (t) =(x(t), y(t), z(t)), sus longitudes son
L(−→r ) =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2dt
y
L(−→r ) =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt
Por ejemplo, en el círculo −→r (t) = (acost, asent), para t ∈ [0, 2π], tenemos que−→r ′(t) = (−asent, acost) y ||−→r′ (t)|| = a por lo que su longitud es
L(−→r ) =
∫ 2π
0
adt = 2πa
y en el caso de la hélice −→r (t) = (acost, asent, bt), su longitud desde el punto(1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 2π) es
∫ 2π
0
√
a2 + b2dt = 2π√
a2 + b2.
Nótese que al reparametrizar una curva, ni su forma ni su longitud cambian.Esto último se deduce del hecho de que haciendo t = h(u) y suponiendo hcreciente
d∫
c
∥
∥
∥
−→α′(u)
∥
∥
∥ du =
d∫
c
∥
∥
∥
−→r′ (h(u))h′(u)
∥
∥
∥ du =
d∫
c
||−→r′ (h(u))||h′(u)du =
b∫
a
∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ dt
15
El estudiante puede hacer algo análogo para h decreciente.Sin embargo, escribiendo −→r (u) = −→r (t(u)) se tiene que
∥
∥
∥
∥
d−→rdu
∥
∥
∥
∥
=
∥
∥
∥
∥
d−→rdt
∥
∥
∥
∥
∣
∣
∣
∣
dt
du
∣
∣
∣
∣
lo que muestra que su rapidez sí cambia por el factor∣
∣
dtdu
∣
∣; incluso la velocidadpuede invertir su sentido en el caso en que t = t(u) sea decreciente pues en este
casodt
du< 0.
Pregunta: Se podrá reparametrizar una curva cualquiera de tal manera quesu rapidez sea constante? La respuesta es sí, como veremos a continuación.
Sea −→r = −→r (t), t ∈ [a, b] una curva cualquiera, y sea s = s(t) =∫ t
a
∥
∥
∥
−→r′ (u)
∥
∥
∥ du.
s = s(t) se denomina función longitud de arco y mide la longitud de −→r desde
a hasta t. Puesto queds
dt=∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ > 0, s(t) es una función creciente y como
s(a) = 0 y s(b) = L (su longitud total), su inversa t = t(s) es creciente condominio [0, L]. Utilizando esta inversa como cambio de parámetro, obtenemosla parametrización −→r (s) = −→r (t(s)) en donde el parámetro es la longitud delarco s. La velocidad de esta parametrización es
d−→rds
=d−→rdt
dt
ds
Comodt
ds=
1dsdt
=1
∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
, tenemos que
∥
∥
∥
∥
d−→rds
∥
∥
∥
∥
= 1. Así vemos que cuando la
curva está parametrizada por longitud de arco, su rapidez es constante e igual
a 1. Recíprocamente, si −→r = −→r (t) es una curva tal que∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ = 1, entonces
s =∫ t
0
∥
∥
∥
−→r′ (u)
∥
∥
∥du =
∫ t
0du = t, es decir el parámetro t es la longitud del arco
s. Hemos demostrado el siguiente teorema:
Teorema 1.4.1 Una curva −→r = −→r (t) está parametrizada por longitud de arco
si y solo si∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥= 1.
Ejemplo 1.4.2 Parametrizar por longitud de arco el círculo de radio a, −→r (t) =(a cos(t), a sen(t)),t ∈ [0, 2π].
Tenemos que−→r′ (t) = (−a sen(t), a cos(t)) y
∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ = a. Así, s =∫ t
0
∥
∥
∥
−→r′ (u)
∥
∥
∥ du =∫ t
0 a du = at. Despejando t tenemos que t =s
ay reemplazando obtenemos
−→r (s) = (a cos(s
a), a sen(
s
a)) es la parametrización pedida.
16
1.5. Curvatura
La curvatura es el concepto más importante de la teoría de curvas y midequé tanto se dobla una curva en un punto determinado. Puesto que la formacomo se dobla una curva tiene que ver con su concavidad, es apenas naturalpensar que la segunda derivada tiene que estar involucrada, esto es, la razón decambio del vector tangente. Definiremos inicialmente la curvatura de una curvaparametrizada por la longitud de arco s y luego deduciremos una fórmula parala curvatura de una curva con cualquier parámetro t.
Definición 1.5.1 Sea C una curva parametrizada por −→r = −→r (s) donde s =∫ t
0
∥
∥
∥
−→r′ (u)
∥
∥
∥ du. Definimos la curvatura de C por
k(s) =∥
∥
∥
−→r′′(s)
∥
∥
∥ (1.1)
Ejemplo 1.5.1 Calcular la curvatura del círculo de radio a, −→r (t) = (a cos t, asent).En el ejemplo anterior vimos que la parametrización por longitud de arco del
círculo es −→r (s) = (a cos(s
a), a sen(
s
a)). Tenemos entonces que la segunda
derivada de −→r es−→r′′(s) =
(
−1
acos(
s
a),−1
asen(
s
a)
)
y por lo tanto k(s) =∥
∥
∥
−→r′′(s)
∥
∥
∥ =1
a.
Nota.Esta definición solo es válida para curvas parametrizadas por longitud de arcoy no sirve como definición de curvatura de una curva con cualquier parámetro
t (es decir, escribir k(t) =∥
∥
∥
−→r′′(t)
∥
∥
∥). Para ver porqué esto es así, vea el ejercicio
y la observación al final de esta sección.
En principio, si queremos calcular la curvatura de una curva con cualquierparámetro t, deberíamos primero reparametrizarla por longitud de arco y aplicarla ecuación 1.1 como se hizo en el ejemplo anterior. Esto no es práctico por ladificultad en el cálculo de la integral involucrada o porque a menudo es muydifícil o virtualmente imposible invertir dicha integral. Para encontrar una fór-mula de la curvatura con cualquier parámetro t, definamos el vector tangenteunitario de una curva parametrizada por −→r = −→r (t) así:
−→T (t) =
−→r′ (t)∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
(1.2)
Reparametrizando entonces por longitud de arco, tenemos que −→r (s) = −→r (t(s))donde t = t(s) es la inversa de la función longitud de arco s = s(t); se tiene en-
17
tonces también que el vector tangente unitario tiene la forma−→T (s) =
−→T (t(s)).
Entonces−→r′ (s) =
−→T (s) y la segunda derivada de −→r es
−→r′′(s) =
−→T ′(s) =
d−→T
dt
dt
ds=
−→T ′(t)∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
y puesto que la curvatura es la norma de este vector, tenemos que
k(t) =
∥
∥
∥
−→T ′(t)
∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
. (1.3)
Esta fórmula nos permite calcular la curvatura de una curva cualquiera sin tenerque reparametrizarla por longitud de arco. Podemos encontrar una fórmulamás sencilla que sólo involucre r y sus derivadas (y no el vector
−→T ) dada en el
siguiente teorema.
Teorema 1.5.1
k(t) =
∥
∥
∥
−→r′ (t) ×−→
r′′(t)∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
3 (1.4)
Demostración. Escribiendo v(t) =∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ tenemos que−→r′ (t) = v(t)
−→T (t);
derivando obtenemos
−→r′′(t) = v′(t)
−→T (t) + v(t)
−→T ′(t)
.Entonces
−→r′ ×
−→r′′ = v
−→T ×
(
v′−→T + v
−→T ′)
= vv′−→T ×−→
T + v2−→T ×−→T ′
= v2−→T ×−→T ′
Por lo tanto
∥
∥
∥
−→r′ ×
−→r′′∥
∥
∥= v2
∥
∥
∥
−→T ×
−→T ′∥
∥
∥=∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
2 ∥∥
∥
−→T∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→T ′∥
∥
∥sen(π/2)
puesto que−→T es perpendicular a
−→T ′. Y como
∥
∥
∥
−→T∥
∥
∥= 1 se tiene que
18
∥
∥
∥
−→r′ ×
−→r′′∥
∥
∥ =∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
2 ∥∥
∥
−→T ′∥
∥
∥ .
Dividiendo a ambos lados de esta última ecuación por∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
3
se obtiene la fór-
mula deseada.
La curvatura de una curva con cualquier parámetro t está bien definida porla ecuación 1.3, en el sentido de que es independiente de la parametrizaciónelegida, es decir, que para calcular la curvatura no interesa qué parametrizacióntomemos. Esto se demuestra de la siguiente manera: si −→α es una reparametrizaciónde −→r , esto es,−→α (u) = −→r (h(u)) con h(u) = t y llamamos kα,kr,Tαy Tr a lascurvaturas y al vector tangente unitario en las dos parametrizaciones, entonces:
kα(u) =
∥
∥
∥
−→T ′
α(u)∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→α′(u)
∥
∥
∥
=
∥
∥
∥
−→T ′
r(h(u))h′(u)∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→r′ (h(u))h′(u)
∥
∥
∥
=
∥
∥
∥
−→T ′
r(t)∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
= kr(t)
Note que si en la ecuación 1.3 hacemos t = s obtenemos la ecuación 1.1.
Puede probarse fácilmente que si la curvatura de una curva es cero en todossus puntos, dicha curva es una linea recta, que es efectivamente lo que nosdice la intuición. Para ello notemos que como la curvatura es independiente
de la parametrización, podemos suponer∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ = 1. Si k = 0, entonces por
la ecuación 1.1 debe ser−→r′′(t) = 0. Integrando entre t0 y t se obtiene que−→
r′ (t) =−→r′ (t0) e integrando de nuevo obtenemos −→r (t)−−→r (t0) = (t− t0)
−→r ′(t0)esto es, −→r (t) = (t − t0)
−→r ′(t0) + −→r (t0) que ciertamente es una línea recta.
1.5.1. Triedro de Frenet
Para una curva −→r = −→r (t) definimos el vector normal unitario por
−→N (t) =
−→T ′(t)∥
∥
∥
−→T ′(t)
∥
∥
∥
(1.5)
Note que−→N ⊥ −→
T puesto que ‖T ‖ = 1. Definimos también el vector binormalpor
−→B (t) =
−→T (t) ×−→
N (t)
19
vector que es perpendicular tanto a−→T como a
−→N . La tripla
−→T ,
−→N,
−→B
se de-
nomina triedro de Frenet y juega un papel central en el estudio de la geometríade curvas.
El plano generado por el par−→
T ,−→N
se denomina plano osculador .
El plano generado por el par−→
N,−→B
se denomina plano normal.
El plano generado por el par−→
T ,−→B
se denomina plano rectificante.
Las ecuaciones de dichos planos en un punto −→r (t0) son
plano osculador: (−→x −−→r (t0)) ·−→B (t0) = 0.
plano normal: (−→x −−→r (t0)) ·−→T (t0) = 0.
plano rectificante: (−→x −−→r (t0)) ·−→N (t0) = 0.
1.5.2. El vector aceleración.
Si escribimos −→v =−→r′ y v =
∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥, tenemos que −→v = v−→T . Derivando a ambos
lados de esta ecuación, obtenemos:
−→v′ = −→a = v′
−→T + v
−→T ′
Como−→T ′ =
∥
∥
∥
−→T ′∥
∥
∥
−→N = kv
−→N , entonces
−→a = v′−→T + kv2−→N
20
Escribiendo aT = v′ y aN = kv2 tenemos que la aceleración es una combinaciónlineal de los vectores
−→T y
−→N de la forma −→a = aT
−→T + aN
−→N , lo que nos dice
que el vector aceleración está siempre sobre el plano osculador.Podemos encontrar expresiones para aT y aN en términos solamente de lasderivadas de −→r así:
−→v · −→a = v−→T ·(
v′−→T + kv2−→N
)
= vv′−→T · −→T + kv3−→T · −→N
= vv′
Así, aT = v′ =−→v · −→a
v=
−→r′ · −→r′′∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
.
Para aN , observemos que aN = kv2 =
∥
∥
∥
−→r′ ×−→
r′′∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
2
∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
3 =
∥
∥
∥
−→r′ ×−→
r′′∥
∥
∥
∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
.
El estudiante puede demostrar fácilmente que también se tiene que ‖−→a ‖2=
a2T + a2
N .
1.5.3. *Ecuaciones de Frenet para una curva plana.
Las ecuaciones de Frenet expresan la variación de los vectores−→T y
−→N en tér-
minos de ellos mismos y desempeñan un papel fundamental en el estudio de lageometría de las curvas. Deduciremos estas ecuaciones en el caso de una curvaplana.
De la ecuación 1.5 obtenemos−→T ′ =
∥
∥
∥
−→T ′∥
∥
∥
−→N y reemplazando
∥
∥
∥
−→T ′∥
∥
∥por lo dado
en la ecuación 1.3 tenemos que
−→T ′ = vk
−→N (1.6)
donde v =∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥.
Esta es la primera ecuación de Frenet. Por otro lado como∥
∥
∥
−→N∥
∥
∥ = 1 tenemos
que−→N ′ ⊥ N y como la curva es plana, entonces
−→N ′ es paralelo a
−→T y por lo
tanto existe un escalar λ tal que−→N ′ = λ
−→T . Al multiplicar a ambos lados de
esta ecuación por−→T , obtenemos que λ =
−→T · −→N ′. Por otro lado, derivando la
ecuación−→T · −→N = 0 obtenemos
−→T ′ · −→N +
−→T · −→N ′ = 0 lo que es equivalente a
kv−→N · −→N +
−→T · −→N ′ = 0 por la primera ecuación de Frenet (ecuación 1.6) y así,
λ =−→T · −→N ′ = −vk, y obtenemos la segunda ecuación de Frenet
21
−→N ′ = −vk
−→T (1.7)
Las ecuaciones 6 y 7, llamadas Ecuaciones de Frenet se pueden escribir en laforma matricial
( −→T ′−→N ′
)
=∥
∥
∥
−→r′∥
∥
∥
(
0 k−k 0
)
( −→T−→N
)
Ejercicio
Demostrar que si una curva tiene curvatura k =1
a(constante) entonces es un
círculo de radio a (con centro en algún punto−→P ).
Puesto que la curvatura es independiente de la parametrización, podemos
suponer v(t) =∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ = 1. Para demostrar que −→r es un círculo de radio
a con centro en−→P , debemos probar que −→r (t) + a
−→N (t) =
−→P pues entonces
−→r (t) − −→P = −a
−→N (t) y así,
∥
∥
∥
−→r (t) −−→P∥
∥
∥ = a, como se observa en la figura
abajo.
Para ver esto, observe qued
dt(−→r (t) + a
−→N (t)) =
−→r′ (t) + a
−→N ′(t). Pero la se-
gunda ecuación de Frenet (ecuación 1.7) es−→N ′(t) = −1
a
−→T (t), por lo tanto
−→r′ (t)+ a
−→N ′(t) =
−→T (t)− a.
1
a
−→T (t) = 0 y por lo tanto −→r (t)+ a
−→N (t) =constante.
Llamando−→P a dicha constante, se tiene lo que se quiere demostrar.
Observación.
22
Se definió la curvatura de una curva parametrizada por longitud de arco comola norma del cambio en el vector tangente (ecuación 1.1). Esta definición nofunciona para una curva con cualquier parámetro t. Para ver esto basta observar
que∥
∥
∥
−→r′′(t)
∥
∥
∥ = 2 (constante) para la parábola −→r (t) =(
t, t2)
, lo que significaría
que la parábola es un círculo!!
23
Capítulo 2
Campos Escalares en R2 y R3
Una función de n variables ó campo escalar, es una función f : U ⊆ Rn → R. Si(x1, x2, . . . , xn) ∈ U , su imagen por f es un número real xn+1 = f(x1, x2, . . . , xn).En este curso solo estudiaremos los casos n = 2 y n = 3 y entonces escribire-mos z = f(x, y) y w = f(x, y, z) respectivamente. U es el dominio de f y es unsubconjunto del plano ó del espacio.
Ejemplo 2.0.2 Hallar el dominio de f(x, y) = x ln y.Es claro que xpuede tomar cualquier valor real, mientras que ysolo puede tomarvalores positivos; por lo tanto el dominio de f es el conjunto U = (x, y)|x ∈R, y ∈ R+, esto es, el semiplano superior del plano R2.
Ejemplo 2.0.3 Hallar el dominio de f(x, y) =√
1 − x2 − y2.Puesto que 1 − x2 − y2 ≥ 0, f solo puede ser calculado en los puntos del discox2 + y2 ≤ 1.
2.1. Gráfica de z = f(x, y). Curvas y superficiesde nivel.
La gráfica de una función de dos variables es un subconjunto de R3 y se definepor
Graf(f) = (x, y, f(x, y))|(x, y) ∈ U ⊂ R3
La gráfica de z = f(x, y) la denominamos superficie. Dibujar "a mano" una su-perficie es difícil y lo mejor es recurrir a un computador. Sin embargo, podemoshacernos una idea de cómo es una superficie (o por lo menos las más utilizadasen la práctica), viendo las curvas que se forman al cortar la superficie con planosparalelos a los planos coordenados, llamadas trazas. En particular, las trazas
24
con planos paralelos al plano xy se denominan curvas de nivel, que se obtienenintersectando la gráfica de f con los planos z = c (constante), esto es, la curvade nivel en el nivel c es el subconjunto del plano definido por
Lf (c) = (x, y)|f(x, y) = c ⊂ R2
Para las trazas con planos paralelos a los planos coordenados xz y yz hacemosy = c y x = c. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 2.1.1 Sea f : R2 → R definida por
z = f(x, y) = x2 + y2.
Dado un número real c, la curva de nivel al nivel c de f está dada por
Lf (c) = (x, y) : x2 + y2 = c.
Claramente si c < 0, Lf (c) = ∅ (vacío); si c = 0, Lf(c) = (0, 0); paracualquier c > 0, los conjuntos de nivel son circunferencias con centro en elorigen de radio
√c. La figura muestra las circunferencias concéntricas
En el ejemplo anterior, las curvas de nivel son círculos que se expanden amedida que aumentamos el valor de c. En la siguiente gráfica, a la derechavemos una imagen tridimensional de estos círculos; cada uno de ellos estásobre el plano z = c.
25
Sin embargo, esto no es suficiente. Necesitamos ver las trazas con los planoscoordenados yz y xz. Para ver el corte con el plano yz, hacemos x = 0 en lafunción f ; tenemos entonces que dicho corte es la parábola z = y2. Igualmente,para el corte con el plano xz, hacemos y = 0 para obtener la parábola z = x2.Abajo puede verse la gráfica de dicha función, llamada paraboloide.
Ejemplo 2.1.2 Hagamos la gráfica de la función z = f(x, y) =√
x2 + y2.
Las curvas de nivel están dadas por el conjunto
Lf(c) = (x, y) :√
x2 + y2 = c = (x, y) : x2 + y2 = c2
esto es, círculos concéntricos de radio c.
26
Observe que esta gráfica aparentemente es igual a la del paraboloide, sin em-bargo la gráfica de f no es un paraboloide como lo muestran los cortes con losotros planos coordenados: Si x = 0, obtenemos z =
√
y2 = |y|, esto es, las dosrectas z = y y z = −y. De la misma manera, si y = 0 obtenemos las rectasz = x, y z = −x. Vemos la gráfica abajo, que evidentemente es un cono.
Ejemplo 2.1.3 Veamos ahora la función z = y2 − x2.
Las curvas de nivel son las hipérbolas y2−x2 = c, como se observa en la figuraabajo.
27
Note que en el caso c = 0 obtenemos la hipérbola degenerada x2 = y2 quecorresponde a las dos rectas y = x y y = −x.El corte con el plano yz es la parábola z = y2 y el corte con el plano xz esla parábola z = −x2. Esta gráfica se llama paraboloide hiperbólico o silla demontar y tiene el aspecto que se muestra abajo.
Ejemplo 2.1.4 Veamos la gráfica de la superficie dada por la ecuación z = y2.Observe que en la ecuación no aparece la variable x; esto significa que x toma
28
todos los valores reales. Superficies de este tipo se llaman cilindros. ¿Cualesson las curvas de nivel? Su gráfica puede verse abajo.
Para el caso de una función de tres variables w = f(x, y, z), su gráfica se definepor el conjunto
Grf(f) = (x, y, z, f(x, y, z)) |(x, y, z) ∈ U ⊂ R4
Por supuesto no podemos hacer un dibujo de ella por estar en el espacio cu-atridimensional R4. Sin embargo tenemos el concepto de superficie de niveldefinido de forma análoga al de curva de nivel así:
Sf (c) = (x, y, z) |f(x, y, z) = c ⊂ R3
y aunque no podamos despejar z explícitamente en términos de x y de y, sípodemos encontrar las trazas con los planos coordenados. Veamos ejemplos deesto.
Ejemplo 2.1.5 Consideremos la función de tres variables w = f(x, y, z) =x2 + y2 + z2. La superficie de nivel en el nivel 1 es el conjunto (x, y, z) :x2 +y2 +z2 = 1. Haciendo z = c, obtenemos círculos x2 +y2 = 1−c2 de radio√
1 − c2 por lo que debemos tener −1 ≤ c ≤ 1. En la figura abajo se muestranestas curvas.
29
De la misma manera obtenemos círculos al cortar la superficie con planos par-alelos a los otros dos planos coordenados. La figura obtenida es una esfera deradio 1.
Ejemplo 2.1.6 Las superficies de nivel de la función f(x, y, z) = x2 + y2 − z2
es el conjunto de nivel x, y, z) : x2 +y2−z2 = c. El lector no tendrá dificultaden comprobar que las gráficas que se muestran abajo corresponden a c = 1, c =0, c = −1 respectivamente, llamadas hiperboloide de una hoja, doble cono ehiperboloide de dos hojas.
30
Observemos que la gráfica de una función de dos variables puede verse comola superficie de nivel de una función de tres variables. Si f : Ω ⊂ R2 → R,recordemos que la gráfica de f es
Gf = (x, y, z) ∈ R3 : z = f(x, y), (x, y) ∈ Ω
Gf = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Ω, z − f(x, y) = 0 = Lg(0)
donde g(x, y, z) = z − f(x, y). Así la gráfica de una función de dos variables esuna superficie de nivel de una función de tres variables.
2.1.1. Superficies cuádricas.
Consideremos las funciones de tres variables sobre R3 que son de tipo polinomial
f(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Hx + Iy + Jz + K,
donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K son constantes. Si A, B.C, D, E, F no sonsimultáneamente cero las superficies de nivel
Lf (c) = (x, y, z) ∈ R3 : Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Hx+Iy+Jz+K = c
se llaman superficies cuádricas.Si A = B = C = D = E = F = 0, tenemos que la superficie de nivel de fdetermina como superficie un plano dado por Hx + Iy + Jz + K = cEn general estas superficies cuádricas pertenecen a nueve tipos diferentes: Elelipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el cono, elparaboloide elíptico, el paraboloide hiperbólico, el cilindro elíptico, el cilindrohiperbólico.
2.2. Límites y Continuidad
Utilizamos la notación lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L para indicar que podemos aprox-
imar la función f(x, y) tanto como queramos a un número L siempre y cuan-do tomemos (x, y) suficientemente cerca del punto (x0, y0) pero con (x, y) 6=
31
(x0, y0). En otras palabras, f(x, y) está cerca de L si (x, y) está cerca de (x0, y0)y entre más cerca esté (x, y) de (x0, y0), más cerca está f(x, y) de L. Esto sig-nifica que podemos tomar la distancia entre f(x, y) y L tan pequeña comoqueramos siempre y cuando la distancia entre (x, y) y (x0, y0) sea lo suficien-temente pequeña. Tenemos entonces la equivalencia
lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L ⇔ lım||(x,y)−(x0,y0)||→0
|f(x, y) − L| = 0
que podemos escribir también en la forma
f(x, y) → L cuando (x, y) → (x0, y0)⇔|f(x, y) − L| → 0 cuando√
(x − x0)2 + (y − y0)2 → 0.
Así, el límite de una función de dos variables se reduce al límite usual delcálculo de una variable, y es por esta razón que las propiedades usuales de loslímites unidimensionales también son válidas para límites de funciones de dosvariables. Claramente se ve que la definición anterior de límite es válida paracualquier campo escalar en Rn, con solo reemplazar la pareja (x, y) por unvector −→x ∈ Rn y la pareja (x0, y0) por cualquier vector −→a ∈ Rn.Las propiedades de los límites y de la continuidad las resumimos en los sigu-ientes teoremas:
Teorema 2.2.1 Si lım−→x →−→af(−→x ) = b y lım−→x →−→a
g(−→x ) = c, entonces
1. lım−→x →−→a(f(−→x ) + g(−→x )) = b + c,
2. lım−→x →−→aλf(−→x ) = λb para todo escalar λ,
3. lım−→x →−→af(−→x )g(−→x ) = b · c,
4. lım−→x →−→a|f(−→x )| = |b| ,
Definición 2.2.1 Diremos que un campo escalar f es continuo en −→a si lım−→x →−→af(−→x ) =
f(−→a ).
Así como con las funciones de una sola variable, también son continuas lassumas, productos y cocientes de funciones continuas (una vez que, en el últimocaso, se evite la división entre cero).
Teorema 2.2.2 Si una función g de n-variables es continua en −→a y una fun-ción f de una variable es continua en g(−→a ), entonces la función compuestaf g, definida por (f g)(−→x ) = f(g(−→x )) es continua en −→a .
32
Decir que f es continua sobre un conjunto U significa que f(−→x ) es continua encada punto del conjunto.
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x, y) puede aproximarse a(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual soloexisten dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y paraque el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de acercamiento.Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos distintos se ob-tienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.2.1 Para probar que lım(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2(que es de la forma
0
0) no
existe, observamos resultados distintos si nos acercamos al origen por el eje xy por el eje y así:Acercamiento por el eje x: tomamos y = 0
lım(x,0)→(0,0)
f(x, 0) = lımx→0
x2
x2= 1
Acercamiento por el eje y: tomamos x = 0
lım(0,y)→(0,0)
f(0, y) = lımy→0
−y2
y2= −1
Son continuas las funciones f(x, y) = x, f(x, y) = y, todos los polinomios de
la forma f(x, y) =∑
aijxiyj y en general todas las posibles combinaciones de
sumas, productos, cocientes y composiciones de las funciones elementales, conexcepción posiblemente de los puntos en donde los denominadores sean ceroo el límite no exista. Por ejemplo, la función F (x, y) = cos(x3 − 4xy + y2) escontinua en todo punto del plano, puesto que la función g(x, y) = x3−4xy+y2
es continua (como un polinomio) en toda su extensión y también f(t) = cos t escontinua para todo número t ∈ R. Por supuesto, la función dada en el ejemploanterior no es continua en el origen.
Ahora introducimos algunos conceptos relativos a conjuntos en el espacio deRn . Sean −→a ∈ Rn y r > 0. El conjunto
B(x; r) = −→x ∈ Rn : ‖−→x −−→a ‖ < r.
se llama una n-bola abierta de radio r y centro −→a . En el espacio R2, unabola abierta es el “interior” de un círculo; en R3 es el interior de una esfera. Unpunto −→a es un punto interior de un conjunto U si existe una bola abiertaB(−→a ; r) contenida en U. Todos los puntos interiores de U forman el interior deU. Por otra parte, −→a es un punto frontera de U si toda bola abierta con centroen −→a contiene puntos que pertenecen a U y otros que no pertenecen. Todos lospuntos de frontera de U forman la frontera de U. Finalmente, un conjunto
33
es abierto si todos sus puntos son interiores y un conjunto es cerradosi contiene todos sus puntos frontera. Por ejemplo en los números reales , R,los tipos más sencillos de conjuntos abiertos son los intervalos abiertos. Launión de dos o más intervalos abiertos es también abierto. El intervalo [a, b]es un intervalo cerrado. El conjunto U =
(x, y) : x2 + y2 ≤ 1
es un conjuntocerrado en R2 .
2.3. Funciones Diferenciables
De la misma manera que la existencia de una recta tangente está íntimamenterelacionado con el concepto de diferenciabilidad de una función de una variable,la existencia de un plano tangente, que definiremos más adelante, tiene que vercon el concepto de diferenciabilidad de una función de dos variables. Para llegara este concepto definiremos inicialmente las derivadas parciales.
2.3.1. Derivadas parciales
Si en una función de dos variables z = f(x, y) consideramos una variable,por ejemplo y, como constante, obtenemos una función que depende exclusiva-mente de la variable x. Así, si escribimos y = y0 (constante) y h(x) = f(x, y0),la derivada h′(x0) se denomina derivada parcial de f con respecto a x en el
punto (x0, y0) y se denota∂f
∂x(x0, y0) ó
∂f
∂x|(x0,y0). De la misma manera, si es-
cribimos g(y) = f(x0, y), entonces la derivada parcial de f con respecto a y en
el punto (x0, y0) será la derivada g′(y0) y se denota∂f
∂y(x0, y0) ó
∂f
∂y|(x0,y0).
Notación. Si las derivadas parciales se calculan en un punto genérico (x, y),
escribimos∂f
∂xy
∂f
∂yen lugar de
∂f
∂x(x, y) y
∂f
∂y(x, y). Estas derivadas también
se denotan fx y fy ó, Dxf y Dyf .
Recordemos que la definición usual de derivada es
h′(x0) = lım4x→0
h(x0 + 4x) − h(x0)
4x
Al escribir dicha fórmula en términos de f obtenemos
∂f
∂x(x0, y0) = lım
4x→0
f(x0 + 4x, y0) − f(x0, y0)
4x(2.1)
De la misma manera tenemos que
34
∂f
∂y(x0, y0) = lım
4y→0
f(x0, y0 + 4y) − f(x0, y0)
4y. (2.2)
Puesto que las derivada parciales son también funciones de las variables x y y,podemos también derivarlas parcialmente para obtener derivadas parciales desegundo orden denotadas como se muestra a continuación:
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=∂2f
∂x2,
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=∂2f
∂y2,
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=∂2f
∂x∂y,
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=∂2f
∂y∂x.
Las derivadas parciales que involucran las dos variables x y y se denominanderivadas parciales mixtas. Un hecho importante es que bajo ciertas condicionesestas derivadas mixtas son iguales como lo dice el siguiente teorema.
Teorema 2.3.1 Si las derivadas parciales mixtas son continuas en un conjuntoabierto U que contiene un punto (x0, y0), entonces
∂2f
∂x∂y(x0, y0) =
∂2f
∂y∂x(x0, y0).
Las derivadas parciales de z = f(x, y) se interpretan geométricamente como laspendientes de las tangentes a las curvas intersección de la gráfica de f con losplanos x =constante y y =constante como se observa en las gráficas abajo.
2.3.2. Superficies parametrizadas
En el capítulo anterior definimos curva (parametrizada) en el espacio como unafunción −→r : I ⊆ R → R3. En este caso, como el dominio es un subconjunto de
35
la recta real, tenemos un solo parámetro que denotamos con la letra t y escribi-mos −→r (t) = (x(t), y(t), z(t)). Análogamente tenemos el concepto de superficieparametrizada como una función −→r : U ⊆ R2 → R3. Como el dominio es unsubconjunto del plano, tenemos ahora dos parámetros que denotamos con lasletras u y v, y escribimos
−→r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
x, y y z son por supuesto, funciones de U en R. Las ecuaciones x = x(u, v), y =y(u, v), z = z(u, v) son las ecuaciones paramétricas. La gráfica abajo ilustra lasituación.
Ejemplo 2.3.1 1. El cilindro.Un cilindro de radio a se puede parametrizar en la forma
−→r (u, v) = (a cosu, a senu, v), u ∈ [0, 2π], −∞ < v < ∞
La secuencia siguiente muestra cómo se transforma el rectángulo [0, 2π]×[0, 1] en el cilindro.
2. La esfera.Para la parametrización de la esfera observe la gráfica abajo.
36
En el triángulo rectángulo 4OAB se tiene que x = h cos θ y y = h sen θy en el triángulo rectángulo 4OBC se tiene que z = a cosϕ. Pero denuevo en 4OBC se tiene que h = a sen ϕ, de manera que lasecuaciones paramétricas de la esfera son
x = a cos θ sen ϕy = a sen θ senϕz = a cosϕ
en donde θ ∈ [0, 2π] y ϕ ∈ [0, π]. Así la función −→r tiene la forma
−→r (θ, ϕ) = (a cos θ senϕ, a sen θ senϕ, a cosϕ)
3. La gráfica de z = f(x, y).Análogo a la parametrización de la gráfica de una función de una variabley = f(x) como la curva −→r (t) = (t, f(t)), la gráfica de una función de dosvariables z = f(x, y) se puede ver como una superficie parametrizada solocon tomar x = u, y = v, z = f(u, v), esto es,
−→r (u, v) = (u, v, f(u, v))
4. Ejercicio (para los curiosos).Pruebe que una parametrización del hiperboloide de una hoja x2+y2−z2 =1 está dada por las ecuaciones
x = cosu coshvy = senu cosh vz = senh v
37
para u ∈ [0, 2π], −∞ < v < +∞.
2.3.3. El plano tangente
En una superficie parametrizada,−→r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) con (u, v) ∈U , las rectas u = u0 (constante) y v = v0(constante) se convierten por la acciónde −→r en las curvas sobre la superficie −→r (u) = −→r (u, v0) y −→r (v) = −→r (u0, v)como se observa en la gráfica abajo.Dichas curvas se denominan curvas coordenadas. Los vectores tangentes en el
punto u0 y v0 son respectivamente−→r′ (u0) =
∂−→r∂u
(u0, v0) y−→r′ (v0) =
∂−→r∂v
(u0, v0)
y se definen por
∂−→r∂u
(u0, v0) =
(
∂x
∂u(u0, v0),
∂y
∂u(u0, v0),
∂z
∂u(u0, v0)
)
∂−→r∂v
(u0, v0) =
(
∂x
∂v(u0, v0),
∂y
∂v(u0, v0),
∂z
∂v(u0, v0)
)
Si dichos vectores son linealmente independientes, entonces generan un planoque pasa por el punto −→r (u0, v0) denominado plano tangente, con vector normal∂−→r∂u
(u0, v0)×∂−→r∂v
(u0, v0). Por lo tanto, si −→r (u0, v0) = (x0, y0, z0), la ecuación
del plano tangente en ese punto es
(x − x0, y − y0, z − z0) ·∂−→r∂u
(u0, v0) ×∂−→r∂v
(u0, v0) = 0
38
En el caso particular en el que tenemos la gráfica de z = f(x, y), con la
parametrización−→r (x, y) = (x, y, f(x, y)) tenemos que∂−→r∂x
×∂−→r∂y
=
(
1, 0,∂f
∂x
)
×(
0, 1,∂f
∂y
)
=
(
−∂f
∂x,−∂f
∂y, 1
)
. Si escribimos z0 = f(x0, y0), la ecuación del
plano tangente es
z = f(x0, y0) +∂f
∂x(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0) (2.3)
2.3.4. El concepto de diferenciabilidad
Recordamos inicialmente el concepto de diferenciabilidad para una función deuna variable y = f(x), para luego, de forma análoga, abordar el caso z =f(x, y).
Diferenciabilidad de y = f(x).
Sabemos que en el caso de una función de una variable de la forma y = f(x),la derivada de f en un punto x0 se define como
f ′(x0) = lım4x→0
f(x0 + 4x) − f(x0)
4x
en caso de que dicho límite exista. Si esto último es cierto, la pendiente de larecta secante está cercana a la pendiente de la tangente si 4x es pequeño así:
f(x0 + 4x) − f(x0)
4x≈ f ′(x0)
39
El error cometido en la aproximación está dado por
ε =f(x0 + 4x) − f(x0)
4x− f ′(x0)
Entre más pequeño sea 4x, menor es el error. La expresión anterior se puedeescribir en la forma
f(x0 + 4x) − f(x0)
4x= f ′(x0) + ε
donde ε → 0 cuando 4x → 0. Si escribimos 4y = f(x0 + 4x) − f(x0),obtenemos la ecuación
4y = f ′(x0)4x + ε4x (2.4)
donde ε → 0 cuando 4x → 0.Si escribimos x = x0 +4x, entonces f(x) = f(x0)+4y y la ecuación 2.4 tomala forma
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + ε(x − x0)
donde ε → 0 cuando x → x0. Podemos escribir entonces
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x − x0)
si x está cerca de x0. Entre más cerca esté x de x0 más pequeño es el errorcometido en la aproximación . La expresión de la derecha en la aproximaciónanterior es lineal en x, esto es, la función
L(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0)
es una linea recta. Así,
f(x) ≈ L(x)
cerca de x0 y esta es exactamente la idea de diferenciabilidad:
Una función y = f(x) es diferenciable en un punto x0, si el incremento en y,4y se puede escribir como en la ecuación 2.4, es decir, si localmente (esto es,en cualquier vecindad de x0) se puede aproximar por una recta, más específi-camente, por la recta tangente en x0; hablando claro, si localmente, la gráficade f es "casi" una recta.
En un computador se puede comprobar esto. Dibuje la gráfica de, por ejemplo,f(x) = x2 con un programa de cálculo simbólico (MuPad por ejemplo) y haga
40
zoom cerca del origen de coordenadas. Se dará cuenta de que entre mayor seael zoom, la gráfica de la parábola será cada vez más recta.Esto no sucede por ejemplo con la función f(x) = |x| pues no importa qué tancerca se esté del origen, la gráfica de f siempre se verá como una punta (dosrectas).
El primer sumando en el miembro derecho de la ecuación 2.4 se denominadiferencial de f y se denota df o más comúnmente dy, así, la diferencial encualquier x es
dy = f ′(x)4x
y se toma generalmente como una aproximación para 4y; entre más pequeñosea 4x mejor es la aproximación.
Diferenciabilidad de z = f(x, y).
De la misma manera como la diferenciabilidad de una función de una variabley = f(x) tiene que ver con la existencia de una función lineal (una recta) L(x)que aproxima a f en una vecindad de un punto x0, la diferenciabilidad dez = f(x, y) en un punto (x0, y0) tiene que ver con la existencia de una funciónlineal (un plano) L(x, y) que aproxima a f en una vecindad de (x0, y0), esto es,algo como
f(x, y) ≈ A + Bx + Cy.
Para encontrar tal aproximación, le aplicamos el mismo análisis anterior a lasderivadas parciales, ecuaciones 2.1 y 2.2, y obtenemos formas análogas a laecuación 2.4 para los incrementos parciales
f(x0 + 4x, y0) − f(x0, y0) =∂f
∂x(x0, y0)4x + ε14x
f(x0, y0 + 4y) − f(x0, y0) =∂f
∂y(x0, y0)4y + ε24y
donde ε1 y ε2→ 0 cuando 4x y 4y→ 0.
Tenemos así aproximaciones lineales para los incrementos parciales. Parece nat-ural pensar que el incremento de f en ambas variables simultáneamente, puedaaproximarse por la suma (ya que necesitamos que la aproximación sea lineal)de las dos aproximaciones parciales. Esto no siempre sucede, pero cuando esasí, tenemos nuestra definición de diferenciabilidad:
Una función de dos variables z = f(x, y) es diferenciable en (x0, y0), si el
41
incremento de z, 4z = f(x0 + 4x, y0 +4y)− f(x0, y0) puede escribirse en laforma
4z =∂f
∂x(x0, y0)4x +
∂f
∂y(x0, y0)4y + ε14x + ε24y (2.5)
donde (ε1, ε2) → (0, 0) cuando (4x,4y)→ (0, 0).
Si escribimos x = x0 + 4x y y = y0 + 4y, entonces la ecuación 2.5 tomala forma
f(x, y) = f(x0, y0)+∂f
∂x(x0, y0)(x−x0)+
∂f
∂y(x0, y0)(y−y0)+ε1(x−x0)+ε2(y−y0)
(2.6)donde (ε1, ε2) → (0, 0) cuando (x, y) → (x0, y0).
La ecuación 2.6 explica el concepto de forma clara: si escribimos
L(x, y) = f(x0, y0) +∂f
∂x(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0)
tenemos entonces la aproximación lineal
f(x, y) ≈ L(x, y)
en una vecindad de (x0, y0). Note que la función L es precisamente el planotangente en el punto (x0, y0) (vea de nuevo la ecuación 2.3). Tenemos así, quef es diferenciable si puede linealizarse localmente, esto es, si en una vecindadde un punto (x0, y0) la gráfica de f se ve “casi” plana, siendo dicho planoprecisamente el plano tangente.Los dos primeros términos de la derecha de la ecuación 2.5 se denomina ladiferencial de f y se denota df o más comúnmente dz así:
dz =∂f
∂x(x0, y0)4x +
∂f
∂y(x0, y0)4y
y es una aproximación para el incremento 4z. Si le aplicamos esta definición a
las variables independientes x y y obtenemos que dx =∂x
∂x4x +
∂x
∂y4y = 4x
y de la misma manera, dy = 4y. Por esta razón, es común que la diferencialen cualquier punto (x, y) se escriba en la forma
dz =∂f
∂xdx +
∂f
∂ydy. (2.7)
Nota. A veces, por abuso de notación, la ecuación 2.7 se escribe
42
dz =∂z
∂xdx +
∂z
∂ydy
Si fes diferenciable en (x0, y0), de la ecuación 2.6 se deduce de forma inmediataque f es continua en dicho punto pues claramente f(x, y) → f(x0, y0) cuando(x, y) → (x0, y0).
Contrario a lo que sucede en el caso de una variable en el que la existenciade la derivada es suficiente para garantizar la existencia de la recta tangente,para una función de dos variables la sola existencia de las derivadas parcialesno implica la existencia del plano tangente. Por ejemplo, la función
f(x, y) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
no es diferenciable en (0, 0) pues aunque∂f
∂x(0, 0) =
∂f
∂y(0, 0) = 0, la función
no es continua en (0, 0). Abajo se muestra su gráfica generada por MuPad paraxε[−0.01, 0.01] y yε[−0.01, 0.01].
−0.4
0.010
0.005
−0.005 x
0.005
y
0.000
0.000−0.005
−0.010 −0.010
−0.2
0.0z
0.2
0.4
0.010
El teorema siguiente establece las condiciones suficientes para la diferenciabil-idad.
Teorema 2.3.2 Si las derivadas parciales de z = f(x, y) existen y son contin-uas en (x0, y0) entonces fes diferenciable en dicho punto, es decir, 4z puedeescribirse como en la ecuación 2.5.
43
2.4. La Regla de la Cadena
Sea z = f(x, y) un campo escalar diferenciable en un conjunto abierto U ∈ R2,y supongamos que x = x(t) y y = y(t) son funciones diferenciables de t. Setiene entonces que z = z(t) = f(x(t), y(t)), esto es, tenemos la composiciónz(t) = f h(t) donde h es la función vectorial definida por h(t) = (x(t), y(t)).El teorema siguiente establece la forma como se calcula la derivada z′(t):
Teorema 2.4.1 En las condiciones del comentario anterior, se tiene que
dz
dt=
∂f
∂x
dx
dt+
∂f
∂y
dy
dt(2.8)
Demostración. Puesto que f es diferenciable se tiene que
4z =∂f
∂x4x +
∂f
∂y4y + ε14x + ε24y
donde (ε1, ε2) → (0, 0) cuando (4x,4y) → (0, 0).Dividiendo ambos miembros de la ecuación por 4t y tomando el límite cuando4t → 0 obtenemos
dz
dt=
∂f
∂xlım
4t→0
4x
4t+
∂f
∂ylım
4t→0
4y
4t+ lım
4t→0ε1
4x
4t+ lım
4t→0ε2
4y
4t(2.9)
donde (ε1, ε2) → (0, 0) cuando (4x,4y) → (0, 0).
Por un lado, lım4t→0
4x
4t=
dx
dty lım
4t→0
4y
4t=
dy
dt. Por otro lado,
lım4t→0
4x = lım4t→0
x(t + 4t) − x(t) = 0
puesto que x = x(t) es una función continua (por ser diferenciable). De la mis-ma manera, lım
4t→04y = 0, lo que significa que lım
4t→0ε1 = lım
4t→0ε2 = 0 por lo que
la ecuación 2.9 se convierte en la ecuación 2.8.
Nota. A veces, por abuso de notación, la regla de la cadena se escribe así:
dz
dt=
∂z
∂x
dx
dt+
∂z
∂y
dy
dt
En el caso en que x y y sean funciones diferenciables de dos variables s y t,x = x(s, t), y = y(s, t), entonces z = z(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) y las derivadasparciales de z con respecto a s y t están dadas por:
44
∂z
∂s=
∂z
∂x
∂x
∂s+
∂z
∂y
∂y
∂s∂z
∂t=
∂z
∂x
∂x
∂t+
∂z
∂y
∂y
∂t
(2.10)
Podemos utilizar la regla de la cadena para encontrardy
dxen el caso en que la
ecuación F (x, y) = k defina y como función implícita de x. Derivando a amboslados de la ecuación F (x, y(x)) = k (aplicando la ecuación 2.8 obtenemos
∂F
∂x
dx
dx+
∂F
∂y
dy
dx= 0
Así tenemos que
dy
dx= −
∂F
∂x∂F
∂y
. (2.11)
Análogamente, si la ecuación F (x, y, z) = k define z como función implícitade x y y, podemos encontrar fórmulas para las derivadas parciales de z conrespecto a x y y aplicando las fórmulas dadas por las ecuaciones 2.10 a laecuación F (x, y, z(x, y)) = k para obtener
∂z
∂x= −
∂F
∂x∂F
∂z
∂z
∂y= −
∂F
∂y∂F
∂z
Ejercicio. Si z(t) = f(x(t), y(t)), calculard2z
dt2.
Tenemos quedz
dt=
∂z
∂x
dx
dt+
∂z
∂y
dy
dt. Derivando a ambos lados de esta ecuación,
aplicando la regla de la derivada de un producto, obtenemos:
d2z
dt2=
d
dt
(
∂z
∂x
)
dx
dt+
∂z
∂x
d2x
dt2+
d
dt
(
∂z
∂y
)
dy
dt+
∂z
∂y
d2y
dt2(2.12)
Para las derivadas con respecto a t de∂z
∂xy
∂z
∂y, debemos aplicar de nuevo la
regla de la cadena (ecuación 2.8) porque∂z
∂xy
∂z
∂yson funciones de x y y y
estas a su vez son funciones de t así:
d
dt
(
∂z
∂x
)
=∂2z
∂x2
dx
dt+
∂2z
∂y∂x
dy
dt
45
d
dt
(
∂z
∂y
)
=∂2z
∂x∂y
dx
dt+
∂2z
∂y2
dy
dt
reemplazando estas dos expresiones en la ecuación 2.12, asumiendo que lasderivadas parciales mixtas son iguales y reduciendo términos semejantes, obten-emos la expresión
d2z
dt2=
∂2z
∂x2
(
dx
dt
)2
+ 2∂2z
∂x∂y
dx
dt
dy
dt+
∂2z
∂y2
(
dy
dt
)2
+∂z
∂x
d2x
dt2+
∂z
∂y
d2y
dt2
La regla de la cadena para una función de tres variables w = w(t) = f(x(t), y(t), z(t))tiene una forma análoga a la ecuación 2.8:
dw
dt=
∂w
∂x
dx
dt+
∂w
∂y
dy
dt+
∂w
∂z
dz
dt(2.13)
2.4.1. El vector gradiente
Observe que la ecuación 2.8 puede escribirse en la forma
dz
dt=
(
∂f
∂x,∂f
∂y
)
·(
dx
dt,dy
dt
)
El vector
(
∂f
∂x,∂f
∂y
)
se denomina gradiente de fen (x, y) y se denota ∇f , así:
∇f =
(
∂f
∂x,∂f
∂y
)
Nota. La notación ∇f significa ∇f(x, y).
Si calculamos el gradiente en un punto (x0, y0) escribimos
∇f(x0, y0) =
(
∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0)
)
Si escribimos −→r (t) = (x(t), y(t)), entonces −→r ′(t) =
(
dx
dt,dy
dt
)
y la ecuación
2.8, calculada en un punto t0, toma la forma
dz
dt|t=t0 =
d
dt|t=t0f(−→r (t)) = ∇f(−→r (t0)) ·
−→r′ (t0) (2.14)
Podemos utilizar la forma de la regla de la cadena como la expresa la ecuación2.14 para probar que el vector gradiente de z = f(x, y) en un punto P = (x0, y0)es perpendicular a la curva de nivel f(x, y) = k que pasa por P . Para ver esto,
46
supongamos que dicha curva de nivel está descrita por la función vectorial−→r (t) = (x(t), y(t)) que pasa por P en un tiempo t0, esto es, P = −→r (t0) =(x0, y0). Es claro entonces que debe ser f(x(t), y(t)) = f(−→r (t)) = k. Derivandoa ambos lados de esta ecuación tenemos que
d
dtf(−→r (t)) = 0 (2.15)
Aplicando la fórmula 2.14 para el lado izquierdo de la ecuación 2.15 en el puntoP , tenemos que
∇f(x0, y0) ·−→r′ (t0) = 0
lo que prueba lo afirmado. La gráfica abajo ilustra la situación.
De la misma manera, el vector gradiente de una función de tres variablesw = F (x, y, z) en un punto P = (x0, y0, z0) es perpendicular a la superfi-cie de nivel S definida por la ecuación F (x, y, z) = k que pasa por P . Si−→r (t) = (x(t), y(t), z(t)) es cualquier curva sobre S que pasa por P en un tiem-po t0, entonces F (−→r (t)) = k y de nuevo
∇F (x0, y0, z0) ·−→r′ (t0) = 0 (2.16)
47
Como la ecuación 2.16 es válida para todas las curvas sobre S que pasan por P ,resulta natural definir el plano tangente a S en el punto P como el plano quepasa por P (x0, y0, z0) y que tiene por vector normal el gradiente ∇F (x0, y0, z0),por lo que su ecuación será
(−→x − P ) · ∇F (P ) = 0
siendo su expresión cartesiana
∂F
∂x(x0, y0, z0)(x − x0) +
∂F
∂y(x0, y0, z0)(y − y0) +
∂F
∂z(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.
(2.17)Observe que como la gráfica de una función de dos variables z = f(x, y) puedeverse como la superficie de nivel F (x, y, z) = 0 donde F (x, y, z) = f(x, y) − z,al aplicar la ecuación 2.17 a esta F en particular, obtenemos la ecuación 2.3.
2.5. Derivadas Direccionales
Recordemos que la derivada parcial con respecto a x de una función de dosvariables z = f(x, y) se define por
∂f
∂x(x0, y0) = lım
t→0
f(x0 + t, y0) − f(x0, y0)
t
Esta es la misma ecuación 2.1 en donde hemos reemplazado 4x por t. Estaexpresión puede escribirse en la forma
∂f
∂x(x0, y0) = lım
t→0
f((x0, y0) + t(1, 0)) − f(x0, y0)
t
Si escribimos −→x0 = (x0, y0) y−→i = (1, 0) obtenemos
48
∂f
∂x(−→x0) = lım
t→0
f(−→x0 + t−→i ) − f(−→x0)
t
De la misma manera, escribiendo−→j = (0, 1) la derivada parcial con respecto a
y se escribe
∂f
∂y(−→x0) = lım
t→0
f(−→x0 + t−→j ) − f(−→x0)
t
Esta forma de expresar las derivadas parciales muestran que dichas derivadasse calculan tomando la variación de f a lo largo de las rectas −→α (t) = −→x0 + t
−→i
y−→β (t) = −→x0 + t
−→j , esto es, rectas paralelas a los ejes coordenados que pasan
por −→x0. Podemos pensar en generalizar esto, calculando la variación de f alo largo de cualquier recta que pase por −→x0, esto es, una recta de la forma−→r (t) = −→x0 + t−→u donde −→u es un vector unitario cualquiera. Esto nos conduceal concepto de derivada direccional en la dirección de un vector unitario −→u enun punto −→x0, denotada D−→u f(−→x0) y definida de la manera natural
D−→u f(−→x0) = lımt→0
f(−→x0 + t−→u ) − f(−→x0)
t(2.18)
y se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la tangente dela curva de intersección de la gráfica de f con un plano perpendicular al planocoordenado xy en el punto −→x0.
Es claro entonces que
49
∂f
∂x(−→x0) = D−→
if(−→x0)
∂f
∂y(−→x0) = D−→
jf(−→x0)
esto es, las derivadas parciales son las derivadas direccionales en las direcciones−→i y
−→j , que corresponden a las pendientes de las tangentes de las curvas de
intersección de la gráfica de f con planos perpendiculares al plano coordenadoxy paralelos a los planos coordenados xz y yz respectivamente, como se explicóen la sección 2.3.1.
Una forma sencilla de calcular la derivada direccional en la dirección de unvector unitario −→u de una función f la da el siguiente teorema:
Teorema 2.5.1D−→u f(−→x0) = ∇f(−→x0) · −→u (2.19)
Demostración. Si llamamos −→r (t) = −→x0 + t−→u a la recta que pasa por −→x0 con
vector director −→u , entonces −→r (0) = −→x0 y−→r′ (0) = −→u . Entonces
d
dt|t=0f(−→r (t)) = lım
t→0
f(−→r (t)) − f(−→r (0))
t
= lımt→0
f(−→x0 + t−→u ) − f(−→x0)
t= D−→u f(−→x0)
Pero, por la regla de la cadena (ecuación 2.14) se tiene que
d
dt|t=0f(−→r (t)) = ∇f(−→r (0)) · −→r′ (0)
= ∇f(−→x0) · −→ulo que demuestra el teorema.
Nota. Observe que la definición de derivada direccional (ecuación 2.18) ó suexpresión en términos del gradiente (ecuación 2.19) es válida para cualquiercampo escalar f definido en Rn.
La derivada direccional de un campo escalar f en un punto −→x0 en la direcciónde un vector −→u (unitario), representa la tasa de cambio de f en dicho puntoen la dirección dada. Podemos preguntarnos por la dirección en la cual dichatasa de cambio es máxima ó mínima. Podemos encontrar la razón de cambiomáxima y mínima de f a partir de la ecuación 2.19. Puesto que ‖−→u ‖ = 1,
D−→u f(−→x0) = ∇f(−→x0) · −→u= ‖∇f(−→x0)‖ cos θ
50
dónde θ es el ángulo entre ∇f(−→x0) y −→u . Puesto que el coseno oscila entre −1 y1, la razón máxima se obtiene cuando cos θ = 1, esto es θ = 0, es decir, cuando−→u y ∇f(−→x0) tienen la misma dirección y es mínima cuando cos θ = −1, esto esθ = π, es decir, cuando −→u y ∇f(−→x0) tienen direcciones opuestas. Resumiendo,la derivada direccional máxima se obtiene en la dirección del gradiente, esto es,−→u =
∇f
‖∇f‖ y su valor es D ∇f
||∇f||f = ‖∇f‖; la derivada direccional mínima se
obtiene en la dirección opuesta al gradiente y su valor es −‖∇f‖ .
2.6. Máximos y Mínimos.
1. f(−→a ) es un valor máximo global de f en U si f(−→a )≥f(x, y) para todo(x, y) ∈ U.
2. f(−→a ) es un valor mínimo global de f en U si f(−→a )≤f(x, y) para todo(x, y) ∈ U.
3. f(−→a ) es un valor extremo global de f en U si es un valor máximo globalo mínimo global.
Son válidas las mismas definiciones, sustituyendo la palabra global por local en(1) y (2), cuando las desigualdades se cumplen en alguna vecindad abierta de−→a .La definición es una generalización natural de las mismas nociones para fun-ciones de una sola variable; y aún más, las generalizaciones para funciones detres y más variables son claras.
Teorema 2.6.1 (Existencia de máximo o mínimo)) Si f es continua en undominio cerrado y acotado U, entonces f alcanza tanto un valor máximo globalcomo un mínimo global en U .
A continuación definiremos lo que son puntos frontera, puntos críticos y puntossingulares.
1. Puntos frontera. Vea la sección 2.2
2. Puntos críticos. Decimos que −→a es un punto crítico si es interior en Udonde f es diferenciable y ∇f(−→a ) = 0. En dicho punto, el plano tangentees horizontal.
3. Puntos singulares. Decimos que a es un punto singular si es interior enU donde f no es diferenciable (por ejemplo, un punto de la gráfica dondef tiene una esquina aguda).
51
Teorema 2.6.2 (Condiciones necesarias para los extremos) Sea f unafunción definida en un conjunto U que contiene a −→a . Si f(−→a ) es un valorextremo, entonces −→a deberá ser un punto frontera de U, o un punto crítico def, o un punto singular de f.
Demostración. Supongamos que −→a = (x0, y0) no es punto frontera ni singular(por lo que −→a será un punto interior en el que ∇f existe) y veremos si ∇f(−→a ) =−→0 Puesto que f tiene un valor extremo en (x0, y0), la función g(x) = f(x, y0)tiene un valor extremo en x0. Además, g es diferenciable en x0 puesto que f loes para (x0, y0) y por lo tanto, por el teorema del punto crítico para funcionesde una variable,
g′(x0) = fx(x0, y0) = 0
En forma análoga, la función h(y) = f(x0, y) tiene un valor extremo en y0 ysatisface la expresión
h′(x0) = fy(x0, y0) = 0
El gradiente es cero, ya que ambas derivadas parciales son 0.
Ejemplo 2.6.1 Encuentre el valor máximo o mínimo local de f(x, y) = x2 −2x + y2/4.
Solución La función dada es derivable en todo el plano xy. Por lo tanto,los únicos puntos críticos posibles son los puntos críticos que se obtienen aligualar a cero fx(x, y) y fy(x, y). Pero fx(x, y) = 2x − 2 y fy(x, y) = y/2 soniguales a cero sólo cuando x = 1 e y = 0. Falta por decidir si (1, 0) es unmáximo, un mínimo o nada de esto. Pronto desarrollaremos un instrumentopara esto, pero por ahora debemos proceder con un poco de ingenio. Obsérveseque f(1, 0) = −1 y que
f(x, y) = x2 − 2x +y2
4= x2 − 2x + 1
y2
4− 1 = (x − 1)2 +
y2
4− 1 ≥ −1
Por lo tanto, f(1, 0) es en realidad un mínimo global de f. No hay valoresmáximos locales.
Ejemplo 2.6.2 Encuentre los valores máximo o mínimo locales de f(x, y) =−x2/a2 + y2/b2.
Solución. Los únicos puntos críticos se obtienen al igualar a cero fx(x, y) =−2x/a2 y fy(x, y) = 2y/b2. Esto produce el punto (0, 0) que no da máximo nimínimo (vea la figura 11). Se llama punto de silla. Debe notarse que en todavecindad de (0, 0) hay puntos en los que f(x, y) < f(0, 0), y otros puntos enlos que f(x, y) > f(0, 0). La función dada no tiene extremos locales.Este ejemplo ilustra la dificultad de que ∇f(x0, y0) = 0 no garantiza que existaun extremo local en (x0, y0). Por fortuna, existe un criterio regular para decidirlo que sucede en un punto crítico. El próximo teorema es un análogo a la pruebade segunda derivada para funciones de una variable.
52
2.6.1. Criterio para determinar extremos de funciones dedos variables
Teorema 2.6.3 [Condiciones suficientes para los extremos] Supóngase que f(x, y)tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de −→a ∈ R2 y que
∇f(−→a ) = 0. Sea A =∂2f(−→a )
∂x2, B =
∂2f(−→a )
∂x∂y, C =
∂2f(−→a )
∂y2y sea Hf(−→a )
la matriz definida por
Hf(−→a ) =
[
A BB D
]
Escribamos D(−→a ) = det(Hf(−→a )). Entonces
1. Si D(−→a ) > 0 y∂2f(−→a )
∂x2> 0, entonces tiene un mínimo relativo en −→a .
2. Si D(−→a ) > 0 y∂2f(−→a )
∂x2< 0, entonces tiene un máximo relativo en −→a .
3. Si Si D(−→a ) < 0, entonces tiene un punto silla en −→a .
4. Si D(−→a ) = 0, el criterio no decide nada.
Nota. La matriz Hf(−→a ) se denomina matriz hessiana de f en −→a .Para su demostración, remitimos al lector al apéndice. Sin embargo, podemosver de manera intuitiva porqué es cierto. D es
D(−→a ) =∂2f(−→a )
∂x2· ∂2f(−→a )
∂y2−(
∂2f(−→a )
∂x∂y
)2
Para los casos 1 y 2, en los cuales D(−→a ) > 0, se tiene entonces que∂2f(−→a )
∂x2·
∂2f(−→a )
∂y2>
(
∂2f(−→a )
∂x∂y
)2
≥ 0, por lo que las dos derivadas∂2f(−→a )
∂x2y
∂2f(−→a )
∂y2
deben tener el mismo signo. Así, si∂2f(−→a )
∂x2> 0, se tiene concavidad hacia
arriba en las direcciones de ambos ejes, por lo que se puede sospechar que
en −→a existe un mínimo. Y si∂2f(−→a )
∂x2< 0, se tiene concavidad hacia abajo
en la dirección de ambos ejes, por lo que se puede sospechar la existenciade un máximo en −→a . En el caso 3, en el cual D(−→a ) < 0, el producto de
las dos derivadas∂2f(−→a )
∂x2y
∂2f(−→a )
∂y2debe ser negativo y por lo tanto deben
tener signos opuestos; de tal manera que tenemos concavidad hacia arriba en ladirección de uno de los ejes y concavidad hacia abajo en la dirección del otro,por lo que sospechamos un punto silla en −→a . Se deja al estudiante comprobarla parte 4.
53
Ejemplo 2.6.3 Encuentre los extremos, si los hay, de la función f(x, y) =3x3 + y2 − 9x + 4y.
Solución. Puesto que fx(x, y) = 9x2−9 y fy(x, y) = 2y+4, los puntos críticosque se obtienen al resolver las ecuaciones simultáneas fx(x, y) = fy(x, y) = 0son (1,−2) y (−1,−2).Ahora bien, fxx(x, y) = 18x, fyy(x, y) = 2 y fxy(x, y) =fyx(x, y) = 0. Por lo tanto, en el punto crítico (1,−2) tenemos
D(1,−2) = fxx(1,−2)fyy(1,−2) − f2xy(1,−2) = 18(2)− 0 = 36 > 0
Además, fxx(1,−2) = 18 > 0, por lo que según el teorema anterior, f(1,−2) =−10 es un valor mínimo local de f. En la comprobación de la función dada enotro punto crítico (−1,−2) encontramos que fxx(−1,−2) = −18, fyy(−1,−2) =2 y fxy(−1,−2) = 0, lo cual produce D(−1,−2) = −36 < 0. Entonces, (−1,−2)es un punto de silla y f(−1,−2) no es valor extremo.
Ejemplo 2.6.4 Encuentre los valores máximo y mínimo de f(x, y) = 2x2 +y2 − 4x − 2y + 5 en el conjunto cerrado U = (x, y)|x2 + y2/2 ≤ 1.
Solución. Como fx(x, y) = 4x − 4 y fy(x, y) = 2y − 2, el único punto críticoposible es (1, 1). Sin embargo, este punto está fuera de U, entonces puede serignorado. La frontera de U es la elipse x2 + y2/2 = 1, que se puede describirparamétricamente por
x = cos t, y =√
2 sen t, 0 ≤ t ≤ 2π
Deseamos maximizar o minimizar la función de una variable
g(t) = f(cos t,√
2 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π
Por la regla de la cadena,
g′(t) =∂f
∂x
dx
dt+
∂f
∂y
dx
dt= (4x − 4)(−sen t) + (2y − 2)(
√2 cos t)
= (4 cos t − 4)(−sen t) + (2√
2 sen t − 2)(√
2 cos t) = 4 sen t − 2√
2 cos t
Haciendo g′(t) = 0 obtenemos tan t =√
2/2 con los dos soluciones t1 =arctan(
√2/2) y t2 = π + t1. De donde g(t) tiene los cuatro puntos críticos
0, t1, t2 y 2π en el intervalo [0, 2π]. Estos, a su vez, determinan los tres pun-tos (1, 0), (2/
√6, 2/
√6) y (−2/
√6,−2/
√6) en la frontera de U. Los valores
correspondientes de f son
f(1, 0) = 3, f
(
2√6,
2√6
)
≈ 2,101, f
(−2√6,−2√
6
)
≈ 11,899
Luego, concluimos que el valor mínimo de f en U es 2.101 y el valor máximoes 11.899.
54
Ejemplo 2.6.5 Encuentre la distancia mínima entre el origen y la superficiez2 = x2y + 4.
Solución. Sea P (x, y, z) un punto cualquiera de la superficie dada. El cuadra-do de la distancia entre el origen y P es d2 = x2 + y2 + z2. Busquemos lascoordenadas de P que hagan que d2 (y por lo tanto d ) sea mínima. Puestoque P pertenece a la superficie, sus coordenadas satisfacen la ecuación de ésta.Sustituyendo z2 = x2y +4 en d2 = x2 + y2 + z2 resulta d2 como función de dosvariables x e y
d2 = f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4
Para obtener los puntos críticos, hacemos fx(x, y) = 0 y fy(x, y) = 0, con loque se obtiene
2x + 2xy = 0 y 2y + x2 = 0
Por eliminación de y entre esas ecuaciones, se tendrá 2x−x3 = 0. Por lo tanto,x = 0 o x = ±
√2. Sustituyendo estos valores en la segunda ecuación se obtiene
y = 0 e y = −1. Luego, los puntos críticos son (0, 0), (√
2,−1) y (−√
2,−1).Para probar cada uno de ellos, necesitamos fxx(x, y) = 2 + 2y, fyy(x, y) =2, fxy(x, y) = 2x y D(x, y) = fxxfyy − f2
xy = 4 + 4y − 4x2. Puesto que
D(±√
2,−1) = −8 < 0, ni (√
2,−1) ni (−√
2,−1) producen un extremo. Sinembargo, D(0, 0) = 4 > 0 y fxx(0, 0) = 2 > 0; por lo tanto, (0, 0) produce ladistancia mínima. Sustituyendo x = 0 e y = 0 en la expresión de d2, obtenemosd2 = 4. Luego, la distancia mínima entre el origen y la superficie dada es 2.
2.6.2. Extremos condicionados.
Ahora distinguimos entre dos clases de problemas. Encontrar el valor mínimode f(x, y) es un problema de extremo libre. Encontrar el mínimo de f(x, y)sujeto a una condición g(x, y) = 0 es un problema de extremo condicionado ode extremo restringido. El ejemplo 2.6.5 de la sección anterior fue un proble-ma de extremo condicionado. Se nos pidió encontrar la distancia mínima entrela superficie z2 = x2y + 4 al origen. Formulamos el problema de minimizard2 = x2 + y2 + z2 sujeta a la restricción z2 = x2y + 4. Manejamos el problemasustituyendo el valor de z2 de la restricción en la expresión de d2 y despuésresolvimos el problema de valor extremo libre que resultó. Sin embargo, confrecuencia sucede que no es fácil despejar una de las variables en la ecuación derestricción y, aún cuando pueda lograrse, puede ser más práctico otro método.Este es el método de multiplicadores de Lagrange.
El método de Lagrange proporciona un recurso algebraico para encontrar lospuntos extremos restringidos. Si p0 es un extremo restringido, entonces la curvade nivel y la restricción son tangentes en dicho punto. Las gráficas abajo ilustranesta situación.
55
Dichas curvas tienen una recta tangente común y, por consecuencia, tienen unaperpendicular común. Pero en cualquier punto de una curva de nivel, el vectorgradiente ∇f es perpendicular a ella (ver sección 2.4.1) y en forma similar ∇ges perpendicular a la curva de restricción g(x, y) = 0, pues dicha curva puedeverse como curva de nivel de la función z = g(x, y). Por lo tanto, ∇f y ∇g sonparalelos en p0, es decir,
∇f(p0) = λ0∇g(p0)
para algún número no nulos λ0. Esto sugiere la siguiente formulación del métodode Lagrange.
Método de multiplicadores de Lagrange. Si un campo escalar f(x1, x2, ..., xn)tiene un extremo (máximo o mínimo) sujeto a la restricción g(x1, x2, ..., xn) = 0,entonces existe un escalar λ tal que
∇f = λ ∇g
en dicho punto extremo. El número λ se llama multiplicador de Lagrange.
56
Teniendo en cuenta el método de multiplicadores de Lagrange observemos quepodemos formar la siguiente función
L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) − λg(x1, x2, ..., xn)
conocida como función de Lagrange. En este caso los puntos extremos sonpuntos críticos de L y por lo tanto las derivadas parciales de la función L soncero en estos puntos.
Ejemplo 2.6.6 Encuentre el punto del plano 2x − 2y + z = 4 que esté máspróximo al origen.
Solución. Se desea minimizar la distancia d =√
x2 + y2 + z2 sujeta a 2x −2y+z−4 = 0. Para facilitar el problema se minimiza el cuadrado de la distanciad2 = x2 + y2 + z2. La función de Lagrange será
L(x, y, z, λ) = x2 + y2 + z2 − λ (2x − 2y + z − 4)
Luego, el sistema de ecuaciones de Lagrange es
∂L∂x
= 2x − 2λ = 0,∂L∂y
= 2y + 2λ = 0,∂L∂z
= 2z − λ = 0,
∂L∂λ
= −2x + 2y − z + 4 = 0
Si se sustituyen los valores de 2x, 2y y z de las tres primeras ecuaciones en lacuarta, se obtiene
−2λ − 2λ − λ
2+ 4 = 0, o − 9
2λ + 4 = 0, o λ =
8
9
Por tanto, x = 8/9, y = −8/9 y z = 4/9, así (8/9,−8/9, 4/9) es el puntorequerido, y la distancia de dicho punto al origen es
√
64 + 64 + 16
81= 4 ·
√
4 + 4 + 1
81= 4 ·
√
1
9=
4
3
Ejemplo 2.6.7 ¿ Cual es el área máxima que puede tener un rectángulo si lalongitud de su diagonal es 2?
Solución. Coloque el rectángulo en el primer cuadrante con dos de sus ladosa lo largo de los ejes coordenados; entonces, el vértice opuesto al origen tendrácomo coordenadas (x, y), siendo positivas x e y. La longitud de su diagonalserá
√
x2 + y2 = 2 y su área xy. Entonces podemos formular el problema como
57
maximización de f(x, y) = xy sujeta a la restricción g(x, y) = x2 + y2 − 4 = 0.Formando la función de Lagrange
L(x, y, λ) = xy − λ(
x2 + y2 − 4)
llegamos al sistema de ecuaciones
∂L∂x
= y − 2λx = 0,∂L∂y
= x − 2λy = 0,∂L∂λ
= 4 − x2 − y2 = 0
Si multiplicamos la primera ecuación por y y la segunda por x, obtenemosy2 = 2λxy y x2 = 2λxy, por lo que y2 = x2. De la tercera ecuación paray2 = x2 encontramos x =
√2 e y =
√2; y sustituyendo estos valores en
x − 2λy = 0, y − 2λx = 0 resulta λ = 1/2. Entonces, la solución del sistema, conservando positivas x e y, es x =
√2, y =
√2, λ = 1/2.Concluimos que el
rectángulo de máxima área con diagonal 2 es el cuadrado cuyos lados miden√2. Su área es 2.
Observación 2.6.1 El definir la función de Lagrange tiene su ventaja cuandotenemos que hallar los extremos de una función f(x1, x2, ..., xn) sujetos a mrestricción g1(x1, x2, ..., xn) = 0, g2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = 0donde suponemos m < n. La función de la Lagrange en este caso está definidapor
L (x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x1, x2, ..., xn) + λ1g1(x1, x2, ..., xn)
+λ2g2(x1, x2, ..., xn) + ... + λmgm(x1, x2, ..., xn)
Ejemplo 2.6.8 Hallar el máximo de la función f(x, y, z) = x + y + z sobre lacurva determinada por el plano x + 2y + 3z = 0 y el cilindro x2 + y2 = 1
Solución:Observemos que las funciones que se determinar para definir las re-stricciones son g1(x, y, z) = x + 2y − z y g2(x, y, z) = x2 + y2 − 4.Entonces la función de Lagrange es definida por
L(x, y, z, λ1, λ2) = x + y + z + λ1(x + 2y − z) + λ2
(
x2 + y2 − 1)
Calculando las derivadas parciales e igualando a cero para hallar los puntoscríticos de L obtenemos
(1)∂L
∂x= 1 + λ1 + 2λ2x = 0
(2)∂L
∂y= 1 + 2λ1 + 2λ2y = 0
(3)∂L
∂z= 1 − λ1 = 0
(4)∂L
∂λ1= x + 2y − z = 0
(5)∂L
∂λ2= x2 + y2 − 1 = 0
58
Al tomar λ1 = 1 (de (3)) en (1) obtenemos λ2x = −1, o sea que x = −1/λ2.Similarmente, (2) nos da y = −3/(2λ2). Substituyendo en (5) tenemos
1
(λ2)2 +
9
4 (λ2)2 = 1
así que (λ2)2
= 13/4, λ2 = ±√
13/2. Por tanto x = ∓ 2√13
, y = ∓ 3√13
y de (4)
tenemos z = x + 2y = ∓ 5√13
. Los valores que le corresponden para la funciónf son
∓ 2√13
∓ 3√13
∓ 5√13
= ∓ 10√13
.
El valor máximo de f es 10√13
.
Ejemplo 2.6.9 Utilizar el software MuPad para hallar el máximo de la funciónf(x, y) = x3 − xy + y2 + 3 con la restricción x2 + 2y2 = 1. Hacer las gráficasque muestren que los extremos se obtienen en los puntos en donde las curvasde nivel son tangentes a la curva de restricción.
Solución.
Definimos las funciones f y g como sigue:
F:=x^3-x*y+y^2+3-z
x3 − xy + y2 − z + 3
g:=x^2+2*y^2-1
x2 + 2y2 − 1
Dibujamos la superficie que corresponde a F en z = 0:
plot(
plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2))
59
Recordemos que las curvas de nivel se obtienen intersectando la superficie conplanos z = constante. Abajo se ve un ejemplo para z = 3,5:
plot(plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Surface([x,y,3.5],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2,Color=RGB::Yellow),plot::Implicit3d(F|z=3.5, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=3.45..3.55))
Resolvemos el sistema
∇f(x, y) = λ∇g(x, y)g(x, y) = 0
que corresponde al sistema
60
3x2 − y = 2λx−x + 2y = 4λyx2 + 2y2 = 1
tt:=numeric::solve([3*x^2-y=2*λa*x,-x+2*y=4*λ*y,x^2+2*y^2=1],[x,y,λ])
[x = 0.2359 - 0.5446 i, y = -0.7918 - 0.0811 i, λ = 0.5562 - 0.1777 i],[x = 0.2359 + 0.5446 i, y = -0.7918 + 0.0811 i, λ = 0.5562 + 0.1777 i],[x = 0.9468, y = -0.2275, λ = 1.5403],[x = 0.5440, y = 0.5933, λ = 0.2707],[x = -0.9853, y = -0.1207, λ = -1.5392],[x = -0.3106, y = 0.6721, λ = 0.6155]
Como se ve, se tienen dos soluciones complejas y cuatro reales. Aislamos lascuatro reales en la siguiente tabla:
table(1=tt[3],2=tt[4],3=tt[5],4=tt[6])
1234
x = 0,9468 y = −0,2275 λ = 1,5403x = 0,5440 y = 0,5933 λ = 0,2707
x = −0,9853 y = −0,1207 λ = −1,5392x = −0,3106 y = 0,6721 λ = 0,6155
Reemplazando los valores de x y y en la función f(x, y), obtenemos los cuatrovalores:
table(1=F|(x=0.9468,y=-0.2275,z=0),2=F|(x=0.5440,y=0.5933,z=0),3=F|(x=-0.9853,y=-0.1207,z=0),4=F|(x=-0.3106,y=0.6721,z=0))
1234
4,11583,19021,93903,6305
La gráfica siguiente muestra las cuatro curvas de nivel y la curva de restriccióncon los puntos de tangencia en donde se encuentran los extremos.
plot(plot::Implicit2d(F|z=4.1158,x=-2..2,y=-2..2),plot::Implicit2d(g,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Black),plot::Implicit2d(F|z=3.1902,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Green),plot::Implicit2d(F|z=3.6305,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Red),plot::Implicit2d(F|z=1.939,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Brown),plot::Point2d([0.94,-0.22],Color=RGB::Blue),plot::Point2d([0.54,0.59],Color=RGB::Green),
61
plot::Point2d([-0.98,-0.12],Color=RGB::Brown),plot::Point2d([-0.31,0.67],Color=RGB::Red))
Las cinco gráficas siguientes muestran la superficie con su restricción y lascurvas de nivel correspondientes a los cuatro valores anteriores, viéndose clara-mente que los extremos se obtienen en los puntos de tangencia.plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue))
plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),
62
plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=4.1158, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=4.1..4.2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=4.1158,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))
plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=3.1902, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=3.1..3.2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=3.1902,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))
plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),
63
plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=1.939, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=1.9..2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=1.939,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))
plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=3.6305, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=3.6..3.7),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=3.6305,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))
Tenemos entonces el máximo z = 4,1158 en el punto (0,9468,−0,2275) y elmínimo z = 1,9390 en el punto (−0,9853,−0,1207).
64
Observe en este ejemplo que existen otros dos puntos de tangencia en dondeno hay extremos; esto demuestra que la condición de tangencia de la curva denivel con la curva de restricción para la existencia de un extremo, es solamenteuna condición necesaria pero no suficiente.
2.7. *Temas de Lectura
2.7.1. Campos Escalares y Campos Vectoriales
En este capítulo consideramos las funciones de subconjuntos U ⊂ Rn (n > 1)a Rm (m ≥ 1) . Cuando m = 1, las funciones
f : U ⊂ Rn → R−→x → f(−→x )
−→x = (x1, x2, ..., xn), le llamaremos campos escalares o funciones de varias vari-ables. Un campo escalar asigna a cada vector −→x un número real f(−→x ) ∈ R.Cuando m > 1, definiremos los campos vectoriales como funciones
−→F : U ⊂ Rn → Rm
−→x → −→F (−→x )
−→F (−→x ) = (f1(
−→x ), f2(−→x ), ..., fm(−→x ))
donde cada una de las componentes de−→F , fi : U ⊂ Rn → R son campos
escalares o funciones de varias variables. Hablaremos de un campo vectorialsobre Rn cuando
−→F : U ⊂ Rn → Rn. Un campo vectorial asigna a cada
vector −→x un vector−→F (−→x ) ∈ Rm. Ver la figura en caso de campo vectorial sobre
R2 y R3 respectivamente.
65
De acuerdo a la definición de campo vectorial, podemos inicialmente hacer unanálisis de los campos escalares que naturalmente extenderemos a los camposvectoriales.Veamos algunos ejemplos de campos escalares y campos vectoriales:
Ejemplo 2.7.1 En el plano xy el dominio natural de
f(x, y) =
√
y − x2
x2 + (y − 1)2
es U = (x, y) : y ≤ x2 − (0, 1).
Ejemplo 2.7.2 Si z = f(x, y) = 13
√
36 − 9x2 − 4y2 y observemos que z ≥ 0.El dominio de f es el conjunto
U = (x, y) : 36 − 9x2 − 4y2 ≥ 0.
Ejemplo 2.7.3 En el caso de z = y2 − x2, el dominio U = R2.
Definición 2.7.1 El rango de una función de varias variables f : U → R ocampo vectorial
−→F : U ⊂ Rn → Rm es el conjunto representado por Rf
o R−→F
definido por
Rf = f(−→x ) ∈ R : −→x ∈ U
oR−→
F= −→F (−→x ) ∈ R
m : −→x ∈ Urespectivamente.
Definición 2.7.2 Dada una función de varias variables o campo escalar f :U ⊂ Rn → R, la gráfica de f es definida como el conjunto
Gr(f) = (x1,x2, ..., xn, xn+1) : xn+1 = f(x1,x2, ..., xn), (x1,x2, ..., xn) ∈ U.
De esta definición podemos observar que la gráfica de f está en Rn+1. Si n = 1,tenemos una función real cuya gráfica está en el plano, mientras que si n = 2,la gráfica se encuentra en R3. En este último caso diremos que la gráfica es unasuperficie.
2.7.2. Derivada en una dirección de un campo escalar enRn. Derivadas direccionales y parciales.
Sea f : U ⊂ Rn → R un campo escalar y −→a un punto interior a U. Deseamosestudiar la variación de f cuando nos desplazamos desde −→a a un punto próximo.En general, la variación de f dependerá de la dirección en la cual nos movemos
66
a partir de −→a . Supongamos que se presenta esa dirección mediante un vector−→y . Esto es, supongamos que nos movemos desde −→a hacia otro punto −→a + −→y ,siguiendo el segmento de recta que une −→a con −→a + −→y . Cada punto de estesegmento tiene la forma −→a + t−→y , donde t es un número real. Mantengamost 6= 0 pero lo bastante pequeño para que −→a + t−→y ∈ U y definamos el cocientede diferencias
f(−→a + t−→y ) − f(−→a )
t
El numerador de este cociente pone de manifiesto el cambio de la función cuandonos desplazamos desde −→a a −→a +t−→y . El cociente denomina a su vez el promediode variación de f en el segmento de recta que une −→a a −→a + −→y . Nos interesael comportamiento de esa cociente cuando t → 0.
Definición 2.7.3 Sea f : U ⊂ Rn → R un campo escalar y −→a un puntointerior a U y −→y ∈ Rn un punto arbitrario.. La derivada de f en a con respectoa −→y se representa con el símbolo f ′(a;−→y ) y se define
f ′(a;−→y ) = lımt→0
f(−→a + t−→y ) − f(−→a )
t
cuando tal límite existe. En particular, cuando −→y es un vector unitario, esdecir ‖−→y ‖ = 1, la distancia entre a y a + t−→y es |t|. En tal caso el cociente dediferencias representa el promedio de variación de f por unidad de distanciaa lo largo del segmento de recta que une a con a + −→y y la derivada f ′(a;−→y )se denomina derivada direccional. Además, si −→y = −→ek (el vector k -ésimocoordenado unitario) la derivada direccional f ′(a;−→ek) se denomina derivadaparcial respecto a ek y se denota por ∂f
∂xk(−→a ).
Ejemplo 2.7.4 En R2 los vectores coordenados unitarios son los vectores i yj. Si a = (x0, y0) las derivadas parciales f ′(−→a ; i) y f ′(−→a ; j) también se
escriben
f ′(−→a ; i) =∂f
∂x(x0, y0) = fx(x0, y0), f ′(−→a ; j) =
∂f
∂y(x0, y0) = fy(x0, y0)
En <3, los vectores coordenados unitarios son los vectores i,j y k. Si a = (x0, y0, z0) las derivadas parciales f ′(a; i),f ′(a; j) y f ′(a; k) se escriben respectivamente como
∂f
∂x(x0, y0, z0) = fx(x0, y0, z0),
∂f
∂y(x0, y0, z0) = fy(x0, y0, z0),
∂f
∂z(x0, y0, z0) = fz(x0, y0, z0)
67
De acuerdo a la definición de derivada en una dirección, las derivadas parcialesfx(x0, y0) y fy(x0, y0) pueden expresarse
fx(x0, y0) = lımh→0
f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)
hpara y = y0 fijo
fy(x0, y0) = lımh→0
f(x0, y0 + h) − f(x0, y0)
hpara x = x0 fijo
En lugar de calcular fx(x0, y0) y fy(x0, y0) en forma directa a partir de lasdefiniciones, lo usual es encontrar fx(x0, y0) y fy(x0, y0) mediante las reglasordinarias de derivación; después se sustituyen x = x0 e y = y0.
Ejemplo 2.7.5 Si f(x, y) = x2sen (xy2), encuentre fx(π4 , 1) y fy(
π4 , 1).
Solución.
∂f
∂x(x, y) = 2x sen (xy2) + x2 · cos(xy2) · y2 = 2x sen (xy2) + x2y2 cos(xy2)
∂f
∂y(x, y) = x2 cos(xy2) · 2xy = 2x3y cos(xy2)
Sustituyendo x = π4 y y = 1 se calculan
fx(π
4, 1) = 2 · π
4sen
(π
4· 12)
+(π
4
)2
· 12 · cos(π
4· 12)
=
√2(π2 + 8π)
32
fy(π
4, 1) = 2 ·
(π
4
)3
· cos(π
4· 12)
=
√2
64π3
2.7.3. Diferenciabilidad de un campo escalar en Rn.
Definición 2.7.4 Un campo escalar f : U → R , donde U es un conjuntoabierto de Rn es diferenciable en si existe un vector ∇f(−→a ) ∈ Rn tal que
lım−→h →0
f(−→a +−→h )−f(−→a )−∇f(−→a )·−→h
‖−→h ‖= 0. (2.20)
Si definimos
E(a; h) =f(−→a +
−→h )−f(−→a )−∇f(−→a )·−→h
‖−→h ‖,
tendríamos de acuerdo a la definición, f es diferenciable en −→a si y sólo si
lım−→h →0
E(−→a ;−→h ) = 0
68
Podemos escribir
f(−→a +−→h ) − f(−→a ) −∇f(−→a ) · h = ‖h‖E(−→a ;
−→h ),
o equivalentemente,
f(−→a +−→h ) = f(−→a ) −∇f(−→a ) · h + ‖h‖E(−→a ;
−→h ),
El vector ∇f(−→a ) le llama el gradiente de f en −→a y al producto de ∇f(−→a ) · hse le llama la diferencial de f en −→a .
Teorema 2.7.1 Si f : U → R es diferenciable en −→a , entonces es continua en−→a .
Demostración. Puesto que f es diferenciable en a tenemos que
lım−→h →0
E(−→a ;−→h ) = 0.
Ademásf(−→a +
−→h )=f(−→a )−∇f(−→a )·−→h +‖h‖E(−→a ;
−→h ),
y tomando el limite cuando−→h → 0 tenemos que
lım−→h →0
f(−→a +−→h ) =f(−→a ).
Por lo tanto f es continua en −→a .
Teorema 2.7.2 Sea f derivable en −→a . Entonces la derivada de f en −→a en ladirección del vector unitario −→y = (y1, y2, · · · yn) y
f ′(−→a ;−→y )=∇f(−→a )·−→y =
n∑
k=1
∂f(−→a )
∂xkyk
Demostración. Si −→y = 0 claramente ∇f(−→a )·−→y = 0 y f ′(−→a ;−→y )=0 . Porconsiguiente consideremos −→y 6= 0 . Como f es diferenciable en −→a tenemos quepara h con |h‖ < r
f(−→a +−→h )=f(−→a )+∇f(−→a )·−→h + ‖−→h ‖E(−→a ;
−→h ),
donde lımh→0 E(−→a ; h) = 0 . Si tomamos |t| < r , entonces−→h = t−→y con t 6= 0
cumple que∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥<r y por lo tanto
f(−→a + t−→y )−f(−→a )=∇f(−→a )·t−→y + |t|E(−→a ;−→y ).
69
Dividiendo por t tenemos
f(−→a + t−→y )−f(−→a )
t= ∇f(−→a )·−→y +
|t|t
E(−→a ;−→y ).
Puesto que lımt→0|t|t
= ±1 tenemos que
lımt→0
f(−→a + t−→y )−f(−→a )
t= ∇f(−→a )·−→y .
Por lo tantof ′(−→a ;−→y )=∇f(−→a )·−→y .
Además, teniendo en cuenta que f ′(−→a ; ek) =∂f(−→a )
∂xky −→y = u1e1 + · · ·+ unen
concluimos que
f ′(−→a ;−→y ) = ∇f(−→a ) · −→y = ∇f(−→a )· (u1−→e1 + · · ·+un
−→en)
=
n∑
k=1
uk∇f(−→a ) · −→ek
=
n∑
k=1
ukf ′(−→a ;−→ek) =
n∑
k=1
∂f(−→a )
∂xkuk =
(
∂f(−→a )
∂xk, . . . ,
∂f(−→a )
∂xn
)
· (u1, . . . , un).
De aquí podemos concluir que el vector gradiente es dado por
∇f(−→a )=
(
∂f(−→a )
∂x1, . . . ,
∂f(−→a )
∂xn
)
Si f es diferenciable en −→a , existen todas las derivadas parciales. No obstante laexistencia de todas las derivadas parciales no garantiza que f sea diferenciableen −→a .
Ejemplo 2.7.6 Consideremos la función
f(x, y) =
xy2
x2 + y4 si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Mostremos que∂f
∂x(0, 0) y
∂f
∂y(0, 0) existen. Por definición
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f ((0, 0) + ti) − f(0, 0)
t= lım
t→0
f(ti)
t= lım
t→0
f(t, 0)
t= 0
70
y
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f ((0, 0) + tj) − f(0, 0)
t= lım
t→0
f(tj)
t= lım
t→0
f(0, t)
t= 0.
Sin embargo la función no es continua en (0, 0) . Observemos que f(x, 0) = 0 yf(0, y) = 0 . Así a través de los ejes coordenados f → 0 cuando nos acercamosal origen. Sin embargo si nos acercamos al origen sobre la parábola x = y2
tenemos que f(y2, y) = 1/2 . Así f(x, y) → 1/2 cuando x = y2 y y → 0 .Puesto que f(0, 0) 6= 1/2, f no es continua en (0, 0) y por lo tanto no puedeser diferenciable en (0, 0) .
Teorema 2.7.3 (Condición suficiente de diferenciabilidad). Si existen
las derivadas parciales∂f∂x1
,...,∂f∂xn
en cierta n-bola B(−→a ;−→r ) y son continuas
en −→a , entonces f es diferenciable en −→a .
2.7.4. Regla de la cadena para campos escalares en Rn.
La regla de la cadena para funciones compuestas de una sola variable estableceque si y = g(t) = f(r(t)), donde tanto f como r son funciones diferenciables,entonces
g′(t) = f ′(r(t))r′(t)
ody
dt=
dy
dr
dr
dt
Ahora veremos como la regla de la cadena puede generalizarse para los camposescalares o funciones de varias variables.
Teorema 2.7.4 [Regla de la cadena] Sea f una función de n -variablesdefinida en un conjunto abierto U ⊆ Rn y −→r una función vectorial −→r : J → Udonde J es un intervalo abierto. Definamos la función compuesta f r en Jpor g(t) = f(r(t)) donde t ∈ J . Sea t ∈ J en el que −→r ′(t) existe y tal que f esdiferenciable en r(t) . Entonces g′(t) existe y
g′(t) = ∇f(−−→r(t)) ·
−→r′ (t)
Demostración. Sea −→a = r(t) . Puesto que U es abierto existe una bola B(−→a ) ⊂U y tomemos h 6= 0 tal que −→r (t + h) ∈ B(−→a ) . Sea −→y = −→r (t + h) − −→r (t) .Claramente si h → 0 entonces yb → 0 . ahora consideremos
g(t + h) − g(t) = f(−→r (t + h)) − f(−→r (t)) = f(−→a + y) − f(−→a ).
Como f es diferenciable en −→a entonces
f(−→a + −→y ) − f(−→a ) = ∇f(−→a ) · −→y + ‖−→y ‖E(−→a ; y).
71
donde E(−→a ; y) → 0 cuando |y‖ → 0. Ahora,
g(t + h) − g(t) = ∇f(−→a ) · (−→r (t + h) −−→r (t)) + ‖−→r (t + h) −−→r (t)‖E(−→a ;−→y ).
Dividiendo por h obtenemos
g(t + h) − g(t)
h= ∇f(−→a )· (
−→r (t + h)) −−→r (t))
h+‖
−→r (t + h)) −−→r (t)
h‖E(−→a ;−→y ).
Tomando h → 0 tenemos que
g′(t) = ∇f(−→r (t)) ·−−→r′(t)).
Si escribimos −→r en sus ecuaciones paramétricas x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn =xn(t) podemos escribir g′(t) en la forma
g′(t) =∂f
∂x1(−→a )
dx1
dt+ ... +
∂f
∂xn(−→a )
dxn
dt
Cuando −→a describe una curva C , la derivada direccional de f en la direccióndel vector tangente unitario
−→T (t) se llama derivada direccional de f a lo largo
de la curva C .
Ejemplo 2.7.7 Halle la derivada direccional de f(x, y) = x2 − 3xy a lo largode la parábola y = x2 − x + 2 en el punto (1, 2) .
Solución: El gradiente de f está dado por
∇f(x, y) = (∂f
∂x,∂f
∂y) = (2x − 3y,−3x).
En el punto (1, 2) tenemos que ∇f(1, 2) = (−4,−3). La parábola la podemosparametrizar por −→r (t) = (t, t2 − t + 2). Observemos que para t = 1,−→r (1) = (1, 2) que es el punto dado. El vector velocidad es dado por −→r ′(t) =(1, 2t − 1) y −→r ′(1) = (1, 1) el cual tiene norma |−→r (1)‖ =
√2 . Así Tb(1) =
1√2(1, 1) . Por lo tanto la derivada direccional a lo largo de la parábola en el
punto (1, 2) es
f ((1, 2); T (1)) = ∇f(1, 2) · 1√2(1, 1) = − 7√
2
Ejemplo 2.7.8 Suponga que se calienta un cilindro circular recto sólido y quesu radio r aumenta a razón de 0.2 cm por hora y su altura h a 0.5 cm porhora. Encuentre la razón de aumento del área con respecto al tiempo, cuandoel radio mide 10 cm y altura 100.
72
Solución: La fórmula del área total de un cilindro es S(r, h) = 2πrh + 2πr2.En consecuencia,
dS
dt=
∂S
∂r
dr
dt+
∂S
∂h
dh
dt= (2πh + 4πr)(0,2) + (2πr)(0,5)
Cuando r = 10 y h = 100,
dS
dt= (2π · 100 + 4π · 10)(0,2) + (2π · 10)(0,5) = 58π cm2 por hora
Ejemplo 2.7.9 Suponga que w = x2y + y + xz, donde x = cos θ, y = sen θ, yz = θ2. Encuentre dw/dθ y la evalúe para θ = π/3.
Solución.
dw
dθ=
∂w
∂x
dx
dθ+
∂w
∂y
dy
dθ+
∂w
∂z
dz
dθ= (2xy + z)(−sen θ) + (x2 + 1)(cos θ) + (x)(2θ)
= −2 cos θ sen2θ − θ2sen θ + cos3 θ + cos θ + 2θ cos θ
En θ = π/3,
dw
dθ= −2 · 1
2· 1
3− π2
3·√
3
2+
(
1
4+ 1
)
1
2+
2π
3· 1
2= −1
8− π2
√3
18+
π
3
Suponemos en seguida que z = f(x, y), donde x = x(s, t) e y = y(s, t) de modoque z es una función de dos variables z = f [x(s, t), y(s, t)] = h(s, t). Entonces,tiene sentido preguntar por ∂z/∂s y ∂z/∂t.
2.7.5. Derivada en una dirección de un campo vectorial.Derivada direccional
Definición 2.7.5 ea−→F : U → Rm definido en un subconjunto U de Rn.
Sea −→a un punto interior de U y −→y ∈ Rn, un punto arbitrario. Definimos la
derivada−→F ′(−→a ;−→y ) por la fórmula
−→F ′(−→a ;−→y ) = lım
t→0
−→F (−→a + t−→y ) −−→
F (−→a )
t
Siempre que el límite exista. Observemos que esta derivada es un vector de Rm.De acuerdo a la definición de límites para campos vectoriales podemos observarque
−→F ′(−→a ;−→y ) = (f ′
1(−→a ;−→y ), f ′
2(−→a ;−→y ), ..., f ′
m(−→a ;−→y ))
En el caso que −→y es un vector unitario, es decir ‖−→y ‖ = 1,−→F ′(−→a ;−→y ) se llama
derivada direccional de un campo vectorial.
73
2.7.6. Diferenciabilidad de un campo vectorial
Definición 2.7.6 Diremos que un campo vectorial−→F es diferenciable en −→a si
existe una matriz−−→DF (−→a ) m × n (la matriz Jacobiana) tal que
lım−→h →0
−→F (−→a +
−→h ) −−→
F (−→a ) −−−→DF (−→a ) · −→h
‖h‖ = 0
De esta definición y por las propiedades de los límites diremos que está defini-ción implica que cada componente de
−→F , fi, es diferenciable en −→a .
Denotemos por
−→−→E (−→a ,
−→h ) =
−→F (−→a +
−→h ) −−→
F (−→a ) −−−→DF (−→a ) · −→h
‖h‖ .
Observemos que−→−→E (−→a ,
−→h ) es un vector de Rm. Esto nos permite escribir
−→F (−→a +
−→h ) =
−→F (−→a ) +
−−→DF (−→a ) · −→h + ‖h‖−→E (−→a ,
−→h )
y decir que un un campo vectorial−→F es diferenciable en −→a si existe una matriz
−−→DF (−→a ) m×n tal que la igualdad anterior se cumple donde lım−→
h →0
−→−→E (−→a ,
−→h ) =
0. Esta fórmula es conocida como fórmula de Taylor de primer orden. válida
para todo−→h con
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥ < r para cierto r > 0. La matriz−−→DF (−→a ) la llamaremos
la derivada de−→F en −→a .
Vamos a demostrar que la matriz−−→DF (−→a ) es
−−→DF (−→a ) =
∇f1
...∇fm
donde ∇fi
(i = 1, ..., m) es el gradiente de la función fi (i = 1, ..., m).
Observemos que
−→F (−→a +
−→h ) −−→
F (−→a ) = (f1(−→a +
−→h ), ..., fm(−→a +
−→h )) − (f1(
−→a ), ..., fm(−→a ))
= (f1(−→a +
−→h ) − f1(
−→a ), ..., fm(−→a +−→h ) − fm(−→a ))
Como cada componente fi es diferenciable tenemos que
fi(−→a +
−→h ) − fi(
−→a ) = ∇fi ·−→h + ‖h‖Ei(
−→a ,−→h )
donde lım−→h →0
Ei(−→a ,
−→h ) = 0. Por lo tanto
74
−→F (−→a +
−→h ) −−→
F (−→a ) = (f1(−→a +
−→h ), ..., fm(−→a +
−→h )) − (f1(
−→a ), ..., fm(−→a ))
= (f1(−→a +
−→h ) − f1(
−→a ), ..., fm(−→a +−→h ) − fm(−→a ))
= (∇f1 ·−→h + ‖h‖E1(
−→a ,−→h ), ...,∇fm · −→h + ‖h‖Em(−→a ,
−→h ))
= (∇f1 ·−→h , ...,∇fm · −→h ) + (‖h‖E1(
−→a ,−→h ), ..., ‖h‖Em(−→a ,
−→h ))
= (∇f1 ·−→h , ...,∇fm · −→h ) + ‖h‖ (E1(
−→a ,−→h ), ..., Em(−→a ,
−→h ))
Si−−→DF (−→a )·−→h = (∇f1·
−→h , ...,∇fm·−→h ) y
−→E (−→a ,
−→h ) = (E1(
−→a ,−→h ), ..., Em(−→a ,
−→h ))
tenemos que
−→F (−→a +
−→h ) =
−→F (−→a ) +
−−→DF (−→a ) · −→h + ‖h‖−→E (−→a ,
−→h )
donde lım−→h →0
−→E (−→a ,
−→h ) = 0. Esto implica que
−−→DF (−→a ) =
∇f1
∇f2
...∇fm
=[
∇f1 ∇f2 · · · ∇fm
]T.
Observemos también que
−→F ′(−→a ;−→y ) = (f ′
1(−→a ;−→y ), f ′
2(−→a ;−→y ), ..., f ′
m(−→a ;−→y ))
= (∇f1 ·−→h ,∇f2 ·
−→h , ...,∇fm · −→h ) =
−−→DF (−→a ) · −→h
Esta fórmula nos permite determinar fácilmente la derivada−→F ′(−→a ;−→y ).
Ejemplo 2.7.10 Supongamos que−→T : Rn → Rm es una transformación lineal.
(Una transformación lineal es un ejemplo
particular de campo vectorial). Vamos a mostrar que−→T es difenciable y que−−→
DT (−→x ) = −→a donde −→a es la matriz m×n asociada a−→T ,esto es
−→T (−→x ) = −→a −→x .
lım−→h →0
−→T−→(x +
−→h ) −−→
T (−→x ) −−→a −→h
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥
= lım−→h →0
−→A (−→x +
−→h ) −−→a −→x −−→a −→
h∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥
= lım−→h →0
−→a −→x + −→a −→h −−→a −→x −−→a −→
h∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥
= 0
75
entonces−−→DT (−→x ) =
−→A
Así todos las transformaciones lineales son campos vectoriales diferenciables.
Ejemplo 2.7.11 Si f : U ⊂ Rn → R es un campo escalar diferenciable sobreun conjunto abierto U , entonces ∇f : U ⊂ Rn → Rn es un campo vectorialdado por
∇f = (∂f
∂x1,
∂f
∂x2, ...,
∂f
∂xn)
Si cada una de las derivadas parciales es diferenciable tenemos que podemosencontrar la matriz Jacobiana de ∇f, D∇f, la cual en algunos textos se denotapor ∇2f(−→x ) y es igual a
∇2f(−→x ) =
∂2f
∂x21
∂2f
∂x1∂x2· · · ∂2f
∂x1∂xn
∂2f
∂x2∂x1
∂2f
∂x22
· · · ∂2f
∂x2∂xn
∂2f
∂xn∂x1
∂2f
∂xn∂x2· · · ∂2f
∂x2n
T
2.7.7. Regla de la cadena para campos vectoriales.
Teorema 2.7.5 [Regla de la cadena] Sea−→F una función vectorial definido
en un conjunto abierto U ⊆ Rn y −→r una función vectorial −→r : J → U donde
J es un intervalo abierto. Definamos la función compuesta−→F −→r en J por−→
G(t) =−→F (−→r (t)) donde t ∈ J . Sea t ∈ J en el que −→r ′(t) existe y tal que
−→F es
diferenciable en −→r (t) . Entonces−→G ′(t) existe y
−→G ′(t) = D
−→F (
−−→r(t))
−−→r′(t)
Demostración. Sea −→a = −→r (t) . Puesto que U es abierto existe una bolaB(−→a ) ⊂ U y tomemos h 6= 0 tal que −→r (t+h) ∈ B(−→a ) . Sea −→y = r(t+h)−r(t)
. Claramente si h → 0 entonces −→y → 0 . ahora consideremos−→G(t+h)−−→
G(t) =−→F (−→r (t + h)) −−→
F (−→r (t)) =−→F (−→a + −→y ) −−→
F (−→a ).
Como−→F es diferenciable en −→a entonces
−→F (−→a + −→y ) −−→
F (−→a ) = D−→F (−→a ) · −→y + ‖−→y ‖E(−→a ;−→y ).
donde E(−→a ; y) → 0 cuando |y‖ → 0. Ahora,
−→G(t + h) −−→
G(t) = D−→F (−→a ) · (r(t + h) − r(t)) + ‖r(t + h) − r(t)‖−→E (−→a ;−→y ).
76
Dividiendo por h obtenemos
−→G(t + h) −−→
G(t)
h= D
−→F (−→a )· (
−→r (t + h)) −−→r (t))
h+‖
−→r (t + h)) −−→r (t)
h‖E(−→a ;−→y ).
Tomando h → 0 tenemos que
−→G ′(t) = D
−→F (−→r (t)) · −→r ′(t).
En el caso general de la composición de dos campos vectoriales tenemos que
Teorema 2.7.6 [Regla de la cadena general] Sea−→F y
−→G dos campos vec-
toriales en un abierto U donde la función compuesta−→H =
−→F −→
G esta bien
definida por−→H (−→x ) =
−→F (
−→G(−→x )) donde x ∈ U.. Sea x ∈ U en el que D
−→G ′(x)
existe y tal que−→F es diferenciable en
−→G(−→x ) . Entonces D
−→H (−→x ) existe y
D−→H (−→x ) = D
−→F (
−→G(−→x ))D
−→G (−→x ).
que es el producto de las dos matrices.
Demostración. Sea −→a =−→G(−→x ) . Puesto que U es abierto existe una bola
B(−→a ) ⊂ U y tomemos h 6= 0 tal que −→r (t + h) ∈ B(−→a ) . Sea −→y =−→G (−→x +−→
h ) − −→G((−→x ) . Claramente si
−→h → 0 entonces −→y → 0 . ahora consideremos−→
H (−→x +−→h ) −−→
H (−→x ) =−→F (
−→G(−→x +
−→h )) −−→
F (−→G (−→x )) =
−→F (−→a + −→y ) −−→
F (−→a ).
Como−→F es diferenciable en −→a entonces
−→F (−→a + −→y ) −−→
F (−→a ) = D−→F (−→a )−→y + ‖−→y ‖−→E (−→a ;−→y ).
donde−→E (−→a ; y) → 0 cuando |y‖ → 0. Ahora,
−→H (−→x +
−→h ) −−→
H (−→x ) = D−→F (−→a ) · −→G((x + h) −−→
G((x) +
‖−→G((x + h) −−→G((x)‖−→E (−→a ;−→y ).
= D−→F (−→a ) ·
[
D−→G(x) · h +
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥E(x, h)]
+[
‖D−→G(x) · h +
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥
−→E (x, h)
]
‖−→E (−→a ;−→y )
= D−→F (−→a ) · D−→
G(x) · h + D−→F (−→a ) ·
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥E(x, h) +[
‖D−→G(x) · h +
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥
−→E (x, h)
]
‖−→E (−→a ;−→y ).
77
Dividiendo por∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥obtenemos
−→H (−→x +
−→h ) −−→
H (−→x ) − D−→F (−→a ) · D−→
G(x) · h∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥
= D−→F (−→a ) · E(x, h) +
‖D−→G(x) · h +
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥E(x, h)
∥
∥
∥
−→h∥
∥
∥
−→E (−→a ;−→y ).
Tomando−→h → −→
0 tenemos que
D−→H (−→x ) = D
−→F (
−→G(−→x ))D
−→G(−→x )
Definición 2.7.7 Divergencia de un campo vectorial. Sea−→F : U ⊂ Rn →
Rn donde U es un subconjunto de Rn un campo vectorial dado por−→F (−→x ) =
(f1(−→x ), f2(
−→x ), ..., fn(−→x )) −→x = (x1, x2, ..., xn). Definimos la divergencia
de−→F como
div−→F =
∂f1(−→x )
∂x1+
∂f2(−→x )
∂x2+ ... +
∂fn(−→x )
∂xn.
Si representamos ∇ =
(
∂
∂x1,
∂
∂x2, ...,
∂
∂xn
)
observemos que podemos denotar
divF = ∇ · F. Hay que tener en cuenta que la divergencia es un campo escalar.
Ejemplo 2.7.12 Sea−→F (x, y, z) = (x2y, xyz, x2z). La divergencia de
−→F es
div−→F = 2xy + xz + x2.
Ejemplo 2.7.13 Sea
−→F (x, y, z) =
−→r‖−→r ‖3 =
(
x
‖−→r ‖3 ,y
‖−→r ‖3 ,z
‖−→r ‖3
)
=( x
r3,
y
r3,
z
r3
)
, .
donde r = ‖−→r ‖ =√
x2 + y2 + z2. Sean f1 =x
r3, f1 =
y
r3, f2 =
z
r3. Entonces
∂f1
∂x=
r3 − x∂(
r3)
∂xr6
=r3 − 3xr2 ∂ (r)
∂xr6
=r3 − 3xr2 x
rr6
=r3 − 3x2r
r6,
∂f2
∂y=
r3 − x∂(
r3)
∂y
r6=
r3 − 3yr2 ∂ (r)
∂y
r6=
r3 − 3yr2 y
rr6
=r3 − 3y2r
r6,
∂f3
∂z=
r3 − x∂(
r3)
∂zr6
=r3 − 3zr2 ∂ (r)
∂zr6
=r3 − 3yr2 z
rr6
=r3 − 3z2r
r6.
78
Sumando estas derivadas tenemos que
div−→F =
∂f1
∂x+
∂f2
∂y+
∂f2
∂y=
3r3 − 3r3
r6= 0.
Definición 2.7.8 Rotacional de un campo vectorial. Sea−→F : U ⊂ R3 →
R3 donde U es un subconjunto de Rn un campo vectorial dado por
−→F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
Definimos el rotacional de−→F al vector definido por
rot−→F =
(
∂R
∂y− ∂Q
∂z,∂P
∂z− ∂R
∂x,∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
Observación 2.7.1 El rotacional se puede ver como
rot−→F = ∇×−→
F =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zP Q R
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Observación 2.7.2 En el caso que−→F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) definiremos
el rotacional de−→F como
rot−→F =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k∂
∂x
∂
∂y0
P Q 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
k
Observación 2.7.3 Si el vector rot−→F =
−→0 , diremos que es campo vectorial
es un campo irrotacional.
.
Ejemplo 2.7.14 Sea−→F (x, y, z) = (−x, xy+y, 2x−xz), entonces el rotacional
es dado por
rot−→F =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zxyz x2 −xy
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (−x, xy + y, 2x − xy) = −xi+(xy + y) j−xyk.
79
Definición 2.7.9 Laplaciano de un Campo Escalar. Sea f(x, y, z) uncampo escalar.diferenciable con derivadas de orden dos, definimos el Lapla-ciano de f, ∆f, como la divergencia del gradiente de f, esto es
∆f = div (∇f) = div (∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂y) =
∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2+
∂2f
∂y2
En el caso de dos variables f(x, y) tenemos
∆f = div (∇f) =∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2
Ejemplo 2.7.15 Sea f(x, y) = x3 − 3xy2. Hallar el Laplaciano de f.
∂f
∂x= 3x2 − 3y2 ∂2f
∂x2= 6x
∂f
∂= −6xy
∂2f
∂y2= −6x
Entonces∆f = 0.
Definición 2.7.10 Una función escalar cuyo Laplaciano es cero, esto es ∆f =0, se llama función armónica.
2.7.8. Fórmula de Taylor de orden dos para campos es-calares
Teorema 2.7.7 Sea f un campo escalar con derivadas de orden dos continuasen una bola Br(
−→a ). Entonces para todo y ∈ Rn tal que −→a + −→y ∈ Br(−→a ),
tenemos que
f(−→a + −→y ) = f(−→a ) + ∇f(−→a ) · −→y +1
2!−→y H(−→a + c−→y )−→y ᵀ, 0 < c < 1,
donde H es la matríz Hessiana de f . También podemos escribir
f(−→a + −→y ) = f(−→a ) + ∇f(−→a ) · −→y +1
2!−→y H(−→a )−→y ᵀ + ‖−→y ‖E2(
−→a ;−→y ),
donde lım−→y →−→
0
E2(−→a ;−→y ) = 0.
Demostración. Fijemos −→y ∈ Rn. Definamos la función
g(t) = f(−→a + t−→y ), 0 ≤ t ≤ 1.
80
Claramente g(0) = f(a) y g(1) = f(−→a +−→y ). Por lo tango f(−→a +−→y )− f(−→a ) =g(1) − g(0).Como g es una función real, aplicamos la fórmula de Taylor de orden 2 en elintervalo [0, 1]. Así
g(1) = g(0) + g′(0) +1
2!g′′(c), 0 < c < 1
(Resultado de Cálculo I).Aplicando regla de la cadena a g tenemos que
g′(t) = ∇f(−→a + t−→y ) · −→y =
n∑
i=1
∂f(−→a + t−→y )
∂xiyi
=∂f(−→a + t−→y )
∂x1y1 +
∂f(−→a + t−→y )
∂x2y2 + · · · + ∂f(−→a + t−→y )
∂xnyn
Así g′(0) = ∇f(−→a ) · −→y .Calculamos la segunda derivada de g aplicando nuevamente regla de la cadena
g′′(t) =
[
∇∂f(−→a + t−→y )
∂x1· −→y]
y1 +
[
∇∂f(−→a + t−→y )
∂x2· −→y]
y2 + · · · +[
∇∂f(−→a + t−→y )
∂xn· −→y]
yn
=
[
∂2f(−→a + t−→y )
∂x21
y1 +∂2f(−→a + t−→y )
∂x2∂x1y2 + · · · + ∂2f(−→a + t−→y )
∂xn∂x1yn
]
y1
+
[
∂2f(−→a + t−→y )
∂x1∂x2y1 +
∂2f(−→a + t−→y )
∂x22
y2 + · · · + ∂2f(−→a + t−→y )
∂xn∂x2yn
]
y2
...
+
[
∂2f(−→a + t−→y )
∂x1∂xny1 +
∂2f(−→a + t−→y )
∂x2∂xny2 + · · · + ∂2f(−→a + t−→y )
∂x2n
yn
]
yn.
g′′(t) =
n∑
i=1
n∑
j=1
∂2f(−→a + t−→y )
∂xi∂xjyiyj = −→y H(−→a + c−→y )−→y ᵀ.
Así,g′′(c) = −→y H(−→a + c−→y )−→y ᵀ.
y por lo tanto así demostramos que
f(−→a + −→y ) = f(−→a ) + ∇f(−→a ) · −→y +1
21−→y H(−→a + c−→y )−→y ᵀ, 0 < c < 1.
81
Para demostrar la segunda parte, definamos
‖−→y ‖E2(−→a ;−→y ) =
1
21−→y [H(−→a + c−→y ) − H(a)]−→y ᵀ, −→y 6= −→
0
yE2(
−→a ;−→0 ) = 0 .
En este caso tenemos que
f(−→a + −→y ) = f(−→a ) + ∇f(−→a ) · −→y +1
2!−→y ᵀH(−→a )−→y + ‖−→y ‖E2(
−→a ;−→y ).
Vamos a mostrar que lım−→y →−→
0
E2(−→a ;−→y ) = 0.
‖−→y ‖2 |E2(−→a ;−→y )| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
n∑
i=1
n∑
j=1
∂2f(−→a + t−→y )
∂xi∂xj− ∂2f(−→a )
∂xi∂xj
yiyj
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤n∑
i=1
n∑
j=1
∣
∣
∣
∣
∂2f(−→a + t−→y )
∂xi∂xj− ∂2f(−→a )
∂xi∂xj
∣
∣
∣
∣
‖−→y ‖2.
Así dividiendo por ‖−→y ‖ 6= 0 tenemos que
|E2(−→a ;−→y )| ≤
n∑
i=1
n∑
j=1
∣
∣
∣
∣
∂2f(−→a + t−→y )
∂xi∂xj− ∂2f(−→a )
∂xi∂xj
∣
∣
∣
∣
.
puesto que ∂2f∂xi∂xj
son continuas en −→a , entonces
lım−→y →−→
0
∂2f(−→a + t−→y )
∂xi∂xj=
∂2f(−→a )
∂xi∂xj
Por lo tanto lım−→y →−→
0
|E2(−→a ;−→y )| = 0 y esto implica que lım
−→y →−→0
E2(−→a ;−→y ) = 0 .
2.7.9. Naturaleza de un punto crítico teniendo como cri-terio los valores propios de la matriz Hessiana
Si −→a es un punto crítico de f tenemos que ∇f(a) =−→0 . En este caso
f(−→a + −→y ) = f(−→a ) +1
2!−→y ᵀH(−→a )−→y + ‖−→y ‖E2(
−→a ;−→y ).
Teorema 2.7.8 Sea A = (aij) una matriz n×n y simétrica. Supongamos que
Q(y) = −→y A−→y > =n∑
i=1
n∑
j=1
aijyiyj . Entonces
82
1. Q(−→y ) > 0 ∀−→y 6= −→0 ⇐⇒los valores propios de A son positivos.
2. Q(−→y ) < 0 ∀−→y 6= −→0 ⇐⇒los valores propios de A son negativos.
Demostración. Por ser A una matriz simétrica, A es diagonalizable, esto es ex-iste una matriz P ortogonal (P> = P ) tal que PT AP = D = diag(λ1, λ2, · · · , λn)donde λi i=1,...,n son valores propios de A los cuales son reales. Haciendoy = xP>, tenemos
Q(y) = −→y A−→y > = xP>AP−→x > = xD−→x > =
n∑
i=1
λix2u
Claramente ∀−→y 6= −→0 , −→x 6= −→
0 . Si los valores propios de A son positivos entoncesQ(y) > 0. Ahora si Q(y) > 0 ∀−→y 6= −→
0 , tenemos en particular que si y = eiP>,
donde ei = (0, · · · , 1, · · · 0) es el k-esimo vector unitario de la base usual tenemosque Q(y) = λi > 0.La parte (2) se prueba de manera similar.
Teorema 2.7.9 Sea f un campo escalar con derivadas de orden dos continuasen una bola Br(
−→a ). Sea H(−→a ) la matriz Hessiana en un punto estacionario−→a . Entonces:
1. Si todos los valores propios de H(−→a ) son positivos entonces f tiene unmínimo relativo en −→a .
2. Si todos los valores propios de H(−→a ) son negativos entonces f tiene unmáximo relativo en −→a .
3. Si H(−→a ) tiene valores propios negativos y positivos entonces f tiene unpunto silla en −→a .
Demostración. sea Q(y) = −→y H(−→a )−→y > y puesto que ∇f(a) =−→0 , tenemos
que
f(−→a + −→y ) − f(−→a ) =1
2!−→y ᵀH(−→a )−→y + ‖−→y ‖E2(
−→a ;−→y ).
donde lım−→y →−→
0
E2(−→a ;−→y ) = 0 . Vamos a mostrar que existe r > 0, tal que
0 < ‖−→y ‖ < r, talque f(−→a + −→y ) − f(−→a ) tiene el mismo signo que Q(y).Supongamos que los valores propios de H(−→a ) son positivos λ1, λ2, · · · , λn.Sih = mınλ1, λ2, · · · , λn y 0 < t < h entonces λ1 − t, λ2 − t, · · · , λn − t sontambién positivos. Estos son los valores propios de H(−→a )− tI, siendo I la ma-triz idéntica n × n. Por lo tanto la forma cuadrática −→y (H(−→a ) − tI)−→y > > 0
∀−→y 6= −→0 de acuerdo al teorema anterior. Por lo que concluimos que
−→y H(−→a )−→y > > t ‖−→y ‖2 ∀0 < t < h.
83
Tomando t = 12h tenemos Q(y) > 1
2h ‖−→y ‖2 ∀−→y 6= −→0 . Puesto que lım
−→y →−→0
E2(−→a ;−→y ) =
0, existe r > 0 tal que |E2(−→a ;−→y )| < 1
4h con tal que 0 < ‖−→y ‖ < r. Para tales−→y tenemos
0 ≤ ‖−→y ‖E2(−→a ;−→y ) <
1
4h <
1
2Q(y).
Esto demuestra que
f(−→a + −→y ) − f(−→a ) ≥ 1
2Q(y) − ‖−→y ‖E2(
−→a ;−→y ) > 0
Por consiguiente f tiene un mínimo relativo en −→a .En la misma forma se prueba (2).Para mostrar (c) supongamos que λ1 y λ2 son valores propios de H(−→a ) consignos opuestos. Sea h = mın|λ1| , |λ2|, para 0 < t < h entonces λ1 − t, λ2 − tson valores propios de H(−→a ) − tI de signos opuestos. Por lo tanto La for-ma cuadrática −→y (H(−→a ) + tI)−→y ᵀ toma valores positivos en una vecindadde −→a . Nuevamente, puesto que lım
−→y →−→0
E2(−→a ;−→y ) = 0, existe r > 0 tal que
|E2(−→a ;−→y )| < 1
4h con tal que 0 < ‖−→y ‖ < r. Para tales −→y tenemos que el signode f(−→a + −→y ) − f(−→a ) es el mismo que el de Q(y). Entonces tenemos en lavecindad de −→a valores positivos y negativos de f. por lo tanto f tiene un puntosilla en −→a .
2.7.10. Criterio para determinar extremos de funcionesde dos variables
Teorema 2.7.10 [Condiciones suficientes para los extremos] Supón-gase que f(x, y) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad
de −→a y que ∇f(−→a ) = 0. Sea A =∂2f(−→a )
∂x2, B =
∂2f(−→a )
∂x∂y, C =
∂2f(−→a )
∂y2y
H(−→a ) =
[
A BB D
]
y D = det(H(−→a )). Entonces
1. Si D > 0 y∂2f(−→a )
∂x2> 0, entonces tiene un mínimo relativo en −→a .
2. Si D > 0 y∂2f(−→a )
∂x2< 0, entonces tiene un máximo relativo en −→a .
3. Si Si D < 0, entonces tiene un punto silla en −→a .
4. Si D = 0, el criterio no decide nada.
84
Demostración. Para calcular los valores propios de la matriz Hessiana, hal-lamos la ecuación característica det(λI − H(−→a )) = 0, teniendo la ecuación enλ,
λ2 − (A + C)λ + D = 0
donde D = det(H(−→a )). Los valores propios λ1 y λ2 están ligados por la relación
λ1 + λ2 = A + C y λ1λ2 = D.
Claramente si D > 0 entonces ambos valores propios son positivos o negativos.Como D = AC − B2 y D > 0 entonces AC > B2 ≥ 0. Entonces A y C tienenel mismo signo. Por lo tanto si A es positivo entonces C es positivo y estoimplicaríáa que λ1 y λ2 serían positivos y por lo tanto −→a es un punto mínimode f. Similarmente si A es negativo entonces C es negativo y esto implicaría queλ1 y λ2 serían negativos y por lo tanto −→a es un punto máximo de f. En formasimilar se demuestra (3). D < 0, entonces los valores propios de H(a)serían designo opuesto y por lo tanto f tiene un punto silla en −→a .
2.7.11. Ley de la conservación de la energía. Campos con-servativos
Definición 2.7.11 Sea U un abierto de <n. Un campo vectorial sobre U,se dice que es un campo conservativo si existe una campo escalar ϕ talque−→F = −∇ϕ. A la función ϕ se le llama energíá potencial
Supongamos que una partícula de masa m se desplaza a lo largo de una curva
derivable−−→r(t) y supongamos que la partícula cumple la segunda ley de Newton:
F (−−→r(t)) = m
−−−→r′′(t)
para todo t donde−−→r(t) esté definido. Por ser
−→F un campo conservativo tenemos
que
F (X) = m−−−→r′′(t) = −∇ϕ(
−−→r(t)) =⇒ m
−−−→r′′(t) + ∇ϕ(
−−→r(t)) = 0.
Multiplicando escalarmente esta última ecuación tenemos que
m−−−→r′′(t) ·
−−→r′(t) + ∇ϕ(
−−→r(t)) ·
−−→r′(t) = 0
Observando que1
2m
dv2(t)
dt= m
−−−→r′′(t) ·
−−→r′(t)
y
dϕ(−−→r′(t))
dt= ∇ϕ(
−−→r(t)) ·
−−→r′(t),
85
tenemos qued
dt
(
1
2mv2(t) + ϕ(
−−→r′(t))
)
= 0
De lo cual concluimos que la función 12mv2(t) + ϕ(
−−→r′(t)) es una constante.
Este resultado se conoce como la ley de la conservación de la energía.
La función 12mv2(t) se le llama la energía cinética y a la función ϕ(
−−→r′(t))
energía potencia. Por lo tanto la ley de la conservación dice que la suma dela energía cinética y potencial es una constante.
Observemos que si el dominio de definición de la curva es [a, b] , tenemos porla ley de la conservación de la energía que
1
2mv2(b) + ϕ(
−−→r′(b)) =
1
2mv2(a) + ϕ(
−−→r′(a))
O sea que la diferencia de la energía cinética es igual a la diferencia de la energíapotencial, esto es
1
2mv2(b) − 1
2mv2(a) = ϕ(
−−→r′(a)) − ϕ(
−−→r′(b))
La mayor parte de los campos de la física clásica son conservativos.Por ejem-plo consideremos una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado dela distancia del punto al origen y que tiene la dirección del vector posición.Entonces existe una constante C tal que
−→F (−→x ) = C
1
‖−→x ‖2
−→x‖−→x ‖
ya que−→x
‖−→x ‖ es un vector unitario en la dirección de −→x . Así
−→F (−→x ) = C
1
‖−→x ‖3−→x .
Una función potencial para F es dada por
ϕ(−→x ) = − C
||−→x ||
lo cual puede demostrarse calculando las derivadas parciales.
86
Capítulo 3
Integrales Múltiples
3.1. Integrales Dobles
Vamos a considerar una función de dos variables f : S ⊂ R2 → R. Subdivi-damos la región S en N subregiones S1, S2, ....SN donde cada una de ellas estáacotada por una curva simple cerrada suave a trozos y de área ∆Ak = área(Sk).en donde (xk, yk) es cualquier punto en la subregión Sk.
Denotemos por dk el diámetro de la región Sk ( la mayor distancia entre dospuntos cualesquiera en Sk) y por norma de la partición
||P || = max1≤k≤Ndk.
Formemos la sumaN∑
k=1
f(xk, yk)∆Ak
87
Definición 3.1.1 .Definimos la integral doble de f sobre S, denotada por∫ ∫
S f(x, y)dA ó∫ ∫
S f(x, y)dxdycomo
∫ ∫
S
f(x, y)dA = lim||P ||→0
N∑
k=1
f(xk, yk)∆Ak
si el límite existe y es independiente de las particiones Sk y de los puntos(xk, yk).
Puede mostrarse que si f es acotada y continua en S, f será integrable, es decirla integral existe.
Nota. Frecuentemente se subdivide S mediante rectas paralelas a los ejes co-ordenados. Puede darse el caso donde hayan subregiones no rectangulares. Sinembargo la partición puede hacerse tan fina que estas subregiones pueden des-preciarse y puede mostrarse que la suma de estas regiones es despreciable. Eneste caso el área de cada subrectángulo es ∆xi∆yj y se tiene que
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy = lim||P ||→0
n∑
i=1
m∑
j=1
f(xi, yj)∆xi∆yj
Observemos que hemos reemplazado dA por el símbolo dxdy.
Nota. Si f(x, y) = 1 tenemos que
Área(S) =
∫ ∫
S
dA =
∫ ∫
S
dxdy
3.1.1. Propiedades de la Integral doble
Se puede demostrar que la integral cumple las mismas propiedades de la inte-gral unidimensional como son:
1.∫ ∫
S [c1f(x, y)+c2g(x, y)]dxdy = c1
∫ ∫
S f(x, y)dxdy+c2
∫ ∫
S g(x, y)dxdy
2. Si S = S1 ∪ S2 y S1 ∩ S2 = φ, entonces∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
S1
f(x, y)dxdy +
∫ ∫
S2
f(x, y)dxdy
88
3. si f ≤ g entonces
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy ≤∫ ∫
S
g(x, y)dxdy
En particular si f ≥ 0 entonces
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy ≥ 0
El siguiente teorema nos permite calcular las integrales de funciones continuasen términos de las integrales unidimensionales en el rectángulo S = [a, b]× [c, d]
Teorema 3.1.1 Sea f : S = [a, b] × [c, d] → R. Si f es continua entonces
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
(
∫ d
c
f(x, y)dy
)
dx =
∫ d
c
(
∫ b
a
f(x, y)dx
)
dy
Nota. Esta forma de calcular la integral doble se le llama cálculo de la integraldoble en forma iterada.
3.1.2. Integración en regiones más generales
Consideraremos dos tipos de regiones.
Región tipo I.
Está descrita por el conjunto
S = (x, y) : a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)
esto es, la región acotada a izquierda y derecha por líneas rectas y arriba yabajo por las funciones φ2(x) y φ1(x) como se muestra en la figura abajo.
89
En este caso las integrales iteradas toman la forma
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
(
∫ φ2(x)
φ1(x)
f(x, y)dy
)
dx
Región tipo II.
Está descrita por el conjunto
S = (x, y) : c ≤ y ≤ d, φ1(y) ≤ x ≤ φ2(y)
esto es, la región acotada arriba y abajo por lineas rectas horizontales y aizquierda y a derecha por las funciones φ1(y) y φ2(y) como se ve esquematizadoen la gráfica abajo.
90
En este caso, las integrales iteradas toman la forma
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ d
c
(
∫ φ2(y)
φ1(y)
f(x, y)dx
)
dy
Una región puede ser al mismo tiempo de tipo I ó tipo II. Por ejemplo, la regiónque se muestra en la figura abajo.
De tipo I se describe en la forma
S =
(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x
y de tipo II en la forma
S = (x, y) : y ≤ x ≤ √y, 0 ≤ y ≤ 1
3.1.3. Cálculo de integrales dobles: áreas y volúmenes.
1. Sea S = (x, y) : a ≤ x ≤ b φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x). Si hacemos f(x, y) = 1 paratodo (x, y) ∈ S tenemos que
∫ ∫
S
dxdy =
∫ b
a
[
∫ φ2(x)
φ1(x)
dy]dx =
∫ b
a
[y|φ2(x)φ1(x)]dx =
∫ b
a
[φ2(x) − φ1(x)]dx
Así, el área de S está dada por∫ ∫
S dxdy.2. Sea f > 0 y continua en S. Supongamos que S es de tipo I y consideremosel sólido limitado por la gráfica de z = f(x, y) y por la región S. Claramente
∫ φ2(x)
φ1(x)
f(x, y)dy
representa el área de la sección transversal que se obtiene al cortar el sólidopor un plano paralelo al plano yz. (Ver figura).
91
Por lo tanto podemos definir el volumen del sólido como
V ol(Sol) =
∫ b
a
[
∫ φ2(x)
φ1(x)
f(x, y)dy]dx =
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy
El mismo razonamiento para regiones de tipo II. En general si f(x, y) ≤ g(x, y)la integral
∫ ∫
S
[g(x, y) − f(x, y)]dxdy
representa el volumen del sólido limitado entre las dos superficies.
Ejemplo 3.1.1 Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera
x2 + y2 + z2 = R2
Solución. El sólido está comprendido entre las gráficas de z = f(x, y) =√
R2 − x2 − y2 y z = g(x, y) = −√
R2 − x2 − y2. La región S =
(x, y) : x2 + y2 ≤ R2.
V ol (V ) =∫ ∫
S [f(x, y) − g(x, y)]dxdy = 2∫ ∫
S f(x, y)dxdy
= 8∫ R
0 [∫
√R2−x2
0
√
R2 − x2 − y2dy]dx
Hagamos A =√
R2 − x2 o sea A2 = R2 − x2 por lo tanto√
r2 − x2 − y2 =√
A2 − y2 = A√
1 − ( yA )2. Si hacemos el cambio de variable y = asenθ en-
92
tonces dy = a cos θdθ y obtenemos
V ol(V ) = 2
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy
= 8
∫ R
0
[
∫
√R2−x2
0
√
R2 − x2 − y2dy
]
dx = 8
∫ R
0
[
∫
√R2−x2
0
√
A2 − y2dy
]
dx
= 8
∫ R
0
[
∫ π/2
0
A2√
1 − sen2θ cos θdθ
]
dx
= 8
∫ R
0
[
∫ π
0
A2 cos2 θdθ]dx = 8
R∫
0
A2
π/2∫
0
1 − cos 2θ
2=
1
2θ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
π/2
0
dx
= 8
∫ R
0
π
4A2dx = 8
π
4
∫ R
0
(R2 − x2)dx
= 2π (R2x − x3
3)
∣
∣
∣
∣
R
0
= 2π(R3 − R3
3) = 2π
2
3R3 =
4
3πR3.
Ejemplo 3.1.2 . Dibujemos la región de integración de∫ 1
0
[
∫ x
x2
f(x, y)dy]dx
La región de integración está dada por
S = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x
Observemos que la región S puede ser descrita por
S = (x, y) : y ≤ x ≤ √y, 0 ≤ x ≤ 1
Así, la integral la podemos escribir como∫ 1
0
[
∫ x
x2
f(x, y)dy]dx =
∫ 1
0
[
∫
√y
y
f(x, y)dx]dy
93
A este cambio en los limites de integración se le conoce como cambio en el ordende integración (invertir el orden de integración), lo que puede hacerse cuandola región es de los dos tipos al mismo tiempo. Muchas veces integrales que nopodemos calcular en un orden determinado, podemos resolverla invirtiendo suorden como se puede ver en el ejemplo a continuación:
Ejemplo 3.1.3 Evaluar la integral∫ 6
0
[
∫ 2
x/3
x√
y3 + 1dy]dx
La región de integración es de tipo I:
S = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 6, x/3 ≤ y ≤ 2
Observemos que la integral√
y3 + 1 no tiene antiderivada elemental. Como Stambién es de tipo II, podemos invertir el orden de integración y obtenemos ladescripción
S = (x, y) : 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 3yAsí la integral la podemos expresar como∫ 6
0
[
∫ 2
x/3
x√
y3 + 1dy]dx =
∫ 2
0
[
∫ 3y
0
x√
y3 + 1dx]dy =
∫ 2
0
√
y3 + 1[
∫ 3y
0
xdx]dy
=
∫ 2
0
√
y3 + 1[x2
2|3y0 ]dy =
∫ 2
0
9
2y2√
y3 + 1dy
= (y3 + 1)3/2∣
∣
∣
2
0= 27 − 1 = 26
94
3.1.4. Cambio de variable
En el caso de la integral de una variable, el método de sustitución nos permitíatransformar la integral a una integral más simple. Recordemos que si tenemosque resolver la integral
∫ b
a f(x)dx y hacemos un cambio de variable x = g(t)de tal manera que la función sea diferenciarle, tenemos que dx = g′(t)dt y elcambio de variable lo escribimos como
∫ b
a
f(x)dx =
∫ g−1(b)
g−1(a)
f(g(t))g′(t)dt
En el caso de dos dimensiones tenemos un resultado similar. Sin entrar en mu-chos detalles, consideremos un campo vectorial T : R2 → R2 que transforma unconjunto cerrado U en un conjunto Ω, esto es T : U → Ω es uno a uno y sobre.Denotando T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) y asumiendo que T es diferenciable, di-remos que T define un cambio de variables de las variables (u, v) a las variables(x, y). Escribiendo x = x(u, v), y = y(u, v) consideramos la matriz
∂(x, y)
∂(u, v)= [∇x∇y] =
[
∂x∂u
∂y∂u
∂x∂v
∂y∂v
]
llamada matriz Jacobiana, que jugará un papel importante más adelante. Su
determinante es llamado el Jacobiano de T , denotado JT (u, v) ó det(
∂(x,y)∂(u,v)
)
.
Ejemplo 3.1.4 (Coordenadas Polares) Recordemos que otro sistema de coor-denadas en el plano además de las coordenadas cartesianas (x, y) de un punto
P son las coordenadas polares del punto P definidas por (r, θ) donde r =∥
∥
∥
−−→OP∥
∥
∥,
distancia del origen al punto P y θ es el ángulo entre el vector−−→OP y el eje x,
medido en el sentido positivo ( o dirección contraria a las manecillas del reloj)desde 0 a 2π. Esto es
r =√
x2 + y2
y hallamos θ tal que
tan θ =y
x,
donde si y > 0, entonces θ se toma 0 ≤ θ ≤ π y si y < 0, entonces θ se tomaπ < θ ≤ 2π. Si x = 0 y y > 0 se toma θ = π
2 . Si x = 0 y y < 0 se tomaθ = 3π
2 . Recíprocamente si un punto P está dado en coordenadas polares (r, θ),entonces las coordenadas cartesianas de P (x, y) están dadas por
x = r cos θ
y = rsenθ.
95
Observemos que también podríamos escoger en lugar del intervalo [0, 2π) paralos valores de θ, cualquier intervalo de longitud 2π. Otro intervalo que se utilizatambién es el intervalo (−π, π) .
Definamos la función
(x, y) = T (r, θ) = (r cos θ, rsenθ)
como un cambio de coordenadas polares a las coordenadas cartesianas. Ob-servemos que en este caso la matriz Jacobiana está dada por
∂(x, y)
∂(r, θ)=
[
cos θ sen θ−rsen θ r cos θ
]
y su Jacobiano está dado por J = det
([
cos θ sen θ−rsen θ r cos θ
])
= r.
La función T transforma regiones rectangulares en el plano r − θ en regionescirculares en el plano x − y.
Ejemplo 3.1.5 La región rectangular para a > 0
U = (r, θ) : 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ < 2π
se transforma en la región
S = Br(a) =
(x, y) : x2 + y2 ≤ a2
.
Ejemplo 3.1.6 La región rectangular para a > 0
U = (r, θ) : a ≤ r ≤ b, 0 ≤ θ < 2π
se transforma en la región
S = Br(a) =
(x, y) : a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2
.
96
3.1.4.1. La fórmula del cambio de variable
Consideremos el cambio de variable
x = h1(u, v)y = h2(u, v)
(u, v) ∈ U
donde asumimos que las funciones h1, h2 son campos escalares continuos ydiferenciables y tal que a cada punto (x, y) ∈ S está en correspondencia 1-1con los puntos (u, v) de U y además la curva que limita a U se envía en lacurva que limita a S. Esto lo podemos definir más concretamente definiendoel campo vectorial
−→F : U → S dado por
−→F (u, v) = (h1(u, v), h2(u, v))
tal que−→F es un campo invertible es decir existe
−→F −1 : S → U.
Si particionamos la región U en rectángulos pequeños de longitud ∆u, ∆v, lasimágenes de estos rectángulos serán pequeños paralelogramos curvilíneos en laregión S.
97
En la gráfica abajo vemos un zoom de este pequeño rectángulo y su correspon-diente imagen curvilínea.
Al rectángulo Ti,j en el plano uv le corresponde la región curvilínea Ri,j en elplano xy. Hallemos la relación entre el área del rectángulo Ti,j con el área deRi,j .
Área de Ti,j = A(Ti,j .) = ∆u∆v
Área a de Ri,j = A(Ri,j) ≈∥
∥
∥
−−−→Q1Q2 ×
−−−→Q1Q4
∥
∥
∥
Calculando aproximadamente las coordenadas de los puntos Q1, Q2, Q4 usandodiferenciales y teniendo en cuenta que P1 = (u, v), P2 = (u + ∆u, v), P4 =(u, v + ∆v) y
Q1 = (x1, y1) =−→F (u, v) = (h1(u, v), h2(u, v))
Q2 = (x2, y2) =−→F (u + ∆u, v) = (h1(u + ∆u, v), h2(u + ∆u, v))
Q4 = (x4, y4) =−→F (u, v + ∆v) = (h1(u, v + ∆v), h2(u, v + ∆v))
Usando diferenciales, (ver sección 2.3.4), los puntos x2, y2 los podemos aproxi-mar por
x2 = h1(u + ∆u, v) ≈ h1(u, v) +∂h1
∂u(u, v)∆u = x1 +
∂h1
∂u(u, v)∆u
y2 = h2(u + ∆u, v) ≈ h2(u, v) +∂h2
∂u(u, v)∆u = y1 +
∂h2
∂u(u, v)∆u
Así
Q2 ≈ (x1 +∂h1
∂u(u, v)∆u, y1 +
∂h2
∂u(u, v)∆u)
98
Haciendo lo mismo con el punto Q4 tenemos
Q4 ≈ (x1 +∂h1
∂v(u, v)∆v, y1 +
∂h2
∂v(u, v)∆v).
Ahora
−−−→Q1Q2 = Q2 − Q1 ≈
(
∂h1
∂u(u, v)∆u,
∂h2
∂u(u, v)∆u
)
−−−→Q1Q4 = Q4 − Q1 ≈
(
∂h1
∂v(u, v)∆v,
∂h2
∂v(u, v)∆v
)
y−−−→Q1Q2 ×
−−−→Q1Q4 ≈ ∆u∆v
∣
∣
∣
∣
∂h1
∂u∂h1
∂v∂h2
∂u∂h2
∂v
∣
∣
∣
∣
−→k .
Denotemos este determinante por
J(u, v) =
∣
∣
∣
∣
∂h1
∂u∂h1
∂v∂h2
∂u∂h2
∂v
∣
∣
∣
∣
.
Es llamado el Jacobiano del cambio de variable.Ahora, el área
Área a de Ri,j = area(Ri,j) ≈∥
∥
∥
−−−→Q1Q2 ×
−−−→Q1Q4
∥
∥
∥
≈ ∆u∆v |J(u, v)| = |J(u, v)| area(Tij)
Para calcular∫ ∫
S
f(x, y)dxdy tenemos que∫ ∫
S
f(x, y)dxdy ≈∑∑
f(xi, yj).(area(Ri,j)) ≈
≈∑∑
f(h1(ui, vj), h2(ui, vj)) |J(u, v)| area(Tij)
Tomando el límite cuando ∆u, ∆v → 0 se tiene que∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
U
f(h1(u, v), h2(u, v))|J(u, v)|dudv
Esta fórmula es conocida como la fórmula de cambio de variable para las inte-grales dobles.
Ejemplo 3.1.7 En coordenadas polares tenemos
x = r cos θ, y = rsenθ
99
En este ejemplo r, θ hacen el papel de las variables u, v. Si r > 0 y 0 ≤ θ ≤ 2πtenemos una aplicación 1-1 y sobre. El Jacobiano de la transformación estádado por
J(r, θ) =∂(x, y)
∂(r, θ)= |∇x ∇y| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos θ sen θ
−rsen θ r cos θ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= r
entonces en el cambio a coordenadas polares tenemos que
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
T
f(r cos θ, rsenθ)rdrdθ.
Ejemplo 3.1.8 Calcular
∫ ∫
S
√
a2 − x2 − y2dxdy
donde S =
(x, y); 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤√
a2 − x2
. Al hacer el cambio a coor-denadas polares, tenemos que la región T que se transforma en S por dichocambio es T = (r, θ) : 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π/2y la integral se transforma en
∫ ∫
T
√
a2 − r2rdrdθ =
∫ a
0
[
∫ π/2
0
√
a2 − r2rdθ]dr = π/2
∫ a
0
√
a2 − r2rdr
= π/2−(a2 − r2)3/2
3
∣
∣
∣
∣
a
0
=π
6a3
Si multiplicamos este resultado por 8 obtenemos el volumen de la bola igual a4
3πa3.
Ejemplo 3.1.9 Calcular
∫ ∫
S
ey−xy+x dxdy
donde S es la región limitada por la recta x + y = 2 y los ejes coordenados.Definamos el cambio de variable u = y − x y v = y + x. Resolviendo para x yy obtenemos x = v−u
2 y y = u+v2 (ver figura)
100
Hallando el Jacobiano tenemos que J(u, v) = 1/2 Así la integral la podemosresolver en la forma∫ ∫
S
ey−xy+x dxdy =
∫ ∫
T
euv
1
2dudv =
1
2
∫ 2
0
∫ v
−v
euv dudv =
1
2
∫ 2
0
veuv |v−vdv
=1
2
∫ 2
0
v(e − 1
e)dv = e − 1
e
3.2. Integrales Triples
La definición de la integral doble se puede generalizar casi sin cambios a n-dimensiones, en particular, para n = 3, si f es continua definida en una regiónV del espacio R3 acotada por una superficie cerrada tenemos que
∫ ∫ ∫
V
(x, y, z)dV = lim||P ||→0
N∑
k=1
f(xk, yk, zk)∆Vk
En donde ∆Vk representa el volumen de cada subregión Vk del sólido V. Comoen el caso de integrales dobles a veces se usa en lugar de dV el símbolo dxdydz.El siguiente teorema nos permite calcular las integrales de funciones continuasen términos de las integrales unidimensionales en el cubo V = [a, b] × [c, d] ×[e, f ].
Teorema 3.2.1 Sea f : V = [a, b]×[c, d]×[e, f ] → R. Si fes continua, entonces
∫∫∫
V
f(x, y, z)dV =
∫ b
a
(
∫ d
c
(
∫ f
e
f(x, y, z)dz
)
dy
)
dx.
Nota. En este teorema en particular, no importa el orden en el cual in-tegremos, es decir, la integral triple puede calcularse también en el orden∫ b
a
(
∫ f
e
(
∫ d
cf(x, y, z)dy
)
dz)
dx ó en cualquier otro.
101
3.2.1. Regiones más generales
Consideraremos tres tipos de regiones:
Región tipo I
Si el volumen V está limitado entre dos superficies z = z1(x, y), z = z2(x, y)con z1(x, y) ≤ z2(x, y) y S es la proyección de dicho volumen al plano xy.
Entonces la integral se calcula en la forma
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫
S
(
∫ z2(x,y)
z1(x,y)
f(x, y, z)dz
)
dA.
Región tipo II
Si el volumen V está limitado entre dos superficies y = y1(x, z), y = y2(x, z)con y1(x, z) ≤ y2(x, z) y S es la proyección de dicho volumen al plano xz.
102
Entonces la integral se calcula en la forma
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫
S
(
∫ y1(x,z)
y1(x,z)
f(x, y, z)dy
)
dA.
Región tipo III
Si el volumen V está limitado entre dos superficies x = x1(y, z), x = x2(y, z)con x1(y, z) ≤ x2(y, z) y S es la proyección de dicho volumen al plano yz.
Entonces la integral se calcula en la forma
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫
S
(
∫ x1(y,z)
x1(y,z)
f(x, y, z)dx
)
dA.
Nota . El volumen de la región V está dado por
Volumen(V ) =
∫ ∫ ∫
V
dV =
∫ ∫ ∫
V
dxdydz
Nota . La integral doble sobre S que aparece en el cálculo de la integral triple,se calcula como vimos anteriormente, viendo si S es de tipo I ó tipo II. Porejemplo, si V es de tipo I y S es también de tipo I, se tendría la integral iterada
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ z2(x,y)
z1(x,y)
f(x, y, z)dxdydz.
Ejemplo 3.2.1 Hallar la integral∫ ∫ ∫
V
xydxdydz
donde V es el dominio limitado por los planos x + y + z = 1, el plano xy, y elplano xz. Consideremos un bosquejo de este volumen y su proyección sobre elplano xy.
103
Claramente podemos observar que la variable z está limitada por 0 ≤ z ≤ 1−x−y. La proyección S está definida por S = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x.Así, la integral triple la calculamos así:
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−x−y
0
xydzdydx
=
∫ 1
0
∫ 1−x
0
xy(1 − x − y)dydx
=
∫ 1
0
(1/6)x(1 − x)3dx =1
120
3.2.2. Cambio de variable en integrales triples.
Dado un cambio de variables x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), aun punto P (u, v, w) del espacio uvw le corresponde un punto del espacio xyz,es decir el sistema de ecuaciones establece una correspondencia 1-1 entre lospuntos de ambos espacios. Un dominio V en el espacio uvw se correspondebiunívocamente con un volumen T en el espacio xyz. La siguiente es la fórmuladel cambio de variable:
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz
=
∫ ∫ ∫
T
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J(u, v, w)|dudvdw
donde J(u, v, w) = ∂(x,y,z)∂(u,v,w) = |∇x ∇y ∇z|.
Nota. Claramente si f = 1 entonces∫ ∫ ∫
V
dxdydz =
∫ ∫ ∫
T
|J(u, v, w)|dudvdw
lo que implica que el |J(u, v, w)| es la razón de proporción entre el volumen Vy el volumen T .Ahora estudiaremos algunos cambios de variable importantes.
104
3.2.2.1. Coordenadas cilíndricas.
Consideremos el sistema de coordenadas (r, θ, z) como se muestra en la figura
Estas coordenadas están ligadas a las coordenadas (x, y, z) mediante las ecua-ciones dadas por
x = r cos θ, y = rsenθ, z = z
Las coordenadas (r, θ, z) se llaman coordenadas cilíndricas del punto P ya quex2 + y2 = r2.De este sistema de ecuaciones tenemos que el Jacobiano está dado por
J(r, θ, z) = |∇x∇y∇z| = r
y la fórmula del cambio de variable se expresa en la forma
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫
T
f(r cos θ, rsenθ, z)rdrdθdz
Ejemplo 3.2.2 Calcule la integral
∫ ∫ ∫
(x2 + y2)dxdydz
donde V es el volumen limitado por el casquete superior de la esfera x2 + y2 +z2 = 4 y cortada por el cilindro x2 + y2 = 1.
105
Utilizando coordenadas cilíndricas tenemos que este volumen puede verse como
T = (r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤√
4 − r2
Por lo tanto la integral está dada por
∫ ∫ ∫
(x2 + y2)dxdydz =
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫
√4−r2
0
r2rdzdrdθ
=
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫
√4−r2
0
r3dzdrdθ
=
∫ 2π
0
[
∫ 1
0
r2√
4 − r2dr]dθ = 2π(64
15− 11
√3
5).
3.2.2.2. Coordenadas esféricas.
Las coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) son las indicadas en la figura
y están ligadas con las coordenadas cartesianas mediante las siguientes ecua-ciones
106
x = ρ cos θ sen ϕ, y = ρ sen θ senϕ, z = ρ cosϕ,
con
0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ a
En coordenadas esféricas, la esfera de radio a tiene ecuación ρ = a. El Jacobianoen coordenadas esféricas está dado por
J(ρ, θ, ϕ) = |∇x∇y∇z| = −ρ2senϕ
y la formula del cambio de variable toma la forma
∫ ∫ ∫
V
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫
T
f(ρ cos θ sen ϕ, ρ sen θ senϕ, ρ cosϕ)ρ2sen ϕdρ dθ dϕ
Ejemplo 3.2.3 Hallar el volumen de la parte del cono z =√
x2 + y2 inter-sectada por la esfera x2 + y2 + z2 = a2.
V ol =
∫ ∫ ∫
V
dxdydz =
∫ ∫ ∫
T
ρ2senφdρ dθ dϕ
donde T = (ρ, θ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π/4 entonces
V ol =
∫ 2π
0
∫ a
0
∫ π/4
0
ρ2senϕdϕdρ dθ = 2π(a3
3(1 −
√2
2) =
2 −√
2
3πa3.
3.3. Aplicaciones de las integrales múltiples.
3.3.1. Momentos y centros de masa.
Nuestro objetivo es hallar el punto P en que una lámina plana delgada seequilibra horizontalmente. Este punto se llama centro de masa (o centro de
107
gravedad) de la placa. Vamos a suponer inicialmente que tenemos dos masasm1 y m2 ubicadas sobre una varilla de masa despreciable en los lados opuestosde un fulcro (de un balancín) y a una distancia d1 y d2 respectivamente. Deacuerdo al principio de Arquímedes, la varilla se equilibra si
m1 d1 = m2d2
Si suponemos que la varilla coincide con el eje x, con m1 y m2 ubicadas en x1
y x2 respectivamente (x1 < x2). Supongamos que queremos hallar su centro demasa, x. Claramente d1 = x − x1 y d2 = x2 − x, y por consiguiente
m1 (x − x1) = m2 (x2 − x)
m1x + m2x = m1x1 + m2x2
x =m1x1 + m2x2
m1 + m2
Los números m1x1y m2x2 se conocen como momentos de las masa m1 y m2
( con respecto al origen). Es claro que el centro de masa se obtiene de sumarlos momentos y de dividir por la masa total m = m1 + m2.
En general si tenemos un sistema de n partículas con masa m1, m2, ..., mn
ubicadas en los puntos x1, x2, ..., xn sobre el eje x., se puede demostrar que elcentro de masa del sistema está en
x =m1x1 + m2x2 + ... + mnxn
m1 + m2 + ... + mn=
n∑
k=1
mkxk
n∑
k=1
mk
=
n∑
k=1
mkxk
m,
108
donde m =n∑
k=1
mk la la masa total del sistema y la suma de los momentos
M =n∑
k=1
mkxk se llama el momento del sistema respecto al origen. Observemos
que en este caso podemos escribir mx = M, lo cual significa que si la masa totalse concentra en el sistema en el centro de masa x, entonces su momento seríael mismo que el momento del sistema.
Generalizando al plano xy, consideremos n partículas con masa m1, m2, ..., mn
ubicadas en los puntos (x1, y1), (x2, y2)..., (xn, yn). Por analogía con el casounidimensional podemos definir el centro de masa de coordenadas (x, y) porlas fórmulas
x =
n∑
k=1
mkxk
my =
n∑
k=1
mkyk
m.
Si escribimos My =n∑
k=1
mkxk, y Mx =n∑
k=1
mkyk, diremos que My es el
momento del sistema respecto al eje y y mide la tendencia del sistema agirar sobre el eje y y Mx es el momento del sistema respecto al eje x ymide la tendencia del sistema a girar sobre el eje x.
Observemos que mx = My y my = Mx, lo cual implica que
m(x, y) = (My, Mx)
3.3.2. Densidad y masa.
Supongamos que tenemos una lamina delgada ocupa una región plana S. Subdi-vidamos la región S en N subregiones S1, S2, ....SN donde cada una de ellas estáacotada por una curva simple cerrada suave a trozos y de área ∆Ak = area(Sk).en donde (xk, yk) es cualquier punto en la subregión Sk. Denotemos por dk eldiámetro de la región Sk ( la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera enSk) y por norma de la partición definiremos
||P || = max1≤k≤Ndk.
109
Definimos la densidad ρ(x, y) (en unidades de masa por unidad de área) encada punto (x, y). por
ρ(x, y) = lım||P ||→0
∆m
∆A
donde ∆m y ∆A son la masa y el área de una de las subregiones de S quecontiene a (x, y). La masa total m de la lámina la podemos aproximar por
m ≈N∑
k=1
ρ(xk, yk)∆Ak
Por lo tanto podemos definir la masa total de la lámina como
m = lım||P ||→0
N∑
k=1
ρ(xk, yk)∆Ak =
∫ ∫
S
ρ(x, y)dxdy
( en el caso que el límite exista).
En la misma forma como definimos la masa podemos hablar de la cantidadtotal de carga eléctrica que se distribuye a través de una región plana S siconocemos la densidad de carga σ(x, y) (en unidades de carga por unidad deárea) en el punto (x, y), entonces la carga total está dada por
Q =
∫ ∫
S
σ(x, y)dxdy
Para buscar en centro de masa de la lámina S, (x, y) observemos que podemosaproximar los momentos del sistema por
My ≈n∑
k=1
mkxk ≈n∑
k=1
ρ(xk, yk)∆Akxk =
n∑
k=1
xkρ(xk, yk)∆Ak,
Mx ≈n∑
k=1
mkyk ≈n∑
k=1
ρ(xk, yk)∆Akyk =n∑
k=1
ykρ(xk, yk)∆Ak.
110
Así podemos definir los momentos del sistema como
My = lım||P ||→0
n∑
k=1
xkρ(xk, yk)∆Ak =
∫ ∫
S
xρ(x, y)dxdy
Mx = lım||P ||→0
n∑
k=1
ykρ(xk, yk)∆Ak =
∫ ∫
S
yρ(x, y)dxdy
Por lo tanto el centro de masa está dado por
x =My
m=
1
m
∫ ∫
S
xρ(x, y)dxdy y y =Mx
m=
1
m
∫ ∫
S
yρ(x, y)dxdy
donde
m =
∫ ∫
S
ρ(x, y)dxdy
En el caso que la densidad sea constante llamaremos al centro de masa cen-troide.
Ejemplo 3.3.1 Si la densidad de una lámina semicircular es proporcional a ladistancia desde el centro del círculo. Determine el centro de masa de la lámina.Solución. Si consideramos la lámina como la mitad de círculo x2+y2 ≤ a2. Ladistancia desde un punto (x, y) del círculo al origen está dada por
√
x2 + y2.
Por lo tanto la densidad está dada por ρ(x, y) = K√
x2 + y2, donde K es unaconstante de proporcionalidad. Así, la masa está dada por
m =
∫ ∫
S
K√
x2 + y2dxdy
Para calcular esta integral hacemos un cambio de variable a coordenadas po-lares. En este caso la región estaría dada por 0 ≤ r ≤ a y 0 ≤ θ ≤ π, y estaintegral sería
m =
∫ ∫
S
K√
x2 + y2dxdy = K
∫ π
0
∫ a
0
r rdrdθ
= K
∫ π
0
dθ
∫ a
0
r2dr = Kπr3
3
∣
∣
∣
∣
a
0
=Kπa3
3.
Puesto que la lámina y la función de densidad es simétrica respecto al eje y, elcentro de masa está sobre el eje y, esto es x = 0. Puesto que
111
y =1
m
∫ ∫
S
yρ(x, y)dxdy =3
Kπa3
∫ ∫
S
yK√
x2 + y2dxdy
=3
πa3
∫ ∫
S
y√
x2 + y2dxdy =3
πa3
∫ π
0
∫ a
0
rsen θ r rdrdθ
=3
πa3
∫ π
0
sen θdθ
∫ a
0
r3dr =3
πa3− cos θ|π0
r4
4
∣
∣
∣
∣
a
0
=3
πa32a4
4=
3a
2π.
3.3.3. Momento de Inercia.
Recordemos del Capítulo I que el movimiento rectilíneo se caracteriza por queel vector velocidad y la aceleración son vectores colineales.
El vector velocidad es dado por−−→v(t) = d−→x
dt y la aceleración es−−→a(t) = d
−→2x
dt2 . Lafuerza relacionada con la aceleración según la ley de Newton está dada por
−→F = m−→a o −→a =
1
m
−→F .
Como se muestra en la segunda fórmula, la fuerza es directamente proporcionala la fuerza pero inversamente proporcional a la masa. Por lo tanto podemospensar en la masa m de la partícula, como una medida de su capacidad pararesistir la aceleración, por que si la fuerza es la misma y m aumenta, entonces−→a disminuye.
Consideremos ahora el caso de una partícula de masa m que gira alrededor deun eje fijo
112
Recordemos que el vector posición está dado por
−−→r(t) = r(cos θ(t), sen θ(t))
Sea w = dθdt la velocidad angular (no se supones constante) y α = d2θ
dt2 laaceleración angular. Los vector velocidad y aceleración están dados por
−−→v(t) = r
dθ
dt(−sen θ(t), cos θ(t)) = rw(−sen θ(t), cos θ(t))
y
−−→a(t) = r
d2θ
dt2(−sen θ(t), cos θ(t))+r
dθ
dt(− cos θ(t),−sen θ(t) = aT
−−→T (t)+aN
−−→N(t)
dondeaT = rα y aN = rw.
Puesto que la fuerza es un vector dado por−−→F (t) = m
−−→a(t) tenemos que
−−→F (t) =
−→FT +
−→FN = maT
−−→T (t) + maN
−−→N(t).
Así la fuerza tangencial está dada por
−→FT = maT
−−→T (t)
y la fuerza normal por
−→FN = maN
−−→N(t)
El efecto rotatorio de la fuerza tangencial se mide por de momento dado porT = ‖FT ‖ r que es dado por el producto de la magnitud de fuerza tangencialpor la distancia de su línea de acción al eje. entonces
T = maT r = mr2α
113
Si escribimos por
I = mr2
tenemos queT = Iα.
Esta constante de proporcionalidad I se le conoce con el nombre de momen-to de inercia (o segundo momento). I se considera que es la medida de lacapacidad del sistema para resistir la aceleración angular. (Observemos queα = T
I ).
Ampliamos el concepto de momento de inercia a una lámina con una funciónde densidad ρ(x, y) que ocupa una región S. Procediendo como hicimos paraestudiar el momento del sistema (o primer momento), considerando la particiónhecha a la región podemos definir el momento de inercia alrededor deleje x de la lámina como
Ix = lım||P ||→0
∑
||P ||→0
n∑
k=1
ρ(xk, yk)y2k∆Ak =
∫ ∫
S
y2ρ(x, y)dxdy
De manera similar,el momento de inercia alrededor del eje y de la láminacomo
Ix = lım||P ||→0
∑
||P ||→0
n∑
k=1
ρ(xk, yk)x2k∆Ak =
∫ ∫
S
x2ρ(x, y)dxdy
Otro momento de inercia que es interesante es el el momento de inerciaalrededor del origen, que se llama momento polar de inercia de lalámina como
Io = lım||P ||→0
n∑
k=1
mk
(
x2k + y2
k
)
= lım||P ||→0
n∑
k=1
ρ(xk, yk)(
x2k + y2
k
)
∆Ak
=
∫ ∫
S
(x2 + y2)ρ(x, y)dxdy = Ix + Iy.
Observemos que Io = Ix + Iy.
Ejemplo 3.3.2 Determine los momentos de inercia de Ix, Iy, Io de un discoD con centro en el origen y frontera x2 + y2 = a2 homogéneo con densidadρ(x, y) = ρ constante
Puesto que
114
Io =
∫ ∫
D
(x2 + y2)ρ(x, y)dxdy = ρ
∫ ∫
D
(x2 + y2)dxdy = ρ
∫ 2π
0
∫ a
0
r2 rdrdθ
= ρ
2π∫
0
dθ
a∫
0
r3dr = 2πρa4
4=
πρa4
2.
Debido a la simetría del problema Ix = Iy y esto nos permite calcular Ix y Iy,puesto que Io = Ix + Iy . Por lo tanto
Ix = ly =Io
2=
πρa4
4
Puesto que Io = πρa4
2 y la masa del disco es m = ρ(
πa2)
. Entonces Io = 12ma2.
Por lo tanto si incrementamos la masa o el radio, aumentamos el momento deinercia. El momento de inercia de una rueda es lo que dificultad comenzar elmovimiento de un automóvil o detenerlo.
Las definiciones de centro de masa, momentos y momentos de inercia se extien-den rápidamente al espacio. Si una región V es un cuerpo sólido de densidadvariable ρ(x, y, z) (=masa por unidad de volumen), la masa total está dada por
m =
∫ ∫ ∫
V
ρ(x, y, z)dV.
Los momentos respectos a los diversos planos coordenados están dados porMyz, Mxz, Mxy; y también las fórmulas para los momentos de inercia respectoa los diversos ejes, denotados por Ix, Iy y Iz. Estas fórmulas son
Myz =
∫ ∫ ∫
V
xρ(x, y, z)dxdydz,
Mxz =
∫ ∫ ∫
V
yρ(x, y, z)dxdydz,
Mxz =
∫ ∫ ∫
V
zρ(x, y, z)dxdydz
y
Ix =
∫ ∫ ∫
V
(y2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz,
Iy =
∫ ∫ ∫
V
(x2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz,
IZ =
∫ ∫ ∫
V
(x2 + y2)ρ(x, y, z)dxdydz.
115
Además, las ecuaciones
x =Myz
m, y =
Mxz
m, z =
Mxy
m
definen el centro de masa de un cuerpo o el centroide en el caso que ρ seaconstante.
3.3.4. Probabilidad.
Toda variable aleatoria continua X tiene un función de densidad f(x) ≥ 0 ytal que
∫∞−∞ f(x) = 1 y la probabilidad de que X esté entre a y b se calcula por
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx.
Cuando se tienen dos variables aleatorias continuas X y Y , la función dedensidad conjunta de X y Y es una función f de dos variables (f(x, y) ≥ 0 y∫ ∫
R2 f(x, y)dxdy = 1) tal que la probabilidad de (X, Y ) esté en una región Ses dada por
P ((X, Y ) ∈ S) =
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy.
3.3.4.1. Valores esperados
Si X es una variable aleatoria continua con una función de densidad de prob-abilidad f , entonces su media es dada por
µ =
∫ ∞
−∞xf(x)dx
Ahora si se tienen dos variables aleatorias continuas X y Y , la función dedensidad conjunta de X y Y , f, definimos la media de X y la media de Y,conocidos como valores esperados de X y de Y como
µ1 =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞xf(x, y)dxdy, µ2 =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞yf(x, y)dxdy
Observemos que estos valores son parecidos a los momentos Mx, y My de unalámina con función de densidad ρ. Realmente podemos considerar la proba-bilidad como una masa distribuida continuamente. Observemos que la proba-bilidad igual como calculamos la masa: integrando una función de densidad.Puesto que la ”masa de probabilidad” es 1, la expresión para x y y muestranque podemos considerar los valores esperados de X y de Y (µ1 y µ2) como lascoordenadas del ´´centro de masa´´ de la distribución de probabilidad.
116
Capítulo 4
Integrales de Línea. Áreas deSuperficies e Integrales deSuperficie
4.1. Integral de Línea
Definición 4.1.1 Sea F : Ω ⊂ Rn → Rn un campo vectorial y −→r : [a, b] → Ωuna función vectorial regular a trozos que parametriza una curva C. Definimosla integral de línea como
∫
C
F · d−→r =
b∫
a
F(−→r (t)) ·−→r′(t)dt.
Definición 4.1.2 Sea f : Ω ⊂ Rn → R un campo escalar y −→r : [a, b] → Ω unafunción vectorial regular a trozos que parametriza una curva C. Definimos laintegral de línea con respecto a la longitud de arco como
∫
C
fds =
b∫
a
f(−→r (t))∥
∥
∥
−→r′(t)
∥
∥
∥ dt.
Observación 4.1.1 En el caso que la curva C sea una curva de Jordan (curvacerrada y simple), usaremos la notación
∮
C
F · d−→r .
Observación 4.1.2 Si F(x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)),−→r′ (t) =
(
dxdt , dx
dt , dydt
)
y d−→r = (dx, dy, dz) entonces
117
∫
C
F · d−→r =
b∫
a
F(−→r (t)) ·−→r′(t)dt
=
b∫
a
(f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)) ·(
dx
dt,dy
dt,dz
dt
)
dt
=
b∫
a
(
f1(x, y, z)dx
dt+ f2(x, y, z)
dy
dt+, f3(x, y, z)
dz
dt
)
dt
=
∫
C
f1(x, y, z)dx + f2(x, y, z)dy + f3(x, y, z)dz
Similarmente si F(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y))∫
C
F·d−→r =∫
C
f1(x, y)dx+f2(x, y)dy.
Observación 4.1.3 Sea F : Ω ⊂ Rn → Rn un campo vectorial y −→r : [a, b] →Ω una función vectorial regular a trozos que parametriza una curva C y
−−→T (t)
es el vector tangente unitario dado por−−→T (t) =
−−→r′(t)∥
∥
∥
−−→r′(t)
∥
∥
∥
(con∥
∥
∥
−−→r′(t)
∥
∥
∥6= 0). Clara-
mente F · −→T es un escalar entonces tenemos que
∫
C
F · −→T ds =
b∫
a
F (−→r (t)) · −−→T (t)∥
∥
∥
−→r′(t)
∥
∥
∥ dt
=
b∫
a
F (−→r (t)) ·−−→r′(t)dt =
∫
C
F · d−→r
Ejemplo 4.1.1 Sea F(x, y) =(√
y, x3 + y)
. Calcular las integral de líneadesde el punto (0, 0) al punto (1, 1) a lo largo de la curva −→r (t) = (t, t) 0 ≤ t ≤ 1
y de la curva−→β (t) =
(
t2, t3)
.
118
(1,1)∫
(0,0)
F · d−→r =
1∫
0
F(−→r (t)) ·−→r′(t)dt
=
1∫
0
(√
t, t3 + t) · (1, 1)dt
=
1∫
0
(√
t + t3 + t)dt =17
12
Ahora
(1,1)∫
(0,0)
F · d−→β =
1∫
0
F(−→β (t)) ·
−−→β′(t)dt
=
1∫
0
(t3/2, t6 + t3) · (2t, 3t2)dt
=
1∫
0
(2t5/2 + 3t8 + 3t5)dt =59
52
Observemos de estas dos integrales de línea que la integral depende del caminoque escojamos para ir del punto (0, 0) al punto (1, 1).
Las siguientes son algunas propiedades de la integral de líneá que se puedenprobar fácilmente de la definición.
4.1.1. Propiedades de la Integrales de línea
1.∫
C
(aF+bG) · d−→r = a
∫
C
F · d−→r + b
∫
C
G · d−→r
2. Sean C1 y C2 dos curvas que forman una curva C tal que −→r1 : [a, b] → Ωy −→r2 : [b, c] → Ω y −→r1(b) = −→r2(b). Definamos
−→r (t) =
−→r1(t) a ≤ t ≤ b−→r2(t) b ≤ t ≤ c
119
entonces∫
C
F · d−→r =
∫
C1
F · d−→r +
∫
C2
F · d−→r
3. Sea −→r : [a, b] → Ω una parametrización de una curva C y definamosun cambio de parámetro h : [c, d] → [a, b] tal que h′(τ) 6= 0 y defi-
namos−→β (τ) = −→r (h(τ)). Recordemos que en el caso que h′(τ) > 0 am-
bas parametrizaciones determinan la misma orientación sobre la curvaC, mientras que si h′(τ) < 0 las direcciones son opuestas. En el casoh′(τ) > 0, tenemos que h(c) = a, h(d) = b y se tiene que
∫
C
F · d−→β =
d∫
c
F(−→β (τ)) ·
−−→β′(τ )dτ =
d∫
c
F(−→r (h(τ))) ·−→r′ (h(τ))h′(τ)dτ.
Haciendo el cambio de variable t = h(τ), entonces dt = h′(τ)dτ , h(c) = a,h(d) = b y obtenemos
∫
C
F · d−→β =
d∫
c
F(−→β (τ)) ·
−−→β′(τ )dτ
=
d∫
c
F(−→r (h(τ))) ·−→r′ (h(τ))h′(τ)dτ
=
b∫
a
F(−→r (t)) ·−→r′ (t)dt =
∫
C
F · d−→r .
Como se puede observar aquí, las integrales son iguales.
En el otro caso h′(τ) < 0, tenemos que h(c) = b y h(d) = a, entonces
∫
C
F · d−→β =
d∫
c
F(−→β (τ)) ·
−−→β′(τ )dτ
=
d∫
c
F(−→r (h(τ))) ·−→r′ (h(τ))h′(τ)dτ
Haciendo el cambio de variable t = h(τ) entonces dt = h′(τ)dτ , h(c) = b,h(d) = a y obtenemos
120
∫
C
F · d−→β =
d∫
c
F(−→β (τ)) ·
−−→β′(τ )dτ
=
d∫
c
F(−→r (h(τ))) ·−→r′ (h(τ))h′(τ)dτ
=
a∫
b
F(−→r (t)) ·−→r′ (t)dt
= −b∫
a
F(−→r (t)) ·−→r′ (t)dt = −
∫
C
F · d−→r
Aquí podemos observar que las integrales cambian de signo.
4.2. El concepto de trabajo como integral de línea
Recordemos que el trabajo hecho por una fuerza constante F cuyo punto deaplicación se mueve sobre un segmento que va desde el punto
−→P al punto
−→Q
es definida como WPQ = F·−−→PQ
En el caso que la fuerza F esté aplicada sobre una curva parametrizada poruna función vectorial −→r , consideramos una partición sobre la curva C dada
por los puntos Po, P1, P2, ...PN−1, PN tales que Po =−−→r(a) y PN =
−−→r(b). y
los demás puntos están sobre la curva C de tal forma que∥
∥
∥
−−−−→PoPi−1
∥
∥
∥ ≤∥
∥
∥
−−→PoPi
∥
∥
∥
(i = 2, ..., N). Escojamos en cada segmento un punto−−→r(t∗k) y podemos con-
siderar que el trabajo realizado sobre el arco Pk−1Pk es aproximadamente
WPk−1Pk≈(
F(−−→r(t∗k) · T
)
∆Sk donde ∆Sk = longitud(Pk−1Pk). Así el tra-
bajo total realizado sobre la curva por la fuerza F desde el punto−−→r(a) hasta
121
el punto−−→r(b), W ≈
N∑
k=1
(
F(−−→r(t∗k) · T
)
∆Sk. Esto nos permite claramente definir
el trabajo realizado
W =
∫
C
F · −→T ds =
∫
C
F · d−→r .
Ejemplo 4.2.1 Supongamos que la fuerza F es una fuerza constante F =(c1, c2, c3)entonces el trabajo está dado por
W =
∫
C
F · d−→r =
b∫
a
F(−→r (t)) ·−→r′ (t)dt
=
b∫
a
(c1, c2, c3) ·−→r′ (t)dt
= (c1, c2, c3) · −→r (t)|ba= F · (−−→r(a) −−−→
r(b)),
Como podemos observar aquí el trabajo solo depende de los puntos extremosde la curva.
Ejemplo 4.2.2 Principio del trabajo y la energía.
Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de un campo de fuerzas F.
Si la rapidez de la partícula es v(t) =∥
∥
∥
−−→r′(t)
∥
∥
∥, su energía cinética está definidapor
K(t) =1
2mv2(t)
Demostrar que la variación de la energía cinética en cualquier intervalo detiempo es igual al trabajo realizado por F durante dicho intervalo de tiempo.
Solución: Si −→r (t) es el vector posición de la partícula en el instante t, entoncesel trabajo realizado durante el intervalo de tiempo [a, b] es dado por Wab =−−→r(b)∫
−−→r(a)
F · d−→r . Vamos a mostrar que Wab = K(b) − K(a) = 12mv2(b) − 1
2mv2(a).
De acuerdo a la segunda ley de Newton F(−→r (t)) = m−→r′′(t), entonces
122
Wab =
−−→r(b)∫
−−→r(a)
F · d−→r =
a∫
b
m−→r′′(t) ·
−→r′ (t)dt
=
a∫
b
1
2m
d
dt
(−→r′ (t) ·
−→r′ (t)
)
dt
=1
2m
a∫
b
d
dt
(∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
)
dt
=1
2m
a∫
b
dv2(t)
dtdt =
1
2mv2(t)
∣
∣
∣
∣
b
a
=1
2mv2(b) − 1
2mv2(a) = K(b) − K(a).
4.3. Campos conservativos y funciones potenciales
Un campo vectorial F : Ω ⊂ Rn → Rn definido en una región Ω es conservativo,si existe un campo escalar ϕ : Ω ⊂ Rn → R tal que
F = −∇ϕ.
En este caso la función ϕ es llamada función potencial.
Observación 4.3.1 Dado un campo conservativo F en física se acostumbraa escribir F = −ϕ∇. Entonces, ϕ(x, y, z) es la energíá potencial en el punto(x,y,z). Si f = −ϕ, entonces
Wab =
−−→r(b)∫
−−→r(a)
F · d−→r = −b∫
a
∇ϕ(−→r (t)) ·−→r′ (t)dt
= −b∫
a
d
dt(ϕ(−→r (t))) dt = − ϕ(−→r (t)|ba
= − [ϕ(−→r (b) − ϕ(−→r (a)] = ϕ(−→r (a) − ϕ(−→r (b)
123
Observación 4.3.2 De acuerdo al ejemplo 3 y a la observación 4,
Wab = K(b) − K(a) = φ(−→r (a)) − φ(−→r (b)
o seaK(b) + ϕ(−→r (b) = K(a) + ϕ(−→r (a))
Esta fórmula es conocida como la ley de la conservación de la energíamecánica para una partícula que se mueve bajo la influencia de un campode fuerzas conservativo. La suma de la energía cinética y la energía potencialpermanece constante.
4.4. El teorema de Green
El teorema de Green, uno de los teoremas importantes en el cálculo vectorial,relaciona una integral de línea de un campo vectorial sobre una curva planaC con una integral doble sobre la región Ω encerrada por la curva. Un hechoimportante del Teorema de Green radica en que permite el cálculo de unaintegral doble conociendo la información sobre la frontera.Una curva −→r : [a, b] → R2 continua es cerrada si −→r (a) = −→r (b). Si además secumple −→r (t1) 6= −→r (t2) para t1 6= t2 en el intervalo (a, b], la curva se dice quees cerrada simple. Por ejemplo, la elipse, la circunferencia son curvas cerradassimples. Esta clase de curvas son llamadas curvas de Jordan.La curva de Jordan C se dice que está orientada positivamente si al recorrer lacurva, la región Ω queda a mano izquierda. Observemos que si la orientaciónes positiva el vector
n(t) =(y′(t),−x′(t))∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥
.
es ortogonal al vector velocidad −→v (t) = (x′(t), y′(t)).Una curva cerrada simple se dice que es regular a trozos si la curva se puedeparametrizar en la forma
−−→r(t) =
−→r0(t) t ∈ [a0, b0]−→r1(t) t ∈ [a1, b1]...−→rn(t) t ∈ [an, bn]
donde −→r es continua con a0 = a y bn = b y diferenciable en cada intervalo(ai, bi) .
Teorema 4.4.1 Teorema de Green.
124
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos orientada positivamente en elplano R2 que acota una región Ω en el plano. Si F :Ω ⊆ R2 → R2 es un campovectorial diferenciable dado por F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), entonces
∮
C
Pdx + Qdy =
∫ ∫
Ω
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dxdy
Observemos que si−→F = (P, Q) tenemos que
∮
C
−→F · −→n ds =
b∫
a
−→F (r(t)) · −−→n(t)
∥
∥
∥
−→r′ (t)
∥
∥
∥ dt
=
b∫
a
−→F (r(t)) · −−→n(t)dt
=
b∫
a
−→F (r(t)) · (y′(t),−x′(t))dt
=
b∫
a
[P (−→r (t)) y′(t) − Q (−→r (t)) x′(t)] dt
=
∮
C
−Qdx + Pdy.
Así tenemos que∮
C
−→F · −→n ds =
∮
C
−Qdx + Pdy.
Aplicando el teorema de Green tenemos que∮
C
−→F · −→n ds =
∫ ∫
Ω
(
∂P
∂x+
∂Q
∂y
)
dxdy =
∫ ∫
Ω
div−→(F )dxdy
Este resultado es conocido como teorema de la divergencia en el plano.Antes de probar este teorema para algunas regiones en particular consideremosel siguiente ejemplo
Ejemplo 4.4.1 Hallar el valor de la integral∮
C
−x2ydx + y2xdy
125
donde C es una circunferencia unitaria orientada positivamente. Aplicando elteorema de Green y teniendo en cuenta que P = −x2y y Q = y2x tenemosque
∫
C
−x2ydx + y2xdy =
∫ ∫
Ω
(
y2 + x2)
dxdy
=
2π∫
0
1∫
0
r3drdθ = 2π.
Ejemplo 4.4.2 Hallar el valor de la integral
∫
C
−ydx + xdy
donde C es la frontera del cuadrado Ω = [0, 1] × [0, 1] .
Observemos que si no conociéramos el teorema de Green tendríamos que re-solver 4 integrales de línea. Sin embargo, usando el Teorema de Green conP = −x, Q = x tenemos que
∫
C
−ydx + xdy =
∫ ∫
Ω
2dxdy
= 2
∫ ∫
Ω
dxdy = 2area(Ω) = 2.
Ejemplo 4.4.3 Sea F(x, y) = (x, y). y C una circunferencia de radio a. SeaΩ la bola cerrada Ba (0). La divergencia de F está dada por divF = ∇ · F =∇ · (x, y) = 1 + 1 = 2 entonces
∫ ∫
Ω
divFdxdy =
∫ ∫
Ω
2dxdy = 2area(Ω) = 2πa2
Ahora calculemos∫
C
F · −→n ds, teniendo en cuenta que el vector normal exterior
a la circunferencia es dado por −→n =(x, y)
a, entonces
126
∫
C
F · −→n ds =
∫
C
(x, y) · (x, y)
a
=1
a
∫
C
(
x2 + y2)
ds
=1
a
∫
C
a2ds = a
∫
C
ds
= a (2πa) = 2πa2
Demostración del Teorema de Green para región dada en la figura de abajo
Aunque el teorema se puede demostrar para regiones más generales aquí vamosa restringirnos a la figura dada. La región Ω es descrita como
Ω = (x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)
∫ ∫
Ω
−∂P
∂ydxdy =
b∫
a
ϕ1(x)∫
ϕ1(x)
−∂P
∂ydy
dx
=
b∫
a
−P (x, y)|ϕ2(x)ϕ1(x) dx
=
b∫
a
P [(x, ϕ1(x)] − P [x, ϕ2(x)] dx
127
Por otra parte, la integral de línea∫
C
P (x, y)dx la podemos escribir como
∫
C
P (x, y)dx =
∫
C1
P (x, y)dx +
∫
C2
P (x, y)dx.
Para calcular la integral de línea a lo largo de C1 utilizando la parametrización−−→r1(t) = (t, ϕ1(t) obtenemos
∫
C1
P (x, y)dx =
b∫
a
P [(t, ϕ1(t)] dt.
Para calcular la integral de línea a lo largo de C2 utilizando la parametrización−−→r2(t) = (t, ϕ2(t) y teniendo en cuenta la inversión del sentido obtenemos
∫
C2
P (x, y)dx = −b∫
a
P [(t, ϕ2(t)] dt.
Por lo tanto
∫
C
P (x, y)dx =
b∫
a
P [(t, ϕ1(t)] dt −b∫
a
P [(t, ϕ2(t)] dt.
Así, obtenemos que
∫ ∫
Ω
−∂P
∂ydxdy =
∫
C
P (x, y)dx
De manera semejante, podemos mostrar que
∫ ∫
Ω
∂Q
∂xdxdy =
∫
C
Q(x, y)dy.
Así∮
C
Pdx + Qdy =
∫ ∫
Ω
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dxdy
Ejemplo 4.4.4 Por medio del teorema de Green calcular el trabajo realizadopor un campo de fuerza F(x, y) = (3x + y, 2y − x) al moverse una partículasobre una elipse x2 + 4y2 = 4 en sentido contrario a las manecillas del reloj.
128
En este caso P (x, y) = 3x+y, Q(x, y) = 2y−x.
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
= −1−1 = −2.
Entonces∫ ∫
Ω
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dxdy = −2area(Ω) = −2π2 = −4π
entonces el trabajo es dado por la integral de línea
∫
C
Pdx + Qdy =∫ ∫
Ω
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dxdy = −4π.
Corolario del teorema de Green .El área A de la región Ω acotada por una curva simple, cerrada y suave a trozosestá dada por
A = 12
∫
C
−ydx + xdy = −∫
C
ydx =∫
C
xdy
Demostración Definamos el campo vectorial F(x, y) = (−y, x) ..P (x, y) = −y,
Q(x, y) = x. entonces
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
= 1 + 1 = 2.Entonces
∫ ∫
Ω
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dxdy = 2area(Ω)
= 2A =
∫
C
Pdx + Qdy
=
∫
C
−ydx + xdy.
Por lo tanto, teniendo en cuenta que el vector −→n =
(
dy
ds,−dx
ds
)
tenemos
A =1
2
∫
C
F · −→n ds =1
2
∫
C
−ydx + xdy
A =1
2
∫
C
−ydx + xdy
Observemos que si P (x, y) = 0 y Q(x, y) = x, el teorema de Green implica que∫
C
xdy = A.
129
Similarmente si P (x, y) = −y y Q(x, y) = 0, el teorema de Green implica que∫
C
−ydx = A
Así tenemos que
A =1
2
∫
C
−ydx + xdy =
∫
C
−ydx =
∫
C
xdy.
4.5. Área de una superficie
Vamos a definir el área de una superficie paramétrica. Por simplicidad vamos aconsiderar que el dominio de la función vectorial es un rectángulo.Consideramosuna participación de la región T en subrectángulos. La partición definida enel región rectangular nos define una partición en la superficie S, la cual no esformada necesariamente por rectángulos. Aproximamos el área de Sk por unaregión del plano tangente en el punto Pk. Aproximamos esta área por el áreadel paralelogramo formado por los vectores −→ru∆u y −→rv∆v. Está área esta dadapor
‖−→ru∆u ×−→rv∆v‖ = ‖−→ru ×−→rv‖∆u∆v
N∑
k=1
‖−→ru ×−→rv‖∆u∆v
Esto nos permite definir el área superficial de la siguiente manera:Sea
130
−→r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), y(u, v)) = x(u, v)−→i + y(u, v)
−→j + y(u, v)
−→k
una parametrización de una superficie suave que se cubre una sola vez cuando(u, v) recorre el dominio Ω, entonces se define el área superficial por
A(S) =
∫∫
Ω
‖−→ru ×−→rv‖ dudv
donde
ru =∂x
∂u
−→i +
∂y
∂u
−→j +
∂z
∂u
−→k rv =
∂x
∂v
−→i +
∂y
∂v
−→j +
∂z
∂v
−→k
Ejemplo 4.5.1 Encuentre el área superficial de una esfera radio a.
Las ecuaciones paramétricas de la esfera son
x = a cos θsen ϕ, y = asen θsen ϕ, z = a cosϕ
El dominio Ω está dado por
Ω = (θ, ϕ) 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π
−→rθ ×−→rϕ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
xθ yθ zθ
xϕ yϕ zϕ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
−asen θsen ϕ a cos θsen ϕ 0a cos θ cos ϕ asen θ cos ϕ −asen ϕ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −a2senθsen2ϕi−a2senθ sen2 ϕj−a2senϕ cosϕk
‖−→rθ ×−→rϕ‖ = a2senϕ.
Entonces el área superficial de la esfera es dada por
131
A(S) =
∫∫
Ω
‖−→ru ×−→rv‖ dudv
=
2π∫
0
π∫
0
a2senϕdϕdθ
= a2
2π∫
0
dθ
π∫
0
senϕdϕ = 4πa2
Ejemplo 4.5.2 . Supongamos que tenemos una función de dos variables z =f(x, y) con dominio Ω. Puesto que la gráfica de f determina una superficie enel espacio, ésta la podemos parametrizar como
−→r (x, y) = (x, y, f(x, y)) con (x, y) ∈ Ω.
Observemos
−→rx ×−→ry =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
xx yx zx
xy yy zy
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
1 0∂f
∂x
0 1∂f
∂y
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −∂f
∂xi − ∂f
∂xj + k
la norma de este vector está dado por
‖−→rx ×−→ry‖ =
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
Así el área superficial está dada por
A(S) =
∫∫
Ω
‖−→rx ×−→ry‖ dxdy
=
∫∫
Ω
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
dxdy
Si consideramos por ejemplo z = x2 + y2 que está debajo del plano z = 9.Observemos que en este caso Ω está dado por el círculo x2 + y2 ≤ 9.
132
Así el área superficial es dada por
A =
∫∫
Ω
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
dxdy
=
∫∫
Ω
√
1 + (2x)2 + (2y)2dxdy
=
∫∫
Ω
√
1 + 4x2 + 4y2dxdy.
Usando coordenadas polares tenemos
A =
∫∫
Ω
√
1 + 4x2 + 4y2dxdy
=
2π∫
0
3∫
0
√
1 + 4r2rdrdθ
=
2π∫
0
dθ
3∫
0
√
1 + 4r2rdr
=π
6(37
√37 − 1)
4.6. Integral de superficie
4.6.1. Integral de superficie de una función escalar
Sea S una superficie parametrizada por−−−−→r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ Ω,
donde Ω es una región del plano uv. Sea f : V ⊃ S → R, un campo escalar,donde V es un abierto en R3 que contiene a la superficie S. Similar a lasintegrales de línea, la integral de superficie de f está definida por
∫ ∫
S
f(x, y, z)dS =
∫ ∫
Ω
f(−−−→r(u, v
)
‖−→ru ×−→rv‖ dudv,
donde−→ru =
(
∂x
∂u,∂y
∂u,∂y
∂u
)
y−→rv =
(
∂x
∂v,∂y
∂v,∂y
∂v
)
.
133
4.6.2. Integral de superficie de un campo vectorial
Una superficie es orientable si podemos definir un vector normal unitario −→n encada punto de la superficie que no sea un punto frontera tal que −→n varía con-tinuamente. La gráfica abajo muestra tres superficies, dos de ellas orientablesy una que no lo es (banda de Mobius) . Una superficie orientable tiene doscaras. Si S es orientable y cerrada podemos escoger el vector −→n de tal maneraque señale el exterior de la superficie y en este caso diremos que la orientaciónes positiva.
Una superficie orientada tiene dos caras. Si S es orientable y cerrada podemosescoger el vector −→n de tal manera que señale el exterior de la superficie y en estecaso diremos que la orientación es positiva. Si −→r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))es una parametrización de una superficie orientable S, entonces el vector normalexterior puede ser
−→n1 =ru × rv
‖ru × rv‖o −→n2 = − ru × rv
‖ru × rv‖, (‖ru × rv ‖ 6= 0)
134
Definición 4.6.1 Una superficie parametrizada S se dice que es simple si ex-iste un conjunto abierto y acotado Ω de 2 cuya frontera es una curva cerradasimple regular a trozos tal que la parametrización −→r : Ω ⊂ R2 → R3 es
inyectiva, ru × rv 6= −→0 , S = −→r (Ω).
Sea −→n uno de los dos vectores normales −→n1 o −→n2 a la superficie S. Sea−→F un
campo vectorial definido en un conjunto abierto U que contiene a S.
Definición 4.6.2 Sea−→F : U ⊂ Rn → Rn un vectorial continuo, definimos la
integral de superficie del campo vectorial a la integral
∫ ∫
S
−→F · −→n dS =
∫ ∫
Ω
−→F (−→r (u, v)) · −→n ‖ru × rv‖ dudv
= ±∫ ∫
Ω
−→F (−→r (u, v)) · ru × rvdudv,
donde el signo es + si −→n = −→n1 y el signo es − si −→n = −→n2.
Los dos teoremas básicos del cálculo vectorial y permite calcular la integral deuna "derivada" en términos de integrales en la frontera de la superficie son lossiguientes:
Teorema 4.6.1 (de Stokes): Sea S una superficie acotada en R3 cuya frontera
∂S es una curva regular, entonces para todo campo vectorial en R3,−→F ∈ C1,
se cumple donde se considera en ∂S la orientación inducida por S. Entonces
∫
∂S
−→F .d−→α =
∫ ∫
S
Rot−→F .−→n dS
Teorema 4.6.2 (Teorema de la divergencia o Teorema Gauss): Sea V unsólido en R3 cuya frontera es una superficie S orientable. Sea F un campovectorial derivable con continuidad definido sobre V . Entonces,
∫ ∫
S
−→F .−→n dS =
∫ ∫ ∫
V
div−→(F )dV.
Ejemplo 4.6.1 . Supongamos que tenemos una función de dos variables z =f(x, y) con dominio Ω. Puesto que la gráfica de f determina una superficie enel espacio, esta la podemos parametrizar como
135
Considere el campo vectorial−→F = (yz, xz, xy) y S es la superficie determinada
por parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro del cilindro x2 + y2 = 1y arriba del plano xy (ver figura).
1. a) Halle la función vectorial de la curva C.
b) Halle∫
C
−→F .d−→r
c) Halle∫∫
SRot
−→F dS
Solución: Para hallar la función vectorial de la curva C o parametrizaciónde la curva, intersectamos la ecuación de la esfera con la del plano obteniendoz =
√3, puesto que z ≥ 0. Así la parametrización de la curva C es dada por−→r (t) = (cos t, sent,
√3) 0 ≤ t ≤ 2π y −→r ′(t) = (−sent, cos t, 0)
Ahora,−→F (−→r (t)) = (
√3sent,
√3 cos t, sent cos t) y
−→F (r(t))·r′(t) = −
√3sen2t+√
3 cos2 t. Por lo tanto
∫
C
−→F .d−→r =
2π∫
0
(
−√
3sen2t +√
3 cos2 t)
dt =√
3
2π∫
0
cos 2tdt = 0
Aplicamos el teorema de Stokes obteniendo que
∫∫
S
Rot−→F dS =
∫
C
−→F .d−→r = 0
Ejemplo 4.6.2 . Supongamos que tenemos una función de dosvariables z = f(x, y) con dominio Ω. Puesto que la gráfica de f de-termina una superficie en el espacio, ésta la podemos parametrizarcomo
Sea V el cubo unitario de R3 definido por V = (x, y, z) : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1, , 0 ≤ z ≤ 1
136
Sea F (x, y, z) =(
x2, y2, z2)
. Hallemos∫ ∫
S
F · −→n ds, en donde S
indica las seis paredes del cubo. De acuerdo al teorema de la Diver-gencia tenemos que :
div(−→
F)
= 2x + 2y + 2z
Por lo tanto
∫∫
S
−→F · −→n ds =
∫∫∫
V
div(−→
F)
dxdydz
=
∫∫∫
V
(2x + 2y + 2z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
(2x + 2y + 2z)dxdydz
= 3
Utilizando el teorema de la divergencia podemos establecer las sigu-ientes relaciones de gran utilidad en las ecuaciones diferencialesparciales. Demostraremos algunas y otras se dejan como ejerciciosConsideremos los campos escalares diferenciables f y g. Entonces
1.∫ ∫
S
∇f · ndS =∫ ∫ ∫
V
∆f dxdydz, donde ∆f es el laplaciano de f.
2.∫ ∫
S
∇f · ndS = 0, si f es armónica o sea ∆f = 0. ( Se concluye
inmediatamente del resultado 1)
3.∫ ∫
S
f∇g · ndS =∫ ∫ ∫
V
f ∆g +∇f · ∇gdxdyd
4.∫ ∫
S
f∇g · n − g∇f · n ds =∫∫∫
Vf ∆g − g∆f dxdydz
137
5.∫ ∫
S
f∇g · n =∫ ∫
S
g∇f · n si f y g son armónicas.
Para demostrar la primera observemos que
∫ ∫
S
∇f · ndS =∫ ∫ ∫
V
div(∇f)dxdydz =∫ ∫ ∫
V
∆fdxdydz
Observemos que la tercera identidad es la generalización a tres di-mensiones del método de integración por partes.
La ley de Coulomb afirma que si tenemos una carga eléctrica de qculombs, situada en el origen, la fuerza que ejerce sobre otra cargaunitaria y situada en el punto (x, y, x) viene dada por la expresión
F (x, y, z) =cq
‖x, y, z‖3 (x, y, z)
en donde c es una constante.
Sea V un sólido de R3 que contiene al origen y denotemos con S sufrontera. Puesto que F no está definido en el origen, no podemosaplicar directamente el teorema de la divergencia. Sea Br(ε), la bolade centro en el origen y de radio r tal que Br(ε) ⊂ V. Entoncessobre el conjunto V − Br(ε) sí podemos aplicar el Teorema de ladivergencia. La figura ilustra un corte de V − Br(ε)
138
Observemos que la frontera de V − Br(ε) está compuesta por S y∂Br(ε) y el vector normal unitario sobre la frontera ∂Br(ε) es
−→n =−1
‖x, y, z‖ (x, y, z)
Es así cómo el teorema de la Divergencia toma la siguiente forma:
∫ ∫
V −Br(ε)
div(−→
F)
dxdydz =
∫ ∫
S
F ·−→n ds+
∫ ∫
∂Br(ε)
F ·−→n ds
Un cálculo fácil nos muestra que div(−→
F)
= 0 y por lo tanto ten-emos que
∫ ∫
S
F · −→n ds = −∫ ∫
S
F · −→n ds
= −∫ ∫
∂Br(ε)
cq (x, y, z)
(x2 + y2 + z2)32
· −1 (x, y, z)
(x2 + y2 + z2)12
dS
= cq
∫ ∫
∂Br(ε)
x2 + y2 + z2
(x2 + y2 + z2)2 dS
=cq
ε2
∫ ∫
∂Br(ε)
dS
=cq
ε24πε2 = 4cπq.
Por lo tanto el flujo∫ ∫
S
F · −→n dS = 4cπq sólo depende de la
carga q y no del tamaño o forma de S.
139