notas de clase algebra lineal

Mis Notas de Clase “Una experiencia de aula”

José Francisco Barros Troncoso

Algebra Lineal

Con aplicación a la economía y a la

administración

2015

Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2

Algebra Lineal

Con especial cariño a mi

madre Delva por su crianza, por la

semilla que sembraste en mí, a Lilia

mi esposa, por su apoyo, estimulo,

comprensión y sacrificio, a mis hijos

porque son la fuente de inspiración,

todas aquellas personas que han

creído en mi trabajo y que me han

dado la oportunidad de seguir

creciendo cada día y en especial a

mis estudiantes a quienes va

dirigido este trabajo y que son mis

verdaderos pares académicos.

Gracias

José Francisco Barros Troncoso Mayo 18 de 2014


Algebra Lineal

TABLA DE CONTENIDO

ALGEBRA LINEAL ..................................................................................................................... 4

ARREGLO ................................................................................................................................... 5

MATRICES .................................................................................................................................. 5

Suma y Diferencia de Matrices ................................................................................................. 9

Multiplicación de Matrices ..................................................................................................... 20

Multiplicación entre Matrices ................................................................................................ 27

REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN ........................................................................................... 44

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ....................................................................................... 59

Determinante de una Matriz de orden 2 ............................................................................... 59

Determinante de una Matriz de Orden 3 .............................................................................. 60

Regla de Sarrus ........................................................................................................................ 60

Solución de Sistema Lineales de Ecuaciones por Determinante ......................................... 61

Solución Matricial de un Sistemas de Ecuación lineal de 2x2 (Regla de Cramer) ............. 61

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 𝟑 × 𝟑 por determinante ........................ 66

INVERSA DE UNA MATRIZ ..................................................................................................... 71

Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos ................................................. 71

ECUACIONES MATRICIALES .................................................................................................. 75

APLICACIÓN DE LAS MATRICES EN LA ECONOMÍA ............................................................ 76

Modelos de Entrada-Salida de Leontief ................................................................................ 76

Modelo de Salida o Cerrado de Leontief ............................................................................... 89

DESIGUALDADES .................................................................................................................... 98

INTERVALOS ........................................................................................................................... 99

INECUACIONES LINEALES ................................................................................................... 100

SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES ............................................ 110

ESPACIOS VECTORIALES ..................................................................................................... 122

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 136

Web-Grafía ............................................................................................................................. 136


Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL

La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe تاب بر ك ج لة ال قاب م (وال(que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) بر proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación ,(al-dejaber) (yebr) جde cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.

Ejemplo de Aplicación del Algebra Lineal 1. Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte

regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma tabular. Por ejemplo un contratista de una construcción que construye diferentes estilos de casa puede catalogar el número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa en una tabla de datos así:

De acuerdo a la información suministrada responda

Materiales Rancho Colonial Clásica Madera 28 35 23 Tablas 34 19 25 Techado 12 25 27

http://es.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al-Jwarizmi

http://es.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al-Jwarizmi

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_%C3%A1rabe

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Etimolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_%C3%A1rabe

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/1843

http://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton

http://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/1844

http://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Grassmann


Algebra Lineal

¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita material? ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita madera? ¿Cuál es el material que más se gasta?

2. El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados.

Rubro Departamento

Man

ufac

Oficin

a

Ven

ta

Distrib

ució

n

Co

ntab

ilidad

Ad

mó

n

Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0

¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros de menor y mayor gasto?

ARREGLO

Conjunto o agrupación de variables o cantidades de la misma estructura cuyas posiciones se referencian por medio de sub-índices. Existen arreglos unidimensionales denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales.

El subíndice es un entero que indica la posición de un elemento del arreglo. El Rango es el número de elementos del arreglo.

MATRICES Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la matriz A que representa el ejemplo del número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de materiales y las columnas a los de vivienda.

Columna 1 Columna 2 Columna 3


Algebra Lineal

A= Una matriz A de m fila y n columnas se dice una matriz de mxn dicho número indica el tamaño de la matriz y el número de elementos que esta contiene, se puede representar:

𝐴 =

[ 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 … 𝑎1,𝑛𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 … 𝑎2,𝑛𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 … 𝑎3,𝑛: : : … :

𝑎𝑚,1 𝑎𝑚,2 𝑎𝑚,3 … 𝑎1𝑚,𝑛]

Cada elemento aij de A está ubicado en la fila i columna j. Los sub-indices indican la posición del elemento en la matriz. Una matriz de n filas y n columnas se dice una matriz cuadrada de orden n.

Consideremos la matriz B de orden 4:

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

A31 A32 A33 A34

A41 A42 A43 A44

TIPOS DE MATRICES Matrices Equidimensionales: Son las que tienen el mismo tamaño Matrices Iguales: Son las que sus elementos correspondientes son iguales Atendiendo a la forma Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn.

A = (a1, a2, a3,…, an)

28 35 23 Fila 1 34 19 25 Fila 2 12 25 27 Fila 3

DIAGONAL

PRINCIPAL

DIAGONAL

SECUNDARIA

TRIANGULAR

SUPERIOR

TRIANGULAR

INFERIOR


Algebra Lineal

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1.

A =

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si

aij = –aji " i, j.

Atendiendo a los elementos

a1 a2 a3 an


Algebra Lineal

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.

Ejercicio Escriba una matriz A de orden 4

jisiji

jisijiaij

2


Algebra Lineal

Suma y Diferencia de Matrices

La suma de dos matrices A= (aij), B= (bij) equidimensionales, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe

el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B) Ejercicio

1. Sean A= B= C= Hallar:

a. La traspuesta de A b. A + B c. (𝐴 + 𝐵)𝑡 d. C – B e. A + C – B f. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula

1 3 5

3 8 7

3 6 1

2 0 1

2 0 6

3 -2 -1


Algebra Lineal

2. Dadas las matrices:

𝐴 = [2 0 13 0 05 1 1

] 𝑦 𝐵 = [1 0 11 2 11 1 0

]

Calcular: A + B; A - B; At; Bt.

3. Sean las matrices:

𝐴 = [−2 0 10 1 0

] 𝑦 𝐵 = [1 01 20 −1

]

Compruebe que 𝐴 + 𝐵𝑡 = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑡

4. Ejercicio encuentre w, x, y y z si:

a. [𝑥 44𝑦 𝑤

] + [−4𝑥 2𝑧−3 −2𝑤

] = [12 8𝑦 6

]

b. [2𝑥 −𝑦𝑧 3𝑤

] + [𝑥 3𝑦2𝑧 −2𝑤

] = [6 −8−3 1

]

c. [𝑥 −23 𝑦

] + [−2 𝑧−1 2

] = [4 −22𝑤 4

]

5. Dadas las matrices

𝐴 = [1 2 3−1 0 2

] 𝑦 𝐵 = [−1 5 −22 2 −1

]

Hallar A + B, A – B, B - A

6. Dadas las matrices A, B y C hallar p, q, r, s, t y u de tal manera que A + B + D = 0

𝐴 = [1 23 45 6

] 𝐵 = [−3 −21 −54 3

] 𝐷 = [𝑝 𝑞𝑟 𝑠𝑡 𝑢

]

http://ima.u cv. cl/hipertexto /ali neal /cap1 /ejer5.h tml

7. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son

validas

http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html


Algebra Lineal

[𝑥 3 42 −1 𝑦1 𝑧 𝑧

] + [1 𝑡 −13 4 𝑥𝑢 𝑦 𝑠

] = [2 7 𝑣 + 15 𝑤 − 2 30 5 𝑢

]

8. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son validas

[𝑎 4𝑏𝑐 3𝑑𝑒 2𝑓

] + 2 [1 −2−1 32𝑒 𝑎

] = 3 [−1 −41 −2𝑎 𝑏

]


𝐴 = [

1 −2 3 5−2 2 −1 13 −1 3 −15 1 −1 1

] 𝐵 = [

1 2 1 −1−2 1 3 4−1 −3 1 11 −4 −1 1

]

𝐶 = [

1 0 12 1 −1−2 1 21 −2 0

] 𝐷 = [

1 20 −1−2 02 1

]

a. ¿Cuáles son los tamaños de cada una de las matrices? b. ¿Cuáles son cuadradas? c. De las matrices cuadradas indicar los elementos de la diagonal principal,

secundaria, triangular superior e inferior de cada una. d. ¿Cuáles son los elementos: A[3,2], B[2,3], C[4,1], D[1,3] y B[3,4] e. Escribe la traspuesta de C f. ¿Alguna de las matrices es simétrica, antisimétrica, nula, diagonal, escalar?

¿cuál? ¿por qué? g. Calcule A+B

10. Sea A la matriz de tamaño 3x2, dada por la expresión Aij=B2i-j. La matriz correspondiente a esta relación, es

𝐴. [1 03 25 4

] 𝐵 = [1 13 25 4

] 𝐶 = [1 03 25 3

] 𝐷 = [1 03 24 5

]

Tecnología: En la página www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma,

http://www.macstat.org/


Algebra Lineal

resta, multiplicación, obtención de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas. Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted indague por bibliografía o web-grafía. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm Problemas de Aplicación 1. Suponga que en un organismo del estado la información fluye constantemente entre

oficinas de acuerdo con el siguiente diagrama

a. Construya la matriz A con los elementos

1 Si el flujo de información fluye directamente de i a j aij 0 Si el flujo de la información no fluye directamente de i a j

b. Construya una matriz B con los elementos

1 Si la información fluye de i a j a través de no más de un intermediario, con i≠j

aij 0 En caso contrario

c. La persona de la oficina i tiene mayor poder de influencia si la suma de los elemento

de la fila i en la matriz A+B es la mayor ¿cuál es el número de la oficina de esta persona?

2. La administración trata de identificar a la persona más activa en los esfuerzos laborales para la sindicalización. El siguiente diagrama muestra como fluye la influencia de empleado hacia otro entre los cuatro empleados más activos

1 2

5

3 4

1 2

3 4

http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm


Algebra Lineal

a. Construya la matriz A con los elementos 1 Si i fluye directamente a j aij 0 de otra manera

b. Construya una matriz B con los elementos

1 Si i fluye a j a través de no más de un 1 persona, con i≠j aij 0 En caso contrario

c. La persona i es más activa en la influencia con otras si la suma de los elementos de la fila i de la matriz A +B es la más grande ¿quién es la persona más activa?

3. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes.

En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo cliente, 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C. En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno. a. Construye las matrices correspondientes a las ventas de enero y febrero. b. ¿cuál fue el producto que incremento más la venta en febrero? c. Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero.

a. Las matrices de enero y febrero serían

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑜 = [

𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4𝐴 9 3 0 6𝐵 5 8 0 7𝐶 2 0 0 1

] ; 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [

𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4𝐴 18 6 4 0𝐵 10 16 4 0𝐶 4 0 4 0

]

b. Para saber cuál fue el producto que incremento más su venta en febrero se tiene que

sumar las ventas de cada producto en los dos meses


Algebra Lineal

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑜 = [

𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4𝐴 9 3 0 6𝐵 5 8 0 7𝐶 2 0 0 1

]

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎18203

; 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [

𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4𝐴 18 6 4 0𝐵 10 16 4 0𝐶 4 0 4 0

]

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎28308

Los productos A y B incrementaron la venta en la misma cantidad

c. Las ventas de los dos meses fueron

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑜 + 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [

𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4𝐴 27 9 4 6𝐵 15 24 4 7𝐶 6 0 4 1

]

4. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son

𝐸 = [2 6 1 20 1 3 52 7 9 0

] , 𝐹 = [0 2 8 42 3 3 24 0 2 6

]

a. Se pregunta: ¿Cuántas unidades de modelos extra lujos se vendieron? ¿En qué mes

se vendieron más modelos regulares amarillos? ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

b. F – E ¿Qué encuentra?

5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A.

𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 5 3 2𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 7 4 5𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 10 8 4

La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz



Algebra Lineal

¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas? ¿Cuáles son los modelos que más y menos se producen en las dos plantas? ¿Cuáles son los tamaños de televisor que más y menos se producen en las dos plantas?

6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas

y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada la siguiente matriz

Hombres Mujeres Niños Negro 30 34 20 Café 45 20 16 Blanco 14 26 25

La producción en la planta 2 está dada por


Determine la producción matricial de la producción total de cada tipo de zapato en ambas plantas

7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas en el mes de enero y la matriz Y la producción de las dos plantas para el mes de febrero. Las matrices X y Y son como sigue

A B A B LCD 20 40 LCD 28 35

X= PLASMA 45 30 Y= PLASMA 40 25

3D 15 10 3D 25 18

a. Calcule Y – X b. De a. responda:

¿Qué pasa con la producción de televisores durante los dos meses? ¿Qué pasa con la producción de las plantas durante los dos meses?

8. Un agricultor que posee tres fincas, muestra en el siguiente cuadro las pérdidas o

ganancias de sus productos, medidas en toneladas, en los dos últimos años:


Algebra Lineal

Trigo Arroz Frijol Maíz Café Finca 1 -0,5 10 3 7 2 A2009= Finca 2 -3 0,6 0 12 -1 Finca 3 4 -2 -1 15 13

Trigo Arroz Frijol Maíz Café Finca 1 3 2 -4 3 5 A2010= Finca 2 1,6 1 -2 0 4 Finca 3 8 -3 4 7 10

a. ¿Cuál considera usted fue el mejor año para el agricultor? ¿por qué? b. Calcule A2009 + 2010 c. ¿Cuál fue la finca que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores

pérdidas? En los dos años d. ¿Cuál fue el producto que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores

pérdidas? En los dos años e. ¿Cuál fue el producto y en que finca que arrojo más ganancias? y ¿Cuál fue el

producto y en que finca que arrojo más perdidas? En los dos años

9. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2009 y 2010 vienen dadas por las matrices:

X Y

Z

A 11 6,7 0,5 A2009= B 14,5 10 1,2

C 20,9 3,2 2,3

X Y Z

A 13,3 7 1

A2010= B 15,7 11,1 3,2 C 21 0,2 4,3

a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.

b. Si se proyecta para el 2011 un incremento en las exportaciones en un 6% halla el escalar y la nueva matriz con dicho incremento

c. Calcule e indique el país que más exportaría en el 2011

10. Una compañía de artículos electrónicos fabrica TV, VCR y reproductores de CD en dos

plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y la matriz Y la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como sigue


Algebra Lineal

A B A B TV 20 40 TV 20 40

X= VCR 45 30 y= VCR 45 30 CD 15 10 CD 15 10

11. El inventario de la librería universitaria es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción, 2320; consultas, 1890. Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; consultas, 2070; libros de texto, 1940. El inventario de la librería académica es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción, 1790; consultas, 1980. Rústica: no ficción, 1720; ficción, 3100; libros de texto, 2050; consultas, 2710. a. Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A. b. Represente el inventario de la librería académica como una matriz B. c. Si las dos librerías deciden unirse, escriba una matriz C que represente el inventario

total de la nueva empresa.

12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes

hasta el primero de enero en un banco

Cuentas

Corrientes Ahorro Depósito

Principal 2820 1470 1120

A= Sucursal uno 1030 520 480

Sucursal dos 1170 540 460

La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre del año y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo. Así

𝐵 = [260 120 110140 60 50120 70 50

] 𝑦 𝐶 = [120 80 8070 30 4060 20 40

]

Encuentre la matriz D que represente el número de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada local.


Algebra Lineal

13. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una compañía en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en miles de millones de pesos) para la misma compañía en el 2007 en las mismas ciudades.

𝐴 = ⌈𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖450 280 850400 350 150

⌉𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜

𝐵 ⌈𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖375 300 710410 300 200

⌉𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜

a. Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos

años. b. Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007

a 2006. c. Determine cuáles son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor venta

al menudeo

14. A partir de los datos de las siguientes tabla:

Importaciones

PAISES 83 84 85

Desarrollados 122 822 135 884 134 018

En vías de desarrollo 72 342 74 421 72 673 Comunistas 5 085 7 214 7 091 Otros 289 369 365

Exportaciones

PAISES 83 84 85

Desarrollados 152 117 200 714 223 314

En vías de desarrollo 102 266 119 790 116 161 Comunistas 3 604 5 221 5 801 Otros 1 1 0

a. Elabore una matriz A que dé el valor (en millones de dólares) de las

importaciones de diversas agrupaciones de países en los años 1983-1985 b. Elabore una matriz B que dé el valor (en millones de dólares) de las

exportaciones de las mismas agrupaciones en los mismos años. c. Encuentre la balanza comercial para cada agrupación de países en cada año

encontrando B – A


Algebra Lineal

d. Haga un análisis de la matriz resultante http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/rango.htm

15. Durante el 2012 y 2013 una fábrica distribuyó sus excedentes en tres productos alimenticios 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 a cuatro países de África 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 𝑦 𝑃4 según se describen en las matrices 𝑀2012 y 𝑀2013 (cantidades en toneladas).

𝑀2012 =𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 [ 𝐴 𝐵 𝐶200 100 120110 130 200220 200 100150 160 150]

; 𝑀2013 =𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 [ 𝐴 𝐵 𝐶250 120 120110 110 200250 200 100170 150 100]

Se pregunta a. ¿En qué año se distribuyeron más excedentes? ¿Cuál fue el país que recibió más

excedentes durante los dos años? ¿Cuál fue el país que recibió igual cantidad del

mismo producto durante los dos años?

b. Calcule 𝑀2013 −𝑀2012 ¿qué encuentra?

http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/rango.htm


Algebra Lineal

Multiplicación de Matrices

Producto de una matriz por un Escalar

Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz

Ejercicio:

1. 5 × [3 24 16 9

] = [15 1020 530 45

]

2. 0.5 × [−2 3 06 −1 4

] = [−1 1.5 03 −0.5 2

]

3. Obtener las matrices 𝐴 y 𝐵 que verifiquen el sistema:

2𝐴 + 𝐵 = [1 2 2−2 1 0

] ①

𝐴 − 3𝐵 = [−4 −3 −2−1 0 −1

] ②

Multiplicamos la matriz ① por 3:

3 × (2𝐴 + 𝐵) = 3 × [1 2 2−2 1 0

]

6𝐴 + 3𝐵 = [3 6 6−6 3 0

] ③

Sumando ② y ③

7𝐴 = [−1 3 4−7 3 −1

]

Multiplicamos por 1/7 1

7× 7𝐴 =

1

7× [−1 3 4−7 3 −1

]

𝐴 = [−1/7 3/7 4/7−1 3/7 −1/7

]


Algebra Lineal

En la ecuación ① restamos 2𝐴 en ambos lados de la igualdad

−2𝐴 + 2𝐴 + 𝐵 = −2𝐴 + [1 2 2−2 1 0

]

𝐵 = −2𝐴 + [1 2 2−2 1 0

]

Remplazando A:

𝐵 = −2 × [−1/7 3/7 4/7−1 3/7 −1/7

] + [1 2 2−2 1 0

]

𝐵 = [2/7 −6/7 −8/72 −6/7 2/7

] + [1 2 2−2 1 0

]

𝐵 = [9/7 8/7 6/70 1/7 2/7

]

Luego

𝐴 = [−1/7 3/7 4/7−1 3/7 −1/7

] 𝑦 𝐵 = [9/7 8/7 6/70 1/7 2/7

]

Veámoslo

En ①

2𝐴 + 𝐵 = [1 2 2−2 1 0

]

2 [−1/7 3/7 4/7−1 3/7 −1/7

] + [9/7 8/7 6/70 1/7 2/7

] = [1 2 2−2 1 0

]

[−2/7 6/7 8/7−2 6/7 −2/7

] + [9/7 8/7 6/70 1/7 2/7

] = [1 2 2−2 1 0

]

[7/7 14/7 14/7−2 7/7 0

] = [1 2 2−2 1 0

]


Algebra Lineal

[1 2 2−2 1 0

] = [1 2 2−2 1 0

]

En ②

𝐴 − 3𝐵 = [−4 −3 −2−1 0 −1

]

[−1/7 3/7 4/7−1 3/7 −1/7

] − 3 [9/7 8/7 6/70 1/7 2/7

] = [−4 −3 −2−1 0 −1

]

[−1/7 3/7 4/7−1 3/7 −1/7

] − [27/7 24/7 18/70 3/7 6/7

] = [−4 −3 −2−1 0 −1

]

[−28/7 −21/7 −14/7−1 0 −7/7

] = [−4 −3 −2−1 0 −1

]

[−4 −3 −2−1 0 −1

] = [−4 −3 −2−1 0 −1

]

4. Encontrar el valor de las variables si

a. [1 𝑥2𝑦 −3

] − 4 [2 −20 3

] = [3𝑧 104 −𝑤

]

b. [1 23 4𝑥 −1

] − 3 [𝑦 − 1 21 24 2𝑧 + 1

] = 2 [−4 −𝑤0 −14 4

]

c. 3[𝑥 1 −10 −2 31 𝑦 2

] + 2 [−2 𝑡 0𝑧 1 −1𝑢 2 𝑣

] = [−4 1 −𝑣4 2𝑢 𝑤−1 7 12

]


𝐴 = [1 2 3−1 0 2

] 𝑦 𝐵 = [−1 5 −22 2 −1

]

Hallar A - 2B



Algebra Lineal

𝐴 = [2 1 −35 2 0−3 1 −4

] 𝐵 = [6 2 −10 1 −20 1 0

] 𝐶 = [4 1 20 3 21 −2 3

]

Determinar tal que 2𝐴 + 3𝑋 = (12𝐶) × (23𝐵)

5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A.


La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼

𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 4 5 3𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 9 6 4𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 8 12 2

Si la empresa decide incrementar su producción en la planta número uno en un 20 % y disminuir la producción de la planta en un 15%. Encuentre el escalar y las nuevas matrices.

6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas y

caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada la siguiente matriz


La producción en la planta 2 está dada por



Algebra Lineal

a. Si la producción de la planta 1 se incrementa en un 50% y la producción de la planta 2 disminuye un 25% de la encuentre los escalares, las nuevas matrices.

b. Determine la diferencia de producción total antes y después en ambas plantas

7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas en el mes de febrero

A B

LCD 20 40 X= PLASMA 45 30

3D 15 10

a. Por la diminución en las ventas la dirección establece para marzo una disminución

en la producción 25% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de producción proyectada para marzo.

b. Por el incremento en las ventas la dirección establece para abril un incremento en

la producción del 35% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de producción proyectada para abril.

8. La siguiente tabla muestra el presupuesto del gasto anual de una compañía, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados.

Rubro Departamento

Man

ufac

Oficin

a

Ven

ta

Distrib

ució

n

Co

ntab

ilidad

Ad

mó

n



Algebra Lineal

Encuentre el escalar y la matriz presupuesto para los siguientes cambios en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8%

9. Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de los televisores, DVD y equipos de sonidos estuvo dada por

Distribuidor TV DVD E Sonido A 22 34 16 B 14 40 20

a. Si la dirección establece ventas objetivo para junio de un 25% de aumento sobre las ventas de mayo, halle el escalar y las ventas proyectadas para junio.

b. Si la dirección establece ventas objetivo para julio de un 15% de disminución sobre las ventas de junio, halle el escalar y las ventas proyectadas para julio.

10. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto mes

tiene los gastos diarios ( en dólares) que se muestran en la matriz A

𝐴 =

[ 𝐶𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑒𝑑𝑎𝑗𝑒 𝑉𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠

22 40 100 5 𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠20 40 20 0 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠28 70 45 0 𝑀𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠15 70 20 10 𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠20 0 100 5 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠 ]

a. El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en

cada categoría) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la

segunda semana.

b. Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa semana

son 4% menores (en cada categoría) de lo que fue en la segunda semana.

11. El inventario total de una librería universitaria es:

Libros de Texto Ficción No Ficción Consultas

Pasta Dura 11620 3900 4110 3870

Pasta Rústica 486 4590 3790 4680


Algebra Lineal

Debido a la apertura de una universidad en las cercanías se decide incrementar el

inventario en un 12%. Halle el escalar por el cual se debe multiplicar la matriz C y

escribir una matriz D con el nuevo inventario, redondeando cada cifra al entero más

cercano.

12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes

en el primer trimestre del año en un banco

Cuentas

Corrientes Ahorro Depósito

Principal 2960 1510 1150

A= Sucursal uno 1100 540 490

Sucursal dos 1230 590 470

Se prevé que para el segundo trimestre se incrementara el número de cuentas en un

15%. Encuentre el escalar por el que se debe multiplicar la matriz D para que se refleje

el incremento previsto y escriba la matriz resultante.

13. Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E), de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 tipo B y 8 tipo C. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 B y 28 C. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 B y 36 C. a. Represente la información en forma de matriz. b. Debido a una crisis en la bolsa se proyecta un disminución de las acciones en un

12%, calcule el escalar y la nueva matriz.

14. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son

𝐸 = [2 6 1 20 1 3 52 7 9 0

] , 𝐹 = [0 2 8 42 3 3 24 0 2 6

]

a. El administrador pronostica una disminución de las ventas para el mes de marzo

del 35%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente. b. El administrador pronostica un incremento de las ventas para el mes de abril del

45%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente.


Algebra Lineal

Multiplicación entre Matrices

En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz.

Gráficamente Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si:

fA x cB x fB x cB = fA x cB Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:

, donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices:

A B C

1 2 3 4 1 5 10 30 70 120

5 6 7 8 X 2 6 11 = 70 174 304

9 10 11 12 3 7 12 110 278 488

4 8 13

Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes operaciones:

C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5 * 5

A[2,2] * B[2,2] = 6 * 6

A[2,3] * B[3,2] = 7 * 7

A[2,4] * B[4,2] = 8 * 8

Suma: 174

Ejercicios: 1. Dadas las matrices

=


Algebra Lineal

𝐴 = [2 31 45 1

] 𝐵 = [1 2 34 5 6

] → 𝐴.𝐵 = [2 31 45 1

] [1 2 34 5 6

]

= [2𝑥1 + 3𝑥4 2𝑥2 + 3𝑥5 2𝑥3 + 3𝑥61𝑥1 + 4𝑥4 1𝑥2 + 4𝑥5 1𝑥3 + 4𝑥65𝑥1 + 1𝑥4 5𝑥2 + 1𝑥5 5𝑥3 + 1𝑥6

] = [2 + 12 4 + 15 6 + 181 + 16 2 + 20 3 + 245 + 4 10 + 5 15 + 6

] = [14 19 2417 22 279 15 21

]


𝐴 = [2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

] 𝐵 = [−13−2] → 𝐴.𝐵 = [

2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

] [−13−2]

= [

2𝑥(−1) + (−3)𝑥3 + (−5)𝑥(−2)(−1)𝑥(−1) + 4𝑥3 + 5𝑥(−2)

1𝑥(−1) + (−3)𝑥3 + (−4)𝑥(−2)

] = [−2 − 9 + 101 + 12 − 10−1 − 9 + 8

] = [−13−2]

3. Calcular

[2 −1 0 13 −2 1 1

] × [

3 1 21 −2 3−2 3 11 2 1

]

4. Dadas las matices:

𝐴 = [1 2 05 − 3 4

] 𝐵 = [−2 5 6 2 0 − 1

] 𝐶 = [1 0 1 75 3 5 − 22 4 3 2

]

Verifique que se cumple: (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 Veamos

(𝐴 + 𝐵)𝐶 = ([1 2 0 5 −3 4

] + [ −2 5 6 2 0 −1

]) [ 1 0 1 7 5 3 5 − 22 4 3 2

]

= [−1 7 67 − 3 3

] [1 0 1 75 3 5 − 2 2 4 3 2

]

= [46 45 52 − 9−2 3 1 61

]


Algebra Lineal

𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = [1 2 0 5 − 3 4

] [ 1 0 1 7 5 3 5 − 22 4 3 2

] + [−2 5 6 2 0 − 1

] [ 1 0 1 7 5 3 5 − 22 4 3 2

]

= [11 6 11 3−2 7 2 49

] + [35 39 41 − 120 − 4 − 1 12

]

= [46 45 52 − 9−2 3 1 61

]

Por lo tanto se cumple (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶

5. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:

𝐴 = [0 1 11 0 11 1 0

]

(𝐴 ∗ 𝐴) − 𝐴 − 2𝐼 = [ 0 1 1 1 0 11 1 0

] [0 1 1 1 0 11 1 0

] − [0 1 1 1 0 11 1 0

] − 2 [1 0 00 1 00 0 1

]

= [2 1 11 2 1 1 1 2

] − [0 1 11 0 11 1 0

] − [2 0 00 2 00 0 2

] = [0 0 00 0 00 0 0

]

Por tanto A2 - A- 2 I = 0

6. Dadas las matrices:

𝐴 = [2 0 13 0 05 1 1

] 𝑦 𝐵 = [1 0 11 2 11 1 0

]

Calcular: A x B; B x A

7. Encuentre A2 +2A – 3I si

1 2 A= 2 3


Algebra Lineal

8. Determine 𝐴2 − 5𝐴 + 2𝐼 si

𝐴 = [1 0 00 2 10 0 3

]

9. Demostrar que: A2 - 3A+2 I = 0, siendo:

𝐴 = [1 0 00 −4 100 −3 7

]


𝐴 = [2 1−1 1

] ; 𝐵 = [1 23 −2

] 𝑦 𝐶 = [2 1−1 −4

]

Determinar la matriz 𝑋 tal que 𝑋 × 𝐴 = 2𝐵 + 𝐶


𝐴 = [1 −1 11 2 10 1 2

] ; 𝐵 = [1 2 21 1 32 0 2

] 𝑦 𝐶 = [0 0 4−2 −8 −6−4 2 0

]

Determinar la matriz 𝑋 tal que 𝑋 × 𝐴 = 2𝐵 + 𝐶

12. Sean las matrices:

𝐴 = [𝑥 12𝑥 −1−𝑥 1

] ; 𝐵 = [1𝑦] ; 𝐶 = [

𝑧2𝑧−𝑧] ; 𝐷 = [

101/3

]

, donde x, y, z son desconocidos. a. Calcular las matrices (AB) + C y 3D b. Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los

valores de x, y, z.

13. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC)

a. 𝐴 = [2 13 1

] ; 𝐵 = [−1 11 0

] ; 𝐶 = [1 42 3

]


Algebra Lineal

b. 𝐴 = [2 1 −13 1 2

] ; 𝐵 = [1 12 03 −1

] ; 𝐶 = [13]


𝐴 = [2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

] 𝐵 = [−1 3 51 −3 −5−1 3 5

] 𝐶 = [2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

]

a. Verifique que AB = BA = 0; AC = C y CA=A b. Use los resultados de (a) para comprobar que:

ACB = CBA A2 – B2 = (A – B) (A + B) (A + B)2 = (A – B)2 = A2 + B2

15. Calcule los productos matriciales AB y BA si

𝐴 = [1 −2 3 10 1 1 −11 −2 0 −5

] 𝐵 = [

−2 1 3−2 3 −13 −4 −31 −1 −1

]

16. Sean 𝑋 = [1 0 0] 𝑦 𝐴 = [3 1 52 0 11 1 7

]

a. Determinar el orden de XA y comparar con las filas o columnas de

b. Si 𝑋 = [0…0 1 0…0] donde 1 aparece en la posición (1,i) determinar el orden de XA y AXt, comparar con las filas o columnas de A con

Ejercicios Determine si los valores dados de y, x y z son la solución para la ecuación matricial dada sustituyendo los valores dados en la ecuación matricial y efectuando la multiplicación matricial.

1. [1 1 24 0 12 1 1

] [𝑋𝑌 𝑍] = [

555

]


Algebra Lineal

Solución: Al realizar la multiplicación de matrices nos queda el siguiente sistema de ecuaciones

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5 (1) 4𝑥 + 𝑧 = 5 (2) 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 (3)

Hallamos los valores de X Y y Z: Utilizamos el método de eliminación en (1) y (3) X+Y+2Z=5 (multiplicamos por -2) −2X − 2𝑌 − 4Z =−10 2X+Y+Z=5 (multiplicamos por 2) 4𝑋 + 2𝑌 + 2𝑍 = 10 2X −𝑍 = 0 (4) Aplicamos el método de eliminación en (2) y (4) 4𝑋 + 𝑍 = 5 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 2) 8𝑋 + 2𝑍 = 10 2𝑋 − 2𝑍 = 0 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 1) 2X − 2Z = 0 X= 1 10X = 10

Reemplazo el valor de X en (2) 4(1)+Z=5 4+Z=5 Z=1

Reemplazo el valor de X y Z en (3) 2(1)+Y+(1)=5 2+Y+1=5 Y=5-3 Y=2

Por lo tanto X=1, Z=1 y Y=2 Verificando:

(1 1 24 0 12 1 1

)(121) = (

555)

[1 0 11 1 00 1 1

] [𝑥𝑦𝑧] = [

−10−3] [

1 1 11 −1 11 −1 −1

] [𝑥𝑦𝑧] = [

−204]


Algebra Lineal

[2 1 −13 −2 1−4 3 2

] [𝑥𝑦𝑧] = [

−13−11

] [3 1 02 −2 11 1 2

] [𝑥𝑦𝑧] = [

492]

[1 1 24 0 12 1 1

] [𝑥𝑦𝑧] = [

555] [

1 0 23 1 01 2 1

] [𝑥𝑦𝑧] = [

073]

Ejercicios El siguiente sistema matricial representa el portafolio de dos productos (X, Y), cuyos costos totales ascienden a 15 (millones de pesos), y el total de las unidades producidas es de 5 (miles):

[7 21 1

] [𝑥𝑦] = [

155]

La solución del sistema matricial anterior arroja los siguientes resultados para los dos productos (X, Y), respectivamente en miles de unidades producidas: a. 15 Y 5 b. 40 y 10 c. 1 y 4 d. 7 y 2 e. 1 y 15

Aplicación de la Multiplicación entre Matrices 1. Una pequeña empresa constructora cobra a $10 800 la hora por camión sin conductor,

$36 000 la hora por un tractor sin conductor y $18 000 la hora por conductor. La empresa utiliza la matriz A para diversos tipos de trabajo

Tipo de trabajo I II III IV A= 1 1 1 2 Camión 2 0 1 1 Tractor 3 1 3 4 Conductor

a. Construya una matriz de fila P con los precios que la empresa fija.

Camión Tractor Conductor P= 10 800 36 000 18 000

b. Calcule el producto PA. ¿Qué encuentra?


Algebra Lineal

Tipo de trabajo I II III IV

Camión 1 1 1 2 Tractor 2 0 1 1

Conductor 3 1 3 4

Camión Tractor Conductor Precios 10 800 36 000 18 000 ×

Tipo de Trabajo I II III IV P×A= Precios 136 000 28 800 100 800 129 600

El costo por tipo de trabajo

c. Suponga que para un pequeño proyecto la empresa utilizo 20 horas de trabajo del tipo I, 30 horas de trabajo del tipo II, 10 del tipo III y 10 del tipo IV. Construya una matriz de columna S que denota la matriz de oferta.

Horas I 20 II 30 S= III 10 IV 10

d. Determine e intérprete los elementos de AS.

Tipo de trabajo I II III IV

Camión 1 1 1 2 Tractor 2 0 1 1

Conductor 3 1 3 4

×

Horas I 20 II 30 III 10 IV 10

Horas Camión 80 AS= Tractor 60 Conductor 160

El número de horas de trabajo requerido por camión, tractor y conductor para el proyecto.

e. Evalúe e interprete el producto de matrices PAS


Algebra Lineal

Camión Tractor Conductor Precio 10 800 36 000 18 000

×

Horas Camión 80 Tractor 60

Conductor 160

PAS Precio 5´904 000

Obtenemos como resultado el valor del proyecto.

2. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, madera y cemento de tres proveedores:

P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por la matriz:

𝐿 𝑇 𝑀 𝐶𝑃 8 13 6 6𝑄 6 12 7 8𝑅 7 14 6 7

El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita: a. Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas, 12 de madera y 18 de cemento. b. Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas, 15 de madera y 20 de cemento. c. Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas, 15 de madera y 15 de cemento. ¿Qué proveedor es el más económico para cada obra? El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿a cuál le compraría? Construimos la matriz de obras: Consideremos 𝑃𝑂 la primera obra, 𝑆𝑂 la segunda y 𝑇𝑂 la tercera

[

𝑃𝑂 𝑆𝑂 𝑇𝑂𝐿 24 20 20𝑇 5 7 4𝑀 12 15 15𝐶 18 20 15]

Calculamos el producto de la matriz de precios de proveedor matriz de obras y obtenemos el total cobrado por proveedor


Algebra Lineal

[

𝐿 𝑇 𝑀 𝐶𝑃 8 13 6 6𝑄 6 12 7 8𝑅 7 14 6 7

] ×

[

𝑃𝑂 𝑆𝑂 𝑇𝑂𝐿 24 20 20𝑇 5 7 4𝑀 12 15 15𝐶 18 20 15]

= [

𝑃𝑂 𝑆𝑂 𝑇𝑂𝑃 437 461 392𝑄 432 469 393𝑅 436 468 391

] 129012941295

El proveedor más económico para la primera obra es 𝑄 para la segunda es 𝑃 y para la tercera es 𝑅. Le compraría al proveedor P que es la propuesta más económica

3. Un supermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 gr de queso español, 160 gr de queso francés y 80 normandi; la bandeja B contiene 120 gr de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C contiene 150 gr de queso español, 80 gr del francés y 80 gr del normadi. La oferta se realizará durante dos días, el primer día se sacará a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 del B y 100 del C y para el segundo día se duplicará la venta del primero, obtén matricialmente la cantidad que se necesitarían de cada uno de las tres clase de queso.

4. Tres familias F1, F2 y F3 tienen los siguientes consumos de pan, carne y mantequilla: F1 consume 160 kg de pan, 200 Kg de carne y 1,5 Kg de mantequilla, F2 consume 200 Kg de pan, 230 Kg de carne y 2 Kg de mantequilla, F3 consume 90 Kg de pan, 150 Kg de carne y 1,75 Kg de mantequilla. Los precios, en miles de pesos, del pan, de la carne y de la mantequilla en los años 2010, 2011, 2012 y 2013 fueron: 2010: el pan costaba $1,45, la carne $13 y la mantequilla $0.15; 2011: el pan costaba $1,56, la carne $13 y la mantequilla $0.16; 2012: el pan costaba $1,71, la carne $13,5 y la mantequilla $0.16; 2013: el pan costaba $1,80€, la carne $14 y la mantequilla $0.18 Utiliza matrices para calcular el gasto anual de cada familia en el total de los cuatro años.

5. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, concreto, vidrio y pintura de tres proveedores. Los precios de cada proveedor por unidad de los cinco materiales esta dados en la matriz A

Proveedor Madera Ladrillo Concreto Vidrio Pintura P1 8 5 7 2 4 A= P2 9 4 5 2 5 P3 9 5 6 1 5

El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transporte. Hay tres obras en construcción actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de


Algebra Lineal

ladrillo, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10, y 12 respectivamente.

a. Represente en una matriz B la información de las unidades requeridas en cada obra. b. Calcule el producto AB c. Interprete los elementos de este producto y úselos para decidir cuál proveedor

debería utilizar en cada obra

6. Un hospital local reunió datos relacionados con personas admitidas para servicios de pacientes internados. La matriz P indica los porcentajes de todos los pacientes admitidos en unidades hospitalarias diferentes, S la duración promedio de la permanencia de un paciente (en días) para cada unidad de hospitalización y C el costo diario (en miles de pesos) para las diferentes unidades del hospital.

𝑃 = [

0.180.100.240.48

]

𝑂𝑏𝑠𝑡𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑙𝑜𝑔í𝑎

𝑃𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟í𝑎𝑂𝑡𝑟𝑎𝑠

𝑆 = [3 16 2 4] 𝐶 = [680 1400 540 360]

Si se admiten300 pacientes nuevos utilizar la operación con matrices para calcular a. El número de pacientes admitidos en cada unidad b. El número total de día por paciente esperado c. El costo total por día para los 300 pacientes

7. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y

S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a. Representar la información en dos matrices. b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas

para cada uno de los modelos.

8. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a. Representar esta información en dos matrices.


Algebra Lineal

b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

9. Suponga que un contratista acepta pedidos para materia prima que se utilizan para la

construcción de tres tipos de vivienda. La matriz R dan el número de unidades de cada materia prima que se utilizará en cada tipo de casa, así

Acero Madera Vidrio Pintura Mano de

Obra

Rústico 5 20 16 7 17

R= Moderno 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13

a. El contratista está interesado en conocer los costos que tendrá que pagar por estas

materias primas. Suponga que el acero cuesta $2500 por unidad, la madera $1200 por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra cuestan $800, $150 y $1500 por unidad respectivamente. Escriba una matriz de columna C que represente los costos por unidad. Obtenga el producto RC, ¿qué encuentra?

b. Suponga que se construirán 5 casas de estilo rustico, 7 estilo moderno y 12 colonial,

escriba una matriz de fila Q que represente la cantidad de vivienda a construir por estilo y obtenga el producto Q(RC), ¿qué encuentra?

10. El comité de admisiones de cierta universidad anticipa la inscripción de 800 estudiantes de primer semestre para el próximo año para satisfacer las cuotas de ingreso se ha clasificado los futuros estudiantes según sexo y lugar de residencia. El número de estudiantes en cada categoría está dado por la matriz

Hombres Mujeres Locales 2700 3000 A= Foráneos 800 700 Extranjeros 500 300

Al utilizar los datos acumulados de años anteriores el comité de admisiones considera que estos estudiantes optarán por asistir a las facultades de derecho, diseño, administración e ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz

Derecho Diseño Administración Ingeniería B= Hombres 0.25 0.20 0.30 0.25 Mujeres 0.30 0.35 0.25 0.10


Algebra Lineal

Encuentre la matriz AB que muestre el número de estudiantes locales, foráneos y extranjeros que se espera se inscriban en cada facultad

11. Las acciones de dos personas B y C están dadas por la matriz

Acciones BAC GM IBM TRW A= B 200 300 100 200 C 100 200 400 0

Al cierre de las operaciones de cierto día, los precios de las acciones están dados por la matriz

BAC 54 GM 48 D= IBM 98 TRW 82

a. Calcule AD b. Explique el significado de las entradas de AD.

12. Un viajero está regresando de Londres después de un viaje por Europa y desea cambiar

las diversas divisas por euros. Al contar su dinero encontró que tenía 80 chelines austriacos, 26 francos franceses, 18 guilders suecos y 20 marcos alemanes. Suponga que las tasas de cambio de moneda extranjera son €0.0727 por un chelín, €0.1524 por un franco, €0.4538 por un guilder y €0.5113 por un marco. a. Escriba una matriz A de fila que represente los valore de las divisas b. Escriba una matriz B de columna que represente las tasas de cambio c. Si el viajero cambia todas las divisas que tiene, ¿cuántos euros recibirá?

13. Una empresa de bienes raíces construye casas en tres estados. El número proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada estado esta dado por la matriz

Modelo I II III IV N.Y. 60 80 120 40 A= Conn 20 30 60 10 Mass 10 15 30 5


Algebra Lineal

Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25 000 y $30 000, respectivamente, para cada modelo de casa, del I al IV respectivamente. a. Escriba una matriz de columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa b. Encuentre la utilidad total esperada en cada estado si se venden todas las casas

14. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes:

Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 30 %, 2ª Ev: 30 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide la nota final de cada uno de los alumnos.

15. Un cinema tiene cuatro salas de la I a la IV, el precio de cada función es de $2 mil pesos por niño, $3 mil pesos por estudiante y $4 mil pesos por adulto. La asistencia a la matiné del domingo está dada por la matriz

Escriba una matriz de columna B que represente el precio de la entrada. Luego calcule A.B ¿Qué encuentra?

16. Un vendedor de automóviles puede comprar automóviles puede comprar automóviles

medianos en 12% por debajo del precio de lista y también automóviles de lujo en 15%

CALIFICACIONES

Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev

Antonio 2.5 3.2 3.0

Jaime 4.0 2.5 3.5

Roberto 3.5 2.5 3.5

Santiago 3.0 2.0 2.5

Niño Estudiante Adulto Cinema I 225 110 50 A= Cinema II 75 180 225 Cinema III 280 85 110 Cinema IV 0 250 225


Algebra Lineal

por debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para dos

automóviles medianos y dos automóviles de lujo

Medianos 25 000 28 000 De lujo 36 000 42 000

Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz

0,88 0 0 0,85

¿Qué representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir el proceso?

17. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (préstamos empresariales, préstamos para automóviles e hipotecas de casas) y que retira fondos de esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos negocios. Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 años se da la siguiente tabla y el banco utiliza 45% de su ingreso de los préstamos empresariales, 20% de su ingreso de los préstamos para automóviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de casas para obtener sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial que dé el capital de riesgo disponible en cada uno de los tres años

𝐴ñ𝑜 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠2001 63300 20024 518202002 48305 15817 637222003 55110 18621 64105

18. Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los departamentos necesitan

Acero Plástico Madera Departamento A 30 20 10 Departamento B 20 10 20


Algebra Lineal

Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios que se dan en la siguiente tabla

Ace Kink Acero 3000 280 Plástico 150 100 Madera 150 200

a. Use la multiplicación de matrices para encontrar cuánto costarán estos pedidos con

los proveedores. b. ¿A qué proveedor debe comprar cada departamento?

19. La siguiente tabla muestra el presupuesto anual de gastos de una compañía, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados.

Rubro Departamento

Man

ufac

Oficin

a

Ven

ta

Distrib

ució

n

Co

ntab

ilidad

Ad

mó

n


a. ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los

rubros de menor y mayor gasto? b. Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios “a lo largo de la tabla”

en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% c. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricación, un aumento de 3% en

oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribución, un incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administración.


Algebra Lineal

Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la matriz original.

97.000000

005.10000

002.1000

00005.100

000003.10

000002.1

Investigar. El uso de la función MMULT de Excel y haga una aplicación


Algebra Lineal

REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN

Solución matricial de Sistemas de Ecuaciones

El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Donde los ai, bi, ci y di para todo i=1,2 y 3 ε R (Coeficientes)

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los coeficientes del sistema en la matriz ampliada.

Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua aplicando cada una de los siguientes pasos:

1. Tener uno en la fila uno columna uno. 2. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno 3. Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos 4. Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos. 5. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres. 6. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres

Matriz de los coeficientes


Algebra Lineal

7. Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz identidad de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuación es de orden 3, obtenemos

{1 0 00 1 00 0 1

|𝑑1𝑑2𝑑3}

Donde d1, d2 y d3 Є R, se concluye que x = d1, y = d2 y z = d3. Para verificar los resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solución.

Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible. Ejercicio. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan

2x + 3y – z = 70 3x – y - 2z = -19

-2x + 2y + z = 35 La matriz ampliada sería

(2 3 −13 −1 −2−2 2 1

|70−1935

)

𝑓1

2 (1

32 −

12

3 −1 −2−2 2 1

|35−1935

)𝑓1 ∗ −3 + 𝑓2𝑓1 ∗ 2 + 𝑓3

(

1

32 −

12

0 −112

−12

0 5 0

||35−124105

)

𝑓2/(−11/2)

(

1

32 −

12

0 1111

0 5 0

||

3524811105)

𝑓2 ∗ −

3

2+ 𝑓1

𝑓2 ∗ −5 + 𝑓3(

1 0 −711

0 1111

0 0 −511

|

|

131124811

−8511)

𝑓3

−511

(

1 0 −

711

0 1111

0 0 1

||

13112481117 )

𝑓3 ∗7

11+ 𝑓1

𝑓3 ∗ −1

11+ 𝑓2

(1 0 00 1 00 0 1

|122117)

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 12𝑦 = 21𝑧 = 17

Veamos: En la Ec1: 2(12)+3(21)-17=24+63-17=70; En la Ec2: 3(12)-21-2(17)=36-21-34=-19;


Algebra Lineal

En la Ec3: -2(12)+2(21)+17=-24+42+17=35 Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan

2x + y – 2z = 4 x + 3y – z = -3 3x + 4y – z = 7

2x+ 3y - 2z = 10 3x - 2y + 2z = 0 4x – y + 3z = -1

2x + 2y + z = 9 x + z = 3 4y – 3z = -10

2x + 4y - 6z = 38 x + 2y + 3z = 7 3x - 4y + 4z = -19

x + y + z = 0 2x- y + z = 1 x + y - 2z = 2

𝑥 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3

3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −5 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 − 2𝑧 = 4 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 2 2𝑥 2𝑧 = 1 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5 4𝑥 + 𝑧 = 5 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −2 2𝑥 − 𝑧 = 2

3𝑥 + 𝑦 = 4 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 9 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2

2x – y – 2z = -1 3x + 3y + 4z = -2 2x – y – z = -3

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 12 𝑥 + 4𝑦 + 25𝑧 = 36

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1 −2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 1

Problemas de aplicación 1. Una empresa fabrica 3 tipos de tabletas de chocolate: con leche, blanco y negro. Los

principales ingredientes para la producción del chocolate son cacao, leche y café. Para la producción de chocolate con leche requiere de 5 unidades de cacao, 3 de leche, y 2 de café, para el blanco necesita 5 unidades de cacao, 4 de leche y 1 de café, mientras que para la elaboración del negro se emplean 5 unidades de cacao, 1 de leche y 3 de café. Antes de llegar el próximo pedido quedan en reserva 12000 unidades de cacao, 6800 de leche y 4600 de café. ¿Cuántas tabletas de cada tipo de chocolate puede producir con los ingredientes en existencia?

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 8 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −6


Algebra Lineal

Representamos los datos de forma matricial

Ingredientes Tipos de Chocolate Con leche

(x) Blanco

(y) Negro

(z) Cacao 5 5 5 Leche 3 4 1

Café 2 1 3 Representamos la situación en forma de sistema de ecuaciones lineales

5x + 5y + 5z = 12000 3x + 4y + z = 6800 2x + y + 3z = 4600

Escribimos la matriz ampliada

(5 5 53 4 12 1 3

|1200068004600

)𝑓1/5

(1 1 13 4 12 1 3

|240068004600

)𝑓1 ∗ −3 + 𝑓2𝑓1 ∗ −2 + 𝑓3

(1 1 10 1 −20 −1 1

|2400−400−200

)

𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1

𝑓2 ∗ 1 + 𝑓3

(1 0 30 1 −20 0 −1

|2800−400−600

)𝑓3/−1

(1 0 30 1 −20 0 1

|2800−400600

)𝑓3 ∗ −3 + 𝑓1𝑓3 ∗ 2 + 𝑓2 (

1 0 00 1 00 0 1

|1000800600

)𝑥 = 1000𝑦 = 800𝑧 = 600

Por lo tanto con los ingredientes en existencia se puede producir 1000 unidades de chocolate con leche, 800 unidades de chocolate blanco y 600 unidades de chocolate negro.

2. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes en kg (1 ton =1000 Kg) deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes? Por datos, la matriz de coeficientes sería

𝐴 𝐵 𝐶𝑃𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜 25 15 0𝑁𝑖𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 45 50 75𝐹𝑜𝑠𝑓𝑎𝑡𝑜 30 35 25


Algebra Lineal

Suponiendo que x es la cantidad de fertilizante tipo A, y la cantidad de fertilizante tipo B y z la cantidad de fertilizante tipo C, el sistema de ecuaciones sería 25x + 15y = 1.5 45x + 50y + 75z = 5 30x + 35y + 25z = 3 La matriz ampliada quedaría

(25 15 045 50 7530 35 25

|1.553)𝑓1/25

(1 3/5 045 50 7530 35 25

|3/5053

) 𝑓1 ∗ −45 + 𝑓2𝑓1 ∗ −30 + 𝑓3

(1 3/5 00 23 750 17 25

|3/5023/106/5

) 𝑓2/23

(1 3/5 00 1 75/230 17 25

|3/501/106/5

)

𝑓2 ∗ −3/5 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −17 + 𝑓3(1 0 −20 1 75/230 0 −700/23

|0

1/10−1/2

)𝑓3/(−700/23)

(1 0 −20 1 75/230 0 1

|0

1/100.02

)

𝑓3 ∗ 2 + 𝑓1𝑓3 ∗ −75/23 + 𝑓2(

1 0 00 1 00 0 1

|0.040.030.02

) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ≈ 0.04𝑦 ≈ 0.03𝑧 ≈ 0.02

Veamos: En la Ec1: 25(0.04)+15(0.03)+0(0.02)=1.45≈1.5

En la Ec2: 45(0.04)+50(0.03)+75(0.02)=1.8+1.5+1.5=4.8≈5 En la Ec3: 30(0.04)+35(0.03)+25(0.02)=1.2+1.05+0.5=2.8≈3

Es decir que para agotar los suministros de ingredientes se deben producir aproximadamente 0.04 ton (40 Kg) de fertilizante tipo A, 0.03 ton (30Kg) de fertilizante tipo B y 0.02 ton (20Kg) de fertilizante tipo C

3. Tres trabajadores A,B y C, para terminar un determinado mes, presenta a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de mantenimiento y kilómetros de desplazamiento fijadas para cada uno de ellos

HORAS DE TRABAJO VIÁTICO KILÓMETROS A 40 10 150 B 60 20 250 C 30 6 100

Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: x miles de pesos por hora trabajada, y miles de pesos por cada dieta y z miles de pesos por


Algebra Lineal

kilómetro de desplazamiento y que paga ese mes un total de 3690 mil pesos al trabajador A, 6060 mil pesos al trabajador B y 2520 mil pesos al C. Calcular x, y, z. Representamos la situación como sistema de ecuaciones lineales:

40x + 10y + 150z = 3690 (Ec 1) 60x + 20y + 250z = 6060 (Ec 2) 30x + 6 y + 100z = 2520 (Ec 3)


(40 10 15060 20 25030 6 100

|369060602520

)𝑓1/40

(1 1

4⁄15

4⁄

60 20 25030 6 100

|

3694⁄

60602520

)𝐹1 ∗ −60 + 𝐹2𝐹1 ∗ −30 + 𝐹3

(

114

154⁄

0 5 25

0 −3 2⁄ −25 2⁄

|

3694⁄

525

−495 2⁄

)

𝑓2/5 (

1 14⁄

154⁄

0 1 5

0 −3 2⁄ −25 2⁄

|

3694⁄

105

−495 2⁄

)

𝐹2 ∗ −1 4⁄ + 𝐹1

𝐹2 ∗ 3 2⁄ + 𝐹3

(1 0 5

2⁄

0 1 50 0 −5

|66105−90

)𝐹3

5⁄

(1 0 5

2⁄

0 1 50 0 1

|6610518

)𝐹3 ∗ −5 2⁄ + 𝐹1

𝐹3 ∗ −5 + 𝐹2 {1 0 00 1 00 0 1

|211518}

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 21𝑦 = 15𝑧 = 18

Verificación En la (Ec1): 40(21)+10(15)+150(18) = 369 840 + 150 + 2700 = 3690 3690 = 3690

En la (Ec2): 60(21)+20(15)+250(18)= 6060 1260 + 300 + 4500 = 6060 6060 = 6060

En la (Ec3): 30(21)+6(15)+100(18)=2520 630 + 90 + 1800 = 2520 2520 = 2520

Por lo tanto el valor de la hora trabajada es de 21 mil pesos, la unidad de viático 15 mil y la de transporte 18 mil

4. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín: sillas, mecedoras y sillones.

Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla. La


Algebra Lineal

compañía tiene un almacén de 400 unidades de madera, 1500 de aluminio y 600 de plástico. Para su producción de final de temporada desea agotar toda la existencia. Para lograrlo ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar?

Sillas Mecedoras Sillones Madera 1 1 1 Aluminio 2 3 5 Plástico 1 1 2

Si consideremos x la cantidad de sillas, y la cantidad de mecedoras y z la cantidad de

sillones, el sistema de ecuación sería

x + y + z = 400

2x + 3y + 5z = 1500 x + y + 2z = 600


(1 1 12 3 51 1 2

|4001500600

) 𝑓1 ∗ −2 + 𝑓2𝑓1 ∗ −1 + 𝑓3

(1 1 10 1 30 0 1

|400700200

)𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1

(1 0 −20 1 30 0 1

|−300700200

)𝑓3 ∗ 2 + 𝑓1

𝑓3 ∗ −3 + 𝑓2 (1 0 00 1 00 0 1

|100100200

)

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 100𝑦 = 100𝑧 = 200

Veamos en

En Ec1 100 + 100 + 200 = 400 400 = 400

En Ec2 2(100) + 3(100) + 5(200)=1500 200 + 300 + 1000 =1500 1500=1500

En Ec3 100 + 100 + 2(200)=600 200 + 400 =600 600=600

La producción final de temporada para agotar existencia tiene que ser 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sillones


Algebra Lineal

5. Una compañía tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da el volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dólares para una unidad de cada uno de los productos. Si el camión puede transportar 8 000 pies cúbicos, 12 400 libras y está asegurado por $52 600 ¿cuántas unidades de cada producto se pueden transportar?

PRODUCTOS

A B C Volumen unitario (pies cúbicos) 24 20 40 Peso unitario (libras) 40 30 60 Valor (dólares) 150 180 200

Consideremos x el volumen en pies cúbicos, y el peso en libras y z el costo del seguro entonces el sistema de ecuaciones sería 24X + 20Y + 40Z = 8000

40X + 30Y + 60Z = 12400 150X + 180Y + 200Z = 52600 La matriz ampliada quedaría

(24 20 4040 30 60150 180 200

|80001240052600

)

𝑓124⁄

(1 5

6⁄53⁄

40 30 60150 180 200

|

10003⁄

1240052600

) 𝑓1 ∗ −40 + 𝑓2𝑓1 ∗ −150 + 𝑓3

(

1 56⁄

53⁄

0 −10 3⁄ −20 3⁄

0 55 −50

|

10003⁄

−2800 3⁄

2600

)𝑓2

−10 3⁄⁄ (

1 56⁄

53⁄

0 1 20 55 −50

|

10003⁄

2802600

)𝑓2 ∗ −5 6⁄ + 𝑓1

𝑓2 ∗ −55 + 𝑓3

(1 0 00 1 20 0 −160

|100280

−12800)𝑓3

−160⁄(1 0 00 1 20 0 1

|10028080

)𝑓3 ∗ −2 + 𝑓2(1 0 00 1 00 0 1

|10012080

)

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 100𝑦 = 120𝑧 = 80

Veamos En Ec1: 24(100)+20(120)+40(80)=8000 2400 +2400 +3200 =8000

8000=8000 En Ec2: 40(100)+30(120)+60(80)=12400 4000 +3600 + 4800 =12400 12400=12400


Algebra Lineal

En Ec3: 150(100)+180(120)+200(80)=52600 15000 +21600 +16000 =52600

52600=52600

Es decir que se puede transportar un volumen de 100 pies cúbicos, un peso de 120 libras y el costo del seguro es de 80 dólares por cada unidad de producto.

6. El precio de entrada a cierta exposición es de $2 000 para los niños, $5 000 para los

adultos y $2 500 para los adultos mayores. En una jornada concreta, la exposición fue visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes niños al de adultos y adultos mayores juntos. La recaudación de dicho día ascendió a $650 000. a. Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y adultos

mayores visitaron la exposición ese día. b. Resolver el problema.

Solución a. Por datos

n + a + j =200 (Ec1) n = a + j podemos expresar como n – a – j = 0 (Ec2) 2000n + 5000a + 2500j = 650 000 (Ec3)

b. Escribimos la matriz ampliada

(1 1 11 −1 −1

2000 5000 2500|2000

650000) 𝑓1 ∗ −1 + 𝑓2𝑓1 ∗ −2000 + 𝑓3

(1 1 10 −2 −20 3000 500

|200−200250000

)𝑓2−2⁄

(1 1 10 1 10 3000 500

|200100

250000)

𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −3000 + 𝑓3(1 0 00 1 10 0 −2500

|150100

−50000

)𝑓3

−2500⁄

(1 0 00 1 10 0 1

|10010020

) 𝑓3 ∗ −1 + 𝑓2(1 0 00 1 00 0 1

|1008020

)𝑛 = 100𝑎 = 80𝑗 = 20

Verificando: En (Ec1): 100 + 80 + 20 = 200, 200=200 En (Ec2): 100 – 80 – 20 = 0, 0=0 En (Ec3): 2 000(100)+ 5000(80) + 2500(20)=650 000 200 000 + 400 000 + 50 000 = 650 000 = 650 000


Algebra Lineal

650 000 = 650 000 Por lo tanto la exposición la visitaron 100 niños, 80 adultos y 20 adultos mayores.

7. En una fábrica de ropa se produce tres estilos de camisas que llamaremos A, B y C, cada

prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo A se necesitan 30 min para cortarlas, 42 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo B, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo C, 65 min para cortar, 50 min para coser y 38 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Por datos, organizamos las matrices

𝐴 =

𝐴 𝐵 𝐶𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 30 50 65𝐶𝑜𝑠𝑖𝑑𝑜 42 50 50

𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 50 50 38

𝐵 =

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 480𝐶𝑜𝑠𝑖𝑑𝑜 480

𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 480

Como 1 hora tiene 60 minutos, 8 horas es equivalente a 480 minutos Escribimos el sistema de ecuación. Consideremos:𝑥 Los lotes de las camisas tipo A, 𝑦 el tipo B y 𝑧 el tipo C

30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 = 480 (1) 42𝑥 + 50𝑦 + 50𝑧 = 480 (2) 50𝑥 + 50𝑦 + 38𝑧 = 480 (3)


|30 50 6542 50 5050 50 38

| |480480480

|

𝐹130⁄

→→

|1 5 3⁄ 13 6⁄

42 50 5050 50 38

| |16480480

|→

𝐹1 × −42 + 𝐹2𝐹1 × −50 + 𝐹3

|

1 5 3⁄ 13 6⁄0 −20 −41

0 −100 3⁄ −211 3⁄| |

16−192−320

|

→𝐹2

−20⁄→

|

1 5 3⁄ 13 6⁄

0 1 4120⁄

0 −100 3⁄ −211 3⁄

| |

1648

5⁄

−320

|𝐹2 × −5 3⁄ + 𝐹1

→

𝐹2 × 100 3⁄ + 𝐹2


Algebra Lineal

|

1 0 −5 4⁄

0 1 4120⁄

0 0 −2

| |

048

5⁄

0

|

→→

𝐹3−2⁄

|

1 0 −5 4⁄

0 1 4120⁄

0 0 1

| |

048

5⁄

0

|𝐹3 ∗ 5 4⁄ + 𝐹1

𝐹3 ∗ −41 20⁄ + 𝐹2→

|1 0 00 1 00 0 1

| |0

48/50|

𝑥 = 0 𝑦 = 48/5𝑧 = 0

Verificando

En (1): 30(0) + 50 (48

5) + 65(0) = 480; En (2) 42(0) + 50 (

48

5) + 50(0) = 480; En

(3): 50(0) + 50 (48

5) + 38(0) = 480

Solo se pueden producir 9.6 lotes de camisa tipo B.

8. Una empresa fabrica 3 productos A, B y C, cada uno de los cuales debe pasar por 3 diferentes máquinas M1, M2 y M3, a los largo del proceso de producción. Cada unidad A requiere 1 hora en la máquina A, 2 horas en M2 y 1 hora en M3. De la misma forma cada unidad del producto B necesita 2 horas, 2 Horas y 4 horas en las máquinas M1, M2 y M3 respectivamente y cada unidad del producto C necesita 3 horas, 5 horas y 2 horas en cada máquina. Las máquinas M1, M2 y M3 el número de horas máximo de producción son de 640 horas, 900 horas y 860 horas respectivamente. a. Organice los datos en forma de tabla b. Formule el sistema de ecuaciones que permite obtener el número de unidades

máximas que se puede producir por producto. c. Resuelva el sistema planteado utilizando el método de reducción de Gauss-

Jordan.

9. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes?

10. Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones:

Mina A Mina B Mina B Níquel (%) 1 2 3 Cobre (%) 2 5 7


Algebra Lineal

Hierro (%) 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

11. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimentos a un lago que mantiene tres especias de peces. Cada pez de la especie I consume cada semana un promedio de una unidad de alimento 1, una unidad de alimento 2, y dos unidades de alimento 3. Cada pez de la especie II consume cada semana un promedio de tres unidades de alimento 1, cuatro unidades de alimento 2 y 5 unidades de alimento 3. Para un pez de la especie III, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 29 000 unidades del alimento 1, 34 000 unidades del alimento 2 y 55 000 unidades del alimento 3. Suponemos que los tres alimentos se consumen. ¿Qué cantidad de cada especie existe en el lago?

12. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.

a. Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia.

b. Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.

13. Un nutriólogo desea planear cierta dieta con base a tres tipos de alimentos. Los porcentajes de requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro contenidos en cada onza de los tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla

Tipo de Alimento I

Tipo de Alimento II

Tipo de Alimento III

Proteínas(%) 10 6 8 Carbohidratos(%) 10 12 6 Hierro(%) 5 4 12


Algebra Lineal

Indique cuantas onzas de cada tipo de alimento debe incluir el nutriólogo en la comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro 100% de cada uno.

14. Un fabricante de blusas produce tres tipos: sin manga, manga corta y manga larga. El tiempo requerido por cada departamento para producir una docena de blusas de cada tipo aparecen en la siguiente tabla

Sin mangas Manga Corta Manga larga Corte 9 12 15 Confección 22 24 28 Empaquetado 6 8 8

Los departamentos de corte, confección y empaquetado disponen de un máximo de 80, 160 y 48 horas de trabajo respectivamente, por día. ¿Cuántas docenas de cada tipo de blusa se pueden producir al día si la planta opera a toda su capacidad?

15. Una aéreo línea tiene tres tipos de avión que transportan tres tipos de carga. En la

siguiente tabla se resume la carga aérea de cada tipo

Tipo de Avión Unidades transportadas Pasajero Transporte Jumbo Correo de primera clase 100 100 100 Pasajeros 150 20 350 Carga aérea 20 65 35

Suponga que en un día determinado, la compañía debe transportar 1100 unidades de correo de primera clase, 460 unidades de carga aérea y 1930 pasajeros. ¿Cuánta carga aérea de cada tipo debe programar?

16. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que

se deben pintar ensamblar y empacar para su distribución. La tabla da el número de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar, 156 horas para ensamblar y 37 para empacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se pueden producir al día?

Deluxe Premium Ultimate

Pintura 1.6 2 2.4 Ensamble 2 3 4 Empaque 0.5 0.5 1


Algebra Lineal

17. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20

diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. a. Represente la situación en un sistema de ecuaciones lineales b. Utilice el método de reducción de Gauss-Jordan para calcular el número de días que

pasó el viajero en cada país.

18. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad?

19. Una empresa transportadora de maquinaria pesada posee tres tipos de camiones, A, B

y C. Los camiones están en capacidad de transportar 3 clases de maquinaria. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es

Tipos de Camiones

Clase de Maquinaria

A B C 1 2 1 1 2 0 1 2 3 1 2 0

A la empresa le adjudican un contrato para transportar 34 máquinas clase 1, 10 clase 2 y 25 clase 3. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requiere para cumplir con el contrato

20. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre

requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?.


Algebra Lineal

21. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15 horas al día, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad?

22. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza

del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?


Algebra Lineal

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por |𝑨|

Determinante de una Matriz de orden 2

Si 𝑨 = [𝒂𝟏,𝟏 𝒂𝟏,𝟐𝒂𝟐,𝟏 𝒂𝟐,𝟐

] el determinante de A es el número que se obtiene de

𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝒂𝟏,𝟏 × 𝒂𝟐,𝟐 − 𝒂𝟏,𝟐 × 𝒂𝟐,𝟏

Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz

1. 𝑨 = [𝟑 𝟐𝟒 𝟏

] ; 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = |𝟑 𝟐𝟒 𝟏

| = (𝟑 × 𝟏) − (𝟐 × 𝟒) = 𝟑 − 𝟖 = 𝟓

2. 𝑨 = [𝟓 −𝟐𝟑 −𝟏

]; 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = |𝟓 −𝟐𝟑 −𝟏

| = (𝟓 × −𝟏) − (−𝟐 × 𝟑) = −𝟓 − (−𝟔) = −𝟓 +

𝟔 = 𝟏

3. 𝑨 = [−𝟏 𝟑−𝟐 𝟒

]

4. 𝑨 = [−𝟏 −𝟑𝟐 𝟓

]

5. 𝑨 = [𝟏 𝟑−𝟐 𝟔

]

6. 𝑨 = [√𝟐 𝟐

√𝟐 𝟐]


Algebra Lineal

Determinante de una Matriz de Orden 3

Dado el sistema de ecuación lineal

𝑨 = [

𝒂𝟏,𝟏 𝒂𝟏,𝟐 𝒂𝟏,𝟑𝒂𝟐,𝟏 𝒂𝟐,𝟐 𝒂𝟐,𝟑𝒂𝟑,𝟏 𝒂𝟑,𝟐 𝒂𝟑,𝟑

]

, el determinante de A se obtiene: 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = |𝑨|

= 𝒂𝟏,𝟏(𝒂𝟐,𝟐 × 𝒂𝟑,𝟑 − 𝒂𝟐,𝟑 × 𝒂𝟑,𝟐) − 𝒂𝟏,𝟐(𝒂𝟐,𝟏 × 𝒂𝟑,𝟑 − 𝒂𝟐,𝟑 × 𝒂𝟑,𝟏)

+ 𝒂𝟏,𝟑(𝒂𝟐,𝟏 × 𝒂𝟑,𝟐 − 𝒂𝟐,𝟐 × 𝒂𝟑,𝟏)

Ejercicio Hallar el determinante de la matriz A

𝑨 = [𝟒 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 𝟑−𝟏 𝟑 𝟐

]

𝐝𝐞𝐭(𝑨) = |𝑨|

|𝑨| = 𝟒(𝟒 − 𝟗) − 𝟐(𝟐 + 𝟑) + 𝟏(𝟑 + 𝟐) = 𝟒(−𝟓) − 𝟐(𝟓) + 𝟏(𝟓) = −𝟐𝟎 − 𝟏𝟎 + 𝟓 = −𝟐𝟓

Regla de Sarrus

Se obtiene ampliando la matriz con las dos primeras filas o dos primeras columnas luego se suman los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas menos las suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas Ejercicio Hallar el determinante de la matriz A

𝑨 = [𝟒 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 𝟑−𝟏 𝟑 𝟐

]

Escribimos la matriz ampliada, agregando las dos primeras filas al final de esta, luego sumamos los productos de los elementos de las diagonales principales menos la sume de los productos de las diagonales secundarias

|𝑨| = ||

𝟒 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 𝟑−𝟏 𝟑 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 𝟑

||


Algebra Lineal

|𝑨| = [(𝟒 × 𝟐 × 𝟐) + (𝟏 × 𝟑 × 𝟏) + (−𝟏 × 𝟐 × 𝟑)] − [(𝟏 × 𝟐 × −𝟏) + (𝟑 × 𝟑 × 𝟒)+ (𝟐 × 𝟐 × 𝟏)] |𝑨| = [𝟏𝟔 + 𝟑 − 𝟔] − [−𝟐 + 𝟑𝟔 + 𝟒] = 𝟏𝟑 − 𝟑𝟖 = −𝟐𝟓

Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz

𝑨 = [𝟏 −𝟑 𝟓𝟕 𝟒 −𝟏−𝟐 𝟎 𝟔

] 𝑨 = [𝟐 −𝟏 𝟎𝟑 𝟓 𝟏𝟏 𝟕 −𝟖

] 𝑨 = [𝟑 −𝟓 𝟖−𝟒 𝟐 𝟑𝟕 𝟎 −𝟏

]

Solución de Sistema Lineales de Ecuaciones por Determinante

Solución Matricial de un Sistemas de Ecuación lineal de 2x2 (Regla de Cramer)

Dado el sistema de ecuación lineal

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

, con a, b, c, d, e y f R se cumple

𝑥 =[𝑐 𝑏𝑓 𝑒

]

[𝑎 𝑏𝑑 𝑒

] ; 𝑦 =

[𝑎 𝑐𝑑 𝑓]

[𝑎 𝑏𝑑 𝑒

]

Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por la regla de Cramer

3x + 2y = -7 x - 3y = 4

Aplicando la regla de Cramer

x=[-7 24 -3

]

[3 21 -3

]=(-7)(-3)-(4)(2)

(3)(-3)-(2)(1)=21-8

-9-2=

13

-11 , entonces 𝑥 = −

13

11

y=[3 -71 4

]

[3 21 -3

]=(3)(4)-(-7)(1)

(3)(-3)-(2)(1)=12+7

-9-2=

19

-11 , entonces 𝑦 = −

19

11


Algebra Lineal

Verificando

En la (Ec1) En la (Ec2)

3 (−13

11) + 2 (−

19

11) = −7 (−

13

11) – 3 (−

19

11) = 4

−39

11− 38

11 = −7 −

13

11+ 57

11 = 4

− 77

11 = −7

44

11 = 4

− 7 = −7 4 = 4

El conjunto solución es (−13

11, −

19

11)

Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuación lineal

4x – 3y = -5

3x - 2y = 4

3x + 4y = 1

2x – 3y = 12

5x – 2y = 4

2x – 3y = 5

2x + 3y = 12

3x + 2y =13

3x + 4y = 1

2x – 3y =12

5x – 2y = 4

2x - 3y = 5

-4x + 3y= -5

3x – 2y = 4

x + 2y =3

3x + 6y = 6

0.2x – 0.3y = 4 2,3x – y = 1.2

113

8;12

7

2

5

yx

yx x – y = 2

2x + 2y = -2

Problemas de Aplicación 1. En un teatro hay 70 personas entre adultos y niños cada adulto paga $4 000 y cada niño

$1 500. Si el recaudo fue de $230 000 ¿cuántos adultos y cuántos niños entraron? Definimos las magnitudes: 𝑛, el número de niños y 𝑎: el número de adultos. Organizamos el sistema, por datos Como hay 70 personas: 𝑛 + 𝑎 = 70 (1) Como el recaudo fue de $230 000: 1 500𝑛 + 4 000𝑎 = 230 000 (2) Aplicando la regla de Cramer


Algebra Lineal

𝑛 =|

70 1230 000 4 000

|

|1 1

1 500 4 000|=(70 × 4 000) − (1 × 230 000)

(1 × 4 000) − (1 × 1 500)=280 000 − 230 000

4 000 − 1 500

𝑛 =50 000

2 500= 20

𝑎 =|1 70

1 500 230 000|

2 500=(1 × 230 00) − (70 × 1 500)

2 500=230 000 − 105 000

2 500

𝑎 =125 000

2 500= 50

Verificando en En (1) 𝑛 + 𝑎 = 70 20 + 50 = 70 70 = 70

En (2) 1 500𝑛 + 4 000𝑎 = 230 000 1 500(20) + 4 000(50) = 230 000 30 000 + 200 000𝑎 = 230 000

2. Una compañía tiene ingresos gravables por $312 000. El impuesto federal es 25% de la

parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es el 10% de la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto de los impuestos federal y estatal. Sea 𝑥el monto del impuesto federal e 𝑦el monto del impuesto estatal Por datos

𝑥 = (312 000 − 𝑦) × 0.25 , operando 𝑥 = 78 000 − 0.25𝑦 (1)

𝑦 = (312 000 − 𝑥) × 0.10 , operando 𝑦 = 31 200 − 0.10𝑥 (2) Despejando (1) y (2)

𝑥 + 0.25𝑦 = 78 000 0.10𝑥 + 𝑦 = 31 200

Aplicando la regla de Cramer

𝑥 =|78 000 0.2531 200 1

|

|1 0.250.10 1

|=78 000 − 7 800

1 − 0.025=70 200

0.975= 72 000

𝑦 =|1 78 0000.10 31 200

|

0.975=31 200 − 7800

0.975=23 400

0.975= 24 000


Algebra Lineal

Verificamos En (1) 72 000 = 78 000 − 0.25(24 000) 72 000 = 72 000

En (2) 24 000 = 31 200 − 0.10(72 000) 24 000 = 24 000

Por tanto el monto del impuesto federal será de $72 000 y el del estatal $24 000

3. Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200 ¿Cuántas pulseras y cuántas libretas deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta, si el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? ¿Cuánto dinero ganarán con esta venta?

4. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $60 300. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $33 800. Calcule el precio del kilogramo de cada producto

5. La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses

producidos es $180 000 ¿cuáles son los capitales si se sabe que el primero se prestó al 5% y el segundo al 8%?

6. En un cine 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $51 200 y 17 de niños y 15 de

adultos $831 00. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto.

7. El viernes en el almacén “trapos” se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una, las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000. El sábado el almacén vendió cada pantalón y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 ¿cuántas pantalones y cuántas camisas se vendieron?

8. Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional.

9. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. La empresa cobra una tarifa fija más un costo adicional por invitado. Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 ¿cuál es la tarifa fija y el costo por invitado?


Algebra Lineal

10. El alquiler de un automóvil tiene un costo fijo semanal, un recargo adicional que se

cobra por cada kilómetro recorrido. Un viaje de una semana de 800 kilómetros cuesta $440 000 y uno de 1200 Km cuesta $560 000. Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilómetro recorrido.

11. Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16000 boletos. Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros ¿cuántos boletos de cada tipo debe vender?

12. Por usar el servicio de internet una compañía cobra un cargo de $2 000 hora/día y

$2 500 hora/noche. si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el número de horas diurnas y nocturnas del servicio.

13. Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta. Una tiene un rédito de 10% sobre la inversión y la otra de 12%. Su ingreso total de estas es de $25 000 ¿En qué tasa tiene la mayor inversión y de cuánto es el monto?

14. El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de

1000. Si el pasaje para niños cuesta US $0.25 y el de adulto US $0.75 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650. ¿Cuántos niños y cuantos adultos utilizaron el bus en la mañana?

15. Juan compró plumeros rojos por $ 1 200 cada uno y azules por $ 800 cada uno. Si Juan

compró 24 plumeros con el costo total de $24 800 ¿cuántos plumeros de cada color compró?


Algebra Lineal

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 𝟑 × 𝟑 por determinante

Ejercicio. Resolver el sistema de ecuación lineal por determinante 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1 (1) 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0 (2) 3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 1 (3)

Los valores de las variables se obtienen:

𝑥 =|𝑥|

|𝑆| , 𝑦 =

|𝑦|

|𝑆| 𝑦 𝑧 =

|𝑧|

|𝑆|

El determinante |𝑺| se obtiene de la matriz de coeficientes, así

|𝑠| = |2 1 −11 2 33 −1 −4

| =2(-8+3)-1(-4-9)+(-1)(-1-6)=2(-5)-(-13)-(-7)=-10+13+7=10

El determinante |𝒙| se obtiene remplazando en la columna de 𝒙 la columna de resultados, así

|𝑥| = |−1 1 −10 2 31 −1 −4

| = −1(−8 + 3) − 1(0 − 3) − (0 − 2) = −(−5) − (−3) − (−2) = 10

El determinante |𝒚| se obtiene remplazando en la columna de 𝒚 la columna de resultados, así

|𝑦| = |2 −1 −11 0 33 1 −4

| = 2(−3) + (−4 − 9) − 1 = −6 − 13 − 1 = −20

El determinante |𝒛| se obtiene remplazando en la columna de 𝒛 la columna de resultados, así

|𝑧| = |2 1 −11 2 03 −1 1

| = 2(2 − 0) − (1) − (−1 − 6) = 4 − 1 + 7 = 10

Remplazando

𝑥 =|𝑥|

|𝑆|=10

10= 1 , 𝑦 =

|𝑦|

|𝑆|=−20

10= −2 𝑦 𝑧 =

|𝑧|

|𝑆|=10

10= 1

Verificando

En (1) En (2) En (3) 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1 2(1) + (−2) − 1 = −1 −2 − 1 = −1

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0 1 + 2(−2) + 3(1) = 0 1 − 4 + 3 = 0

3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 1 3(1) − (−2) − 4(1) = 1 3 + 2 − 4 = 1


Algebra Lineal

−1 = −1 0= 0 1 = 1 Por tanto el conjunto solución es (1, -2, 1) Ejercicio. Resolver cada sistema de ecuación lineal por determinante 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4

−𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −3 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −4 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 1

3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 7

2x + y - z = -1 3x – 2y + z = 3 -4x + 3y + 2z = -11

x + z -1 x + y = 0 y + z = -3

x + y + z = -2 2x – y + z = 1 -x + 2y – z = -1

x + 2y – z = 3 3x – y + 2z = =-8 2x + 3y + z = -1

x + y + z = 6 2x + y – z = 1 x – 2y + z = 0

x – 2y + 2z = 3 x – 2z = 4 y – z = 1

Problema de Aplicación: 1. Una fábrica produce tres tipos de camisas. Cada uno de los tres tipos de camisa tiene

que pasar por tres departamentos de producción: corte, cosido y empaque. Según el tipo de camisa, el tiempo de trabajo que se ocupa en cada una está dado en la siguiente tabla:

Tipo A Tipo B Tipo C Departamento de corte 0.2 hr 0.4 hr 0.3 hr

Departamento de cosido 0.3 hr 0.5 hr 0.4 hr

Departamento de empaque 0.1 hr 0.2 hr 0.1 hr

Los departamentos de corte, cosido y empaque tienen disponibles como máximo 1160, 1560 y 480 horas de trabajo por semana respectivamente. ¿Cuántas camisas de cada tipo debe de producirse a la semana para ocupar al máximo la capacidad de cada departamento? Escribimos el sistema de ecuaciones, consideremos 𝑥la cantidad de camisas tipo A, 𝑦 las tipo B y 𝑧 las tipo C

0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 1160 (1)


Algebra Lineal

0.3𝑥 + 0.5𝑦 + 0.4𝑧 = 1560 (2) 0.1𝑥 + 0.2𝑦 + 0.1𝑧 = 480 (3)

Hallamos los determinantes

|𝑆| = |0.2 0.4 0.30.3 0.5 0.40.1 0.2 0.1

| = 0.2(0.05 − 0.08) − 0.4(0.03 − 0.04) + 0.3(0.06 − 0.05)

|𝑆| = −0.006 + 0.004 + 0.003 = 0.001

|𝑥| = |1160 0.4 0.31560 0.5 0.4480 0.2 0.1

| = 1160(0.05 − 0.08) − 0.4(156 − 192) + 0.3(312 − 240)

|𝑥| = −34.8 + 14.4 + 21.6 = 1.2

|𝑦| = |0.2 1160 0.30.3 1560 0.40.1 480 0.1

| = 0.2(156 − 192) − 1160(0.03 − 0.04) + 0.3(144 − 156)

|𝑦| = −7.2 + 11.6 − 3.6 = 0.8

|𝑧| = |0.2 0.4 11600.3 0.5 15600.1 0.2 480

| = 0.2(240 − 312) − 0.4(144 − 156) + 1160(0.06 − 0.05)

|𝑧| = −14.4 + 4.8 + 11.6 = 2

Ahora hallamos los valores de las variables

𝑥 =|𝑥|

|𝑆|=

1.2

0.001= 1200, 𝑦 =

|𝑦|

|𝑆|=

0.8

0.001= 800 𝑦 𝑧 =

|𝑧|

|𝑆|=

2

0.001= 2000

Verificando

En (1) 0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 1160 0.2(1200) + 0.4(800) + 0.3(2000) = 1160 0.2(1200) + 0.4(800) + 0.3(2000) = 1160 1160=1160 En (2)


Algebra Lineal

0.3𝑥 + 0.5𝑦 + 0.4𝑧 = 1560 0.3(1200) + 0.5(800) + 0.4(2000) = 1560 1560=1560 En (3) 0.1𝑥 + 0.2𝑦 + 0.1𝑧 = 480 0.1(1200) + 0.2(800) + 0.1(2000) = 480 480=480

Por tanto se pueden producir 1200 camisas tipo A, 800 tipos B y 2000 tipo C 2. Un centro de diversión tiene capacidad para 101 mesas, las mesas cuentan con 4, 6 y 8

sillas, la capacidad total de sillas es de 552. En cierto día se ocupó la mitad de las mesas de 4 sillas, un octavo de las mesas de 6 sillas y un tercio de las de 8 sillas para un total de 35 mesas ¿Cuántas mesas de cada tipo se utilizaron ese día? Inicialmente vamos a hallar en número de mesas de cada tipo

Consideremos 𝑥 el número de mesas de 4 sillas, 𝑦 el número de mesas de 6 puestos y 𝑧 el número de mesas de 8 puestos

Por datos el sistema de ecuación lineal sería

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 101 ①

4𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 552 ②

1

2𝑥 +

1

8𝑦 +

1

3𝑧 = 35 ③

Calculamos los determinantes

|𝑠| = |1 1 14 6 81/2 1/8 1/3

| = 1.16

|𝑥| = |101 1 1552 6 835 1/8 1/3

| = 56

|𝑦| = |1 101 14 552 81/2 35 1/3

| = 37.33

|𝑦| = |1 1 1014 6 5521/2 1/8 35

| = 24.5

Calculamos los valores de las variables


Algebra Lineal

𝑥 =|𝑥|

|𝑠|=

56

1.16= 48

𝑦 =|𝑦|

|𝑠|=37.33

1.16= 32

𝑧 =|𝑧|

|𝑠|=24.5

1.16= 21

Verificamos

Remplazando en ①; 48 + 32 + 21 = 101; 101 = 101

, en ②; 4(48) + 6(32) + 8(21) = 552; 552 = 552

, en ③; 1

2(48) +

1

8(32) +

1

3(21) = 35; 35 = 35

Por tanto el día del evento se utilizaron, 24 mesas de 4 sillas, 4 de 6 y 7 de 8.

3. En un local de comida rápida, una orden de 5 hamburguesas, 2 papas fritas y 3 refrescos cuesta 56 pesos. Una orden de 4 hamburguesas, 3 papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Una orden de 6 hamburguesas, 4 papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco?

4. Una farmacia vende 10 frascos de vitamina A, 5 frascos de vitamina C y 25 frascos de

vitamina D, todo por un valor de 355 pesos. Además, vende 20 frascos de vitamina A, 10 de vitamina C y 10 de vitamina D por un total de 310 pesos. Por otra parte vende 12 frascos de vitamina A, 4 de vitamina C y 15 de vitamina D por un total de 266 pesos. Encuentra el costo correspondiente a cada frasco de las vitaminas A, C y D.

5. Un laboratorista tiene tres soluciones que contienen cierto ácido. La primera solución

contiene 10% de sustancia ácida, la segunda 30% y la tercera 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 60 litros que contenga 30% de ácido, utilizando tres veces más solución de la solución de 50% que la de 30% ¿Cuántos litros de cada solución debe usar?

6. Una mujer compró tres clases diferentes de acciones por $20 000. Una de ellas paga un

6% anual de intereses, otra paga un 7%, y la otra un 8% anual. Al final del primer año, la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 7% es de $940, y la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 8% es de $720. ¿Cuánto invirtió en cada una de las acciones?


Algebra Lineal

INVERSA DE UNA MATRIZ

Dos matrices A y B son inversas si A.B = I y B.A = I, se llaman inversas la una de la otra, se denota A = B-1 o B = A-1

Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Dos

Si 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 =1

𝑎,𝑑−𝑏𝑐[𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

]

Donde a.d – b.c ≠ 0, si a.d – b.c = 0, entonces A-1 no existe Ejercicios. Calcule la traspuesta de cada matriz

a. A = [3 14 2

] b. B = [−2 4−1 1

] c. C = [3 6−1 −2

] d. D = [−2 3−1 4

]

Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos

Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada de orden superior a dos se sigue el siguiente procedimiento:

1. Forme una matriz ampliada [A|I], donde A es la matriz de n x n e I es la matriz identidad de n x n.

2. Utilice el método de Gauss-Jordan para obtener una matriz ampliada [I|B], es decir hasta que la matriz de la izquierda se transforme en una matriz identidad.

3. La matriz B de la derecha es la matriz inversa de A. Para verificar el producto de A.B debe ser igual a I.

Ejercicio. Hallar y verificar la inversa de cada la matriz

1. 𝐴 = [2 5 41 4 31 −3 −2

]

Inicialmente se forma la matriz ampliada [A |I ] donde I es la matriz identidad es decir


Algebra Lineal

Luego se aplica el método de reducción de Gauss-Jordan para obtener la matriz ampliada [ I | B] La primera condición es tener 1 en la posición [1 , 1 ], como no se tiene la condición intercambiamos la filas 1 y 2, quedando

[1 4 32 5 41 −3 −2

] [0 1 01 0 00 0 1

]

[1 4 32 5 41 −3 −2

] [0 1 01 0 00 0 1

] [1 4 30 −3 −20 −7 −5

] [0 1 01 −2 00 −1 1

]

[1 4 30 1 2/30 −7 −5

] [0 1 0

−1/3 2/3 00 −1 1

] [1 0 1/30 1 2/30 0 −1/3

] [4/3 −5/3 0−1/3 2/3 0−7/3 11/3 1

]

[1 0 1/30 1 2/30 0 1

] [4/3 −5/3 0−1/3 2/3 07 −11 −3

] [1 0 00 1 00 0 1

] [−1 2 1−5 8 27 −11 −3

]

Para finalizar se verifica que A.B=I es decir

[2 5 41 4 31 −3 −2

] [−1 2 1−5 8 27 −11 −3

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

F1*-2+F2

F1*-1+F3

F2/-3

[2 5 41 4 31 −3 −2

] [1 0 00 1 00 0 1

]

Tener 1 en la posición [2,2]

F2*-4+F1

F2*7+F3

Tener 0 en el resto de posiciones de la columna 2

Tener 0 en el resto de

posiciones de la columna 1

F3*-1/3+F1

F3*-2/3+F2

Tener 0 en el resto de

posiciones de la columna 3

Tener 1 en la posición [3,3]

F3*-3


Algebra Lineal

2. [1 3 5−1 −1 21 5 1

]


[1 3 5−1 −1 21 5 1

] [1 0 00 1 00 0 1

] 𝑓1 ∗ 1 + 𝑓2𝑓1 ∗ −1 + 𝑓3

[1 3 50 2 70 2 −4

] [1 0 01 1 0−1 0 1

] 𝑓2/2

[1 3 50 1 7/20 2 −4

] [1 0 01/2 1/2 0−1 0 1

]

𝑓2 ∗ −3 ∗ 𝑓1

𝑓2 ∗ −2 + 𝑓3[1 0 −11/20 1 7/20 0 −11

] [−1/2 −3/2 01/2 1/2 0−2 −1 1

]𝑓3/−11

[1 0 −11/20 1 7/20 0 1

] [−1/2 −3/2 01/2 1/2 02/11 1/11 −1/11

]

𝑓3 ∗11

2+ 𝑓1

𝑓3 ∗ −7

2+ 𝑓2

[1 0 00 1 00 0 1

] [1/2 −1 −1/2−3/22 2/11 7/222/11 1/11 −1/11

]

Verificación

[1 3 5−1 −1 21 5 1

] [

1/2 −1 −1/2−3/22 2/11 7/222/11 1/11 −1/11

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

3. [2 0 03 1 5−2 0 1

]


[2 0 03 1 5−2 0 1

] [1 0 00 1 00 0 1

]𝑓1/2

[1 0 03 1 5−2 0 1

] [1/2 0 00 1 00 0 1

] 𝑓1 ∗ −3 + 𝑓2𝑓1 ∗ 2 + 𝑓3

[1 0 00 1 50 0 1

] [−1/2 0 03/2 1 01 0 1

] 𝑓3 ∗ −5 + 𝑓2

[1 0 00 1 00 0 1

] [−11/2 0 03/2 1 −51 0 1

]

Verificación


Algebra Lineal

[2 0 03 1 5−2 0 1

] [1/2 0 0−13/2 1 −51 0 1

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

4. Calcule la inversa de cada matriz:

[2 1 13 0 11 1 1

] [1 −3 −41 −2 10 0 1

] [1 1 01 0 10 1 0

] [1 0 −12 −1 −1−3 1 3

]

[1 2 41 1 35 2 4

] [3 1 21 2 31 1 1

] [1 2 3−1 5 6−1 3 3

] [1 3 5−1 −1 21 5 1

]

[1 5 41 4 31 −3 −2

] [2 1 13 0 11 1 1

] [2 −3 −41 −2 −10 0 −1

] [1 −1 32 1 2−2 −2 1

]

[2 5 41 4 31 −3 −2

] [1 1 0−1 1 21 0 1

] [2 1 −23 4 67 6 −2

] [4 1 −21 1 −21 1 0

]


Algebra Lineal

ECUACIONES MATRICIALES

También se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de la matriz de coeficientes. De la misma manera que escribimos el sistema de tres ecuaciones como ecuación matricial de la forma AX =B, podemos hacerlo de forma general. Si A es una matriz de n x n, B y X son matrices de n x 1, entonces:

AX = B Es una ecuación matricial. Si existe la inversa de la matriz A, entonces podemos usar esa inversa para despejar la matriz X en la ecuación matricial. El método de solución general es como sigue:

AX =B

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por A-1,

A-1 (AX) = A-1 B (A-1 A)X = A-1 B IX = A-1 B X = A-1 B

Por lo tanto las matrices inversas se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. Desafortunadamente este sistema funciona si solo si existe la inversa de la matriz de coeficientes Ejercicio. Use la matriz inversa para resolver cada sistema de ecuaciones

–x + z = 1 x + y + z = 3 2x – y – 2z = 2 x + 4y – 3z = -3 2x + y + z = 4 3x – y + z = -3 x – 2y + z = 3 2x + 2y + z = 10 x + y – z = 7

[6 3 −81 0 −320 −12 2

] [𝑥𝑦𝑧] = [

1−210] [

3 −1 02 −1 1−1 1 −3

] [𝑥𝑦𝑧] = [

119−8] [

1 1 22 1 12 2 1

] [𝑥𝑦𝑧] = [

8710]


Algebra Lineal

APLICACIÓN DE LAS MATRICES EN LA ECONOMÍA Modelos de Entrada-Salida de Leontief

Wassily Leontief fue un economista estadunidense de origen ruso, premio nobel de economía en 1973, desarrollo una aplicación de las matrices útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones (repartos de los gastos como de las inversiones que hace el contribuyente un año calendario) gubernamentales sobre la economía. Modelo de Entrada o Abierto Se denomina modelo abierto porque algunas mercancías están disponibles para entidades ajenas a la economía. Consideremos una matriz 𝑋 como la producción bruta de cierta economía, la matriz 𝐴 la matriz de consumo interno, también llamada matriz tecnológica y 𝐷 la matriz de demanda final o superávits disponible para los consumidores, para el gobierno o para la exportación, la ecuación matricial de demanda sería:

𝑋 − 𝐴𝑋 = 𝐷 , donde 𝐴𝑋 representa el consumo interno, factorizando la ecuación matricial

(𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷 , por igualación

(𝐼 − 𝐴)−1(𝐼 − 𝐴)𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 , como 𝐴 × 𝐴−1 = 𝐼

𝐼𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 , es decir

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 , sería la ecuación que permitiría hallar las producciones brutas. Problemas 1. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz

tecnológica

𝐴 =𝐶𝑎𝑙𝑧𝑎𝑑𝑜 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑑𝑒𝑟í𝑎

𝐶𝑎𝑙𝑧𝑎𝑑𝑜 0.1 0.1𝐺𝑎𝑛𝑎𝑑𝑒𝑟í𝑎 0.2 0.5


Algebra Lineal

Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la producción bruta de cada industria.

Hallemos I – A =

95,02,0

1,09,0

05,02,0

1,01,0

10

01

9,02,0

1,095,0

)2,0)(1,0()95,0)(9,0(

11AI

9,02,0

1,095,0

835,0

11AI

07,123,0

11,013,11AI

275

850

07,123,0

11,013,1

X

27507,185023,0

27511,085013,1X

ganado

calzadoX

75,489

75,990

Para verificar tenemos que comprobar que (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷, veámoslo

4,267

7,842

75,489

75,990

99,02,0

1,09,0)(

XAI

2. Una economía primitiva con industria maderera y de energía tiene la siguiente matriz tecnológica

𝐴 =𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎

𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 0.1 0.2𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 0.2 0.4

Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 de energía encuentre la producción bruta de cada industria. Debemos hallar 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 , por datos:

𝐴 = [0.1 0.20.2 0.4

] y 𝐷 = [3070]

Inicialmente hallamos 𝐼 − 𝐴:

𝐼 − 𝐴 = [1 00 1

] − [0.1 0.20.2 0.4

] = [0.9 −0.2−0.2 0.6

]


Algebra Lineal

Calculamos la inversa de 𝐼 − 𝐴 es decir (𝐼 − 𝐴)−1

(𝐼 − 𝐴)−1 =1

0.54 − 0.04[0.6 0.20.2 0.9

] = 2 [0.6 0.20.2 0.9

] = [1.2 0.40.4 1.8

]

Hallamos 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 = [1.2 0.40.4 1.8

] × [3070] = [

64138

]


(𝐼 − 𝐴)𝑋 = [0.9 −0.2−0.2 0.6

] × [64138

] = [3070]

Por tanto se tienen que producir 64 unidades de madera y 138 unidades de energía.

3. Cierta compañía posee dos industrias, agrícola y siderurgia. Para producir una unidad agrícola se requiere 0.1 unidades de ella misma y 0.02 unidades de siderurgia. Para producir una unidad de siderurgia se requiere 0.13 unidades de ella misma y 0.01 unidades agrícolas.

Si se desean superávits de 2350 unidades agrícolas y 4552 de siderurgia ¿cuál debe ser la producción bruta?

Inicialmente organizamos las matrices tecnológica y de demandas, por datos

𝐴 =

𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑆𝑖𝑑𝑒𝑟𝑢𝑟𝑔í𝑎𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎 0.1 0.01𝑆𝑖𝑑𝑒𝑟𝑢𝑟𝑔í𝑎 0.02 0.13

y 𝐷 =𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑠

𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎 2350𝑆𝑖𝑑𝑒𝑟𝑢𝑟𝑔í𝑎 4552

Ahora 𝐼 − 𝐴:

𝐼 − 𝐴 = [1 00 1

] − [0.1 0.010.02 0.13

] = [0.9 −0.01−0.02 0.87

]

Calculamos la inversa de 𝐼 − 𝐴 es decir (𝐼 − 𝐴)−1

(𝐼 − 𝐴)−1 = [1.02 0.010.02 1.1

]

Hallamos 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷


Algebra Lineal

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 = [2459.795293.56

]


(𝐼 − 𝐴)𝑋 = [2160.884556.20

]

Por tanto se tienen que producir aproximadamente 2460 unidades agrícolas y 5294 unidades de siderurgia.

4. Un modelo simplificado de la economía sería:

Salidas Productos Bienes Entradas Agrícolas Manufacturados Combustible Productos Agrícolas 0.5 0.1 0.1 Bienes Manufacturados 0.2 0.5 0.3 Combustibles 0.1 0.3 0.4

La Matriz tecnológica será

Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones brutas?

85 D = 65 0

Debemos resolver:

0.5 0,1 0,1 A = 0,2 0,5 0,3 0,1 0,3 0,4

1 0 0 0.5 0,1 0,1 X1 85 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 x X2 = 65 0 0 1 0,1 0,3 0,4 X3 0


Algebra Lineal

Debemos resolver la ecuación matricial

La matriz ampliada es

Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene

De modo que las producciones brutas de las industrias son

1 0 0 0,5 0,1 0,1 0,5 -0,1 -0,1 I – A = 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 = -0,2 0,5 -0,3 0 0 1 0,1 0,3 0,4 -0,1 -0,3 0,6

0,5 -0,1 -0,1 X1 85 -0,2 0,5 -0,3 X2 = 65 -0,1 -0,3 0,6 X3 0

0,5 -0,1 -0,1 85 -0,2 0,5 -0,3 65 -0,1 -0,3 0,6 0

1 0 0 300 0 1 0 400 0 0 1 250

Agricultura: X1 = 300 Manufactura: X2 = 400 Combustible: X3 = 250


Algebra Lineal

5. Un pequeño pueblo tiene 3 industrias primarias, una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energía eléctrica. Para producir una unidad (1 $) de cobre la mina gasta $0.20 de cobre, $0.1 de transporte, $0.2 de energía eléctrica. Para producir $1 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.1 de cobre, $0.1 de transporte, y $0.4 de energía eléctrica. Para producir $ 1 de energía eléctrica, la planta destina $ 0.2 de cobre, $ 0.2 de transporte, y $ 0.3 de energía eléctrica. Suponga que durante un año hay una demanda externa de 1,2 millones de dólares de cobre, 0.8 millones de dólares de transporte, y 1.5 millones de dólares por concepto de energía ¿Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica

𝐴 =

𝐶𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝐶𝑜𝑏𝑟𝑒 0.2 0.1 0.2

𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙 0.1 0.1 0.4𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 0.2 0.2 0.3

Ahora la matriz de superávits

𝐷 =𝐶𝑜𝑏𝑟𝑒 1.2

𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙 0.8𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 1.5

Debemos calcula 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 Hallamos I – A

I – A =[1 0 00 1 00 0 1

] [0.2 0.1 0.20.1 0.1 0.40.2 0.2 0.3

] = [0.8 −0.1 −0.2−0.1 0.9 −0.4−0.2 −0.2 0.7

]

Calculamos (I – A)-1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan

(𝐼 − 𝐴)−1 = [0.8 −0.1 −0.2−0.1 0.9 −0.4−0.2 −0.2 0.7

] [1 0 00 1 00 0 1

]

𝑓1

0.8 [1 −0.12 −0.25

−0.1 0.9 −0.4−0.2 −0.2 0.7

]

[1.25 0 00 1 00 0 1

] 𝑓1 ∗ 0.1 + 𝑓2𝑓1 ∗ 0.2 + 𝑓3

[1 −0.12 −0.250 0.88 −0.420 −0.22 0.65

] [1.25 0 00.12 1 00.25 0 1

]𝑓2

0.88


Algebra Lineal

[1 −0.12 −0.250 1 −0.470 −0.22 0.65

] [1.25 0 00.13 1.13 00.25 0 1

]

𝑓2 ∗ 0.12 + 𝑓1

𝑓2 ∗ 0.22 + 𝑓3[1 0 −0.300 1 −0.470 0 0.54

] [1.26 0.13 00.13 1.13 00.27 0.24 1

] 𝑓3

0.54

[1 0 −0.300 1 −0.470 0 1

] [1.26 0.13 00.13 1.13 00.5 0.44 1.85

]𝑓3 ∗ 0.3 + 𝑓1𝑓3 ∗ 0.47 + 𝑓2 [

1 0 00 1 00 0 1

] [1.41 0.26 0.550.36 1.33 0.860.5 0.44 1.85

]

Entonces (𝐼 − 𝐴)−1 = [1.41 0.26 0.550.36 1.33 0.860.5 0.44 1.85

]

Calculamos (𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 = 𝑋

(𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 = [1.41 0.26 0.550.36 1.33 0.860.5 0.44 1.85

] [1.20.81.5] = [

2.7252.7863.727

]𝐶𝑜𝑏𝑟𝑒

𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜𝑐𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎

Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir

aproximadamente 2.725 unidades de cobre, 2.786 de ferrocarril y 3.727 de energía.

Para verificar el resultado se debe comprobar que (𝐼 − 𝐴).𝑋 = 𝐷

(𝐼 − 𝐴). 𝑋 = [0.8 −0.1 −0.2−0.1 0.9 −0.4−0.2 −0.2 0.7

] [2.7252.7863.727

] = [1.1560.7441.506

]

Por lo tanto la solución es correcta.

6. Una compañía que produce, gas, aceite y gasolina, se sabe que para producir una unidad de gas requiere 1/5 del mismo, 2/5 de aceite y 1/5 de gasolina. Para producir una unidad de aceite, requiere de 2/5 de gas y 1/5 de aceite. Para producir una unidad de gasolina usa 1 unidad de gas y una de. Finalmente Si tiene una demanda del mercado de 100 unidades de cada producto. ¿Determinar la producción bruta de cada industria para cumplir con su mercado? Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica


Algebra Lineal

𝐴 =

𝐺𝑎𝑠 𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝐺𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎𝐺𝑎𝑠 1/5 2/5 1/5𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 2/5 1/5 0𝐺𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎 1 1 0


𝐷 =𝐺𝑎𝑠 100𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 100𝐺𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎 100

Debemos calcula 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 Hallamos I – A

I – A =[1 0 00 1 00 0 1

] [1/5 2/5 1/52/5 1/5 01 1 0

] = [4/5 −2/5 −1/5−2/5 4/5 0−1 −1 1

]


(𝐼 − 𝐴)−1 = [4 5⁄ −2 5⁄ −1 5⁄

−2 5⁄ 4 5⁄ 0−1 −1 1

] [1 0 00 1 00 0 1

]𝑓1/(4 5)⁄

[1 −1 2⁄ −1 4⁄

−2 5⁄ 4 5⁄ 0−1 −1 1

] [5 4⁄ 0 00 1 00 0 1

] 𝑓1 ∗ 2 5⁄ + 𝑓2𝑓1 ∗ 1 + 𝑓3

[1 −1 2⁄ −1 4⁄

0 3 5⁄ −1 10⁄

0 −3 2⁄ 3 4⁄] [5 4⁄ 0 01 2⁄ 1 05 4⁄ 0 1

] 𝑓2/(3 5)⁄

[1 −1 2⁄ −1 4⁄

0 1 −1 6⁄

0 −3 2⁄ 3 4⁄] [5 4⁄ 0 05 6⁄ 5 3⁄ 05 4⁄ 0 1

]𝑓2 ∗ 1 2⁄ + 𝑓1

𝑓2 ∗ 3 2⁄ + 𝑓3[1 0 −1 3⁄

0 1 −1 6⁄

0 0 1 2⁄] [5 3⁄ 5 6⁄ 05 6⁄ 5 3⁄ 05 2⁄ 5 2⁄ 1

]

𝑓3/(1 2)⁄[1 0 −1 3⁄

0 1 −1 6⁄

0 0 1

] [5 3⁄ 5 6⁄ 05 6⁄ 5 3⁄ 05 5 2

]𝑓3 ∗ 1 3 + 𝑓1⁄

𝑓3 ∗ 1 6 + 𝑓2⁄ [1 0 00 1 00 0 1

] [10 3⁄ 5 2⁄ 2 3⁄

5 3⁄ 5 2⁄ 1 3⁄

5 5 2

]

Entonces (𝐼 − 𝐴)−1 = [10 3⁄ 5 2⁄ 2 3⁄

5 3⁄ 5 2⁄ 1 3⁄5 5 2

]



Algebra Lineal

(𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 = [10 3⁄ 5 2⁄ 2 3⁄

5 3⁄ 5 2⁄ 1 3⁄5 5 2

] [100100100

] = [6504501200

]

Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir 650

unidades de gas, 450 de aceite y 1200 de gasolina. Para verificar el resultado se

debe comprobar que (𝐼 − 𝐴). 𝑋 = 𝐷

(𝐼 − 𝐴). 𝑋 = [4/5 −2/5 −1/5−2/5 4/5 0−1 −1 1

] [6504501200

] = [100100100

]


7. Considerando las industrias: química, la médica y la de servicios, se sabe que hay

una demanda de la industria química de 0.25 de su propia producción, 0.35 de la médica, y 0.1 de servicios. Para producir una unidad de medicamentos, se requiere de 0.15 de la industria química, 0.2 de su propia producción y 0.1 de servicios. Existe también una demanda de la industria de servicios de 0.15 de medicamentos, 0.25 de químicos y 0.35 del mismo transporte. Si hay una demanda externa de 600 de químicos, de 1100 de medicinas y 600 de transporte ¿Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Por comodidad se trabajará con dos cifras decimales

Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica

Química Médica Servicios Química 0.25 0.35 0.10 A= Médica 0.15 0.20 0.10 Servicios 0.25 0.15 0.35


600 Química D= 1100 Médica 600 Servicios

Debemos hallar: 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 Calculamos I - A


Algebra Lineal

𝐼 − 𝐴 = [1 0 00 1 00 0 1

] − [0.25 0.35 0.100.15 0.20 0.100.25 0.15 0.35

] = [0.75 −0.35 −0.10−0.15 0.80 −0.10−0.25 −0.15 0.65

]


(𝐼 − 𝐴)−1 = [0.75 −0.35 −0.10−0.15 0.80 −0.10−0.25 −0.15 0.65

] [1 0 00 1 00 0 1

]

𝑓1

0.75

[1 −0.46 −0.13

−0.15 0.80 −0.10−0.25 −0.15 0.65

] [1.33 0 00 1 00 0 1

] 𝑓1 ∗ 0.15 + 𝑓2𝑓1 ∗ 0.25 + 𝑓3

[1 −0.46 −0.130 0.73 −0.110 −0.26 0.61

] [1.33 0 00.19 1 00.33 0 1

]𝑓2

0.73

[1 −0.46 −0.130 1 −0.150 −0.26 0.61

] [1.33 0 00.26 1.36 00.33 0 1

]

𝑓2 ∗ 0.46 + 𝑓1

𝑓2 ∗ 0.26 + 𝑓3[1 0 −0.190 1 −0.150 0 0.57

] [1.44 0.62 00.26 1.36 00.39 0.35 1

] 𝑓3

0.57

[1 0 −0.190 1 −0.150 0 1

] [1.44 0.62 00.26 1.36 00.68 0.61 1.75

]𝑓3 ∗ 0.19 + 𝑓1𝑓3 ∗ 0.15 + 𝑓2 [

1 0 00 1 00 0 1

] [1.56 0.73 0.330.38 1.45 0.260.68 0.61 1.75

]

Entonces (𝐼 − 𝐴)−1 = [1.56 0.73 0.330.38 1.45 0.260.68 0.61 1.75

]


(𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷=[1.56 0.73 0.330.38 1.45 0.260.68 0.61 1.75

] [6001100600

] = [193719792129

]𝑄𝑢í𝑚𝑖𝑐𝑎𝑀é𝑑𝑖𝑐𝑎𝑆𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠

Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir

aproximadamente con 1937 unidades de industria química, 1979 de

medicamentos y 2129 de servicios. Para verificar el resultado se debe comprobar

que (𝐼 − 𝐴). 𝑋 = 𝐷

(𝐼 − 𝐴). 𝑋 = [0.75 −0.35 −0.10−0.15 0.80 −0.10−0.25 −0.15 0.65

] [193719792129

] = [547.21079.75602.75

]



Algebra Lineal

8. Considerando las industrias: manufactura, agricultura y servicios. Por cada unidad de producción, manufactura requiere de 0.1 unidades la misma, 0.3 de agricultura y 0.3 de servicios. Por cada unidad de producción la agricultura utiliza 0.2 unidades de su propia producción, 0.6 de manufactura y 0.1 de servicios. Por cada unidad de producción del sector de servicio se consumen 0.1 de servicios, 0.6 unidades de manufactura, pero ninguno de agricultura. Determine los niveles de producción necesarios para satisfacer una demanda final de 18 unidades para manufactura, 18 para agricultura y 0 para servicios. Escribimos la matriz tecnológica

𝐴 =𝑀𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑆𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠

[

𝑀 𝐴 𝑆0.1 0.3 0.30.6 0.2 0.10.6 0 0.1

]

La matriz de demanda final es:

𝐷 =𝑀𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑆𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠

[18180

]

Debemos hallar: 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 Calculamos I - A

𝐼 − 𝐴 = [1 0 00 1 00 0 1

] − [0.1 0.3 0.30.6 0.2 0.10.6 0 0.1

] = [−0.9 −0.3 −0.30.6 0.8 −0.1−0.6 0 0.9

]

Calculamos (𝐼 − 𝐴)−1

(𝐼 − 𝐴)−1 = [2.22 0.83 0.831.85 1.94 0.831.48 0.55 1.66

]

Calculamos 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1. 𝐷 = [2.22 0.83 0.831.85 1.94 0.831.48 0.55 1.66

] × [18180] = [

556837]

Para verificar calculamos (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷, veámoslo


Algebra Lineal

(𝐼 − 𝐴)𝑋 = [−0.9 −0.3 −0.30.6 0.8 −0.1−0.6 0 0.9

] × [556837] = [

18180]

Por tanto para satisfacer una demanda final de 18 unidades para manufactura, 18 para agricultura y 0 para servicios se tienen que producir 55 unidades de manufactura, 68 y 37 de servicios.

9. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía tiene una matriz tecnológica

A M 0.4 0.2 Agricultura A = 0.1 0.3 Minería Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales, encuentre la producción bruta de cada industria

10. Supongamos que una economía tiene dos industrias, bienes y servicios. Una unidad de bienes requiere insumos de 0.2 unidades de bienes y 0.5 unidades de servicio. Una unidad de producción de servicios requiere 0.4 unidades de bienes y 0.3 de servicios. Si se desea una demanda final de 20 unidades de bienes y 30 de servicios implemente el modelo abierto de Leontieff para determinar las producciones brutas de cada industria.

11. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c

A= [0.1 0.5 0.30.2 0.1 0.20.3 0.2 0.1

]𝑎𝑏𝑐

Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de superávits

D=[150100150

]

12. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica

Agricultura Siderurgia Carbón 0,1 0,01 0,01 Agricultura 0,02 0,13 0,20 Siderurgia 0,05 0,18 0,05 Carbón


Algebra Lineal

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón.

La producción bruta de calzado es aproximadamente de 991 unidades y de ganado aproximadamente de 490 unidades

13. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica

Agricultura Industria Servicios 0,43 0,08 0,06 Agricultura 0,3 0,17 0,05 Industria 0,23 0,22 0,1 Servicio

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios.

14. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica

Manufactura Agricultura Servicios 0,5 0,4 0,2 Agricultura 0,2 0,3 0,1 Industria 0,1 0,1 0,3 Servicio

Encuentre las producciones brutas si se quieren tener superávits de 50 unidades de para manufactura, 30 unidades para agricultura y 20 para servicios.


Algebra Lineal

Modelo de Salida o Cerrado de Leontief

En dicho modelo se incluye la mano de obra (trabajo) y no hay superávits es decir D=0. Para los modelos cerrados, la ecuación tecnológica no tiene solución única, de modo que la matriz (I –A) no existe y por tanto no es posible usarla para encontrar la solución. Ejercicio. 1. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se

determina mediante. Encuentre las producciones brutas de la industria

𝐴 =

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 0.5 0.1 0.2𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 0.1 0.3 0𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.4 0.6 0.8

Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que 𝑥 es la producción bruta de productos, 𝑦 la de maquinarias y 𝑧 el trabajo

0.5𝑥 + 0.1𝑦 + 0.2𝑧 = 𝑥 0.1𝑥 + 0.3𝑦 = 𝑦

0.4𝑥 + 0.6𝑦 + 0.8𝑧 = 𝑧

Igualando a cero cada ecuación −0.5𝑥 + 0.1𝑦 + 0.2𝑧 = 0

0.1𝑥 − 0.7𝑦 = 0 0.4𝑥 + 0.6𝑦 − 0.2𝑧 = 0

Resolvemos utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan

|−0.5 0.1 0.20.1 −0.7 00.4 0.6 −0.2

| |000|

𝑓1

−0.5 |1 −0.2 −0.40.1 −0.7 00.4 0.6 −0.2

| |000| 𝑓1 ∗ −0.1 + 𝑓2𝑓1 ∗ −0.4 + 𝑓3

|1 −0.2 −0.40 −0.68 0.040 0.68 −0.04

| |000|

𝑓2

−0.68|1 −0.2 −0.40 1 −0.050 0.68 −0.04

| |000|

𝑓2 ∗ 0.2 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −0.68 + 𝑓3|1 0 −0.410 1 −0.050 0 0

| |000|

𝑥1 − 0.41𝑥3 = 0𝑥2 − 0.05𝑥3 = 0

Despejando


Algebra Lineal

𝑥 = 0.41𝑧𝑦 = 0.05𝑧

Por tanto la producción de productos es 0.41 la producción del trabajo y la de maquinarias es 0.05 la producción del trabajo.

5. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina por medio de la matriz A, encuentre las producciones brutas de la industria

𝐴 =

𝐿𝑢𝑐𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑁𝑜 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝐿𝑢𝑐𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 0.4 0.3 0.4

𝑁𝑜 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 0.2 0.4 0.2𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.4 0.3 0.2

Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que 𝑥 es la producción bruta de lucrativos, 𝑦 la de no lucrativos y 𝑧 el trabajo

0.4𝑥 + 0.3𝑦 + 0.4𝑧 = 𝑥 0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.2𝑧 = 𝑦

0.4𝑥 + 0.3𝑦 + 0.2𝑧 = 𝑧

Igualando a cero cada ecuación

−0.6𝑥 + 0.3𝑦 + 0.4𝑧 = 0 0.2𝑥 − 0.6𝑦 + 0.2𝑧 = 0

0.4𝑥 + 0.3𝑦 − 0.8𝑧 = 0


|−0.6 0.3 0.40.2 −0.6 0.20.4 0.3 −0.8

| |000|

𝑓1−0.6⁄

|1 −0.5 −0.660.2 −0.6 0.20.4 0.3 −0.8

| |000| 𝑓1 ∗ −0.2 + 𝑓2𝑓1 ∗ −0.4 + 𝑓3

|1 −0.5 −0.660 −0.5 0.330 0.5 −0.53

| |000|

𝑓2/−0.5 |1 −0.5 −0.660 1 −0.660 0.5 −0.53

| |000|

𝑓2 ∗ 0.5 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −0.5 + 𝑓3|1 0 −0.990 1 −0.660 0 −0.2

| |000|

Despejando 𝑥 − 0.99𝑧 = 0; 𝑥 = 0.99𝑧 𝑦 − 0.66𝑧 = 0; 𝑦 = −0.66𝑧

Es decir que las producciones lucrativas son el .099 del trabajo y las no lucrativas son de 0.66 del trabajo


Algebra Lineal

6. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.

𝐴 =

𝑀 𝐸 𝑇𝑀𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 0.5 0.4 0.3

𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 0.4 0.5 0.3𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.1 0.1 0.4

Encuentre las producciones brutas de la industria Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que 𝑥 es la producción bruta de manufactura, 𝑦 la de Energía y 𝑧 el trabajo

0.5𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 𝑥 0.4𝑥 + 0.5𝑦 + 0.3𝑧 = 𝑦

0.1𝑥 + 0.1𝑦 + 0.4𝑧 = 𝑧


−0.5𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 0 0.4𝑥 − 0.5𝑦 + 0.3𝑧 = 0

0.1𝑥 + 0.1𝑦 − 0.6𝑧 = 0


|−0.5 0.4 0.30.4 −0.5 0.30.1 0.1 −0.6

| |000|

𝑓1−0.5⁄

|1 −0.8 −0.60.4 −0.5 0.30.1 0.1 −0.6

| |000| 𝑓1 ∗ −0.4 + 𝑓2𝑓1 ∗ −0.1 + 𝑓3

|1 −0.8 −0.60 −0.18 0.540 0.18 −0.54

| |000|

𝑓2/−0.18 |1 −0.8 −0.60 1 −30 0.18 −0.54

| |000|

𝑓2 ∗ 0.8 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −0.18 + 𝑓3|1 0 −30 1 −30 0 0

| |000|

Despejando 𝑥 − 3𝑧 = 0; 𝑥 = 3𝑧 𝑦 − 3𝑧 = 0; 𝑦 = 3𝑧

Es decir que la producción de manufactura es 3 veces el trabajo y la de generación de energía es 3 veces el trabajo

7. Suponga que una economía consiste en los sectores: portuario, manufactura y trabajo. El sector portuario para su funcionamiento requiere del 20% de su propia producción,


Algebra Lineal

el 60% de la producción manufacturera y 20% de la mano de obra. Para la producción manufacturera se requiere del 50% de sí misma, 10% del sector portuario y 40% de mano de obra. La mano de obra requiere del 10% del sector portuario, 10% de la manufactura y 80% de sí misma. Encuentre y explique la producción bruta de cada industria.

Escribimos la matriz tecnológica

𝐴 =

𝑃 𝑀 𝑇𝑃𝑜𝑟𝑡𝑢𝑎𝑟𝑖𝑜 0.2 0.1 0.1

𝑀𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 0.6 0.5 0.1𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.2 0.4 0.8

Como incluye el trabajo se desarrolla basado en el modelo cerrado de Leontief. Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que 𝑥 es la producción bruta del sector portuario, 𝑦 la de manufactura, y 𝑧 el trabajo

0.2𝑥 + 0.1𝑦 + 0.1𝑧 = 𝑥 0.6𝑥 + 0.5𝑦 + 0.1𝑧 = 𝑦

0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.8𝑧 = 𝑧


−0.8𝑥 + 0.1𝑦 + 0.1𝑧 = 0 0.6𝑥 − 0.5𝑦 + 0.1𝑧 = 00.2𝑥 + 0.4𝑦 − 0.2 = 0


|−0.8 0.1 0.10.6 −0.5 0.10.2 0.4 −0.2

| |000|

𝑓1−0.8⁄

|1 −0.12 −0.120.6 −0.5 0.10.2 0.4 −0.2

| |000| 𝑓1 ∗ −0.6 + 𝑓2𝑓1 ∗ −0.2 + 𝑓3

|1 −0.12 −0.120 −0.42 0.170 0.42 −0.17

| |000|

𝑓2/−0.42 |1 −0.12 −0.120 1 −0.410 0.42 −0.17

| |000|

𝑓2 ∗ 0.12 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −0.42 + 𝑓3|1 0 −0.170 1 −0.410 0.42 0

| |000|

𝑓2 ∗ 0.12 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −0.42 + 𝑓3

Despejando

𝑥 − 0.17𝑧 = 0; 𝑥 = 0.17𝑧 𝑦 − 0.41𝑧 = 0; 𝑦 = 0.41𝑧

Es decir que la producción del sector portuario es 0.17 veces la producción de la mano de obra y la manufactura es 0.41 veces el trabajo


Algebra Lineal

8. suponga que una economía consiste en los sectores de carbón, electricidad, y el trabajo. El carbón para su producción necesita del 0% de carbón, 40% de electricidad, y 60% de la mano de obra. Para la electricidad se necesita 60% de carbón, 10% de electricidad y 20% de la mano de obra. La mano de obra necesita 40% de carbón, 50% de electricidad y 20% de ella misma. Encuentre y explique la producción bruta de cada industria.

Escribimos la matriz tecnológica

𝐴 =

𝐶 𝐸 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑏ó𝑛 0 0.4 0.6

𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 0.6 0.1 0.2𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.4 0.5 0.2

Como incluye el trabajo se desarrolla basado en el modelo cerrado de Leontief. Escribimos el sistema de ecuaciones considerando que 𝑥 representa la producción bruta de carbón, 𝑦 la producción bruta de electricidad y 𝑧 la producción bruta del trabajo 0.40𝑦 + 0.60𝑧 = 𝑥

0.60𝑥 + 0.10𝑦 + 0.20𝑧 = 𝑦 0.40𝑥 + 0.50𝑦 + 0.20𝑧 = 𝑧

Igualamos a cero cada ecuación

−𝑥 + 0.40𝑦 + 0.60𝑧 = 0 0.60𝑥 − 0.90𝑦 + 0.20𝑧 = 0 0.40𝑥 + 0.50𝑦 − 0.80𝑧 = 0


[−1 0.4 0.60.6 −0.9 0.20.4 0.5 −0.8

|000]

𝑓1−1⁄

[1 −0.4 −0.60.6 −0.9 0.20.4 0.5 −0.8

|000] 𝑓1 ∗ −0,6 + 𝑓2𝑓1 ∗ −0,4 + 𝑓3

[1 −0.4 −0.60 −0.66 0.560 0.66 −0.56

|000] 𝑓2/−0.66

[1 −0.4 −0.60 1 −0.840 0.66 −0.56

|000]

𝑓2 ∗ 0,4 + 𝑓1

𝑓2 ∗ −0,66 + 𝑓1[1 0 −0.930 1 −0.840 0 −0.00

|000]

Despejando

𝑥 − 0.93𝑧 = 0; 𝑥 = 0.93𝑧


Algebra Lineal

𝑦 − 0.84𝑧 = 0; 𝑦 = 0.84𝑧 Por tanto la producción bruta de carbón es del 93% del trabajo y la de electricidad es del 84% del trabajo.


𝐴 =

𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎7

16

1

2

3

16

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛5

16

1

6

5

16

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜1

4

1

3

1

2

Encuentre las producciones brutas de la industria Escribimos el sistema de ecuaciones considerando que 𝑥 representa la producción bruta de agricultura, 𝑦 la producción bruta de construcción y 𝑧 la producción bruta del trabajo

7

16𝑥 +

1

2𝑦 +

3

16𝑧 = 𝑥

5

16𝑥 +

1

6𝑦 +

5

16𝑧 = 𝑦

1

4𝑥 +

1

3𝑦 +

1

2𝑧 = 𝑧

Igualamos a cero cada ecuación

−9

16𝑥 +

1

2𝑦 +

3

16𝑧 = 0

5

16𝑥 −

5

6𝑦 +

5

16𝑧 = 0

1

4𝑥 +

1

3𝑦 −

1

2𝑧 = 0



Algebra Lineal

[ −916⁄

12⁄

38⁄

516⁄ −5 6⁄

516⁄

14⁄

13⁄ −1 2⁄

|000]

𝑓1

−9 16⁄⁄

[ 1 −8 9⁄ −1 3⁄

516⁄ −5 6⁄

516⁄

14⁄

13⁄ −1 2⁄

|000]

𝑓1 ∗ −516⁄ + 𝑓2

𝑓1 ∗ −1 4⁄ + 𝑓3

[1 −8/9 1/30 −5/9 −5/120 5/9 −5/12

|000] 𝑓2/(−5 9⁄ )

𝑓2/(−5/9) [1 −8/9 −1/30 1 3/40 5/9 −5/12

|000]

𝑓2 ∗ 8 9⁄ + 𝑓1

𝑓2 ∗ −5 9⁄ + 𝑓3

[1 0 −10 1 −3/40 0 0

|000]

Despejando

𝑥 − 𝑧 = 0; 𝑥 = 𝑧 𝑦 − 3/4𝑧 = 0; 𝑦 = 3/4𝑧

Por tanto la producción bruta de la agricultura es igual a la de del y la de la construcción es ¾ del trabajo.

10. Se da la matriz parcialmente reducida para la producción bruta de cada industria de un modelo cerrado de Leontief. Encuentre la producción bruta de cada industria

𝐴 =

𝐺𝐸 𝐴 𝑇𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 3 −10 −7

𝐴𝑔𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 0 20 −10𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0 0 0

11. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple

se determina mediante.

𝐴 =

𝐺 𝐼 𝑇𝐺𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜 0.4 0.1 0.3𝐼𝑛𝑑𝑢𝑠𝑡𝑟í𝑎 0.4 0.3 0.2𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.2 0.6 0.5

Encuentre las producciones brutas de la industria




Algebra Lineal

𝐴 =

𝐺 𝐼 𝑇𝐺𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜 0.4 0.2 0.2𝐼𝑛𝑑𝑢𝑠𝑡𝑟𝑖𝑎 0.2 0.3 0.3𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.4 0.5 0.5




𝐴 =

𝐸 𝑀 𝑇𝐸𝑚𝑏𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒 0.2 0.1 0.1

𝑀𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 0.6 0.5 0.1𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.2 0.4 0.8



𝐴 =

𝐺 𝐿 𝑁𝐿 𝑇𝐺𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜 0.3 0.2 0.1 0.05𝐿𝑢𝑐𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 0.2 0.3 0.1 0.1

𝑁𝑜 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 0.2 0.1 0.2 0.1𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 0.3 0.4 0.6 0.75


15. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura, construcción,

vestuario y transporte, y que se satisfacen las condiciones del modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la siguiente matriz.

Agricultura

Construcción Vestuario Transporte

Agricultura 1/3 4/9 1/3 1/3 Construcción 1/3 1/3 1/6 1/6

Vestuario 1/4 1/9 1/4 ¼ Transporte 1/12 1/9 1/4 1/4


Algebra Lineal

Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, construcción, vestuario y transporte son P1, P2, P3, y P4 respectivamente. Asuma que se cumple la condición de equilibrio, y determine los ingresos de cada sector de la economía.


Algebra Lineal

DESIGUALDADES

Una desigualdad son dos expresiones aritméticas relacionadas con los operadores de relación: <,>,≤,≥ Ley de la tricotomía: Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: a < b ó a > b ó a=b Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. · Desigualdad absoluta es aquella que es válida para cualquier valor que se atribuya a las

variables definidas en ella. Por ejemplo: x2 +1 > x · Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las

variables. Por ejemplo: 4x -12 > 0 que solamente satisface para x > 3. Propiedades de las desigualdades Si (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) ∈ 𝑅:

Propiedad Descripción

Transitiva

Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑏 > 𝑐, entonces 𝑎 > 𝑐 Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐, entonces 𝑎 < 𝑐

Ejemplo Como 5 > 2 y 2 > -1 entonces 5 > -1 Como 3<5 y 5<9 entonces 3<9

Suma

Si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

Ejemplo Como 7 > 2 entonces 7 + 3 > 2 + 3, 10 > 5

Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑 Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑

Ejemplo Como 6>2 y 7>3 entonces 6+7>2+3 Como 5<7 y 2<6 entonces 5+2<7+6

Multiplicación por un número positivo

Si a > b y c > 0 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

Ejemplo Como 8>4 entonces 8*2>4*2, 16>8

Multiplicación por un número negativo Si a > b y c < 0 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐


Algebra Lineal

Como 9>5 entonces 9*(-2)<5*(-2),-18<-10

División por un número positivo

Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 0 entonces 𝑎

𝑐>𝑏

𝑐

Como 8>6 entonces 8

2>

6

2 , 4 > 3

División por un número negativo

Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 < 0 entonces 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐

Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 0 entonces 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐

Como 8>4 entonces 8

−2>

4

−2 , - 4 <-2

Como 6<9 entonces 6

−3>

9

−3 , -2>-3

𝑎 > 0 si y solamente si, – 𝑎 < 0

𝑎 > 0 si y solamente si, 1

𝑎> 0

Cambio de signo Si 𝑎 > 𝑏 entonces – 𝑎 < −𝑏 Como 5>3 entonces -5<-3 Si 𝑎 ≠ 0 entonces 𝑎2 > 0

INTERVALOS Subconjunto de los números reales y se clasifican en:

Tipo Definición Grafica

Abierto (𝑎 , 𝑏) = {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 < x < 𝑏}

Cerrado [𝑎 , 𝑏] = {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

Mixtos

[𝑎 , 𝑏)= {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

(𝑎 , 𝑏]= {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

− ∞

𝑎 𝑏

∞

− ∞ ∞

𝑎 𝑏

∞ − ∞

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

− ∞ ∞

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏


Algebra Lineal

Infi

nit

os

(𝑎,∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 𝑎}

[𝑎,∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 𝑎}

(−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < 𝑎}

(−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ 𝑎}

INECUACIONES LINEALES

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Ejercicios: Resolver cada inecuación justificando cada uno de los pasos y expresando el resultado en forma de intervalo y gráficamente 1. 𝑥 + 3 > 7 𝑥 + 3 − 3 > 7 − 3: Por Igualación 𝑥 + 0 > 7 − 3: Inverso aditivo 𝑥 > 7 − 3: Propiedad Modulativa de la suma 𝑥 > 4: Operando

∞ −∞

𝑎

∞ −∞

𝑎

𝑎

−∞ ∞

𝑎

−∞ ∞

𝑎


Algebra Lineal

En notación de intervalos, la solución es 𝑥 ∈ (4,∞) es decir todos los valores reales mayores que 4. Gráficamente

2. 2𝑥 − 4 < 6 2𝑥 − 4 + 4 < 6 + 4: Por igualación 2𝑥 + 0 < 6 + 4: Inverso Aditivo 2𝑥 < 6 + 4: Propiedad Modulativa de la suma 2𝑥 < 10: Operando 2

2𝑥 <

10

2: Por igualación

1𝑥 <10

2: Inverso Multiplicativo

𝑥 <10

2: Propiedad Modulativa de la multiplicación

𝑥 < 5: Operando En notación de intervalos, la solución es 𝑥 ∈ (−∞, 5), es decir todos los valores reales menores que 5. Gráficamente

3. 2𝑥−1

3+1−2𝑥

2≥ 0

2(2𝑥−1)+3(1−2𝑥)

6≥ 0 Operando

4𝑥 − 2 + 3 − 6𝑥 ≥ 0(6) Operando

1 − 2𝑥 ≥ 0 Operando

1 − 2𝑥 + 2𝑥 ≥ 0 + 2𝑥 Igualando

1 + 0 ≥ 0 + 2𝑥 Inverso Aditivo

1 ≥ 2𝑥 Propiedad modulativa de la suma

1

2≥

2𝑥

2 Por igualación

1

2≥ 1. 𝑥 Inverso multiplicativo

1

2≥ 𝑥 Propiedad modulativa de la multiplicación

4

∞ -∞

5

∞ -∞


Algebra Lineal

Gráficamente En forma de intervalo (−∞, 1/2)

4. 5 >−3𝑥−1

2> 4

5 ∗ 2 >(−3𝑥−1)

2∗ 2 > 4 ∗ 2 Por igualación

10 > −3𝑥 − 1 > 8 Inverso Multiplicativo

10 + 1 > −3𝑥 − 1 + 1 > 8 + 1 Por igualación

11 > −3𝑥 > 9 Inverso aditivo

11

−3<

−3𝑥

−3<

9

−3 Por igualación

−11

3< 𝑥 < −3 Inverso multiplicativo

5. 𝑥+3

𝑥−1> 0

Inicialmente hallamos los valores críticos igualando el numerador y el denominador a cero

𝑥 + 3 = 0, 𝑥 = −3 𝑥 − 1 = 0, 𝑥 = 1

Los valores críticos son 𝑥 = −3 y 𝑥 = 1. Evaluamos esos valores críticos en la inecuación para ver si satisfacen la inecuación, si la satisfacen pertenecen al conjunto solución de lo contrario no pertenece, veamos

Si 𝑥 = −3, (−3)+3

(−3)−1=

0

−4= 0, no pertenece al conjunto solución

Si 𝑥 = 1, (1)+3

(1)−1=

4

0= ∞, no pertenece al conjunto solución

∞ -∞

-11/3

1/2

∞ -∞

-3


Algebra Lineal

En una recta real representamos los valores críticos. Tomamos valores arbitrarios a derecha e izquierda de los valores críticos y lo evaluamos en la desigualdad. Si el valora remplazado satisface la desigualdad, el intervalo al cual pertenece el valor es conjunto solución, veamos

Si 𝑥 = −4, (−4)+3

(−4)−1=

−1

−5=

1

5> 0, el intervalo (-∞,−3) es conjunto solución

Si 𝑥 = 0, (0)+3

(0)−1=

3

−1= −3 < 0, el intervalo (-3,1) no es conjunto solución

Si 𝑥 = 2, (2)+3

(2)−1=

5

1= 5 > 0, el intervalo (1,∞) es conjunto solución

Por tanto el conjunto solución de la inecuación 𝑥+3

𝑥−1> 0 es (−∞,−3) ∪ (1,∞)

6. 3𝑥 + 1 > 5 7. 2𝑥 − 3 ≥ 3𝑥 + 1 8. 1 − 2𝑥 ≤ 9

9. 𝑥−3

2< 1

10. 2𝑥 + 1 < 𝑥

11. 3(𝑥−1)

2≤ 𝑥 − 1

12. 𝑥+2

3> −𝑥 + 2

13. 𝑥−3

2< 1

14. 𝑥−1

2+ 1 ≥ 𝑥 + 1

15. 10𝑥−15

3𝑥−6≤ 3


Algebra Lineal

Aplicaciones 1. Para un producto determinado la función del ingreso está dada por 𝑅(𝑥) = 40𝑥 y la del

costo 𝐶(𝑥) = 20𝑥 + 1600, donde 𝑥 son las unidades vendidas. Para obtener utilidad, el ingreso tiene que ser mayor al costo ¿para qué valores habrá utilidad? Grafique.

𝑅(𝑥) > 𝐶(𝑥) 40𝑥 > 20𝑥 + 1600 40𝑥 − 20𝑥 > 1600

20𝑥 > 1600 𝑥 > 80

En notación de intervalos la solución es (80,∞) es decir habrá utilidad cuando se venden más de 80 unidades

2. Una compañía de alquiler de vehículos renta un tipo de vehículo en US$33 por día y

otro en US$20 día más una tarifa inicial de US$78 ¿Por cuántos días sería más barato rentar el segundo tipo de vehículo? Graficar.

Sea 𝑻𝟏 la tarifa del primer tipo de vehículo es decir:𝑇1 = 33𝑥 Sea 𝑻𝟐 la tarifa del segundo tipo de vehículo es decir 𝑇2 = 20𝑥 + 78

Como vamos a indagar por cuántos días el tipo dos es más barato que el tipo uno

𝑇2 < 𝑇1 20𝑥 + 78 < 33𝑥 78 < 33𝑥 − 20𝑥

78 < 13𝑥 78

13< 𝑥

6 < 𝑥 La solución en forma de intervalo es (𝟔,∞) es decir que la renta del vehículo tipo 2 es más barata que el tipo uno después del sexto día

∞

80

-∞

∞

6

-∞


Algebra Lineal

3. Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un costo de mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo total por material de 0.3N. Los gastos generales para la planta son de $6000. Si cada camiseta se vende en $3, ¿cuántas camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades? Para obtener utilidad se tiene que cumplir: Ingreso – Costo > 0 Por datos el costo de producción es: 1.2𝑁 + 0.3𝑁 + 6000, y los ingresos 3𝑁 Remplazando

3𝑁 − (1.2𝑁 + 0.3𝑁 + 6000) > 0 3𝑁 − (1.5𝑁 + 6000) > 0 3𝑁 − 1.5𝑁 − 6000 > 0

1.5𝑁 > 6000

𝑁 >6000

1.5

𝑁 > 4000 Veámoslo El costo de producir 𝑁 camisetas es: 1.2(4000) + 0.3(4000) + 6000 = 12000 El ingreso por la venta de 𝑁 camisetas es: 3(4000)=12000 Por tanto para obtener utilidad se tienen que vender más de 4000 camisetas

4. El ingreso mensual logrado por vender 𝑥 relojes de pulsera se calcula como 𝑥(40 −0.2𝑥) U.M. El precio de costo de cada reloj es de 32 U.M. ¿Cuántas unidades deben venderse cada mes para obtener una utilidad de por lo menos 50 U.M.? Inicialmente hallamos la expresión de la utilidad. Por datos el ingreso es 𝐼 = 𝑥(40 − 0.2𝑥) y la ecuación de costo 𝐶 = 32𝑥. Como la utilidad es 𝑈 = 𝐼 − 𝐶 , remplazamos

𝑈 = 𝑥(40 − 0.2𝑥) − 32𝑥 Por tanto

𝑈 = 8𝑥 − 0.2𝑥2 La condición es 𝑈 ≥ 50, luego debemos resolver la inecuación

8𝑥 − 0.2𝑥2 ≥ 50 Resolvemos la ecuación 8𝑥 − 0.2𝑥2 = 50, para hallar los valores críticos

8𝑥 − 0.2𝑥2 = 50 8𝑥 − 0.2𝑥2 − 50 = 0

Resolviendo por fórmula general

𝑥 =−8 ± √64 − 40

−0.4


Algebra Lineal

𝑥 =−8 ± √64 − 40

−0.4

𝑥 =−8 ± 4.89

−0.4

Tenemos dos raíces

𝑥1 =−8 + 4.89

−0.4= 7.77 ≅ 8

, y

𝑥2 =−8 − 4.89

−0.4= 32.2 ≅ 32

Los valores críticos son 8 y 32, los representamos en la recta real y evaluamos valores arbitrarios en los intervalos comprendidos entre los valores críticos en la inecuación original

Si 𝑥 = 7, 8(7) − 0.2(7)2 = 46.8 < 50, no cumple con la desigualdad. Si 𝑥 = 10, 8(10) − 0.2(10)2 = 60 > 50, si cumple con la desigualdad. Si 𝑥 = 33, 8(33) − 0.2(33)2 = 46.2 < 50, no cumple con la desigualdad. Por tanto el conjunto solución es el intervalo (8,32), es decir que para vender por lo menos 50 U.M. deben venderse entre 8 a 32 relojes al mes

5. Una vendedora tiene un ingreso mensual 𝐼 que se determina por medio de 𝐼 = 1 000 +0.062𝑆, donde 𝑆 es el volumen de ventas mensuales. ¿Cuánto debe vender para reunir por lo menos $3 500 en un mes?

6. Se pueden gastar máximo $900 en una cámara de video y algunas cintas de video.

Planea comprar la cámara en $695 y las cintas en $5.75 cada una. Escriba una desigualdad que se pueda utilizar para encontrar el número de cintas 𝑥 que se podrían comprar ¿Cuántas cintas se podrían comprar? Grafique.

7. Sea 𝑓(𝑥) =3𝑥−6

𝑥+2 una función que representa los beneficios que obtiene una empresa,

siendo x los años de vida de la misma. ¿a partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas?

∞

8

-∞

32 10 33 7

(−∞, 8) (8,32) (32,∞)


Algebra Lineal

8. Los ingresos mensuales logrados al vender 𝑥 cajas de dulces se calcula como 𝑥(50 −0.05𝑥) U.M. El precio de costo de cada caja de dulce es de 1.5 ¿Cuántas cajas deben venderse cada mes para lograr una utilidad de por lo menos 60 U.M.?

DESIGUALDADES PARA DOS VARIABLES Si 𝑦 < 𝑥 las soluciones para esta desigualdad son los pares ordenados (𝑥, 𝑦) que satisfacen

la desigualdad, como (2,1), (−1,−3), (0, −1) (3

2,1

2) pero (1,2), (−4, −3), (−1,0) (

1

4,3

4) no lo

son. La gráfica de la desigualdad 𝑦 < 𝑥 consta de los puntos cuya coordenada 𝑦 es menor que la coordenada 𝑥. Ejercicio. Trace la gráfica de cada desigualdad 1. 𝑦 ≤ 2𝑥 − 1

Inicialmente graficamos 𝑦 = 2𝑥 − 1

Tenemos dos áreas una que está por encima y la otra por debajo de la gráfica. Tomamos dos valores arbitrarios de cada una de las áreas y lo evaluamos en la desigualdad. La solución de la desigualdad es del área al que pertenece el punto que satisface la desigualdad. Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (0,0), es decir 𝑥 = 0 𝑦 𝑦 = 0, evaluamos en 𝑦 ≤ 2𝑥 − 1

0 ≤ 2(0) − 1 0 ≤ −1

No satisface la desigualdad. Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (2,1), es decir 𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = 1, evaluamos en 𝑦 ≤ 2𝑥 − 1

x

y


Algebra Lineal

1 ≤ 2(2) − 1 1 ≤ 3

Si satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (2,1), es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente

2. 𝑥

2+𝑦

4< 1

Trazamos 𝑥

2+𝑦

4= 1

Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (1,1), es decir 𝑥 = 1 𝑦 𝑦 = 1,

evaluamos en 𝑥

2+𝑦

4< 1

1

2+1

4< 1

x

y

x

y


Algebra Lineal

3

4< 1

Si satisface la desigualdad. Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (2,2), es decir 𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = 2,

evaluamos en 𝑥

2+𝑦

4< 1

𝟐

𝟐+𝟐

𝟒< 𝟏

1 +1

2< 1

1.5 < 1 No satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (1,1), es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente

3. 2(𝑥 − 𝑦) < 𝑦 + 3

Graficamos 𝟐(𝒙 − 𝒚) = 𝒚 + 𝟑 Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (𝟏, 𝟐), es decir 𝒙 = 𝟏 𝒚 𝒚 = 𝟐, evaluamos en 𝟐(𝒙 − 𝒚) < 𝒚 + 𝟑

x

y

x

y


Algebra Lineal

𝟐(𝟏 − 𝟐) < 𝟐 + 𝟑 𝟐(−𝟏) < 𝟓 −𝟐 < 𝟓

Si satisface la desigualdad. Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (2,−1), es decir 𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = −1, evaluamos en 2(𝑥 − 𝑦) < 𝑦 + 3

2(2 − (−1)) < −1 + 3 2(3) < 2 6 < 2

No satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (1,2), es decir aquellas que están por encima de la gráfica, gráficamente

4. 𝑦 ≥ 4𝑥 − 5

5. 𝑥 −4

3< −

3

2

6. 2(𝑥 − 𝑦) ≥ 𝑥 + 4

SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES

Para resolver gráficamente un sistema de desigualdades se siguen los siguientes pasos: Se grafican las inecuaciones en un solo plano. Se evalúan un punto arbitrario de cada región. Aquella región en la cual el punto satisfaga las dos inecuaciones es el conjunto solución

Ejercicios. Resuelva gráficamente cada sistema de desigualdades 1. 𝑦 < 2𝑥 𝑦 > 𝑥 + 1 Trazamos las dos graficas

x

y


Algebra Lineal

Tenemos 4 áreas, entonces evaluamos un punto de cada área en la desigualdad: Del área 1: tomamos (2,1) es decir 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1 En 𝑦 < 2𝑥:1 < 2(2): 1 < 4 Satisface En 𝑦 > 𝑥 + 1: 1 > 2 + 1: 1 > 3 No satisface Del área 2: tomemos (−2,−2) es decir 𝑥 = −2 y 𝑦 = −2 En 𝑦 < 2𝑥: −2 < 2(−2): −2 < −4 No Satisface En 𝑦 > 𝑥 + 1:−2 > −2 + 1:−2 > −1 No satisface Del área 3: tomemos (−1,1) es decir 𝑥 = −1 y 𝑦 = 1 En 𝑦 < 2𝑥: 1 < 2(−1) :1 < −2 No Satisface En 𝑦 > 𝑥 + 1: 1 > −1 + 1: 1 > 0 satisface Del área 4: tomemos (3,5) es decir 𝑥 = 3 y 𝑦 = 5 En 𝑦 < 2𝑥:5 < 2(3): 5 < 6 Satisface En 𝑦 > 𝑥 + 1: 5 > 3 + 1: 5 > 4 satisface Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 4

x

y

Area 1

Area 2

Area 3

Area 4

x

y

y = x+1

y = 2x

Area 1

Area 2

Area 3

Area 4


Algebra Lineal

2. 2𝑥 + 𝑦 < 3 𝑥 − 2𝑦 ≥ −1

Graficamos

Evaluamos cada una de las áreas Del área 1: tomamos (2,1) es decir 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1 En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(2) + 1 < 3 5 < 3 No Satisface Del área 2: tomemos (1,0) es decir 𝑥 = 1 y 𝑦 = 0 En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(1) + 0 < 3: 2 < 3 Satisface En 𝑥 − 2𝑦 ≥ −1: 1 − 2(0) ≥ −1: 1 ≥ −1 Satisface Del área 3: tomemos (−2,0) es decir 𝑥 = −2 y 𝑦 = 0 En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(−2) + 0 < 3:−4 < 3 Satisface En 𝑥 − 2𝑦 ≥ −1:−2 − 2(0) ≥ −1:−2 ≥ −1 No Satisface Del área 4: tomemos (1,2) es decir 𝑥 = 1 y 𝑦 = 2 En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(1) + 2 < 3: 4 < 3 No Satisface Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 2

x

y

Area 1

Area 2

Area 3

Area 4

2x+y<3

x-2y>=-1


Algebra Lineal

3. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48 𝑥 + 𝑦 ≤ 30 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Graficamos

Evaluamos cada una de las áreas Del área 1: tomamos (0,26) es decir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 26

x

y

Area 1

Area 2

Area 3

Area 4

2x+y<3

x-2y>=-1


Algebra Lineal

En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 0 + 2(26) ≤ 48: 52 ≤ 48 No satisface Del área 2: tomemos (0,32) es decir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 32 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 0 + 2(32) ≤ 48: 64 ≤ 48 No satisface Del área 3: tomemos (0,52) es decir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 52 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 0 + 2(52) ≤ 48: 104 ≤ 48 No satisface Del área 4: tomemos (32,0) es decir 𝑥 = 32 y 𝑦 = 0 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 32 + 2(0) ≤ 48: 32 ≤ 48 Si satisface En 𝑥 + 𝑦 ≤ 30: 32 + 0 ≤ 30: 32 ≤ 30 No Satisface Del área 5: tomemos (28,0) es decir 𝑥 = 28 y 𝑦 = 0 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 28 + 2(0) ≤ 48: 28 ≤ 48 Satisface En 𝑥 + 𝑦 ≤ 30: 28 + 0 ≤ 30: 28 ≤ 30 Satisface En 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50: 2(28) + 0 ≤ 50: 56 ≤ 50 No satisface Del área 6: tomemos (2,2) es decir 𝑥 = 2 y 𝑦 = 2 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 2 + 2(2) ≤ 48: 6 ≤ 48 Satisface En 𝑥 + 𝑦 ≤ 30: 2 + 2 ≤ 30: 4 ≤ 30 Satisface En 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50: 2(2) + 2 ≤ 50: 6 ≤ 50 satisface Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 6

4. 𝑦 > 3𝑥 − 4 𝑦 < 2𝑥 + 3

5. 3𝑥 + 𝑦 > 4 𝑥 − 2𝑦 < −1

6. 2𝑥 + 𝑦 − 4 > 0 𝑥 − 𝑦 + 1 > 0

7. 6𝑥 − 5𝑦 ≤ 30 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 0

8. −𝑥 + 𝑦 ≤ 2 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 3𝑥 + 𝑦 ≤ 15 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

9. 𝑥 − 𝑦 ≥ 0 𝑦 − 2 ≤ 0 2𝑥 + 𝑦 ≤ 10 𝑦 ≥ 0

10. 𝑦 ≤ 2 𝑥 + 𝑦 ≤ 3 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0

11. 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 𝑦 + 𝑦 ≤ 5

Problemas de Aplicación 1. Una compañía produce 2 tipos de trituradores de madera, económico y de lujo. El

modelo de lujo requiere 3 horas de ensamble y ½ hora de pintura y el modelo económico requiere 2 horas de ensamble y 1 de pintura. El número máximo de horas


Algebra Lineal

de ensamble disponible es 24 horas por día y el número máximo de horas de pintura disponible es de 8 horas al día.

Organizamos la información en una tabla

Económico De Lujo Ensamble 2 3 ≤ 𝟐𝟒 Pintura 1 1/2 ≤ 𝟖

Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos 𝒙 el tiempo requerido por las trituradoras económicas y 𝒚 el tiempo requerido por las trituradoras de lujo

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒

𝒙 +𝟏

𝟐𝒚 ≤ 𝟖

Graficamos

Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒:𝟎 ≤ 𝟐𝟒 Satisface

En 𝒙 +𝟏

𝟐𝒚 ≤ 𝟖: 𝟎 +

𝟏

𝟐𝟎 ≤ 𝟖:𝟎 ≤ 𝟖 Satisface

Del área 2: tomemos (𝟎, 𝟏𝟐) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟏𝟐 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟏𝟐) ≤ 𝟐𝟒:𝟑𝟔 ≤ 𝟐𝟒 No Satisface Del área 3: tomemos (𝟎, 𝟏𝟖) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟏𝟖 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟏𝟖) ≤ 𝟐𝟒:𝟓𝟒 ≤ 𝟐𝟒 No Satisface Del área 4: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟏𝟎 y 𝒚 = 𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒:𝟐(𝟏𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒: 𝟐𝟎 ≤ 𝟐𝟒 Satisface

x

y

2x+3y<=24

x+1/2y<=8

Area 1

Area 2

Area 3

Area 4


Algebra Lineal

En 𝒙 +𝟏

𝟐𝒚 ≤ 𝟖: 𝟏𝟎 +

𝟏

𝟐(𝟎) ≤ 𝟖: 𝟏𝟎 ≤ 𝟖 No Satisface

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas máximo se puede 8 unidades por cada tipo de triturador.

2. Una empresa fabrica dos tipos de reguladores eléctricos, uno de los cuales es

inalámbrico. El regulador con cableado requiere 2 horas de fabricación y el inalámbrico necesita 4 horas. La compañía solo tiene 800 horas hábiles para utilizarlas en producción y el departamento de empaque puede empacar solo 300 reguladores por día. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción


Tipo de Reguladores Con Cableado Inalámbrico Producción 2 4 ≤ 800 Empaque 1 1 ≤ 300

Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos 𝒙 el número de reguladores Con cableado que se producen y 𝒚 el número de reguladores inalámbricos que se producen

2𝑥 + 4𝑦 ≤ 800 𝑥 + 𝑦 ≤ 300 Graficamos

x

y

2x+3y<=24

x+1/2y<=8

Area 1

Area 2

Area 3

Area 4


Algebra Lineal

Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟒(𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟎 + 𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎:𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 Satisface Del área 2: tomemos (𝟎, 𝟑𝟓𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟑𝟓𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟒(𝟑𝟓𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎:𝟏𝟒𝟎𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 No Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟎 + 𝟑𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎:𝟑𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 No Satisface Del área 3: tomemos (𝟎, 𝟒𝟓𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟒𝟓𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟒(𝟒𝟓𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎:𝟏𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 No Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟎 + 𝟒𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎:𝟒𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 No Satisface Del área 4: tomemos (𝟐𝟒𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟐𝟒𝟎 y 𝒚 = 𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟐𝟒𝟎) + 𝟒(𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎:𝟒𝟖𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟐𝟒𝟎 + 𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎:𝟐𝟒𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 Satisface

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 300 unidades de cada equipo


Algebra Lineal

3. Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2

horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción


Tipo de Sillas Estándar Afelpadas Fabricación 2 3 ≤ 𝟐𝟒𝟎 Tapizado 1 3 ≤ 𝟏𝟓𝟎

Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos 𝒙 el número de sillas estándar y 𝒚 el número de sillas afelpadas

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎

𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟓𝟎

Graficamos


Algebra Lineal

Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟓𝟎: (𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟏𝟓𝟎: 𝟎 ≤ 𝟏𝟓𝟎 Satisface Del área 2: tomemos (𝟎, 𝟔𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟔𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟔𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎:𝟏𝟖𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟓𝟎: (𝟎) + 𝟑(𝟔𝟎) ≤ 𝟏𝟓𝟎:𝟏𝟖𝟎 ≤ 𝟏𝟓𝟎 No Satisface Del área 3: tomemos (𝟎, 𝟗𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟗𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟗𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎:𝟐𝟕𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 No Satisface Del área 4: tomemos (𝟏𝟒𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟏𝟒𝟎 y 𝒚 = 𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟏𝟒𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎:𝟐𝟖𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 No Satisface

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 120 sillas estándar y 50 afelpadas.


Algebra Lineal

4. Una compañía de sillas produce dos modelos de sillas. El modelo Secuoya toma 3 horas

de trabajo para ensamblarlo y hora de trabajo para pintarlo. El modelo Saratoga toma 2 horas de trabajo para ensamblarlo y 1 hora de trabajo para pintarlo. El número máximo de horas de trabajo disponibles para ensamblar es de 160 por día, y el número máximo de horas de trabajo disponibles para pintar sillas es de 80 diarias. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar

5. Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2

horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar


Algebra Lineal

6. Un fabricante vende sillas y mesas. Para su fabricación, necesita 2 y 5 horas,

respectivamente, de trabajo manual y 1 y 2 horas para pintarlas. Si el fabricante no puede sobrepasar las 200 horas de trabajo manual y 90 horas de pintura, se solicita a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de fabricación b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. Indique el número máximo de silla y mesas que se pueden fabricar

7. Un comerciante desea comprar enfriadores y lavadoras, que cuestan 500 € y 400 €,

respectivamente. Si solo dispone de un sitio para almacenar 50 electrodomésticos, y de 22000 € para invertir, se solicita a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de fabricación b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. ¿Qué encuentra?

8. Un pastelero produce dos tipos de bollo. El tipo A lleve 400 g de harina y 100 g de azúcar, mientras que los del tipo B llevan 300 g de harina y 200 g de azúcar, Si el pastelero tiene para cada día 30 Kg de harina y 10 Kg de azúcar. Se solicita: a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción. b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de producción. c. ¿Cuánto bollos de cada tipo puede producir?

9. En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. El número de bidones

(recipiente hermético utilizado para contener, transportar y almacenar líquidos) de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones ¿máximo cuántos bidones de cada tipo se pueden almacenar?


Algebra Lineal

ESPACIOS VECTORIALES Espacio vectorial real. Es un conjunto V no vacío cuyos elementos reciben el nombre de vectores dotado de dos operaciones: 1. Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades:

I. Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) II. Conmutativa: u + v = v + u

III. Elemento neutro: Hay un elemento 0 en V tal que u + 0 = u IV. Elemento opuesto: Cada elemento u tiene su elemento opuesto –u talque u + (-u)

=0 , es decir, (V, +) es un grupo conmutativo. 2. Una operación externa llamada producto de números reales por vectores que asocia a cada número real α y a cada vector u el vector αu y que verifica las siguientes propiedades:

I. Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β).u = αu + βu

II. Distributiva respecto a la suma de vectores: α.(u + v) = αu +αv III. Asociativa para escalares: α.(βu)= (αβ)u IV. Elemento neutro: 1.u = u

A los números reales se les llama escalares. Por cumplir las propiedades mencionadas diremos que la terna (V, +, ·) es un espacio vectorial. Ejemplos: En el conjunto 𝑅2 definimos las operaciones siguientes:

(𝑥1, 𝑥2) + (𝑦1, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) λ(𝑥1, 𝑥2) = (λ𝑥1, λ𝑥2)

, puede comprobarse que se verifican todas las propiedades enunciadas por lo que la terna (𝑅2, +, ·) es un espacio vectorial real. Igualmente ocurre si consideramos 𝑅3 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3); 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3εR} con las operaciones:

(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) = (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3) λ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (λ𝑥1, λ𝑥2, λ𝑥3)


Algebra Lineal

En general, el conjunto 𝑅𝑛 = {(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛); 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛εR} con las operaciones habituales definidas en los ejemplos de antes es un espacio vectorial. Son también espacios vectoriales: El conjunto de todas las funciones polinómicas con las operaciones

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) (λf)(x) = λf(x)

El conjunto de los números complejos. El conjunto de los vectores libres del plano o del espacio. etc.

Ejercicio Pepe va a una frutería y compra 3 kg de cerezas, 4 de peras, 3 de naranjas y 5 de manzanas. Luis compra 2 de cerezas, 2 de naranjas y 3 de manzanas. Se sabe que 1 kg de cerezas vale 120 U.M., 1 de peras 190 U.M., 1 de naranjas 80 U.M. y uno de manzanas 135 U.M. Se pide: 1. ¿Cuál es el vector de compras de Pepe? ¿Y el de Luis? 2. ¿Cuál es el vector de precios? 3. ¿Cuánto gasta cada uno de ellos? 4. Comprobar que se satisfacen las propiedades de los vectores. Subespacio vectorial Dado un espacio vectorial V, un subconjunto S, es un subespacio vectorial de V cuando es espacio vectorial respecto de las operaciones definidas en V. Para comprobar si un subconjunto es subespacio vectorial, no es necesario comprobar las ocho propiedades fundamentales. El siguiente teorema sirve para caracterizar los subespacios vectoriales: Un subconjunto S es un subespacio vectorial de V si se verifican estas dos propiedades:

1. Si u y v son elementos de S entonces u + v ε S 2. Si λ ε R y u ε S entonces λu ε S

Combinaciones lineales Consideremos un espacio vectorial V y sea 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} un conjunto de vectores de V. Se llama combinación lineal de estos al vector 𝑥 obtenido de la siguiente forma:


Algebra Lineal

𝑥 =∝1 𝑢1 +∝2 𝑢2 +⋯+∝𝑛 𝑢𝑛 , donde ∝1, ∝2, … , ∝𝑛 son números reales. Ejercicio: Sean los vectores u = (-2, 1); v = (0, 5) y w = (7, -3) vectores de 𝑅2 . Forma combinaciones lineales con ellos. Solución: Haremos 2 combinaciones lineales de estos vectores eligiendo números reales cualesquiera, por ejemplo,

𝑥 = 𝑢 − 𝑣 + 2𝑤 = (−2,1) − (0,5) + 2(7,−3) = (12,−10) 𝑦 = −5𝑢 + 0𝑣 + 2𝑤 = −5(−2,1) + 0(0,5) + 2(7,−3) = (24, −11)

El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 se representa por ⟨𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛⟩ .o bien por 𝐿(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) y es un subespacio vectorial de V. Se le llama subespacio engendrado por 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 y el conjunto {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} es un sistema de generadores de dicho subespacio. Ejemplo: Si consideramos los vectores de 𝑅3 𝑢1 = (1, −2, 1); 𝑢2 = (1, 2, 3), cualquier vector 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) , de 𝐿(𝑢1, 𝑢2)cumplirá la siguiente relación: (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = α (1, −2, 1) + β(1, 2, 3), y de ahí resulta:

𝑥1 = α + β

𝑥2 = −2α + 2β

𝑥3 = α + 3β Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del subespacio. Dependencia lineal Un conjunto de vectores 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 de un espacio vectorial V se dice que es libre si la relación

α1𝑢1 + α2𝑢2 +⋯+ α𝑛𝑢𝑛 = 0 implica que α1 − α2 −⋯− α𝑛 = 0 , es decir, que no hay ninguna combinación lineal de ellos que dé como resultado el vector cero, salvo las que tienen todos los coeficientes nulos. En este caso se dice que los vectores 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 son linealmente independientes Un conjunto de vectores es ligado si existen escalares α1, α2, … , α𝑛, no todos nulos, que verifican la relación α1𝑢1 + α2𝑢2 +⋯+ α𝑛𝑢𝑛 = 0. También se dice que los vectores citados son linealmente dependientes.


Algebra Lineal

Teorema: Un conjunto de vectores son linealmente dependientes sí y solo sí alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. Ejercicio Tres vectores de un espacio vectorial 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 verifican la relación 2𝑢 − 4𝑣 + 𝑤 = 0 ¿Son linealmente dependientes? Solución: Es claro que son linealmente dependientes porque la relación indicada es una combinación que da como resultado el vector cero y existen coeficientes no nulos. (Es este caso todos).Además, se puede expresar alguno de ellos como combinación lineal de los otros. Basta con despejarlo en la relación dada: 2u-4v+w=0; w = -2u + 4v Propiedades de la dependencia lineal

Si entre los vectores 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 figura el vector 0, son linealmente dependientes. Un solo vector, si es distinto de cero, es linealmente dependiente. Dos vectores de 𝑅2, son linealmente dependientes sí y solo sí tienen las respectivas

componentes proporcionales. Estudio de la dependencia lineal. La dependencia lineal de un conjunto de vectores podemos estudiarla aplicando las transformaciones de Gauss. Si llegamos a obtener un cuadro de vectores de modo que en la diagonal no haya ningún cero y debajo de la diagonal todas las componentes sean nulas, el conjunto de vectores es libre. Si resulta algún vector con todas sus componentes nulas se trata de un conjunto ligado. Ejemplo: Estudiemos la dependencia lineal de los vectores (−1,1,1), (1,−1,1)𝑦 (2,1, −3)

[−1 1 11 −1 12 1 −2

]~ [−1 1 10 0 20 3 0

]~ [−1 1 10 3 00 0 2

]

En la última transformación hemos cambiado el orden de los vectores segundo y tercero.


Algebra Lineal

Ahora tenemos todos los elementos de la diagonal principal distintos de cero y debajo de dicha diagonal ceros, por tanto, los vectores son linealmente independientes. Base y dimensión de un espacio vectorial. Sea V un espacio vectorial. Un conjunto de vectores {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} es una base de V si se cumple: 1. Los vectores son linealmente independientes. 2. Todo vector de V puede expresarse como combinación lineal de 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 Ejemplo En el espacio vectorial 𝑅2 los vectores (1, 2) y (0, 3) constituyen una base ya que se verifican las dos condiciones señaladas: Son linealmente independientes. Cualquier vector (𝑥, 𝑦) de 𝑅2 puede expresarse como combinación lineal de ellos; en

efecto, (𝑥, 𝑦) = α(1, 2) + β(0, 3) y resolviendo se obtiene ∝= 𝑥; 𝛽 =𝑦−2𝑥

3

Existen los números buscados (escalares) y por tanto, (𝑥, 𝑦) = 𝑥(1, 2) + 𝑦−2𝑥

3(0, 3)

Estos escalares reciben el nombre de coordenadas del vector (𝑥, 𝑦) respecto de la base {(1, 2), (0, 3)} Un espacio vectorial puede tener muchas bases distintas pero todas tienen el mismo número de vectores. Teorema de la base: Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que forman la base. La dimensión del espacio vectorial 𝑅2 es dos. En el espacio vectorial 𝑅3 los vectores (2, 1, 3), (0, 4, 1) y (0, 0, 6) constituyen una base como puede comprobarse. La dimensión de 𝑅3 es tres. Bases canónicas: En 𝑅2 los vectores 𝑒1 = (1,0) y 𝑒2 = (0,1) forman una base que recibe el nombre de base canónica de 𝑅2. En 𝑅3 la base canónica la forman los vectores 𝑒1 = (1,0,0), 𝑒2 = (0,1,0) y 𝑒3 = (0,0,1).


Algebra Lineal

En general, la base canónica de 𝑅𝑛la forman los vectores:

𝑒1 = (1,0,0, … ,0) 𝑒2 = (0,1,0, … ,0) 𝑒3 = (0,0,1, … ,0) 𝑒𝑛 = (0,0,0, … ,1)

Debe advertirse la diferencia entre sistema de generadores y una base. Dos vectores linealmente independientes de 𝑅2 forman una base del espacio vectorial 𝑅2. Tres vectores l i. de 𝑅3forman una base del espacio vectorial 𝑅33 En general, n vectores l. i. constituyen una base de 𝑅𝑛 Rango de un sistema de vectores Se llama rango de un sistema de vectores 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} al número máximo de vectores l. i. que hay entre ellos, es decir, es la dimensión del espacio vectorial que engendran. Para calcular el rango podemos utilizar el método de Gauss. Una vez conseguida la matriz escalonada, el rango es el número de vectores (filas) no nulos. Ejemplo: Halla el rango del sistema de vectores: S = {(-1, 1, -1, 1), (-1, 1, -1, 0), (2, -2, 2, -1), (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 0, 0)} Solución:

[ −1 1 −1 1−1 1 −1 02 −2 2 −1−1 1 0 0−1 0 0 0 ]

~

[ −1 1 −1 10 0 0 −10 0 0 10 0 1 −10 −1 1 −1]

~(intercambiamos filas adecuadamente)

~

[ −1 1 −1 10 −1 1 −10 0 1 −10 0 0 −10 0 0 1 ]

~

[ −1 1 −1 10 −1 1 −10 0 1 −10 0 0 −10 0 0 0 ]

Una vez escalonada la matriz vemos que hay cuatro filas no nulas, luego el rango es 4.


Algebra Lineal

Ejercicios. 1. Determina 𝑥 𝑒 𝑦 para que el vector (3,2, 𝑥, 𝑦) pertenezca al subespacio engendrado por

los (1, 4, -5, 2) y (1, 2, 3, 1)

Solución: El vector (3,2, 𝑥, 𝑦) ha de ser combinación lineal de (1, 4, -5, 2) y de (1, 2, 3, 1), luego (3,2, 𝑥, 𝑦) = α(1,4,−5,2) + β(1,2,3,1) y resulta el sistema

{

α + β = 3

4α + 2β = 2−5α + 3β = 𝑥

2α + β = 𝑦 }

Resolvemos el sistema formado por las dos primeras ecuaciones:

{−2α − 2β = −64α + 2β = 2

}

, y sumando se obtiene 2α = - 4; α = - 2;-8 + 2β = 2; 2β = 10; β = 5 y llevando los valores obtenidos a las ecuaciones tercera y cuarta obtenemos:

x = -5α + 3β = 10 +15 = 25 y = 2α + β = -4 + 5 = 1

2. Sea S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. Halla las ecuaciones paramétricas de L(S).

Solución: Cualquier vector (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) de L(S) cumplirá la siguiente relación:

(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = α(1,1,0) + β(0,1, ) , y de ahí

𝑥1 = α 𝑥2 = α + β 𝑥3 = β

, que son las ecuaciones paramétricas del subespacio L(S).

3. Halla un sistema de generadores del espacio vectorial 𝐹 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅

3; 𝑥1 = 𝑡 − 𝑠; 𝑥2 = 𝑡 + 𝑠; 𝑥3 = 𝑡 + 𝑠; 𝑡, 𝑠 ∈ 𝑅}


Algebra Lineal

Solución:

(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑡 − 𝑠, 𝑡 + 𝑠, 𝑡 + 𝑠) = (𝑡, 𝑡, 𝑡) + (−𝑠, 𝑠, 𝑠) = 𝑡(1,1,1) + 𝑠(−1,1,1) , luego un sistema de generadores es S = {(1, 1, 1), (-1, 1, 1)}

4. Prueba que los vectores (1, 1, 2, 0), (1, 1, 0, 6), (-1, 2, 0, 1) y (1, 1, 1, 3) son linealmente dependientes. Escribe la relación de dependencia.

Solución:

[

1 1 2 01 1 0 6−1 2 0 11 1 1 3

]~ [

1 1 2 00 0 −2 60 3 2 10 0 −1 3

]~ [

1 1 2 00 3 2 10 0 −1 30 0 −2 6

]~ [

1 1 2 00 3 2 10 0 −1 30 0 0 0

]

De la 2ª matriz pasamos a la 3ª simplemente intercambiando filas. Finalmente obtenemos una fila formada por ceros, luego los vectores son linealmente dependientes. Necesariamente uno de ellos será combinación lineal de los otros restantes. Probamos la siguiente relación: (1, 1, 2, 0) = α (1, 1, 0, 6) + β (-1, 2, 0, 1) + λ (1, 1, 1, 3) lo que nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

{

α − β + λ = 1α + 2β + λ = 1

λ = 26α + β + 3λ = 0

}

, y operando en las dos primeras ecuaciones con el valor de λ que resulta, llegamos a

{α − β + 2 = 1α + 2β + 2 = 1

} → {2α − 2β = −2α − 2β = −1

}

, y se obtiene α = -1; β = 0 Podemos comprobar también que los valores obtenidos de α y de β verifican la 4ªecuación del sistema, por tanto, la relación de dependencia es:

(1, 1, 2, 0) = -1(1, 1, 0, 6) + 0(-1, 2, 0, 1) + 2(1, 1, 1, 3)


Algebra Lineal

O bien,

1(1, 1, 2, 0) +1(1, 1, 0, 6) - 0(-1, 2, 0, 1) - 2(1, 1, 1, 3) = (0, 0, 0, 0) 1. 𝑣1 + 1. 𝑣2 − 0. 𝑣3 − 2𝑣4 = 0

La relación de dependencia puede obtenerse directamente al aplicar el método de Gauss como vamos a ver:

[

1 1 2 01 1 0 6−1 2 0 11 1 1 3

]~ [

1 1 2 00 0 −2 60 3 2 10 0 −1 3

]

𝑣1𝑣2 − 𝑣1𝑣3 + 𝑣1𝑣4 − 𝑣1

Intercambiamos filas y las ponemos en el orden que se indica:

[

1 1 2 00 3 2 10 0 −1 30 0 −2 6

]

𝑣1𝑣3 + 𝑣1𝑣4 − 𝑣1𝑣2 − 𝑣1

[

1 1 2 00 3 2 10 0 −1 30 0 0 0

]

𝑣1𝑣3 + 𝑣1𝑣4 − 𝑣1

−2(𝑣4 − 𝑣1) + 𝑣2 − 𝑣1

Vemos que la expresión −2(𝑣4 − 𝑣1) + 𝑣2 − 𝑣1 conduce al vector cero, por tanto−2𝑣4 + 2𝑣1 + 𝑣2 − 𝑣1 = 0 , es decir, 1𝑣1 + 1𝑣2 − 0𝑣3 − 2𝑣4 = 0 que es la misma relación que hemos obtenido antes.

5. En el espacio vectorial 𝑅4 consideramos el conjunto

𝐹 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅4; 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0} Prueba que F es un subespacio vectorial de 𝑅4

Solución: Si (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) y (𝑥´, 𝑦´, 𝑧´, 𝑡´) son elementos de 𝐹 se verifica que:

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0 2𝑥´ + 3𝑦´ + 𝑧´ − 2𝑡´ = 0

Y entonces sumando, 2(𝑥 + 𝑥´) + 3(𝑦 + 𝑦´) + (𝑧 + 𝑧´) − 2(𝑡 + 𝑡´) = 0 , lo que implica que el vector (𝑥 + 𝑥´, 𝑦 + 𝑦´, 𝑧 + 𝑧´, 𝑡 + 𝑡´) ∈ 𝐹 , o lo que es lo mismo (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) + (𝑥´, 𝑦´, 𝑧´, 𝑡´) ∈ 𝐹 y se cumple la 1ª propiedad.

Si (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) es un elemento de 𝐹 se cumple 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0 Para cualquier número real λ se cumplirá que λ(2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 2𝑡) = 0 , y de ahí que 2(λ𝑥) + 3(λ𝑦) + λ𝑧 − 2(λ𝑡) = 0 , luego el vector (λ𝑥, λ𝑦, λ𝑧, λ𝑡) ∈ 𝐹 o bien λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝐹 y se cumple la 2ª propiedad que caracteriza a todo subespacio vectorial.


Algebra Lineal

Luego F es un subespacio vectorial de 𝑅4

6. Demuestra el siguiente teorema: “Un conjunto de vectores son linealmente dependientes sí y solo sí alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal delos otros” Solución. Supongamos que son linealmente dependientes. Entonces,

α1𝑢1, α2𝑢2, … , α𝑛𝑢𝑛 = 0, y algún α𝑖 ≠ 0 Si suponemos que α1 ≠ 0 podemos escribir:

𝑢1 = −α2α1𝑢2 −

α3α1𝑢3 −⋯−

α𝑛α1𝑢𝑛

, luego 𝑢1 es combinación lineal de 𝑢2, 𝑢3, … 𝑢𝑛

Supongamos ahora que uno de ellos es combinación lineal de los demás, por ejemplo, 𝑢1 = λ2𝑢2 + λ3𝑢3 +⋯+ λ𝑛𝑢𝑛 Entonces podemos `poner: 1. 𝑢1 − λ2𝑢2 − λ3𝑢3 −⋯+ λ𝑛𝑢𝑛 , donde ya hay un coeficiente distinto de cero y, por tanto, 𝑢1, 𝑢2, … 𝑢𝑛 son linealmente dependiente.

Ejercicios propuestos 1. En el conjunto 𝑅2 se definen las operaciones siguientes:

(𝑥, 𝑦) + (𝑥´, 𝑦´) = (𝑥 + 𝑥´, 𝑦 + 𝑦´); λ(x, y) = (λx, 0) Comprueba que 𝑅2 no es espacio vectorial respecto de las operaciones definidas.

2. Sea v = (-1, 5, 2, 0). Determina si 𝑣 ∈ ⟨−1, 2, 3, 0), (4, 3, 0, 1), (0, 3, 2, 0⟩ 3. Prueba que los vectores 𝑢1 = (1, 2, −6), 𝑢2 = (0, 5, −1), 𝑢3 = (2,−1, 0) son

linealmente independientes.

4. Dados los vectores 𝑢1 = (1, 1, 1, 0), 𝑢2 = (0, 1,−1, 0), 𝑢3 = (1, 1, 0,0) de 𝑅4

a. Determina si forman un conjunto libre o ligado. b. Da un vector, 𝑣, no nulo, de modo que {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑣} sea un conjunto ligado. c. Da un vector, 𝑤, de modo que {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑤} sea libre.


Algebra Lineal

d. Expresa 𝑥 = (1, 2, 4, 3) como combinación lineal de 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 y 𝑤 5. Calcula 𝑥 𝑒 𝑦 para que los siguientes vectores de 𝑅4 sean linealmente dependientes.

𝑢1 = (5, 𝑥, −4,−3), 𝑢2 = (1, 0, 𝑥, 1), 𝑢3 = (−1, 𝑦,−1,3)

6. Determina por el método de Gauss la dimensión y una base del subespacio vectorial engendrado por los vectores

(1, 1, 2, 0), (1, 1, 0, 6), (-1, 2, 0, 1) y (1, 1, 1, 3)

7. Sea el conjunto 𝐻 = {(1, 2, 3), (2, 5, 7), (1, −1, 0)}

a. Estudia si constituye un sistema de generadores de 𝑅3 b. Halla una base y la dimensión de L(H)=<H>.

8. Sea el conjunto F = {(𝑥 − 2𝑦, 𝑥, 2𝑦,−𝑦) ∈ 𝑅4; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅}. Deduce una base de F.

9. Halla la dimensión y una base de F = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅4; 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0}

10. Dados los vectores (2, -2, 3), (0, 4, -5) y (1, 1, -1) de 𝑅3, hallar una base del subespacio que engendran y completarla hasta obtener una base de 𝑅3

11. Da una base del subespacio vectorial de 𝑅4 siguiente:

E = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4); 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥4 = 0, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 0}

Problemas de Aplicación 1. Pepe va a una frutería y compra 3 kg de cerezas, 4 de peras, 3 de naranjas y 5 de

manzanas. Luis compra 2 de cerezas, 2 de naranjas y 3 de manzanas. Se sabe que 1 kg de cerezas vale 120 U.M., 1 de peras 190 U.M., 1 de naranjas 80 U.M. y uno de manzanas 135 U.M. Se pide: a. ¿Cuál es el vector de compras de Pepe? ¿Y el de Luis? b. ¿Cuál es el vector de precios? c. ¿Cuánto gasta cada uno de ellos? d. Comprobar que se satisfacen las propiedades de los vectores.

2. Una compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B y C. Las cantidades se

miden en gramos y cada unidad" de la mezcla pesa 60 gr. Pueden hacerse mezclas especiales de argamasa efectuando combinaciones de las tres mezclas básicas. Por ello,


Algebra Lineal

las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas básicas. La composición de _estas es:

A B C A B C Cemento 20 18 12 Agua 10 10 10 Arena 20 25 15 Grava 10 5 15 Tobas 0 2 8

a. ¿Es posible hacer una mezcla que contenga 1000 gr. de cemento, 200 de agua, 1000

de arena, 500 de grava y 300 de tobas? ¿Por qué? Si se puede, ¿cuántas unidades de cada mezcla básica se necesitan para esta fórmula?

b. Supóngase que se desean hacer 5400 gr. de argamasa de manera que contenga 1350

gr de cemento, 1675 de arena y 1025 de grava. Si la razón de agua con cemento es de 2 a 3, ¿qué cantidad de tobas debe utilizarse para obtener los 5400 gr de argamasa? ¿Se puede formular ésta como una mezcla especial? Si es así, ¿cuántas unidades de A, B y C se necesitan para formular esta mezcla especial?

3. El señor Oriol cuenta, entre las muchas empresas que integran su holding, con una que

se dedica a la fabricación de televisores, Oriol TV S.A., en la cual se producen cuatro tipos de artículos: Gama alta: TV 14", TV 18" Gama baja: TV 14", TV 18".

Con el fin de realizar una previsión de ventas para el año próximo, ha encargado a la consultoría PRIVASA un estudio de mercado. Los resultados del análisis fueron los siguientes: Gama alta: Ventas de TV 14" (A1) = 100N + 218E Gama alta: Ventas de TV 18" (A2) = 90N + 153E Gama baja: Ventas de TV 14" (B1) = 300E Gama baja: Ventas de TV 18" (B2) = 500E,

Siendo N el número de familias con renta anual superior a los 24000 euros y E el número de grandes almacenes en los que se comercializan los productos. Se pide: a. Construye el vector de nivel de ventas de los cuatro artículos y comprueba que el

conjunto de esos vectores constituye un subespacio vectorial de 𝑅4. b. Calcula la base del subespacio de 𝑅4 generado por el vector formado por el nivel de

ventas de los cuatro artículos. c. Interpreta la dimensión de dicho subespacio.


Algebra Lineal

d. ¿En qué condiciones las ventas de los cuatro productos serán nulas?

4. Supongamos un país en el que el gobierno fija políticamente los precios del pan, de la carne y de la gasolina, estando estos precios relacionados por:

𝑃𝑐 = 100𝑃𝑝; 𝑃𝑔 = 10𝑃𝑝 , siendo 𝑃𝑝, 𝑃𝑐 y 𝑃𝑔 respectivamente las variaciones de precios del pan, de la carne y de la gasolina con respecto al período anterior. Comprueba que el conjunto de vectores de variaciones de precios administrados es un subespacio vectorial de 𝑅3. Obtén una base y la dimensión. ¿Qué interpretación económica se le puede dar a la dimensión?

5. Sabemos que en un país existen multitud de tipos de interés y también que en los libros de economía se habla sólo del tipo de interés a secas. Consideremos tipos de interés reales (nominales menos la tasa de inflación) y la economía de la eurozona; para no hacer interminable la lista, tomemos cuatro de los más conocidos: el tipo de interés del mercado interbancario a un mes, el rendimiento interno de obligaciones privadas, el de los pagarés del tesoro a un año y el de las obligaciones, y denotémoslos por IM, ROB, RP y ROE, respectivamente. Esto nos permite definir un vector de tipos de interés reales dado por

𝑅 = (𝐼𝑀; 𝑅𝑂𝐵; 𝑅𝑃; 𝑅𝑂𝐸):

De una cuidadosa observación de los distintos tipos vemos que están relacionados por: 𝑅𝑂𝐵 = 1; 6𝐼𝑀; 𝑅𝑃 = 0; 75𝑅𝑂𝐵; 𝑅𝑂𝐸 = 1; 4𝐼𝑀

Se pide: a. ¿Podemos decir que los vectores de tipos de interés reales forman un subespacio

vectorial de 𝑅4? b. En caso afirmativo, calcúlese su dimensión y una base. c. ¿Consideras que la abstracción de los libros de economía es excesiva o que por el

contrario no se pierde ninguna información trabajando con un único tipo de interés? Si podemos trabajar con uno solo, ¿cambian algo los resultados al tomar diferentes tipos?

6. Sea el subespacio vectorial

𝑉 = 𝑓(𝑤; 𝑡𝑑; 𝑡𝑖; 𝑃; 𝐺𝑃) = 𝑃 = 𝑤; 𝑡𝑑 + 𝑡𝑖 = 𝐺𝑃𝑔 , donde 𝑤 es el crecimiento de los salarios nominales, 𝑡𝑑 es el crecimiento de los impuestos directos, 𝑡𝑖 es el crecimiento de los impuestos indirectos, 𝑃 es el crecimiento de los precios y 𝐺𝑃 es el crecimiento del gasto público. Se pide: a. Demuestra que V es efectivamente un subespacio vectorial. b. Calcula una base y la dimensión. Dale una interpretación económica.


Algebra Lineal

7. En una economía hay cinco variables básicas: variación de precios (𝑝), variación de la cantidad de dinero (𝑚), variación de renta (𝑦), variación de impuestos (𝑡) y variación de gasto público (𝑔), componentes del vector en que se fijan los distintos agentes económicos:

(𝑝; 𝑚; 𝑦; 𝑡; 𝑔) ∈ 𝑅5 Los agentes de la economía se dividen en dos grandes grupos: el sector privado, cuyas creencias sobre la evolución de las cinco variables clave de la economía se resumen en

(0,2𝑥 + 𝑧; 0,2𝑥 + 𝑧, 0, 0,8𝑥, 𝑥), 𝑥; 𝑧 ∈ 𝑅 , mientras el otro gran grupo, el sector público, cree que estas variables están ligadas por

(𝛽, 𝛾 + 𝛽, 𝛾, 𝛼, 𝛼); 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝑅; , significando las cinco coordenadas de cada subespacio las arriba indicadas. Se pide: a. Demostrar que las creencias de cada grupo constituyen un subespacio vectorial de 𝑅5.

b. Si la evolución de la economía viene dada por la suma de los dos tipos de creencias, obtén la.

c. ¿Tienen en común ambos grupos alguna creencia?

8. Una empresa de fabricación de ordenadores personales ofrece en el mercado dos productos, el `súper' y el `extra'. Los costos totales en que incurre la empresa vienen dados por la expresión

𝐶𝑇 = 2𝑞𝑠 + 2𝑞𝑒 , siendo 𝑞𝑠 y 𝑞𝑒 las cantidades producidas de ordenadores `súper' y `extra', respectivamente. Por otra parte, en la fabricación se emplean dos clases de tecnologías: nacional y extranjera. La empresa sabe que para producir un ordenador súper necesita emplear tres componentes nacionales y dos extranjeros, mientras que para producir un ordenador extra necesita tres nacionales y un extranjero. Se pide obtener los costos totales de la empresa en función de las dos clases de tecnologías empleadas. Supón que los componentes nacionales son un vector de la forma (𝐶𝑁; 0), mientras que los extranjeros vienen dados por (0; 𝐶𝐸).


Algebra Lineal

BIBLIOGRAFÍA

Harshbarger Ronald, Reynolds James. Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición. 2004

Arya Jagdish, Lardner Robin. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Cuarta Edición. 2002

Soo Tang Tan. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thomson. Tercera Edición. 2005

Louis Leithold. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Mexicana. Quinta Edición

James Stewart. Cálculo Trascendente Temprano. Ed. Thompson Learning. Cuarta Edición

Hoffman Laurence D., Bradley Gerald l. Cálculo Aplicado a la Administración Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición.

Soler Fajardo Francisco, Núñez Reinaldo y Aranda Silva Moisés. Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a las Ciencias Económicas y Administrativas. Ecoe Ediciones.

Roland E Larson, Robert P Hostetler. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill Ernest F. Haeussler – Richard S. Paul – Richard J Wood. Matemáticas para

Administración y Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Decimosegunda edición

José Manuel Becerra Espinosa. Temas Selectos de Matemáticas: la Amena forma de Aprender Más. Universidad Nacional Autónoma de México, 2005. Primera edición.

F. Sánchez Fernández. Espacios Vectoriales. IES Poeta Paco Mollà de Petrer ,Alicante (España) 2008

Casas Fernando, Ferrer María V , Vindel Pura. Matemáticas I, Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas. Departamento de Matemátiques, Universitat Jauma I

Web-Grafía http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html http://www.cch-oriente.unam.mx/areas/matematicas/mate3/MIII_U1.pdf http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-

%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/capitulo_1_vectores_en_el_plano.html

http://galois.azc.uam.mx/mate/propaganda/GAUSSJORDAN.pdf

http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html

http://www.cch-oriente.unam.mx/areas/matematicas/mate3/MIII_U1.pdf

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/capitulo_1_vectores_en_el_plano.html



http://galois.azc.uam.mx/mate/propaganda/GAUSSJORDAN.pdf

notas de clase algebra lineal

Education