mis notas de clase cálculo diferencial 2012-2

Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia

la administración y la economía”

Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso

Cálculo diferencial

2

Con especial cariño a mi

madre Delva por su crianza, por la

semilla que sembraste en mí, a Lilia

mi esposa, por su apoyo, estimulo,

comprensión y sacrificio, a mis hijos

porque son mi fuente de

inspiración, a todas aquellas

personas que han creído en mi

trabajo y que me han dado la

oportunidad de seguir creciendo

cada día y a mis estudiantes a

quienes va dirigido este trabajo.

Gracias

José Francisco Barros Troncoso

Febrero 12 de 2013



3

CONTENIDO Introducción 5 FUNCIÓN

Pareja Ordenada 6 Producto Cartesiano 6

Intervalo 7 Relación 11

Función 12 Representación de una Función 12 Función Inversa Funciones Pares e Impares Raíces e Interceptos Función Creciente y Decreciente Función Acotada Concavidad y Convexidad Dominios y Rangos

18 20 22 23 24 25

25 Notación Funcional 26 Algebra de Funciones 30 Gráfica de Funciones 34 Gráfica de funciones con tecnología 35 Función Lineal 41 Ecuación de la recta 41 Modelación de la función lineal 49 Función Cuadrática 52 Modelación de la función cuadrática 58 Funciones con tecnología 53 Función Polinómica de Grado Superior a dos 60 Función Exponencial 62 Función Logarítmica 65 Tipos de logaritmos 60 Modelación de las Funciones Exponenciales 64 Funciones con tecnología 68 Función Cociente 74 Función por Parte o por Trozos 77 Función Valor Absoluto 84 INCREMENTO Y TASAS 86 LIMITE 92 Limites Laterales 92 Propiedades de los límites 93 Limites Indeterminados 93 Continuidad en un punto 94



4

Limites de las funciones definidas por partes 95 Limites Infinitos 99 Limites con Tecnología 103 LA DERIVADA 104 Tasa de cambio promedio 104 Tasa de cambio instantánea 105 Pendiente de la recta 105 Derivada 105 Fórmulas de la Derivada 107 Regla de la Cadena 112 Regla de la Potencia 112 Derivadas de Orden Superior 116 Máximos y Mínimos Relativos 117 Prueba de la primera derivada 117 Prueba de la segunda derivada 118 Derivada de las Funciones Logarítmicas 128 Derivada de las Funciones Exponenciales 130 Derivada Implícita 134 Elasticidad en la Demanda 137

Derivadas Parciales 141 Funciones de dos o más Variables 141 Diferenciación Parcial 144 Costo Conjunto y Costo Marginal 125 Productividad Marginal 150 Funciones de Demanda 151

LA INTEGRAL 153 Antiderivada 153 Integral Indefinida 153 Reglas de Integración 154 Regla de la Potencia para la Integración 158 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales 164 Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas 168 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo 173 Aplicaciones del Cálculo Integral en la Administración y en la Economía 177 Valor promedio 177 Ingreso Total 179 Valor Presente de un flujo continuo de ingreso 180 Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso 180 Superávit de Consumidor 184 Superávit del Productor 186 Integración por Partes 189 BIBLIOGRAFÍA 194



5

INTRODUCCIÓN El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad. El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional. El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.



6

FUNCIÓN

En la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamiento de dos o más variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemáticas para representar el comportamiento de los agentes económicos En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo:

En consecuencia:

La representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).

Cantidad de Producción - Costo Asociado Cantidad Comprada – Precio

Mano de Obra - Capital Oferta - Demanda

Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario

Distancia – Tiempo Dedicación – Rendimiento

Mantenimiento – Tiempo de vida

b

a

P(a,b)

Producto Cartesiano Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:



7

1

1

2

2

3

4

5

Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. Gráficamente Ejemplo 2: Sean

Su representación geométrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. INTERVALOS Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. Finitos Abierto

Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a , b) = {x / a < x <b} Gráficamente

∞ -∞

a b



8

Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x a x b} Gráficamente

Semi-abierto o semi-cerrado

(a , b] = {x a x b}

[a , b) = {x a x b}

Intervalos Infinitos:

(a ∞ x / x > a}

[a ∞ x x ≥ a}

(-∞ a x / x < a}

(-∞ a] x x a}

Ejercicios 1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes

igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)

2. Sean y a. Calcular b. Representar gráficamente

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

∞ -∞

a

∞ -∞

a

∞ -∞

a

∞ -∞

a



9

3. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1

y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A.

4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica

a.(1,3) b. (0,3] c. [- ∞ d.(-∞

e.[-0.5, 4.5) f. (

] [

)

(

∞)

5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[- ∞ calcular y representar gráficamente

a. A n B

b. B - A

c. Cc

d. Ac n Bc

e. (A - B)c – C

6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen:

a. Su unión (-8,2]

b. Su intersección [-3, 1)

c. Su diferencia (-∞

d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales

7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica?

8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a

0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200



10

Relación Regla que determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad.

x

y

(100,3800)

(0,-200)

(2.53, 0)(197.46, 0)

Unidades Vendidas

Util

idad

, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg) a. Exprese cada condición en forma de intervalo. b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg

9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador

después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0

Donde P es el número de unidades producidas por hora. a. ¿Qué significa la condición 0 ? b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo

10.La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto

producto Determine el o los intervalos

a. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué? b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué? c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué? d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué?

Ejercicios

1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación:



11

a. Que la primera componente sea el doble de la segunda. b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no

consecutivo. d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la

segunda.

2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas:

a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)

3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación.

Problemas Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular

1. Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el precio

disminuye en US$ 4 dólares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si se demandan 5 unidades.

2. Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada año se deprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehículo a los cinco años de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y la segunda el precio.

3. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio.

4. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000

unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas.

5. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o

más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas



12

6. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

7. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de Santa

Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y la segunda el número de familias vinculadas al proyecto.

8. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del

precio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I).

9. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por

00. Si la primera componente representa la cantidad de litros del

producto y la segunda el costo total de la producción.

Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota

f: A B x y=f(x)

Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman las variables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente. Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de ven, como graficas cartesianas y por formulas. De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser la madre de” “ser la cuarta parte de” “ser el siguiente de” “ser el doble de… más unidades” etc.

Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente.



13

Ejercicios Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa una función?

1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera? 2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda? 3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera? 4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda? 5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anterior

no consecutivo?

Problemas

1. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. Si producir 100 artículos cuesta US$980 y por cada cien unidades que se produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500 unidades

2. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio.

3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas.

4. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200

dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas

5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es

de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen el salario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, precio de cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Ejercicios



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1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto

apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Nº de

familias

128 253 378 503 628 753 878 1003 1128

2. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículo

Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650

Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208

3. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingresos (millones)

63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15

4. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fracción de artefactos que funcionan

0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.33

5. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de días

que lleva trabajando en una empresas de informática Días 1 5 10 15 20 25 30 45 60 Número de Computadores

1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5

En forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos.



15

Ejercicios 1. 2.

f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, 4} El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} Si en una función el co-dominio es igual al recorrido se dice sobreyectiva

f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, -2} El Co-dominio de f {1, 4, 9} El Recorrido de f{1, 4, 9} f es sobreyectiva

3. 4.

f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3} El Co-dominio de f {1, 4, 9,16} El Recorrido de f{1, 4, 9} f no es sobreyectiva

f no es una función porque hay un elemento A que no tiene imagen en B

A B f

1

2

3

4

1

4

9

16

A B f

1

4

9

16

1

2

3

A B f

1

2

3

-2

1

4

9

A B f

1

2

3

1

4

9

16



16

5. 6.

f no es una función porque hay un elemento A que no tiene dos imágenes en B

f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1} Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constante

En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos.

Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la grafica, esta no representa a una función.

Es función No es función Es función

x

y

x

y

x

y

f A B

1

4

16

1

2

-2

4

f A B

1

2

3

4

1



17

Es función No es función Es función

Inyectiva sobreyectiva Inyectiva

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

f(x)=x̂ 2, x>=0

Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica de una función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno y si la corta en más de un punto se llama sobreyectiva

Si una función, como la que se muestra en la gráfica, una parábola donde se considera únicamente la parte positiva del dominio, es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva



18

Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas y trascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas

Polínomicas

Lineales

Cuadráticas

Polinomiales

Racionales

Irracionales

Polínomicas Por trozos, (por sección o por partes )

≥

Las trascendentes

Logarítmicas log

Exponenciales 00 .

Trigonométricas cos

Esquemáticamente

f

f:A B

f-1

f -1 :B A

Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1

(x) se obtiene expresando la función x= g(y).

A B

x

y=f(x)

B A

y=f(x)

x



19

Para hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la función original, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funciones tienen inversa. Ejercicios Obtener la función inversa de cada función

1. y=4x + 1

Despejando

Graficas

2. y=x2+1

Despejando

Gráficas

3.

Despejando

Gráficas

4. Despejando

Gráficas

5. 6.

7.

8.

x

y

y=4x+1

x=(y-1)/4x

y

y=x̂ 2+1

x=(y-1)^(1/2)

x

yy=(x+3)/(x-2)

x=(3+2y)/(y-1)

x

y

y=(x-1)^(1/2)

x=y^2+1



20

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar es simétrica respecto al origen Ejercicios En cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ninguna de las anteriores

1. f(x)=x2 Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)

Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como f(x)=x2 (-1)2=(1)2 1 = 1 Por lo tanto f(x)=x2 es par

Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como f(x)=x2 (-1)2=-(1)2 1 = -1 Por lo tanto f(x)=x2 no es impar

Gráfica

2.

Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Hagamos x=1 entonces

f(-1)=f(1) como

(

)= (

)

- 1 = 1

Por lo tanto

no es par

Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces

f(-1)=-f(1) como

(

)= - (

)

-1 = -1

Por lo tanto

es impar

Gráfica

x

yy = x^2

x

y

Funciones Pares e Impares Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).



21

3.

4. f(x)=x3 5. f(x)=2x 6. f(x)=4x2-2x Ejercicios

Verificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar

1.

2.

3.

4.

x

y

y = 3x-x^3

x

y

x

y

y = 4x^5+3x^3-2x

x

y



22

Raíces e Interceptos

Ejercicios Halle las raíces y los interceptos de cada función (si existen)

1. f(x) = x2-2x-3 Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces x1-3=0 por lo que x1 = 3 y x2+1=0 por lo que x2=-1 Por lo tanto la función tiene dos raíces que son x1 = 3 y x2=-1. Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-3 Por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-3

Gráfica

x

y

y = x^3-4x

Raices

x

y

y = x^3-6x+3

Intercepto

x

y

Raices

Interceptos

Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la

curva corta al eje de la ordenada (y)

Las raíces o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, gráficamente son los puntos donde la grafica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen raíces, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x".



23

2. f(x)=x(x3-1) Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando x3=1, x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-1

Gráfica

3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5.

6. f(x)=Ln(x-1)

x

y

InterceptosRaiz

(-∞ -1) (1, ∞ (-1,1)

Función Creciente y Decreciente Una función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo,

tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del

intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y).



24

Acotada Superiormente Acotada inferiormente

Acotada No acotada

x

y(x,y) = (0,1)

Cota Superior

x

yy = x(x^3)

Cota Inferior

x

yy = 2^(1-x^2)

Cota Superior

Cota Inferior

x

yy = x(x^2-1)

Función Acotada

Una función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todo x, f(x) b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotada inferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f x ≥ b. Al número b´ se le llama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente y inferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´ f x b



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Una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Concavidad y Convexidad

Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Dominios y Rangos Las funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no se especifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste en todos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales. En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los números reales excepto: Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo. Valores que dan como resultado el logaritmo de un número menor o igual a cero.

Ejercicios Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

1.

Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero

0

x

y

Concava

x

y

Convexa

Una función es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.



26

Despejamos x

Si remplazamos x en la función original obtendremos

0

Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [

]=R-{

}

2.

Como la función se hace indeterminada si el radicando es menor que cero

0

Despejamos x

Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-

∞

3.

Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero

0

Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [

]=R-[ ∞ ]

4.

5. 6.

7. 8.

9.

Ejercicios

1. Si f(x)= 3x + 1 entonces

Notación Funcional Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).



27

a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7

b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8

2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces

a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0

b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18

c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2

d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2

3. Determine f(x + h) si

a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h

b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1

c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2

d. f(x) =

entonces f(x + h) =

Nótese que donde esta x se escribe x + h

4. Encuentre

cuando h=0 si

a. f(x)= 2x Remplazamos

b. f(x) = x2

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Simplificado

Factorizando



28

Simplificando

Como h= 0 remplazando

Ejercicios

1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)

Ejercicios

Encuentre

cuando h=0 si

1. f(x) = x + 1 2. f(x) = 3x + 2 3. f(x) = 3x2 4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3

Problemas 1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de

C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra?

Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x)

C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210

Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares.

Para 100 unidades x=100

C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200

Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares



29

Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares

2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado por

N(t) = -t3 + 6t2 + 15t 0 t ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?

3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dólares por

unidad se describe por medio de

00

a. Determine el precio si se demandan 4 y 8. b. Compare los resultados ¿qué encuentra?

4. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de

capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por f(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54

, donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Qué encuentra?

5. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?

6. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 –

6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales) a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500 b. ¿Qué significa cada expresión? c. Compare e intérprete los resultados

7. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las

partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de

p

ppC

100

7300)(

Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados



30

8. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dada por

C(x)=

( 0 x 00)

a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución

9. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de

niveles de contaminación se determina mediante

000

0

Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación

Ejercicio Dados f(x) y g(x) encuentre:

(f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f g)(x), (f g)(x)

1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1 f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) =

, si la expresión no es factorizable y/o

simplificable se deja indicada (f g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2

Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1

Algebra de Funciones Si f y g funciones se define:

a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) d. Función cociente: f(x) g(x) = (f g)(x) e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]



31

2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) =

,

(f g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 + 2x - 1 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x – 1 3. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 2 4. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 4 5. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 1 6. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 2

7. f(x) =

y g(x) =

Problemas

1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la

producción y la venta de x unidades.

Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando

G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000

La función ganancia sería

b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué encuentra?

Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000

Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0

Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500

Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500

2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g,

donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde

G(x) = 150x - 15000



32

0

Determine (g o f) ¿qué encuentra?

3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p (en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor

Por dato Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p)

La expresión del gasto del consumidor sería

b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dólares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000 A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30 dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor

4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t)

dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué representa

f(t)/g(t)?

5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de la

acción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t)

6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restaurante

en el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en el

instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) + g(t)

7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos de

publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidad

por la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué representa la función

f g

8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se

define como:

Gc = 10 000p – 10p2



33

Suponga que el costo total de una compañía se obtiene 000 0

a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades.

¿Qué encuentra

9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en un día de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además el número de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre

a. La función compuesta (P o x)(t) b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es

10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – q/2. Encuentre

a. La función compuesta (I o p)(q). b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades c. Compare los resultados que encuentra



34

GRÁFICA DE FUNCIONES

Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda.

Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)

Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le corresponde precisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar también como parejas ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).

La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la función dada



35

La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados

Ejercicio Grafique cada función en el intervalo indicado 1. f(x)=2x+1 en [0,3] 2. f(x) = x2 + 1 en [-3,3] 3. f(x)=x3 – 6x2 en [-4,4]

4. f(x)=

en [-4,4]

5. f(x)= en [-1,3] 6. f(x)=ln(2x+1) en [1,4]

Si x < 1

7. e. j(x)= 2x2 + 1 Si x ≥

Grafica de una Función con Tecnología Con Excel 2007

1. Entre a Excel 2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más

valores digite podrá obtener un mejor gráfico. 4. En A2 digite la variable dependiente (y) 5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener

en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1. 6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio. 7. Seleccione el rango 8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea. 9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar

datos. 10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar,

seleccione los datos de x, y pulse Aceptar. 11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulse

Aceptar. 12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y

escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de

datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja la opción de formato.

Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta

1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta



36

2. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas 3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft 4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica 5. Seleccione la carpeta Gráfica 6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianas

estén activadas. 7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estar

despejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos, digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica

8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráfica seleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior

9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir y Aceptar.

Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments

1. Pulse Ctrl + w (Y=) 2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH)

Con en el Winplot

El winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puede descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar

Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente.

Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú Ecua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.

Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala

Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir

Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar ubicado en el área de gráfico.

Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.

Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo

http://winplot.softonic.com/descargar



37

Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.

Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas y Ajuste

Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar las opciones escala

Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar

Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar

Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear



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TALLER DE GRÁFICOS Responda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular 1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y

(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0.15x.

a. ¿Cuál es el valor de de la propiedad a los 60 meses de uso?

b. ¿Cuál es el valor de de la propiedad los 10 años de uso?

c. ¿Cuántos años pasan para que la

propiedad se deprecie por completo? Explique

2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto

producto está dada por P(x)=60x – x2

a. ¿Cuál es la máxima productividad que se puede obtener?

b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? ¿qué decisión tomaría al respecto?

c. ¿Cuál es la máxima cantidad

de unidades que puede producir? Justifique su respuesta

x

y Valor(Millones de Pesos)

Meses

x

y

y = 60x-x^2

Utilidad

Unidades Producidas



39

3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3

a. ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades?

b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? De una explicación

c. ¿Cuál es el máximo

ingreso que se puede obtener?

d. ¿Cuál es la máxima

cantidad que se puede vender? Explique

4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un

examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos

conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por

P t 0 0e0. t

e0. t

a. A la semana ¿qué porcentaje de conocimiento recuerda?

b. ¿En cuántos meses recuerda el 40% del conocimiento?

c. Escriba 2

comentarios de la situación presentada

x

y

(x,y) = (614,0)

Cantidad Vendida

Ingreso

Cantidad Vendida

x

y

Semanas

Conocimientos Recoordados

Semanas



40

5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por

P = 10 + 50 ln(3x + 1)

a. ¿cuál es el precio si se ofertan 10 unidades?

b. ¿Cuántas unidades se deben ofertar a un precio de $260 dólares?

c. Escriba 2

comentarios de la situación presentada

6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según

y x 00x

x 0

a. ¿cuál es el volumen de ventas si se invierten 10 mil dólares en publicidad?

b. ¿Cuánto se debe invertir en publicidad para obtener 150 mil dólares en venta?

c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada

x

y

Unidades

Precio

x

y

Volumen de Ventas

Gastos de Publicidad (Miles de Dólares)



41

FUNCIÓN LINEAL

La gráfica de una función lineal es una línea recta Ecuación de la Recta

Toda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde , b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y , m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje la abscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidad que varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10 unidades En economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir, su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamente como:

Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Es decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivel de producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan la pendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) la ordenada en el origen. La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

m = y2 – y1 x2 – x1 Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es:

Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a su variable independiente



42

y – y1 = m(x2 – x1) La ecuación de la general de la recta está dada por:

ax + by + c = 0

Ejercicios 1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes

funciones: a. y = 2x + 1 b. y = -2x – 1 c. 3x + 4y = 12 d. 2x – 3y = 12

2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:

a. (2,1) y (3,-4)

b. (3,2) y (-4,2)

c. (3,4) y (3,-1)

3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3 b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2 c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)

4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna

de las anteriores: a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6

b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 8

5. Escriba la ecuación de la recta que: a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.

Problemas 1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un

precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades a. Halle la pendiente ¿qué significa?



43

Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda),

, es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es:

00 000

000 000

00

000

Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.

b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación

, remplazando

000

000

000

00

00 000

00

c. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados

d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa?

x

y

Precio

Unidades Demandadas



44

Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades

e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían negativas Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así:

0

00

, despejando

00

00 000 ó 000

f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda?

Aquí x=4500 remplazando en la ecuación

00 00 0 00 0

, a $4500 se demandarían 4250 unidades

g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando

0

00

, despejando

0 00

0

0 0 ó 0

, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520

2. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km. recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine: a. La ecuación

Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos

Relacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos) como x, por datos

Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500



45

Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800 Remplazando

y = 800x + 1500 b. ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros?

x = 5 entonces, y = 800(5) + 1500

y=4000+1500 y=5500

Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500 c. ¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar?

y = 7 900 entonces, 7900 = 800x + 1500

7900 - 1500= 800x

6400= 800x

00

00=x

X=8

Con $7900 se puede desplazar 8 Km.

3. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólares producir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos por semana. Suponiendo que la función es lineal determine:

a. La expresión que representa el costo en función del número de hornos Las variables que participan en el problema son el costo, que representaremos con la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si el costo está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de la forma (x, c) Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000). Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente:

000 000

00 000

000

00

Entonces Remplazando en la ecuación obtenemos:

000 000 000 000

Por lo tanto la expresión que representa la función es



46

Co

sto

(c)

Número de Hornos (x)

b. Grafique la función

c. ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 y

significa que por cada horno que se incremente en la producción los costos se incrementan en 6 dólares.

d. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen es b=3000, significan los costos fijos

¿Cuánto cuesta producir 500 hornos? La función es

, donde x=500, remplazando

Por lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólares

e. ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación

, c=15 000, remplazando

Con 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos

4. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. La relación entre el costo del artículo y la producción genera una función lineal. En cierta empresa si se producen 350 artículos la producción de cada artículo cuesta $993 y si se producen 500 el costo es de $990. c. Halle la función costo



47

d. ¿Cuánto cuesta producir 1000, 2700 y 125 artículos? e. ¿Qué encuentra?

5. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal que

relaciona las temperaturas. Calcule a cuanto °C equivalen 72°F y a cuantos °F equivalen 38 °C.

6. Sea P(x) la producción para cierto articulo y x el dinero invertido. Si se invierten

$10.000 dólares se producen 92 artículos; si se invierten $50.500 se producen 497.

Suponiendo que la función línea,

a) Determine la ecuación de la función suponiendo que la función línea

b) ¿Cuántos artículos se producen si se invierten $ 8000 dólares?

7. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese la

temperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal.

8. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1 000 000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5 000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, determine: a.La expresión que representa la función costo C(x) b.El costo de producir 100 y 200 lámparas. Compare los resultados ¿qué encuentra? c.El número de lámparas que se pueden producir con $1 500 000.

9. Un comerciante puede vender 20 máquinas eléctricas a un precio de 25 dólares cada

una, pero a un precio de 20 dólares vende 30. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación de la demanda b. Si decide incrementar el precio en 30 dólares ¿cuántas máquinas venderá? c. Si quisiera vender 40 unidades ¿cuál sería el precio?

10.Si se demanda una unidad a un precio de 13 dólares pero por cada dólar que

disminuya el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determine a. La ecuación de la demanda b. ¿cuál sería el precio si se demandan 5 unidades? c. ¿cuántas unidades máximas se pueden demandar?

11.Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determine a. La ecuación de la depreciación b. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado? c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo?



48

12.El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación b. El precio de un viaje de 8 millas c. ¿Qué distancia se recorre con $25 000?

13.A un precio de $10 dólares por unidad una compañía proveerá 1 200 unidades de su

producto y a $15 dólares, 4 200. Suponiendo que la ecuación es lineal, determine a. La ecuación de la oferta b. En $20 dólares ¿cuántas unidades proveerá? c. Si se desea proveer 5 000 unidades ¿a cómo debe vender?

14. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación lineal

total en 15 años hallar a. La ecuación b. El valor de la máquina en 7 años

15.No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o

más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación de la demanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dólares y a qué precio se demandarán 2000 unidades

16. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con un

valor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuál es el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para que la impresora se deprecia por completo?

17. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de

$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle el costo de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué encuentra?

18. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cada

unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares. a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particular

b. Suponiendo que la función es lineal Halle la ecuación de la función

c. ¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades?

d. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar?

e. Grafique la función

f. Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquela

en el mismo plano a la anterior



49

g. El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo,

¿Qué significa?

h. ¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta?

19. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es

y= 36 –0. 15x. a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses? b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo?

20. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con

distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en miles de dólares) de hombres y mujeres respectivamente. a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función?

Interprete la pendiente como tasa de cambio. b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿qué

pronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres?

21. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el número de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válido hasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa.

22. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo total

C(x)=17x+ 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x. a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras? b. Grafique la función ganancia c. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades?

23. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal del

número h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m3 de agua al mes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mes a. Determine la función lineal b. ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses? c. Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantes

como máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua? Modelación de Función Lineal 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola

en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999



50

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Nº de

familias

128 253 378 503 628 753 878 1003 1128

a. Escriba una ecuación lineal de la situación. b. Grafique la función c. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el

2010? d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familias

vinculadas al proyecto?

2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el precio de sus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de las ventas con respecto al precio

Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208

a.Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación. b.Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000. c.Pronostique a qué precio no venderá nada



51

TALLER 1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las gráficas de las siguientes

funciones: a. y =-3x + 2 b. y = 4x – 1 c. 10x + 5y =15

2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:

a. (5,-9) y (6,8) b. (8,8) y (4,-4)

3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1 b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2) c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7) d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuación y = -x + 7.

4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna

de las anteriores: a. 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6

b. 16x + 4y = 4; y=

x + 7

5. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de

$59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función es lineal a. Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990. b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010

4. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una función lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme N aumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), el precio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la recta determinada por esta información.



52

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma

y = f(x) = ax2 + bx + c,

, donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo.

La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta otra línea. La ecuación del eje de simetría es

a

bx

2

El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en

a

bx

2 y es:

a

bf

2.

x

yy = -x^2+2x+1

a < 0

x=-b/2a

f(-b/2a)

V(-b/2a, f(-b/2a))

Máximo Relativo

Eje de Simetría

Valor óptimo

x

yy = x^2+2x-1

a > 0

x=-b/2a

Eje de Simetría

Valor óptimof(-b/2a)

V(-b/2a, f(-b/2a))

Mínimo Relativo



53

El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en

Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen

a

acbbx

2

42

Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones 1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice 2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario

tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría.

Ejercicio Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función.

y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 – 4 y = 2x2 +18x y=x - x2 y = -2x2 + 16 y = -x2 + 5x - 4 y= x2 − 8x + 15

y= x2 − 3x − 28

Ejercicio Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5) La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la forma

y = ax2+ bx + c (Ec1)

Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazando cada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3, que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así: Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1)

8 = a(1)2 + b(1) + c 8 = a + b + c (Ec2)

Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1)

a

bf

a

bV

2,

2



54

20 = a(3)2 + b(3) + c 20 = 9a + 3b + c (Ec3)

Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c 5 = 4a - 2b + c (Ec4)

Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5) Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a – b – c 12 = 8a + 2b Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6) Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a – b – c -3 = 3a - 3b Factorizando: -1 = a – b (Ec7) Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b -1 = a – b 5 = 5a despejando Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo Remplazando en (Ec1) la ecuación sería: Ejercicios Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados:

(1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0) Problemas Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x

dólares en publicidad del producto, y

y = 50x – x2

a = 1

b = 2

c = 5

y = x2 + 2x + 5



55

a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa?

Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x -b

a

Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0

Remplazando:

x b

a

0

0

Remplazando en la función original:

y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625

Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades y

se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidad

b. Halle los interceptos ¿qué significa?

Remplazamos a, b y c en la ecuación general

x b b ac

a

0 0 0

0 0

0 0

, encontramos 2 raíces

x 0 0

0 y x

0 0

00

0

Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando se

invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad

c. Grafique la función

x

y

(25,625)

Publicidad

Unidades



56

2. La función costo de un fabricante es C (x)= 1000 + 5x – 0.1 x² dólares, cuando se producen x unidades de cierto producto al día. a.Halle el valor óptimo ¿qué significa?

b.Grafique la función

3. Los ingresos mensuales de cierta fabrica de llantas se pueden calcular mediante la

expresión

F(x)=2x2 - 100x – 20

, donde x es el número de unidades vendidas en el mes y f(x) está dado en miles

de pesos.

a. Determine el ingreso mensual si se venden 50 unidades. ¿Qué encuentra?

b. Determine el ingreso mensual si se venden 60 unidades. ¿Qué encuentra?

c. Grafique la función

d. Interprete la gráfica

4. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una

máquina fotocopiadora son de

R(x) = -0.04x2 + 2000x , pesos por semana a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. Determine los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función

5. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por

P(x)=60x – x2 a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. Grafique la función

6. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada por P= 0.125x2- 0.5x + 15

, donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares. Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo, ¿qué significa?

7. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M1 es

P(x)= -0.04x2 + 240x – 10 000



57

, dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o mínimo y que significa.

8. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por g(x) = 180x + 0.01x2-200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función.

9. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es 0. 00 ¿Qué cantidad de unidades maximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la función.

10. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente

00 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es la máxima producción posible? Grafique la función.

11. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de

1001.016 2 xxP dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible?

12. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es

2004.080 2 xxP ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible?

13. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2

determine: a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría) b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?) c. Grafique la función

14. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por U(x)=130+80x-x2 millones de pesos. Determine a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función

15.La rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión x, en millones de

pesos viene dada por 0.00 0.

a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función



58

Modelación de Función Cuadrática

1. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados

a. Encuentre la ecuación b. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre el

ingreso mínimo. c. Compruebe los datos contra los datos de la tabla d. Trace la gráfica

2. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresa

para varios años

a. Encuentre las ecuaciones:

De ingreso por venta con respecto al número de años De costos y gastos con respecto al número de años

b. Use la función para: Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima que

se pronostica c. Trace la gráfica de la función Costos y Gastos d. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes o

decrecientes? Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones:

f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2x

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingresos (millones)

63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingreso

x venta

2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7

Costos y

gastos

2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9



59

TALLER 1. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o

mínimo), el vértice, los interceptos y grafique cada función. a. y = 2x2 + 3x – 1 b. y = 3 – x - 3x2

2. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (-1,1), (0,-1), (1,3) 3. La función oferta para un producto está dada por la ecuación 00,

donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine. a. El eje de simetría b. El valor óptimo ¿qué significa? c. Los interceptos ¿qué significa? d. Grafique la función. e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100?

4. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus

productos depende del precio. La función que describe esta relación es 00 0 , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q. a. Escriba la expresión que representa el ingreso b. El eje de simetría c. El valor óptimo ¿qué significa? d. Los interceptos ¿qué significa? e. Grafique la función. f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10.



60

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS

Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función. En la Economía... Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. Problemas 1. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( en

dólares por unidad) está dado por

0 00

, donde q 0 a. Halle la función costo total

b. Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidades

c. Interprete los resultados

2. Un empresa fabrica mesas para computador y determina que el costo total (en miles

de pesos), cuando se producen que cientos de unidades está dada por

C(q)= 2q³- 9q² +12 q + 20

a. Calcule el costo de producir 100 (q=1), 300 (q=3) y 500 (q=5) unidades ¿qué

encuentra?

b. Grafique la función en el intervalo [0,5]

3. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador

después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0

Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividad después de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función

La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n-ésimo grado.



61

4. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es

0

0

Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función

5. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta productora

de discos, esta dado por C(x)=1 500 + 3x + x3, Calcule C(100), ¿qué significa? 6. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos

en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión

y = 3x + 8x2 - x3

a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m. b. Compare los resultados que encuentra

7. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto está

dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3

, donde x son las unidades vendidas. a. Calcule el ingreso por la venta de 614 y 615 unidades b. Compare los resultados ¿qué encuentra?

8. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3

a. Calcule C(100) ¿Qué significa? b. Calcule C(200) ¿Qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

9. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es

C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a. Calcule el costo de producir 1000 jeans. c. Calcule el costo de producir 2000 jeans. d. Compare los resultados ¿qué encuentra?

10.La función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para una

empresa, está dada por

C(x)= 300x-10x2-

a. Calcule el valor de producir 100 unidades b. Calcule el costo de producir 200 unidades c. Compare los resultados ¿qué encuentra?



62

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversas aplicaciones Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es donde ℮ es un número irracional fijo aproximadamente . … . Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula , donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años. El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse. Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimiento exponencial. Ejercicios

Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en 3 decimales)

100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3

e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2

Si es un número real talque 0 y , entonces la función f(x) es una función exponencial



63

Problemas 1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r

(expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será

Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿Qué encuentra?

2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será

Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente

3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%. Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué encuentra?

4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual de

, donde i es el pago del interés por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que

i= .

)

5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de interés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse mensualmente para amortizar la deuda?

6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por 0000 .00 . Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años.



64

7. El porcentaje de personas que repondieron a un comercial televisivo para un nuevo producto después de t días después del lanzamiento, se encuentra con la expresión

0 00 . a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 días después

del lanzamiento del comercial. b. ¿Cuántos días deben pasar para que responda el 50% de las personas

8. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la

fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente .

a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año? b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los

artefactos?

9. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras domesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada por

D(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0) Grafique la función y responda

a. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año? b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.

9. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) después

de t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula 0 000 .

Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años 10. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para

los años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de .

Donde t es el número de años que han pasado desde 1975. a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990 b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuos

llegará a 20 000.



65

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

log

Donde a Є R, a 0 y a a se denomina base del sistema de logaritmos.

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .

Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.

Propiedades

log 0 log log

log . log log log

log log

log log log

log

ln

Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el número 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el número e. Se escriben loge x = ln x

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.



66

Ejercicios Escriba cada ecuación en forma exponencial

4 = log2 16

4 = log3 81

log log

Ejercicio Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log log

log

log

Ejercicio Escriba cada expresión en forma logarítmica

25 = 32

53 = 125

4-1 =

91/2 = 3

Ejercicio Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes

log

Ln (x + y)(4x + 5)

log

Ejercicio Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 2x – 1= 5 5(3x+2) – 1 = 14 Ejercicio Use la calculadora para determinar

ln . ln

ln ln

ln ln

ln

ln ln

ln

ln



67

Problemas 1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es

X=5000 – 1000 ln(p + 40)

, donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular la

cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólares

Si p=5,

x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8)

x= 5000-3806.66=1193.33

Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidades

Si p=10

x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91)

x= 5000-3912.02=1087.97

Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades.

Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadas

disminuyen de 1193 a 1088.

2. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmente

en publicidad para vender x unidades de un producto está dada por

00 ln 00

00

a. Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades,

compare los resultados que encuentra. b. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólares

semanales en publicidad.

3. Digamos que la función demanda para un producto está dada por

00

ln

a. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?

4. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades? b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares?



68

5. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por

R(x) =

Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado

6. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1).

a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares

7. La función demanda de un producto está dada por p =

donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?

8. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicó

un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo en meses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos?

9. La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelar

por T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura al momento de servirlo?¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomado T=120 °F?

10. Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden en

t horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. ¿Qué fracción de bombillos las primeras 48 horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos?

11. La eficiencia de un obrero común de un fábrica está determinada mediante la

función f(t)=100 – 60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por día después de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajador nuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día?

12. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de

0000 . , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar 1. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña

publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.



69

13. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usando estas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con la ecuación

.

Donde x es el número años transcurridos desde 1990. a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes.

Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique la población de 1990.

b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008?

14. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la expresión

000 . 0 t 0

Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debe pasar para que un objeto disminuya su valor en $10000

15. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de

computadora después de t años de uso sea

P(t)=100(1 – e-0.1t) Grafique la función y responda lo siguiente a. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 años b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos. c. 0000000

Modelación de las Funciones Exponenciales

10. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, las ventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habían bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine

a. La expresión que representa la función

La función es de la forma , donde x es el número de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad. Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k, por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando

000 0000



70

x

y

Nu

mero d

e E

jem

pla

res (

x)

Tiempo (meses)

000

0000

0. ln 0. ln

0. ln

Por lo tanto . Es decir que la función es de la forma .

Grafique la función

b. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando . . .

En un año venderá aproximadamente 3 ejemplares

c. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando

00 0000 . 00

0000 .

0.0 . 0.0 .

. 0 0. Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300 ejemplares.

11. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $

100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000? Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es:

(Ec1)



71

, donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos hallar así Remplazando

00 . , aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

ln . ln 0. 0 , entonces k=0.05 Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 00 . Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando

00 . Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones

12. El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional

de comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008?

13. Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Su

valor actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuye en forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuál será el valor de la maquinaria en cuatro años

14. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110

517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población, calcule la población en el 2015.



72

TALLER TEMA: Función Exponencial y Función Logarítmica

1. Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmica

Potencia Logarítmica Potencia Logarítmica 54

2. Escriba cada ecuación en forma exponencial

Logarítmica Exponencial Logarítmica Exponencial log3 27=3

log3 243=5

log

log

=

3. Indique el valor de x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial

Expresión Valor de x Expresión Valor de x log log

log

log

4. Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que

no contienen exponentes Expresión Equivalencia

ln

ln

ln



73

5. Use la calculadora para determinar Expresión Resultado Expresión Resultado

ln ln

ln

ln 0 ln

ln 0

ln ln

ln

6. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de 0000 . , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar: a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña

publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000. Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 2(x3)

f(x) = 3-2x

f(x)= e-x

f(x) = 50(1+e10x)

f(x)=

f(x)=14.1 ln(x) f(x)=ln (x-3) f(x)=

f(x)=



74

x

y

FUNCIÓN COCIENTE

Problemas 1. Una persona comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que

calcula el número de computadores que ensambla, en función del tiempo, viene dada por:

, donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de computadores que ensambla. a. Grafique la función

b. ¿Cuántos computadores ensamblará el primer día? ¿Cuántos computadores

ensamblará al mes? Para t=1,

El primer día ensamblará 1 computador Para t=30 (un mes)

0 0

0

0

.

En un mes ensamblará aproximadamente 5 computadores.

c. ¿Cuántos días tardará para ensamblar 3 computadores? Aquí f(t)=3

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por

, es otra función definida donde g no puede ser igual a 0 por que tendríamos una

indeterminación.



75

Por lo tanto en 5 días esta ensamblando 3 computadores

2. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

00 00

Determine el número de libras de de durazno p de buena calidad si el árbol se rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez

más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será

0

dólares

Determine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un año después de haber salido al mercado. Compare los resultados ¿qué encuentra?. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

4. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la

función

00 0

00

, donde x son las unidades demandadas. a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidades b. Compare los resultados que encuentra c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

5. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de

dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera:

0

Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitación. Compare los resultados ¿qué encuentra? Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.



76

6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según

x ≥ 0

a. Calcule las ventas si se invierten 10 y 20 mil dólares en publicidad ¿se duplican las

ventas? b. ¿Cuál debe ser la inversión en publicidad si se desea obtener una venta de 100 mil

dólares? c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

7. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es

0 000 000

a. Calcule la población en 5 y 10 años ¿se duplica la población b. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población llegue a 40 000 habitantes? c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

8. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por

0 0

, donde t es el número de días en el trabajo. a. ¿Cuántos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un mes

laborando? b. Cuánto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamble

sea de 15 minutos c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.



77

(x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1, rango 1 1. j(x) = 3 + x Si x > -1, rango 2

x

y

y=x+3

y=(x+2 )^ 3 +1

FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS

Ejercicios Dadas las funciones

Determine: a. j(-1)

Inicialmente debemos ubicar el rango donde está el valor de la variable independiente x, para el caso particular el valor está ubicado en el primer rango, j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1

= 1 + 1 = 2 b. j(0)

El valor x=0 está ubicado en el segundo rango

j(0)=3 + 0= 3 c. j(-2)

El valor x=-2 está ubicado en el primer rango

j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 = 0 + 1 = 1

Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente variable “x” esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.



78

Determine a. f(3)

El valor x=3 está ubicado en el segundo rango f(3)=3 – 2 = 1

b. f(1) El valor x=1 está ubicado en el primer rango

f(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3 c. f(2)

El valor x=2 está ubicado en el segundo rango

f(2)=2 – 2 = 0

Gráfica

x2 Si x 0

, Si x < 2

3. j(x)= 4. j(x) =

, Si x > 0 Si x ≥ Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)

, Si x < 1

, Si x < 2

5. j(x)= 6. j(x) =

2x2 + 1 , Si x ≥ Si x ≥ Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2) Problemas 2. El índice de contaminación atmosférica C en cierta ciudad varia durante el día de la

siguiente manera: 2 + 4t Si 0 t 6 + 2t Si t C(t)= 14 Si t 50 – 3t Si t

x

y

y=4 -x^ 2

y=x-2

4 – x2 Si x < 2, rango 1

2. f(x) = x – 2 Si x ≥ 2, rango 2



79

x

y

C (t)=2 +4 t

C (t)=6 +2 t

C (t)=1 4

C (t)=5 0 -3 t

H O RAS

NIV

EL

DE

CO

NT

AM

INA

CIÓ

N

, donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m. a. Represente gráficamente la función dada.

b. En una tabla indique cuales son los niveles de contaminación a las 7:00 a.m., a

las 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m. Hora Tiempo (t) Nivel de contaminación C(t) 7:00 a.m. 1 C(1)=2+4(1)=6 8:00 a.m. 2 C(2)=6+2(2)=10 12:00 m 5 C(5)=14 4:00 p.m. 10 C(10)=14 8:00 p.m. 14 C(14)=50-3(14)=8

c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

3. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a

0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200

, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y

200 kilogramos

Si x=50, por datos está ubicado en el primer rango,

C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40

El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dólares

Si x=200, por datos está ubicado en el segundo rango,

C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140

El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dólares

A mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviar

mayor carga.



80

Gráfica

4. La ecuación oferta para cierto producto es:

.

000 0 000

000 000 000

.

000 000

Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden: a. 2000 unidades

Observe que las x=2000 unidades estarían ubicadas en el 1 rango,

. 000

000 . .

, es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sería 3.3 mil de pesos b. 7000 unidades

Para este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando

000

000 . .

, es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sería 4.4 mil de pesos

c. 14 000 unidades Acá x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando

. 000

000 . .

, es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sería 4.8 mil de pesos

x

y

C(x)=0.8x

C(x)=0.7x

C(x)=0.65x

CO

STO

( D

ólar

es)

PESO (KG)



81

x

y

PR

EC

IO (

Mil

lon

es

de

Pe

sos)

UNIDADES OFERTADAS

3.2+X/20003+X/5000 2.8+X/7000

5. La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguas

negras esta dada por la función

0 si 0 t

- 0t 0 si t f(t)= 100 si t

-5t2 t 0 si t 1.25t2 – 26.25t + 162.5 si t 0

Donde f(t) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a 1989. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 y en el 2000? Para hallar la cantidad de desechos sólidos que se descargan en un año específico se cuenta el número de años que han pasado desde 1989 hasta dicho año. Para 1991 hallamos el número de años que han pasado desde 1989,

1991-1989=2 , es decir t=2, estaría ubicada en el segundo rango, remplazando

f(2)=-30(2)+160=-60+160=100 , indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/día de desechos sólidos Para 1995 hallamos el número de años que han pasado desde 1989,

1995-1989=6 , es decir t=6, estaría ubicada en el cuarto rango, remplazando

-5t2 +25t + 80 f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50

, indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/día de desechos sólidos Para 2000 hallamos el número de años que han pasado desde 1989,

2000-1989=11 , es decir t=11, está fuera de rango, es decir no aplica para este problema



82

x

y f(t)=-30x+160

f(t)=100

f(t)=130

f(t)=-5t^2+25t+80

f(t)=1.25t^2-26.5t+162.5

CA

NT

IDA

D D

E D

ESE

CH

OS

(Ton

elad

as/d

ía)

AÑOS ( t=0, 1989)

6. Cierta compañía de envio de mercados líquida los envíos de acuerdo a

120x+1200 Si 0.01 x 20 200x+1700 Si 20 < x 30 C(x)= 250x+2200 Si 30 < x 50 280x+2700 Si 50 < x

, donde C(x) se da en dólares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20, 45,

30 y 60 gramos

7. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la

función

0 0.0 x Si 0 x 00 C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 00 49.40 + 0.05(x-500) Si x > 500 Calcule el cargo mensual si se consumen:

a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora

8. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función



83

1.965t – 5.65 cuando 5 t 20 P(t)= 0.095t2 – 2.925t + 54.15 cuando 20< t 40

Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto para los programas de educación en 1980 y el 2007.

9. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada

por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función: 7.52 + 0.1079x si 0x5 19.22 + 0.1079x si 5<x750 C(x) = 20.795 + 0.1058x si 750<x1500 131.345 + 0.0321x si x>1500

Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos. a. a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh

10. La edad promedio (en años) de la población de Estados Unidos de 1900 a 2000 está

dada aproximadamente por la función . t . Si 0 t f(t)= -0.7t2 . t . Si t

2.6t + 9.4 Si 7 t 10

, donde t se mide en décadas y t=0 corresponde a 1900. ¿Cuál era la edad promedio de la población de Estados Unidos al inicio de 1900? ¿Al principio de 1950? ¿Principio de 1900?

11. De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la

salud, f(t) (como porcentaje de sus ingresos), en el año t, donde t=0 corresponde a 1977, esta dado por

Si 0 t

f(t)= t + 7 Si t 0

Si 10 < t < 20

Determine el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 1982 y 1992. ¿Hasta qué año es aplicable el modelo?



84

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica va a estar siempre por encima del eje de la abscisa o, a lo sumo, tocándolo.

Por definición, el valor absoluto de un número positivo es igual al mismo número

para x ≥ 0

Pero el valor absoluto de un número negativo es positivo

para x < 0

Se puede escribir una función usando una función por pate o por trozos

x si x≥0

-x si x<0

La gráfica que genera una función es

Ejercicios: Resolver cada función

a. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

0 entonces

Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

x

yy = abs(x)

La función de valor absoluto tiene por ecuación

f(x) =y= |x|

, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

3

+ --



85

Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante.

-(x-3) si x < 3

(x-3) si x ≥ 0

b. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

0 entonces



-(2x - 4) si x < 2

2x - si x ≥

c. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

0

, factorizando es decir 0 y 0



si x 1

si 1<x<4

si x ≥ 4

d. e. f. g.

2

+ --

+ --

1 4

+



86

Funciones Trigonométricas

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Las funciones trigonométricas básicas son

características Gráfica

Seno: Abreviado sen Raíz de la palabra del latín sinus

(hueco, cavidad, bahía). Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] El período de la función seno es 2 π. La función y =sen(x) es impar, ya que

sen(-x)=-sen (x), para todo x en IR. La gráfica de y=sen(x) intercepta al

eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. Para todo número entero n.

El valor máximo de sen(x) es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función.

f(x)=sen(x)

Coseno: Abreviado cos Es el complemento del seno Dominio: IR

Recorrido: [-1, 1]

Es una función periódica, y su período es 2 π.

La función y=cos(x) es par, ya que cos(-x)=cos (x), para todo x en IR.

La gráfica de y=cos(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =(π/2) + nπ, para todo número entero n.

El valor máximo de cos(x) es 1, y el

f(x)=cos(x)



87

valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cos(x) es 1.

Tangente: Abreviada tan o tg Línea o superficie] que se toca en un

punto sin cortarse La función tangente es una función

periódica, y su período es π. La función y=tan x es una función

impar, ya que tan(-x)=-tan(x). La gráfica de y=tan(x) intercepta al

eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π , para todo número entero n.

f(x)=tan(x)

Cotangente: Abreviada cot o ctg Es la razón inversa de la tangente Dominio: IR –{n π, n Z}

Recorrido: IR Impar: cot x cot(x)

f(x)=cot(x)

Secante: Del latín secare (cortar), recta que

corta a una circunferencia en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto

La función secante. Abreviada sec Es la razón inversa de la función

coseno Dominio: IR –{(2n+1)(π/2), n Z}

Recorrido: ∞ ] ∞ Período:2 rad Par: sec(-x) = sec(x).

f(x)=sec



88

Cosecante Abreviada csc Es la razón inversa del seno Dominio: IR –{nπ n Z} Recorrido: ∞ ] ∞ Período: 2 rad Impar: csc(-x) = -csc (x)

f(x)=csc(x)

Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

INCREMENTO Y TASAS

El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en variables dependientes cuando hay variaciones en variables independientes. Por ejemplo

El cambio del costo de operación que resulta de cada unidad adicional producida El cambio en la demanda de cierto artículo si se incrementa o disminuye el precio

unitario de este. El cambio del producto nacional bruto de un país con cada año que pasa

Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 – x1 se denomina incremento de x y se denota Δx . Usamos la letra griega Δ para denotar el cambio o incremento de cualquier variable. Es decir

Δx = x2 – x1 Si y es una variable que depende de x tal que y=f(x) esta definida para todo valor de x entre x1 y x2, cuando x=x1, y1=f(x1), de manera similar si x=x2, y2=f(x2), así el incremento de y es

Δy y2 – y1

, entonces Δy f x2) - f(x1)

Problemas 1. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por

C=0.001x3-0.3x2+40x+1000 Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60.



89

Debemos calcular ΔC= C2- C1 Hallamos C1, hacemos x=50 C1=0.001(50)3-0.3(50)2+40(50)+1000 C1=125-750+2000+1000=2350 Hallamos C2, hacemos x=60 C2=0.001(60)3-0.3(60)2+40(60)+1000 C2=216-1080+2400+1000=2536 Remplazando en: ΔC= C2- C1 = 2536 -2350 = 186 Si las unidades se incrementan de 50 a 60 el costo de producción se incrementa en 186 Unidades monetarias

2. La venta semanal S (en dólares) de un producto se obtiene por medio de 0000 .

, donde x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar la venta si el número de semanas se incrementa de 2 a 3. Debemos calcular ΔS= S2- S1

Calculamos S1 haciendo x=2, remplazando 0000 . 0000 . 0000 0. 0 .

Calculamos S2 haciendo x=3, remplazando

0000 . 0000 . 0000 0. 0 .0. Remplazando en ΔS= S2- S1 = 0 .0. 0 . . El signo negativo indica que pasar de la 2 a la 3 semana las ventas disminuyen en 389.56 dólares.

Sean los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) de la función y=f(x), el incremento Δx es igual a la distancia horizontal de P a Q y el incremento Δy la distancia vertical



90

Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1, para x2, x2 = x1 + Δx remplazando x2 en la definición de Δy, obtenemos

Δy=f(x1 + Δx) – f(x1)

Ejercicios Determine los incrementos de cada función 1. f(x)=2x + 7 ; Si x=3 y Δx 0.

Remplazando en Δy=f(x1 + Δx) – f(x1)

Δy=f(3 + 0.2) – f(3)=f(3.2)-f(3)=[2(3.2)+7)]-[2(3)+7] Δy=(6.4+7)-(6+7)=13.4-13

Δy=0.4 Es decir que un incremento de x en 0.2 genera un incremento en y de 0.4

2.

; .

Remplazando en f(x1 + Δx) – f(x1)

f(2 + 0.5) – f(2)=f(2.5)-f(2)

.

.

.

.

.

Es decir que cuando el incremento de de x es de 0.5 se incrementa en 1.4 La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x Δx se define como la razón Δy Δx. Por tanto la tasa de cambio promedio de y respecto a x es

Δy

Δx

P(x1,y1)

y=f(x) y

x

0

y1

y2

x1 x2

Q(x2,y2)

Δy< 0 y2

y1

x2 x1 y=f(x)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

Δx > 0 x

y



91

Ejercicios Calcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado

1. ; 0. Remplazando en

0.

0.

.

0.

.

0.

.

0.

.

Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a x cuando x=2 y su incremento 0.5 es igual a -5.1

2. ; . Remplazando en

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a t cuando t=5 y su incremento 1.24 es igual a 0.16 Problemas 1. El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía está dado por la función

. , donde t=0 corresponde a 1991. Calcular la tasa de cambio promedio del IPC entre 1992 y 1993. Inicialmente debemos hallar Para 1992, t=1 y en el 1993 t=2 es decir que y Remplazando en



92

0 . 0 .

.

Es decir que la tasa de cambio del índice de precios al consumidor entre 1992 y 1993 tuvieron una tasa de cambio promedio de 1.6

2. Cuando el precio (en dólares) de cierto producto es igual a p, el número de artículos

que pueden venderse por semana (demanda) está dado por

Determine la tasa de cambio promedio de la demanda si el precio se incrementa de 4 a 6.25 Debemos hallar

p p

p

, donde p . y p . . , remplazando

.

.

. .

.

.

.

Es decir que las unidades demandadas disminuyen en 21 unidades cuando el precio se incrementa de 4 a 6.25 dólares.

3. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es

C(x)=5000 + 10x + 0.05x2. Determinar la tasa de cambio del costo de producción el número de unidades producidas se incrementa de 50 a 100 unidades. Interprete el resultado.

4. La relación entre la cantidad de dinero x que se invierte en publicidad por una compañía y sus ventas totales S(x) está dada por la función

S(x)=-0.002x3+0.6x2 x 00 0 x 00

, donde x se da en miles de dólares. Halle la tasa de cambio promedio de las ventas si la publicidad se incrementa de de 100 000 (x=100) a 150 000 (x=150) dólares. Interprete el resultado.



93

5. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

00 00

Determine la tasa de cambio promedio del número de libras de durazno de buena calidad si la cantidad de insecticida se incrementa de de 0 a 3 libras. Interprete el resultado.

6. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera:

0

x ≥

Determine la tasa de cambio promedio de las ventas mensuales de un vendedor nuevo si las horas de capacitación se incrementan de 10 a 15. Interprete el resultado.

7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

00 000

Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas se incrementan de 40 a 50 unidades. Interprete el resultado.

8. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad

se describe por medio de

00

Determine la tasa de cambio promedio del precio del precio si las unidades demandadas disminuyen de 12 a 6. Interprete el resultado.

9. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo

para ensamblar una unidad de un producto está dado por

0 0

, donde t es el número de días en el trabajo. Determine la tasa de cambio promedio del promedio por minutos que requiere un empleado para ensamblar una unidad cuando lleva 15 días de haber ingresado al trabajo. Interprete el resultado.



94

10.Suponga que la demanda de un producto se define mediante

00 000

Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Determine la tasa de cambio promedio del precio cuando las unidades solicitadas se incrementan de 100 a 200. Interprete el resultado.

11.Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por

, donde p es precio unitario en dólares. Determine la tasa de cambio del volumen de ventas si el precio disminuye de 11 a 10 dólares por unidad. Interprete el resultado.

12.El costo promedio de fabricar cierto artículo es

, donde x es el número de artículos producidos. Determine la tasa de cambio promedio del costo cuando se fabrican entre 10 y 20 artículos. Interprete el resultado.

LIMITE

¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidad límite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable. A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeños números de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, se convierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas instantáneas.

Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se tiene que analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la idea de de limite (Técnicas de Aproximación)

Si f(x)= x2-x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3 x + 2 x + 2



95

x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximos a -2

x -3 -2.5 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.8 -1.5 -1 f(x) -6 -5.5 -5.2 -5.1 -4.9 -4.8 -4.5 -4

Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a c excepto quizás a c, entonces:

Se lee “el límite de f x cuando x tiende a c es igual a L”. El limite L existe si podemos hacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de x suficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito L cuando x tiende a c decimos que no existe el limite Límites Laterales Limite por la derecha: Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x c, aunque x > c. Limite por la izquierda Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x c, aunque x < c. Consideraciones Especiales El límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c, cuando existe Lim f(x) = L cuando x c, el valor de la función en c puede ser: Igual al límite, Indefinido o definido pero diferente al límite. Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real) Propiedades de los Límites Si k ε R y

Lim k = k x c-

Lim f(x) = L x c

Lim f(x) = L x c+

Lim f(x) = M x c-

Lim f(x) = L x c

Lim f(x) = M x c-

Lim [f(x) ± g(x)] = L + M x c

Lim x = c x c



96

,M 0

x c x c

Ejercicios 20 Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límites existentes

lim

lim

lim

lim

Limites Indeterminados

Ejercicios 21 Calcule cada límite si existe

lim

lim

lim

lim

x

lim

lim

x

lim

x

lim

x

lim

x

Continuidad en un punto

Lim [f(x) . g(x)] = L . M x c

Lim f(x) = L x c g(x) M

Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tiene

la forma

en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción para

encontrar una función equivalente en la cual exista el límite.

Si Lim f x 0 y Lim g x 0 cuando x tiende a c entonces

no existe. En este

caso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c.



97

La función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes

1. f(c): exista 2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista 3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c exista

Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c

Toda función polinómica es continua para todos los números reales. Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello

cuyo denominador es cero. Ejercicios Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas

Ejercicio Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dada

f x x 0 f x

x

f x

x

0

x + 2, >0

4x - 7, x >2

Límite de las Funciones Definidas por Partes El límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Es decir: Determine si los límites de cada función existen (x + 2)3 Si x -1 4 – x2 Si x < 2

a. f(x) = b. g(x)=

Lim f(x) = L x c+

= Lim f(x) = M

x c-



98

1 - x Si x > -1 x – 2 Si x ≥ Ejercicios

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

0

≥

lim

lim

lim

lim

TALLER

1. Calcule el límite por tabulación de la función

, cuando x toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde la función se hace indeterminada

2. Calcule cada uno de los siguientes limites (si existen)

lim

lim

lim

f(x)=

lim



99

3. De la gráfica de la función f(x)=-x2+4x obtenga el límite cuando x toma valores

cercanos a:

a. Cero (0)

b. 2

c. 4

Problemas 1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio

depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

00 00

a. Determine el límite de p cuando x tiende a 0 y a 3 b. ¿Qué significa cada expresión? ¿Qué encuentra?

2. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por

00

a. Encuentre lim lim )

b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos

x

yy = -x^2+4x



100

3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será

0 0

, dólares. a. Encuentre lim lim ) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos

4. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de

dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera:

0

x ≥

a. Encuentre lim , lim b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos

5. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en

miles de dólares) según

x ≥ 0

a. Encuentre lim y x , lim y x b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos


00 000

a. Encuentre ,


7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad

se describe por medio de

00

a. Encuentre ,




101


00

a. Encuentre ,


9. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la

función

00 0

00

, donde x son las unidades demandadas. a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos

10. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función

10 + 0.094x Si 0 x 00 C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 00 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500

Encuentre el límite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 100 y a 500 Kilovatio/hora

Propiedades Si c es cualquier constante entonces

Lim 1 = 0 x ∞ x

Lim c = c y Lim c = c x +∞ x -∞

Lim c =0, donde p>0 x +∞ xp

Limites Infinitos Al evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve negativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota



102

Ejercicio Evaluar cada límite

Problemas 1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio

depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

00 00

a. Determine el límite de p cuando x tiende a ∞ b. ¿Qué significa la expresión? c. Interprete el resultado


0 000 000

Determine la población a largo plazo


0 0

, donde t es el número de días en el trabajo. a.Encuentre lim b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.

4. Suponga que la demanda de un producto se define mediante

Lim c =0, donde n>0 x -∞ xn

limx ∞

x lim

x ∞

x lim

x ∞

x

x

limx ∞

x

x x lim

x ∞

x x

x lim

x ∞

x

x x



103

00 000

Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada a.Encuentre lim

b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.

5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos

se puede modelar con la función

.

0.0

, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981 a.Encuentre lim b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.

6. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de

publicidad x(en miles de dólares) según

00

0

a. Encuentre b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado.

7. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un

proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes

00

00

Encuentre a.¿Cuál es el significado de la expresión? b.Interprete el resultado.

8. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas residuales de un proceso de fabricación se obtiene con

00

0

Encuentre

a. ¿Cuál es el significado de la expresión? b. Interprete el resultado.



104


0 0

, dólares. a.Encuentre lim lim ) b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Interprete el resultado

TALLER TEMA: LÍMITES

1. Determine el límite de cada función tabulando los datos

a.lim

b.lim

2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x)

cuando x toma valores próximos a 1 y a 0



105

3. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 0

4. Calcule cada uno de los siguientes límites

limy

y y y lim

x

x

x lim

t 0

t

t lim

x 0

x

x



106

2x+1, Si x>3 lim

10-x, Si x 3

, Si x<2 lim

, si x≥

lim

lim

Problemas

1. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una

campaña publicitaría son

00 00

a.Encuentre lim S t lim b.¿Qué significa cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos

2. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por

, donde p es precio unitario en dólares a. Encuentre el límite de las ventas semanales cuando el precios toma valores

próximos a 10 y 11 dólares b. Compare los resultados e interprételos

Limites con Tecnología Use el Excel para tabular, graficar y calcular el valor de cada límite.

LA DERIVADA

lim

lim

lim

lim

0

0

lim

lim

lim

lim



107

x

y

x x+h

h

f (x)

f (x+h )

(x,f (x))

(x+h ,f (x+h ))

LA DERIVADA

La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por:

Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x))

y ((x + h), f( x +h)) así

, es decir

Ejercicio Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades esta dado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para: Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100)

La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.



108

Las segundas 100 unidades producidas

Ejercicio Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x) (en pies) se obtiene mediante la ecuación

f(x)=96+64x-16x2

Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h

Ejercicio Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4)

Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto en el momento x es:

lim

, si este límite existe

lim

Pendiente de la Recta A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es

Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1.

´ lim

DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para cualquier valor de x, denotada f`(x), es

Si este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c.

Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o

o

]

o Dxy o Dx[f(x)]



109

Ejercicio Encuentre la derivada de cada función aplicando el concepto de límite

f(x) = 2x f(x) = x2 f(x) = x3+1 f(x) = 3x2-2x+1 Problema La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número de unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:

lim

Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por

00 ≥ 0 Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.

Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20.

Remplazando

lim

00 ] 00

lim

00 00 00

lim

00

lim

00

lim

00

lim

00 00

Como x=20

00 0 00 0 0

Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mil dólares

Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄR

Tipo Función Derivada Ejemplos Constante f(x)=k f´(x)=0 Si f(x)=5, f´(x)=0

Si f(x)=-2, f´(x)=0

Múltiplo constante

f(x)=kx f´(x)=k Si f(x)=3x, f´(x)=3

Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5x

Potencia f(x)=xn f´(x)=nxn-1 Si f(x)=x4, f´(x)=4x3

Si f(x)=x-3, f´(x)=-3x-4

Múltiplo y Potencia

f(x)=kxn f´(x)=k.nxn-1 Si f(x)=5x4,f´(x)=20x3

Si f(x)=-6x5,f´(x)=-30x4

Suma f(x) = [g(x) ± h(x)]

f´(x)=g´(x) ± h´(x) Si f(x)= x3+4x2-3x+2, f´(x)=3x2+8x-3

Si f x x- x , f´ x - x-

x-

Multiplicación f(x)= [g(x).h(x)]

f´(x)=g´(x) ± h´(x) f(x)=(x2+2)(3x-1)

f´(x)=2x(3x-1)+(x2+2)3 = 6x2-2x+3x2+6 = 9x2+2x+6

f(x)=x3/2(3x2-x-1)

f´(x)=

x x -x- x x x-

x -

x- x x-

=

x -

x-

Cociente f x

k

g x ´

´

f x

x , f´ x -

x

f x

x ´

Cociente f x

g x

h x f´ x

g´ x h x g x h´ x

h x ] f x

´

´

Ejercicios Derivar cada una de las siguientes funciones

f(x) = - 4 f(x) = 0.25 f(x)=21x f(x)=

x

f(x)=x5 f(x)= f(x)=4x3 f(x)=

f(x)=4x2 + 5x + 3 f(x)= 6 – x-2 + x1/2 f(x)= (x3-1)(5x2+6x)

f(x)=(x2+1)2

f(x)=

f(x)=

f(x)= x

x- f(x)=

Ejercicios Calcule la derivada de cada función en el punto indicado 1. 2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Ejercicios Determine la ecuación de la línea tangente a la grafica de las siguientes funciones, utilice el winplot para graficar las funciones. 1. en (1,2)

Hallamos la pendiente de la recta tangente a la curva ´

, como x=1, entonces m=2(1)-3, m=-1 Remplazando en la ecuación de la recta

Graficando

x

yy=x^2-3x+4

y=-x+3



112

2. en (1,4) Hallamos la pendiente de la recta tangente

´ , como x=1, m=3 Remplazando en la ecuación de la recta

Graficando

3.

en (-1,2)

Hallamos la pendiente de la recta tangente

´

, como x=-1, m=0 Remplazando en la ecuación de la recta

0

Graficando

x

y

y=3x+1

y=x^3+3

x

y

y=x^2+1/x^2

y=2



113

4. en (1,5) 5. en (-1,-3)

6.

Problema s

1. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando la inversión de capital asciende a x millones de dólares, y

00 0 00

a. Calcular la tasa de cambio del número de estufas producidas respecto al capital cuando la inversión se incrementa de 5 a 6 millones de dólares

´ 0 00

Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares, x=5

´ 0 00

0

b. Interprete el resultado en a. Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares el número de unidades producidas se incrementan en 268 unidades

2. Las ganancias trimestrales de una compañía de bienes raíces (en miles de dólares) están dadas por

0

, donde x (en miles de dólares) es el gasto en publicidad por trimestres. a. Determine la tasa de cambio de la ganancia respecto al gasto en publicidad. b. Calcule la tasa de cambio cuando x=11. c. Interprete el resultado.

3. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es

C(x)=5000 + 10x + 0.05x2.

Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando x=100.


C(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3

a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?



114

5.La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3 a. Encuentre la función costo marginal. b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?


C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?

7. Suponga que la función ingreso de ciertos productos está dada por:

0

, donde x esta en miles de unidades y R(x) en miles de dólares. Encuentre el ingreso marginal R´(x) cuando se venden 20 000 unidades, es decir x = 20 ¿Qué significa?

8. Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es

0.000 0.0 000

Encontrar el costo promedio marginal cuando se producen 50 unidades

9. Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con x años d educación antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales , donde

00 Encuentre e interprete la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación cuando x=9.

10.Suponga que la función ingreso total para una mercancía es R(x) = 25x – 0.05x2

a. Encuentre la función ingreso marginal, es decir R´(x) b. Encuentre el ingreso marginal en x = 50 c. ¿Qué significa?

11.El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es

0

, determine: a. La función ingreso marginal (R´(x)) b. Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades

12.El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función

del tiempo t por la fórmula S(t)=10 000 + 2 000t -200t2



115

, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana determine la tasa de cambio cuando a. t=4 y ¿qué significa? b. t=8 y ¿qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

13.El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora de

discos, esta dado por C(x)=1 500 - 3x + x3, a.Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad. b.Calcule C´(100), ¿qué significa?

14.Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores

pequeños sea 00 0. 0 00

, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 600

15.Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado

por la ecuación R(x) = 100x – x2 x ≥ 0

, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)

16.Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este

producto, su ingreso esta dado por R(x) = 1 500x – 0.02x2 c0n x 000

, donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal en x=500, interprete el resultado.

17.La producción semanal de cierto producto es

Q(x)= 200x + 6x2 , donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado

18. La demanda de q unidades de cierto producto depende del precio por unidad p (en miles de pesos) de acuerdo con

00



116

Encuentre e interprete la tasa de cambio de la de la demanda si el precio se incrementa en 25 mil pesos.

19. El costo promedio en dólares de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por

0000

0

, donde x representa el número de televisores producidos por semana. Calcule e interprete la tasa de variación del costo promedio si la producción se incrementa de 100 a 101 televisores por semana.

20.El presidente de una importante constructora de vivienda informa que el número de empleos creados por la construcción (en millones) está dado por

. , donde x denota el número de pies de casa. Suponga que se espera que el número de pies de casa en los siguientes meses sea

0 00

0 0

, millones de unidades ¿cuál es la razón de cambio del número de empleos creados en un año?

14. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol

promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

00 00

a. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a las libras insecticida

b. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a las libras insecticida cuando las libras de insecticida se incrementan a 5 libras. Interprete el resultado


0 000 000

Determine a. La tasa de cambio del número de habitantes respecto a los años b. Calcular la tasa de cambio del número de habitantes dentro de 10 años. Interprete

el resultado


0 0



117

, donde t es el número de días en el trabajo. a. Calcular M´ b. Calcular M´ cuando t=15. Interprete el resultado

17.Suponga que la demanda de un producto se define mediante

00 000

Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada a. Calcule p´ b. Calcule p´ cuando q=10. Interprete el resultado.

18. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos

se puede modelar con la función

.

0.0

, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981 a.Encuentre f´(x) b. Calcule f´(20)k. Interprete el resultado.

19. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de

publicidad x(en miles de dólares) según

00

0

a. Encuentre y´ b. Encuentre y´ cuando x=10. Interprete el resultado.


0 0

, dólares. a. Encuentre p´(x) b. Calcule p´(24). Interprete el resultado



118

Ejercicio Derivar

f(x) = 2(x2 – 1)4 f(x) = (x2 – 9)2/3 f(x) =

Ejercicios Derive cada una de las siguientes funciones

f

Problemas

1. La producción diaria para cierta fabrica está dada por:

´ . ´

.

Regla de la Cadena Si f y g son funciones diferenciables donde y=f(u) y u=g(x), entonces y es una función diferenciable de x, y

, o su equivalente

Regla de la potencia Si , donde u es diferenciable de x, entonces



119

f x 00 x

, donde x es la inversión de capital dada en miles de dólares. a. Calcular la tasa de cambio de la producción respecto a la inversión de capital

Derivamos:

f´ x 00

x

f´ x 00 x

b. Determinar la tasa de cambio de la producción si la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares Por datos x=1, remplazando

f´ x 00 00 00 0.

c. Interprete el resultado. Significa que cuando la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares la producción diaria se incrementará aproximadamente en 115 unidades

d. Calcule la tasa de cambio de las unidades producidas respecto a la inversión si esta se incrementa de 7 a 8 mil dólares Si la inversión si esta se incrementa de 7 a 8 mil dólares, x=7

´ 00

.

e. Interprete el resultado Cuando la inversión de capital se incrementa de 7 a 8 mil dólares el número de unidades producidas se incrementan aproximadamente en 52 unidades

2. La demanda de computadores viene dada por la ecuación p 00-x , donde x es el

número de computadores y p es el precio de cada uno en miles de pesos

a. Determine la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandas

Derivamos dp

dx

00 x

. x

00 x

. x

dp

dx

x

00 x

b. Calcule la tasa de cambio si x=9.



120

Remplazando en dp

dx

00

00

. 0

c. Interprete el resultado

Si la demandada de computadores se incrementa de 9 a 10 unidades el precio disminuye aproximadamente en 0.15 mil pesos

11.El costo de producir q unidades de un producto está dado por

C=4000 + 10q + 0.1q2

Si las unidades producidas q se pueden obtener por q= 800 – 2.5p

, donde p es el precio por unidad. Utilice la regla de la cadena para determinar la razón de cambio del costo respecto al precio unitario cuando p=80

12.Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio diario (en cientos de dólares) está dado por

Determine el costo marginal si la producción se incrementa en 18 unidades día

13.Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio (en dólares) está dado por

000

Encuentre e interprete el costo marginal si la producción se incrementa en 11 unidades

14.La función de costo total para un fabricante está dada por

00

, estimar el costo marginal cuando la producción se incrementa en 15 unidades.

15.La cantidad mensual demandada x de cierta marca de computadores personales se relaciona con el precio p ( en dólares) así

00

0 000

a. Determine la tasa de cambio de la demanda respecto al precio



121

b. Calcule la tasa de cambio cuando p=100 c. Interprete el resultado

5. La ecuación de demanda de cierto articulo es p=300 (x2 + 1)-1.

a. Determine la tasa de cambio del precio con respecto a las unidades demandadas. b. Calcule la tasa de cambio cuando x=3. Interprete el resultado

6. La concentración de monóxido de carbono en el aire debido a las emisiones de los

automóviles dentro de t años está dada por 0.0 0. , partes por millón

Halle la tasa con que cambia el nivel de monóxido de carbono en el aire cuando t=5. ¿Qué significa?

7. El número de personas que ven una serie de televisión con varios años de salir al aire

se aproxima a la función 0

, N(x) (dado en millones) denota el número de espectadores semanales de la serie en la semana x. Calcule N´(12), ¿qué significa?

8. La demanda de cierto producto ésta dada por la ecuación p= 00 , en donde x unidades pueden venderse a un precio $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.

9. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por

, donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto al precio cuando p=24

10. El importe en dólares del ingreso por la venta de un producto es

00 000 000 , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades. Interprete el resultado.

11.Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas),

depende del precio unitario del producto de acuerdo con 0

, donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando el precio es de $21? Interprete el resultado.

12. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿A qué razón aumentaron las ganancias brutas en 1997 y 2008?



122

13. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de

producción diaria es 0. 00 . Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente 00 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. Calcular la razón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción.

Ejercicios Encuentre la derivada indicada 10. y = 4x3 -16x, y´´ 11.y = x5 – x1/2, y´´ 12.y = x3 + x-1, y´´´ 13.y = 3x4 + x1/3, y´´´

14.y = , y´´´´

Problemas

1. Suponga que dado el ingreso por la venta de cierto producto y la cantidad vendida encuentre la tasa de cambio del ingreso marginal

a. R(x) = 100x – 0.01x2; x = 10 b. R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3; x = 100 c. R(x) = 15x + 30(4x +1)-1 – 3; x = 25

Derivadas de Orden Superior Como la derivada de una función es de por sí otra función, podemos calcular una derivada de la derivada. La derivada de la 1ra derivada recibe el nombre de 2da derivada. También podemos encontrar derivadas de 3er, 4to, 5to orden y superior



123

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Prueba de la primera derivada. Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes

procedimientos:

Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la

función. ´

2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos. Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos.

´ 0 0

Entonces si 6x=0, x=0 Si x – 4 = 0, x = 4 Los valores críticos son 0 y 4

3 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos

0

Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58)

4 Evalúe f`(x) en algunos valores de x a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico para construir un diagrama de signos Si f`(x) > 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a la derecha del valor crítico, el punto crítico es un punto máximo relativo Si f´(x) < 0 a la izquierda y f´(x) > 0 a la derecha del valor crítico es un punto mínimo relativo

f´(-1)=30 y f`(1)=-18 Hay un máximo f´(3)=-18 y f`(5)=30 Hay un mínimo



124

Gráficamente

Ejercicios Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la primera derivada

y = x3 – 3x + 2 y = 3x – x3 y = x3 – 12x + 2

y = -x2 + 6x + 6 y = x4 – 8x2 + 3 y = x2/3 + 2

y= x3 – 3x - 4

y = 1 – 3x+ 3x2-x3

Prueba de la segunda derivada Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes procedimientos:

Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la

función. ´

2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos. Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos.

´ 0 0

Entonces si 6x=0, x=0 Si x – 4 = 0, x = 4 Los valores críticos son 0 y 4

3 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos

0

Los puntos críticos son (0,6) y

x

y

f´(x)

f(x)

´ 0

´

´ 0

´ 0

´ 0

Máximo Relativo Valor Crítico

Valor Crítico

Punto Crítico

Punto Crítico

Mínimo Relativo



125

(4,-58) 4 Evalúe f´´(x) en cada valor crítico para el

cual f`(x)=0 Si f´´(x0) <0, un máximo relativo ocurre en x0 Si f´´(x0) > 0, un mínimo relativo ocurre en x0 Si f´´(x0) = 0 ó f´´(x0) es indefinida, la prueba de la segunda derivada falla; use la prueba de la primera derivada

f´´(x)=12x-24 Si x=0 f´´(x)=12(0)-24=-24 Ocurre un máximo relativo Si x=4 f´´(4)=12(4)-24=24 Ocurre un mínimo relativo

Gráficamente

Ejercicios Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la segunda derivada

x x x x x

y = 1 – 3x+ 3x2-x3

x

y

Valor Crítico

´´

Valor Crítico

Punto Crítico

Punto Crítico ´´ 0

´´ 0 0

Máximo Relativo

Mínimo Relativo



126

f(x) = 1 – x2 - 4x f(x) = 1 + x4 f(x) = x3 – 3x - 4

f(x) = (x2 – 2)(x – 4)

Ejercicios 1. Encuentre los valores críticos, los puntos críticos y determine los máximos o mínimos

relativos (si existen) y grafique cada función. a. h(x) =x3 – 3x2 + 4

b. i(x) =

x4 -3x2 + 4x - 8

c. j(x)y = 2x4 – 16x2 + 4

d. k(x) =

Problemas 1. El análisis marginal es la rama de la economía que estudia la variación de ciertas

cantidades como precio, ingreso, costo y / o utilidad, cuando se presentan pequeños cambios en el nivel de producción. La utilidad G percibida por la producción y venta de q unidades es G (q) = I(q) – C(q) , donde C(q) es el costo total e I(q) el ingreso que se obtiene por I(q)=p q , donde p es el precio por unidad.

Si un fabricante estima que si produce q miles de unidades por mes de cierto artículo su costo total C viene expresado por la relación:

. . dólares

El precio por unidad esta dado por . . dólares

b. Determina los máximo y/mínimos relativos (si existen)

Hallamos la función ingreso I(q)=p q I(q)= . .

I(q)= . .

Hallamos la utilidad G (q) = I(q) – C(q) G (q) = . . . .



127

G (q) = . . . . G (q) = . .

Derivamos

G ´(q) = . . Igualamos a cero y despejamos

. .

El valor crítico del nivel de producción se alcanza en q=10 (10000 unidades). Remplazando en la utilidad

G (q) = . . G (q) = 99

Hallamos la segunda derivada G ´´(q) = .

Por tanto existe un mínimo relativo. Indica que la mínima utilidad que se puede obtener es de 99 dólares y se alcanza cuando se producen 10 000 unidades.

c. Verifique que se cumplan las condiciones

I´(qo) = C´(qo) Es decir que el costo marginal y el ingreso marginal son equivalentes en el punto crítico La función ingreso es I(q)= . . derivando obtenemos el ingreso marginal

I´(q)= . , remplazando q=10, I´(q0)= . entonces I´(q0)=2.2 La función costo es . . derivando obtenemos el costo marginal

´ . . , remplazando q=10, ´ . . entonces ´ . Por tanto la condición se cumple

Hallamos la segunda derivada del ingreso

0.

y la segunda derivada del costo



128

0.

Por tanto no se cumple la condición

2. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando la inversión de capital asciende a x millones de dólares, y

00 0 00

a. Calcule los máximos y mínimos relativos si existen

Hallamos la primera derivada

´ 0 00

Igualamos la derivada en cero

0 00

0

Despejamos la variable para hallar el o los valores críticos

0 00

00

0 .0

.0 El valor que tiene sentido para el problema es x=1.0351 Obtenemos el punto crítico

00 0 .0 00

.0

00 0 .0 00

.0 .

El punto crítico es (1.0351, 979.6) Hallamos la segunda derivada

´´ 00

Remplazando el valor crítico

´´ 00

.0

Como ´´ es mayor que cero entonces existe un mínimo relativo.

b. Interprete el resultado en c. La mínima cantidad de estufa que se pueden producir son aproximadamente 980 con una inversión de capital de 1.0351 millones de dólares.



129

(5.5, 92)

Horas Trabajadas

Can

t. de

mar

cos

Pin

tado

s

y=3x+8^2-x̂ 3

y´´=16-6x

y´´<0 (Máximo Relativo)

3. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión

y = 3x + 8x2 - x3

a. Encuentre los valores críticos de esta una función Hallamos la primera derivada de la función y´= 3 + 16x – 3x2 Igualamos la derivada a cero: 3 + 16x – 3x2 = 0

Utilizando la ecuación general -b b - ac

a para la solución de una ecuación

cuadrática ax2+bx +c =0

, obtenemos dos soluciones x1=5.5 y x2=-0.1

b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? El valor que tiene sentido para el problema es 5.51, por lo que x es el número de horas trabajadas después de iniciar labores y este no puede ser negativo

c. Encuentre los puntos críticos

Remplazamos el valor crítico 5.5 en la función original Y= 3(5.5) + 8(5.5)2 - (5.5)3 = 16.5 + 242- 166.3 = 92

El punto crítico esta en (5.5, 92) d. Determine los máximos o mínimos relativos si

existen ¿Qué significa? Hallamos la segunda derivada de la función y´´=16 – 6x, remplazamos el valor

crítico, y´´=16 – 6(5.5) = -17 Como y´´<0, ocurre un máximo relativo. Significa que la máxima producción de se obtiene 5.5 horas después de haber iniciado labores, pintando 92 marcos

c. Graficando la función incluyendo la la segunda derivada



130

4. La demanda de cierto producto está dada por

, y la función costo promedio

0

Calcule el precio que maximiza la utilidad. Debemos hallar la función utilidad definida como

Utilidad (U)=Ingreso (R) – Costo total (C) La función Ingreso (R) es el producto del precio por la cantidad, es decir

La función costo total es el producto de la cantidad por el costo promedio es decir

0

0 Remplazando en la ecuación de la función utilidad

0 0

0 0 Derivamos la utilidad

´ 0 Igualamos a cero

0 0 Despejamos

0

0

El valor crítico se obtiene cuando se demandan 5 unidades. Remplazamos en la ecuación de la utilidad

0 0 0 Es decir que existe un punto crítico cuando se demandan 5 unidades y la utilidad es de 20 unidades monetarias. Hallamos la segunda derivada de la función utilidad

´´ Como la segunda derivada es menor que cero, entonces la máxima utilidad es de 20 unidades monetarias y se obtiene cuando se demandan 5 unidades Si remplazamos la cantidad en la ecuación de la demanda

0 Por lo tanto el precio que maximiza la utilidad es de 22 unidades monetarias



131

5. Cierta empresa líquida el costo total de almacenamiento y envio de materiales para un

proceso de manufactura de acuerdo con la expresión

00 00

, donde C(k) se da en dólares y k es el número de toneladas de material que se almacena y

envía. Determine los máximos y/o mínimos relativos que tienen sentido para el problema

¿qué significa)

6. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( en

dólares por unidad) está dado por

0 00

, donde q 0 a. Halle la función costo total ( ) b. Determine los máximos y/mínimos de la función costo total (si existen) c. Interprete los resultados

7. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es

0

, determine: a.El o los valores relativos si existen b.Los máximos o mínimos relativos si existen c.Interprete el resultado

8. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por

U(x)=130 + 80x – x2 miles de pesos

, donde x es la inversión en publicidad en miles de pesos a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.Encuentre los puntos críticos c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

8. El costo promedio, en dólares, de la producción de x discos compactos en cierta

compañía de discos está dado por

0.000 000

a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos



132

d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 9. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función

del tiempo t por la fórmula S(t)=10 000 + 2 000t -200t2

, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

10. El costo promedio de fabricar cierto artículo es

, donde x es el número de artículos producidos a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

11. Una empresa vende todas las unidades que produce en 4 mil pesos cada una. El costo

total de la empresa C por producir x unidades esta dado en miles de pesos por

C =50 - 1.3x+0.001x2 a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

12. La función de costo para una empresa, está dada por

C(x)= 300x-10x2-

a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

13. La función de costo de una fabricante es C(x)=1000 - 5x + 0.1x2, cuando se producen

x artículos por día. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.Encuentre los puntos críticos c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?



133

14. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de

0

Donde P es el número de unidades producidas por hora a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

15. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número

de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es

0

0

a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

16. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de cierto

producto es

000 000

0

Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de producción a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?



134

DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Ejercicios Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 4 ln (x) f(x) =ln (8x) f(x) = ln (4x + 9) f(x) = ln (8x3-2x) –

2x f(x) = ln (x) – ln(x-1)

f(x)=

f(x)=ln(x-

1)+ln(2x+1) f(x)=ln[(x-1)(2x+1)]

f(x)=

ln f(x)=

f(x)=ln[t3(t2-1)]

f(x)=

Ejercicios Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen

f(x) = x ln (x) f(x) = x2 ln (x) f(x) = x2 8ln(x) f(x) = ln (x) – x Problemas 1. Un fabricante de generadores eléctricos encontró que sus ventas han aumentado han

aumentado constantemente según la ecuación

, donde x es el número de años que la compañía está operando, x=0 en 1973 y y es el volumen de ventas en millones de dólares a. Calcular la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo

´ ln .

´ ln b. Halle la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo para 1977,

para hallar la tasa de cambio hacemos x=3 ´ ln .0

c. Interprete el resultado

Para 1977 el volumen de ventas se incrementará en 2.09861 millones de dólares

La función logarítmica ln tiene derivadas sencillas

Derivada de la función logarítmica

para x> 0

Regla de la cadena para las funciones logarítmicas

´



135

2. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuación

a. Halle la propensión marginal (S´) al consumo respecto al ingreso. b. Calcule e interprete la propensión marginal si I=1.

3. La ecuación de la demanda de cierto articulo está dada por

0

ln

, calcule la tasa de cambio de las unidades demandadas con respecto al precio cuando p=2

4. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a.Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x)) b.Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete el

resultado

5. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasa de interés r compuesta continuamente, de acuerdo con

t ln

a. Con que tasa

cambia el tiempo requerido respecto de r si r = 10%, compuesto

continuamente b. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequeña

5. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por

R(x) =

a. Encuentre la función ingreso marginal b. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete el

resultado 6. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado

por P = 10 + 50 ln(3x + 1)

Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades es 33.

7. La función demanda de un producto está dada por p =

, donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio del precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?



136

8. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo cuando

el precio sea p(x) = 112 – x ln(x3) cientos de dólares por unidad a. Encuentre la función ingreso [I=x*p(x)] y de ingreso marginal [I´(x)]. b. ¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad?

9. En un negocio se estima que cuando se emplean x miles de personas, su utilidad será

p(x) millones de dólares, donde

P(x) = 10 + ln

-12x2, para x > 0

¿Qué nivel de empleo maximiza la utilidad? ¿cuál es la utilidad máxima? 10.Entre los años 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un año

después de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x) donde x es el número de años después de 1970. Si este modelo es preciso después de 1998¿con que razón cambiará el porcentaje en el 2009?

11.Encuentre la función ingreso marginal si la función de demanda es



137

DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Ejercicios Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 4 ex f(x) = e5x f(x) = 3e4x f(x) = 3e4x+1

f(x) = e^(x2+2x-1)

f(x)=x2 ex f(x)=(x2+3x+5) e6x f(x)=(1 - 3ex)2

f(x)= e(-1/2)x f(x)= ex ln(x) f(x)=

f(x)= eln(x)

Ejercicios Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen

f(x) = x ex f(x) = x e2-x f(x) = x2 e-x f(x) = ex + e-x Problemas

1. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 0 , donde se demanda q

unidades cuando el precio es de p dólares.

a. Calcule la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandadas cuando

q=2

Derivamos

´ 0

´ 0

Como q=2,

´ 0 .

b. Interprete el resultado

Cuando las unidades demandas se incrementa en 3 el precio disminuye e 1.35

dólares

2. La ecuación de la demanda para cierta clase de articulo está dada por:

x 000e 0.0 p

, donde se demanda x unidades cuando el precio es p.

La función logarítmica tiene derivadas Derivada de : ex = ex Regla de la cadena para : eh(x)=h’ x eh(x)



138

a. Halle x´

Derivando

x´ 000 e 0.0 p 0.0

x´ 00 e 0.0 p

b. Calcule x´ cuando p=25

Remplazando

x´ 00 e 0.0 00 e 00 0.

c. ¿Qué significa? Si el precio se incrementa en 26 las unidades demandadas

disminuyen en 74.

3. El costo promedio (en miles de pesos) de producir q unidades de cierto producto está

dado por

000

a. Encuentre la función de costo marginal

b. Calcule el costo marginal para q=700. Interprete el resultado.

4. La ecuación de oferta de cierta mercancía es p = 20ex/3, donde se ofrecen x miles de unidades cuando el precio es de p dólares. Determine a. La tasa de cambio del precio respecto a las unidades ofertadas b. La tasa de cambio cuando la oferta se incrementa en 6 mil unidades. c. Interprete el resultado

5. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un

examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos

conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por

0 0 .

.

a. Calcule P´(t)

b. Calcule P´(0) y P´(1). ¿Qué significan? Interprete los resultados

6. Una cadena de tienda femenina, determinó que t días después de concluir una

promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por

0 000 . ,

, millones de pesos. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al

número de días si t=3. ¿Qué significa?



139

7. El precio de cierto articulo en dólares por unidad en el tiempo t (medido en semanas)

está dado por p=8+4e-2t+te-2t, determine la tasa de cambio del precio respecto al

tiempo si t=2. Interprete el resultado.

8. La depreciación de unos bienes industriales se deprecian a una razón tal que su valor

contable dentro de t años será V(t)=50 000e-0.4t dólares, ¿con qué rapidez cambiará el

valor contable de los bienes dentro de 3 años?

9. Según la Internet Society, las conexiones de Internet están proliferando a una razón

cada vez más creciente. El número de computadores huésped (en millones) se estima

en N(t)= 3.45e0.64t, en t años (t=0 corresponde al principio de 1994). ¿Con qué

rapidez aumento la cantidad de computadores huésped en 1996 y 1999?

10.En un estudio realizado en el 2000, el porcentaje proyectado de hogares que usa la

banca en línea es f(t)=1.5e0.78t , donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio

del 2000. Halle f´(t), calcule f(4) interprete el resultado.

11.Los viajes aéreos han aumentado drásticamente en los últimos 30 años. En un estudio

realizado en el 2000, una empresa aérea previó un incremento exponencial aún mayor

en los viajes aéreos hasta el 2010. La función f(t)=666e0.0413t proporciona la cantidad

de pasajeros (en millones) para el año t, donde t=0 corresponde al 2000. Determine

f´(t) ¿qué significa? , calcule f´(5) y f´(9) interprete los resultados

12.Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales)

compuesto continuamente, el valor futuro después de n años esta dado por la función S p℮0.1n

Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de pesos a 1 año.

13.Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es

Q(t) = 20 000 e-0.4t dólares. ¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y 10 años? ¿Qué encuentra?

14.La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mes

cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra?



140

Derivada de las Funciones Trigonométricas

]

cos .

]

cot .

]

.

]

.

]

.

]

.

Ejercicio Derivar: 1. y= sen(2x)

Derivando y´= cos(2x)(2) ó y´= 2cos(2x)

2. y= cos(3x) Derivando y´= - sen(3x)(3) ó y´= -3sen(3x)

3. y=tan(1/x) Derivando y´= sec2(1/x)(-1/x2) ó y´= (-1/x2)sec2(1/x)

4. y=cot2(x) Derivando y´=2cot(x)[csc2(x)]

5. y=sec2(3x2) Derivando y´=2sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2)6x ó y´=12x sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2)

6.

Derivando ´

cos

cos cos csc cot

tan sec G(t)= sec(5t)+tan(4t)

tan

tan

cos x

csc cot ] x sen tan



141

y=x2sen5(2x) y=sen4(x2+3x) y=sen3[cos(t)]

Derivada Implícita

Una ecuación de la forma F(x,y) = 0, expresa a y como función de x en forma implícita. Se usa la palabra implícita puesto que ya y no está dada de manera explícita como función de x. sin embargo se supone o queda implícito que la ecuación define a y por lo menos como una función derivable en x. Procedimiento para derivar implícitamente Para una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una función

derivable en x, la derivada

puede encontrarse:

7. Derivar cada termino de la ecuación respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y se

le agrega

.

8. Despeja

, y tenga en cuenta las restricciones.

Ejercicio

Encuentre

mediante diferenciación implícita e indique las restricciones si existen.

1.

0

La ecuación se restringe en y=0

2.

0

La ecuación se restringe en y=0

3.

0

, la ecuación se restringe en x=0

4. 0

La diferenciación implícita es una técnica para derivar funciones que no están dadas en la forma usual y = f(x).



142

0

0

5.

ln

ln

ln

6. 7. 8. 9. 0 10. ln

Problemas

1. La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p2 + q2 = 2500, donde q son las unidades que pueden venderse a una precio de $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.

2. Suponga que la producción semanal de una compañía relaciona las horas de trabajo, x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de

0

000



143

Encuentre la razón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horas de trabajo, cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $64 000

3. Suponga que el volumen de ventas de un compañía y (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo con

xy – 20x + 10y = 0 Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto de publicidad cuando x=10 ((miles de dólares)

4. Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de horas de trabajo calificado y, y no calificado, x, satisfacen

384 = (x + 1)3/4 × (y + 2)1/3

Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las horas de trabajo no calificado cuando x=255 y y=214. Podemos usar esto para hacer una aproximación del cambio de horas de trabajo calificado requerido para mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no calificada en una hora

5. Suponga que la producción de 10 000 unidades de cierta cosecha agrícola se relaciona con el número de horas de trabajo, x, y el número de acres de la cosecha y , de acuerdo con

300x + 30 000y = 11xy – 0.0002x2 – 5y Encuentre la razón de cambio del número de horas respecto al número de acres

6. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad está dada por

p(q + 1)2 = 200 000 Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$80. Interprete el resultado

7. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $P por unidad está dada por

p2(2q + 1) = 100 000 Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$50. Interprete el resultado.

8. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación



144

, donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I=16 y S=12

9. Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad y estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y/y+2)+(160x/x+4) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son US$50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto? [nota: Utilidad=(Nº de unidades)(precio por unidad - costo por unidad) - cantidad total gastada en desarrollo y promoción

10. Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=1000-x, y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x,y) = x² + xy + y² es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x e y para maximizar las utilidades?

Elasticidad en la Demanda El grado de respuesta de los consumidores a los cambios de los precios varia en gran medida en diferentes productos

Costo del combustible – consumo Precio de los medicamentos – enfermos

Si los cambios de los de los precios son considerables, decimos que la demanda es elástica; cuando los cambios son leves en la demanda del producto, se dice que la demanda es inelástica. Los economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo el cambio porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio. Definimos la elasticidad de la demanda en un punto (qA , pA) como

η

(qA, pA)

Los economistas clasifican las curvas de la demanda de acuerdo con la respuesta de la demanda a los cambios de precios usando la elasticidad



145

Si η < -1, la demanda es elástica y el decremento porcentual en la demanda es mayor que el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio.

Si -1< η 0, la demanda es inelástica y el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.

Si η -1, la demanda es elástica unitaria y el decremento porcentual de la demanda es aproximadamente igual al incremento porcentual correspondiente en el precio.

También podemos utilizar diferenciación implícita para encontrar dq/dp para evaluar la elasticidad puntual en la demanda. Problemas 1. La ecuación de demanda para cierta mercancía es qp3=24 000 calcule, indique el tipo

e intérprete la elasticidad en la demanda cuando p=2

Sabemos que la elasticidad en la demanda se define η

Conocemos p, debemos hallar q y

Para hallar q remplazamos el valor de p en la ecuación original, q 000

q 000

000

Hallamos

derivando implícitamente la ecuación original

p dq

dp qp 0

dq

dp

qp

p

q

p

Remplazando en la ecuación de la elasticidad

η

Como η -1, la demanda es ilástica por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.

2. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 0 , donde se demanda q

unidades cuando el precio es de p dólares. Halle la elasticidad en la demanda cuando

q=2 e indique su tipo

Derivamos la función

0

Despejando



146

0

La elasticidad en la demanda es

η

Remplazando

η 0

0

Simplificando

η

Como -1<η 01, la demanda es elástica unitaria por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio. Problemas

1. En cada uno de los siguientes problemas dada la ecuación de la demanda, encuentre la elasticidad de la demanda, indique su tipo y explique cómo afectará un incremento de precio el ingreso total: a. p + 4q = 80 cuando el precio p = 40 b. 2p + 3q = 150 cuando el precio p=15 c. p2 + 2p + q = 49 cuando el precio p=6 d. pq=81 cuando el precio p=3 e. pq + p = 5000 cuando el precio p=450 y q=99 f. 2p2q = 10 000 + 9000p2 cuando el precio p=50 y q= 4502 g. (p + 1)(q + 1)1/2 = 1 000 cuando el precio p=39 h. p2(2q + 1) = 10 000 cuando el precio p=20 i. p 00℮-0.1q cuando el precio p=36.79 y q=10 j. q= 250 – 30p + p2, cuando p=12 k. p=86-6q-3q2,cuando q=3

2. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es x= 5000 – 100 ln (p + 40)

, donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular e indicar el tipo de la elasticidad en la demanda si el precio es de 60 dólares

3. La relación de la demanda para cierto producto es q=250 -30p +p2, donde q unidades pueden venderse a un precio p cada una. Calculo la elasticidad en la demanda e indique su tipo cuando el p=12



147

4. Dada la ecuación de la demanda hallar e indicar el tipo

de la elasticidad de la demanda cuando el precio es de 9 dólares. Interprete el resultado.

5. Dada la ecuación de la demanda donde p es el precio en

dólares y q las unidades demandadas. Si el precio es de 15 dólares determinar el número de unidades que se deben demandar para que la elasticidad se elástica unitaria.



148

Derivadas Parciales Funciones de dos o más Variables Existen magnitudes que dependen de dos o más variables independientes por ejemplo el área del rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el costo de producción de una artículo depende del costo de los materiales y de la mano de obra, la temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión, la concentración de una sustancia en cualquier punto de la vena luego de haber suministrado una inyección depende del tiempo, la velocidad de la sangre y la distancia en que se encuentra el punto de la inyección, Las funciones de dos variables se simbolizan f: R2 R y se representan generalmente z = f(x; y)

El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función. Ejercicios Evalué las siguientes funciones para los valores dados de las variables independientes

1. z = x2+4xy+y2; x=1, y=-1 z = (1)2+4(1) (-1)+(-1)2 z = 1 - 4 + 1 z = -2

2. z = 4x2y-3xy3; x=2, y=2 z = 4(2)2(2)-3(2)(2)3 z = 32-48 z = -16

3.

; x=4, y=-3

4. C(x1,x2)=600+4x1+6x2; x1=400, x2=50 C(x1,x2)=600+4(400)+6(50) C(x1,x2)=600+1600+300 C(x1,x2)=2500

5.

encuentre q(40,35)

6. encuentre z(3.-3)

Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y), de números reales, D R2. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y).



149

0

0

0

7. z=3x + 4y; x=-1, y=2

8. z=2x3y-xy2; x=-1, y=1

9.

; x=3, y=2

10. C(x1,x2)=500+5x1- 7x2; C(200, 300)

11.

,

encuentre q(50, 10)

12.

0

13.

con(1, 3, 1)

14.

con (2, 3, 1, -1)

15. g(PA,PB) = 2PA(PB2 – 5); g(4,8)

16. h(r,s,t,u)=

; h(-3,3,5,4)

17. h(r,s,t,u)=

; h(1,5,3,1)

Problemas

1. El costo (en dólares) de una pequeña compañía de muebles por fabricar una unidad

de varios artículos distinto de maderas está dado por C(x, y)= 5 + 5x +22y

, donde x representa el número de píes de tablas utilizados y y expresa el número de horas de trabajo necesarias para ensamblado y acabado. Si para hacer un librero se necesitan 20 píes de tabla y 2.5 horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación. Por datos x=20 y y=2.5 remplazando

C(20 ,2.5)= 5 + 5(20) +22(2.5) C(20 ,2.5)= 5 + 100 +55 C(20, 2.5)=160 dólares

El costo de fabricación de un librero será de 160 dólares

2. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se

determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas 0

, donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo.

a. Encuentre Q si K=10 000 dólares y L=625 horas.



150

Remplazando

0 0 000 0 0 00

Cuando el capital invertido es 10 000 dólares y se trabajan 625 horas las unidades producidas serán 37 500

b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se reducen a la mitad? Entonces K=5 000 dólares y L=312.5 horas. Remplazando

0 000 . 0 . 0 . 0

Cuando el capital invertido y las horas trabajadas se reducen a la mitad la producción también se reduce a la mitad.

c. Si se mantiene la inversión de capital en 10 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L.

La ecuación sería 0 0 000

00

3. Suponga que la función de utilidad de dos bienes X y Y estás dada por U=XY2.

a. Determinar la utilidad si un consumidor adquiere 9 unidades de X y 6 de Y. b. Si el consumidor compra 9 unidades de Y, ¿cuántas unidades de X se deben

comprar para mantener el mismo nivel de utilidad. c. Si el consumidor compra 81 unidades de X, ¿cuántas unidades de Y se deben

comprar para mantener el mismo nivel de utilidad.

4. En economía la cantidad Q de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc.) más económica que pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaños de lote de Wilson:

HORAS TRABAJADAS (L)

UN

IDA

DE

S P

RO

DU

CID

AS

(Q

)



151

Q= f(K, M, h)=

, donde K es el costo del pedido, M el número de artículos vendidos por semana y h el costo de almacenamiento por artículo (servicios, impuestos, seguridad, etc.). Encuentre f(200, 625, 1). Interprete la respuesta.

5. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas

0 , donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K=64 000 dólares y L= 512 horas. b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se duplican? c. Si la inversión de capital se mantiene en 64 000 dólares, trace la gráfica de Q como

función de L.

6. Suponga que el número de unidades producidas de una mercancía, z, está dada por z=20xy, donde x es el número de máquinas que funcionan de manera apropiada y y el número promedio de horas de trabajo por máquina. Encuentre la producción para una semana en la que: a. 12 máquinas funciona de manera adecuada y el número promedio de horas de

trabajo por máquina es 30 b. ¿Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 10

máquinas que funcionan de manera adecuada para producir 7200 unidades de mercancía?

c. ¿Cuántas máquinas en buen estado se deben tener para producir 7200 unidades trabajando en promedio 24 horas?

7. La Kirk Kelly Kandy Company elabora dos tipos de dulces, Kisses y Kreams. La

ganancia, en dólares, para la empresa está dada por

P(x, y) = 100x + 64y – 0.01x2 – 0.25y2

, donde x es la cantidad de libras de Kisses y y el numero de libras de Kreams vendidos por semana. a. ¿Cuál es la ganancia si se venden 20 libras de Kisses y 10 libras de Kreams? b. ¿Cuántas libras de Kisses se deben vender si se mantiene la venta de 10 libras de

Kreams y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares? c. ¿Cuántas libras de Kreams se deben vender si se mantiene la venta de 20 libras de

Kisses y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares?

8. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas por

y

, donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitarios son PA y PB.



152

Calcular las demandas de A y B si sus precios son $1000 y $2000

Diferenciación Parcial

Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y=b, en donde b es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija.

En general, si z=f(x, y) la derivada parcial de z respecto a x se expresa como

y la

derivada parcial de z respecto a y se expresa como

. Obsérvese que

representa la

derivada de una función de una variable, x, y

representa la derivada parcial de una

función de dos o más variables. Las notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z=f(x, y) respecto a x son:

Si x permanece constante en la función z=f(x, y) y se toma la derivada respecto a y, tenemos la derivada parcial de z respecto a y, que se denota

Ejercicios 39 Para cada función hallar las derivadas parciales por cada variable

2. z= x4+3y3

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.



153

3. z= 3xy +y2

4. z=(x3+2y2)3

5. C(x,y)=600-4x + 10x2y

6.

7.

8. z=5x2-2y

9. z= x5-6x+4y3-y2

10.

11. C(x, y)=1000-4xy+xy2

12.

13.

Ejercicios Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas



154

1.f(x, y)=4x3 – 5xy + y2, respecto a x en el punto(1, -2)

, como x=1 y y=-2 remplazamos

2.

, respecto a y en el punto (2, -1)

, como x=2 y y=-1 remplazando y resolviendo

2. , respecto a x en el

punto (1, 1)

, como x=1 y y=1, remplazando y resolviendo

.

3. , respecto a y en el punto (0, 1)

, como x=0 y y=1, remplazando y resolviendo

5. g(PA,PB) = 2PA(PB2 – 5); respecto a PB en el

punto g(4,8)

6. h(r,s,t,u)=

; respecto a u en el punto

h(-3,3,5,4)

7. h(r,s,t,u)=

; respecto a s en el

punto h(1,5,3,1)

8. h(r,s,t,u)=

; respecto a t en el

punto h(1,5,3,1)

9.Si z=2x + 3y, demuestre que 3zx – 2zy =0

10.Si , demuestre que xzx + yzy = 0

11.Si , demuestre que xzx + yzy = 2z

12.Si z= x3 + y3, demuestre que xzx + yzy = 3z

13.Si , demuestre que xzx - yzy =

14. Si

, demuestre que

xzy – yzx =

Costo Conjunto y Costo Marginal

Suponga que una empresa fabrica dos bienes de consumo utilizando las mismas materias primas en distintas proporciones. En este caso, la función de costo de conjunto tiene la forma C=Q(x, y) donde x y y representan la las cantidades de cada bien y C expresa el costo total de ambos bienes. Entonces es el costo marginal respecto al producto x y es el costo marginal respecto al producto y.



155

Problemas 1.El costo (en dólares) de fabricar un artículo está dado por

C(x, y)= 30 + 3x + 5y , donde x es el costo de una hora de mano de obra y y es el costo de una libra de material. Si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra. Calcule el costo marginal respecto a la mano de obra y al costo de material e intérprete los resultados. Respecto a la mano de obra hallamos

Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 3 dólares por cada 1 dólar que se incremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante. Respecto a la mano de obra hallamos

Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 5 dólares por cada 1 dólar que se incremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante.

2. El costo total de producir un artículo es

C(x, y)= 30 + 10x2 + 20y – xy

, donde x es la tarifa por hora de la mano de obra y y el costo por libra de materia prima. La tarifa actual por hora de la mano de obra es de $15 y la materia prima cuestan $6 por libra ¿Cómo afectará el costo total un incremento de a. $1 por libra de materia prima?

Hallamos la derivada parcial del costo respecto a la materia prima

Remplazando

Si se incrementa la materia prima en $7 el costo de producción se incrementa en $5

b. $1 por hora en los costos de mano de obra?

Remplazando



156

Si se incrementa la mano de obra en $16 el costo se incrementa en $294

3. La función costo conjunto para dos productos es C(x, y)= 50 + x2 + 8xy + y3

a. Calcule el costo marginal respecto a x y respecto a y en (5, 3). b. Intérprete los resultados.

4. El costo total de producir un artículo es

C(x, y)= 40 + 4x + 6y +

, donde x es el costo por libra de las materias primas y y representa el costo por hora de la mano de obra. ¿De qué manera afectará el costo total un aumento de a. $1 por libra de materia prima? b. $1 por hora en los costos de mano de obra?

5.El costo conjunto (en dólares) de los producto X y Y esta dado por

C(x, y)= 40 + 3x2+y2+xy

, donde x expresa la cantidad del producto X y y la cantidad del producto Y. a. Calcule el costo marginal respecto a x si se producen 20 unidades del producto X y

15 del producto Y. b. Calcule el costo marginal respecto a y si se producen 20 unidades del producto X y

15 del producto Y. c. Interprete los resultados.

6.Si la función costo conjunto para dos productos es

C(x, y)=

Si se produce 10 unidades de x y 15 de y calcule e interprete a. El costo marginal respecto a x. b. El costo marginal respecto a y.

7. La función de costos conjuntos para producir qA unidades del producto A y qB

unidades del producto B está dada por

00

a. Encuentre la función costo marginal con respecto a qA y qB b. Evalúe las funciones costos marginales obtenidas en el enciso anterior cuando

qA =17 y qB = 8. Interprete los resultados



157

Productividad Marginal

Problemas 1. Dadas las funciones de producción P(K, L), calcule e intérprete las productividades

marginales para los valores dados de L y K. L es el número de horas trabajadas por semana, K en millones de pesos y P miles de artículos producidos por semana a. P(L, K)= 7L + 5K + 2LK – L2 – 2K2; L=3 y K=10

La productividad marginal de mano de obra se obtiene por , derivando P(L, K)

0

Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P se incrementa en 21 por cada incremento unitario en L. Es decir por cada unidad de hora trabajada que se incremente (1 000) semanal la producción se incrementa en 21 un mil unidades, manteniendo la inversión de capital K fija. La productividad marginal de capital se obtiene por , derivando P(L, K)

La producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresa puede modificar. Los dos factores más importantes son la mano de obra y el capital invertido. Consideremos L el número de unidades de mano de obra empleada y K el monto de capital invertido, entonces el número de unidades del producto producidas en un mes (la producción total) P se denota P = f(L, K) esta función se conoce como función de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos de factores de insumos de producción La derivada parcial se denomina productividad marginal de la mano de obra y productividad marginal del capital.



158

Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P disminuye 29 por cada incremento unitario en K. Es decir por cada millón de pesos adicional que se incremente el monto de capital la producción disminuye en 29 unidades manteniendo el número de horas laboradas L fija.

b. P(L, K)= 18L – 5L2 + 3LK+7K - K2; L=96 y K=8 c. P(L, K)= 50L + 3L2 – 4L3 + 2LK2 – 3L2K – 2K3; L=64 y K=5 b. P(L, K)= 25L + 2L2 – 3L3 + 5LK2 – 7L2K+ 2K2 – K3; L=128 y K=10

Funciones de Demanda

Problemas 29

1. La función demanda par dos productos están dadas por q1=300 – 8p1 - 4p2 q2=400 – 5p1 - 10p2

a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=8

q1=300 – 8(10) – 4(8)=188 q2=400 – 5(10) – 10(8)=270

A los precios dados la demanda del producto 2 es mayor b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 1 la demanda del producto 1 disminuye en 8 unidades, manteniendo constante el precio del producto 2

c. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2

0

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 2 disminuye en 10 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2

Suponga que dos productos se venden a los precios p1 y p2 (ambos en dólares), la cantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambos productos en el mercado, Si q1 representa la demanda del primer producto entonces q1=f(p1,p2) es la función demanda de dicho producto y si q2 representa la demanda del segundo producto entonces q2=g(p1,p2), por lo tanto las derivadas parciales de q1 y q2 se conocen como funciones de demanda marginal



159

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 1 disminuye en 4 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1

2. La función demanda par dos productos están dadas por

q1=900 – 9p1 + 2p2 q2=1200 + 6p1 - 10p2

a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=12

b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1

c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2

d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p1

3. Dadas las funciones qA, qB, pA y pB las demandas y los precios (en dólares) de dos productos A y B calcule las demandas marginales: de qA respecto al precio pA, qA respecto al precio pB, qB respecto al precio pB y qB respecto al precio pA

a. qA=400 – 3pA - 2pB y qB=250 - 5pA - 6pB b. qA=600 – 4pA + 6pB y qB=1200 + 8pA - 4pB

c. 000 0

0000

d. 00

0 000 00

4. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas por

y

, donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitarios son PA y PB. a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es pA= 1000 y

del segundo p2=2000 b. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pA

c. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pB d. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pA

e. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pB Otras aplicaciones

1. La fórmula del interés compuesto anual está dada por

00

, donde A es el valor futuro de una inversión de P dólares en los t años a una tasa de interés anual r.

a. Calcule

en A(100,10,5)



160

b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado 2. El director de mercadeo de una fábrica de bicicletas propone el siguiente esquema:

ofrecer x bicicletas y triciclos a un agente de ventas por: 00 00 . . dólares

a. Calcule

en R(200,100)

b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado



161

LA INTEGRAL A través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información de costo marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones de ingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre el costo marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacional con base en información acerca de la propensión marginal al consumo. Antiderivada La integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de un función, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de antidiferenciación. Por ejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x2, pero también podría ser f(x)=x2 + 1 ó f(x)=x2 – 2 en general toda antiderivada de la función f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constante

Ejercicios 41 Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x):

1. f´(x) = 4x si f(x) = 2x2 + 1 2. f´(x) = 3x2 si f(x) = x3 – 12

3. f´(x) =

si f(x) = x2 + 4x - 1

4. f´(x) = x si f(x) = (1 + x)

5. f´(x) = si f(x) =

6. f´(x) = x si f(x) = Integral Indefinida

Sea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debe tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constante

El símbolo ∫ - El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite de una suma- indica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función f. Así

∫ f(x) dx = F(x) + C Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración. La expresión dx recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si la variable independiente es t se escribe ∫ f(t) dt.



162

Reglas de Integración

Regla Expresión

De una Constante

∫ k dx kx c donde c es una constante de integración

Ejemplo: ∫ dx x c

De la Potencia

∫ xn dx =

n 1

Ejemplo: ∫ x3dx =

De un múltiplo constante

∫k f x dx k ∫ f x dx

Ejemplo: ∫ x2dx ∫ x2dx = 2 [

] =

x

c

De la suma

∫ f x g x ] dx ∫f x dx ∫g x dx

∫ x2 + 4x – dx ∫ x2 dx + ∫ x dx – ∫ dx x

x

x c

=x3 + 2x2 – x + c

Exponencial

Logarítmica

Ejercicios Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando



163

Problemas

1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es:

C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares

Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de

fabricar 60 unidades.

´

C x x-x x c Solución General

Como C(x)=29 050 cuando x=30,

0 0 0 0 0 0 – 00 000

0

Despejando

0 0 0 c ó c 00

Remplazando en la solución general

C x x - x x 00 Solución Particular

Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular

0 0 0 0 00 00 00 000 00

00

El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares

2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejo privado de locales comerciales es: M'´(x) = 90x2 + 5000, siendo x la edad del complejo en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años. Halle el costo del mantenimiento en 5 años

´

0x 000 dx 0x

000x c 0x 000x c

Para x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es

0x 000x Para hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando

0 000 0 000 0 000 0 En 5 años el costo de mantenimiento será de 28750 dólares



164

3. La razón de cambio del ingreso anual promedio actual R ( en miles de pesos) que una persona puede recibir al buscar un empleo ordinario respecto al número de años de educación t está dada por

00

, donde R=55 000 cuando t=9. Encontrar a. La función ingreso total b. El ingreso anual que puede recibir una persona con 5 años de estudio.

4. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es R'(x) = 15 - 4x

Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos: a. Determine la función ingreso total. b. Determine la ecuación de demanda.

5. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x seguros

de gastos médicos es Q´(x) = 32x + 92

, donde x es el número de seguros vendidos y Q´(x) es el costo marginal dado en pesos. a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0

entonces Q(x)=10 000). b. Determinar el costo de vender 100 seguros.

6. Sea S´(t)= 4 + 5t2/3 la razón de cambio de la circulación de cierta revista por t semanas, además la condición inicial es S(0)=3000. a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de t

semanas. b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas

7. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo esta dado por

´

, si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41 a. Halle la función que determina el costo promedio. b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos

8. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es

R´(x)=12 – 0.0004x

Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares,

determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades

9. El costo marginal de cierta empresa está dado por



165

C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2

Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentre

c. La función costo

d. El costo de producir 500 unidades

10. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus

productos es

00

, determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5

unidades.

11. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =-

0.3x + 450, ¿cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades?

12. Una compañía a encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por

producto es

´

00

, donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40. a. Encuentre la función de costo promedio del producto

b. Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto

13. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de

dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante

0. .

, donde t es el número de años que han pasado desde 1990. a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995,

encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales

invertidos en fondos mutuos.

b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 2000

14. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de

dólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La

razón de cambio del gasto se puede modelar con

0.00 . .



166

, donde t=0 en 1960. a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud

b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al

cuidado de la salud para el 2010

15. Si el ingreso marginal esta dado por

00

Determine la ecuación de la demanda correspondiente

16. Si el costo marginal está dado por

, si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el

costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares

17. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal

diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por

R´(x)=-0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas y

vendidas y R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos

R(x) asociada con la producción y venta de relojes

Integración por Sustitución

Es utilizada cuando la integral no es posible resolverla utilizando las reglas básicas. Corresponde a la regla de la cadena de la derivación y consiste en reducir la integral mediante un cambio de variable. Ejercicio Integrar cada función 1. ∫

Hacemos derivando u respecto a x obtenemos

, despejando

remplazando en la función original

Remplazando el valor de u obtenemos



167

2. ∫

3. ∫

7. ∫

8. ∫ 9. ∫ 10. ∫

11. ∫

12.∫ 13. ∫

Regla de la Potencia para la Integración Ejercicios

1. ∫ . Si comparamos con la definición y ´ entonces .

Si derivamos

obtenemos

.

.

2. ∫

Para que tenga la forma ∫ ] . ´ multiplicamos y dividimos por 3

.

Factorizando

.

Aplicamos la fórmula

∫ ] . ´ ]

.

Si derivamos

obtenemos

.

.

.

] . ´ ]



168

3. ∫ El ejercicio se puede expresar


.

Factorizando

.


∫ ] . ´ ]

.

Si derivamos

obtenemos

4. ∫

El ejercicio se puede expresar

Para que tenga la forma ∫ ] . ´ multiplicamos y dividimos por -5

.

Factorizando

.


∫ ] . ´ ]

.

.

Si derivamos

obtenemos



169

Ejercicios. Integrar

Problemas

1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de

´

0 0

, donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los

panales costaban $10 dólares.

d. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al

inicio del año t.

e. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000?

Para hallar la expresión del costo de producción debemos hallar

Que podemos expresar ∫


Factorizando


∫ ] . ´ ]

La ecuación general sería



170

Como para 1990 los panales costaban $10

dólares. 0

0 ; 0

Despejando 0

Entonces .

Remplazando en la ecuación general se

obtiene la ecuación particular

.

Si queremos saber el costo de los paneles

en el 2000 hallamos t

000 0 0

Remplazando

0 0.

0. 0. 0.

0.

Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo

aproximado de $0.93 dólares

2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los

estudiantes aumentará a razón de

´ 000 0.

Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000

estudiantes

a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años.

b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años?

Para hallar la expresión total de estudiantes inscritos debemos hallar

000 0.

Que podemos expresar 000 0.

Para que tenga la forma ∫ ] . ´ multiplicamos y dividimos por 0.2

000 0.

0.

0.



171

Factorizando

000

0. 0.

0.


∫ ] . ´ ]

0000 0.

La ecuación general sería

0000

0.

0000

0.

.

Si la inscripción actual es de 1000

estudiantes 000

0000

0. 0

Despejando 000 000

Entonces

Remplazando en la ecuación general se

obtiene la ecuación particular

.

Para saber cuántos estudiantes se

inscribirán dentro de cinco años,

hacemos

Remplazando

.

.

En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes

3. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos esta dado

por

´

00 00



172

, en donde x es el número de pares de zapatos producidos.

a. Determine la función costo

b. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos

4. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por:

00

Encuentre la función de la demanda si q=100

5. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por

0

0

, donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total.

6. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por

0 000 0 000

0

, donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras.

7. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina

productividad física y es una función del número de máquinas y es una función

del número de máquinas o trabajadores. Si P=f(x) es la productividad física,

es

la productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unos

albañiles es

0

, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0

8. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio

de

00

00

0 ]

, donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción. a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el

número total de artículos producidos como una función del tiempo.

b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana?



173

9. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción

se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa

de desempeño está dada por

, donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran después de 8 horas?

10. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por:

R´ x x

x 00

a.Encuentre la función ingreso

b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades

Integrales que Involucran Funciones Exponenciales Ejercicios Calcule las integrales

1. ∫

2. ∫ El ejercicio lo podemos escribir

Tiene la forma ∫ . ´ ∫ , aplicando la fórmula

3. ∫

Para que quede expresado de la forma ∫ . ´ , multiplicamos y dividimos por 2

Factorizamos

. ´



174

Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫

4. ∫

La expresión se puede escribir

Si multiplicamos y dividimos por -2

Factorizamos

Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫

Ejercicios Calcule cada integral

000 . 0 .

Problemas

1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares

puede modelarse por medio de

.

, donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en

dólares) de la casa.

a. Encuentre V(t)

b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida

La expresión

. equivale a

∫ .

Factorizando ∫ .

Multiplicamos y dividimos por 0.05 ∫ . .

.



175

Factorizando

0.0 . 0.0

Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫ , obtenemos la ecuación general

0.0 .

Para t=0 V=350000, remplazando hallamos el valor de la constante C

0000

0.0 .

0000 0

0000 0

0

Remplazando en la ecuación general

0.0 . 0

Para hallar el valor de la casa 10 años después de construida hacemos t=10, remplazamos

0

0.0 .

0

0 0 . 0

0 0 . 0

0 . 0

0 0 0

En 10 años la casa costará 350103 dólares

2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es

´ . ¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto?

La expresión ´ . equivale a

∫ .

Factorizando ∫ .

Multiplicamos y dividimos por 0.01 ∫ . .

.

Factorizando

0.0 . 0.0

Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫ , obtenemos la ecuación general

00 .

Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el valor de la constante C

0 00 .

0 00

00

Remplazando en la ecuación general 00 . 00

00 .



176

Para hallar el ingreso por la venta de 100 unidades hacemos x=100

00 .

00

00 .

00 .

0 0.

El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólares

aproximadamente

3. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto

continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es

0. .

a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años?

b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro?

4. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado

Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante

. .

, donde t es el número de años transcurridos desde 1950. a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84,

encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados

Unidos.

b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).

5. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una

campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa

´ . . 0 t 00 , donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0. a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después

de culminar la campaña

b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña

6. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos

(en miles de millones de dólares se puede modelar mediante

. .

, donde t es el número de años que han pasado desde 1960



177

a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre

la función que modela el ingreso personal total.

b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).

7. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en

particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número

de unidades por hora) está dado por dx

dt 0 e t 0

Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas

8. Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela

particular dado por ´ 0 . , donde x es el número de rollos producidos

de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela.

9. Durante una crisis económica, reciente el porcentaje de desempleados creció a razón de

´ 0. .

.

, donde t es el tiempo en meses. Dado que en t=0 había el 4% de desempleados ¿qué porcentaje estaba empleado?: a. 10 meses después b. 20 meses después

10.Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de

´ 000 , unidades por año

Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado?

Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas



178


1. ∫

Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de

la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma ∫ ´

du

aplicando la formula ∫ ´

du u c obtenemos

ln

2. ∫

Multiplicamos y dividimos el integrando por 4

Factorizamos

El integrando tiene la forma ∫ ´

du u c,

resolvemos

ln

3. ∫

Observamos que la derivada del denominador del integrando ( es , por lo tanto al numerador le faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6

Factorizamos el 6 del denominador


du u c,

resolvemos

ln




179

Problemas

1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por

´

, si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares Debemos hallar

Factorizamos


du u c,

resolvemos y obtenemos la ecuación general

ln

Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades

ln

. 0.

Remplazando en la ecuación general

ln 0.

Para p=14 dólares

ln

0.

Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades

2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por

´ 00

, donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo



180

b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50 unidades?

Debemos hallar

00

Factorizamos 00


du u

c, resolvemos y obtenemos la ecuación general

00 ln

Como C(5)=1980 0 00 ln 0 00 ln 0 0

Remplazando en la ecuación general 00 ln 0 Para x=50 unidades 00 ln 0

0

Producir 50 unidades costaría 2867 dólares

3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por

0

00

0

Donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando

se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad.

Determine el costo de producir 200 unidades

4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad

respecto a las unidades vendidas semanalmente esta dado por

´

, dólares

Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades

5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por

´

Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares.



181

6. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por

´ 0

Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades



182

TALLER Tema: Integrales Indefinidas 1. Resuelva cada una de las siguientes integrales

a. ∫ =

b. ∫ =

c. ∫ = d. ∫

=

e. ∫ = f. ∫

g. ∫ =

Problemas 2. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario

relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por R`(x)=-0.009x + 12

, donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.

3. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de

.

.0 .

, años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900. Halle una expresión para g(t) para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza de vida de una mujer que nace en 1991?



183

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Ejercicios 47 Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones

1. ∫

2. ∫

0

3. ∫

4. ∫

ln ]

ln ] ln ]

.0 ] 0] . .

Ejercicios 48

2

0

32 12 dxxx

4

2 45

4dx

x

1

1

23 652 dxxxx

7

1

2

2dx

x

x

3

01 dxxx

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada de f, entonces:



184

Problemas

1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por ´ . . . Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades

Debemos calcular

. .

Integrando . .

Simplificando y remplazando

. . ]

. . ] ] ]

El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias

2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es . dólares por año, calcule el costo total de reparación durante los primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6 Debemos calcular

.

Integrando

.

Simplificando .

Remplazando . ]

. ] . ] ] .

El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de 133.6 dólares

Para un periodo de t=4 Calculamos .

Remplazando . ] ] . ] ] .




185

Para un periodo de t=6 Calculamos .

Remplazando . ] ] . ] ] .


Encontramos que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo de reparación

3. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es C´(x)= 74 + 1.1x – 0.002x2 + 0.00004x3 dólares por unidad

Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a 1600 unidades

4. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin

embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años esta dado por S´(t)= 120 – 4t – 0.5t2 (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre los primeros 8 años.

5. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. ¿Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años?

6. La función ingreso marginal de un fabricante es

.

Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si la producción se incrementa de 15 a 25 unidades

7. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D´(t)= 3 000 (20 – t) dólares por año 0 t 0. Use la integral definida para encontrar: a. La depreciación los primeros 10 años b. La depreciación los primeros 20 años c. La depreciación entre 10 y 20 años

8. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de

operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f´(x) = 1000 + 5000x. ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?



186

9. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el

superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades

10. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es S(x) =

. Encuentre la

ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos

11. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: S´(t) = -3t2 + 300t

, donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 t 0. b. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se término la

campaña (t=0 a t=7) c. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se término la

campaña (t=7 a t=14)

12. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades de un artículo esta dado por ∫

donde D(q) es la función de la

demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es D(q)=4(25-q2) dq. Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos



187

ÁREA BAJO LA CURVA Si es un función continua en ] y ≥ en ] entonces el área exacta entre y el eje de las en a esta dada por

Ejercicio 1. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre

y 2. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre

y 3. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y

4. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y

5. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y

Problemas de aplicación 3. La tasa de depreciación de un edificio está dada por ´ dólares al

año, . a. Haga una grafica que represente la depreciación total del edificio b. Calcule la depreciación de los primeros 10 años.

2. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: S´(t) = -3t2 + 300t

, donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 t 30. Haga una grafica que represente las ventas los primeros 10 días.



188

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA Valor promedio

Problemas 1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por:

C (x)= 5000+16x+0.1x2

El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo promedio semanal

C (x)= 5000+16x+0.1x2

=

00- 00 ∫ 000 x 0. x dx

00

00

=

00 (5000x +8x² + 0.033x³)

00 00

=

00 000 00 00 0.0 00 - 000 00 00 0.0 00

=

00 (1.584.000 – 613000) =

00(971000)

= 9710

Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades será de 9710 dólares

2. La función demanda para cierto articulo está dada por:

P= 500+

, donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se demanda en 50 y 100.

00- 0 ∫ 00

+

) dq

=

0 00q 00ln q ]

00 0

El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] es

Valor promedio =

∫



189

=

(50461.512- 25393.183) =

(25 068.329)

= 501.3666

El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36 Unidades Monetarias.

3. El ingreso total de una maquina de videos está dada por:

I=50e0.2t

Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas.

=

∫ 0

. dt =

∫ .

dt

=

x

.

.

. . 0

= . e0. - . e

= (62.5 . - 62.5)

= (139.096 – 62.5)

= 76.596

El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de 76.59 Unidades Monetarias

4. La utilidad (en dólares) de un negocio está dada por p=369q – 2.1q2 – 400, donde q es

el número de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de q=1 a q=100.

5. Suponga que el costo(C) de producir q unidades de un producto está dado por C=4000 + 10q + 0.1q2. Encuentre el costo promedio sobre el intervalo de q=100 a q=500

6. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por C(x)= 400+x+0.3x2,

donde x es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10 a 20 unidades

7. El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo es

C(x)=x2 + 400x + 2 000 Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa el resultado?



190

8. El número de ventas diarias de un producto está dado por

00 00

, x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto. a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de la

campaña, es decir x=0 a x=20.

b. Si no se inicio una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio de ventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30)

9. El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa de

interés compuesto continuamente de 10% es S=1000e0.1t, donde t está en años.

Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años.

Ingreso Total

Problemas 36

1. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un

pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t

dada por f(t) = 600e-0.2t, en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del

ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años.

2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo de

ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000

dólares por año

3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo de

ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500

dólares por año

4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujo

continuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t, dado por f(t) =

24 000e0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en el

primer año

Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años está dado por

Ingreso total = ∫



191

5. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingreso

generado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es un

flujo continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10

000e0.02t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para los

primeros dos años.

6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladora

como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dado

por f(t)=80e-0.1t, en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujo

para los siguientes 10 años.

Valor Presente de un flujo continuo de ingreso

Valor Futuro de un flujo continúo de ingreso

Problemas

1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por

f(t) = 9 000e0.12t (dólares al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto

continuamente, para los próximos 10 años encuentre

a. El Ingreso total

Por definición el ingreso total esta dado por

∫

, por datos f(t) = 9 000e0.12t y k = 10 remplazando

000 . 000

. 0.

0.

000

0. . 0. 000 .

00

Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es

Valor-presente = ∫

Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempo

Si f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es

Valor-futuro = ∫



192

000 . . 000 . ] 000 . ] 00

El ingreso total del flujo continuo f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6%

compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 249 009 dólares

por año

b. El valor presente

000 . . 000 .

000 . 0.0

0.0

000

0.0 . 0.0 0000

. 00

0000 . . 0000 . 0000 0.

El valor Presente del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a

una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de

123 318 dólares

c. El valor futuro

.

. 00

El valor futuro del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a

una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de

224 700 dólares

2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por

f(t) = 12 000e0.04t (millones de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa del 8%

compuesta encuentre para los próximos 8 años

a. El Ingreso total


, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t y k = 8 remplazando



193

000 .

000 . 0.0

0.0

000

0.0 . 0.0 00000 .

0

00000 . . 00000 . ] 00000 0. ]

El ingreso total del flujo continuo será de 113138 millones de pesos



, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t , k = 8 y r=0.08 remplazando

000 . .

000 .

000 . 0.0

0.0

000

0.0 . 0.0

00000 . 0

00000 . .

00000 0. ] 00000 0. ] .

El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 millones de pesos

c. El valor futuro


, por datos ∫ .

, r=0.08 y k=8, remplazando

. . ] . . 0

El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806

millones de pesos



194

3. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presente

durante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañía

determina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e-0.2(t+5), en miles de dólares por

año y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente,

encuentre este valor presente

4. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es 1 000e0.02t, en millones de pesos por

año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto

continuamente, para los próximos 4 años, encuentre

a. El valor presente

b. El valor futuro

5. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por

f(t) = 5 000e-0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para los

próximos 5 años calcule:

a. El Ingreso total


c. El valor futuro

6. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensas

como un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual en el tiempo t está dada

por f(t) = 97.5e-0.2(t+3) en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de

6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de las

prensas durante los siguientes 10 años.

7. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén de

ropa para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tiene

un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por

G(t)=30 000 (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuo

de ingreso con una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por G(t)=21

600e0.08 (miles de pesos por año) .

La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro de cada negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra.



195

Superávit de Consumidor El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta. Algunos consumidores están dispuestos a comprar x3 unidades si el precio fuera $p3. Los consumidores que están dispuestos a pagar más de $p1 se benefician por el precio más bajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p1 se conoce como superávit del consumidor cuya fórmula está dada por

, donde f(x) es la demanda, p1 es el precio de equilibrio y x1 es la cantidad en equilibrio, p1x1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieron como ingreso. Problemas 1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el

precio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del consumidor?

Por datos f(x)=100/(x+1) y p1=20, debemos hallar q1

Remplazando

0 00

00

0

Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es

00

0 00 ln 0

00 ln ln ] 0 00 . 0] 0 0 0 0



196

El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares

2. La función demanda de un producto es y su función de oferta es p =

x + 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto

de equilibrio y el superávit del consumidor.

Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta

Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad

0

0 Factorizando

0 Ósea que

0 o 0 Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en la ecuación de la oferta

Entonces el precio de equilibrio , como la demanda ,

remplazamos en la ecuación ∫

Resolviendo

0 0

0 0

. . 0 . El superávit del consumidor será aproximadamente de 4.23 dólares

3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x2. Si el precio es de $9.

¿Cuál es el superávit del consumidor?

4. La función de demanda para un producto es p = 100 –4x. Si el precio es de $40.

¿Cuál es el superávit del consumidor?



197

5. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en

equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?

6. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en

equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?

7. La función demanda de cierto producto es p = 81 – x2 y la función oferta es p

= x2 +4x + 11. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.

8. La función demanda de cierto producto es p = 49 – x2 y la función oferta es p

= 4x + 4. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.

Superávit del Productor

Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p=p1 y la curva de la oferta x=0 y x=x1 da como resultado el superávit del productor.

Si la función de la oferta es p = g(x), el superávit de productor esta dado por la diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x1.

, p1x1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio.

Problemas

6. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x2 + 2x + 2. Si el precio

de equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor?

Inicialmente debemos hallar la cantidad en equilibrio remplazando el precio de equilibrio en la función oferta



198

0 0 0

Factorizando 0 ó 0. La cantidad en equilibrio es 0 La función oferta es , remplazamos en

∫

0

Resolviendo

0

00

0 0

0 0

0

0 0

0 . 0] . El superávit del productor será de 2766.67 dólares

7. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función

demanda es p = 81 – x2 y su función oferta es p = x2 + 4x + 11.

Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta

Despejando

0 0 Factorizando

0 0 Ósea que

0 o 2 0 0 Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en la función demanda

Entonces el precio de equilibrio , como la oferta es ,

remplazamos en ∫

Resolviendo

0

0



199

0

0

0 0

0 . 0 El superávit del productor será aproximadamente de 133.33 dólares

3. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x2+3x+20. Si el precio

de equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor?

4. Si la función de oferta para un producto es p = 10ex/3. ¿Cuál es el superávit del

productor cuando se venden 15 unidades?

5. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e-0.01x y la

función oferta es 00 , si la cantidad en equilibrio es de 31 unidades

encuentre:

a. El punto de equilibrio

b. El superávit del consumidor

c. El superávit del productor

6. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguida a. D: p= 15 -2x O: p=3 + x

b. D: p=17 – 0.5x O: p= 5+0.3x

c. D: p =1100 –q2 O: p = 300 + q2

d. D: p = 400 – q2 O: p = 20q +100

e. D: O: p= x +1

f. D: p =110 – x2

O: p =2 -6/5x +1/5x2

g. D: p = 12/(x + 1) O: p = 1 + 0.2x

h. D: p = 49 – x2 O: p=4x + 4



200

INTEGRACIÓN POR PARTES

La integración por partes es una técnica de integración donde se usa una fórmula que se origina de la regla del producto para la derivada

.

. .

. . .

.

.

Ejercicios Integre

1. ∫ Hacemos u=x y dv=exdx entonces du=1dx y v=ex remplazando en la fórmula

2. ∫

Hacemos u=ln(x) y dv=xdx entonces du=

y v=

remplazando en la fórmula

ln

ln

ln

3. ∫ ln

Hacemos u=ln(x2) y dv=dx entonces du=

y v=x remplazando en la

fórmula

ln ln

ln ln

4. ∫

Hacemos u=x2 y dv=e2xdx entonces du=2xdx y v=

e2x remplazando en la

fórmula

La integración por parte es muy útil si la integral que se trata de calcular se puede manejar como el producto de un función u y el diferencial dv, de una segunda función de modo que se pueda encontrar las dos integrales ∫ y ∫



201

Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdx

entonces du=dx y v=

e2x remplazando

5. ∫

Hacemos u=x2 entonces du=2xdx y dv=x dx entonces v=

remplazando

Problemas

1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el

mercado a una tasa de S´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas? Debemos hallar

000 .

000 .

Hacemos entonces y . entonces

. . ,

aplicando la formula de integración por parte ∫ . ∫



202

000 . 000

0. .

0. .

000

. .

. ∫ . ]

000

0. .

0.

0. . ]

La ecuación general es

. . . ]

Para S(0)=0

0 000

0. 0 . . ] 000 00000

Remplazando en la ecuación general, se obtiene la ecuación particular

. . . ]

Para saber cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas hacemos t=4

. . . ]

. Las ventas totales durante las primeras cuatro semanas será de 399 919 147 juegos

2. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo de extracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual (en dólares por año) en el momento t, en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y el dinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de la pieza para los próximos 2 años.

La fórmula del valor presente es ∫

donde y 0.0

remplazando

00000 00 .

00000 . 00

.

∫ 00000 . 00 ∫

.

(1)



203

Resolvemos la integral ∫

. integrando por parte.

Hacemos entonces y . entonces

. .

Aplicando la fórmula ∫ . ∫

.

0.0 .

0.0 .

.

0.0 .

0.0 .

.

0.0 .

0.0 .

Integrando ∫

.

. .

.

. .

.

0.0 . . .

0

0.0 . . .

0.0 0 . . .

. . . entonces ∫

. .

Integramos

00000 .

00000

0.0 .

0 0000 . .

00000 .

0000 . . 0.

Remplazando en (1)

00000 . 00

.

0. 00 .

0.

El valor presente de la pieza para los próximos 2 años será de 558960.79



204

3. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de sus productos es

´ 00 . 0 .

, dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades

4. Si la función oferta para x unidades de una mercancía es p=30 + 50 ln(2x +1)2

pesos ¿cuál es el superávit del productor en x=30?

5. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t)=10 000 – 500t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5 años.

6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se

considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por f(t)=280 000 -14 000t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta máquina los próximos 8 años.

7. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuo

de ingreso con una tasa anual dada por

f(t)=100te-0.1t

, en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10 años.

8. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país esta dada por

y = xe (x-1)

Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso

9. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por

´ 000ln 0

0

, donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $2000, determine la función costo



205

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mis notas de clase cálculo diferencial 2012-2

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