Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso

Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso182

Clculo DiferencialJos Francisco Barros TroncosoMis Notas de Clase"una experiencia de aula"SerieNotas de Clase"una experiencia de aula"Serie

con problemas de aplicacin orientados hacia la administracin y la economa

Con especial cario a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en m, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensin y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiracin, a todas aquellas personas que han credo en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada da y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo.GraciasJos Francisco Barros TroncosoFebrero 12 de 2013

Tabla de contenidoINTRODUCCIN5FUNCIN6Producto Cartesiano6Pareja Ordenada6Intervalos8Relacin11Funcin12Representacin de una Funcin13Funcin Inversa19Funciones Pares e Impares20Races e Interceptos22Funcin Creciente y Decreciente24Funcin Acotada24Concavidad y Convexidad26Imagen de una Funcin28Algebra de Funciones31GRFICA DE FUNCIONES35Grafica de una Funcin con Tecnologa36LA LNEA RECTA43Posicin Relativa de la Recta45FUNCIN LINEAL48Modelacin de Funcin Lineal58FUNCIN CUADRTICA60FUNCIN POLINMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS71FUNCIN EXPONENCIAL73FUNCIN LOGARTMICA77FUNCIN COCIENTE o RACIONAL86FUNCIN POR PARTES O POR TROZOS89FUNCIN VALOR ABSOLUTO97FUNCIONES TRIGONOMTRICAS99INCREMENTO Y TASAS102LIMITE111LA DERIVADA123Frmulas de la Derivada126Regla de la potencia138Regla de la Cadena138DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES144DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARTMICAS148DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS152DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR155MXIMOS Y MNIMOS RELATIVOS156Prueba de la primera derivada.156Prueba de la segunda derivada157DERIVADA IMPLCITA173ELASTICIDAD EN LA DEMANDA180DERIVADAS PARCIALES184Funciones de dos o ms Variables184Diferenciacin Parcial189Costo Conjunto y Costo Marginal192Productividad Marginal196Funciones de Demanda198BIBLIOGRAFA202Web-grafa203

INTRODUCCIN

El presente trabajo es una compilacin de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educacin en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporacin Unificada Nacional de Educacin Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemtica en otros contextos, en particular en la economa, que el estudiante le d a la matemtica una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lgico del ser humano y de la sociedad.

El documento no pretende plagiar la informacin contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en pginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicacin ms sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicacin orientados hacia su perfil profesional.

El objetivo es el de exponer los conocimientos bsicos del clculo diferencial en forma sencilla, lgica, crtica y analtica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, adems el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.

FUNCIN

En la teora econmica la informacin de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamiento de dos o ms variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemticas que representen el comportamiento de los agentes econmicos

En la prctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo: Cantidad de Produccin - Costo AsociadoCantidad Comprada PrecioMano de Obra - CapitalOferta - DemandaImpuesto - Valor de la MercancaHoras trabajadas salario

Producto CartesianoSean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simblicamente:

Pareja OrdenadaConjunto de nmeros de Una pareja ordenada consiste en dos elementos la forma , de los cuales designa el primer elemento o componente, y el segundo.

Dos parejas ordenadas y son iguales si y solamente si y

En consecuencia:

La representacin geomtrica de R R es el plano cartesiano llamado tambin plano numrico. baP(a,b)

Se establece una relacin biunvoca entre R R y el conjunto de los puntos del plano geomtrico, asocindose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).

Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B ser: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Grficamente1122345

Ejemplo 2:

Sean

Su representacin geomtrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectngulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

IntervalosSubconjunto de los nmeros reales y se clasifican en finitos e infinitos.

Finitos Abierto Subconjunto de todos los nmeros x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simblicamente (a , b) = {x / a < x a}

-a

[a,) = {x / x a}-a

(-, a) = {x / x < a}

-a

(-, a] = {x / x a}

-a

Ejercicios 1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)

2. Sean y a. Calcular b. Representar grficamente

3. Sean: A, el conjunto de todos los nmeros reales que estn entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los nmeros enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A.4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su grfica

a. (1,3)b. (0,3]c. [-1,)d. (-,2)

e. [-0.5, 4.5)f. (][)

()

5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[-2,) calcular y representar grficamente a. A n Bb. B - Ac. Ccd. Ac n Bce. (A - B)c C

6. Para cada afirmacin escriba dos intervalos que verifiquen:a. Su unin (-8,2]b. Su interseccin [-3, 1)c. Su diferencia (-, 3)d. Su interseccin sea vaca y su unin todos los reales

7. Cules son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente grfica?

8. Cierta compaa de encomienda liquida los envos de acuerdo a 0.80xSi 0 < x 50

C(x)=0.70xSi 50 < x 200

0.65xSi x > 200

, donde C(x) se da en dlares y x en kilogramos (Kg)a. Exprese cada condicin en forma de intervalo.b. Determine el costo de envi de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg

9. Un estudio de tiempo mostr que, en promedio, la productividad de un trabajador despus de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de

Donde P es el nmero de unidades producidas por hora.a. Qu significa la condicin?b. Calcule la productividad 9 horas despus de estar en el trabajo

10. La siguiente grfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto producto

Determine el o los intervalos a. De unidades vendidas no generan utilidades por qu?b. De unidades vendidas que generan utilidades por qu?c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades por qu?d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades por qu?RelacinRegla que determina la correlacin existente los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una grfica, una ecuacin o una desigualdad.

Ejercicios1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relacin:a. Que la primera componente sea el doble de la segunda.b. Que la segunda componente sea el triplo ms uno de la primera.c. Que la primera componente sea un nmero par y la segunda un impar no consecutivo.d. Que la primera componente sea un nmero posterior no consecutivo de la segunda.

2. Escriba una oracin que describa la relacin de cada conjunto de parejas ordenadas:a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11)b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5)c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17)d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)

3. Exprese cada relacin de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuacin.

Problemas

Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situacin particular

1. Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el precio disminuye en US$ 4 dlares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si se demandan 5 unidades.

2. Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada ao se deprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehculo a los cinco aos de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y la segunda el precio.

3. El valor de un libro se duplica cada 5 aos, el libro fue evaluado hace 20 aos en $1200. La primera componente representa el nmero de aos y la segunda el precio.

4. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas.

5. No existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de 200 dlares o ms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas

6. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

7. El nmero de familias vinculadas al a un proyecto apcola en la sierra nevada de Santa Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada ao que pasa el nmero de familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el nmero de aos y la segunda el nmero de familias vinculadas al proyecto.

8. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una funcin del precio sta dado por I = 300p 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I).

9. El costo total de la produccin de x litros de un determinado producto viene dado por . Si la primera componente representa la cantidad de litros del producto y la segunda el costo total de la produccin.FuncinEs una relacin de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente.

Si A y B son conjuntos una funcin f de A en B se denota

Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman las variables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente.

De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos nfasis particularmente en las reglas o consignas: ser la madre de, ser la cuarta parte de, ser el siguiente de, ser el doble de, ms 3 unidades, etc.Representacin de una FuncinUna funcin se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas sagital, como graficas cartesianas y por formulas.

Ejercicios

Escriba cinco parejas ordenadas por cada oracin e indique cul representa una funcin?1. Qu la segunda componente sea el doble de la primera?2. Qu la primera componente sea el doble ms uno de la segunda?3. Qu la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera?4. Qu la primera componente sea la raz cuadrada de la segunda?5. Qu la segunda componente sea un nmero primo y la primera un par anterior no consecutivo?Problemas1. El costo de un artculo disminuye de acuerdo con el nmero de artculos producidos. Si producir 100 artculos cuesta US$980 y por cada cien unidades que se produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500 unidades

2. El valor de un libro se duplica cada 5 aos, el libro fue evaluado hace 20 aos en $1200. La primera componente representa el nmero de aos y la segunda el precio.

3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas.

4. No existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de 200 dlares o ms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas

5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

En forma de Tablas de valores en las que aparecen explcitamente los pares de valores [variable independiente variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada funcin. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen el salario mnimo mensual de los trabajadores de cierto pas en los ltimos 10 aos, precio de cierto modelo de vehculo segn su marca, valor de las acciones de ciertas empresas

Ejercicios

1. Los datos de la tabla muestran el nmero de familias vinculadas a un proyecto apcola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999Ao199920002001200220032004200520062007

N de familias12825337850362875387810031128

2. Variacin de las ventas con respecto al precio de cierto artculoCosto225023002350240024502500255026002650

Venta400376352328304280256232208

3. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para aos seleccionadosAo19921993199419951996199719981999

Ingresos (millones)63.1369.960.5361.162.1963.0864.967.15

4. Fraccin de artefactos que funcionan despus de t aos de uso

Aos de uso123456789

Fraccin de artefactos que funcionan0.880.780.690.610.540.480.430.380.33

5. Nmero de computadores que ensambla un trabajador respecto al nmero de das que lleva trabajando en una empresas de informtica

Das1510152025304560

Nmero de Computadores1344.54.855.145.45.5

En forma de Diagramas Sagital o de Venn Euler son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre stos, representadas por flechas de unin. Esta representacin slo es til en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos.

Ejercicios

1. ABf123414916

2. ABf123-2149

f es una funcin ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, 4}El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16}El Recorrido de f{1, 4, 9, 16}Si en una funcin el co-dominio es igual al recorrido se dice sobreyectivaf es una funcin ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, -2}El Co-dominio de f {1, 4, 9}El Recorrido de f{1, 4, 9}f es sobreyectiva

3. ABf123

14916

4. ABf14916

123

f es una funcin ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3}El Co-dominio de f {1, 4, 9,16}El Recorrido de f{1, 4, 9}f no es sobreyectivaf no es una funcin porque hay un elemento A que no tiene imagen en B

5. fAB1416

12-24

6. 1

1234

BAf

f no es una funcin porque hay un elemento A que no tiene dos imgenes en Bf es una funcin ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de BEl dominio de f: {1, 4, 16}El Co-dominio de f {1}El Recorrido de f{1} Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la funcin es constante

En forma de Grficas cartesianas: Son grficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia llamados ejes de coordenadas, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, tambin como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numricos.

Una funcin se caracteriza geomtricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca ms de un punto de la grfica, esta no representa a una funcin.

Es funcinNo es funcinEs funcin

Es funcinNo es funcinEs funcin

Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una grfica de una funcin lo hace en un solo punto decimos que la funcin es inyectiva o uno a uno y si la corta en ms de un punto se llama sobreyectiva

InyectivasobreyectivaInyectiva

Si una funcin, como la que se muestra en la grfica, una parbola donde se considera nicamente la parte positiva del dominio, es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva

Otra forma de representar una funcin es a travs de Frmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir nmeros y smbolos literales) que expresan la relacin existente entre las variables independientes y la variable dependiente.

Segn las frmulas las funciones se clasifican en polnomicas o algebraicas y trascendentes, Las polnomicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadrticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales y por trozos (por seccin o por partes). Las trascendentes, se llaman as para distinguirlas de las algebraicas, y son las logartmicas, exponenciales y las trigonomtricas

Polinomiales

Lineales

Cuadrticas

Polinomiales

Racionales

Irracionales

Por trozos, (por seccin o por partes )

Las trascendentesLogartmicas

Exponenciales

Trigonomtricas

EsquemticamenteFuncin Inversa Dada la funcin y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la funcin x= g(y).

AB

x

y=f(x)

f

f:A BBA

y=f(x)

x

f-1

f -1 :B A

Para hallar la inversa de una funcin se despeja la variable independiente de la funcin original, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funciones tienen inversa.

Ejercicios Obtener la funcin inversa de cada funcin

1. y=4x + 1Despejando Graficas

2. y=x2+1Despejando Grficas

3. Despejando Grficas

4. Despejando Grficas

5. 6.

7. 8.

Funciones Pares e ImparesSe dice que una funcin f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x).

Se dice que una funcin f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).

La grfica de una funcin par es simtrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar es simtrica respecto al origen

EjerciciosEn cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ninguna de las anteriores1. f(x)=x2 Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como f(x)=x2(-1)2=(1)21 = 1Por lo tanto f(x)=x2 es par Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=-f(1) como f(x)=x2(-1)2=-(1)21 = -1Por lo tanto f(x)=x2 no es impar

Grfica

2. Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como ( )= ( )- 1 = 1Por lo tanto no es par Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=-f(1) como ( )= - ( )-1 = -1Por lo tanto es impar

Grfica

3. 4. f(x)=x3

5. f(x)=2x6. f(x)=4x2-2x

Ejercicios

Verificar en las siguientes grficas de funciones cul es par y cual impar1.

2.

3.

4.

Races e InterceptosLas races o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, grficamente son los puntos donde la grafica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen races, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x".

Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la curva corta al eje de la ordenada (y)

Ejercicios Halle las races y los interceptos de cada funcin (si existen)

1. f(x) = x2-2x-3Para hallar las races hacemos f(x)=0 entonces x2-2x-3=0Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces x1-3=0 por lo que x1 = 3 y x2+1=0 por lo que x2=-1Por lo tanto la funcin tiene dos races que son x1 = 3 y x2=-1.

Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la funcin obtenemos f(0)=-3 Por lo tanto la funcin tiene un intercepto en y=-3Grfica

2. f(x)=x(x3-1)Para hallar las races hacemos f(x)=0 entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejandox3=1, x2=1 Por lo que las races son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la funcin obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la funcin tiene un intercepto en y=-1Grfica

3. f(x)=2x - 44. f(x)=x3+x2-12x5. 6. f(x)=Ln(x-1)

Funcin Creciente y DecrecienteUna funcin es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una funcin es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y).

Una funcin es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una funcin es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y).

(-,-1)(1, )(-1,1)

Funcin AcotadaUna funcin f(x) es acotada superiormente si existe un nmero b tal que para todo x, f(x) b. Al nmero b se le llama cota superior. Una funcin f(x) es acotada inferiormente si existe un nmero b tal que para todo x, f(x) b. Al nmero b se le llama cota inferior. Una funcin se dice acotada si lo est acotada superiormente y inferiormente, si existen dos nmero b y b tal que para todo x, b f(x) b

Acotada SuperiormenteAcotada inferiormente

AcotadaNo acotada

Concavidad y ConvexidadUna funcin es CNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Una funcin es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

Los puntos en los que la curvatura pasa de cncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIN. DOMINIOS Y RANGOSLas funciones reales tienen como dominios y rangos los nmeros reales. Si no se especifican el dominio y el rango de una funcin, se supone que el dominio consiste en todos los nmeros reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los nmeros reales.En las funciones de estudio, si el dominio no est especificado, incluir todos los nmeros reales excepto:

Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raz par de un nmero negativo. Valores que dan como resultado el logaritmo de un nmero menor o igual a cero.

Ejercicios Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:1.

Como la funcin se hace indeterminada si el denominador es igual a cero

Despejamos x

Si remplazamos x en la funcin original obtendremos

Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom []=R-{}

2.

Como la funcin se hace indeterminada si el radicando es menor que cero

Despejamos x

Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom []=R-

3.

Como la funcin se hace indeterminada si el denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero

Despejamos x

Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom []=R-[]

1.

2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

Imagen de una FuncinPara indicar que y es una funcin de x, la funcin se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee y es funcin de x o y es igual a f de x. Para valores especficos se x, f(x) representa los valores de la funcin (es decir la salida o valores de y).

Ejercicios1. Si f(x)= 3x + 1 entonces a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8

2. Si g(x) = 2x2 4x + 2 entonces a. g(1) = 2(1)2 4(1) + 2 = 2(1) 4 + 2 = 2 4 + 2 = 0 b. g(-2) =2(-2)2 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 4a + 2d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2

3. Determine f(x + h) sia. f(x) = x entonces f(x + h) = x + hb. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1c. f(x) = x2 x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 (x + h) + 2d. f(x) = entonces f(x + h) = e. Ntese que donde esta x se escribe x + h

4. Dado encuentre con h0, simplificando a su ms mnima expresina. f(x)= 2x Remplazamos

b. f(x) = x2

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Simplificado

Factorizando

Simplificando

Ejercicios

1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6)2. Si H(x) = 9x2 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x x3 encuentre f(-1), f(-3/2)4. Si C(x) = x3 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)

Ejercicios

Dado encuentre con h0, simplifique hasta su forma ms simple1. f(x) = x + 12. f(x) = 3x + 23. f(x) = 3x2 4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3

Problemas

1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio deC(x)= 300x + 0.1x2+1200 dlares

, donde x representa el nmero de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. Qu encuentra?

Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuacin de costos total C(x)

C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210

Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dlares.

Para 100 unidades x=100

Producir 100 unidades cuesta 32 200 dlares

Se encuentra que es ms econmico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costara 421 dlares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sera 322 dlares. 2. Un estudio de eficiencia realizado por una compaa mostr que el nmero de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. est dado por (0 t 4)Cuntas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y entre las 9:00 y 10:00? Qu encuentra?

3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dlares por unidad se describe por medio de

a. Determine el precio si se demandan 4 y 8. b. Compare los resultados qu encuentra?

4. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de capacidad de produccin entre 1994 y 2000 est dado por= 0.0094t3 0.4266t2 +2.7489t + 5.54

, donde es un porcentaje t y se mide en aos, donde t = 0 corresponde a 1994. Cul es el incremento en la capacidad de produccin en 1996, 2003 y 2004? Qu encuentra?

5. Las ganancias anuales brutas de cierta compaa fueron miles de dlares t aos despus de su formacin en enero de 1993. Cules fueron las ganancias brutas obtenidas en los aos 1997 y 2008?

6. La funcin demanda para la lnea de laptops de una compaa electrnica es p=2400 6q, en donde p es el precio por unidad (en dlares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales)a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500b. Qu significa cada expresin?c. Compare e intrprete los resultados 7. Suponga que el costo (en dlares) de eliminar p por ciento de la contaminacin de las partculas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de 8.

Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminacin y haga un anlisis de los resultados

8. El costo (en dlares) de eliminar el x% de la polucin del agua en cierto riachuelo est dada por a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polucinb. Evaluar el costo de eliminar el total de la polucin

9. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacin se determina mediante

Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminacinAlgebra de FuncionesSi f y g funciones se define:a. Funcin suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x)b. Funcin diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x)c. Funcin producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x)d. Funcin cociente: f(x) g(x) = (f g)(x)e. Funcin compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]

Ejercicio Dados f(x) y g(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f g)(x), (f g)(x)

1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1 f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x ( 3x + 1) =2x 3x 1 = -x 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x f(x) f (x) = (f g)(x) = , si la expresin no es factorizable y/o simplificable se deja indicada (f g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2

Ntese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1

2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1 f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 ( x - 1) = x2 - x + 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x 1) = x3 x2 f(x) f (x) = (f g)(x) = , (f g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 - 2x + 1

Ntese que donde esta x en f(x) se remplaza por x 1

1. f(x) = x + 5 y g(x) = x 22. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 4

3. f(x) = x3 5 y g(x)=2x3 14. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 2

5. f(x) = y g(x) = x+16. f(x) = y g(x) =

7. 8.

Problemas1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compaa por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000

a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la funcin ganancia de la produccin y la venta de x unidades.

Por definicin G(x) = R(x) C(x) remplazando

G(x) = 215x (65x + 15 000) = 215x 65x 15 000

La funcin ganancia sera G(x) = 150x - 15000

b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. Qu encuentra?

Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) 15 000 = 135 000

Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) 15 000 = 0

Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) 15 000 = - 13 500

Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco prdida; 10 unidades deja una prdida de $13 500.

2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la funcin g, donde . El nmero total de unidades de produccin por da q, es una funcin del nmero de empleados m, donde

Determine (g o f) qu encuentra?

3. El gasto del consumidor (Gc) por artculo es el producto de su precio en el mercado p (en dlares) y el nmero de unidades demandadas. Suponga que para cierto artculo, las unidades demandadas estn dadas por la funcin U(x)= 10 000 10pa. Encontrar una expresin que determine el gasto del consumidorPor dato Gc = p * U(x) = p * (10 000 10p)La expresin del gasto del consumidor sera Gc = 10 000p 10p2

b. Determinar el gasto del consumidor por artculo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dlares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) 10(30)2 = 291 000

A un precio de 20 dlares el gasto de consumidor es de 196 000 dlares y a 30 dlares el gasto es de 291 000 dlares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor

4. Los costos totales por la produccin de cierto artculo en el instante t son dlares. El nmero de productos fabricados en el instante es qu representa ?

5. El nmero de acciones que tiene una persona est dado por . El precio de la accin en el instante es miles de pesos qu representa la expresin

6. Un empresario posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restaurante en el instante es miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en el instante es miles de pesos qu representa la funcin

7. Los ingresos de una empresa estn dados por dlares, donde son los gastos de publicidad por parte de la empresa en dlares. La cantidad invertida en publicidad por la empresa en el instante est dada por dlares Qu representa la funcin

8. El costo promedio por unidad de una compaa cuando se producen x unidades se define como:

Suponga que el costo total de una compaa se obtiene

a. Encuentre una expresin que determine los costos promediosb. Determine los costos promedios para una produccin de 10 y 100 unidades. Qu encuentra

9. Suponga que los beneficios obtenidos por la produccin y la venta de unidades de cierto producto en un da se determina por medio de . Adems el nmero de unidades producidas en el da t del mes es Encuentrea. La funcin compuesta b. Los beneficios obtenidos el da 15 del mes

10. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una funcin del precio sta dado por y la funcin demanda es . a. Encuentre la funcin compuesta .b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidadesc. Compare los resultados que encuentra

GRFICA DE FUNCIONES

Es posible ilustrar geomtricamente las relaciones y funciones al trazar sus grficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano)

El plano Cartesiano es un rea que permite representar grficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Est formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de interseccin hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de interseccin hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

Cada punto en el plano se forma con la interseccin de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda.

Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)

Si f es una funcin con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le corresponde precisamente un nmero real f(x) B. Esto se puede expresar tambin como parejas ordenadas de nmero reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).

La grfica de una funcin resulta cuando se trazan los puntos que representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuacin de la funcin dada

La grfica de una funcin nos puede suministrar informacin de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos mximos, mnimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados

Ejercicio Grafique cada funcin en el intervalo entero indicado1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Si x < 1 9. 2x2 + 1 Si x 1

Grafica de una Funcin con Tecnologa

Con Excel 20071. Entre a Excel2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x)3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre ms valores digite podr obtener un mejor grfico.4. En A2 digite la variable dependiente (y)5. Despeje la ecuacin en funcin de y y digtela B2 como frmula Excel, debe tener en cuenta que donde va x en la ecuacin debe ir B1.6. Cpiela para obtener el o los dems valores para el co-dominio.7. Seleccione el rango8. Del men Insertar seleccione el tipo de grfico Lnea y escoja la opcin lnea.9. Seleccione el grfico, pulse el botn derecho del mouse y seleccione Seleccionar datos.10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categoras), pulse el botn Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar.11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botn Quitar, pulse Aceptar.12. Para ubicar el grfico en otra hoja pulse el botn Mover grfico (Ubicacin) y escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier rea (de grfico, de lnea de trazado o la de serie de datos) seleccione el rea a dar formato, pulse el botn derecho del mouse y escoja la opcin de formato.Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments1. Pulse Ctrl + w (Y=)2. Digite la ecuacin despejada en funcin de y y pulse ENTER.3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH) Con en el WinplotEl winplot es un software gratuito especializado en el grfico de funciones. Puede descargar en la direccin http://winplot.softonic.com/descargar

Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente. Para realizar un grfico del men Ventana seleccione 2-dim, abra el men Ecua y seleccione la opcin Explcita; en la ventana f(x) digite la ecuacin y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^. Para ver las cuadriculas abra el men ver seleccione la opcin cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala Para grabar el archivo del men Archivo seleccione la opcin Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opcin Abrir Con las teclas Av Pg aleja el grfico y Re Pg acerca la imagen. Debe estar ubicado en el rea de grfico. Para cambiar de tamao a la grafica del men archivo seleccione la opcin tamao de la imagen, digite el nuevo alto y ancho, y pulse Ok Para copiar un grafico del men archivo selecciona la opcin copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendacin si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo. Para mostrar los valores extremos del men Una seleccione la opcin Extremos, para ir visualizando los dems extremos pulse Siguiente Extremo Para escribir una etiqueta del men Btns selecciona la opcin texto en la grfica pulsa el botn derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posicin la arrastra con un clic sostenido. Modificar Coordenadas men ver opcin ver, active la opcin esquinas y Ajuste Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrcula desactivar las opciones escala Para marcar una interseccin entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Interseccin seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente interseccin y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar Para dibujar la inversa de una funcin, inicialmente se dibuja la funcin, del men Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar Para sombrear un rea especfica del men Ecua seleccione la opcin Sombreado activa la opcin encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear Para graficar una funcin por parte digite el tramo de funcin, digite los limites (Xinf y Xsup), active la opcin bloquear intervalo y pulse Ok

TALLER DE GRFICOS

Responda cada pregunta respecto a la grfica en cada situacin particular

1. El propietario de una construccin de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construccin despus de x meses de uso es

a. Cul es el valor de de la propiedad a los 60 meses de uso?

b. Cul es el valor de de la propiedad los 10 aos de uso?

c. Cuntos aos pasan para que la propiedad se deprecie por completo? Explique

2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto est dada porP(x)=60x x2

a. Cul es la mxima productividad que se puede obtener?

b. Para qu intervalo la funcin creciente y para cul es decreciente? qu decisin tomara al respecto?

c. Cul es la mxima cantidad de unidades que puede producir? Justifique su respuesta

3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto est dado por R(x) = 70x + 0.5x2 0.001x3

a. Cul es el ingreso si se venden 100 unidades?

b. Para qu intervalo la funcin creciente y para cul es decreciente? De una explicacin

c. Cul es el mximo ingreso que se puede obtener?

d. Cul es la mxima cantidad que se puede vender? Explique

4. Un estudiante adquiere gran nmero de conocimientos durante el repaso para un examen. En un tiempo de t semanas despus del examen el porcentaje de esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar est dado por

a. A la semana qu porcentaje de conocimiento recuerda?

b. En cuntos meses recuerda el 40% del conocimiento?

c. Escriba 2 comentarios de la situacin presentada

5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dlares est dado por

a. cul es el precio si se ofertan 10 unidades?

b. Cuntas unidades se deben ofertar a un precio de $260 dlares?

c. Escriba 2 comentarios de la situacin presentada

6. Las ventas y ( en miles de dlares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dlares) segn

a. cul es el volumen de ventas si se invierten 10 mil dlares en publicidad?

b. Cunto se debe invertir en publicidad para obtener 150 mil dlares en venta?c. Escriba 2 comentarios de la situacin presentada

LA LNEA RECTA

La forma simplificada de la ecuacin de la recta es

, donde b es la ordenada en el origen, coordenada donde la recta corta al eje de la ordenada es decir (0,b)

m se denomina la pendiente y es la tangente del ngulo de inclinacin de la recta respecto al eje la abscisa (x).

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos y est dada por:

, esta ecuacin se le conoce con el nombre de punto-punto, ya que requiere de dos puntos para su aplicacin.

Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada.

La ecuacin de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto es:

Esta ecuacin se le conoce como la ecuacin punto pendiente, ya que para aplicarla se requiere conocer un punto por donde pasa la recta y su pendiente

La ecuacin de la general de la recta est dada por:

, donde

Ejercicios1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes funciones:a. y = 2x + 1b. y = -2x 1 b. 3x + 4y = 12c. 2x 3y = 12

2. Encuentre la ecuacin de la funcin que pasa por los puntos:a. (2,1) y (3,-4)b. (3,2) y (-4,2)c. (3,4) y (3,-1)

3. Escriba la ecuacin y trace la grfica de cada funcin que:a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2.d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)

Posicin Relativa de la Recta

Respecto a otras rectas Paralelas: Dos o ms rectas son paralelas si su pendientes son iguales, tambin podemos decir que dos o ms rectas son paralelas si nunca se intersecan

Perpendiculares dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, tambin se dice que si se cortan formando un ngulo recto (90).

Oblicuas Dos rectas son oblicuas si no son paralelas o perpendiculares o si tienen un punto en comn

Respecto a otras rectas

Secante Es una recta que corta a una curva en dos puntos

Tangente Es una recta que toca la curva en un punto

Asntotas son rectas a las cuales la funcin se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables de los ejes tiende al infinito. La asntotas se clasifican en verticales, horizontales y oblicuas

Ejercicios1. Dibuje en un plano cartesiano cada grupo de funciones e identifique la posicin de cada recta a. y b. y c. y d. , y e. , f. , 2. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores:a. 3x + 2y = 6; 2x 3y = 6b. 5x 2y = 8; 10x 4y = 8

3. Escriba la ecuacin de la recta que:a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1.b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.

FUNCIN LINEALEn geometra y en lgebra bsica, una funcin lineal es una funcin polinmica de primer grado; es decir, una funcin cuya representacin en el plano cartesiano es una lnea recta. Esta funcin se denota:

, donde y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, si se modifica m entonces se modifica la inclinacin de la recta, adems muestra el nmero de unidades que vara y por cada unidad que vara x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que vara x y varia 10 unidades.La constante b es el punto de corte de la recta con el eje, si se modifica, entonces la lnea se desplazar hacia arriba o hacia abajo

En economa se considera la funcin costo como una funcin del tipo lineal, es decir, su representacin grfica ser una lnea recta y se representa matemticamente como:

Costo Total = Costos Variables (N de Productos) +Costos Fijos

Es decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependern directamente del nivel de produccin: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan la pendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, telfono y alquiler de local) la ordenada en el origen.

Se pueden presentar las siguientes situaciones: Si m > 0: La funcin es creciente. m < 0: La funcin es decreciente. m = 0: La funcin es constante. Si m es indeterminada: no existe funcin.

Problemas

1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades

a. Halle la pendiente qu significa?Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendran la forma (precio, demanda),, es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500

Como sabemos que la pendiente es:

Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.

b. Halle la ecuacin de la demandaComo se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuacin

, remplazando

c. Grafique la funcinUbicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados

d. Cul es el valor de la ordenada en el origen y qu significa?Por ecuacin y grfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades

e. Qu precio mximo estara dispuesto a pagar?Por grfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas seran negativas

Analticamente tendramos que hacer y=0 y remplazar en la ecuacin, as:

, despejando

f. Para un precio de $ 4500, cul sera la demanda?Aqu x=4500 remplazando en la ecuacin

, a $4500 se demandaran 4250 unidades

g. Para una demanda de 5240 unidades, cul debe ser el precio unitario?Aqu y=5240 remplazando

, despejando

, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520 2. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, adems, $ 800 por cada Km. recorrido. Suponiendo que la funcin es lineal, determine:a. La ecuacin

Costo Total = Costos Variables (N de Productos) +Costos Fijos

Relacionamos el Costo Total como y los kilmetros recorridos (N de productos) como x, por datos

Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500 Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800

Remplazandoy = 800x + 1500

a. Cul ser el valor de un servicio si se desplaza 5 kilmetros?Si x = 5 entonces,y = 800(5) + 1500y=4000+1500y=5500b. Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costar $5 500Con $7 900 que distancia se puede desplazar?y = 7 900 entonces,7900 = 800x + 15007900 - 1500= 800x6400= 800x=xX=8

Con $7900 se puede desplazar 8 Km.

3. Un pequeo fabricante de electrodomsticos encuentra que le cuesta 9 000 dlares producir 1000 hornos para tostar y 12 000 dlares producir 1 500 hornos por semana. Suponiendo que la funcin es lineal determine:

a. La expresin que representa el costo en funcin del nmero de hornosLas variables que participan en el problema son el costo, que representaremos con la letra c y el nmero de hornos, que representaremos con la letra x. Si el costo est en funcin del nmero de hornos, las parejas ordenadas son de la forma (x, c)Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000). Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente:

Entonces

Remplazando en la ecuacin obtenemos:

Por lo tanto la expresin que representa la funcin es

b. Grafique la funcin

c. Cul es la pendiente de la funcin? qu significa? La pendiente es m=6 y significa que por cada horno que se incremente en la produccin los costos se incrementan en 6 dlares.

d. Cul es la ordenada en el origen? qu significa? La ordenada en el origen es b=3000, significan los costos fijos

Cunto cuesta producir 500 hornos? La funcin es

, donde x=500, remplazando

Por lo tanto producir 500 hornos costara 6000 dlarese. Cuntos hornos se pueden producir con 15 000 dlares? En la ecuacin

, c=15 000, remplazando

Con 15 000 dlares se pueden producir 2000 hornos

4. Un vehculo cuyo avalo comercial en el 2012 fue de $4.7 millones y en 2013, $4.3 millones. Suponiendo que la relacin es lineal determinea. La expresin que permita calcular el avalo del vehculo en aos desde el 2012. b. Cul ser el valor comercial del vehculo en el 2015? c. Para qu ao se pronostica el devalo total del vehculo?

a. Las magnitudes son tiempo (t) y valor (V)La relacin es (t, V), porque el valor depende del tiempoPor datos y Calculamos la pendiente

Remplazando en

Por tanto la expresin que permita calcular el avalo del vehculo en aos desde el 2012 es

b. Si t=3 (2015-2012), remplazando en

El valor comercial del vehculo para el 2005 ser de $3.5 millones

c. Si , remplazando en

Dentro de 11.75 aos el vehculo se devaluar por completo es decir , por tanto en el ao 2023 el vehculo estar devaluado por completo

4. El costo de fabricar 10 bolsas de papel al da es de $22 000, mientras fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $38 000. suponiendo que el modelo de costo es lineal, determine a. La frmula correspondiente que permita calcula el costo de produccin de bolsas de papel.b. Cunto cuesta producir 100 bolsas y 50 bolsas? Qu encuentra?c. Cuntas bolsas aproximadamente se alcanzaran a producir con una inversin de $800 000?

5. El propietario de una pequea empresa inicia el negocio con una deuda de $100 000. Despus de 5 aos de operacin acumula una utilidad de $40 000. Suponiendo que la funcin es lineal determine a. La ecuacin.b. La utilidad a los 4 aos de haber iniciado.c. El tiempo que debe pasar para obtener una utilidad de $152 000.

6. El editor de una revista descubre que si fija un precio de us$1 a su revista, vende 20000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio es de us$1.5 sus ventas sern de 15000 ejemplares. Suponiendo que la ecuacin de la demanda es lineal determinea. La ecuacinb. Cuntos ejemplares vender si fija el precio en us$1.2?c. Cul debe ser el precio si desea vender 25000 ejemplares?

7. El costo de un artculo disminuye de acuerdo con el nmero de artculos producidos. La relacin entre el costo del artculo y la produccin genera una funcin lineal. En cierta empresa si se producen 350 artculos la produccin de cada artculo cuesta $993 y si se producen 500 el costo es de $990.a. Halle la funcin costob. Cunto cuesta producir 1000, 2700 y 125 artculos?c. Qu encuentra?

8. Si 59F equivalen a 15C y 68F equivalen a 20C, encuentre la funcin lineal que relaciona las temperaturas. cuntos C equivalen 72F y cuntos equivalen 38 C?

9. Sea la produccin para cierto artculo y el dinero invertido. Si se invierten $10.000 dlares se producen 92 artculos; si se invierten $50.500 se producen 497. Suponiendo que la funcin lnea,1. Determine la ecuacin de la funcin2. Cuntos artculos se producen si se invierten $ 8000 dlares?

10. Si la temperatura del suelo es de 20C y a la altura de 1 Km es de 10 C, exprese la temperatura en funcin de la altura suponiendo que la funcin es lineal.

11. Una fbrica de lmparas tiene un costo fijo de produccin de $ 1 000 000 mensuales y costos varios por lmpara de $ 5 000. Si representa el nmero de lmparas producidas en un mes, determine:a. La expresin que representa la funcin costo C(x)b. El costo de producir 100 y 200 lmparas. Compare los resultados qu encuentra?c. El nmero de lmparas que se pueden producir con $1 500 000.

12. Un comerciante puede vender 20 mquinas elctricas a un precio de 25 dlares cada una, pero a un precio de 20 dlares vende 30. Suponiendo que la funcin es lineal, determinea. La ecuacin de la demandab. Si decide incrementar el precio en 30 dlares cuntas mquinas vender?c. Si quisiera vender 40 unidades cul sera el precio?

13. Si se demanda una unidad a un precio de 13 dlares pero por cada dlar que disminuya el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determinea. La ecuacin de la demandab. cul sera el precio si se demandan 5 unidades? c. cuntas unidades mximas se pueden demandar?

14. Se compra un carro nuevo por $10 000 dlares, suponiendo que se deprecia linealmente cada ao a una tasa del 12% de su costo original, determinea. La ecuacin de la depreciacinb. El valor del auto 5 aos despus de comprado?c. En cuntos aos el auto se ha depreciado por completo?

15. El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la funcin es lineal, determine a. La ecuacin b. El precio de un viaje de 8 millasc. Qu distancia se recorre con $25 000?

16. A un precio de $10 dlares por unidad una compaa proveer 1 200 unidades de su producto y a $15 dlares, 4 200. Suponiendo que la ecuacin es lineal, determinea. La ecuacin de la ofertab. En $20 dlares cuntas unidades proveer? c. Si se desea proveer 5 000 unidades a cmo debe vender?

17. Una mquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciacin lineal total en 15 aos hallara. La ecuacin b. El valor de la mquina en 7 aos

18. No existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de 200 dlares o ms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuacin de la demanda, trace su grfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dlares y a qu precio se demandarn 2000 unidades

19. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 aos, con un valor de $30 000. cul es la expresin de la funcin de costo de la impresora? Cul es el valor de la impresora en su segundo ao? cunto tiempo debe pasar para que la impresora se deprecia por completo?

20. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle el costo de produccin de 10 y 100 cortinas, compare los resultados qu encuentra?

21. Si no hay demanda para cierto artculo el precio unitario es 17 dlares y por cada unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dlares. a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situacin particularb. Suponiendo que la funcin es lineal, halle la ecuacin de la funcinc. cul es el precio si se demandan 10 unidades?d. Cul es la mxima cantidad de unidades que se puede demandar?e. Grafique la funcinf. Suponiendo que la ecuacin oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafquela en el mismo plano a la anteriorg. El punto de interseccin es el punto de equilibrio, identifquelo y verifquelo, Qu significa?h. qu significa la pendiente en la ecuacin oferta?

22. Una maquinaria de construccin se deprecia en el tiempo y su valor se obtiene mediante la expresin.

, donde es el valor de la maquinaria, en millones de pesos y el tiempo de uso en meses.

a. Grafique la funcin. b. Calcule el valor de la maquinaria a los 60 meses y, a los 10 aos de uso.c. Cunto tiempo pasa hasta que la construccin se deprecie por completo? Explique.

23. La relacin entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la funcin F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en miles de dlares) de hombres y mujeres respectivamente.a. Considerando F como una funcin de M, cul es la pendiente de esta funcin? Interprete la pendiente como tasa de cambio.b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, qu pronostica la ecuacin para las ganancias anuales promedio de las mujeres?

24. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el nmero de aos que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es vlido hasta 1998. Encuentre y piense en lo que significa.

25. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la funcin costo total C(x)=17x+ 3 400 y la funcin ingreso total R(x) = 34x.a. Cul es la funcin de ganancia para las calculadoras?b. Grafique la funcin gananciac. Cul es la ganancia de 300 unidades?

26. Un productor puede vender 200 unidades de un artculo al mes a un precio de 15 U.M. y 300 unidades a un precio de 10 U.M. Asumiendo que existe una relacin lineal entre ellas, determinea. La demanda mensual en funcin del preciob. Cuntas unidades se demandan a un precio de 25 U.M.?c. A qu precio se demandan 250 unidades?27. En una poblacin el consumo de agua A en metros cbicos es una funcin lineal del nmero h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m3 de agua al mes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mesa. Determine la funcin linealb. cul ser el consumo de agua de 400 personas en dos meses?c. Si la poblacin cuenta con un mximo de 623 031 m3 al mes cuntos habitantes como mximo puede tener la poblacin para que no haya escasez de agua?

28. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elev de $59.82 dlares por ao en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la funcin es lineala. Determine la ecuacin del costo respecto al nmero de aos desde 1990.b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010

29. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una funcin lineal del nmero de aparatos vendidos N (en miles). Adems, conforme N aumentaba en mil, p caa US$10.40 y cuando se vendan 6485 aparatos (en miles), el precio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuacin de la recta determinada por esta informacin.

30. El gerente de una fbrica de motos observa que producir 30 unidades genera un costo de 27022 dlares y la produccin de 40, 33030 dlares. Suponiendo que la relacin es lineal determinea. La expresin que calcule el costo de produccin.b. En cunto vara el costo al producir una moto ms? c. Cunto cuesta producir 50 motos?d. Cuntas motos se pueden producir con una inversin de 50000 dlares?

Modelacin de Funcin Lineal

1. Los datos de la tabla muestran el nmero de familias vinculadas a un proyecto apcola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999

Ao199920002001200220032004200520062007

N de familias12825337850362875387810031128

a. Escriba una ecuacin lineal de la situacin.b. Grafique la funcinc. Determine el nmero de familias que se pronostica estaran vinculadas en el 2010?d. Determine en qu ao aproximadamente se pronostica se tendran 2000 familias vinculadas al proyecto?

2. Debido al costo de la materia prima una fbrica se vio precisada en aumentar el precio de sus artculo, lo que repercuti en las ventas, la siguiente tabla muestra la variacin de las ventas con respecto al precio

Costo225023002350240024502500255026002650

Venta400376352328304280256232208

Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuacin lineal de la situacin.a. Pronostique cuntos artculos vender a un precio de $3000.b. Pronostique a qu precio no vender nada

FUNCIN CUADRTICA

La ecuacin general de una funcin cuadrtica tiene la forma

,

, donde y . La grfica de la funcin cuadrtica tiene una forma distintiva llamada parbola.

Si , la parbola abre hacia arriba (convexa) y si , abre hacia abajo (cncava).

Su dominio son todos los reales y el rango depende de as: Si el rango es y si es donde es valor ptimo.

La lnea vertical que pasa por el vrtice de una parbola recibe el nombre de eje de simetra porque una mitad de la grfica es un reflejo de la otra mitad a travs de esta otra lnea. La ecuacin del eje de simetra es

El valor ptimo (ya sea mximo o mnimo) de la funcin se alcanza en y es:

El vrtice, es el punto donde la parbola da la vuelta, es el punto mnimo si a > 0 y un punto mximo si a < 0. La funcin cuadrtica tiene su vrtice en

Las races son los valores para los cuales llamados los ceros de la funcin. Los ceros de la funcin cuadrtica son las soluciones de la ecuacin cuadrtica que se obtienen

Para la grfica de la funcin, se puede presentar dos situaciones a. Si la funcin tiene dos interceptos, se unen estos con el vrticeb. Para aquellos casos en que la funcin tenga un o ningn intercepto es necesario tabular la informacin y se recomienda tomar mnimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetra.

EjercicioDe la funcin halle las races (si existen), el intercepto, el dominio, el rango y grafquela

Para hallar las races hacemos y=0,

Factorizando

Es decir

Por lo tanto las races son o los puntos donde la curva corta al eje de la abscisa son:

Para hallar el intercepto hacemos , es decir

Por lo tanto el intercepto o el punto donde la curva corta a la ordenada es el punto

Por ser una funcin polinmica su dominio son todos los reales.Como , el rango es de la forma , hallamos

, donde , remplazando

, entonces el rango es

La grafica es

EjercicioEncuentre el eje de simetra, el valor ptimo (determine si hay un valor mximo o mnimo), el vrtice, los interceptos y dibuje cada funcin.1. y=x2 + 4x + 4 2. y=x2 - 6x + 4 3. y=x2 4 4. y = 2x2 +18x

5. y=x - x26. y = -2x2 + 167. y = -x2 + 5x - 48. y= x2 8x + 15

9. y= x2 3x 2810. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

Ejercicio

1. Determine la ecuacin cuadrtica que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5)La ecuacin general de las funciones cuadrticas es de la forma (Ec 1)

Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazando cada coordenada en la ecuacin obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de 3x3, que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes as:

Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1)8 = a(1)2 + b(1) + c8 = a + b + c (Ec2)

Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1)20 = a(3)2 + b(3) + c20 = 9a + 3b + c (Ec3)Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1)5 = a(-2)2 + b(-2) + c5 = 4a - 2b + c (Ec4)

Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a b c (Ec5)

Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a b c 12 = 8a + 2bFactorizando: 6 = 4a + b (Ec6)

Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a b c -3 = 3a - 3bFactorizando: -1 = a b (Ec7)

Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b -1 = a b 5 = 5a Despejando a=1Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b Despejando y resolviendo b=2 Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c Despejando y resolviendo c=5Remplazando en (Ec1) la ecuacin sera:y = x2 + 2x + 5

EjerciciosDetermine las ecuaciones cuadrticas que pasan por los puntos indicados:

(1,0) (-2,6) y (2,6)(1,-1) (-3,33) (2,-8)(0,-4) (3,5) y (-2,0)

(-1,1), (0,-1), (1,3)

ProblemasResuelva cada uno de los siguientes problemas:

1. Una tienda vender y unidades de un producto en particular cuando se gastan x dlares en publicidad del producto, yy = 50x x2a. Calcule el valor ptimo Qu significa?Inicialmente debemos hallar el eje de simetra Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0Remplazando:

Remplazando en la funcin original:

y = 50(25) (25)2=1250 625= 625

Como a 0)

Grafique la funcin y respondaa. cul es la demanada despus de un mes y un ao?b. cunto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.

10. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensin) despus de t aos, con una inflacin de 4% puede modelarse por medio de la frmula

Encuentre el poder adquisitivo despus de 5 aos y 20 aos

11. El nmero de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para los aos seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de

Donde t es el nmero de aos que han pasado desde 1975.a. Use el modelo para calcular el nmero de fondos mutuos en 1990b. Use el modelo para calcular el ao en que el nmero de fondos mutuos llegar a 20 000.

12. Una organizacin de investigacin de mercado afirma que si una compaa gasta x millones de pesos en publicidad por televisin, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la funcin

, donde P se expresa en millones de pesos. a. Cul ser la utilidad cundo se gasta 2 millones (x=2), 4 millones (x=4) y 6 millones (x=6)? b. Compare los resultados qu encuentra?

FUNCIN LOGARTMICALos logaritmos fueron introducidos en las matemticas con el propsito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados clculos numricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y races en cocientes.

Se llama logaritmo en base a del nmero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nmero.

Donde a R, a > 0 y a 1, a se denomina base del sistema de logaritmos. , que se lee: "el logaritmo en base a del nmero x es b" , o tambin: "el nmero b se llama logaritmo del nmero x respecto de la base a " .Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.Propiedades

Tipos de LogaritmosLogaritmos Comunes: Tambin llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el nmero 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: Tambin llamados Neperianos o hiperblicos tienen por base el nmero e. Se escriben loge x = ln x

Ejercicios Escriba cada ecuacin en forma exponencial

Ejercicio Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial

Ejercicio Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logartmica

25

53

Ejercicio Escriba cada expresin como la suma o diferencia de dos funciones logartmicas que no contienen exponentes

EjercicioResuelve cada una de las siguientes ecuaciones:1. 2x 1= 52. 3.

4. 5. 5(3x+2) 1 = 146.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17.

EjercicioUse la calculadora para determinar

Problemas

1. La ecuacin de la demanda de cierta mercanca es

, donde se demandan unidades cuando el precio unitario es de dlares.

Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dlaresSi =5, x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8)x= 5000-3806.66=1193.33

Es decir a un precio de 5 dlares se demandaran aproximadamente 1193 unidades

Si =10x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91)x= 5000-3912.02=1087.97

Es decir a un precio de 10 dlares se demandaran aproximadamente 1088 unidades.

Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dlares las unidades demandadas disminuyen de 1193 a 1088.

2. La ecuacin de demanda de un producto es

, donde es la cantidad y el precio por unidad, calcule la demanda para qu encuentra?

3. Una compaa est contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de realizar la tarea es una funcin del nmero de personas contratadas x es

a. Determine el costo promedio de realizar la tarea con 3, 6 y 9 personas.b. Compare los resultados qu encuentra?

4. Una compaa encuentra que la cantidad de dlares y que deben gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de un producto est dada por

Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades, compare los resultados que encuentra. a. Calcule el nmero de unidades que se deben vender para gastar 100 dlares semanales en publicidad.

5. Digamos que la funcin demanda para un producto est dada por

a. Cul ser el precio si se demandan 19 unidades?b. Cuntas unidades sern demandadas si el precio es de 29,4?

6. Suponga que el costo total (en dlares) para un producto est dado por

, donde x es el nmero de unidades producidasa. Cul ser el costo de producir 200 unidades?b. Cuntas unidades se producirn con 3000 dlares?

7. El ingreso total en dlares por la venta de unidades de un producto est dado por = Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado

8. Suponga que la oferta de unidades de un producto a un precio p de dlares est dado por a. Encuentre el precio de oferta cuando el nmero de unidades es 33.b. Cuntas unidades se ofrecen a un precio de 300 dlares

9. La funcin demanda de un producto est dada por p = donde p es el precio unitario en dlares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al nmero de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades qu encuentra?

10. Con la finalidad de determinar la retencin de los conceptos aprendidos se practic un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuacin D satisface la formula D= 80 12Ln(x+1), donde x es el tiempo en meses. Calcule la puntuacin inicial, a los seis meses y al ao. Cunto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuacin sea de 50 puntos?

11. La ecuacin de demanda para cierto producto est dada por

, donde es el precio por unidad en miles de pesos y las unidades demandadas. Calculara. El precio si se demandan 500 unidades R/9.09 miles de pesosb. Cuntas unidades se demandan si el precio es de 5 mil pesos? R/Aproximadamente 1099 unidades

12. La temperatura de una taza de caf t minutos despus de servirla se puede modelar por T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados F. Cul ser la temperatura al momento de servirlo? Cunto tiempo debe pasar para que el caf pueda ser tomado T=120 F?

13. Una fbrica de bombillo ha encontrado que la fraccin de bombillos que se funden en t horas est dado por Qu fraccin de bombillos se fundirn las primeras 48 horas? En cuntas horas se fundiran el 50% de los bombillos?

14. La eficiencia de un obrero comn de un fbrica est determinada mediante la funcin -0.2t, donde el obrero puede completar unidades por da despus de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajador nuevo. en cunto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades da?

15. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de

, donde S es la venta semanal (en dlares) y x es el nmero de semanas que han transcurrido desde que termin la campaa publicitaria. Determinar a. Las ventas dos meses despus de culminar la campaa publicitaria.b. El nmero de semanas que deben pasar despus de culminar la campaa publicitara para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.

16. Las Naciones Unidas han pronosticado la poblacin mundial de 1995 a 2150. Usando estas proyecciones se puede modelar la poblacin mundial (en millones) con la ecuacin

Donde x es el nmero aos transcurridos desde 1990.a. Suponga que en 1990 la poblacin mundial fue de 4 155 millones de habitantes. Use este modelo para encontrar cuntos aos pasaran antes de que se duplique la poblacin de 1990.b. Segn el modelo cul ser la poblacin en el 2008?

17. El valor V de un objeto a los t aos de su adquisicin se puede modelar con la expresin

, 0 t 10 Determine el valor del objeto 5 aos despus de adquirido. Cunto tiempo debe pasar para que un objeto disminuya su valor en $10000

18. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de computadora despus de t aos de uso sea

Grafique la funcin y responda lo siguientea. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 aosb. cunto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos.Modelacin de las Funciones Exponenciales

1. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicacin de un libro de clculo, las ventas de la edicin en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendan 30000 ejemplares al mes. Un mes ms tarde, las ventas del libro haban bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine

a. La expresin que representa la funcin

La funcin es de la forma , donde x es el nmero de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad. Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k,

, por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando

Por lo tanto

Es decir que la funcin es de la forma Grafique la funcin

b. Cuntos ejemplares se vendern al ao? t=12, remplazando

En un ao vender aproximadamente 3 ejemplares

c. En cunto tiempo la venta llegara a 300 ejemplares? x=300, remplazando

Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estaran vendiendo 300 ejemplares.

2. El producto interno bruto (PIB) de cierto pas (dado en millones de dlares) de us $ 100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente cul ser el PIB en el ao 2000?

Como la aplicacin crece de forma exponencial su forma es: (Ec1), donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos hallar asRemplazando

, aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

, entonces k=0.05Remplazando en la (Ec1) la ecuacin general de la aplicacin sera Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando

Lo que indica que para el 2000 el PIB ser aproximadamente de us$272 millones

3. Los siclogos en ocasiones usan la funcin

, para medir la cantidad L de palabras aprendida en el tiempo t. El nmero A representa la cantidad que debe aprenderse y k mide la tasa de aprendizaje. Suponga que un estudiante debe aprenderse una cantidad A de 200 palabras de un vocabulario. Un siclogo determina que el estudiante aprendi 20 palabras en 5 minutos.a. Determine la tasa de aprendizaje kb. Aproximadamente cuntas palabras aprender en 10 minutos?c. Cunto tiempo toma aprender 180 palabras?

4. El nmero total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional de comidas rpidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. cuntas se vendern en el 2008?

5. Cierta compaa adquiri hace tres aos cierta maquinaria en us$500 000. Su valor actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuye en forma exponencial. Encuentre la funcin que representa la situacin y cul ser el valor de la maquinaria en cuatro aos

6. Si la poblacin de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110 517 en el 2 000, y si se aplica la frmula y=P0eht al crecimiento de la poblacin, calcule la poblacin en el 2015.

7. La presin atmosfrica como funcin de est dada por la frmula donde y son constante, es la altura y es la presin en funcin de la altura. Si en el barmetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura baromtrica a los 1000 pies.

8. El azcar se descompone en el agua segn la frmula donde y son constante. Si 30 kilos de azcar se reducen a 10 kilos e 4 horas cunto tardar en descomponerse el 95% del azcar.

Funciones con Tecnologa

Utilice la hoja de clculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 2(x3)

f(x) = 3-2x

f(x)= e-x

f(x) = 50(1+e10x)

f(x)=f(x)=14.1 ln(x)f(x)=ln (x-3)f(x)=f(x)=

FUNCIN COCIENTE o RACIONAL

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por , es otra funcin definida donde g no puede ser igual a 0 por que tendramos una indeterminacin.

Problemas 1. Una persona comienza a trabajar en una empresa de informtica. La funcin que calcula el nmero de computadores que ensambla, en funcin del tiempo, viene dada por:

, donde t es el nmero de das que lleva trabajando, y f(t), el nmero de computadores que ensambla.a. Grafique la funcin

b. Cuntos computadores ensamblar el primer da? Cuntos computadores ensamblar al mes?Para t=1,

El primer da ensamblar 1 computadorPara t=30 (un mes)

En un mes ensamblar aproximadamente 5 computadores.

c. Cuntos das tardar para ensamblar 3 computadores?Aqu f(t)=3

Por lo tanto en 5 das est ensamblando 3 computadores

2. El nmero de libras de durazno p de buena calidad producidos por un rbol promedio depende del nmero de libras de insecticida x con el cual el rbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente frmula

Determine el nmero de libras de durazno p de buena calidad si el rbol se rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida. Grafique, utilice un software para graficar funciones.

3. Como resultado de los avances tecnolgicos en la produccin de calculadoras cada vez ms poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en da. Si suponemos que dentro de x meses, el precio de cierto modelo ser , dlaresDetermine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un ao despus de haber salido al mercado. Compare los resultados qu encuentra? Grafique, utilice un software para graficar funciones.

4. Suponga que el precio p (en dlares) de un producto se determina, mediante la funcin

, donde x son las unidades demandadas.a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidadesb. Compare los resultados que encuentrac. Grafique, utilice un software para graficar la funcin.

5. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dlares) de un vendedor nuevo dependen del nmero de horas x de capacitacin de la siguiente manera:

Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitacin. Compare los resultados qu encuentra? Utilice un software graficador de funciones para graficar la funcin.

6. Las ventas y ( en miles de dlares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dlares) segn ,

a. Calcule las ventas si se invierten 10 y 20 mil dlares en publicidad se duplican las ventas?b. Cul debe ser la inversin en publicidad si se desea obtener una venta de 100 mil dlares?c. Grafique, utilice un software para graficar funciones.

7. Se pronostica que la poblacin de cierta ciudad pequea t aos a partir de ahora es

a. Calcule la poblacin en 5 y 10 aos se duplica la poblacin?b. Cunto tiempo debe pasar para que la poblacin llegue a 40 000 habitantes?c. Grafique, utilice un software para graficar funciones.

8. Suponga que el nmero promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto est dado por

, donde t es el nmero de das en el trabajo.c. Cuntos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un mes laborando? d. Cunto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamble sea de 15 minutose. Utilice un software graficador de funciones para graficar la funcin.

9. Se ha estimado que la demanda , de gasolina en una regin en funcin del precio es , miles de litros por mesa. Calcule la demanda cuando el precio es de 10 U.M. y 8 U.M.b. Compare los resultados Qu encuentra?FUNCIN POR PARTES O POR TROZOS

EjerciciosAlgunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable x), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.

Dadas las funciones

(x + 2)3 + 1 Si x -1, rango 1 1. j(x) = 3 + x Si x > -1, rango 2

Determine:a. j(-1)Inicialmente debemos ubicar el rango donde est el valor de la variable independiente x, para el caso particular el valor est ubicado en el primer rango,j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1 = 1 + 1 = 2

b. j(0)El valor x=0 est ubicado en el segundo rangoj(0)=3 + 0= 3

c. j(-2)El valor x=-2 est ubicado en el primer rangoj(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 = 0 + 1 = 1

4 x2 Si x < 2, rango 12. f(x) = x 2 Si x 2, rango 2

Determinea. f(3) El valor x=3 est ubicado en el segundo rango f(3)=3 2 = 1b. f(1)El valor x=1 est ubicado en el primer rangof(1)= 4 (1)2 = 4 1 = 3c. f(2)El valor x=2 est ubicado en el segundo rango f(2)=2 2 = 0

Grfica

x2 + 1, Si x 0 , Si x < 2

3. j(x)= 4. j(x) =

, Si x > 0 , Si x 2

Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)

, Si x < 1 , Si x < 2

2. j(x)= 6. j(x) =

2x2 + 1 , Si x 1 , Si x 2

Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)

Problemas 1. El ndice de contaminacin atmosfrica C en cierta ciudad varia durante el da de la siguiente manera:2 + 4tSi 0 t < 2

6 + 2tSi 2 t < 4

C(t)=14Si 4 t < 12

50 3tSi 12 t < 16

, donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m.a. Represente grficamente la funcin dada.

b. En una tabla indique cuales son los niveles de contaminacin a las 7:00 a.m., a las 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m.HoraTiempo (t)Nivel de contaminacin C(t)

7:00 a.m.1C(1)=2+4(1)=6

8:00 a.m.2C(2)=6+2(2)=10

12:00 m5C(5)=14

4:00 p.m.10C(10)=14

8:00 p.m.14C(14)=50-3(14)=8

c. Compare los resultados qu encuentra?

2. Cierta compaa de encomienda liquida los envos de acuerdo a 0.80xSi 0 < x 50

C(x)=0.70xSi 50 < x 200

0.65xSi x > 200

, donde C(x) se da en dlares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y 200 kilogramosSi x=50, por datos est ubicado en el primer rango,C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40

, el envo de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dlares

Si x=200, por datos est ubicado en el segundo rango,C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140, el envo de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dlaresA mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta ms econmico enviar mayor carga.

Grfica

3. El precio de oferta de cierto producto, cuando se venden unidades esta dado por:

Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden:a. 2000 unidades Observe que las x=2000 unidades estaran ubicadas en el 1 rango,

, es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sera 3.3 mil de pesos b. 7000 unidadesPara este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando

, es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sera 4.4 mil de pesos c. 14 000 unidadesAc x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando

, es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sera 4.8 mil de pesos

4. La cantidad de desechos slidos descargados por la planta de tratamiento de aguas negras esta dada por la funcin

130 si 0 t 1-30t + 160 si 1 < t 2 )= 100 si 2 < t 4-5t2 +25t + 80 si 4 < t 61.25t2 26.25t + 162.5 si 6< t 10

Donde se mide en toneladas/da y t se mide en aos donde t=0 corresponde a 1989.

a. Qu cantidad de desechos slidos fueron descargados por da en 1991, 1995 y en el 2000?Para hallar la cantidad de desechos slidos que se descargan en un ao especfico se cuenta el nmero de aos que han pasado desde 1989 hasta dicho ao.

Para 1991 hallamos el nmero de aos que han pasado desde 1989, 1991-1989=2, es decir t=2, estara ubicada en el segundo rango, remplazando

f(2)=-30(2)+160=-60+160=100

, indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/da de desechos slidos

Para 1995 hallamos el nmero de aos que han pasado desde 1989, 1995-1989=6, es decir t=6, estara ubicada en el cuarto rango, remplazando-5t2 +25t + 80f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50

, indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/da de desechos slidos

Para 2000 hallamos el nmero de aos que han pasado desde 1989, 2000-1989=11, es decir t=11, est fuera de rango, es decir no aplica para este problema

5. Cierta compaa de telefona celular lquida el pago mensual de sus usuarios de acuerdo a la siguiente tabla

-55+2x

-115+2.5x

-555+3x

, donde es el nmero de minutos de llamadas al mes. Calcule el pago para clientes que consumen 50, 80, 400 y 600 minutos, grafique la funcin

6. Cierta compaa de envo de mercados lquida los envos de acuerdo a

120x+1200Si 0.01 x 20

200x+1700Si 20 < x 30

C(x)=

250x+2200Si 30 < x 50

280x+2700Si 50 < x

, donde C(x) se da en dlares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20, 45, 30 y 60 gramos

7. El cargo mensual en dlares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la funcin

10 + 0.094x Si 0 x 100 19.4 + 0.075(x 100) Si 100 < x 500 49.40 + 0.05(x-500) Si x > 500

Calcule el cargo mensual si se consumen:a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora

8. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de dlares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la funcin

1.965t 5.65 Si 5 t 20P(t)= 0.095t2 2.925t + 54.15 Si 20< t 40

Donde t es el nmero de aos que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto para los programas de educacin en 1980 y el 2007.

9. Los cargos mensuales (en dlares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente funcin: 7.52 + 0.1079x si 0x5 19.22 + 0.1079x si 50 x + xp

Lim c =0, donde n>0 x - xn

EjercicioEvaluar cada lmite

Problemas

1. La nota obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacin ( , expresado en horas) en los siguientes trminos:

a. Ca