Notas de Clase: Funcion lineal

UNGS

Segundo cuatrimestre 2012

1. Actividad introductoria

Miguel es tecnico en computacion, cuando le piden un servicio cobra un basicode $100 mas un plus de $50 la hora. Ası, si el trabajo no le lleva nada de tiem-po (por ejemplo, la computadora esta desdenchufada) el costo del servicio es de$100, si tarda 1 hora cuesta $100+$50=$150, si son 2 horas es $100+2.$50=$150...

¿Y si fueran x horas? Siguiendo la misma idea el precio del servicio y esde y = 50.x + 100

Para comprender el comportamiento de la funcion que relaciona el dinero quecobra Miguel en funcion del tiempo trabajado completamos una tabla de valores,(teniendo cuidado de que los datos queden ordenados de menor a mayor).

x y0 100

1/2 1251 1502 2003 250.. ...x 100 + 50.x

Podemos decir que la funcion que relaciona el tiempo que trabaja Miguel paraarreglar la computadora con el dinero que cobra es y = 100 + 50x

50: Este valor representa el valor que cobra Miguel por cada hora de trabajo.

100: Este valor representa el valor “basico” o mınimo que cobra Miguel. Es loque cobra si la computadora esta “desenchufada”

2. Funcion lineal

La forma general de una funcion de esta forma es y = mx + b y se llamafuncion Lineal.

m: Es el valor en que se incrementa y por cada unidad que se incrementa xSe le llama pendiente

1

b: Es el valor que toma y cuando x toma el valor 0. Se le llama ordenada alorigen

2.1. El grafico de una funcion lineal

Grafiquemos los valores de horas trabajadas por Miguel y precio del servicioen un sistema de ejes cartesianos ortogonales:

La forma de la grafica es una recta, y precisamente de aquı el nombre de funcionlineal .La grafica corta al eje y en y = $100, este valor se denomina la ordenadaal orıgen.

2.2. Pendiente de una recta

Del analisis del grafico, podemos observar que la relacion entre los incrementosen y y en x es constante :cuando la cantidad de horas trabajadas aumenta de 0 a1 (∆(x) = 1), el precio se incrementa de 100 a 150 (∆(y) = 50), la relacion entre

los incrementos de y y de x es ∆(y)∆(x)

= 501

. Podemos organizar la informacion enuna tabla:

2

x y = 50x + 100 ∆(x) ∆(y) ∆(x)∆(y)

∆(x) ∆(y) ∆(x)∆(y)

0 100 ... ... ... ... ... ...1 150 1 50 50 ... ... ...2 200 1 50 50 2 100 503 250 1 50 50 2 100 504 300 1 50 50 2 100 50... ... ... ... ...

(x− 1) 50(x− 1) + 100 ... ... ... ... ...x 50x + 100 1 50 50 ... ... ...

(x + 1) 50(x + 1) + 100 1 50 50 2 100 50

La misma relacion entre los incrementos se cumple cuando se pasa de 1 a 2 horas;el precio aumenta de 150 a 200 y ∆(y)

∆(x)= 100−50

2−1. Si el incremento de las horas no es

unitario, por ejemplo se pasa de 1 hora 3 horas, entonces ∆(x) = 2 y ∆(y) = 100;

la razon entre los incrementos es la misma ∆(y)∆(x)

= 1002

.

La relacion que existe entre los incrementos de x, ∆(x) y los incre-metos de y, ∆(y) es siempre 50; el valor de la pendiente.

Esta propiedad es muy importante y las cumplen todas las funciones de la formay = mx + b.

Veamos que sucede con las funciones y = 13x + 2 y con y = −5

4x + 1.¿Podes

identificar cual grafico corresponde a cada una?

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Nota que si analizamos otras funciones, por ejemplo y = x2, no se mantiene cons-tante la relacion de proporcionalidad.

Veamos que si tomamos incrementos unitarios, los incrementos van cambiando:

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x y = x2 ∆(x) ∆(y) ∆(x)∆(y)

0 0 ... ... ...1 1 1 1 12 4 1 3 33 9 1 5 54 16 1 7 7... ... ... ... ...

(x− 1) (x− 1)2 1 ......x x2 1 x2 − (x− 1)2 x2(x− 1)2

¿Te animas a ver como se comporta y = x2 para ∆(x) = 2?

2.3. Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

Por los principios de la geometrıa euclidiana sabemos que por dos puntos da-dos existe una y solo una recta que pasa por ellos.¿Como encontrar entonces laecuacion de la recta que pasa por dos puntos ubicados en el plano cartesiano?

Tenemos dos puntos: P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2)

Aplicando la definicion de pendiente, sabemos que m = y1−y2x1−x2

. Por otro lado, sa-

bemos que cualquiera de los puntos sobre la recta; (x, y) se cumple que m = y−y1x−x1

.Entonces:

y1 − y2

x1 − x2

=y − y1

x− x1

Y despejando el valor de y:

y =y1 − y2

x1 − x2

(x− x1) + y1

Ejercicio: Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por el punto P1(−1, 1) yP2 = (2, 4)

3. Dos rectas en el plano cartesiano

3.1. Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Cuando dos rectas se grafican en un plano pueden darse diferentes situacionescomo se observa a continacion:

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En el primer grafico las dos rectas se cortan en un punto, mientras que en elsegundo las rectas son paralelas por lo cual no existe interseccion. Esta situacionla indicamos de esta manera:

R1 ∩R2 = (a, b)

Caso en que existe la interseccion: En este caso se dicen que ambas rectas sonsecantes

R1 ∩R2 = {}

Caso en que no existe la interseccion: En este caso se dice que ambas rectas sonparalelas

A partir del analisis de los graficos podemos sacar las conclusiones que tienen quecumplir las formulas de dos rectas secantes y dos rectas paralelas:

Cuando dos rectas son secantes sus pendientes son diferentes

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales

Por ejemplo, la recta y = −25x + 2 y la recta y = −2

5x + 2 son paralelas, porque

tiene la misma pendiente. En cambio la recta y = 16x+12 es secante a las otras dos.

Existe un caso particular de las rectas secantes que son las rectas perpendi-culares:

Dos rectas secantes son perpendiculares cuando sus pendientes soninversas y opuestas

Por ejemplo las rectas y = 2x + 12 y la recta y = −12x − 2 son perpendiculares

porque −12

es inversa y opuesta de 2 (y viceversa, 2 es el inverso y opuesto de −12)

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Preguntas capciosas:¿Se te ocurre cual es el inverso y opuesto de 1?¿Y el inverso y opuesto de 0?

3.2. Sistemas de dos ecuaciones lineales

Saber cual es la relacion entre dos rectas es importante, porque nos sirve parainterpretar sistemas de ecuaciones:

{4y = x + 10y + x = 5

Si reexpresamos de forma explıcita (como una funcion lineal de la forma y =mx + b) las ecuaciones, entonces ambas quedan:{

y = 14x + 5

2

y = −x + 5

Las pendientes de la primera y segunda recta son 14

y -1 respectivamente, por lotanto sabemos de antemano que ambas rectas son secantes. Si nos interesa obte-ner la solucion exacta, entonces tendremos que resolver el sistema de ecuaciones,por ejemplo mediante el metodo de igualacion:

14x + 5

2= −x + 5

14x + x = −5

2+ 5

54x = 5

2x = 2

Para obtener el valor de y simplemente reemplazamos en alguna de las dos ecua-ciones: y = −2 + 5,y = 3. La solucion es: S = (2, 3), lo cual se muestra en elgrafico.

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Cuando tenemos dos ecuaciones lineales tenemos una tercer alternativa: Que lasdos ecuaciones representen en realidad la misma recta, por ejemplo:{

y = x + 22y − 4 = 2x

Resolvemos por el metodo de sustitucion:

2(x + 2)− 4 = 2x2x + 4− 4 = 2x

2x = 2x0 = 0

Cuando resolvemos el sistema de ecuaciones en algun momento llegamos a unaexpresion que se denomina identidad, porque se cumple para cualquier valor dela incognita. En este caso 0 = 0 es una identidad.

Cuando expresamos ambas ecuaciones de forma explıcita obtenemos y = x + 2.El conjunto solucion esta representado por todos los puntos sobre esta recta:

S = {(x, y) ∈ R2\y = x + 2}

3.3. Clasificacion de las soluciones de un sistema de ecua-ciones lineales

Tipo de sistema Tipo de solucion Forma de la solucion Interpretacion grafica

S.C.D Unica S = {(x1, x2)}

S.I No existe S = {}

S.C.I Infinitas S = {(x, y)\y = mx + b}

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4. Aplicaciones Economicas: equilibrio de Mer-

cado

4.1. Funcion de oferta y demanda

Juan, Jose y Maxi son tres amigos que comparten un departamento mientrassiguen sus estudios en la Universidad. Como todos los martes van a hacer la com-pra semanal. A los tres les gusta mucho la pizza, y decidieron comprar 2 kg dequeso, el cual sale $50 el kg. Cuando van al supermercado, se encuentran que elprecio del queso bajo $5, entonces deciden comprar 2,5 kg; pero en el momentode pagar Jose recuerda que tiene una promocion con su tarjeta de credito paralos productos lacteos, y entonces les cuesta $40 el kg; por lo cual piensan comprar3 kg.

Esta situacion se puede representar en una tabla de valores, donde se denotanlas cantidades de queso que los amigos estan dispuestos a demandar a cada precio:

p q50 245 2.540 2

En economıa, se llama funcion de demanda a la formula que relaciona la can-tidad que los consumidores de un bien estan dispuestos a comprar para cadaprecio, esto se indica como: q = D(p). En este caso la funcion de demanda dequeso relaciona la cantidad de queso que los tres amigos planean comprar seguncada precio del queso. El grafico de esta funcion se llama curva de demanda.

Como se observa en el ejemplo, cuanto menor es el precio del queso, mayor esla cantidad que los consumidores estan dispuestos a comprar; por esta razon lademanda es una funcion decreciente del precio.

Por otro lado, la fomula que relaciona la cantidad que los productores estandispuestos a vender a cada precio se llama funcion de oferta, y se indica como:q = O(p); su grafico se llama curva de oferta A diferencia de lo que sucede conla demanda, cuanto mayor es el precio, mayor sera la cantidad que el productoresta dispuesto a vender; por esta razon la oferta es una funcion creciente

Una observacion muy importante y que hay que tener en cuenta es que en eco-nomıa las funciones de oferta y demanda, se dibujan al reves. Esto significa que elprecio (la variable independiente) se grafica en el eje de ordenadas y la cantidad(la variable independiente) se grafica en el eje de absisas.

Otra observacion importante es que solo se grafican los semiejes positivos (cua-drante positivo), ya que tanto precios como cantidades negativas carecen de in-terpretacion economica.

Un grafico posible de la oferta y la demanda es:

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En el caso en que la funcion de demanda y de oferta sean lineales las formulasquedan:

D = −ap + b

Para la demanda

O = cp + d

Para la oferta

La interpretacion de la pendiente y la ordenada al origen para este caso particular:

a: Cuando el precio del bien en cuestion aumenta en un peso, la cantidad de-mandada disminuye en la cantidad a

c: Cuando el precio del bien en cuestion aumentas en un peso, la cantidad ofer-tada aumenta en la cantidad c

b: Es la cantidad que se demandarıa teoricamente si el precio fuera de cero.

d: Es la cantidad que se ofertarıa teoricamente si el precio fuera de cero.

4.2. Equilibrio de Mercado

En economıa se define el equilibrio de mercado como aquella situacion dondetanto la oferentes como los demandantes cumplen sus planes, esto implica quela cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada: Qd = Qo. El precio parael cual se cumple esta condicion se denomina precio de equilibrio; y cuando estasituacion se cumple se dice que existe vaciado de mercado

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Para entontrar analıticamente el precio y la cantidad de equilibrio se resuelveel sistema de ecuaciones: {

Qd = −ap + bQo = cp + d

Esto implica imponer una tercer condicion:

Qd = Qo

Que resume el equilibrio de mercado.

Ademas debe cumplirse la condicion de no negatividad de los precios y can-tidades, esto es:

p ≥ 0 y Qo ≥ 0 y Qd ≥ 0

Resumiendo: Matematicamente, el equilibrio de mercado se expresa mediante unconjunto de tres ecuaciones

Qd = −ap + bQo = cp + dQd = Qo

y tres inecuaciones:

p ≥ 0 y Qo ≥ 0 y Qd ≥ 0

La primera y la segunda ecuacion indican como se comportan la oferta y la deman-da y la tercera es la condicion de equilibrio, las inecuaciones son las condicionesde no-negatividad

Graficamente el equilibrio de mercado se expresa como la interseccion de lascurvas (rectas en este caso) que representan la oferta y la demanda. Como corre-ponde, solo se grafico el cuadrante positivo.

Ejercicio La cantidad demandada de frutillas durante el mes de septiembre enuna ciudad responde a la formula: Qd = −1

2p + 1000 y la cantidad ofertada:

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Qo = 5p − 5000. En ambos casos las cantidades estan expresadas en miles detoneladas y el precio en pesos.

a.) Expresar mediante ecuaciones las tres condiciones para el equilibrio del mer-cado de la frutilla.b.) Encontrar el precio y la cantidad de equilibrioc.) Representar graficamente el equilibrio de mercado

Pregunta Super CapsiosaSupone que en el ejercicio anterior la funcion dedemanda en el mercado de frutilla responde a la formula Qd = −2p + 1000.¿Como definirıas el equilibrio en este caso?. ¿Que implicancias en terminos delmercado de frutilla tiene?

Ayuda: Recorda que el dominio de una funcion de demanda (o de oferta) esel conjunto de precios positivos para los cuales la cantidad demandada (u oferta-da) es positiva .

4.3. Efectos de una variacion en los parametros

Tanto la funcion de demanda como la de oferta relacionan cantidades (deman-dadas u ofertadas) con el precio. Pensemos por ejemplo en la curva de demanda:el consumidor observa un precio y decide la cantidad que va demandar, no tienepoder de desicion acerca del precio, pero si sobre la cantidad (demandada). Lomismo sucede para la funcion de oferta.

Las variables que estan dadas como un dato en economıa se llaman variablesexogenas mientras que las variables que se determinan mediante una formulaa partir de otra/s se denominan variables endogenas. La cantidad demanda-da y la cantidad ofertada son variables endogenas y el precio una variable exogena.

Observacion: Cuando expresamos mediante una formula una situacion economi-ca lo mas comodo es que la variable exogena sea la variable independiente y laendogena la variable dependiente. Sin embargo no hay que confundir el conceptoeconomico de variable endogena y exogena con el concepto matematico de varia-ble dependiente e independiente. Las ultimas tienen un sentido circunstancial oposicional, (depende de la manera en que se decida expresar una funcion), mien-tras que las variables exogenas y endogenas son parte de un concepto mucho masamplio que es el de modelo economico1. Intuitivamente podemos decir que elconsumidor y el oferente pueden decidir las cantidades (demandadas y ofertadas)pero no el precio; es por esta razon que las primeras son endogenas y el precioexogeno.

Ademas de las variables exogenas y endogenas los parametros de las funciones deoferta y demanda (si son lineales seran la ordenada al origen y la pendiente) sonnecesarios para describir el equilibrio de mercado.

¿Que pasara con las cantidades ofertadas y demandadas cuando hay una va-riacion en alguno de los parametros?

1En cuanto sigamos avanzando en la materia desarrollaremos este concepto

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Ejemplo: La siguientes son las funciones de oferta y demanda de un bien:{Qd = −20p + 2100Qo = 10p + 1000

. ¿Cual sera el cambio en la cantidad de equilibrio y en el precio cuando la funcionde oferta cambia a Q′d = −20p− 2100?

Solucion Primero vamos a calcular el precio y cantidad de equilibrio para lafuncion de oferta y demanda originales:

−20p + 2000 = 10p + 1000

−30p = −1000

p = 33, 33

Qd = Qo = 1333, 33

Cuando cambiamos la funcion de demanda, el sistema queda:

−20p + 2100 = 10p + 1000

p = 36, 66

Qd = Qo = 1366, 66

Cuando la ordenada al origen de la funcion de demanda cambio de 2000 a 2100,el precio cambio de 33,33 a 36,66 y la cantidades transadas de 1333,33 a 1366,66.

EQ1 = (33, 33; 133, 33) −→ EQ2 = (36, 66; 1366, 66)

Ejercicio: Representa en un sistema de ejes cartesianos la situacion incial y final:

Recuerda :En el eje de absisas se representan las cantidades y en el de orde-nadas los precios.

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¿Como se produce el proceso de cambio desde un punto de equilibrio al otro?En un primer momento la recta que representa la funcion de demanda se desplazahaca la derecha, razon por la cual al mismo precio (33,33), la cantidad demanda-da es mayor que la cantidad ofertada. Esta situacion se conoce como Exceso dedemanda. Este desequilibrio causa un proceso de ajuste en precios y cantidadesofertadas y demandadas que desemboca en un nuevo precio de equilibrio: 36,66y una nueva cantidad de equilibrio: 1366,66.

Resumiendo:

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Exceso de demanda:Cuando el precio es menor que el precio de equilibrio; lacantidad demandada es mayor que la cantidad ofertada. Esta situacion se conocecomo exceso de demanda. Las cantidades ofertadas y demandadas deben ajus-tarse hasta desembocar en una situacion de equilibrio con un precio mayor, unacantidad ofertada mayor y una cantidad demandada menor.

Exceso de Oferta:Cuando el precio es mayor que el precio de equilibrio; la canti-dad ofertada es mayor que la cantidad demandada. Esta situacion se conoce comoexceso de oferta. Las cantidades ofertadas y demandadas deben ajustarse hastadesembocar en una situacion de equilibrio con un precio menor, una cantidadofertada menor y una cantidad demandada mayor.

Ejercicio: En el ejercicio anterior la cantidad demandada es Qd = −20p+ 2000 yla cantidad ofertada cambia a Qo = 10p + 1100

a) ¿Como cambia la cantidad demandada y el precio de equilibrio?b) ¿En un primer instante hay exceso de oferta o de demanda?c.)Explicar como se da el proceso de ajuste hacia el nuevo equilibrio.

Ejercicio: Completar el siguiente cuadro:

Situacion Exceso de demanda Equilibrio Exceso de oferta

Relacion entre Qd y Qo

Relacion entre el peq y p

Qd debe

Qo debe

Precio debe

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