mis notas de clase aritmética

Aritmtica

Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso

Matemtica Bsica

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Justificacin La presente compilacin es fruto de la experiencia obtenida durante 21 aos de servicio en la educacin en diferentes instituciones acadmicas en Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta, en los niveles de bsica, media, tcnica, tecnolgica y profesional. La propuesta busca dar sentido a la matemtica en otros contextos, que el estudiante le d una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye, por las dificultades de su aprendizaje, que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lgico del ser humano y el desarrollo de la sociedad.

Objetivo General

Exponer los conocimientos bsicos de la matemtica en forma sencilla, lgica, crtica y analtica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econmicos.


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Unidad Contenido Temtico Pgina

1

Matemtica Qu es MATEMTICA? 6

Cul es el problema de la matemtica? 6

Las competencias 6

2

El Nmero

Evolucin del Nmero 7

Los Operadores 8

Reglas de prioridad de los operadores aritmticos 9

Criterios de Divisibilidad 11

3 Sistemas de Numeracin

Descomposicin Polinmica de un Nmero 12

4

Nmeros Reales

Conjunto de Nmeros Naturales 13

Conjunto de Nmeros Enteros 16

Conjunto de Nmeros Racionales 16

Conjunto de Nmeros Decimales 26

Conjunto de Nmeros Irracionales 29

5

Nmero Complejo

La Unidad Imaginaria 30

El Nmero Imaginario 30

Potencias Imaginarias 30

Conjunto de Nmeros complejos 31

6

Razn y Proporcin

Magnitud 32

Razn 32

Proporcin 32

Cuarto Proporcional 33

Magnitudes Directamente proporcionales 34

Regla de Tres Simple Directa 35 Porcentaje 36

Magnitudes inversamente proporcionales 39

Regla de tres simple inversa 40

Regla de Tres Compuesta 41

7

Sistemas de Medidas

Tipos de Unidades de Medidas 46

Sistemas de Unidades 46

Patrn de Medidas 46

Sistema Mtrico Decimal 47

Unidades de Longitud 47

Unidades de Longitud del Sistema Ingls 48

Unidades de Superficie y rea 49


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4

Unidades Agrarias 49

Unidades de Volumen 50

Unidades de Masa 51

Unidades de Tiempo 52

8

Permetro, rea y Volumen Permetro y reas de figuras Planas 54

Volumen de Figuras en el Espacio 56

9 Potenciacin 61 10 Radicacin 65 11 Logaritmacin 71

12

Expresiones Algebraicas

Algebra 74

Trmino Algebraico

Trmino Algebraico Semejante

Adicin y Sustraccin de Trminos Algebraicos

Multiplicacin de Trminos Algebraicos

Productos Notables

Divisin de Polinomios

Factorizacin

Factorizacin por Divisin Sinttica

Fracciones Algebraicas

Racionalizacin de Denominadores

13

Ecuaciones Escritura de Expresiones y Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones Lineales

La lnea Recta Mtodos para la solucin de Sistemas de ecuaciones Lineales

Ecuaciones Cuadrticas

Mtodos para la solucin de Ecuaciones Cuadrticas

14

Desigualdades

Propiedades de las Desigualdades

Conjunto Operacin entre Conjuntos

Intervalos

Inecuaciones Lineales

15 Inters y Tasa de Inters

16

Lgica

Conectivos Lgicos

Interpretacin oracional Idiomtica

Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas

Tablas de Verdad

Equivalencia Lgica: Algebra de proposiciones

Leyes del Algebra de Proposiciones


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5

Leyes de Inferencia

Cuantificacin de enunciados

17 Teora de Conjuntos

Nmero de Elementos de un Conjunto


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Orientacin Metodolgica Para el desarrollo del modulo se plantean las siguientes estrategias metodolgicas: Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios prcticos de su vida

cotidiana. Mostrar al estudiante ejercicios prcticos, que estimulen el pensamiento crtico. Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccin de

conocimiento, que permite discernir sobre la base conceptual. Complementar los temas tratados a travs de ejercicios prcticos utilizando

herramientas informticas, en procura de reforzar, clasificar y analizar los diferentes conocimientos.

Criterios Evaluativos

Se busca aplicar una evaluacin integral donde el componente numrico proveniente de una evaluacin escrita no sea el nico a considerar, sino que adicionalmente a este, se tomarn aspectos como la participacin, talleres y evaluaciones escritas


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LA MATEMTICA

Qu es MATEMTICA? Del latn. mathematca, y este del griego , derivado de , que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje La matemtica es la ciencia que mejor conocemos porque el nmero es una creacin humana. La matemtica es un modo de pensar, un modo de razonar. Se puede usar para comprobar si una idea es cierta, o por lo menos, si es probablemente cierta. La matemtica es un campo de exploracin e invencin, en el que se descubren nuevas ideas cada da, y tambin es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias, el gobierno y la industria. Es un lenguaje simblico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra. Hasta ha llegado a sugerirse que la matemtica sera el lenguaje que entendera los habitantes de Marte (si existieran)! Obtenido del libro: EXPLORANDO LA MATEMATICA, tomo 1 En general podemos concluir que el objetivo general de la matemtica es la bsqueda del desarrollo del pensamiento lgico del hombre. Cul es el problema de la matemtica? A travs de la historia la matemtica ha sido y es una de las reas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de enseanza y aprendizaje, Por qu? Cmo se justifica dicha complejidad?

No sea comprendido el problema de las matemticas. Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad. (Falta trabajo en la

formacin de los docentes?) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccin formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad. La figura del docente

Hoy en da son muchas las personas que estn trabajando en el diseo de estrategias que permitan mejorar los procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas. Las competencias matemticas no se alcanzan por generacin espontnea, sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos, que posibiliten avanzar a niveles de competencia ms y ms complejos. http://jaa-matematicas.blogspot.com/2006/10/qu-es-la-matemtica.html http://www.sectormatematica.cl/simce.htm


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EL NMERO Es un smbolo que representa una cantidad. A travs de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades

Sistema de Numeracin Maya Evolucin del Nmero La necesidad de contar. La invencin de la matemtica data de los albores de la humanidad. La matemtica es ms vieja como el instinto de propiedad, es decir tan antigua como el hombre, este se sinti matemtico en cuanto el afn de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebaos y medir sus tierras. Los dedos primer sistema de numeracin. En sus comienzo, el hombre numeraba las cosas con

los dedos, si quera decir uno levantaba un dedo, dos levantaba dos dedos, con las dos manos poda contar hasta diez. Para sealar nmero mayor haca girar las manos: veinte la giraba dos veces, treinta tres veces, etctera.

Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar: las yescas, piedras, nudos, rayas en las piedras, hasta llegar al baco. La forma de los Nmeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio, el uno, dos y tres corresponden a los dedos levantados, el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muecas. Los nmeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambin del sistema de contar con los dedos. El uno, desde un principio se escribi tal como lo hacemos hoy; el dos era representado por dos trazos pero horizontal; el tres por tres bastones acostados, el un sobre el otro, el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz, el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido. Al escribirse rpidamente, sin levantar la pluma del papel, fueron tomando la forma que conocemos.


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Ejercicios

Problema

Los Nmeros Arbigos que son Hindes; Esos nmeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India, se denominan arbigos porque en el ao 711, los rabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacin. Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los rabes en Europa; de all fueron conocidos como signos arbigos.

http://viviendoyaprendiendo.wordpress.com/2008/07/14/los-nombres-de-los-numeros/ Lectura de Nmeros

Lea las siguientes cifras: 1. 5006.004 2. 200.202 3. 1001.000 4. 1057.003.000 5. 52,125

Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana. El lunes consigna doscientos mil cien pesos, el martes un milln cinco mil diez pesos, el mircoles gira un cheque por un milln un mil diez pesos, el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos. Cunta plata le queda en el banco? Los Operadores Son smbolos que indican una relacin u operacin entre dos o ms nmeros. Existen diferentes tipos de operadores:

Los lgicos, permiten combinar expresiones (y, o, no). De relacin: permiten realizar comparaciones entre valores (=, , , ). Aritmticos: Indican una operacin

Adicin o Suma (+) Sustraccin o resta (-)


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Ejercicios

Multiplicacin ( x, *, . , la ausencia de signo se asume que hay una multiplicacin 2a) Divisin ( , /)

Potenciacin ( ) Radicacin () Logaritmacin: logaritmo de base 10 (log) y logaritmo natural (ln)

Expresiones aritmticas: Es la combinacin de nmeros y operadores

Realice las siguientes operaciones a. 85935 + 97486 b. 7000 5699 c. 32476 25588 d. 4 x 2.5 e. 0 19 f. 23 0 g. 25.15 + 73.045 h. 3168 198 i. 7.745 5.48

Reglas de prioridad de los operadores aritmticos Las expresiones de dos o ms operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones, este orden es:

1. Los signos de agrupacin: ( ), [ ], { } 2. Logaritmacin 3. Potenciacin y radicacin 4. Multiplicacin y divisin 5. Suma y resta

Si en una expresin se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha.

Cul es el resultado de las siguientes operaciones?

5 + 4 * 1 - 2 6 + 9 2

54/327*4 6 8 4 + 3 2

75/9*6 6 + 4 3 42 4 18 + 5 * 3 + 4 * 6 16 - 23 2 + 6 x 3 ^ 2 * 3 4 32 - 23 1 + 5 33 + 3 * 4 / 6 5 25 5 2 + 234 2 * 5 3 * 6

Ejercicios


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Ejercicios

Ubique los signos de agrupacin en el lugar adecuado para obtener el resultado indicado:

1 2 3 6 + 8 2 3 1= 4 6 + 8 2 3 1= -2 6 + 8 2 3 1= 7 6 + 8 2 3 1= -14

5 6 - 4 5 = 10 5 6 - 4 5 = 50 5 6 - 4 5 = 130 5 6 - 4 5 = -70

8 2 * 3 + 1 = 24 8 2 * 3 + 1 = 19 8 2 * 3 + 1 = 3 8 2 * 3 + 1 = 0

4 5 6 8 + 6 2 1 4 = 3 8 + 6 2 1 4 = 5 8 + 6 2 1 4 = 7 8 + 6 2 1 4 = 1 6 8 + 6 2 1 4 = 5 6

12 + 8 4 2 3 = 48 12 + 8 4 2 3 = 30 12 + 8 4 2 3 = 12 12 + 8 4 2 3 = 24 12 + 8 4 2 3 = 9 12 + 8 4 2 3 = 8

2 + 2 = 1

2 + 2 = 1

2 + 2 =

2 + 2 =

2 + 2 = 15


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Ejercicios

Ejercicios

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero b es divisible por otro a cuando la divisin es exacta. http://www.vitutor.com/di/di/a_3.html

Nmero Criterio Ejemplo 2 El nmero termina en cero o cifra par 378: porque "8" es par 3 La suma de sus cifras es un mltiplo de 3 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es

mltiplo de 3. 4 El nmero formado por las dos ltimas cifras es 00 mltiplo de

4. 7324: porque 24 es mltiplo de 4.

5 La ltima cifra es 0 5. 485: porque acaba en 5. 6 El nmero es divisible por 2 y por 3. 326 7 Para nmeros de 3 cifras: Al nmero formado por las dos

primeras cifras se le resta la ltima multiplicada por 2. Si el resultado es mltiplo de 7, el nmero original tambin lo es.

469: porque 46-(9*2)= 28 que es mltiplo de 7.

Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un mltiplo de 7.

52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es mltiplo de 7.

8 El nmero formado por las tres ltimas cifras es 000 mltiplo de 8.

27280: porque 280 es mltiplo de 8.

9 La suma de sus cifras es mltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es mltiplo de 9.

10 La ltima cifra es 0. 470: La ltima cifra es 0. 11 Sumando las cifras (del nmero) en posicin impar por un lado y

las de posicin par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un mltiplo de 11, el nmero es divisible por ste.

42702: 4+7+2=13 2+0=2 13-2=11 11 es mltiplo de

11

Si el nmero tiene dos cifras ser mltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es

Mltiplo de 11 12 El nmero es divisible por 3 y 4. 528 13 Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras,

sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es mltiplo de 13, el nmero original tambin lo es.

528

25 Si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 25 500, 1025, 1875

125 Si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 125. 1000, 1125, 4 250

Aplique los criterios de divisibilidad indicados en la tabla para comprobar las divisibilidades de cada nmero.

534 403 7286 56892 53955

Halla un nmero de 3 o ms cifras que sean divisibles por: 1. Por 4 2. Por 7 3. Por 8 4. Por 11 5. Por 13


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Ejercicios

Ejercicios

SISTEMAS DE NUMERACIN

Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nmeros. Cada sistema de numeracin tiene una base. Entre los sistemas de numeracin conocidos tenemos: Binario de base dos, octal de base ocho, el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez, este ltimo es el que empleamos nosotros. Descomposicin polinmica de un nmero Dado el nmero 357 se puede descomponer:

- 300 + 50 + 7 - 3*100 + 5*10 + 7 : como 100= 1, - 3*102 + 5*101 + 7+100 : Si hacemos x = 10, - 3x2+5x+7

Es decir el nmero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7

Expresar cada nmero en forma polinmica 546 3457 12350 100201

Exprese cada polinomio en forma decimal 5x2+3x+9 2x3+6x2+8x+1 4x3+3x 7x2 5x + 3


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Problemas

NMEROS REALES

Nmeros Dgitos: Son los que consta de una cifra Nmeros Reales: Se considera el conjunto universal, se representa con la letra R, a l pertenecen: o Los Naturales: Los nmeros para contar, se representa con la letra N. o Los Enteros: Estn formados por los naturales el cero y los negativos. o Los Racionales son los de la forma a/b o Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razn de dos enteros. Tienen

representaciones decimales que no se repiten ni terminan Un nmero natural es cualquiera de los nmeros que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar objetos, ya que las tareas de contar y de ordenar son las ms elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural Los nmeros naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, , ,, 10, 11, 12,} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los nmeros naturales. Adems de cardinales (para contar), los nmeros naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1 (primero), 2 (segundo),, 1 (decimosexto), http://www.casdquindio.edu.co/userfiles/naturales.pdf?phpMyAdmin=eb0b7294f6d4a0e56126a77981c1b8cc

Problemas relacionados con los nmeros Naturales:

1. Un local de Policlnica funciona con los siguientes costos:

El alquiler de $15000.000 al mes

Salarios administrativos de $5000.000

$2000.000 de sueldos fijos a cada uno de los 5 mdicos

Si cada consulta cuesta $15.000 y este es el nico ingreso del local cuntos pacientes deber atender cada mdico para cubrir los gastos de la clnica?

2. A un estadio entran en total 12 425 personas de las cuales 1254 no pagan la boleta a la

entrada. La recaudacin total fue de $39 098 500. Cul es el valor de cada boleta de entrada si todos los asistentes pagan el mismo valor?


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3. Cierto almacn vende pantalonetas con las siguientes promociones

Promocin A $9 000 cada pantaloneta Promocin B $30 000 la primera pantaloneta y

$2500 por cada pantaloneta adicional

a. Si se necesita comprar 5 pantalonetas. con cul promocin le sale ms barata? por qu? b. Si se cuenta con $100 000 Cuntas pantalonetas puede comprar en cada promocin? c. Qu cantidad de pantaloneta cuestan lo mismo en las dos promociones?

4. Una empresa obtuvo ganancias en el 2004 por $32,184 millones; en el 2005 $14,159 millones ms que el ao anterior; en el 2006 tanto como en los aos anteriores juntos; en el 2007 tanto como en los tres aos anteriores juntos; y en el 2008, $ 12,136 millones ms de lo que gano en 2007 y en el 2005 cunto ha ganado durante los 5 aos?

5. Una persona compr un libro que cost $105 000; un vestido por $140 000; una cmara

fotogrfica que cost $180 000 ms que el libro y el vestido juntos; un anillo que costo $ 175 000 ms que el libro, el vestido y la cmara; y un computador que cost $ 235 000 ms que todo lo anterior. Si le sobraron $211 000, cunto dinero tena?

6. Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de

compraventa: el inventario inicial es de 157 bolsas, recibe durante la semana las siguientes cantidades, el lunes 285, el martes 278, el mircoles 196, el jueves 418 y el viernes 332. El sbado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas. Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500. Cul es utilidad obtenida durante dicha semana?

7. Cunto cost lo que al venderse por $12517.350 deja una prdida de $1383.500?

8. Si compro un computador porttil por 750 dlares si quiero ganarme $2 000 000 por su

venta, teniendo en cuenta que el dlar est en $2 190.80 en cunto debo vender?

9. Un comerciante hace un pedido de 3000 Kg de arroz. Inicialmente recibe 813 Kg, ms tarde 124 Kg menos que la primera vez y despus 156 Kg ms que la segunda vez. Cunto arroz falta por enviarle?

10. Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razn de

$100 la unidad. Si se le daaron 35 naranjas cul es la ganancia o la perdida?

11. Un comerciante vende 14 sacos de harina a $10 800 cada uno con una prdida de $ 200 por saco; 20 sacos de arroz a $7 760 cada uno con una ganancia de $ 100 por saco y 7 sacos de frijoles a $ 4 800 con una prdida de $ 500 por saco. Cul fue el costo de toda la mercanca que se vendi?


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12. Un comerciante compra un lote de sacos de azcar por $594 000 y luego los vendi $ 950 400 ganado as $ 2 640 por saco. cuntos sacos compr?

13. En un teatro las entradas de adulto costaban $ 9 000 y las de nios $ 3 000. Si se recaudaron $ 5 460 000 y por cada nio entraron dos adultos cuntos espectadores entraron al teatro?

14. Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno tiene que pagar $150 000 por el alquiler. Pero

si se agregan a la casa tres amigos ms, cunto tendrn que pagar cada uno por el alquiler de la misma casa?

Uso de la Tecnologa Suponga que un individuo tiene 125 monedas, algunas de $200 y otras $500. Podemos usar una hoja de clculo para averiguar los posibles valores de las diversas cantidades de monedas de $200 y $500. Para realizar la actividad desarrolle cada uno de los siguientes pasos: 1. Entre a la hoja de clculo Excel 2. En la posicin A1 digite 200, en B1 digite 500 y en C1 VALOR 3. En la posicin A2 digite el nmero 125, en B2 digite el nmero 0 y en la posicin C2

digite la frmula =A2*200+B2*500 4. En la posicin A3 digite la frmula =A2 1 y cpiela hasta que el resultado sea cero

(fila 127). 5. Ubquese en la posicin B3 y escriba la frmula =A$2-A3. Copie la frmula hasta la fila

127. 6. Copie los valores de la columna de VALOR al resto de filas. 7. Grabe la informacin con su nombre 8. Investigue el uso del carcter $ en el punto 5 9. Explique los procesos comprendidos entre los puntos 2 y 5 Analice los resultados que encuentra


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NUMEROS ENTEROS

Matemticamente, el conjunto de los nmeros enteros con las operaciones de suma y

multiplicacin, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los nmeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemn Zahlen 'nmeros'). Valor Absoluto de un Nmero: Es la distancia del nmero al cero, por ello este valor siempre es positivo, es decir no tiene en cuenta el signo. Si x es un nmero entero el valor absoluto de x se representa |x|. Ejemplos:

- |-5| = |5| - |-3||1|

Ley de los signos Adicin y sustraccin de Nmeros Enteros: Para sumar o restar dos o ms nmeros enteros se debe tener en cuenta: 1. Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nmero que tienen los nmeros

Ejemplo 5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8

2. Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nmero de mayor valor absoluto Ejemplo 5 3 = 2 -5 + 3 = -2

Multiplicacin y Divisin de Nmeros Enteros: Para multiplicar o dividir dos enteros se tienen en cuenta las siguientes consideraciones: 1. El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo

Ejemplo 6 * 3 = 18 (-6) * (-3) = 18 6 3 = 2 (-6) (-3) = (2)

2. El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 * (-4) = -64 (-16) * 4 = -64 16 (-4) = -4 (-16) (4) = -4


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Ejercicios

Problemas

1. Marque con una C la afirmacin correcta y con una I la incorrecta. Si la repuesta es incorrecta

justifquela:

a. 19 54 81 = 116 ( ) b. 2. -9 + 18 10 = - 1 ( ) c. Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( ) d. Si 3x = -18 entonces x = 6 e. -1 > -2 ( ) f. |-3| |8 3| ( )

1. Se quiere resolver un problema sobre tres nmeros enteros consecutivos que sumados fueran 81. Se

escribe la ecuacin (n 1) + n + (n + 1) a. Qu representa n? b. Cules son los tres nmeros?

2. Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de caf.

a. Cuntos litros de agua quedan en el tanque despus de 5 horas, si se gastan un promedio de 4900 litros por hora?

b. Cuntos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance?

3. En un campeonato de ftbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consista en: partido ganado daba 3 puntos, partido empatado daba 1 punto, partido perdido quitaba 2 puntos, cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1. Al final cada equipo jug 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes:

En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos:

EQUIPO PARTIDOS GOLES

GAN EMP PER FAV CONTRA

TIGRES 4 0 4 8 8

OSOS 5 1 2 10 9

TOROS 5 2 3 8 8

REBELDES 3 2 3 12 7

PITUFOS 2 0 6 7 12


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4. Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000. Vendi una parte por US $ 46400, a

US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte en US $ 36000, ganando US $ 100 a cada uno.

a. Cuntos computadores tiene el lote? b. Para obtener una ganancia de US $ 4000 a cmo debe vender los restantes computadores?

5. Pitgoras, filsofo y matemtico griego, vivi entre los aos 582 y 496 a.C. A qu edad muri?

Cuntos aos hace de eso?

6. Hipata de Alejandra fue una cientfica, filsofa y maestra que muri asesinada en el ao 415 a la edad

de 45 aos. Arqumedes, en cambio, fue un matemtico griego que muri a la edad de 75 aos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el ao 212 a.C. En qu ao naci cada uno?

7. Euclides de Alejandra cientfico que enseo matemticas durante ms de 20 aos, naci hace 2336

aos y muri hace 2276 en qu ao naci? En qu ao muri? A qu edad muri?

8. Los participantes de un concurso deben contestar 30 preguntas, cuando dan una respuesta

correcta obtienen 3 puntos, si pasan no tienen puntos, si contestan incorrectamente pierden un punto. Cierto concursante acumula solamente 6 puntos. Indicar las posibles respuestas

2b y 0 m 4b y 6 m 6 b y 12 m 8b y 18 m 3 b y 3 m 5 b y 9m 7b y 15 m 9b y 21 m

Uso de la tecnologa Utilice la hoja de clculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores

Posicin Equipo Puntos

1

2

3 4

5


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Ejercicios

NUMEROS RACIONALES

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional http://www.monografias.com/trabajos42/numeros-racionales/numeros-racionales.shtml

Definicin La palabra racional se deriva del latn, ratio, que significa razn. Es el que se puede expresar como cociente de dos nmeros enteros. El conjunto de los nmeros racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los nmeros racionales est compuesto por los nmeros enteros y por los fraccionarios. Los nmeros enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los nmeros racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto Q de los nmeros racionales se representan de la forma a/b donde a y b R con b 0, a recibe el nombre de numerador y b denominador. Un racional es una divisin indicada.

Existen dos tipos de racionales, propios e impropios. Un racional propio es aquel que el

numerador es menor que el denominador; como por ejemplo: 1 2 , 2

y 11

15 Un racional

impropio es aquel que el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo: , . Los racionales impropios se pueden convertir en nmeros mixtos o en enteros (por ejemplo, 2

, 5

y

)si se divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccin del

denominador. Todo nmero entero se puede expresar como un racional. Origen de las fracciones

Aritmtico: La divisin no exacta de los enteros Geomtrico: Un segmento con longitud no exacta Fsico: Medicin de magnitudes fsicas

Propiedades de las fracciones

Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador. Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1. Si el numerador es igual a cero el racional es cero. Si el denominador es cero el racional es indeterminado.

Principio fundamental de los Racionales

El numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacin) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero.

Amplificar en 2, 5, 7 y 8 cada racional


Matemtica Bsica

21

Ejercicios

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

0

5

5

15

1

Operaciones con los nmeros Racionales Adicin y sustraccin de nmeros Racionales Para sumar o restar nmeros racionales debemos tener en cuenta si:

1. Si tienen el mismo denominador: Se mantiene el mismo denominador comn y se suman los numeradores. Simblicamente

d

ba

d

b

d

a Con d0

2. Si tiene diferente denominador: Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientos:

a. Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominador b. Se busca el mximo comn divisor

Si a y b son dos nmeros naturales distintos de cero, tal que a > b, entonces: M.C.D. (a, b) = M.C.D. (b, a b).

c. Se aplica la frmula:

cd

bcad

d

b

c

a con c y d 0

Adems se puede calcular por mnimo comn mltiplo1, ejemplo:

2

+

1

Inicialmente se halla el mnimo comn mltiplo entre los denominadores Mltiplos de: 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 Como podemos observar el mnimo comn mltiplo de 3 y 4 es 12, luego escribimos el 12 como denominador, se divide este nmero por cada denominador de los sumandos y el

1 El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural que es mltiplo de todos ellos. Slo se aplica

con nmeros naturales, es decir, no se usan decimales ni nmeros

2

5


Matemtica Bsica

22

resultado se multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fraccin, as

+

12=

11

12

Otra forma de realizar la operacin es por amplificacin, utilizando el mnimo comn mltiplo, se amplifican las fracciones para igualar los denominadores al mnimo comn

mltiplo, as, se multiplica y se divide el

por 4 y el

por 3, quedando

12+

12=

11

12

En la calculadora utilizamos la tecla podemos sumar o restar fracciones. Si el resultado obtenido tiene tres trminos ( 1 2), est expresando la respuesta como un

nmero mixto, pulse shift y para que el resultado quede expresado como fraccin.

Para operar tres o ms fracciones halle el mnimo comn mltiplo de los trminos por descomposicin en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mnimo comn mltiplo ser el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.

Ejemplo calcular

+

+

Hallamos el mnimo comn mltiplo de 8, 12 y 15

8 12 15 2 4 6 15 2 2 3 15 2 1 3 15 3 1 1 5 5 1 1 1

Entonces el mnimo comn mltiplo de 8, 12 y 15 es 23x 3x5= 120, escribimos el 120 como denominador, se divide este nmero por cada denominador de los sumandos y el resultado se multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fraccin, as

120 = 5 120 12 5 = 50 120 15 2 = 1 ,

5 + 50 + 1

120=

111

120


Matemtica Bsica

23

Ejercicios Calcular: 2

+

1

1

+

2

+ 2

1

1

+

2

5

6

5

5

3

9

7

8

3

10

7

4

7

2

5

7

2

3

8

+

5

12

1 +

5 +

12

12 +

52

Multiplicacin de los Racionales El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores.

Es decir: bxd

axc

d

cx

b

a

Divisin de los Racionales El cociente de dos nmeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador.

Es decir: cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

Nmeros Mixtos: Son aquellos formados por un entero y un racional. Es decir c

ba

Ejemplo: 4

12,

3

27,

2

13,

4

15

Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional. Ejemplo convertir en

racional:

51

1

2

2

2

1

5

Para convertir una fraccin en mixto esta de ser impropia, se descompone el numerador en

dos sumas tal que uno de los sumandos sea mltiplo del denominador, se separan los sumando, se simplifica y se expresa como mixto.

3

4

5

11

8

27

15

125


Matemtica Bsica

24

Ecuaciones con nmeros Racionales Ejercicios Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones:

m + 3

7 = -

4

7 x -

5

2 = -

8

1 x -

6

5 =

8

1

4

3x = -

5

1

- 5

6x =

5

4

3

x +

2

1 =

3

1

5

3x -

3

1 = -

3

2

Problemas de Aplicacin de los Racionales

1. Un granjero desea instalar mallas un terreno de 2275 m de largo. El primer da hace

del

trabajo y el segundo

cuntos metros faltan para culminar el trabajo?

1

+

2

5 = 1

2

5=

5

22 5m = 0m.

Para culminar el trabajo faltan 390m

2. En un galpn, 4/6 de los conejos tienen una enfermedad. Despus de haberlos inyectado se

observa que de los conejos enfermos han muerto 2/5 partes. Con base en lo anterior, El

dueo decidi vender cada conejo sano a $2000 y cada conejo enfermo a $800. Si tena 600

conejos, cunto dinero recibe por la venta?

Como se tenan 600 conejos

Para hallar la cantidad de animales enfermos multiplicamos

00 = 00 enfermos.

Para hallar la cantidad de animales muertos multiplicamos

00 = 1 0 muertos.

Para hallar la cantidad de animales enfermos que no murieron restamos 400 1 0 =

2 0

Para hallar la cantidad de animales sanos restamos 00 2 0 = 0

Si se vende cada conejo enfermo en $800c/u se obtendra por la venta 2 0 00 =

1 2 000

Si se vende cada conejo sano en $2000c/u se obtendra por la venta 0 2000 =

20 000

Suponiendo que se vendieron todos los conejos, se recibira por la venta 1 2 000 + 20 000 = 12 000


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25

Por la venta de los animales se recibiran $912 000.

3. Dos automviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. Cul de los dos va primero? Cuntos kilmetros lleva recorridos cada uno?

4. Una finca de 40 hectreas fue dividida en parcelas (partes) iguales como muestra la figura

La distribucin est dada por

Siembra de Cacao Siembra de banano Casas Crianza de animales

Se pregunta a. Qu fraccin de la finca es utilizada para la crianza de animales? es b. Qu cantidad de hectreas utilizada para la siembra de banano?

5. Al estreno de una obra han asistido 676 personas, de las cuales 7/13 son adolescentes.

a) Cuntos adolescentes asistieron?

b) Si la mitad de los adolescentes son chicas Cuntas chicas adolescentes asistieron?

6. Una empresa gasta en enero 1/4 de su presupuesto en el sueldo de sus empleados, 3/5 en

materiales y 1/8 en el alquiler del local Qu fraccin le queda al dueo de la empresa?

7. Alberto compr una finca de 900m2. Ha utilizado 1/3 de la finca para construir una casa, 1/4

para la piscina y el resto para jardn Qu fraccin de la finca ha utilizado para jardn?

Cuntos m2 son?

8. En un hospital trabajan 145 mdicos, de los cuales 3/29 son especialistas, la mitad de los

que quedan estn asignados a emergencia, 3/5 de los restantes son de consulta externa y

8/13 de los restantes son internos los dems estn asignados para trabajos administrativos.

Cuntos mdicos laboran en el rea administrativa?

9. Si un fosforo mide

cuntos fsforos se necesitan para cubrir

de metro?


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26

10. Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacn y 3/7 de lo que le queda en otro. Si despus de efectuadas las compras le quedan $24 000 calcule la cantidad de dinero que tenia al principio?

11. Una persona debe realizar un trabajo en 3 das, el primer da alcanza a realizar 7

1 del total,

el segundo 5

2 y el tercero

4

1 alcanzo a cumplir con su trabajo?

12. En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nmero de estudiantes mujeres es de

del total

cuntos estudiantes varones hay?

13. De un tanque de gas se gasto 3

1 en la primera semana,

8

3 en la segunda y

4

1 en la tercera

semana. Qu fraccin de gas queda en el tanque?

14. De un tanque de gas se gasto 5

2 en la primera semana,

4

1 en la segunda,

20

3 en la tercera y

la cuarta semana Qu fraccin de gas queda en el tanque? Si el tanque se llena con 5000 cc qu fraccin de gas se gasto cada semana?

15. Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma 5

1 para su esposa

4

1 para sus hijos,

6

1

para el resto de la familia y el restante lo donar a una casa de beneficencia. Si su herencia est valorada en 300 millones de pesos cunto le corresponde a cada uno?

16. Un seor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera: a dos de sus hijos les

deja

de su herencia y al tercero el resto. Si la herencia es de 300 millones de pesos

Cunto le corresponde a cada uno?

17. Un joven quiere comprar una bicicleta. El pap la da la mitad de la plata, la mam 5

2 de la

parte que le falta. Si la bicicleta tiene un valor de $124.000 Qu fraccin le hace falta para comprar la bicicleta?

18. En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan ftbol. Cuntos no juegan ftbol?

19. Si un empleado devenga $1.200.000 y gasta $160.000 en servicios, $340.000 en

alimentacin, $280.000 de la cuota de una deuda, reserva $200.000 para transporte y $100.000 para imprevistos, lo restante lo ahorra. Qu fraccin de su sueldo ahorra?

20. En una estacin de gasolina se llena el depsito el lunes con 2500 galones, el mismo da se venden 600 galones, el martes 500 galones y el mircoles 300 galones Qu fraccin de gasolina se vendi cada da? Qu fraccin de gasolina queda en el depsito?

21. El valor de un artculo es $180.000, es incrementado en 6

1 de su valor Cul es su nuevo

precio? Si el nuevo precio es de $24.000 cul es la fraccin del incremento?


Matemtica Bsica

27

22. Despus de una fiesta sobraron 5

28 del pastel Cuntos pasteles enteros se pueden formar?

Qu cantidad sobra?

23. De una finca de 40 hectreas, 5

2 est sembrada en cacao y

4

1 del resto de banano y el resto

es para crianza de animales Cuntas hectreas estn sembradas de cacao y cuntas de banano? Qu fraccin de la finca est destinada para la crianza de animales?

24. Cuntos pedazos de varillas de 4

1 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de

4

25 metros de largo?

25. Si una llave vierte

litros de agua por minuto Cunto tiempo emplear en llenar un

deposito de 0

?


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28

NMERO DCIMAL

Cualquier nmero racional expresado en el sistema de numeracin decimal se dice que son decimales. Por ejemplo 0,5; -2, ,1 15 2 Un nmero decimal est compuesto por una parte entera, el punto o la coma decimal y la parte decimal. Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman dcimas, centsimas, milsimas, diezmilsimas,, millonsimas. Si un nmero decimal tiene un nmero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto, si tiene infinito nmero de cifras que se repiten peridicamente, se llaman decimales peridicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten peridicamente, son nmeros irracionales. Es el caso de p = ,1 15 2 = 1, 1 2 Para convertir una fraccin en decimal se divide el numerador por el denominador. Por ejemplo:

5,12

3 ; 8,0

5

4 ; 5,0

2

1

Para convertir un decimal en fraccin se realiza el siguiente procedimiento:

Procedimiento Ejemplo Se hace el decimal igual a una variable 25,0x

Se multiplica la ecuacin por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nmero

)100(25,0)100( x

Se resuelve la operacin 25100 x Se despeja la variable

100

25x

Se simplifica si es posibles

4

1x

Ejercicios 1. Convertir en decimal

2

1

12

5

5

2

96

24

2. Convertir en fraccin

0.8 0.17 0.125 0.015 0.0005 Adicin y sustraccin de Nmeros Decimales Para sumar o restar nmeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas, unidades debajo de

5

3


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unidades, dcimas debajo de dcimas, centsimas debajo de centsimas y as sucesivamente, se efecta la operacin en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma, teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos. Si los nmeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales, inicialmente se iguala el nmero de cifras decimales de ambos nmeros, aadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos. Ejercicios Calcular

0,8 + 0,17 7,86 + 3,15 0,39 0,18 3,8 0,75 + 1,35 15,2 0,75 4,6 3,5 + 9,36 10,75

Multiplicacin de Nmeros Decimales Para multiplicar dos nmeros expresados en forma decimal, hacemos la multiplicacin sin tener en cuenta las comas, como si fueran nmeros naturales. Despus contamos cuntas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nmero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda. Ejercicios Calcular

0,5 x 0,3 0,18 x 3,74 11.87 x 0.1 0.008 x 0.96 45.89 x 0.67

Divisin de los Nmeros Decimales Para dividir dos decimales, si no son homogneos, es decir, si no tienen el mismo nmero de cifras decimales, se hace que lo sean aadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales. Una vez homogneos el dividendo y el divisor, se suprimen los puntos y se dividen como enteros. Si se divide un entero por un decimal al entero se le aaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros. Ejercicios 1. Calcular

128 0.96 0,90,3 0,7350,15

130,3 0,64 16

2. Evalu en la calculadora

(1,4 0,25) x 3,18 15,47 + (0.025 x 51,32) 1000000 (1 +0.2)


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Problemas 1. Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 239,95 si la paga a crdito en

12 plazos le recarga $102 945,60. Si da una cuota inicial de $490 785,55 qu cantidad de dinero tendr que pagar cada mes?

2. Para hacer 36 vestidos se requieren 89.25 metros de tela Cuntos metros de tela se gastan en

tres vestidos? 3. Se cancel un crdito de $30086 900 en 180 cuotas Cunto se cancelo cada mes? 4. Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 567,5 Km. cuntos kilmetros es posible

recorrer con 15 galones? 5. Un sastre gasta 890 metros de pao en la confeccin de 780 pantalones cuntos metros de

pao emplea en cada tres pantalones? 6. Una madeja de lana tiene 900 metros. En un tejido se han gastado 267,25 metros. cuntos

metros de lana no se han utilizado? 7. Un mantel de forma rectangular de 2,10 metros de largo por 1,5 metros de ancho se quiere

adornar en su borde con 10 metros de encaje. Alcanzar el encaje? Cuntos metros de encaje sobran o faltan?

8. Una cuenta de $89654 823,50 se cancela con billetes de 20 000 Cuntos billetes se

necesitan? 9. Un terreno cuadrado mide 0,096 metros de lado. Cunto mide el permetro? 10. En un terreno rectangular de 750,8 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de

137 m de largo por 12,45 m de ancho. a.Qu rea del terreno no est construida? b.Cuntas casas completas, de la misma rea pueden ocupar en el terreno desocupado? c.Para construir la casa se invirtieron $32907 50 Cunto se gasto por metro cuadrado? d.En cunto excede el permetro del terreno al permetro de la casa? e.Si desea cercar el terreno, dando tres vueltas al alambre, cunto alambre se necesita?

11.Los porcentajes de ciertas asignaturas de un estudiante son 0.75, 0.90 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente Qu nota mnima debe obtener en el final para aprobar la asignatura?


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NMERO IRRACIONAL

Son aquellos nmeros infinitos que tienen una expresin decimal no peridica y se representan con la letra I. Estos nmeros no se pueden representar como racionales es decir de la forma a/b. Las races pares de los nmeros primos son decimales infinitos no peridicos por lo tanto hacen parte del conjunto de los nmeros irracionales.

Otros nmeros irracionales son: a. El nmero pi ( = .1 15 2 5 ) que es la proporcin entre la longitud de una circunferencia y

su dimetro.

a. El nmero Euler ( = lim 1 +

= 2. 1 2 1 2 5 05 .) que aparece en procesos

de crecimiento, en la desintegracin radiactiva, en la frmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos elctricos. Su nombre por Leonhard Euler, e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier)

b. El nmero ureo ( =1+5

2= 1. 1 0 ), utilizado por artistas de todas las

pocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dal,..) en las proporciones de sus obras.

http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf

1

0 1 2 2

1 2


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NMEROS COMPLEJOS

Debido a la no existencia en el conjunto de los nmeros reales de los nmeros cuyo cuadrado sea un nmero negativo, hubo la necesidad de crear los nmeros complejos utilizados para resolver problemas de navegacin, electrnica, astronoma y sistemas dinmicos cuyos modelos son ecuaciones de grado dos o superior. Aquellas ecuaciones que no tienen solucin dentro del conjunto de los nmeros reales si la tienen en el conjunto de los complejos, expresadas en trminos de la unidad imaginaria . La unidad imaginaria Algunas ecuaciones cuadrticas no tienen solucin por ejemplo:

+ = 0 Despejando obtenemos:

=

=

La expresin = no tiene solucin en los reales, ya que no existe ningn nmero negativo que al elevarlo al cuadrado de cmo resultado -9.

Si descomponemos la expresin en = ( 1) = 1 = 1

Si hacemos = 1 la expresin quedara =

, donde se denomina unidad imaginaria

Un nmero imaginario se denota por , donde b es un nmero real e es la unidad imaginaria, en general los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negativo.

Potencias Imaginarias

= = = 1 =

= = ( ) = = = ( )( ) = Para hallar la potencia de una unidad imaginaria se se divide el exponente entre 4, y el residuo es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Ejercicios Determine las siguientes potencias de

1. dividimos 7 /4=1 el residuo es 3 en = = 2. dividimos 26 /4=6 el residuo es 2 en = = 1 3. 4. 5.


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33

Nmeros Complejos El conjunto de todos nmeros complejos se designa por Al nmero + le llamamos nmero complejo en forma binmica. El nmero se le llama par te real y el nmero parte imaginaria del nmero complejo. Si = el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que + = . Si = el nmero complejo se reduce a , y se dice que es un nmero imaginario puro.

Los nmeros complejos + y se les dice opuestos. Los nmeros complejos = + y = se les dice conjugados. Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. Suma y diferencia de nmeros complejos La suma y diferencia de nmeros complejos se real iza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s.

( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) = ( ) + ( )

Ejercicio

( + 2 ) + ( ) ( 2 + ) = ( + + 2) + (2 ) = 10 Multiplicacin de nmeros complejos El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que = 1

( + )( + ) = ( ) + ( + ) Ejercicio

( )( + ) = + = ( ) =


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RAZN Y PROPORCIN

Magnitud Es la cualidad de un objeto que se puede medir

La longitud de un cuadrado La capacidad de un recipiente El nmero de trabajadores de una obra La cantidad de dinero que se paga por un producto

Razn La razn entre dos cantidades y es la comparacin de ellas mediante la divisin, se denota

b

a o bien a : b

, donde se denomina antecedente y consecuente Ejercicios 1. Si de los 32 estudiantes de un saln de clase 12 son mujeres y 20 varones entonces

La razn entre el nmero de mujeres respecto al total de estudiantes es

=

12

2=

, es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 3 son mujeres

La razn entre el nmero de varones respecto al total de estudiantes es

=

20

2=

5

, es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 5 son varones

La razn entre el nmero de mujeres respecto al nmero de varones es

=

12

20=

5

, es decir que por cada 5 varones hay 3 son mujeres

2. En un terreno, el rea construida es de 120 metros cuadrados y el rea libre es de 80 metros cuadrados. Cul es la razn entre el rea construida y el rea del terreno total?

La diferencia entre una razn y una fraccin radica que en la fraccin los trminos son nmeros enteros con el denominador diferente de cero, mientras que en la razn los trminos pueden ser decimales. Proporcin Es una igualdad entre dos razones.

=

, donde a, d son los extremos y b, d los medios


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Propiedades de las proporciones En una proporcin del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a . d = b . c

=

. = . =

En una proporcin o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

=

=

=

+ +

+ +

Si en una proporcin cambian entre s los medios o extremos la proporcin no vara.

=

entonces

=

Ejercicios 1. La suma de las edades de dos personas es 80 aos y estn en la razn 7 : 9. Cules son las

edades?

2. La razn entre dos nmeros es 4

9 y su diferencia es 1.205 Cules son los nmeros?

3. La razn entre dos nmeros es 5

4 y la suma de sus cuadrados 369 Cules son los nmeros?

4. La suma de dos nmeros es 91 y estn en la razn 4 : 3. Calcula el valor de cada nmero 5. La diferencia entre el peso de dos vehculos es 1.200Kg y estn en la razn 7 : 4. Calcula el peso

de cada vehculo? 6. El permetro de un rectngulo es128 cm y la razn entre las medidas de sus lados es 5 : 3.

Calcula su rea

Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los trminos de una proporcin. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos trminos.

2

x=

10 entonces x=

2 10

por lo que x=5

x

5=

10 entonces x=

5

10 por lo que x=2


Matemtica Bsica

36

Medio proporcional Una proporcin es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporcin continua se extrae la raz cuadrada del producto de los extremos.

x=

x

12 entonces = 12= x= =

Tercero proporcional En una proporcin continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los trminos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los trminos iguales, dividido por el trmino desigual.

x

=

12 entonces x =

12=

Ejercicios

Calcular el valor de x en las siguientes proporciones

105=

20

5

.

=

.

5.

51 25

=

15

+

2

15 +25

=11

2

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo nmero.

Se establece una relacin de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A ms corresponde ms. A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. Si 1 kg de tomates cuesta $ 1400 , 2 kg costarn $2 800 y kg costar $700. Es decir:

A ms kilgramos de tomate mayor precio. A menos kilgramos de tomate menor precio.

Tambin son directamente proporcionales: El espacio recorrido por un automvil y el tiempo empleado.


Matemtica Bsica

37

El volumen de un cuerpo y su peso. La longitud de los lados de un polgono y su rea.

Aplicaciones de la proporcionalidad directa

Regla de tres simple y directa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

D

=

=

.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A ms a ms. A menos a menos.

Problemas

1. Un automvil recorre 240 km en 3 horas. Cuntos kilmetros habr recorrido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrer menos kilmetros.

D

2 0 2

2 0

=

2

2 0 2 = =

2 0 2

= 1 0

Es decir que en dos horas el automvil recorre 160 Km

2. Ana compra 5 kg de papa, si 2 kg cuestan $2 160, cunto pagar Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a ms kilos, mayor valor.

D 2 2 1 0 5

2

5 =

2 1 0

2 = 5 21 0 =

5 2 1 0

2= 5 00

Es decir que 5 Kg de papa costaran $5 400


Matemtica Bsica

38

3. Un medicamento antitusivo viene en presentacin de 135 ml. Si se suministra a un paciente dosis de una cucharada cada 4 horas Para cuntos das le alcanza el medicamento? (1 cucharada = 15 ml)

4. La presentacin de la penicilina es de 10 ml ya preparada y tiene 4 000 000 unidades

internacionales. Si se debe suministrar en cada inyeccin 800 000 unidades qu cantidad de penicilina debe suministrarse?

5. Una mquina envasa 1200 latas de refresco en una jornada de 8 horas. Cuntas latas de refresco envasar en un da que trabaje 5 horas?

6. Una tubera tiene una fuga de agua y pierde 322 litros de agua cada 7 minutos. En cunto tiempo se perdern 2300 litros?

7. Tres metros de tela cuestan valen $ 800. Cunto valen ocho metros de la misma tela? 8. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. Qu distancia recorre en 52 segundos, si

mantiene su rapidez constante? 9. Seis operarios cavan en 1 da una zanja de 80 metros de longitud. Cuntos metros cavarn, en

un da, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? 10.Teresa trabaj 3 horas y gan $ 8.100. A esa razn, cunto tiempo le tomar ganar $ 27.000? 11.Marcela gana $ 540.000 mensuales (considera 30 das). Cunto dinero gana en 10 das? PORCENTAJE Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Porcentaje, o tanto por ciento, es la fraccin de un nmero entero expresada en centsimas. El trmino se deriva del latn per centum, que significa por ciento, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. As, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el smbolo %. Los clculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados. Para calcular el porcentaje de un nmero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primero. Ejercicios Dado el nmero halla el porcentaje indicado:

1. 4 el 30%: 2,13,04100

304 xx

2. 1600 el 18% : 28818,01600100

181600 xx


Matemtica Bsica

39

3. 3.5 el 40% 4. 840 el 25% 5. 90 el 64% 6. 200 el 28% Ejercicios Calcula que tanto por ciento es 20 de 80 90 de 1900 16 de 360 38 de 96 Problemas

1. El precio del galn de gasolina corriente hoy en Colombia es de $8911.68 de dicho precio, el minorista de la bomba recibe 5% de utilidad, del restante se descuenta un 1% de "margen de continuidad" , del restante el distribuidor mayorista gana 3%, del restante los transportadores de combustible obtienen una utilidad del 4%, del restante el 27% es utilidad para el estado y de lo queda el 51% es utilidad para Ecopetrol, lo restante corresponde al costo de produccin de un galn del combustible Cul es el costo de produccin de un galn de gasolina corriente en Colombia?Cul es el porcentaje de incremento del galn de gasolina corriente al usuario?

Item % Valor

Precio de venta

8911.68

Vendedor 5 8466.10 Margen de continuidad 1 8381.44

mayorista 3 8129.99

Transportador 4 7804.79

Impuesto 27 5697.50

Ecopetrol 51 2791.77

El costo de produccin de un galn de gasolina corriente en Colombia es de $2791.77

Valor % 8911.68 x 2791.77 100

=100 11.

2 1. =

11

2 1. = 1 .21

El porcentaje de incremento de un galn de gasolina corriente en Colombia es del 319.21%

2. Una moto cuyo precio era de $5 000 000, cuesta en la actualidad $250 000 ms. Cul es el porcentaje de aumento? Las magnitudes son directamente proporcionales


Matemtica Bsica

40

5 000 000 100 250 000

5 000 000

250 000=

100

5 000 000 = 250 000 100 =

250 000 100

5 000 000= 5

El porcentaje de aumento ser del 5%.

3. Al adquirir un vehculo cuyo precio es de $53 000 000, nos hacen un descuento del 7.5%.

Cunto hay que pagar por el vehculo?

5 000 000 100 .5 5 000 000

=

100

.5

5 000 000 .5 = 100 =

5 000 000 .5

100

= 5 000

Para saber el costo del vehculo se debe restar 53 000 000 3 975 000 =49 025 000 Por lo tanto se debe pagar $49 0250 000

4. Si tres de cada 5 personas usan gafas, qu porcentaje de personas no usan gafas?y cul es el

porcentaje de personas que usan gafas?

5. El intestino tiene una longitud total de 7,5 metros. Si el intestino grueso mide 1,5 metros qu

porcentaje de longitud corresponde el intestino delgado?

6. Si la impresora de la universidad imprime 8 hojas por minuto,

a. cunto tardar en para imprimir 160 hojas tardar? b. En 1 hora cuntas hojas podra imprimir

7. Un joven prctica diariamente 3 deportes durante 2 horas, como lo muestra el siguiente

grfico de sectores. Cunto tiempo le dedica a cada deporte?


Matemtica Bsica

41

8. Suponga que el precio normal de un artculo es $60 000, se le descuenta el 20% y al nuevo precio se le aumenta el 20%, determine el precio final del artculo

9. En una granja el 35% de las aves son patos, el 40% pollos y las restantes gallinas. Si en la granja hay 300 aves, Cuntas gallinas que hay?

10. El 24% de las gallinas de una granja avcola murieron debido a una epidemia. Si el nmero de aves muertas fue de 28 800, cuntas gallinas tena la granja avcola?

11. El 56% de la produccin de la palma africana se utiliza para la produccin de aceite. Cunto aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma?

12. Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8%. Cunto se debe pagar por el vestido? Cul es el valor del descuento?

13. Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales. Si el arriendo se incrementa en el 6,2% cada ao, cunto debe pagar de arriendo cada uno de los prximos 5 aos?

14. El precio de un computador de $1 760 000. Si el pago es de contado se hace un descuento del 12%. Halle el precio de contado.

15. Si se producen 800 000 barriles de petrleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta qu porcentaje se exporta?

16. Si se producen 800 000 barriles de petrleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta, Qu porcentaje de barriles se exporta?

17. El precio de un artculo ms el impuesto del valor agregado (IVA) es de $ 145 000 si el IVA es del 16% halle el precio del producto sin IVA.

18. Si un salario se incrementa de $750 000 a $1 095 000 cul es el incremento porcentual?

19. Si a un trabajador le incrementan el salario mensual por 24 horas de trabajo semanal de $1 584 000 a $ 1 774 080 cul es el incremento porcentual del valor de la hora de trabajo?

20. El precio por la venta de un local es de 250 millones de pesos si se acuerda pagar 220 millones de pesos Qu porcentaje se descont?

21. Una mquina fabrica al da 450 piezas de las que 18 presentan algn defecto y se

desechan. Qu porcentaje de piezas defectuosas fabrica la mquina?


Matemtica Bsica

42

Repartos Proporcionales Para realizar el reparto de una cantidad de forma directamente proporcional a unas cantidades a, b, c, hacemos lo siguiente:

a. Se suman las cantidades en las que hay que repartir: a + b + c + ... b. Se divide la cantidad entre esa suma. El cociente nos da la constante de proporcionalidad. c. Para calcular cada parte basta con multiplicar cada cantidad a, b, c, por esa constante.

Ejemplo 1. Un padre reparte $7 000 00 en partes directamente proporcionales a sus edades: El menor de

8 aos, el segundo de 12 aos y el mayor de 15 aos. Cunto recibir cada hijo?

Inicialmente sumamos las edades + 12 + 15 = 5

Dividimos la cantidad a repartir por la suma

= 200 000

Multiplicamos cada parte por la constante:

Para el menor 200 000 = 1 00 000

Para el segundo 12 200 000 = 2 00 000

Para el mayor 15 200 000 = 000 000

Para verificar sumamos los valores 1 00 000 + 2 00 000 + 000 000 = 000 000

2. Una localidad tiene 3 colegios. El colegio A tiene matriculados 520 estudiantes, el B 360 estudiantes y el C 140 estudiantes. Para su funcionamiento se debe repartir $12 000 000 en partes directamente proporcionales al nmero de estudiantes que tienen matriculados. Cunto recibir cada colegio?

Inicialmente sumamos el nmero de estudiantes de cada colegio 520 + 0 + 1 0 = 1020

Dividimos la cantidad a repartir por la suma

= 11 .

Multiplicamos cada parte por la constante:

Para el colegio A 520 11 . = 11

Para el colegio B 0 11 . = 2 5 2 2

Para el colegio C 1 0 11 . = 1 05

Para verificar sumamos los valores 11 + 2 5 2 2 + 1 05 = 11

3. Tres obreros trabajan 15, 8 y 5 das, respectivamente, recibiendo en total $ 4 600 000 Cuanto corresponde a cada uno?

4. Dos socios tuvieron una ganancia de $28 300 000 qu beneficio correspondi a cada uno si el primero invirti $ 10 000 000 y el segundo $ 15 500 000?

5. La construccin de un puente ha costado $5 813 560 000, cantidad que han de sufragar tres municipios proporcionalmente al nmero de sus habitantes. El primer tiene 43 390, el


Matemtica Bsica

43

segundo 54 202 y el tercero 95 010 habitantes respectivamente. Qu cantidad debe pagar cada municipio?

6. Repartir 540 caramelos entre cuatro nios de forma directamente proporcional a las edades

de cada uno de ellos, que son 3, 4, 5 y 6 aos.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo nmero.

Se establece una relacin de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: A ms corresponde menos. A menos corresponde ms. Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo: A ms velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde ms tiempo. Problemas Un vehculo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuir a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto ser de 3 horas.

Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

I

=

= =

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:


Matemtica Bsica

44

Problemas 1. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depsito. Cunto

tardara si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardar ms en llenar el depsito. I 1 1

1

=

1 =

1 1

=

Si el caudal fuera de 7 l/min se taradra 36 hras en llenar el deposito.

2. 3 obreros construyen un muro en 15 horas, cunto tardarn en construirlo 5 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a ms obreros tardarn menos horas.

I 12

5

5 =

15 =

15

5

=

5 obreros tardaran 9 horas en construir el muro

3. Dos ruedas estn unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuntas vueltas habr dado la segunda? Son magnitudes inversamente proporcionales: a ms radio menos vuelta

I 25 00

5

25

5 =

00 =

25 00

5

= 100

La rueda de 75 cm dar 100 vueltas

A ms menos A menos ms.


Matemtica Bsica

45

4. La frecuencia cardiaca es inversamente proporcional a la talla. Si la frecuencia cardaca de un adulto de 1.8 metros es de 67 latidos por minuto cul es la frecuencia esperada para un nio de 90 cm o de una persona de 2.1 metros?

5. Circulando a 90 km/h hemos tardado 3 horas en recorrer una distancia. Cunto

tardaramos en llegar si furamos a 120 km/h?

6. Una piscina tiene 6 grifos que manan el mismo caudal, en litros de agua por minuto. Si solo

abrimos 2 grifos, la piscina tarda 8 horas en llenarse. Calcula cunto tiempo tardara en

llenarse si abrimos los seis grifos.

7. Si para construir una obra en 36 das se necesitan 15 operarios, cuntos operarios sern necesarios para realizar la misma obra en 27 das?

Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o ms magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Problemas 1. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor

de $56 000. qu cuesta la cantidad de agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos das.

Magnitudes N Grifos Tiempo (horas) Valor ($)

9 10 56 000 15 12 x

Planteamos la relacin a partir de la magnitud en donde est la incgnita

Magnitudes Relacin Tipo de Relacin

Valor $- N Grifos A ms grifos abiertos ms valor Directa Valor $ - Tiempo A ms tiempo ms valor Directa

La relacin sera

5 000

=

15 =

10

12

Simplificando y despejando


Matemtica Bsica

46

= 5 000 15 12

10

= 112 000

Mantener 15 grifos abiertos durante 12 horas cuesta $112 000

2. 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 das. Cunto tardarn 4 obreros trabajando 8 horas diarias?

Magnitudes

Obreros Horas diarias Das 5 6 2 4 8 x



Das - Obreros A ms obreros menos das Inversa Das Horas Diarias A ms horas diarias menos das Inversa

La relacin sera

2

=

5 =

Simplificando

2

=

5=

Despejando

=2 5

= 1. 5 2

4 obreros trabajando 8 horas diarias construirn el muro en aproximadamente 2 das

3. Si 8 obreros realizan en 9 das trabajando a razn de 6 horas por da un muro de 30 m.

Cuntos das necesitarn 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

Magnitudes Obreros Das Trabajando Horas diarias Longitud del muro

8 9 6 30 10 x 8 50




Matemtica Bsica

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Das - Obreros A ms obreros menos das Inversa Das Horas Diarias A ms horas diarias menos das Inversa

Das longitud el muro A ms das mas alto el muro Directa

La relacin sera

=

10

=

=

0

50

, simplificando

=

5

=

=

5

, despejando

= 5

5 =

Por lo tanto 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar un muro de 50 m en 9 das.

4. Una estufa de gasolina consume 10 galones en 8 das funcionando 6 horas diarias cunta

gasolina se necesita para 50 das, si se enciende la estufa durante 8 horas diarias? Organizamos las magnitudes

Magnitudes Galones Das funcionando Horas diarias

10 8 6 x 50 8


Magnitudes Relacin Tipo de Relacin Gasolina - Das A ms das ms gasolina Directa

Gasolina Horas Diarias A ms Horas ms gasolina Directa

La relacin sera 10

=

50 =

, simplificando 10

=

25=

, despejando

=25 10

= .

Por lo tanto para 50 das, encendiendo durante 8 horas diarias se necesitaran

aproximadamente 84 Galones de gasolina.


Matemtica Bsica

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5. Un depsito de 500 litros de capacidad se llena con un grifo de 4 cm 2 de seccin en un tiempo de 12 horas. Un depsito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm2 de seccin, cunto tiempo tardara en llenarse?

Organizamos las magnitudes

Magnitudes Capacidad (litros) Seccin (cm2) Tiempo (Horas)

500 4 12 750 5 x


Magnitudes Relacin Tipo de Relacin Tiempo - Capacidad A ms capacidad ms tiempo Directa

Tiempo - Seccin A ms seccin menos tiempo Inversa

, la relacin sera

12

=

500

50 =

5

, simplificando 12

=

2

=

5

, despejando

= 12

2 5= 1 .

Un depsito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm2 de seccin tardara en llenarse aproximadamente 14.4 horas. 6. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 das por 792 dlares. Cunto costar el

hotel de 15 personas durante ocho das?

7. Con 12 botes conteniendo cada uno kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuntos botes de 2 kg de pintura sern necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

8. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 das. Cuntos obreros sern necesarios para labrar otro campo anlogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco das?

9. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depsito de 400 m de capacidad. Cuntas horas tardarn cuatro grifos en llenar 2 depsitos de 500 m cada uno?


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10. Si 10 mquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 das, cuntas mquinas sern

necesarias para triplicar la produccin en 6 das, trabajando la misma cantidad de horas diariamente?

Repartos Proporcionales Para realizar el reparto de una cantidad de forma inversamente a unas cantidades a, b, c, hacemos lo siguiente:

a. Se toman los inversos:

,

,

.

b. Se igualan los denominadores por amplificacin

c. Se realiza el reparto directamente proporcional con los numeradores Ejercicio 1. Los dos camareros de un bar se reparten al final de mes un bote con $136 000 de propina de

forma inversamente proporcional al nmero de das que han faltado. Si uno ha faltado 3 das y otro 5, cuntos euros corresponde a cada uno?

Se toman los inverso

y

Se igualan los denominadores:

y

Se realiza el reparto proporcional con los numeradores

5=

=

+

5 + =

1 000

= 1 000

Luego

= 1 000 entonces = 5 1 000 = 5 000 Al que falto tres das le corresponde $85 000

= 1 000 entonces = 1 000 = 51 000 Al que falto cinco das le corresponde $51 000

Para verificar sumamos las dos partes 5 000 + 51 000 = 1 000

2. Segn un testamento, una fortuna de $65 000 miles se reparte entre tres personas en partes inversamente proporcionales al sueldo de cada una de ellas. Si los sueldos de estas personas son de $900, $1 350 y $1 800 miles, cunto le corresponde a cada una?

Se toman los inverso

,

,

Se igualan los denominadores:

,

,

Se realiza el reparto proporcional con los numeradores

=

=

=

5 000

1 = 5 000

Luego


Matemtica Bsica

50

= 5 000 entonces = 5000 = 0000 sera lo que le corresponde a quien gana $900

= 5 000 entonces y= 5000 = 20000 sera lo que le corresponde a quien gana $1350

= 5000 entonces = 5000 = 15000 sera lo que le corresponde a quien gana $1800

Para verificar sumamos los resultados 0 000 + 20 000 + 15 000 = 5 000

3. Repartir 114 caramelos entre cuatro nios de forma inversamente proporcional a las edades de ellos que son de 3, 4, 5 y 6 aos respectivamente.

4. En una competicin se van a repartir 174 puntos entre cinco participantes, en orden inversamente proporcional al tiempo que tardan en realizar la prueba. Si los participantes tardan 4, 6, 8, 10 y 12 minutos respectivamente, cuntos puntos le corresponde a cada uno?

5. Tres amigos se reparten una pizza de forma inversamente proporcional a sus pesos que son respectivamente 60, 72 y 90 kilogramos. Qu parte de pizza se debe comer cada uno?

6. Un profesor entrega una relacin de 86 ejercicios a cuatro alumnos para que se los repartan con la condicin de que cada uno resuelva una cantidad inversamente proporcional a las calificaciones obtenidas en un examen. Las calificaciones han sido 2, 4, 5 y 8. Cuntos ejercicios debe resolver cada uno?

7. Un padre reparte entre sus tres hijos 20 de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 3, 5 y 6 aos, respectivamente. Qu cantidad le corresponde a cada uno de ellos?

8. El premio de una carrera es de 550 y se repartir entre los tres primeros corredores en acabar la prueba de forma inversamente proporcional al orden de llegada, es decir, inversamente proporcional a 1, 2 y 3. Qu cantidad le corresponde a cada corredor?


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51

SISTEMAS DE MEDIDAS

CONCEPTOS BSICOS

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numricamente. Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el nmero de veces que la magnitud contiene a la unidad. Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud fsica. Tipos de unidades de medidas

De longitud (m) De superficie (m2) De volumen (m3) De Capacidad (lt) De masa (gr) De tiempo (hora) De velocidad (m/sg) De temperatura (oC) Elctricas (Voltio) De densidad (kg/m) De energa (Julio) De fuerza (Newton) de peso especfico (N/m3) de potencia (Vatio) de presin (Pa) de viscosidad (Pas)

Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto bsico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades: Sistema Internacional de Unidades o SI: es la forma actual del sistema mtrico decimal y

establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comit Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia.

Sistema Ingles de Medidas o anglosajn, es el resultado de la adopcin, por parte de los pases

de habla inglesa, en especial las ms industrializadas, entre las que destacan Gran Bretaa y los Estados Unidos.

Sistemas de Medidas de Castilla: Sistema de medida antiguo que todava se utiliza en algunos

pases de Amrica Sistema cegesimal o CGS: denominado as porque sus unidades bsicas son el centmetro, el

gramo y el segundo. Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes fsicas

valgan exactamente 1. Sistema tcnico de unidades: derivado del sistema mtrico con unidades del anterior. Este

sistema est en desuso. Un patrn de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una unidad de medida.


Matemtica Bsica

52

El sistema mtrico decimal En el pasado cada pas y en algunos casos cada regin seguan unidades de medidas diferentes, esta diversidad dificult las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792 la Academia de Ciencias de Pars propuso el Sistema Mtrico Decimal. El Sistema Mtrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los mltiplos y submltiplos de una unidad de medida estn relacionadas entre s por mltiplos o submltiplos de 10. El Sistema Mtrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: Longitud, Superficie, volumen, Capacidad, Masa. Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures), de acuerdo con el cuadro siguiente: Prefijo Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca deci centi mili micro nano pico Femto Smbolo P T G M K H D d c m n p f Factor Asociado

1015 1012 109 106 103 102 101 10 1 10 2 10 10 10 10 12 10 15

UNIDADES DE LONGITUD La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las ms usuales son:

Unidad Kilmetro Hectmetro Decmetro Metro Decmetro Centmetro Milmetro Smbolo Km Hm Dm m dm Cm Mm Equivalencia 1000m 100m 10m 0.1 m 0.01 m 0.001 m

Observamos que desde los submltiplos, en la parte inferior, hasta los mltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces ms que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejercicios 1. Pasar 50 m a cm

Si queremos pasar de metros a centmetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos

mis notas de clase aritmética

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