variable compleja notas de clase

7/28/2019 Variable Compleja Notas de Clase

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VARIABLE COMPLEJANotas de clase

Dra. Laura Hidalgo Sols

Departamento de Matematicas,Universidad Autonoma Metropolitana-Iztapalapa

comentarios: [email protected]

Septiembre del 2010


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Indice general

1. Los numeros complejos 7

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. El algebra de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. El diagrama de Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Froma polar de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Geometra analtica en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8. Otras propiedades de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.1. C no es un campo bien ordenado. . . . . . . . . . . . 281.8.2. C es un campo completo. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9. El plano extendido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Series de Potencias 47

2.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3. Series de potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Funciones C-diferenciables 673.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Funciones C-lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3. Funciones C-diferenciables y holomorfas. . . . . . . . . . . . . 71

3.4. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4.1. La formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4.2. La funcion exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.3. La funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.4. Las fuciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 95

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4 INDICE GENERAL

3.4.5. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4.6. Races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4. Aplicaciones Conformes 103

4.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2. Derivada en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3. Aplicaciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.1. Transformaciones conformes en la esfera de Riemann . 113

4.4. Transformaciones de Mobius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.5. Simetra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6. Otros ejemplos de aplicaciones conformes . . . . . . . . . . . 126

4.6.1. La aplicacion de Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.6.2. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5. Teorema de Cauchy 139

5.1. Integracion Comple j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.2. El Teorema de Cauchy para rectangulos . . . . . . . . . . . . 155

5.3. Consecuencias del teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 161

5.3.1. Valores propios de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.3.2. Ecuaciones diferenciales homogeneas . . . . . . . . . . 175

5.3.3. Caracterizacion de polinomios . . . . . . . . . . . . . . 176

5.4. Modulo maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6. Homotopa y el Teorema de Cauchy. 185

6.1. Homotopa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.2. El Indice de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.3. El Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7. Laurent y Residuos 203

7.1. Clasificacion de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.2. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.3. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.4. El Teorema del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.5.1. Integrales de tipo

f(x) dx. . . . . . . . . . . . . . 226

7.5.2. Transofrmadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.5.3. Integrales Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.5.4. Evaluacion de series infinitas . . . . . . . . . . . . . . 233


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INDICE GENERAL 5

8. Funciones armonicas 237

8.1. Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.2. El nucleo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.3. El principio de reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.4. El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263


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6 INDICE GENERAL


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Captulo 1

Los numeros complejos

1.1. Introduccion

A continuacion presentamos el resumen de las notas de los cursos devariable compleja I y II, con el fin de que el alumno tenga un apoyo comple-mentario a su libro de texto y/o notas de clase. Como parte de los objetivosdel presente curso tenemos que el alumno:

Comprenda los elementos basicos de la teora clasica de funciones deuna variable compleja, y los relacione con otras ramas de las matem a-ticas, esto con el fin de prepararlo para cursos posteriores de matem a-ticas.

Reconozca el papel que juega la variable compleja dentro de las ma-tematicas, como antecesor de diversas areas de la misma, tales comola teora de la homotopa, la teora de variedades, la teora de lasSuperficies de Riemann, y la teora de Curvas Algebraicas, entre otras.

Integre los conocimientos y habilidades adquiridos en cursos anteri-ores, tales como: Estructuras Numericas, Calculo Avanzado, Algebray Geometra, reconociendo la interrelacion que hay entre ellos.

Reafirme su habilidad para formular enunciados y demostraciones enterminos matematicos, con el rigor adecuado.

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8 CAPITULO 1. LOS NUMEROS COMPLEJOS

1.2. Historia

Alrededor del ano 1545 el matematico italiano Girolamo Cardano publi-co Ars Magna (El Gran Arte), una obra maestra de 40 captulos en el cualse da, por primera vez, una solucion algebraica a la ecuacion cubica general:

x3 + ax2 + bx + c = 0

Su tecnica involucro el transformar esta ecuacion en otra ecuacion cubicalibre del termino cuadratico, esto es, una ecuacion de la forma:

x3 + bx + c = 0

Una solucion a dicha ecuacion esta dada como [U, pg. 84-86]:

x =3

c2

+

c2

4+

b3

27+

3

c2

c2

4+

b3

27

Dicha solucion le haba sido presentada por Niccolo Fontana, mejor cono-cido como Tartaglia, aunque dicha solucion fue descubierta unos 30 anosantes por Scipione Ferro de Bolonia, de manera totalmente independiente.

Este valor que se obtuvo para x podra usarse para factorizar la cubi-ca en una ecuacion lineal y otra cuadratica, y la ultima podra resolverseaplicando la formula cuadratrica. As, basando en el trabajo de Tartaglia,y una transformacion apropiada, Cardano pudo resolver la ecuacion cubicageneral, hecho que hasta entonces haba parecido imposible.

En el tiempo de Cardano, todava se trataban los numeros imaginarioscon cierta suspicasia, pues era difcil concebir cualquier realidad fsica quecorrespondiese con ellos. El propio Cardano, pese a sus esfuerzos a tratarcon esta nocion, en un momento considero que, el proceso de la aritmeticaque trata con las cantidades imaginarias es, tan refinado como inutil.

Esta forma de pensar cambio apartir de 1572, ano en que Rafael Bombellimostro que, de hecho, estos numeros tienen gran utilidad. Si se considera laecuacion cubica x3 15x 4 = 0, y se substituyen los valores b = 15 y c =4 en la formula de Ferro-Tartaglia para la ecuacion cubica x3+bx+c = 0,obtenemos el valor:

x = 32 + 121 + 32 121que puede representarse como,

x =3

2 + 11

1 + 3

2 111.


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1.2. HISTORIA 9

Bombelli sospecho que, si la ecuacion cubica original tena solucion, esta

podra escribirse en terminos de u+v1 y uv1 para algunos numerosreales u y v.Es decir, Bombelli penso que

u + v1 = 3

2 + 11

1 y u v1 = 3

2 111.

De hecho, usando la identidad (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, y pre-tendiendo que estos numeros obedezcan las reglas normales del algebra,tomando a = u y b = v

1, notaron que:

(u + v

1)3 = u3 + 3u2(v

1) + 3u(v

1)2 + (v

1)3

= u(u3 3v2) + v(3u2 v2)1= 2 + 11

121

As, igualando ambas partes de las ecuaciones, Bombelli razono que:

u(u2 3v2) = 2 y v(3u2 v2) = 11.

Entonces supuso que esos u y v eran enteros. Como 2 es un numeroprimo, sus unicos factores enteros son 2 y 1, por lo que, la ecuacion u(u2 3v2) = 2 lo llevo a concluir que u = 2 y u2 3v2 = 1. De esto se sigueque v2 = 1, o que v =

1. Increblemente, u = 2 y v = 1 resuelven la

segunda ecuacion v(3u2 v2) = 11, por lo que declaro que los valores parau y v deban ser respectivamente u = 2 y v = 1. Tambien noto que, si(2 +

1)3 = 2 + 111, entonces 2 + 1 = 3

2 + 111. Igualmente,

afirmo 2 +1 = 3

2 111. Claramente:

3

2 + 11

1 + 3

2 111 = (2 + 1) + (2 1) = 4

lo cual era un hecho sorprendente.Pues es claro que una solucion de la ecuacion x315x4 = 0 es x = 4. Sin

embargo, para llegar a esta solucion real, se forzo a recorrer el desconocido

territorio de los numeros imaginarios.As, ya no poda ignorarse la utilidad de estos numeros, que actualmente

llamamos los numeros complejos.Pero ni siquiera este descubrimiento abrio la aceptacion general hacia los

numeros complejos. Despues de todo, un numero real podra representarse


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geometricamente en la recta numerica. Que posible representacion podran

tener estos nuevos numeros?En 1673 John Wallis hizo una aproximacion a una representacion geome-

trica de los numeros complejos, como la que actualmente conocemos. Wallisestaba interesado en representar las soluciones de la ecuacion cuadraticageneral x2 2bx + c2 = 0. Usando la formula cuadratrica, dicha ecuaciontiene las soluciones x = b b2 c2.

Wallis imagino estas soluciones como los desplazamientos a la izquierda,y el punto b como una correcion, y vio cada desplazamiento, cuyo valorera

b2 c2, como las longitudes de los lados de un tri angulo rectangulo.

Desafortunadamente, el metodo de Wallis tiene como consecuencia que

1 esta representado por el mismo punto que

1. No obstante, conesta interpretacion, se poda pensar a los numeros complejos como los puntosen el plano.

Por el ano de 1800, el gran matematico suizo Leonhard Euler adopto estarepresentacion de los numeros complejos para obtener las n soluciones dela ecuacion xn 1 = 0. Actualmente, sabemos que estas soluciones puedenexpresarse como e = cos () +

1sin() para algunos valores reales de ;Euler penso en ellos como los vertices de un polgono regular en el plano. Eu-ler tambien fue el primero en usar el smbolo para

1. Actualmente, estanotacion es la mas popular, aunque algunos ingenieros electricos prefierenen cambio el smbolo , pues la utilizan para representar la corriente.

Quiza la figura que mas influyo en la aceptacion de numeros complejosfue el matematico aleman Carl Friedrich Gauss, que en su tesis doctoral(1799) presenta la primera demostracion de El Teorema Fundamental deAlgebra, as como sus crticas y objeciones a pruebas anteriores, posterior-mente en 1816 y 1831 presenta otras demostraciones de dichos resultados.En un artculo que escribio en 1831, produjo una representacion geometricaclara: identifico el numero complejo x + y con el punto (x, y) en el planocartesiano. Y tambien describio como realizar las operaciones aritmeticascon estos numeros.

Por otra parte Cauchy, basandose en el trabajo sobre la teora de fun-ciones de Lagrange, inicia el estudio riguroso de la teora de funciones de

una variable compleja, trabajo que continuara desarrollandose posterior-mente ba jo la gua de Weierstrass y Riemann.

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/History overview.html


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1.3. EL ALGEBRA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 11

1.3. El algebra de los numeros complejos

Es fundamental que los numeros reales y complejos satisfagan las mismasleyes fundamentales de la aritmetica. En esta seccion se estudiaran dichasleyes, as como su interpretacion geometrica.

Definicion 1.3.1. Un numero complejo es una expresion fromalx+y dondex y y son numeros reales. Denotaremos por C el conjunto de los numeroscomplejos.

Suele usarse un solo smbolo, tal como z, para representar un numerocomplejo, y podemos escribir z = x + y.

Si z1 = x1 + y1 y z2 = x2 + y2 son dos numeros complejos, diremos que

dos numeros complejos z1, z2 son iguales, esto es, z1 = z2 si, y solamente si,x1 = x2 y y1 = y2 .Si z1 = x1 + y1 y z2 = x2 + y2 son dos numeros complejos, se define la

suma de z1 con z2, que denotamos z1 + z2 como:

z1 + z2 := (x1 + x2) + (y1 + y2),

y el producto de z1 con z2, que denotamos z1z2, como:

z1z2 = (x1x2 y1y2) + (x1y2 + x2y1).

Ejemplo 1.

1. Si z1 = 1 + 2 y z2 = 3 + 8, entonces z1 + z2 = 4 + 10, mientras quez1z2 = 13 + 14.

2. Si z1 = x1 + 0 y z2 = x2 + 0, entonces z1 + z2 = (x1 + x2) + 0 yz1z2 = x1x2 + 0.

3. Si z1 = z2 = 0 + 1, entonces z21 = z1z1 = 1 + 0.

Teorema 1.3.1. El conjunto de los numeros complejos dotado de las op-eraciones de suma y producto anteriores es un campo.

Demostracion. Para verificar que el conjunto de los numeros complejos dota-

do de las operaciones de suma y producto definidas anteriormente satisfacelos axiomas de campo utilizaremos la estructura de campo de los numerosreales.

Si z1 = a + b, z2 = c + d y z3 = e + f , donde a,b,c,d,e y f denotannumeros reales, entonces:


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1. Como z1 + z2 = (a + c) + (b + d) donde a + c y b + d son numeros

reales, tenemos que la suma es cerrada.2. Sabemos que, en el campo de los numeros reales la suma es conmuta-

tiva, tenemos as que a + c = c + a y b + d = d + b, de donde

z1 + z2 = (a + c) + (b + d) = (c + a) + (d + b) = z2 + z1

por lo que la suma tambien es conmutativa en C.

3. En el campo de los numeros reales la suma es asociativa, por lo tanto:a + (c + e) = (a + c) + e y b + (d + f) = (b + d) + f, se sigue de aquique:

z1 + (z2 + z3) = a + b + [(c + e) + (d + f)]

= a + (c + e) + [b + (d + f)] = (a + c) + e + [(b + d) + f] = (z1 + z2) + z3

la suma en C es asociativa.

4. Como 0 es el neutro aditivo en R, entonces a + 0 = a y b + 0 = b, dedonde

z1 = a + b = (a + 0) + (b + 0) = (a + b) + (0 + 0)

Esto implica que 0 + 0 es neutro aditivo.

5. Como a, b

R, y R es un campo, los numeros reales a y b tienen inversoaditivo, los cuales denotamos a y b respectivamente. Si definimosz2 como z2 = (a) + (b) = a b tenemos que

z1 + z2 = (a + b) + (a b) = (a a) + (b b) = 0 + 0As z2 = a b es el inverso aditivo de z1 y solemos denotarlo comoz1.

6. Como z1z2 = (acbd) +(ad+bc) donde acbd y ad +bc son numerosreales, tenemos que el producto es cerrado.

7. Sabemos que, en el campo de los numeros reales el producto es con-

mutativo, tenemos as que ac bd = ca db y ad + bc = da + cb, dedondez1z2 = (ac bd) + (ad + bc) = (ca db) + (da + cb) = z2z1

por lo que el producto es una operacion conmutativa en C.


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1.3. EL ALGEBRA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 13

8. Usando las propiedades de campo de los numeros reales es facil ver

que:a(ce df) b(de + cf) = (ac bd)e (ad + ac)f

y que

b(cedf)+a(de+cf) = (bc+ad)e+(bd+ac)f = (ad+bc)e+(acbd)f,

por tanto:

z1(z2z3) = (a + b) + [(ce df) + (de + cf)]= [a(ce df) b(de + cf)] + [b(cd df) + a(de + cf)] = [(ac bd)e (ad + ac)f] + [(ad + bc)e + (ac bd)f] = [(ac bd) + (ad + bc)] (e + f )= (z1z2)z3

tenemos as que el producto en C es asociativo.

9. Para cada x R tenemos que x0 = 0, x1 = x, y x + 0 = x, se sigue deaqu que

z1 = a + b = (a +0)+(0+ b) = (a1b0)+(a0 + b1) = (a +b)(1+0)

Esto implica que 1 + 0 es neutro multiplicativo.

10. Para ver como obtener el inverso de un numero complejo distinto de0 + 0, supondremos que a, b R,y alguno de ellos no es cero, enparticular, a2 + b2 = 0. Si w = x + y fuera inverso multiplicativo de z1tendramos que 1 + 0 = z1w = (a +b)(x+ y) = (axby) +(ay +bx),tenemos as el siguiente sistema de ecuaciones:

1 = ax by, 0 = bx + ay

Como a2 + b2 = 0, podemos ver que la soluci on a este sistema deecuaciones esta dada como

x =

a

a2 + b2 , y = b

a2 + b2

As w =a

a2 + b2 b

a2 + b2 es inverso multiplicativo de z1 y solemos

denotarlo como w = z11 .


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11. Para mostrar la propiedad distributiva del producto con respecto a

la suma, nuevamente utilizaremos las popiedades de campo de losnumeros reales.

z1(z2 + z3) = (a + b)[(c + e) + (d + f)]= [a(c + e) b(d + f)] + [b(c + e) + a(d + f)]= [(ac bd) + (ae bf)] + [(ad + bc) + (af + be)]= [(ac bd) + (ad + bc)] + [(ae bf) + (af + be)]= z1z2 + z1z3

Al campo de los numeros complejos lo denotamos nuevamente con laletra C

Notese que la funcion : R C dada como (a) = a+0 es un monomor-fismo de campos, por lo que R es un subcampo de C. As, identificaremos elnumero real a con el numero complejo a + 0, esto es, a = a + 0.

Por otra parte, si z = 0 + y simplemente escribiremos z = y.Una vez realizadas estas aclaraciones el ejemplo 3 nos dice que 2 = 1,

por lo que es una solucion a la ecuacion x2 + 1 = 0.

Proposicion 1.3.1. C es un R-espacio vectorial de dimension dos.

Demostracion. Si z1 = x1 + y1 y z2 = x2 + y2 son dos numeros complejos,

tenemos que z1 + z2 := (x1 + x2) + (y1 + y2), y si R, entonces z1 =x1 + y1, como consecuencia del teorema anterior, tenemos que C es unRespacio vectorial.

Aun mas, los elementos 1 + 0, 0 + 1 constituyen una base de C comoR-espacio vectorial, pues x + y = x(1+0) + y(0+1) para cada x + y C,y claramente los elementos 1 + 0, 0 + 1 son R-linealmente independientes,por tanto C es un Respacio vectorial de dimension dos.

Es claro ahora que podemos definir un Risomorfismo de C en R2 como(x+y) = (x, y). Claramente respeta las operaciones de espacio vectorial,y la inversa de esta funcion esta dada como 1(x, y) = x + y.

1.4. El diagrama de Argand

En particular, esto nos permite pensar al numero complejo a+b como unpar ordenado (a, b), y podemos representar al numero complejo a + b con el


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1.4. EL DIAGRAMA DE ARGAND 15

punto cuyas coordenadas cartesianas son (a, b), referidas generalmente en un

sistema ortogonal de ejes. Esta representacion se conoce como el diagramade Argand, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.1: Representacion de un numero complejo como punto en R2

Por razones historicas el numero b se denomina la parte imaginaria delnumero complejo, y el eje vertical se denomina el eje imaginario, mientrasque el eje horizontal se denomina el eje real . Las personas que se introducenen el tema pueden pensar que no existe un numero real cuyo cuadrado sea1, y consecuentemente podemos imaginar un numero cuyo cuadrado sea1, entonces este numero es imaginario.

Si representamos un numero complejo z = a + b no solo por el parordenado (a, b) en el diagrama de Argand, sino como la flecha que vadel origen al punto (a, b), podemos pensar a los numeros complejos comovectores.

Luego entonces, si tenemos los numeros complejos z1 y z2, como seg-mentos dirigidos en el plano, la suma z1 + z2 corresponde a la diagonal delparalelogramo que determinan z1 y z2

Figura 1.2: Representacion geometrica de la suma de numeros complejos.


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1.5. Algunas propiedades de los numeros

complejos

Definicion 1.5.1. Si x y y son numeros reales, y z es el numero complejox + y, entonces al numero complejo x y se le denomina el conjugado dez, y se denota z = x y.

El numero x es la parte real de z, y suele escribirse x = Re(z). Por otraparte, el numero y es la parte imaginaria de z, y se denota y = Im(z).

Figura 1.3: El conjugado de un numero complejo

Ejemplo 2.

1. Si z = 3 + 5, entonces z = 3 5, Re(z) = 3, y Im(z) = 52. Si z = 8 13, entonces z = 8 + 13, Re(z) = 8, y Im(z) = 13.

La conjugacion por un numero complejo, nos permite definir una funcionCvaludada de variable compleja : C C como (z) = z.

Al identificar C con el plano euclidiano R2 podemos interpretar estafuncion como la reflexion con respecto al eje x. Es claro que z = x + y = z,lo cual corresponde al hecho geometrico que la reflexion en una lnea rectaes un operador de periodo dos, como podemos apreciar en la figura ( ??).

Tenemos ademas que Re(z) corresponde a la proyeccion ortogonal dez con respecto al eje x e Im(z) corresponde a la proyeccion ortogonal conrespecto al eje y.

Teorema 1.5.1. Si z y w son numeros complejos, entonces:

1. z + w = z + w.

2. zw = zw.

3. Re(z) =z + z

2.


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1.5. PROPIEDADES 17

4. Im(z) =z z

2.

5. Siz es un numero complejo distinto de cero, entonces zz es un numeroreal y positivo

Demostracion. Si z = a + b y w = c + d, entonces:

1. z + w = (a b) + (c d) = (a + c) (b + d) = z + w.2. zw = (a b)(c d) = (ac bd) (ad + bc) = zw.

3.z + z

2=

(a + b) + (a b)2

=2a + 0

2= a = Re(z).

4.z

z

2 =(a + b)

(a

b)

2 =0 + 2b

2 = b = Im(z).

5. zz = (a + b)(a b) = (a2 b(b)) + (a(b) + ba) = a2 + b2.Como a, b R, entonces a2 + b2 0, y como alguno de ellos es distintode cero, entonces a2 + b2 = 0.

Como consecuencia del inciso 5 del teorema anterior, la raz cuadrada dezz esta bien definida, lo cual nos permite definir una funcion R valudadade variable compleja | | : C R como |z| = zz.Definicion 1.5.2. Si z es un numero complejo, el modulo de z, que de-notaremos

|z

|, se define como la raz cuadrada no negativa de zz, esto es,

|z| = zzAl modulo de un numero complejo tambien se le suele llamar norma.

Figura 1.4: El modulo de un numero complejo

Cuando z = x + 0 es un numero real, z = z = x, as zz = x2 0, por loque

zz =

x2 = |x|. Por tanto, el modulo de un numero real coincide con


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su valor absoluto, y como consecuencia del teorema de Pitagoras, el modulo

de un numero complejo z = a + b coincide con la distancia que hay delpunto (a, b) al origen (0, 0).

Ejemplo 3.

1. Si z = 8 15, entonces |z| = 289 = 17.2. Si z = 24 + 7, entonces |z| = 625 = 25.3. Si z = 5 12, entonces |z| = 169 = 13.4. Si z = 1 + , entonces |z| = 2.Ademas se satisfacen las siguientes propiedades:

Proposicion 1.5.1. Si z y w son dos numeros complejos, entonces:

1. |z| = |z|.2. |zw| = |z||w|.

3. Siw = 0, entonces z

w

= |z||w| .4. |Re(z)| |z|5. (La desigualdad del triangulo) |z + w| |z| + |w|.

6. | |z| |w| | |z w|.Demostracion. Si z y w son dos numeros complejos, entonces:

1. Como z = z, entonces zz = z z, de donde

|z| =

zz =

z z = |z|.

2. |zw| = zwzw = (zz)(ww) = zzww = |z||w|.3. Si w = 0, entonces |w| = 0, como consecuencia del inciso anterior

bastara mostrar que |w1| = 1/|w|. Como ww = |w|2, y w = 0 tenemosque

ww|w|2 = 1 de donde w1 = w|w|2Por tanto

|w1| = w|w|2

= |w||w|2 = 1|w|


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1.5. PROPIEDADES 19

4. Si z = x+y, entonces x = Re(z), pero |x| =

x2, y como x2 x2+y2,se sigue que |x| x2 + y2 = |z|.

5. Para demostrar que |z + w| |z| + |w|, notamos que zw = zw, dedonde, zw + zw = 2Re(z). Por tanto

|z + w|2 = (z + w)(z + w)= zz + zw + zw + ww= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2 |z|2 + 2|zw| + |w|2= |z|2 + 2|z||w| + |w|2= (|z| + |w|)2

extrayendo raz cuadrada a ambos miembros se obtiene el resultado

deseado.

6. Como consecuencia de la desigualdad del triangulo tenemos que |z| =|(z w) + w| |z w| + |w|, de donde |z| |w| |z w|.Analogamente, |w| = |(wz) +z| |wz|+ |z|, as |w||z| |wz|.Como consecuencia de lo anterior | |z| |w| | |z w|.

Como consecuencia de esta proposicion tenemos que, si z = 0, entonces

z1 =z

|z|2 .

Figura 1.5: El inverso de un numero complejo.

Proposicion 1.5.2 (La desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si z1

, . . . , zn

yw1, . . . , wn son numeros complejos, entonces

nj=1

zjwj

2

|zj |2

|wj|2.


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Demostracion. Si A =nj=1

|zj|2, B =nj=1

|wj |2 y C =nj=1

zjwj , entonces B

0, si B = 0, entonces wj = 0 para j = 1, . . . , n, as C = 0.

Supongamos entonces que B = 0, en particular B > 0 y

nj=1

|Bzj Cwj|2 =nj=1

(Bzj Cwj)(Bzj Cwj

= B2n

j=1|zj|2 BC

n

j=1zjwj BC

n

j=1zjwj + |C|2

n

j=1|wj|2

= B2A B|C|2= B(AB |C|2)

Como cada termino de la expresion

nj=1

|Bzj Cwj|2 es no negativo, tenemos

que B(AB |C|2) 0, y como B > 0, entonces AB |C|2 0, comoesperabamos demostrar.

1.6. Froma polar de un numero complejo

Definicion 1.6.1. Siz es un numero complejo distinto de cero, el argumen-to, o amplitud, de z, que denotaremos arg(z), se define como el angulo que hay del eje real positivo al vector determinado por el punto z, y solemosescribirlo como:

arg(z) = .

Figura 1.6: El argumento de un numero complejo.


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1.6. FROMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO 21

El angulo se considera positivo si se mide en sentido contrario a las

manecillas del reloj (levogiro), y negativo en el caso contrario (dextrogiro).En particular, es la longitud del arco en la circunferencia unitaria que vadel vector (1, 0) al vector z/|z|, medido en levogiro.

Al numero complejo z = 0 no le asignamos argumento. El argumentoqueda definido salvo multiplos enteros de 2, esto es, si es un valor admis-ible para el argumento, tambien lo es + 2k para cualquier numero enterok, por lo que podemos pensar algunas veces arg z como { + 2k; k Z}.Podemos terminar con esta ambiguedad si especificamos un rango particularpara el angulo, esto se conoce como determinar una rama para el argumen-to, se suele considerar 0 0 < 2 o bien < . Aunque puedeconsiderarse cualquier intervalo semiabierto de longitud 2.

Ahora, si z= 0 y z = a + b y consideramos el triangulo cuyos lados son

los vectores determinados por a, b y z tenemos que:

cos() =a

|z| , lo cual implica que a = |z| cos()y

sin() =b

|z| , de donde b = |z| sin().

Consecuentemente z = a + b = |z| cos() + |z| sin() = |z|(cos() +sin())

El numero complejo cos() + sin() suele abreviarse como e, o bienexp(), esto es,

e := cos() + sin()

Definicion 1.6.2. Si z = 0 es un numero complejo, r = |z| y = arg(z),entonces z = r(cos() + sin()) = re. Esta representacion se denomina laforma polar del numero complejo z.

Ejemplo 4.

1. Si z0 = 1 + , entonces |z0| =

12 + 12 =

2 y arg(z0) = /4,por lo que, la forma polar del numero complejo z0 esta dada comoz0 =

2e

4 .

2. Si z = 1 , entonces |z| =

12 + (1)2 = 2 y arg(z1) = 7/4,

por lo que, la forma polar del numero complejo z1 esta dada como

z1 = 2e74 .

3. Si z2 = 1 , entonces |z2| =

(1)2 + (1)2 = 2 y arg(z2) =5/4, por lo que, la forma polar del numero complejo z2 esta dada

como z2 =

2e54 .


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Si a

= 0, entonces tan() =

b

a. Restringiendo el dominio de la funcion

tangente a un intervalo donde sea biyectiva, por ejemplo, (/2, /2) ten-emos que si a = 0 entonces:

= arctan

b

a

.

Cuando a = 0 tenemos que = /2 si b > 0 y = /2 si b < 0. Cabenotar que la funcion arctan esta bien definida salvo multiplos enteros de, no de 2, como es el caso de la funcion argumento. El problema radicaen que los vectores determinados por z y z tienen el mismo modulo ydirecciones opuestas, ya que ba =

ba , notamos as que arg(z) y arg(z) estan

relacionados como arg(z) = arg(z)+, en general arg(z) = arg(z)+(2k+1) con k Z.Representar un numero complejo z en terminos de su modulo y su ar-

gumento, nos permite dar una interpretacion geometrica al producto, estoes:

Proposicion 1.6.1. El modulo de un producto es el producto de los modulosy el argumento de un producto es la suma de los argumentos de los factoresmodulo 2.

Ya que el argumento no es una funcion, debemos entender esta proposi-cion de la siguiente manera, si 1 y 2 son valores admisibles para arg(z1) y

arg(z2), entonces = 1 + 2 es un valor admisible para arg(z1z2).

Figura 1.7: El producto de dos numeros complejos.

Demostracion. Si z1 = r1(cos 1 + sin 1) y z2 = r2(cos 2 + sin 2), portrigonometra elemental tenemos que:


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z1

z2

= [r1

(cos 1

+ sin 1

)][r2

(cos 2

+ sin 2

)]= r1r2[(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2)

+(cos 1 sin 2 + sin 1 cos 2)]= r1r2[cos(1 + 2) + sin(1 + 2)]

esto es, arg(z1z2) = arg z1 + arg z2 y |z1z2| = |z1||z2|.El teorema anterior exhibe el hecho fundamental que multiplicar numeros

complejos es sumar sus argumentos y multiplicar sus modulos. Cabe recalcarque la suma de los argumentos no necesariamente es el argumento del pro-ducto, aun si se toman los argumentos en el intervalo [0 , 2). Por ejemplo,si z = entonces arg z = 3/2, as arg()() = 3/2 + 3/2 = 3 = (mod 2).

Como consecuencia de este resultado tenemos que, si z es un numerocomplejo distinto de cero, entonces:

|z1| = 1|z| y arg z1 = arg(z).

Tambien podemos analizar el producto de numeros complejos de la si-guiente manera: Sea w C un numero complejo fijo, y definamos la apli-cacion w : C C como w(z) = wz; la multiplicacion por w. Ademas, latransformacion w es Rlineal, pues:

w(z1 + z2) = w(z1 + z2) = wz1 + wz2 = w(z1) + w(z2),

para cada R, z1, z2 C.Al identificar C con R2 tenemos que w es la aplicacion que simplemente

gira al vector z un angulo igual al argumento de w, y modifica la longituddel vector z por el factor |w|.

Figura 1.8: La transformacion Rlineal w


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Si w = a + b y z = x + y, tenemos:

Cw C

R2

w1 R2

z = x + y wz = (ax by) + (ay + bx)

(x, y) (ax by,bx + ay)

Como toda transformacion lineal del plano puede representarse por unamatriz, entonces la matriz de w es:

a bb a

es decir:

w xy = a bb a xy = ax bybx + ay Como consecuencia de la forma polar para el producto de dos numeros

complejos, puede verse por induccion que, si zj = rj(cosj + sin j) paraj = 1, . . . , n, entonces:

z1 zn = r1 rn(cos + sin )

donde = 1 + 2 + . . . + n.La formula para el producto de dos numeros complejos en forma polar

es muy util para calcular las potencias zn con n 0 de un numero complejodistinto de cero, ya que, si z = re, utilizando induccion sobre n podemos

ver facilmente que |zn| = rn y arg(zn) = n, de dondezn = rnen

Por otra parte, como z1 = r1e, tenemos que la formula zn = rnen secumple para cada numero entero n.

Proposicion 1.6.2 (La formula de DMoivre. ). Si z = r(cos + sin ) yn Z, entonces

zn = rn(cos n + sin n)

Como consecuencia de la formula de DMoivre podemos resolver la ecuacionzn = w, esto es, podemos encontrar las races n

esimas de cualquier numero

complejo no nulo conociendo su modulo y su argumento.

Proposicion 1.6.3. Si w = r(cos + sin ) es un numero complejo nonulo y n N, entonces w tiene exactamente n races nesimas dadas de lasiguiente forma:


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zk =nr cos + 2k

n

+ sin + 2k

n

, k = 0, 1, . . . , n 1

Demostracion. Observamos que si w = 0, entonces solo hay una unica raznesima de w, a saber z = 0. Supongamos ahora que w = 0, y escribamosloen forma polar w = re, si z = e es una raz nesima de w, esto es, siw = zn, como consecuencia de la formula de DMoivre tenemos que zn =nen, de donde n = r = |w| y n = + 2k, para algun entero k, dedonde:

z = n

r

cos

+ 2k

n

+ sin

+ 2k

n

Para determinar cuantas races nesimas hay, dado k Z, dividiendolo

entre n obtenemos k = nq+ r con q, r Z y 0 r < n, por lo tanto

= + 2k

n=

+ 2(nq+ r)

n=

+ 2r

n+ 2q,

por lo que el angulo correspondiente a ( + 2k)/n es el mismo que el de( + 1r)/n pues difieren por el multiplo 2q de 2. Por tanto, podemosrestringir a k Z para que tome los valores 0 k < n 1. Por otra parte,dados j = k ente 0 y n 1, los argumentos ( + 2j)/n y ( + 2k)/n danlugar a complejos diferentes. Si

+ 2j

n = + 2k

n + 2t

entonces + 2j = + 2k + 2tn, es decir, j = tn + k por tanto j k = tncon 0 j,k < n1, la unica posibilidad de que n divida a j k es j k = 0,por tanto, j = k.

Es decir, todo numero complejo distinto de cero tiene exactamente nraces nesimas complejas, dichas races tienen el mismo modulo, y susargumentos se encuentran igualmente espaciados.

Geometricamente, las races nesimas de un numero complejo, distintode cero, son los vertices de un polgono regular de n lados.

Ejemplo 5.

Las cinco soluciones zk con k = 0, 1, 2, 3, 4, de la ecuacion zn = 1 son:

zk = cos

2k

5

+ sin

2k

5

, k = 0, 1, 2, 3, 4.


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As, las races quintas de la unidad son:

z0 = 1;

z1 = exp

2

5

=

1

1 +

5

+

5 + 2

5

1 +

5

;

z2 = exp

4

5

= 1

2

3 +

5

2

+

12

5 5

2

;z3 = exp

4

5

= 1

2

3 +

5

2

1

2

5 5

2

; yz4 = exp 25 = 11 + 55 + 2

5

1 + 5 .Como podemos apreciar en la figura (1.9), las races quintas de la unidad

corresponden a los vertices de un pentagono regular, con centro en el origen,el cual tiene uno de sus vertices ubicado en el punto 1. Ademas, z4 = z1 yz3 = z2.

Figura 1.9: Las races quintas de la unidad

En general, las races nesimas de la unidad, esto es, las soluciones dela ecuacion zn = 1 estan dadas como:

= cos

2

n

+ sin

2

n

Si es una raz distinta de uno, esto es, = 1 todas las races puedenexpresarse como 1, , 2, . . . , n1, y como

= 1 es solucion de la ecuacion:

0 = zn 1 = (z 1)(zn1 + zn2 + . . . + z2 + z + 1),tenemos que es solucion de la ecuacion ciclotomica:

zn1 + zn2 + . . . + z2 + z + 1 = 0.


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1.7. GEOMETRIA ANALITICA EN C 27

1.7. Geometra analtica en C

En la geometra analtica clasica la ecuacion de un lugar geometrico seexpresa como una relacion entre las variables x y y, tomando en cuenta que,al identificar R2 con C tenemos x = z+z2 y y =

zz2i , entonces podemos

expresar un lugar geometrico en terminos de las coordenadas z y z. As,podemos pensar a una ecuacion en variable compleja como una ecuacion, osistema de ecuaciones, en dos variables reales.

Por ejemplo, sabemos que una circunferencia con centro en un puntoz0 = (x0, y0) y radio r > 0 es el lugar geometrico de los puntos z = (x, y)que equidistan la distancia r del punto z0, esto es, |z z0| = r.

Una lnea recta L en C puede darse en su forma parametrica por mediode la ecuacion z = a + tb, donde a y b son numeros complejos, b

= 0 y t es

un parametro real, es decir:

L = {z C | z = a + tb, con t R}Como z L si, y solo si existe t R tal que z = a+tb, equivalentemente,

t =z a

b R.

Esto es, z L si, y solo si Im

z ab

= 0. De donde,

L =

z C | Im

z ab

= 0

.

Dos ecuaciones z = a + tb y z = a + tb representan lneas paralelas sib es multiplo real de b, y representan la misma lnea si, y solo si, a a y bson multiplos reales de b. La direccion de esta lnea queda determinada porarg(b). El angulo entre las lneas z = a + tb y z = a + tb esta dado comoarg(b/b); notese que este angulo solo depende del orden en que se dan laslneas. Dos lneas son ortogonales si b/b tiene parte real cero.

La elipse con focos en w1 y w2, y semieje mayor , se determina por lasiguiente expresion:

{z C; |z w1| + |z w2| = 2}.De manera similar, la ecuacion de la hiperbola con focos en w1 y w2, y

eje transversal , se determina por la siguiente expresion:

{z C; | |z w1| |z w2| | = 2}.


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1.8. Otras propiedades de C

Si bien, el campo de los numeros complejos tiene propiedades similares ala de los numeros reales, tambien tiene propiedades que lo definen en formaunica. En la presente seccion mencionaremos algunos de estos resultados.

Proposicion 1.8.1. SeaK un campo que contiene a los reales y para el cualtoda ecuacion cuadratica tiene solucion, entonces K contiene a C.

Demostracion. Sea j K una solucion de la ecuacion x2 + 1 = 0. Entonces

F = {x +jy ; x, y R} K

es un subcampo de K isomorfo a C.

Es claro que F constituye un subcampo de K. Sea : C K el morfismodado por (x + y) = x +jy . Claramente es un homomorfirmo de C en Fy (C) = F, por lo que basta demostrar que es inyectiva.

Si (x1 + y1) = (x2 + y2), entonces x1 + jy1 = x2 + jy2, por lo que(x1 x2) +j(y1 y2) = 0. Finalmente, si y1 = y2, entonces

j =x1 x2y1 y2

y x2 + 1 = 0 tiene una soluci on real, lo cual es falso, de donde y1 = y2,z1 = x2 y K contiene un subcampo F isomofo a C.

Otro resultado que describe a los numeros complejos es:Teorema 1.8.1 (El Teorema de Frobenius). SiK es un campo tal queR Ky dimR K < , entonces K = R o K = C.

La prueba de este resultado es tema de un curso mas avanzado, por loque no se incluye en estas notas.

1.8.1. C no es un campo bien ordenado.

Pese a que en R2 podemos definir distintos tipos de ordenes parciales ,entre otros el lexicografico, cabe notar que no puede existir un buen ordenen C compatible con las operaciones de campo definidas en C.

Si as fuera, deberamos tener una clase positiva C+

la cual contiene al1 = 1 + 0 y al cuadrado de cualquier numero complejo distinto de cero. Si C+, entonces 2 C+, pero 2 = 1, como 1 C, como consecuenciade el principio de tricotoma, 1 no puede estar en la clase positiva C+,lo cual contradice el hecho de que este en C+, de donde C+, pero


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1.8. OTRAS PROPIEDADES DE C 29

suponer esto implicara que (2) = 1, lo cual nos conduce nuevamente auna contradiccion.As, no es posible construir una clase positiva en C compatible con lasoperaciones de campo.

1.8.2. C es un campo completo.

De manera similar a como se hace en R, podemos decir que una sucesionen C es una funcion s : N C. Si n N, a su imagen bajo s la denotamoscomo s(n) = sn. Tambien usamos la notacion {sn} para una sucesion en C.

Usando el modulo de los numeros complejos sn, podemos definir losconceptos de sucesion de Cauchy y de lmite de una sucesion en C

Definicion 1.8.1. Se dice que la sucesion de numeros complejos {sn} esuna sucesion de Cauchy si dado , un numero real positivo, existe N Ntal que |sn sn| < siempre que n, m N.

Se dice que un numero complejo s es el lmite de la sucesion{sn} si paracada numero real positivo, existe un entero positivo N tal que |sn s| < siempre que n N.

Si la sucesion {sn} tiene un lmite en C diremos que la sucesion esconvergente.

Si {sn} es una sucesion en C, y escribimos cada sn = an + bn con

an, bn R, tenemos las sucesiones {an} y {bn} en R. Recprocamente, sitenemos dos sucesiones {an} y {bn} en R, y definimos sn = an+bn, entonces{sn} es una sucesion en C.Proposicion 1.8.2. Sea{sn} una sucesion de numeros complejos, consn =an + bn. Entonces:

1. La sucesion {sn} es de Cauchy si y solo si las sucesiones {an} y {bn}son de Cauchy en R.

2. La sucesion{zn} converge a s = a + b en C si y solo si{an} convergea a y {bn} converge a b en R.

Demostracion. 1. Sea {sn}, con sn = an + bn, una sucesion de Cauchy enC.

Como |Re(w)| |w| y Im(w) = Re(w), de donde |Im(w)| |w|, paracada numero complejo w.


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Dado un numero real positivo, como {sn} es una sucesion de Cauchy,existe un entero positivo tal que |sn sm| < siempre que n, m N, dedonde :

|an am| = |Re(sn sm)| |sn sm| < y

|bn bm| = |Im(sn sm)| |sn sm| < siempre que n, m N.

Reciprocamente, dado un numero real positivo, como las sucesiones{an} y {bn} son de Cauchy en R existe un entero positivo N tal que|an am| < /2 y |bn bm| < /2 siempre que n, m N.

Como consecuencia de la desigualdad del triangulo tenemos:

|sn sm| = |(an am) + (bn bm)| |an am| + |bn bm| < siempre que n, m N. Es decir, {sn} es una sucesion de Cauchy en C.

2. Supongamos que la sucesion {sn} converge a s en C, con sn = an+bny s = a + b. Dado un numero real positivo , existe un entero positivo Ntal que |sn s| < , de donde:

|an a| =

(sn s) + (sn s)2

|sn s|

2+

|sn s|2

= 2|sn s|

2< ,

y

|bn b| =(sn s) (sn s)2

|sn s|2 + |sn s|2 = 2 |sn s|2 < ,si n N.

Finalmente, si {an} y {bn} son sucesiones en R que convergen a losvalores a y b respectivamente, dado un numero real positivo , existe unentero positivo N tal que |an a| < /2 y |bn b| < /2 si n N. Sisn = an + bn y s = a + b, entonces:

|sn s| = |(an + bn) (a + b)| = |(an a) + (bb b)| |an a| |bn b| <

siempre que n N.Por lo que, la sucesion {sn} convege a s.


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1.9. EL PLANO EXTENDIDO. 31

Como R es un campo completo, toda sucesion de Cauchy en R converge

en R. As, las partes real e imaginaria de una sucesion de Cauchy {sn} enC convergen en R a dos numeros, digamos a y b, tenemos entonces que lasucesion de Cauchy {sn} converge al numero complejo s = a + b.

Concluimos de aqu que C es un campo completo.

1.9. El plano extendido.

Algunas veces sera necesario estudiar el comportamiento de una funcionde variable compleja cuando |z| crezca arbitrariamente, por lo cual resultaconveniente agregar al plano complejo un punto ideal, llamado el punto al in-finito, que denotamos . As, el plano extendido es C{} C. Tambienintroduciremos una funcion distancia en C par discutir las propiedades decontinuidad, y aquellas nuevas propiedades se relacionen con el concepto delmite, y que tenga una funcion en el punto al infinito.

Un modelo que representa el plano extendido lo constituye la esfera S2

en R3, dada por:

S2 = {(x1, x2, x3) R3; x21 + x22 + x23 = x3}la cual es tangente al plano {x3 = 0} en el origen, los puntos N = (0, 0, 1), S =(0, 0, 0) son los polos norte y sur respectivamente, y la intersecci on de S2

con el plano {x3 = 1/2} se denomina el ecuador. Si N = (0, 0, 1), pode-mos identificar S2

\ {N

}con R2 donde identificamos R2 con el plano =

{(x,y, 0); x, y R2}, y el punto N con el punto al infinito.

Figura 1.10: La proyeccion estereografica.


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Para esto, emplearemos la proyeccion estereografica, : S2 C, lacual esta dada como sigue: (N) = . Si u = ( , , ) S

2

\ {N} con-sideremos la lnea u que une el punto N con el punto u. Esta recta inter-secta al plano en un punto, el cual denotamos (u) = (x,y, 0), esto es,(u) = u . Claramente (u) = (v) si, y solo si u = v, es decir, esinyectiva.

Ademas, es sobre, esto es, si z , consideramos la recta que pasapor los puntos N y z, dicha recta corta exactamente en un punto u S2, enparticular (u) = z.

Para obtener las funciones coordenadas, supongase que u = ( , , ) y(u) = (x,y, 0), y observemos los triangulos semejantes 0 con vertices(0, 0, 1), (x, 0, 0), (0, 0, 0) y 1 con vertices (0, 0, 1), (, 0, ), (0, 0, ), tenemos

que x1

= 1 .

De manera analoga, si consideramos los triangulos semejantes 3 convertices (0, 0, 1), (0, y, 0), (0, 0, 0) y 4 con vertices (0, 0, 1), (0, , ), (0, 0, ),

tenemos quey

1=

1 .Finalmente, considerando los triangulos semejantes 5 con vertices (0, 0, 1),

(0, 0, 0), (x,y, 0) y 6 con vertices (0, 0, 1), (0, 0, ), ( , , ) tenemos que

r2 = x2 + y2 =2 + 2

(1 )2 =

1 .

Figura 1.11: La proyeccion estereografica.

De lo anterior obtenemos las siguientes relaciones:


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1.9. EL PLANO EXTENDIDO. 33

x =

1 , y =

1 , r2

= x2

+ y2

=

1 (1.1)Por otra parte, como r2 = 1, entonces =

r2

1+r2 , y de las ecuaciones

anteriores deducimos que = x(1 ) = x1+r2 y = y(1 ) = y1+r2 .

=x

1 + x2 + y2, =

y

1 + x2 + y2, =

x2 + y2

1 + x2 + y2(1.2)

Esto es, hay una correspondencia uno a uno entre los puntos de la esferay el plano complejo extendido.

Podemos notar ademas que, bajo la proyeccion estereografica, los puntosdel ecuador corresponden a la circunferencia unitaria con centro en el origen,

el hemisferio sur corresponde a los puntos en el interior de la circunferencia,y el hemisferio norte a los puntos en el exterior de la circunferencia. En par-ticular, la reflexion en el crculo unitario corresponde a reflejar con respectoal plano que pasa por el ecuador.

A continuacion enumeramos algunas propiedades de la proyeccion es-tereografica.

Teorema 1.9.1. Bajo la proyeccion estereografica las circunferencias en laesfera se proyectan en lneas rectas o circunferencias en el plano, y viceversa.

Figura 1.12: Propiedades de la proyeccion estereofrafica.

Demostracion. Una circunferencia en la esfera esta dada como la intersecionde la esfera x21 + z

22 + x

23 = 1 con un plano Ax1 + Bx2 + Cx3 = D, donde


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Definicion 1.9.1. Sea {zm} una sucesion de numeros complejos, y f :C C una funcion.

1. Diremos que la sucesion {zn} tiende a cuando: Para cada R > 0,exista N N tal que, si N n entonces |zn| > R.

2. El lmite cuando z tiende a de la funcion f(z) existe, y es igual aun numero complejo z0, cuando: Para cada > 0, exista una R > 0tal que, si |z| R entonces |f(z) z0| < .Si dicho lmite existe lo denotaremos lm

zf(z) = z0

3. El lmite cuando z tiende a z0 de la funcion f(z) existe, y es igual a

, cuando: Para cada R > 0, exista una > 0 tal que, si

|z

z0

|<

entonces |f(z)| R.Si dicho lmite existe lo denotaremos lm

zz0f(z) =

4. El lmite cuando z tiende a de la funcion f(z) existe, y es igual a si: Para cada N > 0, exista una R > 0 tal que, si |z| R entonces|f(z)| > N.Si dicho lmite existe lo denotaremos lm

zf(z) =

Por ejemplo, si a,b,c,d C son tales que adbc = 0, entonces la funciont : C \{{d/c} C definida como t(z) = az+bcz+d , es continua, y su imagen es

C \ {a

c}.Podemos notar que lm

zd/c

az + b

cz + d=

bd adc lmzd/c

cz + d= , mientras que

lmz

az + b

cz + d= lmw0

aw + bcw + d

= lmw0

a + bw

c + dw=

a

c, por lo que t se extiende a

una funcion T : C C definida por T(z) = az+bcz+d , la cual es biyectiva, ycontinua.

Basandonos nuevamente en la proyeccion estereografica, de acuerdo conesta definicion, un punto esta cerca del punto cuando este fuera de uncrculo arbitrariamente grande.

Basados en esto, podemos ver que, si

{zn

}es una sucesion de numeros

complejos, entonces:

1. zn z0 si, y solo si, d(zn, z0) 0.2. zn si, y solo si, d(zn, ) 0.


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1.10. EJERCICIOS 39

1.10. Ejercicios

1. Efectue cada una de las operaciones indicadas, y represente grafica-mente los vectores dados:

(a) (3 4) + (8 + 2) (b) 3(4 + ) 2(2 1 + 7)(c) (2 + 3)(2 ) (d) 4

3 + 2

(e) (2 ) [2(1 + ) + 3(1 )] (f) 3 + 9 + 16

2 5 + 10 15(g)

(2 + )(1 2)(2 + 3)(1 + )2

(h) 2

1 1 +

2 3

1 +

1 2

2. Si z1 = 1 + , z2 = 4 2, z3 = 2

3, encuentre el valor numerico

de cada una de las siguietnes expresiones:(a) z21 + 2z1 + 4 (b) |3z2 2z1|2(c) (z3 + z3)

5 (d) |z1z2 + z2z1|(e)

z1 z2 + z1 + z2 + 1 (f) 12

z2z2

z2z2

3. Explique el error en el siguiente razonamiento:

1 = 11 =

(1)(1) =

1 = 1.

Por tanto 1 = 1.

4. Demuestre que Re (z) = Im z y que Im (z) = Re z.5. Demuestre por induccion que si z1 y z2 son dos numeros complejos

cualesquiera entonces

(z1 + z2)n =

nk=

nk

znk1 z

k2 (n = 1, 2, . . .)

donde nk

=

n!

k!(n k)! , (k = 0, 1, 2, . . . , n)

y donde se acepta el convenio de que 0! = 1.

6. Los vectores posicion de los puntos A, B y C del triangulo ABC estandados por z1 = 1 + 2, z2 = 4 2 y z3 = 1 6 respectivamente.Demuestre que ABC es un triangulo isoceles y encuentre las longitudesde los lados.


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1.10. EJERCICIOS 41

16. Encuentre el valor numerico de cada una de las siguientes expresiones:

a) [5(cos400 + sin400)][3(cos 200 + sin200)].

b) [2(cos300 + sin300)]7.

c)[2(cos 400 + sin400)]4

[8(cos 600 + sin600]3.

d)

3 3 +

41 +

1 5

.

17. Demuestre que

a) sin4sin

= 8 cos3 4 = 2 cos3 + 6 cos 4.b) cos4 = 8sin4 8sin2 + 1.

18. Encuentre cada una de las races indicadas y localce las graficamente.

a) Las races cubicas de 64.

b) Las races cuadradas de 2

3 2.c) Las races cuartas de 128.d) Las races sextas de 64.

19. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) z4 + 625 = 0.

b) z12 + 1 =

3.

c) z2 5 + 12 = 0.d) z3 = 11 2.e) 5z2 + 2z + 10 = 0.

f) z5 2z4 z3 + 6z 4 = 0.g) z4 + z2 + 1 = 0.

h) (1 + z)5 = (1 z)5.

20. Si p(z) es un polinomio en la variable z con coeficientes reales, de-muestre que p(z) = p(z).


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21. Una nesima raz primitiva de la unidad es un numero complejo tal que 1, ,

2

, . . . , n1

son las n races nesimas de la unidad. De-muestre que si a y b son primitivas de ordenes n y m de la unidad,entonces ab es una raz primitiva de la unidad para algun orden k,

22. Si = 1 es una raz nesima de la unidad, evalue la siguiente expre-sion:

1 + 2+ 32 + . . . + nn1

23. Utilice la ecuacion binomial (a + b)n =nk=0

n

k

ankbk, y la formula

de DMoivre para demostrar que

cos n = cosn

n2 cosn2 sin2 +n4 cosn4 sin4 . . .y que

sin n =

n

1

cosn1 sin

n

3

cosn3 sin3 + . . . .

24. Demuestre la identidad:

sin

nsin

2

n sin (n 1)

n=

n

2n1

(Sugerencia: El producto dado puede escribirse como 1/2n1 veces el

producto de las races distintas de cero del polinomio (1 z)n

1.)25. Demuestre que:

a) cos + cos( + ) + + cos( + n) = sin12(n + 1)

sin 12cos( +

1

2n).

b) sin + sin( + ) + + sin( + n) = sin12(n + 1)

sin 12sin( +

1

2n).

26. Demuestre que para un entero m > 1,

(z + a)2m

(z

a)2m = 4maz

m1

k=1 [z2 + a2 cot2(k/2m)]

dondem1k=1

denota el producto de todos los factores indicados desde

k = 1 a m 1.


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1.10. EJERCICIOS 43

27. Demuestre que si m > 1 es un entero,

cot

2mcot

2

2mcot

3

2m cot (m 1)

2m= 1.

28. Demuestre que

cosn =1

2n1

cos n + n cos(n 2) + n(n 1)

2!cos(n 4) + . . . + Rn

donde

Rn =

cos si n es impar

n!

[(n/2)!]2 si n es par.

Derive un resultado similar para sinn .

29. Demuestre que la funcion : R S1 dada por (t) = et es unhomomorfismo del grupo aditivo de los numeros reales en el grupomultiplicativo S1 = {z C; |z| = 1}.

30. En cada caso, esbozar una grafica con el conjunto de puntos determi-nado por la condicion propuesta:

(a) |z | = 4 (b) |z + 1 | 3(c)

|z + 4

| 4 (d)

|z

4

|+

|z + 4

|= 10

(e) |z 3| |z + 3| = 4 (f) z(z + 2) = 3(g) Im (z2) = 4 (f) |z 1| = |z + |

31. Si los puntos A y B representados por z1 y z2 respectivamente, sontales que |z1 + z2| = |z1 z2| demuestre que z1/z2 es un numeroimaginario puro y que AOB = /2, donde O denota el origen.

32. Demuestre que la ecuacion de la recta que pasa por los puntos z1 y z2esta dada

arg

z z1z2 z1

= 0.

33. Demuestre que una ecuacion para una circunferenica que pasa por trespuntos z1, z2, z3 esta dada por

z z1z z2

z3 z1z3 z2

=

z z1z z2

z3 z1z3 z2


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34. Diga que subconjuntos de S2 corresponden, respectivamente a los ejes

real e imaginario al identificar el plano extendido con S2

.

35. Muestre que, bajo la proyeccion estereografica, lneas en C correspon-den a crculos que pasan por N.

36. Definicion:Sea S C, un punto z0 se dice que es un punto de acu-mulacion (o punto lmite) de un conjunto S si toda vecindad perforadade z0 contiene al menos un punto de S. Esto es,

> 0 z S tal que 0 < |z z0| < .

En particular un conjunto cerrado contiene todos sus puntos de acu-

mulacion. Evidentemente z0 no es un punto de acumulacion de S encuanto exista una vecindad perforada de z0 que no contiene puntos deS.

Encuentre todos los puntos de acumulacion de cada uno de los siguien-tes conjuntos:

a) S = {zn = n; n N}.b) S = {zn = n/n; n N}.c) S = {z C \ {0}; 0 arg z /2}.d) S =

{zn = (

1)n(1 + )n

n 1n

; n

N

}.

37. Demuestre que si un conjunto contiene todos sus puntos de acumu-lacion, es cerrado.

38. Demuestre que un conjunto finito de puntos z1, z2, . . . , zn no puedetener puntos de acumulacion.

39. Estudie la convergencia de las sucesiones

a) {sn = n

n}nN.

b) {sn =(1 + )n

n }.40. Demuestre que

a) lmn

n2n

n3 + 1= 0.


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2.2. PROPIEDADES ELEMENTALES 51

la serie

bk converge. Dada > 0 existe M N tal que si n M se tiene

que

0 n+pk=n

ak

n+pk=n

|ak| n+pk=n

bk

para cada p N. Luego entonces la serie ak es convergente.Para demostrar el segundo criterio de comparacion, supongase que 0

ck dk y que

ck diverge, como sn =nk=0

ck es una sucesion creciente de

numeros positivos, esta diverge si y solo si es no acotada, por lo que, dadaM > 0 existe n N, tal que

M nk=0

ck nk=0

dk.

Por ende,

dk es no acotada y por tanto, es divergente.

Proposicion 2.2.4 (Criterio de la pserie).n=1

np converge si p > 1 y

diverge a si p 1.Demostracion. Para demostrar el criterio de la pserie, notamos que, sip 1, como la funcion nx es creciente, entonces n1 np, Como la serie

n=1 n1 es divergente, como consecuencia de las pruebas de comparacionpara series reales, tenemos que la serie

n=1

np diverge.

Por otra parte, si p > 1, como la funcion f(x) = xp es creciente entonces

s2k1 =1

1p+

1

2p+

1

3p

+

1

4p+

1

5p+

1

6p+

1

7p

+ +

1

(2k1)p+

1

(2k1 + 1)p+

1

(2k 1)p

= 1 + 12p1

+ 1(2p1)2

+ + 1(2p1)k1

0, existe unentero N tal que si n > N, entonces

nk=1

fk(x) f(x) < para cada x X.

La convergencia uniforme se puede establecer en terminos de sucesionesde Cauchy como podemos apreciar en el siguiente resultado

Proposicion 2.2.8 (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme). SiX C, fn : X C y gn : X C, para n N son dos sucesiones defunciones. Entonces

1. fn(z) converge uniformemente en X si y solo si para cada > 0 existeun entero N tal que sin > N entonces |fn(z)fn+p(z)| < para cadaz X y cada entero positivo p;

2. La serie de funcionesnk=1

gk(z) converge uniformemente en X si y

solo si para cada > 0 existe un entero n tal que si n N se tienen+p

k=n+1gk(z)

< para cada z X y cada entero positivo p.

Demostracion. Basta demostrar el primer enunciado, pues el segundo esconsecuencia del primero.

Si fn converge uniformemente a f en X, para > 0 existe un enteroN tal que si n N entonces |fn(z) f(z)| < /2, para cada z X, estoimplica que

|fn(z) fn+p(z)| |fn(z) f(z)| + |f(z) fn+p(z)| <

para cada z X.Reciprocamente, si el criterio de Cauchy es cierto, para cada z X existe

el lmite cuando n tiende a infinito de fn(z), el cual denotaremos f(z). ComoC es un campo completo, toda sucesion de Cauchy converge, por lo que estelmite siempre exite.

Dada > 0 existe un entero positivo N tal que si n N entonces|fn(z) fn+p(z)| < para cada z X y todo entero positivo p. Como


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Captulo 3

Teora de funciones

C-diferenciables

3.1. Introduccion.

El concepto de funcion de variable compleja representa un caso particulardel concepto matematico de funcion, esto es, si U es un subconjunto deC, a cada punto z C se le asocia exactamente un numero complejo w.Abreviando, f : U C es la funcion que a cada numero z Ule asocia elvalor w = f(z).

Por ejemplo, dado un entero positivo n, tenemos la funcion f : C

C

dada por f(z) = zn. Otro ejemplo es la funcion g : C C que asocia a cadanumero complejo z su conjugado z, esto es, g(z) = z. Tambien tenemos lafuncion Re : C C que asocia a cada numero complejo z C su parte real,esto es, Re(z) = (z + z)/2. Y la funcion que asocia a cada numero complejosu modulo, esto es, | | : C C dada como |z| = zz, entre otros ejemplos.

En el caso general, si z = x + y y w = u + v, decir que la funcionw = f(z) esta definida en U, al identificar C con R2 equivale a decir que encada punto de Ude coordenadas (x, y) se le asocia una pareja de numerosreales (u(x, y), v(x, y)). En otras palabras, enUestan definidas dos funcionesrealvaluadas u(x, y) y v(x, y). Por ejemplo, la funcion w = z2 equivale aw = u(x, y) + v(x, y), donde u(x, y) = x2 y2 y v(x, y) = 2xy.

Por otra parte, tambien vimos que, si n 2 es un entero positivo, y w esun numero complejo distinto de cero, la ecuacion zn = w tiene exactamenten soluciones. Como z = n

w si, y solo si zn = w, la raz nesima de w no

define una funcion como en los casos anteriores, sin embargo, tenemos unarelacion multivaludada bien definida. Posteriormente veremos como cons-

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70 CAPITULO 3. FUNCIONES C-DIFERENCIABLES

a bc d xy = (x + y),con = 1 + 2, tenemos

ax + by = 1x 2y cx + dy = 1x + 2para toda x, y R. Tomando x = 1, y = 0 obtenemos a = 1 = c. Por otraparte, si x = 0, y = 1 entonces b = 2 = d.

A continuacion veremos condiciones necesarias y suficientes para que lamatriz jacobiana de una funcion F : R2 R2 sea C-lineal.

Dada una funcion f : R2 R2 con:f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)),

la matriz Jacobiana de f en a , se define como la matriz de derivadasparciales

Df(x, y)|a =

ux (a) uy (a)vx (a)

vy (a)

,la cual induce, de manera natural, una transformacion R-lineal entre Ta R2, el espacio tangente a en el punto a, y Tf(a) R2, el espacio tangente aR2 en el punto f(a), a saber, la diferencial de f en a. Dicha transformacionesta dada como sigue:

Dfa : R2 R2

Dfa

=

ux (a) uy (a)vx (a)

vy (a)

Proposicion 3.2.1. Con la notacion anterior, (u/x)(a) = (v/y)(a) y(u/y)(a) = (v/x)(a) si, y solo si la aplicacion diferencial Dfa : C C es una transformacion C-lineal. En este caso

Dfa

=

ux (a) vx (a)vx (a)

ux (a)

para toda = + C


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3.3. FUNCIONES C-DIFERENCIABLES Y HOLOMORFAS. 71

Demostracion. Si = + , por hipotesis tenemos:

Dfa

=

ux (a) uy (a)vx (a)

vy (a)

=

ux (a) vx (a)vx (a)

ux (a)

Las ecuaciones u/x = v/y y u/y = v/x se conocen como lasecuaciones de Cauchy-Riemann y juegan un papel fundamental en la teorade funciones de variable compleja, como veremos posteriormente.

3.3. Funciones C-diferenciables y holomorfas.

A lo largo de la presente seccion C denotara un subconjunto abiertono vaco.

Definicion 3.3.1. Dada una funcion f :

C compleja valuada definida

sobre , y a , diremos que f es C-diferenciable en a si

lmh0h=0

f(a + h) f(a)h

existe. Cuando este lmite existe, lo denotaremos por f(a), o bien(df/dz)(a),y este lmite se denomina la derivada de f en a.

Diremos que f es C-diferenciable en si, f es C-diferenciable en a, paracada a . En este caso, la funcion a f(a), que denotaremos f, sedenomina la derivada de f.

En variable real, una funcion diferenciable es continua, esto tambien secumple para funciones en variable compleja.

Proposicion 3.3.1. Si f : C es una funcion C-diferenciable en ,entonces f es continua en .


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Demostracion. Dado a , tenemos:

lmza

z=a

|f(z) f(a)| = lmza

z=a

|f(z) f(a)||z a| |z a|

= lm

za

z=a

|f(z) f(a)|z a| lmza

z=a

|z a|

Como f(a) = lmh0h=0

f(a + h) f(a)h

, tomando h = z a tenemos que

|f(a)| =lmza

z=a

f(z) f(a)z a

de donde lm

za

z=a

|f(z) f(a)| = |f(a)| lmza

z=a

|z a| = 0

Por lo cual la funcion f es continua en a.

Ejemplos:

1. Las funciones constantes C-valuadas son C-diferenciables, esto es, si C es fijo, y f(z) = para toda z C, entonces f es C-diferenciable ena para cada a C y f(a) = 0.

2. Dada n C, la funcion f(z) = zn es C-diferenciable para toda a C,pues

f(a) = lmh0h=0

f(a + h) f(a)h

= lmh0h=0

(a + h)n anh

= lmh0h=0

(an + nan1h + . . . + hn) anh

=h(nan1 +

n(n1)2 a

n2h + . . . + hn1)

h= nan1 + lm

h0h=0

hO(a)

= nan1


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3. La funcion que a cada z C le asocia su conjugado no es C-diferenciable.Si f(z) = z, a C, y h R, h = 0, entonces

lmh0

a + h ah

= lmh0

a + h ah

= lmh0

h

h= 1,

por otra parte

lmh0

a + h ah

= lmh0

a h ah

= lmh0

hh

= 1,

por lo cual, el lmite no puede existir, es decir, f(z) = z no es C-diferenciable.

A continuacion veremos como expresar el hecho de que f es C-diferenciableen terminos de las variables reales x, y, as como de las funciones coordenadas

que determinan a f.

Proposicion 3.3.2. Sif : C es una funcion complejo valuada definidasobre , y f es C-diferenciable en a, con a , entonces

1. Existen las derivadas parciales fx (a) yfy (a).

2. fx (a) = fy (a) = f(a)

Demostracion. Dado a = + , y h R, h = 0, por definicion de f(a)y unicidad del l mite, al identificar C con R2 y f(x+y) con f(x, y) tenemos:

f(a) = lmh0h=0

f(a + h) f(a)h

= lmh0h=0

f( + h, ) f(, )h

=f

x(a).

De manera similar tenemos:

f(a) = lmh0h=0

f(a + h) f(a)h

= lmh0

h=0

f(, + h) f(, )

h

= 1fy (a) = fy (a)

En particular fx (a) = fy (a) = f(a)


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Las condiciones de esta proposicion no son suficientes para la existencia

de la C-derivada, como muestra el siguiente ejemplo debido a MenchoffSea

f(z) =

z5

|z|4 si z = 0

0 si/z = 0

Entoncesf(h)

h=

h

|h|4

,

el cual toma el valor 1 cuando h es real, o bien, cuando h es imaginario.Si u = Ref, y v = Imf, entonces ux(0, 0) = vy(0, 0) = 1, uy(0, 0) =

vx(0, 0) = 0, por lo cual las ecuaciones de Cauchy se satisfacen en elorigen, pero lm

z0f(z)/z no existe. Por lo cual, es necesario dar condiciones

adicionales para garantizar la existencia de la Cderivada.Notese que una funcion f(x, y), de las variables reales x, y puede verse

formalmente como una funcion g(z, z), de las variables z y z, donde z = x +y, z = xy, ya que x = (z+z)/2 y y = (zz)/(2). Derivando formalmentez/z = 0, z/z = 1, z/z = 0, z/z = 1 . Como consecuencia de laregla de la cadena en derivadas parciales podemos definir la derivada parcialde la funcion f con respecto a las variables z y z, esto es,

Definicion 3.3.2. Sea f una funcion complejo valuada definida sobre unconjunto abierto

C, y supongase que f posee primeras derivadas par-

ciales, con respecto a las variables reales x, y, en el punto a, entonces lasderivadas parciales de la funcion f con respecto a las variables z y z sedefinen como:

f

z(a) =

1

2

f

x(a) f

y(a)

,

f

z(a) =

1

2

f

x(a) +

f

y(a)

.

Utilizando esta notacion tenemos:

Corolario 3.3.1. Si f es C-diferenciable en , a , entonces:

fz (a) = f(a), fz (a) = 0.

Recordamos que una funcion f : R2 R2 puede describirse enterminos de funciones coordenadas como f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), e iden-tificando va (x + y) = (x, y), tenemos f(z) = u(z) + v(z), basandonos en


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Podemos reescribir la ultima proposicion de la seccion anterior como

sigue:

Proposicion 3.3.4. Seaf : C una funcionC-valuada, continua defini-da sobre un conjunto abierto C, y sea a . Entonces f satisfacelas ecuaciones de Cauchy Riemann si, y solo si la aplicacion diferencialDfa : C C es una transformacion C-lineal. En este caso

Dfa() = f(a) para toda C.

Otras propiedades que cumplen las funciones C-diferenciables son lassiguientes:

Proposicion 3.3.5. Sea un subconjunto abierto, no vaco. Si f y g sonfunciones C-diferenciables en y C, entonces:

1. f + g es C-diferenciable, y (f + g) = f + g.

2. f g es C-diferenciable, y (f g) = f g + f g.

3. Si g(z) = 0 para toda z , entonces f /g es C-diferenciable y

f

g

=

f g f gg2

Demostracion. Para demostrar estas propiedades aplicaremos los teoremasde lmites.

Para la primera propiedad notamos que:

lmh0h=0

(f + g)(a + h) (f + g)(a)h

= lmh0h=0

f(a + h) f(a)h

+ lmh0h=0

g(a + h) g(a)h

= lmh

0h=0

f(a + h) f(a)

h

+ lmh

0h=0

g(a + h) g(a)

h

= f(a) + g(a)

Para la segunda propiedad tenemos:


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lmh0

h=0

(f g)(a + h) (f g)(a)

h

=

lmh0h=0

(f g)(a + h) f(a + h)g(a)h

+f(a + h)g(a) f(a)g(a)

h

= lm

h0h=0

f(a + h)g(a + h) g(a)

h+ lm

h0h=0

f(a + h) f(a)h

g(a)

= f(a)g(a) + f(a)g(a)

Para la tercer propiedad:

lmh0h=0

(fg )(a + h) (fg )(a)h

= lmh0h=0

f(a + h)g(a) f(a)g(a + h)hg(a + h)g(a)

= lmh0h=0

(f(a + h) f(a))g(a) f(a)(g(a + h) g(a))hg(a + h)g(a)

= lmh0h=0

f(a + h) f(a)h

lmh0h=0

g(a)

g(a + h)g(a)

f(a) lmh0h=0

g(a + h)

g(a)

h lmh0h=0

1

g(a + h)g(a)

=f(a)g(a) f(a)g(a)

g2(a)

Proposicion 3.3.6 (La Regla de la Cadena). Si U, V C son abiertos,y f : U C, g : V C son C-diferenciables, y f(U) V, entoncesg f : U C tambien es C-diferenciable en U. Ademas, si a U entonces(g f)(a) = g(f(a)) f(a).

Demostracion. Fijemos a U, y elijamos un numero r > 0 tal que B(a, r) U. Deseamos demostrar que si 0 < |hn| < r y lm

nhn = 0, entonces

lmn

g(f(a + hn)) g(f(a))hn


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existe y es igual a g(f(a))f(a).

Primer caso: Supongase que f(a) = f(a + hn) para toda n N. En estecaso

g f(a + hn) g f(a)hn

=g(f(a + hn)) g(f(a))

f(a + hn) f(a)f(a + hn) f(a)

hn

Como lmn

f(a + hn) f(a) = 0 y toda funcion Cderivable es contin-ua, entonces

lmn


= g(f(a))f(a)

Segundo caso: Si f(a) = f(a + hn) para una infinidad de valores de n.Descompongamos la sucesion {hn} como la union de dos sucesiones {kn}y{ln}, donde f(a) = f(a + kn) y f(a) = f(a + ln) para toda n N. Comof es diferenciable,

f(a) = lmn

f(a + ln) f(a)ln

= 0

Ademas

lmn

g f(a + ln) g f(a)ln

= 0

Por el primer caso

lmn

g f(a + kn) g f(a)kn

= g(f(a))f(a) = 0.

De donde

lmn


= 0 = g(f(a))f(a).

El caso general es consecuencia de los casos anteriores.

Proposicion 3.3.7 (El Teorema de la funcion inversa). Sia yf es unafuncion C-diferenciable, tal que f(a) = 0, entonces existe una vecindad Ude a y una vecindad V de f(a) tal que f|U : U V es biyectiva, su inversaf1

|V : V U es C-diferenciable en V, y su derivada esta dada por:df1|V (w)

dw=

1

f|V(z), donde w = f|V(z)

.


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Demostracion. Como f es Cdiferenciable en a, entonces

Df(a) =

ux (a) vx (a)vx (a)

ux (a)

y det Df(a) =

u

x(a)

2+

v

x

2= |f(a)|2 = 0.

Aplicando el teorema de la funcion inversa para funciones de R2 en R2,se deduce que existen vecindades abiertas U de a y V de f(a) en C tales quef|U : U V es biyectiva; f1 es Rdiferenciable en V, y para cada z Use tiene

Df1(f(z)) = 1

det Df(z) ux (z) vx (z)

vx (z) ux (z)

Por lo que f1 satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en V, y por lotanto es Cdiferenciable. Ademas

(f1)(f(z)) =1

det Df(z)

u

x(z) v

x(z)

=

f(z)

|f(z)|2 =1

f(z)

Proposicion 3.3.8. Si C es un subconjunto abierto, conexo, y f : C es una funcion C-diferenciable en tal que f(z) = 0 para toda z ,entonces f es una funcion constante en .

Demostracion. Si z, w , queremos demostrar que f(z) = f(w). Como es conexo, podemos encontrar una curva : [0, 1] tal que (0) = zy (1) = w. Ademas, existe una particion 0 = t0 < t1 < . . . < T n = 1del intervalo [0, 1] tal que [ti1,ti] es diferenciable para cada i {1, . . . , n}.Como consecuencia de la regla de la cadena en dichos subintervalos se tiene

df((t))

dt= f((t))(t) = 0,

pues f(s) = 0 para toda s . Por otra parte, si f = u + v, con u y vfunciones real valuadas definidas en , entonces

0 =df((t))

dt=

du((t))

dt+

dv((t))

dt,


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donde = 12(R+|za|) < R. Como |za| < R, tambien tenemos |za| < .De dondef(z + ) f(z)

n=1

ncn(z a)n1

Nn=1

|cn|(z + a)n (z a)n n(z a)n1

+ 2 n>N

n|cn|n1.

Ahora, dada > 0, podemos elegir N, que depende de ,z ,R, tal que

n>Nn|cn|n1 < 1

2. Ademas

lm0

(z + a)n (z a)n

= n(z a)n1

Entonces, podemos elegir > 0, que depende de N, z y {cn}, n N, donde < 12(R |z a|), tal quenN

|cn|(z + a)n (z a)n n(z a)n1

< para 0 < || < As, para 0 < || < , tenemos

f(z + ) f(z) n=1

ncn(z a)n1 < 2.Ademas la convergencia es uniforme en z si z se restringe al disco B(a, r) =

{z; |z a| r} donde r < R.Corolario 3.3.3. Si es abierto en C, cualquier funcion holomorfa en es C-diferenciable en .

Corolario 3.3.4. Si f(z) =n=0

cn(z a)n tiene radio de convergencia R >0, entonces

1. Para cada k 1 la serien=k

n(n 1) (n k + 1)cn(z a)nk


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3.4. Algunas funciones importantes

El objetivo principal de esta seccion es extender algunas funciones ele-mentales de variable real a variable compleja, tales como las funciones trigonometri-cas, la exponencial y la logartmica.

3.4.1. La formula de Euler

Como mencionamos en el primer captulo, en 1740 Leonhard Euler des-cubrio la formula

e = cos + sin

Para explicar la formula de Euler debemos responder a la pregunta Que sig-nifica e?

Si x es un numero real, sabemos que la funcion f : R R definida porf(x) = ex satisface las propiedades

d f

dx= f(x), y f(0) = 1.

De manera similar, si k es una constante real, entonces ekx, queda definidopor la propiedad

d f

dx= kf(x), y f(0) = 1.

Puede extenderse la accion de la funcion exponencial ex de valores reales, avalores imaginarios, pidiendo que esta propiedad se cumpla para k = , esto

esd et

dt= iet

Para que esta ecuacion tenga sentido, imaginemos a una partcula mo-viendose a lo largo de una curva en C. Este movimiento puede describirseparametricamente diciendo que en el tiempo t la partcula ocupa la posi-cion (t). La velocidad v(t) es el vector cuya longitud y direccion estandeterminados por la velocidad instantanea, y la direccion instantanea delmovimiento, tangente a la trayectoria, del movimiento de la partcula.

d

dt

(t) = lmh0,h=0

(t + h) (t)

h

= v(t).

As, dada una funcion compleja (t) de la variable real t, podemos vi-sualizar como la posicion de una partcula en movimiento, con velocidadd/dt.

Si (t) = et, como


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Proposicion 3.4.2. Sea y0 R,la funcion exponencial restringida al con-junto Ay0 = {z C; y0 Imz < y0 + 2}es biyectiva sobre C \ {0}Demostracion. Si z1, z2 R son tales que ez1 = ez2, entonces ez1z2 = 1, porlo que z1 z2 = 2n con n Z, y como z1, z2 Ay0, entonces z1 z2 = 0,por lo que, la funcion exponencial restringida a R es inyectiva.

Como mencionamos anteriormente, la funcion exponencial es nunca nula,por lo que, la imagen de la funcion exponencial esta contenida en el conjuntoC \ {0}. Si w C \ {0}, entonces existe z = x + y tal que ez = w si, ysolo si, ln |w| = x y exp( arg w) = exp(y), esta ultima ecuacion tiene unainfinidad de soluciones, una de las cuales satisfacen y

0 y

y0

+ 2. Porlo que, la funcion exponencial restringida al conjunto Ay0 es suprayectivasobre C \ {0}

3.4.3. La funcion logaritmo

Junto con la funcion exponencial debemos estudiar su funcion inversa,

el logaritmo. Ya qued exp z

dz= 0 para toda z C, el teorema de la funcion

inversa nos dice que exp z, al menos localmente, tiene funcion inversa.Por definicion, z = log w es una razde la ecuacion ez = w.Como ez = 0 para toda z C, entonces z = log 0 no tiene solucion, esto

es, el numero cero no tiene logaritmo.Como vimos en la proposicion 30, para w = 0, la ecuacion ex+y = w es

equivalente a

ex = |w|, ey = w|w| .

La primera ecuacion tiene una unica solucion, a saber, x = ln |w|, donde lndenota la funcion logaritmo natural real. Por otra parte, la segunda ecuacionnos da un numero complejo de modulo uno, la cual tiene una unica solucionsi y0 y < y0 + 2. La parte imaginaria de log w se denomina el argumentode w y se denota arg w.

Ademas, podemos encontrar una solucion diferente modulo multiplos en-teros de 2 esto es, todo numero complejo distinto de cero tiene una infinidad

de logaritmos, los cuales difieren uno del otro por multiplos enteros de 2i.As, para que log sea una funcion, es necesario restringir el contradominio,por el momento, este conjunto sera de la forma:

Ay0 = {z C; y0 Imz < y0 + 2}


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Es interesante notar que las funciones seno y coseno complejas se relacio-

nan con las funciones trigonometricas hiperbolicas reales, esto es, si x Rentonces

cosh x = cos(x) y sinh x = sin(x).

Ya que

cos(x) =e(x) + e(x)

2=

ex + ex

2= cosh x

y

sin(x) =e(x) e(x)

2

=ex + ex

2

=ex ex

2

= ex + ex

2 = sinh xSi definimos la funcion tangente como

tan z =sin z

cos z

tenemos que esta funcion es Cdiferenciable si sin z = 0, es decir, cuandoz C \

(2k + 1)

2; k Z

.

Notese quelm

z (2k+1)2

tan z = .

En este caso, las formulas de adicion nos dicen que

tan(a + b) =tan a + tan b

1 tan a tan ben particular

tan(x + y) =tan x(1 tanh2 y)1 + tan2 x tanh2 y

+ (1 + tan2 x)tanh y

1 + tan2 x tanh2 y.

Esta ultima formula muestra que tan z R si, y solo si z R. Mientras quetan z tiene parte real cero si x es multiplo de /2. Los unicos ceros de la

funcion tangente son de la forma z = k con k Z, y tan z es una funcionperiodica de periodo .Para cada k Z la banda

(2k 1)2

< x (2k + 1)2


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En cada hoja dibujamos una curva que une 0 e , la misma curva encada ho ja. Esta curva se conoce como la lnea de ramificacion de lasuperficie ya que varias hojas se conectaran unas con otras a lo largo deesta lnea. Para simplificar la discusion tomaremos el eje real positivocomo la lnea de ramificacion. Procederemos a especificar como se unenlas rectas a lo largo de la lnea de ramificacion, y esta convencion seampliara por una descripcion de como se constituye una -vecindad deun punto de R.

La siguiente figura da la representacion de una porcion de R cera delorigen cuando n = 2.

Figura 3.3: Representacion de la superfice asociada a w = z2

Consideremos los puntos a + b y ab en Sk, donde a > 0 y b > 0. Estospuntos pueden conectarse siguiendo los lados de un rectangulo a lo largo delos segmentos (a + b)(a + b), (a + b)(a b), (a b)(a b); estatrayectoria se encuentra totalmente contenida en Sk. Si en lugar de seguiresta trayectoria de a + b a a b, seguimos la recta vertical que los une,entonces dejamos la hoja Sk y pasamos a la hoja Sk1, donde S0 := Snpor definicion. De esta forma tenemos al punto a b en la hoja Sk1. Siiniciamos en a b en la hoja Sk y subimos a lo largo de la recta verticalhasta el punto a + b, dejaremos Sk al cruzar el eje real y nos situaremosen Sk+1, donde Sn+1 := S1. De esta forma vemos el punto a + b en la hojaSk+1.

Iniciando en w = a+b en Sk y describiendo la circunferencia |w| = |a+b|

n veces en sentido positivo, encontramos al punto a + b consecutivamenteen las hojasSk, Sk+1, . . . , S n, S1, S2, . . . , S k1, Sk.

As, regresamos al punto de partida despues de n vueltas. Si describimosla misma circunferencia, pero ahora en sentido negativo, encontraremos al


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3.4. FUNCIONES 101

para toda k. De donde, la formula (3.3) define n valores posibles para la raz

n-esima de w.Notamos que los puntos

z1(w), z2(w), . . . , zn(w)

forman los vertices de un polgono regular de n lados cuyo centro se situa enel origen de coordenadas. Ademas, este polgono vara continuamente conla variable w. En particular, si w describe la circunferencia con centro en elorigen de radio R en forma tal que arg w se incrementa por 2, entoncs laconfiguracion de las races fira alrededor de su centro un angulo de 2/n.As, deja la configuracion invariante, lo cual implica que las diversas de-terminaciones de las races pueden permutarse. Esto es zk(w) se convierte

en

R1/n

cos

+ 2 + 2(k 1)

n

+ sin

+ 2 + 2(k 1)

n

obteniendose una permutacion cclica de las races

z1 z2, z2 z3, . . . , zn1 zn, zn z1.

Si permitimos que se incremente, encontramos que cada raz cambia con-tinuamente y despues de j circuitos, zk es llevado en zk+j , donde el subndicej + k se reemplaza por el ultimo residuo positivo modulo n. Despues de n

circuitos, zk se transforma en zn+k = zk, por lo que las races regresan a suposicion inicial.

Para transformar a zk(w) en una funcion univaluada de w hay dos al-ternativas posibles: en primer lugar, podemos restringir el dominio de w,e

variable compleja notas de clase

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