notas de clase electrodinámica

7/23/2019 Notas de Clase Electrodinmica

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Electrodinamica: Notas de Clase

Rodolfo Alexander Diaz SanchezUniversidad Nacional de Colombia

Departamento de FsicaBogota, Colombia

The Date


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Indice general

Introduction XIII

I Campos electricos y magneticos independientes del tiempo 1

1. Electrostatica 3

1.1. Ley de Coulomb y campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Funcion delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Potencial y traba jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Energa potencial electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1. Distribuciones contnuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1. Calculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. Teoremas de unicidad para campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8. Discontinuidades en el campo electrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Suplemento matematico: completez y ortonormalidad de funciones 29

2.1. Expansion en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Ejemplos de conjuntos discretos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Ejemplos de conjuntos contnuos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Ecuacion de Laplace 35

3.1. Propiedades de las funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Unicidad de la ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones: coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1. Ejemplo de solucion en 2D con coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones: Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1. Ejemplo: Interseccion entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5. Ecuacion de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.1. Caja de ladosa,b, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii


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iv INDICE GENERAL

4. Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas 514.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Separacion de variables para la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1. Solucion de la ecuacion radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2. Solucion de la ecuacion angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3. Solucion angular con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Solucion de la ecuacion de Laplace con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5. Propiedades dePl(cos ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.6. Ejemplos de aplicacion de la Ec. de Laplace con simetra azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6.1. Esfera con = V () en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6.2. Cascarones esfericos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.7. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.8. Expansion de 1|rr| en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8.1. Ejemplos de aplicacion en evaluacion de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.9. Funciones asociadas de Legendre y Armonicos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Ecuacion de Laplace en coordenadas cilndricas, Funciones de Bessel 67

6. Conductores electrostaticos 696.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . 726.3. Sistemas conN conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5.1. Esferas concentricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6. Esfera conductora solida y dos cascarones conductores esfericos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . 806.7. Dos conductores internos y un conductor envolvente conectado a tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.8. Energa electrostatica y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.8.1. Simetra de losCij por argumentos de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.8.2. Energa electrostatica y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.9. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.10. Positividad de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7. Funciones de Green y ecuacion de Poisson en electrostatica 897.1. Teoremas de Green en electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2. Ecuacion de Green y potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3. Interpretacion de la funcion de Green en electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.4. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.5. Calculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.6. Evaluacion de la funcion de Green en una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.6.1. Expansion ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.6.2. Uso del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.6.3. Metodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.7. Funcion de Green bidimensional en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.7.1. Utilizacion del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.7.2. Combinacion de metodo directo con expansion ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.7.3. Metodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.8. Problema bidimensional semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.8.1. Expansion ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.8.2. Uso del teorema de valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.8.3. Combinacion de expansion ortonormal con metodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.8.4. Combinacion de metodo directo con expansion contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.9. Anotaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.10. Funcion de Green en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


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INDICE GENERAL v

7.11. Funcion de Green para espacio infinito en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8. Metodo de imagenes 1238.1. Metodo de imagenes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.2.1. Lnea de carga finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.3.1. Funcion de Green para el exterior e interior de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.3.2. Densidad superficial sobre la esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.3.3. Lmite de carga cercana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.3.4. Fuerza de la esfera sobre la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.6. Carga puntual en frente de un conductor esferico a potencialV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.7. Esfera conductora colocada en campo electrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.8. Metodo de las imagenes como problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.9. Energa interna electrostatica usando el metodo de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.10. Ejemplos de calculo de energa interna por metodo de ima g e n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 88.10.1. Energa interna de plano conductor infinito conectado a tierra frente a una carga puntual . . . 139

8.10.2. Energa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor cargado y aislado 1398.10.3. Energa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor conectado a una

batera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.10.4. Energa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esferico conectadoa una batera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.10.5. Energa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esferico cargadoy aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.10.6. Energa interna de un sistema de plano conductor en presencia de un alambre infinito . . . . . 143

9. Funcion de Green y ecuacion de Poisson en coordenadas esfericas 1459.1. Delta de Dirac en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.2.1. Teorema de adicion de armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.3. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.4. Funcion de Green para exterior e interior de la esfera combinando imagenes con autofunciones . . . . . 1499.5. Funcion de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esfericos concentricos con G = 0 en

la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.6. Potencial en el espacio entre dos cascarones esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.7. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.8. Condicion de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.9. Carga superficial en semicrculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.10. Distribucion poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.Funciones de Green en coordenadas cilndricas 157

11.Multipolos electricos 15911.1. Expansion multipolar cartesiana del potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.2. Multipolos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.3. Relacion entre los multipolos cartesianos y esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.4. Ilustracion de los terminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.5. Promedio volumetrico del campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.6. Aproximacion dipolar para campos cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.7. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.7.1. Multipolos cartesianos para carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166


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vi INDICE GENERAL

11.7.2. Multipolos esfericos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.7.3. Multipolos esfericos de tres cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.8. Multipolos de una esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.9. Esfera deformada con momento cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.10.Expansion multipolar de la energa potencial externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.11.Expansion multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

11.12.Expansion multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

12.Electrostatica de medios materiales 17912.1. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

12.1.1. Materiales dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17912.1.2. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17912.1.3. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos electricos externos . . . . . . . . . 18112.1.5. Definicion del vector de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.2. Campo electrico en el exterior de un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.2.1. Interpretacion Fsica de las cargas de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12.3. Campo en el interior de un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.4. Ecuaciones de campo en presencia de dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.5. Susceptibilidad electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.6. Condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

12.6.1. Problema con interfase utilizando imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18812.7. Funcion de Green para espacio infinito con semiespacios dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.8. Esfera dielectrica de radio a colocada en dielectrico. Carga puntual en r> a. . . . . . . . . . . . . 19312.9. Energa potencial en presencia de dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

12.9.1. Distribucion sobre esfera dielectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.10.Energa de un dielectrico en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13.Magnetostatica 19913.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19913.2. Conservacion de la carga electrica y ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19913.3. Ecuacion de continuidad y regimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20013.4. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20113.5. Ecuaciones diferenciales de la magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.6. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20513.7. Rango de validez de la formulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20613.8. Formalismo de Green en magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

13.8.1. Espira circular de corriente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.9. Multipolos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.9.1. Termino cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21013.9.2. Multipolos magneticos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21213.9.3. Dipolo magnetico de una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21213.9.4. Flujo de partculas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.10.Expansion multipolar de fuerza y torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.11.Promedio volumetrico del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21413.12.Problemas resueltos de magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

14.Magnetostatica de medios materiales 22314.1. Magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

14.1.1. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22314.1.2. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22314.1.3. Ferromagnetis mo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22414.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

14.2. Campo generado por objetos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225


7/426

INDICE GENERAL vii

14.3. Interpretacion de las corrientes de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.4. Campos magneticos en el interior de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

14.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

14.5.1. Condiciones de frontera en materiales magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

14.5.2. Calculo de potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.6. Problemas resueltos de magnetostatica en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

II Campos electricos y magneticos dependientes del tiempo 237

15.Ecuaciones de Maxwell 239

15.1. Ley de induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

15.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

15.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

15.1.3. Forma diferencial de la ley de induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

15.1.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

15.1.5. Energa almacenada en el campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

15.2. Ecuacion de Ampere Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

15.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacion de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

15.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

15.4. Potenciales Ay , transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

15.4.1. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

15.4.2. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

15.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

15.5.1. Corriente de Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

16.Leyes de conservacion 257

16.1. Conservacion de la energa: Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25716.2. Conservacion del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.3. Presion ejercida por el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 64

16.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

16.4.1. Definicion de impedancia en terminos de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

17.Soluciones de la ecuacion de onda 271

17.1. Unicidad de la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

17.2. Solucion a la ecuacion de onda homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

17.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

17.2.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

17.3. Solucion a la ecuacion de onda inhomogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

17.3.1. Funcion de Green para la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

17.3.2. Funcion de Green y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

17.3.3. Funcion de Green para espacio tiempo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

17.3.4. Condicion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

17.3.5. Evaluacion de la funcion de Green para la ecuacion de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

17.3.6. Otra forma de evaluacion de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

17.3.7. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

17.3.8. Expansion de una onda plana en armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

17.3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

17.3.10.Ejercicio: carga puntual en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29417.3.11.Dipolo puntual oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

17.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299


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viii INDICE GENERAL

18.Ondas electromagneticas planas 30118.1. Caractersticas basicas de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

18.1.1. Transporte de momento y energa en una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30318.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

18.2. Polarizacion de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

18.3. Reflexion y transmision de ondas planas cuando se cambia de medio dielectrico . . . . . . . . . . . . . 308

18.3.1. Reflexion y transmision con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30918.3.2. Reflexion y transmision con incidencia oblcua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

18.3.3. Reflexion total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31518.4. Absorcion y dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

18.4.1. Ondas planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

18.4.2. Reflexion y transmision en superficies metalicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31918.5. Dispersion de ondas en un medio dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

19.Guas de onda y cavidades resonantes 32319.0.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

19.1. Clasificacion de las ondas en una gua: modos TM, TE y TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

19.2. Cable coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32919.2.1. Propagacion de modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32919.2.2. Propagacion de modos TM y TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

19.3. Velocidad de fase y de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33119.4. Velocidad de fase y de grupo en una gua de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

19.5. Gua de onda rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

19.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33719.6.1. Cavidad resonante cilndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

20.Radiacion 34120.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34120.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34320.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

20.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34720.4.1. Potenciales de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

20.5. Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35020.6. Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

20.7. Radiacion de dipolo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

20.8. Radiacion de dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35720.9. Radiacion generada por un distribucion arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 59

20.10.Radiacion de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36220.10.1.Radiacion de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

20.10.2.Radiacion de Ciclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

21.Relatividad especial 36721.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36721.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones . . . . . . . . . . . . 374

21.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

21.4. Fuerza y energa en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38321.5. Formulacion Lagrangiana de la mecanica relativ is ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

21.5.1. Formulacion no manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

22.Electrodinamica y relatividad 39322.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

22.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39522.3. Pruebas de consistencia de la formulacion covariante de Maxwell (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 39522.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacion tens orial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396


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INDICE GENERAL ix

22.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39722.5. Conservacion de momento y energa del campo electromagnetico: tensor momento energa . . . . . . . 39722.6. Conservacion del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39922.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

22.7.1. Cuadrivectores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40022.7.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

A. Teoremas de unicidad de la ecuacion de Poisson 401

B. Coeficientes de capacitancia 403B.1. Pruebas de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403B.2. Derivacion alternativa de la Ec. (6.13) Pag. 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

C. Multipolos electricos 405C.1. Calculo del campo generado por un dipolo puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405C.2. Integral volumetrica del campo sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

D. Ondas planas 411

D.1. Incidencia oblcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411


10/426

x INDICE GENERAL


11/426

Preface

This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of this paragraphsets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not appear in the table ofcontents.

xi


12/426

xii PREFACE


13/426

Introduction

????????????????????

xiii


14/426

xiv INTRODUCTION


15/426

Parte I

Campos electricos y magneticosindependientes del tiempo

1


16/426


17/426

Captulo 1

Electrostatica

1.1. Ley de Coulomb y campo electrico

La interaccion electrica se obtuvo inicialmente por frotamiento. Experimentalmente se encuentra que si tenemos

dos cuerpos electrizados a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces

Dicha fuerza es central, es decir actua a lo largo de la lnea que une las cargas.

Fes proporcional a 1/r2 siendo r la distancia que separa las cargas (i.e. los objetos que se han electrizado).

Solo hay dos tipos de electrizacion (que definimos como electrizacion positiva y negativa), partculas con elec-trizaciones semejantes se repelen en tanto que si ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puedeverse facilmente con experimentos de frotacion. Por ejemplo si frotamos dos materiales identicos con panosidenticos, podemos suponer razonablemente que han adquirido el mismo tipo de electrizacion, y al acercarlosestos se repelen mostrando que electrizaciones iguales se repelen. Si llamamos electrizaci on A a la adquiridapor un material dado y luego electrizamos otro material, vemos que en algunos casos se repelen y en otrosse atraen. Denominaremos electrizacion B a la de un material que se atrae con el de electrizaci on A. La pre-gunta natural es existe una tercera electrizacion C?. Para responder a esta pregunta electrizamos un tercermaterial. Los experimentos muestran que si electrizo cualquier otro material, y si al acercarlo al material conelectrizacion A se atrae con el, entonces se repele con el material de electrizacion B, con lo cual se concluyeque el nuevo material tiene electrizacion B. Similarmente, si el nuevo material electrizado se repele con el deelectrizacion A, se atraera con el de electrizacion B mostrando que el nuevo material tiene electrizacion tipoA. Tendramos un conflicto con esta imagen si al electrizar el material se atrajera (o se repeliera) con ambosmateriales de electrizacion tipoA y B . En tal caso, tendra que contemplarse la posibilidad de tres o mas tiposde electrizaciones. Los experimentos de frotacion muestran sin embargo, que este no es el caso.

La fuerza es proporcional al producto de las cargas. El sentido de la fuerza lo determina el signo del productode las cargas. Si tal signo es positivo (negativo) la fuerza entre las cargas ser a repulsiva (atractiva). La carga esuna cantidad escalar y aditiva lo cual se puede ver midiendo la fuerza que una carga q1 hace sobre una cargaq y luego reemplazando la carga q1 por una carga q2 en la misma posicion, para medir ahora la fuerza de q2sobre q. Finalmente se juntan las dos cargas en la misma posicion en la que se colocaron antes y se observa quela fuerza resultante coincide con la suma vectorial de las fuerzas que se obtuvieron en los dos casos anteriores.Es decir se obtiene el resultado correcto si lo vemos como la interaccion de la carga q1+ q2 con la carga q.

Convencionalmente se llamo positiva a la electrizacion que adquiere el vidrio frotado y negativa a la electrizacionque adquiere el ambar frotado.

Cuando tenemos una distribucion de cargas que actuan sobre una carga pequena, la fuerza y campo totales obede-cen el principio de superposicion. Este principio de superposicion se puede extrapolar cuando tenemos distribucionescontnuas de carga.

3


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4 CAPITULO 1. ELECTROSTATICA

1.1.1. Ley de Coulomb

La fuerza que una carga puntual q1 ejerce sobre la carga q2 viene dada por

Fq1q2 =Kcq1q2 (r2 r1)

|r2 r1|3

donder1,r2son las posiciones de las cargas con respecto a algun sistema de referencia inercial, y Kces una constanteuniversal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido Fsico de la electrostatica yace en la ley de Coulomby el principio de superposicion. La escogencia de la constante de proporcionalidad determina la unidad de carga.Notese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto Kcq1q2 pero no de las cantidades Kc y q poraparte, por esta razon es posible fijar las dimensiones de Kcpara obtener en consecuencia las dimensiones deq, o porotro lado fijar las unidades de q(como unidades independientes de las unidades basicas de longitud tiempo y masa)con lo cual quedaran fijadas las unidades deKc. Esto nos lleva a dos tipos de unidades que son las mas com unmenteusadas

Unidades electrostaticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades de KceligiendoKc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm

3/2g1/2s1. A la cantidad q =

1cm

3/2

g

1/2

s1

la denominamos una unidad electrostatica o statcoulomb. En este sistema de unidades, q =1 statcoul cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga identica colocada a un centmetro.

MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio) encuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante Kc = 1/ (40) con0 = 8,85 1012C2/N m2. Definimos en este sistema la carga unidad q = 1 coulomb cuando dos cargasidenticas separadas un metro experimentan una fuerza mutua de 140 Newtons. La relacion entre las unidades

SI y las unidades electrostaticas esta dada por 1Coul = 3 109Statcoul.

Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece automaticamentela ley de accion y reaccion. Por otra parte, si asumimos que la Mecanica Newtoniana es una descripcion adecuada dela naturaleza, el principio de superposicion esta contenido en la segunda ley de Newton, de tal forma que la ley de

Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecer la segunda ley debe cumplir el principio desuperposicion. Efectivamente, en el dominio de la mecanica clasica el principio de superposicion esta bien soportado atraves de diversas pruebas experimentales1. No obstante, en los dominios de la mecanica cuantica, se pueden observarpequenas desviaciones debidas a procesos como la dispersion luz por luz y la polarizacion del vaco. De igual forma,existe una fuerte base experimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microsc opico como en elmacroscopico.

El campo es un vector que mide la capacidad de interaccion o influencia que una carga o conjunto de cargastiene con respecto a otra carga externa. Si una partcula esta ubicada en alguna posicion dada por r (respecto aalgun sistema de referencia inercial) entonces el campo electrico generado por esta, evaluado en alguna posicion rviene dado por

E (r) =Kc

q(r

r)

|r r|3este campo es central y por tanto conservativo. Ademas el campo satisface el principio de superposicion, el cuales herencia directa del mismo principio aplicado a las fuerzas. Cuando tenemos una distribucion de carga se usa elprincipio de superposicion para calcular el campo generado por dicha distribucion en cualquier punto del espacio.Experimentalmente, el campo electrico en una posicionr se mide colocando una carga de prueba q enr y midiendola fuerza que dicha carga experimenta. Formalmente la medicion del campo requiere tomar el lmite cuando la cargade prueba es arbitrariamente pequena

E= lmq0

F

q

con el fin de asumir que q no altera la distribucion de carga original al aproximarse a tal distribucion. Esta definicion

formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad Fsica, puesto que no podemos tener hasta elmomento, valores de carga menores que la carga electronica. No obstante, la carga electronica es muy pequena cuando

1Notese que el principio de superposicion depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.


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Con esta distribucion es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r0) como una densidadvolumetrica equivalente

r

= q

r r0

(1.1)

esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el potencial que genera

q = r

dV= q r

r0 d

3r

(r) = Kc dq(r)

|r r| =Kc (r)

|r r|d3r= Kc

q (r r0)|r r| d

3r (1.2)

(r) = Kc q

|r r0| (1.3)

finalmente, es inmediato ver que el campo electrico tambien se reproduce adecuadamente. Hay varias sucesiones dedistribuciones que convergen a la funcion Delta de Dirac (para mas detalles ver por ejemplo [2, 3]) una de las masutilizadas es la sucesion definida por

fn (x a) = n

en2(xa)2

se puede demostrar que al tomar el lmite cuando n

se reproduce la definicion y todas las propiedades basicas

de la distribucion delta de Dirac. Notese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en esta sucesion tienenarea unidad y estan centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanas gaussianas se vuelvenmas agudas y mas altas a fin de conservar el area, para valores n suficientemente altos, el area se concentra en unavecindad cada vez mas pequena alrededor dea. En el lmite cuando n , toda el area se concentra en un intervaloarbitrariamente pequeno alrededor de a.

Algunas propiedades basicas son las siguientes:

1. (x a) dx= 1

2. f(x)(r r0) dV = f|r=r0

3. (ax) = 1|a|

(x)

4. (r r0) =(r0 r)5. x(x) = 0

6.

x2 e2= 12|e|[(x + e) + (x e)]Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribucion, la funcion delta de Dirac no tiene sentido por s sola,

sino unicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que (ax) = 1|a|(x), no estamos hablando deuna coincidencia numerica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debe aplicar al espacio vectorial defunciones en que estemos trabajando, es decir

cb

f(x) (ax) dx= cb

f(x) 1|a|(x) dx f(x) V y a R

Estrictamente, el mapeo tambien se puede hacer sobre los numeros complejos con propiedades analogas. En estemismo espritu, es necesario aclarar que la densidad volumetrica equivalente de una carga puntual (y todas lasdensidades equivalentes que nos encontremos de aqu en adelante) es realmente una distribucion. Por ejemplo, ladensidad descrita por (1.1), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como las expresadas en (1.2).Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribuciones. En sntesis, lo que seconstruye con la densidad volumetrica equivalente es una distribucion que me produzca el mapeo adecuado parareproducir la carga total y el potencial3.

En mas de una dimension la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales, la propiedad

(n) (x) dnx = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus dimensiones son dexn.3Estos dos mapeos se definen en el espacios de las funcionesq(r0) y q(r0) / |r r

| en el caso de cargas puntuales. Para cargas linealesseran en el espacio de funciones (x) y (x) / |r r|.


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1.2. LEY DE GAUSS 7

1.2. Ley de Gauss

Figura 1.1: Ilustracion del angulo solido subtendido por una superficie dS con respecto al origen O en el cual seencuentra la carga, y que esta en la posicionr con respecto al origen O del sistema coordenado. El angulo mide lainclinacion del vector diferencial de superficie dS con respecto al radio vector r r que va desde O hasta el puntodonde esta centrada dicha superficie. Este angulo tambien mide la inclinacion de la superficie con respecto al campoelectrico generado por la carga puntual en O.

La ley de Coulomb junto con el principio de superposicion conducen a una forma integral muy util conocida como

ley de Gauss. La ley de Gauss en su forma integral, es util cuando queremos evaluar E en una distribucion de cargascon cierta simetra, o cuando queremos evaluar la carga total encerrada en cierto volumen. Finalmente, la formaintegral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordar casos m as generales. De acuerdo con lafigura 1.1, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se ubica la carga O podemos construir un diferencialde flujo en la vecindad de la posicion definida por el vector r. El campo electrostatico viene dado por

E (r) =Kcq(r r)|r r|3

y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dScentrada en r esta dado por

E (r) dS (r) =Kcq(r

r)

dS (r)

|r r|3

donde r define la posicion de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre una superficie


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cerrada, se obtiene E (r) dS (r) =Kc q

(r r) dS (r)

|r r|3es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de angulo solido subtendido por el areadStomando como vertice el punto O , como se aprecia en la Fig. 1.1

(r r) dS (r)|r r|3 = d (1.4)donde

d =

4 si O esta dentro de la superf icie cerrada

0 si O esta fuera de la superficie cerrada (1.5)

con lo cual resulta E (r) dS (r) =Kc q

d

y teniendo en cuenta (1.5), este resultado se puede expresar de manera equivalente as

E dS= 4Kcq r r dV = 4Kcq 1 si O esta dentro0 si O esta fueraapelando al principio de superposicion esta ley se puede aplicar a cualquier distribucion de cargas. Para el flujo decampo solo contribuye la carga neta que esta adentro (suma algebraica de cargas). Observese que la ley de Gaussse basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargas puntuales 4, b) elprincipio de superposicion, c) la naturaleza central de la fuerza.

La expresion (1.4) para el angulo solido puede entenderse cualitativamente en el analogo bidimensional, supon-gamos que queremos hacer la integral

d

en el plano. Si el lazo cerrado simple5

contiene al origen y comenzamos desde cierta posicionr0 de un punto sobre ellazo, al realizar el giro completo en direccion antihoraria hemos barrido un angulo 2 ya que el sentido de giro (conrespecto al sistema coordenado) del vector posicion nunca se invierte. Por tanto

d=

0+20

d= 2 si el lazo encierra al origen

en contraste si el lazo cerrado simple no encierra al origen, vemos que el vector posicion inicial de giro r0 al realizarun giro antihorario completo sobre el lazo, debe invertir su sentido de giro con respecto al sistema coordenado paravolver a su posicion inicial. En un giro completo el vector posicion va y vuelve con respecto a la coordenada angular dentro de cierto intervalo [0, max] siendo 0 el angulo inicial. Por esta razon la integral angular se anula en estecaso6 d= max

0

d+ 0max

d = 0 si el lazo no encierra al origen

Por supuesto podemos hacer un analisis similar si el origen para realizar el barrido del lazo esta desplazado conrespecto al origen de coordenadas. Es decir si r se reemplaza por r r siendo r fijo y haciendo el barrido con elvector relativo r r. En este caso lo que es relevante es si r esta dentro o fuera del lazo. Situacion similar ocurrecon el angulo solido dependiendo de si la superficie cerrada (en 3 dimensiones) encierra o no al origen con respectoal cual se hace el barrido. Cuando la superficie encierra a tal origen, se barre el angulo solido completo 4 (as comoen el caso dos dimensional se barre el angulo plano completo 2) y hay un efecto de cancelacion cuando dicho origenno esta contenido en la superficie cerrada.

4Si el campo electrico fuera proporcional p or ejemplo a r3, no obtendramos el angulo solido en la expresion (1.4).

5Por lazo cerrado simple indicamos un lazo que no se intersecta a s mismo, por ejemplo un lazo en forma de 8 NO es un lazo simple.Aunque no lo decimos explcitamente, usaremos lazos cerrados simples a menos que se indique lo contrario.

6Estrictamente, este analisis solo es valido cuando la curva cerrada tiene la misma concavidad en todos sus puntos, vista por un puntointerior al lazo. Cuando este no es el caso, puede haber varios intervalos de ida y vuelta pero a un as la cancelacion ocurre.


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1.2. LEY DE GAUSS 9

La expresion (1.4) para el angulo solido nos permitira desarrollar una importante identidad que sera de usofrecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la funci on|r r|1

1|r r|

2

1

|r r|

el operador

se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable r = r

r y teniendo en

cuenta quer = tenemos que2

1

|r r|

= 2r

1

r

esto es equivalente a redefinir el origen en r = 0. Olvidemos la notacion r y calculemos explcitamente esta cantidadparar = 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esfericas vemos que solo aparece la derivadacon respecto a la coordenada r debido a la simetra esferica de 1/r

2

1

r

=

1

r

2

r2

r

1

r

= 0

pero para r= 0 esta expresion esta indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expresion bajouna integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0

V2

1

r

dV =

1

r

dV =

1

r

ndS

=

r

r3

dS=

d = 4

1 si O esta dentro0 si O esta fuera (1.6)

donde hemos aplicado el teorema de Gauss o teorema de la divergencia as como la Ec. (1.4). Vemos entonces que

2 1r = 0 para r= 0 en tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4, reasignando r r rresulta entonces que

V

2 1|r r| dV = 4 1 si el volumen incluye al puntor0 si el volumen no incluye a r (1.7)notese que en (1.6) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la funci on no es bien comportada en el

volumen en cuestion, esto es inconsistente si tomamos a 2|r r|1

como una funcion ordinaria. Lo que realmente

estamos haciendo es considerando a2|r r|1

como una distribucion y encontrando cual es el mapeo que nos

permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar el teorema de Gauss. Notemos queprecisamente la Ec. (1.7) emula la propiedad fundamental de la delta de Dirac en tres dimensiones de modo que

2

1

|r r|= 4r r (1.8)esta identidad sera de uso muy frecuente.

1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial

Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integracion volumetrica de la densidad E dS= 4Kcq= 4Kc

(r) dV

esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos construr una densidad

volumetrica equivalente, como veremos mas adelante. Por otro lado el teorema de la divergencia nos dice que E dS=

( E) dV


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comparando las integrales de volumen ( E) dV = 4Kc

(r) dV

al ser esto valido para un volumen arbitrario en forma y tamano se tiene

E= 4Kc (r)

Esta ecuacion es valida para cualquier distribucionestaticade cargas, y me dice que las cargas positivas (negativas)son fuentes (sumideros) de lneas de campo electrico. Sin embargo, veremos mas adelante que esta ecuacion seextrapola al caso de campos dependientes del tiempo.

1.2.2. Potencial electrostatico

El campo electrico generado por una carga puntual estatica es conservativo en virtud de su naturaleza central yde su independencia temporal. Por otro lado, la superposicion de campos conservativos genera otro campo tambienconservativo, de lo cual se sigue que cualquier campo electrico generado por una distribucion estatica de cargas(contnuas o discretas) es conservativo. Matematicamente, un campo conservativo se puede escribir comoE = ,siendo una funcion escalar. La funcion escalar asociada al campo electrico se conoce como potencial

Por otro lado, si recordamos que F= qEpara una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobre la carga deprueba es conservativa y se le asocia una energa potencial F =Ep. De esto se deduce que = Ep/q de modoque el potencial es la energa potencial por unidad de carga generada por cierta distribucion.

Escribamos el campo electrico para una distribucion arbitraria de cargas

E (r) =Kc

dq(r) (r r)

|r r|3Valido para distribucion contnua. Usando

1

|r r|= r r

|r r|3 (1.9)

el campo queda

E (r) = Kc

dq

r 1|r r|

y como opera sobre la variable r pero no sobre r, puede salir de la integral

E (r) =

Kc

dq(r)|r r|

Definiendo

E= (r) ; (r) Kc dq(r)

|r

r|

(1.10)

obtenemos una funcion escalar (r) asociada al campo electrico E, tal funcion escalar es el denominado potencialescalar electrostatico7. En esta ecuacion podemos tomar2 a ambos lados

2 (r) Kc2

dq(r)|r r| =Kc

dq

r2 1|r r|

usando la identidad (1.8)

2

1

|r r|

= 4r r (1.11)queda

2

(r) = 4Kc dqr r r= 4Kc r r r dV= 4Kc (r)7Esta expresion para el potencial depende de que se defina el cero de potencial en el infinito. Por esta raz on, la forma integral tpica

del potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.


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1.2. LEY DE GAUSS 11

Con lo cual queda2 (r) = 4Kc (r) (1.12)

Conocida como la ecuacion de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuacion tambien se puede obtener de la leyde Gauss en forma diferencial junto con la conservatividad del campo

E= 4Kc (r) () = 4Kc (r) 2 (r) = 4Kc (r)

Para un conjunto de cargas puntuales qi ubicadas en las posiciones ri, se puede definir una densidad volumetricaequivalente que me permite usar la formulacion en el contnuo, tal distribucion equivalente se describe por

r

=N

i=1

qi

rri

cualitativamente, esto se puede ver teniendo en cuenta que la densidad de un conjunto de cargas puntuales es cero enlos puntos donde no hay carga, e infinita en cada punto donde hay una carga. Adem as al integrar (r) sobre todoel espacio, se obtiene la carga total en virtud de la normalizaci on de la delta de Dirac

r

dV=

N

i=1qi

rri

d3r =N

i=1qi

finalmente, podemos verificar que el equivalente para una distribucion discreta nos da el potencial correcto asociadoa dicha distribucion

(r) =Kc

(r)|r r|dV

= KcN

i=1

qi

(rri)

|r r| dV= Kc

Ni=1

qi|r ri|

por otro lado

E= () = 0 (1.13)ya que el rotacional del gradiente de una funcion escalar bien comportada es siempre cero. Esta es otra formaequivalente de ver la conservatividad del campo, todos los campos conservativos son irrotacionales y viceversa (siempre

y cuando el campo dependa exclusivamente de la posicion).La ecuacion E = nos dice que dado el potencial se puede calcular el campo electrico de manera unica.El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma informaci on Fsica del campo, es una ventajaoperativa, pero tambien surge la pregunta como un objeto con un solo grado de libertad puede contener la mismainformacion que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que las componentes del campo electrico no sonrealmente independientes, puesto que E= 0 y E= 4Kc, de modo que tenemos 6 ecuaciones diferencialespara las componentes de dicho campo8. Cabe mencionar que el potencial obedece a un principio de superposicion,heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existe una arbitrariedad en la definicion delpotencial, para lo cual es necesario fijar el punto del espacio en el cual definimos el potencial cero. Esto no es ningunacontradiccion ya que el potencial no es un observable fsico como veremos mas adelante, el observable es la diferenciade potencial. El campo electrico en cambio s es un observable.

Retomando la Ec. (1.13) que es equivalente a la conservatividad y usando el teorema de Stokes, se tieneS

( E) dS=

CE dl= 0

donde Ses cualquier superficie delimitada por el lazo cerrado C. Vemos entonces que toda integral de lnea cerradadel campo electrostatico es cero. Ahora sean dos caminos que pasan por los mismos puntos A y B

E dl = B

AE dl

C1

+

AB

E dl

C2

= 0

B

AE dl

C1

B

AE dl

C2

= 0

8Es importante enfatizar que aun quedan grados de libertad, gracias a que estas 6 ecuaciones son ecuaciones diferenciales de primerorden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para definirlo). Si estas ecuaciones fueran lineales en elcampo, este estara de hecho sobredeterminado. Mas adelante veremos que la determinacion del rotacional y la divergencia de un campovectorial, aun no son suficientes para darle unicidad a la solucion de tal campo vectorial.


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de lo cual se deduce que BA

E dl

C1

=

BA

E dl

C2

y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales), se deduceque la integral de lnea del campo electrico es independiente del camino y solo depende de los extremos. Esta es otraforma de definir a un campo conservativo, y de hecho es la que mayores implicaciones fsicas tiene. Hay que tener

especial cuidado con los campos mal comportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r) u, una fuerza restringida ados dimensiones. El diferencial de trabajo es dW =F dr= (A/r) u (dr ur+ r d u) = (A/r) r d calculemos eltrabajo para varias trayectorias

1) Trayectoria cuyos vectores posicion inicial y final estan a un angulo 1 y 2 respectivamente

W =

Ad= A (2 1)

independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el angulo (no la distancia)2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen

W = r2

r1

A d+ r1

r2

A d= A (2

1) + A (1

2) = 0

da cero independiente de la forma especfica de la trayectoria (siempre que no incluya el origen)3) Trayectoria cerrada que encierra al origen

W =

20

A d= 2A = 0

Luego la fuerza no es conservativa, la cuestion es que F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, de modoque un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero.

Se puede probar que un campo central de la formaE (r) =E() ucon en coordenadas esfericas es conservativosiE() es una funcion bien comportada. Se puede calcular el rotacional de este campo y verificar que es cero en todo

el espacio. De especial interes son los campos de la forma

M (r) =k

df(r) (r r)

|r r|n+1 n= real

Se puede verificar que M= 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que(r r)

|r r|n+1 =

1n1

1

|rr|n1

si n = 1 ln |r r| si n= 1

1.2.3. Potencial y trabajo

La coleccion de todos los puntos con el mismo potencial forma las llamadas superficies equipotenciales. ComoE =, las lneas de campo son perpendiculares a tales superficies, y el campo va en la direccion en la cualel potencial disminuye, veamos el sentido Fsico del potencial: consideremos el trabajo realizado sobre una cargaqpuntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de un campo electrico

Wab = b

aFext dr= q

ba

E dr= q b

a dr

Wab = q b

ad= q[ (b) (a)]

el signo menos proviene del hecho de que lo que se esta calculando es el trabajo hecho por el agente externo sobrela carga, como esta debe ir con velocidad constante, la fuerza externa debe ser igual en magnitud pero opuesta en

direccion a la fuerza del campo sobre la carga. Dividiendo esta ecuacion por la carga

Wabq

= (b) (a) = b

aE dr


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1.3. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA 13

De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidad qpuntualpara llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo electrico.

Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = deja unaconstante arbitraria por definir en el potencial. Por tanto, el potencial + c(siendoc una constante) describe lamisma Fsica que . Esto se llama una transformacion Gauge o de calibracion (transformacion del campo). El campoy el trabajo son invariantes Gauge. La forma mas general del potencial es entonces

(r) =Kc (r) dV

|r r| + 0

Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplo de lacarga puntual; en coordenadas polares tenemos: b

aE dr = KcQ

ba

1

r2ur (dr ur+ rd u) = Kc

ba

Q

r2dr= Kc Q

r

ba

= KcQ

1

ra 1

rb

= (a) (b)

de modo que

(a) =KcQ

1

ra 1

rb

+ (b)

si hacemosra= r, rb tenemos que (r) =

KcQ

r + ()

la escogencia () = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejos siemprecomo puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambre infinito, laescogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias.

Discusion: En general s es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuando la carga

no esta localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r (r distancia delpunto a un origen de coordenadas). La razon para ello es que r no define un punto sino una superficie, y nodebemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no en una superficie. La pregunta natural esporque la definicion del cero de potencial en r es valida para distribuciones localizadas?, la respuesta radicaen el hecho de que para distancias suficientemente grandes, la distribucion se puede ver como una carga puntual, estosignifica que para una esfera suficientemente grande y centrada en la distribucion, la superficie de dicha esfera esequipotencial, de modo que definir cero el potencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos lospuntos de la superficie. Cuando la distribucion no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso alejandonosindefinidamente, por tanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial.

Veamos el ejemplo especfico de un alambre infinito, si ri define la distancia del puntoPi al alambre, tenemos que

21= P2P1

E dS= 2 ln r2+ 2 ln r1= 2 ln r+ const

Escogemos (a) = 0 con a arbitrario (a= 0, a=). Si elegimos el cero de potencial en un punto especfico en elinfinito (por ejemplo el punto (0, 0, z )), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio. Sin embargo,las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables fsicos) van a continuar siendo finitas. Hay que teneren cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.

1.3. Energa potencial electrostatica

Dado el caracter conservativo del campo electrostatico, el trabajo realizado para traer una carga desde a hastaben un potencial externo (r) es

Wab= q b

aE dl= q[ (b) (a)]


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De esta manera podemos asociar una energa potencial a una carga q, en cada puntor del espacio, y sera equivalenteal trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial es cero hasta el punto r encuestion9. Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero de potencial en el infinito, en tal caso

Wr = q (r) =U(r) =energa potencial asociada a la carga q

Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribucion estatica de cargas puntuales.

Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera cargaes cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario para traer la primeracarga desde el infinito hasta su posicion finalr1(denotado porW1) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinitohasta su posicion finalr2, esta ya se mueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera unpotencial 1(r) entonces el trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posicion r2 es

W2= q21(r2) = Kcq2q1

|r2 r1| =Kcq1q2r12

; rij |rj ri| =rji

analogamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras desde el infinito hasta su posicionr3

W3= q3 [1 (r3) + 2 (r3)] =Kcq3q1

r13+

q2

r23= Kcq1q3

r13+

q2q3

r23 si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es

WT =W1+ W2+ W3= Kc

q1q2r12

+q1q3

r13+

q2q3r23

esto sugiere que para n cargas la expresion sea

WT =n1i=1

nk>i

Kcqiqkrik

se sugiere al lector demostrar la anterior expresion por induccion matematica. Tambien se deja al lector la tarea de

demostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energa potencial interna del sistema Uint, es decir laenerga potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresion se puede escribir de una forma mas simetrica sitenemos en cuenta que para un par dadoi, k podemos escribir

qiqkrik

= 1

2

qiqkrik

+qkqi

rki

de manera que podemos reemplazar la restriccion k > i por la restriccion k= i introduciendo un factor 1/2. Laenerga interna se escribira entonces en la forma

WT =Uint=1

2

n

i=1n

k=iKcqiqk

rik(1.14)

donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de terminos, ademas k =i lo cual implica que una partcula nointeractua consigo misma. Veremos ademas que esta expresion es mas adecuada para hacer el paso al contnuo.

Por otro lado, si tenemos en cuenta que

i =n

k=i

Kcqkrik

donde i es el potencial asociado a la carga qi debido a su interaccion con las otras cargas. La energa interna sepuede escribir como

Uint=1

2

n

i=1qii (1.15)

9Esto es analogo a la energa potencial asociada a una partcula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campo gravitatorioconstante la energa potencial es mgh donde h = 0 se define p or ejemplo en el suelo. Esta energa potencial es justamente el trabajonecesario para que una partcula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto con altura h.


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Esta expresion no contiene la autoenerga asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas ya estanarmadas, esto se ve en el hecho de que i es el potencial debido a todas las cargas excepto la i esima. Solocontiene los terminos debidos a la interaccion entre las cargas. Estas autoenergas son divergentes pero se puedenrenormalizar10. Como veremos mas adelante, cuando asumimos distribuciones contnuas de cargas estos terminosde autoenerga aparecen en la formulacion sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad sea finita en todo elespacio).

1.3.1. Distribuciones contnuas de carga

Formaremos la distribucion volumetrica trayendo elementos diferenciales de carga desde el infinito. La natura-leza conservativa de las interacciones electrostaticas nos garantiza que la energa total final de la distribucion esindependiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrario esta cantidad no tendra ningun significadointrnseco).

Pensemos que queremos concentrarnos en armar la carga que finalmente quedara en un volumendV (r), denotemosel valor final de la densidad asociada a dV (r) como (r). Supongamos que en cierta etapa del proceso hemosacumulado una carga dq en el volumen dV (r), por lo tanto se tiene que dq = (r) dV (r) de modo que (r) es ladensidad de carga enr en esta etapa del proceso. Parametricemos (r) = (r) donde 0 1. Si asumimos quees independiente de la posicion y tomamos la ecuacion de Poisson

2 (r) =

4Kc

2 [ ( r)] =

4Kc()

y como2 (r) = 4Kc = 4Kc() se concluye que2 (r) (r)= 0

puesto que esto debe ser valido en todo el espacio, se tiene que (r) (r) = constante (veremos las condicionesde unicidad de la Ec. de Laplace en la seccion 3.2, Pag. 38). En particular cuando = 1 y se haya completado elproceso, debe cumplirse que (r) = (r) con lo cual la constante debe anularse y por tanto (r) = (r).

Ahora traemos desde el infinito una carga adicional dq hasta el elemento de volumen dV (r), la carga en estevolumen es ahora dq (r) = (+ d) (r) dV (r). El incremento es claramente dq(r) = (d) (r) dV (r). El trabajorealizado para traer dqes

dW = (r) dq= [ (r)][(d) (r) dV (r)] = d (r) (r) dV (r)

Ahora bien, para traer elementos dq(r) para cada elemento de volumen dV (r) se requiere un trabajo

dW= d

V (r) (r) dV (r)

este trabajo aun no es el trabajo total, ya que todava falta seguir trayendo cargas diferenciales a cada elemento devolumen hasta completar la carga total que debe tener cada dV (r), es decir hasta que la densidad sea (r). Esto sedescribe matematicamente integrando en desde cero hasta uno.

WT =

10

d

V

(r) (r) dV (r)

WT = Uint = 12 V (r) (r) dV (1.16)observese que hemos supuesto que no depende del elemento de volumen en el cual este definido, es decir no dependede la posicion. Esto simplemente implica que para cada elemento de volumen se trae undq(r) que contenga la mismafraccion de la carga total final en cada elemento de volumen, pero como el metodo de construccion no afecta, estono le quita generalidad al problema. Se puede observar que la expresi on (1.16) coincide con el paso al contnuo de laexpresion (1.15).

La integral de volumen se realiza solo donde hay carga. Sin embargo, la integral se puede extender sobre todoel espacio teniendo en cuenta que en las regiones donde no hay carga = 0, y no van a contribuir. Al usar todo elespacio podemos escribir

(r) = (r) dV

|r r| (1.17)10El hecho de que las autointeracciones diverjan tiene que ver con el hecho de que se necesita una energa infinita para ensamblar una

carga puntual.


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de modo que

WT =Uint=1

2

(r) (r) dV dV

|r r| (1.18)

que coincide con el paso al contnuo de (1.14). Este metodo de calculo nos asocia la energa directamente a las cargas,como si la energa residiera en las cargas ya que en los sitios de = 0 no hay contribucion a Uint.

Un desarrollo adicional permite asociar la energa con el campo electrostatico (como si la energa residiera en el

campo). Partiendo de (1.16) y usando la ley diferencial de Gauss, escribimos

Uint = 1

2

V

dV = 1

8Kc

V

(4Kc) dV = 1

8Kc

V

( E) dV

= 1

8Kc

V

[ (E) E ] dV

usando el teorema de la divergencia y el hecho de que E = obtenemos

Uint = 1

8Kc

EdS + 1

8Kc

E2dV (1.19)

Para dilucidar sobre que volumen estamos integrando, recordemos que se partio de la Ec. (1.16). Por tanto el volumende integracion es aquel que contiene a toda la distribucion de carga. Sin embargo, podemos extender el volumen sinalterar la integral puesto que las partes del volumen que no contienen carga no contribuyen a dicha integral. Enconsecuencia, la expresion (1.19), es valida para cualquier volumen y superficie que lo delimita, siempre y cuandotoda la carga este contenida en el volumen. Una eleccion astuta para distribuciones localizadas de carga es extenderel volumen y la superficie hasta el infinito de modo que E Q/r2, Q/ry S r2 de modo que todo el integrandode superficie se comporta como 1/r y tiende a cero. Finalmente tenemos

Uint= 1

8Kc

todo el espacio

E2dV (1.20)

De modo que la energa aparece como almacenada en el campo. Esta interpretacion nos permite definir la densidadde energa del campo electrostatico como

E2

8Kc; Uint=

dV

Queda la pregunta, A que se asocia la energa a las cargas o al campo?, la respuesta es que la energa se asocia alsistema de partculas pero no se puede asociar a porciones de carga o a porciones del espacio (el terminoE2/8Kcque definimos como densidad de energa, no se puede medir experimentalmente11). A priori podramos pensar quea cada carga se le puede asociar una porcion de esta energa, si esto es posible debe ser de una manera unvoca.Pensemos que al armar un sistema de cargas puntuales asociamos a cada partcula la porcion de energa asociada alpotencial en el cual se movio cuando se trajo desde el infinito, en ese caso a la primera no le corresponde nada, a lasegunda le corresponde la energa necesaria para traerla desde el infinito hasta el punto donde se dejo, lo cual se hizoen presencia del campo generado por la primera carga y as sucesivamente, pero esta forma no es unvoca ya que lascargas se pueden traer en cualquier orden y las porciones asignadas son diferentes para cada orden.

En conclusion, las interpretaciones como energa asociada a la carga o al campo son solo metodos de calculo, enla primera interpretacion con cargas solo importa el espacio que tiene carga, en el segundo solo importan las regionesdonde hay campo. Son dos formas diferentes de sumar, as como lo son las diferentes maneras de traer las cargas,pero el metodo particular de hacer la suma no tiene significado intrnseco12.

Cuando intentamos calcular la energa potencial de una distribucion de cargas puntuales a traves de la expresion(1.20) obtenemos divergencias debido a la autoenergas de las partculas. Veamos un ejemplo concreto: dos cargas

11Observese ademas que la Ec. (1.16) nos brinda otra posible definici on de densidad de energa i.e. = 12

. De acuerdo con esta

definicion la densidad de energa en las regiones sin carga es cero, lo cual en general no es cierto cuando asumimos = E2/8Kc.12Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo, veremos que la formaE2/8es la mas adecuada para definir densidad de energa.Pero en el caso estatico, la densidad de energa no tiene significado Fsico, debido a que ninguna porcion de volumen esta intercambiandoenerga con otra.


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puntualesq1, q2 ubicadas en las coordenadas r1 y r2. El campo electrico esta descrito por

E = Kc

q1 (r r1)|r r1|3

+q2 (r r2)|r r2|3

E2

8Kc=

K2c q21

8Kc |r r1|4+

K2c q22

8Kc |r r2|4+

K2c q1q2 (r r1) (r r2)4Kc |r r1|3 |r r2|3

los dos primeros terminos correspondientes a la autoenerga de las partculas son intrnsecos de las partculas y no seintercambian ni se modifican por el hecho de que las partculas se muevan, solo podran ser relevantes si la interaccionentre las partculas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemos que abandonar la abstraccionde partculas puntuales. Las autoenergas divergen debido a que se producen singularidades para r r1 y parar r2. Recordemos que este es el reflejo de que se requiere una energa infinita para emsamblar una carga puntual.El ultimo termino se debe a la interaccion entre las dos partculas y su integral de volumen se puede calcular de laforma siguiente.

Uint = Kc

q1q2(r r1) (r r2)

4

|r

r1

|3

|r

r2

|3

dV = Kcq1q2

4

1

|r r1|

1

|r r2|

dV

= Kcq1q24

1|r r1| 1|r r2| dV 1|r r1|2 1|r r2| dV

= Kcq1q2

4

1

|r r1|

1

|r r2|

dS + 4

(r r2)|r r1| dV

Uint =

Kcq1q24

(r2 r)

|r r1| |r r2|3

dS + 4 1|r2 r1|

donde hemos usado el teorema de la divergencia, as como las ecuaciones (1.8) y (1.9). La superficie donde se definela primera integral esta en el infinito en el cual el integrando decae como 1/r3, en tanto que la superficie crece como

r2

de modo que esta integral se anula. El termino de interaccion queda

Uint = Kcq1q2|r2 r1|

el cual coincide con el calculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (1.14) conn = 2. Sin embargo, cuando se usa (1.14)o (1.15), no resultan los infinitos de autoenerga como ya se discutio, la razon es que en el caso discreto hemos excludola contribucion de las autointeracciones. En contraste, se puede ver que en el caso contnuo descrito por (1.16) [oequivalentemente por (1.18) o (1.20)], el potencial (r) s incluye la contribucion del diferencial de carga centrado enr. Cuando la densidad es bien comportada, la inclusion de este termino no afecta el resultado ya que es despreciable,pero para puntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen13.

-Calculemos ahora la fuerza experimentada por la superficie de un conductor de carga superficial . En este caso

la densidad y el campo electrico estan relacionados de modo que

= E2

8Kc=

2

Kc2

para llevar un elemento de superficie de 1 a 2 se realiza un trabajo W = F x= V

F =V

x =A F

A = =

2

Kc2

este resultado tambien se puede derivar tomando teniendo presente que el campo electrico debido al elemento

mismo debe ser excludo (Jackson second ed. pag. 48).13Observese p or ejemplo que si las cargasq1 y q2 son de signo opuesto, el calculo con (1.15) da un valor negativo en tanto que la Ec.

(1.20) esta definida positiva. Esto se debe a que las autoenergas son divergentes positivas.

7/23/2019 Notas de Clase Elec

notas de clase electrodinámica

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