notas de cálculo diferencial
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Indice general
Capıtulo 1. Lımites y continuidad 51. Reglas para calcular lımites 5
Capıtulo 2. Diferenciacion 91. La Derivada como Lımite 92. La derivada como funcion 133. Tecnicas de Derivacion 164. Derivacion implicita 185. Derivacion logarıtmica 20
Capıtulo 3. Aplicaciones 251. Crecimiento exponencial 252. Linealizacion 273. Optimizacion 284. Teorema del Valor Medio 315. Graficacion 356. Teorema de L’Hospital 377. Proyecto final: Polinomios de Taylor 38
Bibliografıa 41
3
Capıtulo 1
Lımites y continuidad
1. Reglas para calcular lımites
Resumen.
Proposicion 1.1 (Reglas para calcular lımites). Si c es una constantey L = lımx→a f y M = lımx→a g existen, entonces:
1. lımx→a(f ± g) = L±M,2. lımx→a(cf) = cL,3. lımx→a(fg) = LM,4. Si M 6= 0, lımx→a(
fg) = L
M.
Observacion. Nos referiremos a las dos primeras reglas como lineali-dad.
Proposicion 1.2 (Lımites de potencias y raices). Si lımx→a f(x) = L,entonces
1. lımx→a fn(x) = Ln,
2. Si n es impar o n es par y L ≥ 0, lımx→an√f(x) = n
√L,
Proposicion 1.3. 1. lımx→a c = c, donde c es una constante y2. lımx→a x = a.
Problema 1.1 (†). Demuestre que si p(x) es un polinomio, siemprese cumple que
lımx→a
p(x) = p(a).
Sugerencia. Primero muestre la afirmacion para monomios, usando setodas las reglas enunciadas anteriormente. Finalmente use la linealidadpara extenderlo a cualquier polinomio.
Observacion. Si f, g son funciones en algun intervalo abierto y f(x) =g(x) cuando x 6= a, entonces
lımx→a
f = lımx→g
.
Ejemplo 1.1. Sea f(x) = x + 1 y g(x) = x2−1x−1 . Entonces f(x) = g(x)
si x 6= 1. Comolımx→1
f = 2,
5
6 1. LIMITES Y CONTINUIDAD
entonces
lımx→1
x2 − 1
x− 1= 2.
Proposicion 1.4 (Teorema del emparedado). Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),para x ≈ a, pero x 6= a, y
lımx→a
f = lımx→a
h = L,
entonceslımx→a
g = L.
Ejemplo 1.2. Como −1 ≤ sin( 1x) ≤ 1, para todo x ∈ R−{0} , y x2 ≥
0, para toda x ∈ R, entonces −x2 ≤ x2 sin( 1x) ≤ x2, para x ∈ R− {0} .
Comolımx→0
(−x2
)= lım
x→0x2 = 0,
por el teorema del emparedado,
lımx→0
x2 sin
(1
x
)= 0,
aunque la funcion no esta definida en x = 0.
Figura 1. −x2 ≤ x2sin(1/x) ≤ x2
Consulta la hoja de trabajo de este ejemplo en GeoGebraTube.
Ejercicios. Los ejercicios de esta seccion se pueden encontrar en[1, sec. 2.3] y [2, sec. 1.3].
§ 1.1. En los siguientes ejercicios, halla los lımites.
1. lımx→2x2 + x− 6
x− 2
2. lımx→−3t2 − 9
2t2 + 7t+ 3
1. REGLAS PARA CALCULAR LIMITES 7
3. lımh→0(4 + h)2 − 16
h
4. lımx→−2−2x− 4
x3 + 2x2
5. lımu→1u4 − 1
u3 − 1
6. lımx→9
√x− 3
x− 9
7. lımx→1x− 1√x+ 3− 2
8. lımx→−2x+ 2
x3 + 8
9. lımh→0(2 + h)3 − 8
h
10. lımx→−4
14
+ 1x
4 + x
11. lımt→0
(1
t− 1
t2 + t
)12. lımx→16
4−√x
16x− x2
13. lımh→0(3 + h)−1 − 3−1
h
14. lımt→0
(1
t√
1 + t− 1
t
)15. lımx→−4
√x2 + 9− 5
x+ 4
§ 1.2 (‡). Encuentre los siguientes lımites usando el teorema 1.4. Gra-fique.
1. lımx→0 x6 cos(20πx)
2. lımx→0
√x3 + x2 sin π
x
3. lımx→0 x4 cos 2
x
4. lımx→0+√xesin
πx
5. lımx→0 x3 sin( 1
x)
§ 1.3. Evalue el siguiente lımite
lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h,
en los siguientes casos:
1. f(x) = x2, x = 12. f(x) = 3x− 4, x = 23. f(x) = 1
x, x = −2
8 1. LIMITES Y CONTINUIDAD
4. f(x) =√x, x = 7
5. f(x) =√
3x+ 1, x = 0
§ 1.4. Dado el primer lımite, hallar el segundo.
1. lımx→4f(x)−5x−2 = 1, lımx→4 f(x)
2. lımx→2f(x)−5x−2 = 3, lımx→2 f(x)
3. lımx→2f(x)−5x−2 = 4, lımx→2 f(x)
4. lımx→0f(x)x2
= 1, lımx→−2 f(x)
5. lımx→0f(x)x2
= 1, lımx→−2f(x)x
Capıtulo 2
Diferenciacion
1. La Derivada como Lımite
Resumen.
Definicion 1.1. Sea f : D ⊂ R → R una funcion y a ∈ D. Suponga-mos que
m = lımx→a
f(x)− f(a)
x− aexiste. Entonces, decimos que la recta con pendiente m que pasa porel punto (a, f(a)) es la recta tangente a f en x = a.
De manera alternativa,
m = lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h.
Ejemplo 1.1. Si f(x) = x2 y a = 1, entonces
lımh→0
(1 + h)2 − (1)2
h= lım
h→0(2 + h) = 2.
La recta tangente a f en a = 1, decir, que pasa por el punto(1, f(1)) = (1, 1) esta dada por la ecuacion
2 =y − 1
x− 1,
es decir, y = 2x− 1.
Figura 1. Recta tangente a x2 en a = 1. Consulta lahoja de trabajo.
9
10 2. DIFERENCIACION
Definicion 1.2. Si s : I ⊂ R → R es la funcion distancia en unintervalo de tiempo I, entonces la velocidad en el instante t se definecomo
v(t) = lımh→0
a(t+ h)− a(t)
h,
si acaso este lımite existe.
Ejercicio muestra 2.1. La altura a de un objeto en caıda libre, conaltura inicial a0 y velocidad inicial v0, esta dada por
a(t) = h0 + v0t+ 4.9t2,
medido en unidades del sistema mks.Supongamos que la altura inicial es 450mts y se deja con velocidad
nula. Encuentre la velocidad del objeto al tocar el suelo.
Solucion. Primero, planteamos la ecuacion a(t) = 0 para encontrar eltiempo en que el objeto tiene altura 0, es decir, toca el suelo. Resolve-mos la ecuacion
450− 4.9t2 = 0,
usando la formula general o bien un sistema algebraico de computa,como WxMaxima, en cuyo, el codigo que tenemos que usar es el si-guiente:
(%i1)
solve([450-4.9*t^2], [t]);
rat : replaced− 4.9by − 49/10 = −4.9
( %o1) [t = −6 532
7, t =
6 532
7]
(%i2)
float(%), numer;
( %o2) [t = −9.583148474999101, t = 9.583148474999101]
La solucion que nos interesa es t ≈ 9.58 y calculamos la velocidaden este momento
v(9.58) = lımh→0
([450− 4.9(9.58 + h)2]− [450− 4.9(9.58)2])
h,
la cual podemos calcular usando WxMaximade la siguiente manera:
(%i1)
a(t):=450-4.9*t^2;
( %o1) a (t) := 450− 4.9 t2
1. LA DERIVADA COMO LIMITE 11
(%i2)
limit((a(9.58+h)-a(9.58))/h, h, 0);
( %o2) − 93.88400000000002
Definicion 1.3. La derivada de una funcion f : D ⊂ R→ R en a ∈ Dse define como
(1) f ′(a) = lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h,
o de manera alternativa
(2) f ′(a) = lımx→a
f(x)− f(a)
x− a,
si es que este lımite existe.
Ejercicio muestra 2.2. Calcular f ′(a) para f(x) = x2 − 8x+ 9.
Solucion. Por definicion,
f ′(a) = lımh→0
[(a+ h)2 − 8(a+ h) + 9]− [a2 − 8a+ 9]
h,
y podemos usar WxMaximade la siguiente manera:
(%i1)
f(x):=x^2-8*x+9;
( %o1) f (x) := x2 − 8x+ 9
(%i2)
limit((f(a+h)-f(a))/h, h, 0);
( %o2) 2 a− 8
Observacion. En alguna ocasiones ocupamos diferentes notacionespara la derivada, por ejemplo, para f(x)
f ′(a) =df
dx|x=a,
o simplemente f ′(x) = dfdx, si nos referimos a la derivada como funcion.
Ejercicios. Para los ejercicios de esta seccion, puede consultar [2,sec. 1.6, 2.1].
§ 2.1. En los siguiente incisos, encuentra una ecuacion para la rectatangente a la curva en el punto (x, f(x)). Despues, usando GeoGebra,grafica la curva y la recta tangente.
1. y = 4− x2; x = −12. y = 2
√2; x = 1
3. y = x3, (−2,−8)
12 2. DIFERENCIACION
4. f(x) = x+ 9x, x = 3
5. k(x) = 12+x
, x = 2
6. s = t3 − t2, t = −17. y = (x+ 1)3, x = −28. f(x) = 8√
x−2 , x = 6
9. g(z) = 1 +√
4− z, z = 3
§ 2.2. 1. Se deja caer un objeto desde lo alto de una torre de100m. Su altura sobre el suelo despues de t segundos es 100 −4.9t2 m. ¿Con que rapidez cae a los 2 segundos de haber sidosoltado?
2. t segundos despues del despegue, la altura de un cohete es de3t2 pies. ¿Conque rapidez asciende despues de 10 segundos?
3. ¿Cual es la razon de cambio de un circulo (A = πr2) con res-pecto de su radio, cuando el radio es r = 3?
4. ¿Cual es la razon de cambio del volumen de una esfera (V =43πr2) con respecto al radio, cuando el radio es r = 2?
§ 2.3. Usando la definicion, calcula las derivadas de las funciones delos siguientes ejercicios, y despues halla los valores de las derivadasque se piden.
1. f(x) = 4− x2; f ′(x)(−3), f ′(0), f ′(1),2. F (x) = (x− 1)2 + 1;F ′(−1), F ′(0), F ′(2),
3. g(t) =1
t2; g′(−1), g′(2), g′(
√3),
4. k(z) =1− z
2z; k′(−1), k′(1), k′(
√2),
5. p(θ) =√
3θ; p′(1), p′(3), p′(2/3),6. r(s) =
√2s+ 1; r′(0), r′(1), r′(1/2).
7. dsdt|t=−1 si s = 1− 3t2
8. dydx|√3 si y = 1− 1
x
9. drdθ|θ=0 si r = 2√
4−θ10. dw
dz|z=4 si w = z +
√z
§ 2.4. Algunas veces, es mejor usar la definicion (2) de derivada. Usan-do ambas definiciones, calcule las siguiente derivadas en el punto adado y compare los procedimientos.
1. f(x) = 1x+2
, a = −1,
2. f(x) = 1(x−1)2 , a = 2
3. g(t) = tt−1 , a = 3
4. k(s) = 1 +√s, a = 9
2. LA DERIVADA COMO FUNCION 13
2. La derivada como funcion
Resumen. En la seccion anterior, vimos la definicion de derivadaen un punto. Dijimos que f : D ⊂ R → R tiene derivada f ′(a) ena ∈ D si el lımite
f ′(a) = lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h
existıa. Consideremos A ⊂ D de puntos donde tal lımite existe y po-demos definir la funcion derivada de f : D → R como
f ′ : A→ R, f ′(x) = lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h.
En este caso, decimos que f es diferenciable en A.
Ejercicio muestra 2.3. Indicar en que puntos,
f : R→ R, f(x) = c,
es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funcion derivadade f en los puntos en los que es diferenciable.
Solucion. Observamos que
lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h= lım
h→0
c− ch
= lımh→0
0
h= c.
Entonces el lımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciableen toda R y la funcion derivada de f es
f ′ : R→ R.f ′(x) = 0.
Ejercicio muestra 2.4. Indicar en que puntos,
f : R→ R, f(x) = cx,
es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funcion derivadade f en los puntos en los que es diferenciable.
Solucion. Observamos que
lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h= lım
h→0
c(x+ h)− cxh
= lımh→0
ch
h= c.
Entonces el lımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciableen toda R y la funcion derivada de f es
f ′ : R→ R.f ′(x) = c.
Ejercicio muestra 2.5. Encontrar los puntos donde f : R→ R, f(x) =|x| es diferenciable, y hallar su derivada en tales puntos.
14 2. DIFERENCIACION
Figura 2. Valor Absoluto
Solucion. Observemos que si x < 0, entonces f(x) = −x y por tantof ′(x) = −1. De manera similar, si x > 0, entonces f ′(x) = 1. Elproblema lo encontramos cuando x = 0. Como
lımh→0−
|x+ h| − |x|h
= −1
y
lımh→0+
|x+ h| − |x|h
= 1,
el lımite (por ambos lados) no existe y por tanto f no es diferenciableen x = 0.
Entonces f(x) = |x| es diferenciable en R−{0} ,; si x < 0, entoncesf ′(x) = −1 y si x > 0, entonces f ′(x) = 1.
La figura 2 es la grafica de esta funcion. Observa que en x = 0 hayun pico.
Proposicion 2.1. Si f : D → R es diferenciable en A ⊂ D, entonceses continua en A.
Observacion. Observe que el inverso no es cierto: f(x) = |x| es unafuncion continua en todo R, pero no es diferenciable en x = 0.
Observacion. Si f es diferenciable en x, entonces f ′ es la funcion queasigna a x la pendiente de la recta tangente a f en el punto (x, f(x)).Consulta las hojas de trabajo “Funciones derivadas y rectas tangentes”y “Una funcion que no es diferenciable”.
Ejercicios. Los ejercicios de esta seccion se pueden encontrar en[1, sec. 2.8]
§ 2.5. Correlacione la grafica de cada funcion dada en las graficas (a)-(d) con las graficas I.IV de sus derivadas en la figura 3. Explique lasrazones de su eleccion.
2. LA DERIVADA COMO FUNCION 15
Figura 3. Ejercicio 2.5
§ 2.6. Trace un bosquejo de las funciones derivadas de las funcionesgraficadas en la figura 4.
§ 2.7. Encuentre la derivada de la funcion dada aplicando la definicionde derivada. De los dominio de la funcion y de su derivada.
1. f(x) = 12x− 1
3
2. f(t) = 5t− 9t2
3. f(x) = x3 − 3x+ 54. g(x) =
√1 + 2x
16 2. DIFERENCIACION
5. G(t) = 4tt+1
6. f(x) = x4
3. Tecnicas de Derivacion
Reglas para derivar. En esta seccion, aprenderemos a usar al-guna reglas de derivacion, que nos ayudaran a encontrar de maneraalgebraica una gran familia de derivadas. Posteriormente, usando ladefinicion de lımite, demostraremos cada una de estas.
Proposicion 3.1. Si f, g : D → R son diferenciables en x ∈ D yα ∈ R una constante, entonces
1. (αf)′(x) = αf ′(x)2. (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)3. (fg)′(x) = f(x)g′(x) + f ′(x)g(x)
Observacion. Las dos primeras reglas se pueden combinar en la si-guiente:
(αf + g)′(x) = αf ′(x) + g′(x),
y a esta propiedad se conoce como linealidad.La ultima se conoce como regla de Leibniz.
Ejemplo 3.1. Supongamos que queremos encontrar la derivada de
h(x) = f(x)g(x)
, g(x) 6= 0 Entonces f(x) = h(x)g(x). Por la regla de Leib-
niz,
f ′(x) = h(x)g′(x) + h′(x)g(x).
Despejando h′(x) obtenemos:
h′(x) =f ′(x)− h(x)g′(x)
g(x).
Sustituyendo h(x) = f(x)g(x)
y simplificando obtenemos:
h′(x) =f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
g2(x).
Corolario 3.2.d
dx
(f(x)g(x)
)=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
g2(x).
Proposicion 3.3 (Regla de la cadena). Si f : D → R es diferenciableen x ∈ D y g : f(D)→ R lo es en y = f(x), entonces
(g ◦ f)′(x) = g′(y)f ′(x).
3. TECNICAS DE DERIVACION 17
Derivadas de Funciones Elementales.
Proposicion 3.4. 1. ddxxα = αxα−1
2. ddxαx = αx ln(a)
Ejemplo 3.2. Por definicion, ln : (0,+∞) → R es la funcion inversade exp : R→ (0,+∞), es decir
eln(x) = ln(ex) = x.
En particular, ln(e) = 1. Por lo tanto
d
dxex = ex.
Ejemplo 3.3. Para simplificar la notacion, digamos que f(y) = loga(y).Por definicion, tenemos que f(y) es la funcion inversa de ay. Entoncesx = f(ay), y usando regla de la cadena, obtenemos que
1 = f ′(ay) (ay ln(a)) .
Despejando, obtenemos que
f ′(ay) =1
ay ln(a).
Sustituyendo f(y) = loga(y) y x = ay, tenemos que
(loga)′ (x) =
1
x ln(a).
En particular,
ln′(x) =1
x.
Proposicion 3.5 (Funciones trigonometricas). 1. ddx
cos(x) = − sin(x)
2. ddx
sin(x) = cos(x)
Ejemplo 3.4. Como tan(x) = sin(x)cos(x)
, cos(x) 6= 0, usando la regla del
cociente, obtenemos que
tan′(x) =sin′(x) cos(x)− sin(x) cos′(x)
cos2(x).
Ahora, usando las derivadas de funciones trigonometricas, obtene-mos
tan′(x) =cos(x) cos(x)− sin(x)(− sin)(x)
cos2(x).
Finalmente, simplificamos usando la identidad trigonometricas
cos2(x) + sin2(x) = 1,
18 2. DIFERENCIACION
y la funciıon sec(x) = 1cos(x)
, para obtener
tan′(x) = sec2(x).
4. Derivacion implicita
Ejemplos. Denotaremos por y′ la derivada dydx.
Ejercicio muestra 2.6. Si
x2 + y2 = r2,
donde r es una constante, encontrar y′.
Solucion. Por regla de la cadena, (y2)′ = 2yy′. Esto porque
dy2
dx=dy2
dy
dy
dx.
Si derivamos el lado izquierdo de la ecuaciıon, respecto de x, usandolinealidad, obtenemos 2x+ 2yy′, mientras que si derivamos el derecho,ya que r2 es contante, obtenemos cero e igualando, tenemos que
2x+ 2yy′ = 0.
Despues de despejar obtenemos que
y′ = −xy.
Podemos comprobar nuestros resultados en WxMaxima, de la siguien-te manera.
1. Introducimos la ecuacion y le asignamos el nombre eqn.
(%i1) eqn:x^2+y^2=r^2;
( %o1) y2 + x2 = r2
2. Declaramos a y en funcion de x.
(%i2) depends(y,x);
( %o2) [y (x)]3. Derivamos de manera implicita.
(%i3) der_eqn:diff(eqn,x);
( %o3) 2 y
(d
d xy
)+ 2x = 0
4. Despejamos y′ = dydx.
(%i4) solve(der_eqn, ’diff(y,x));
( %o4) [d
d xy = −x
y]
4. DERIVACION IMPLICITA 19
Observacion. Observe que
x2 + y2 = r2
es la ecuacion de un cırculo con centro en el origen con radio r > 0. UseGeoGebrapara graficar esta ecuacion para un radio dado, por ejemplo,r = 5.
1. Compare las pendientes de las rectas tangente en (x, y) y (−x,−y) .¿Que relacion sobre estas dos rectas podemos deducir?
2. Compare las pendiente de la recta tangente en (x, y) y la rectaque pasa por el origen y este punto. ¿Que relacion sobre estasdos rectas podemos deducir?
Ejercicio muestra 2.7. Si
x3 + y3 = 6xy,
encontrar y′.
Solucion. Por regla de la cadena
d
dx
(y3)
=dy3
dy
dy
dx,
es decir, (y3)′ = (3y2) (y′) .Ademas, por la regla de Leibniz,
(xy)′ = x′y + xy′ = y + xy′.
Entonces, derivando ambos lados de la ecuacion, y usando lineali-dad, tenemos que
3x2 + 3y2y′ = 6 (y + xy′) .
Despejando y′, obtenemos
y′ =2y − x2
y2 − 2x.
Ejercicio muestra 2.8. Encuentree y′ en terminos de x, si y =arcsin(x), con imagen −π
2≤ y ≤ π
2.
Solucion. En este caso x = sin(y). Por regla de la cadena obtenemosque
d
dxsin(y) =
d
dysin(y)
dy
dx= cos(y)y′.
Sin embargo,tambien sabemos que
d
dxsin(y) =
dx
dx= 1.
20 2. DIFERENCIACION
Por lo cual 1 = cos(y)y′, y entonces y′ = 1/ cos(y). Pero tambiensabemos que, por la manera en que escogemos el rango de y, cos(y) > 0,y por tanto
cos(y) =√
1− sin2(y) =√
1− x2.Es decir
y′ =1√
1− x2.
Ejercicios. Para resolver los siguientes ejercicios, puede consultarlos ejemplos de [1, sec. 3.5].
§ 2.8. Encuentre y′. Grafique y y y′ usando GeoGebra. Compruebe susresultados usando WxMaxima.
1. sin(x+ y) = y2 cos(x),2. x4 + y2 = 16,3. y = arc cos(x),4. y = arctan(x).
5. Derivacion logarıtmica
Resumen. Recordemos que y = ex si y solo si x = ln(y), porlo cual ln(y) solamente esta definido para y > 0. Dos propiedadesfundamentales del logarıtmo son las siguientes:
1. ln(ab) = ln(a) + ln(b),2. ln(ab) = b ln(a).
De esto se deduce, usando leyes de los exponentes, que ln(ab
)=
ln(a)− ln(b).Por regla de la cadena,
d
dxln(y) =
d
dyln(y)
dy
dx,
es decir,
(ln(y))′ =y′
y.
De esto se deduce que
(3) y′ = y
(d
dxln(y)
).
Esta forma de derivar, conocida como derivacion logarıtmica, esespecialmente util si necesitamos derivar funciones que involucren mul-tiplicacion, division, exponenciacion y radicales.
Ejercicio muestra 2.9. Si y =x+ 1√x− 2
, encontrar y′.
5. DERIVACION LOGARITMICA 21
Solucion. Primero, escribimos y = (x+ 1)(x− 2)−1/2. Entonces
ln(y) = ln(x+ 1)− 1
2ln(x− 2),
de donded
dxln(y) =
1
1 + x− 1
2
(1
x− 2
).
Simplificando la ultima expresion obtenemos
d
dxln(y) =
x− 3
2(x+ 1)(x− 2),
de donde obtenemos
y′ =
(x+ 1
(x− 2)1/2
)(x− 3
2(x+ 1)(x− 2)
),
y simplificando obtenemos,
y′ =x− 3
2(x− 2)3/2.
De hecho, podemos obtener la formula para la derivada del cocienteusando la formila (3). En efecto,
ln
(f
g
)= ln(fg−1) = ln(f)− ln(g).
Derivando obtenemos
d
dxln
(f
g
)=f ′
f− g′
g.
Entonces (f
g
)′=
(f
g
)(f ′
f− g′
g
)=f ′g − g′f
g2.
Otro ejemplo del uso de la derivada es el siguiente. Supongamosque y = xα, con x 6= 0. Entonces ln(y) = α ln(x), y por tanto
d
dxln(y) =
α
x.
Entonces y′ = (xα) (αx−1) = αxα−1.Por ultimo, derivaremos y = ln |x| . Observe que solamente necesita-
mos deducir el caso cuando x < 0, es decir |x| = −x. En esta situaciony = ln(−x)y por regla de la cadena, sustituyendo u = −x, y = ln(u)
dy
dx=dy
du
du
dx=
1
uu′ =
u′
u.
22 2. DIFERENCIACION
Pero u′ = −1, y por tantod
dxln(−x) =
−1
−x=
1
x. Entonces, siempre
que x 6= 0,d
dxln |x| = 1
x.
Ejercicios.
§ 2.9. Encuentre y′ usando derivacion logarıtmica.
1. y =x3/4√x2 + 1
(3x+ 2)5,
2. y = x√
(x),3. y = ln(e−x + xe−x),
4. y =x
1− ln(x− 1)5. y = xx,6. y = xsin(x),7. xy = yx.
Problema 2.1. Use la definicion de derivada para demostrar que
lımx→0
ln(1 + x)
x= 1.
5. DERIVACION LOGARITMICA 23
Figura 4. Ejercicio 2.6
24 2. DIFERENCIACION
Figura 5. Ejercicios de repaso para el examen. Consul-te [1, Ejercicios de Repaso, pag. 265].
Capıtulo 3
Aplicaciones
1. Crecimiento exponencial
Resumen. Si la razon de cambio (instantanea) de una funcionx : R → R diferenciable es proporcional a la propia funcion, esto lopodemos expresar con la siguiente ecuacion diferencial:
(4)dx
dt= kx.
La funcion x : R→ R
x(t) = Cekt,
donde C ∈ R es una constante, satisface esta ecuacion y por el teore-ma de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, sifijamos la condicion inicial x(0) = x0 ∈ R, esta es la unica solucion.De hecho, esa facil comprobar que en este caso, C = x0.
Observacion. En las aplicaciones, regularmente escogemos condicio-nes iniciales positivas, es decir, x0 > 0. En esta situacion, tenemos lossiguientes casos
1. Si k = 0, entonces x(t) = x0ekt permanece constante y no es de
nuestro interes;2. Si k > 0, entonces x(t) = x0e
kt es estrictamente creciente ydecimos que k es una constante de crecimiento.
3. Si k < 0, entonces x(t) = x0ekt es estrictamente decreciente y
decimos que k es una constante de decaımiento.
Ejercicio muestra 3.1. Si P (t) es la poblacion humana, medida enmillones de personas, a partir de 1950, entonces tenemos los siguientesdatos:
ano t P (t) ≈1950 0 2 5181960 10 2 755
¿Cual sera la poblacion mundial en 2010?
25
26 3. APLICACIONES
Solucion. Usando nuestro modelo, obtenemos las siguiente ecuaciones
x0ek(0) = 2518
x0ek(10) = 2982.
De la primera, es claro que la poblacion inicial es x0 = 2518, mientrasque sustituyendo y despejando en la segunda obtenemos:
k =1
10ln
(2982
2518
)≈ 0.0169.
Entonces, obtenemos:
P (t) = 2518e.0169t,
y sustituyendo como el ano 2010, corresponde a t = 60, obtenemos
P (60) = 2518e.0169(60) ≈ 6941.
La poblacion mundial en 210 fue aproximadamente 6854 millonesde habitantes, es decir, el error relativo de nuestra aproximacion es
Errrel =
∣∣∣∣6941− 6854
6854
∣∣∣∣ ≈ 1.26 %.
Ejercicios.
§ 3.1. Una poblacion de protozoarios se desarrollan en una razon decrecimiento relativo contante de 0.7944 por miembro cada dıa. En eldıa cero, la poblacion consiste de dos miembros. Hallar el tamano dela poblacion despues de seis dıas.
§ 3.2. Un habitante comun del intestino humano es la bacteria esche-richia coli. Una celula de esta bacterıa en un caldo nutriente se divideen dos celulas cada 20 minutos. La poblacion inicial de un cultivo esde 60 celulas.
1. Hallar la razon de crecimiento relativo.2. Encontrar una expresion para el numero delulas despues de t
horas.3. Establecer la razon de crecimiento despues de 8 horas.4. ¿Cuando la poblacion alcanzara 20,000 celulas.
§ 3.3. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 delulas y crece enuna cantidad proporcional a su tamano. Despues de 1 hora la poblacionse ha incrementando a 420.
1. Establecer una expresion para numero de bacterias despues de3 horas.
2. Calcular el numero de bacterias despues de 3 horas.3. Encuentre la tasa de crecimiento despues de 3 horas.
2. LINEALIZACION 27
Figura 1. Linealizacion de√
(x) alrededor a = 4.
4. ¿Cuando la poblacion alcanza 10,000?
§ 3.4. Un cultivo de bacterias crece con una rapidez de crecimientorelativo constante. Despues de 2 horas existen 600 bacterias y despuesde 8 horas la cuenta es de 75,000.
1. Hallar la poblacion inicial.2. establecer la expresion para la poblacion despues de t horas.3. Calculae el numero de calulas despues de 5 horas.4. establecer la rapidez de crecimiento despues de 5 horas.5. ¿Cuando la poblacion alcanzara 200,000?
2. Linealizacion
Resumen. Supongamos que f : R→ R es diferenciable en a ∈ R,es decir, existe la derivada f ′(a). Como ya hemos visto, esta derivadaen la pendiente de la recta tangente, que es la mejor aproximacion linealde f en a. La ecuacion de la recta tangente se puede obtener a partirde la siguiente ecuacion:
y − f(a)
x− a= f ′(a),
que es la ecuacion de una recta que pasa por el punto (a, f(a)) conpendiente f ′(a).
Definicion 2.1. Sea f : R → R una funcion diferenciable. Definimosla linealizacion de f alrededor de (o con pivote en) a ∈ R como
Lf,a(x) = f(a) + f ′(a)(x− a).
La linealizacion Lf,a(x) se puede usar para hacer calcular de manerabastante precisa de valor de f(x) para x ≈ a.
Ejemplo 2.1. Existen varios algoritmos para calcular la raiz de unnumero real. Sin embargo, podemos calcular raices de numeros realesde manera muy precisa, usando la linealizacion.
28 3. APLICACIONES
Por ejemplo, calculemos√
4.1. Primero determinamos la funcion alinealizar, en este caso, f(x) =
√x. La derivada de f es
f ′(x) =1
2√x.
Despues, escogemos como pivote el punto a = 4. En este caso f(4) =2 y f ′(4) = 1
4. De donde obtenemos
L(x) = f(4) + f ′(4)(x− 4) = 2 +1
4(x− 4).
Entonces√
4.1 ≈ L(4.1) = 2 + .25(4.1− 4) = 2.025.
Si usaramos una calculador, obtendriamos√
4.1 = 2.02484567313.El error absoluto entre este valor y el que obtuvimos de la aproximaciones
Err = |2.025− 02484567313| ≈ 1.54× 10−4.
Ejercicios.
§ 3.5. Use una aproximacion lineal para calcular los siguientes valores.Posteriormente, use una calculadora para encontrar su valor y deter-mine el error absoluto.
1. (2.001)5
2. e−0.015
3. (8.06)2/3
4. 11002
5. tan(44o)6.√
99.8
3. Optimizacion
Resumen.
Definicion 3.1. Sea f : D ⊂ R→ R. Decimos que:
1. f alcanza su valor maximo o maximo global en c ∈ D si f(c) ≥f(x), para toda x ∈ D;
2. f alcanza su valor mınimo o mınimo global en c ∈ D si f(c) ≤f(x), para toda x ∈ D.
Teorema 3.1 (Teorema del Valor Extremo). Si f : [a, b] → R escontinua, entonces f alcanza su maximo y su mınimo.
3. OPTIMIZACION 29
Aunque el crıterio anterior nos es util al optimizar en intervaloscompactos, es decir, de la forma [a, b], en un caso general no siempreesto es cierto. Sin embargo, tenemos la siguiente nocion de maximo(mınimo) en intervalos abiertos.
Definicion 3.2. Sea f : D ⊂ R→ R. Decimos que:
1. f tiene un maximo local en c ∈ D si existe un radio ε > 0suficientemente pequeno, de manera que f(c) ≥ f(x), para todax ∈ (c− ε, c+ ε) ⊂ D;
2. f tiene un mınimo local en c ∈ D si existe un radio ε > 0suficientemente pequeno, de manera que f(c) ≤ f(x), para todax ∈ (c− ε, c+ ε) ⊂ D.
Observacion. La condicion de que exista si existe un radio ε > 0suficientemente pequeno, y que x ∈ (c−ε, c+ε) ⊂ D se puede entendercomo que x ∈ D este suficientemente cerca de c ∈ D. De manerainformal, podemos decir que f alcanza un maximo local en c si f(c) ≥f(x) para x suficientemente cercanos a c. Lo mismo se puede decirpara un mınimo local. Note que todo maximo (mınimo) global es, enparticular, un maximo (mınimo resp.) local.
Teorema 3.2 (Teorema de Fermat). Si f : D ⊂ R → R alcanza unmaximo o mınimo local en c ∈ D y f ′(c) existe, entonces necesaria-mente f ′(c) = 0.
Observacion. Debemos tener cuidado al usar el teorema de Fermat.Por ejemplo f = |x| alcanza su mınimo en cero, pero en este punto laderivada no existe. En cambio, f(x) = x3 tiene derivada igual a ceroen x = 0, pero este punto no es maximo ni mınimo de la funcion.
Como podemos apreciar, los puntos mas interesantes para nuestroestudio son aquellos donde la derivada no existe o si existe, es igual acero.
Definicion 3.3. Sea f : D ⊂ R → R y c ∈ D. Decimos que c es unpunto crıtico si f ′(c) no existe o si existe, f ′(c) = 0.
Con los resultados anteriores, podemos describir un criterio paraoptimizar funciones continuas en compactos.
Proposicion 3.3. Supongamos que
1. f : [a, b]→ R es continua,2. f : (a, b)→ R es diferenciable.
Si f alcanza su maximo (o mınimo) global en c, entonces
1. c = a o c = b, o
30 3. APLICACIONES
Figura 2. f(x) = x3 − 3x2 + 1
2. f ′(c) = 0 un punto crıtico.
En decir, para encontrar donde f alcanza sus valores extremos,basta probar en los extremos del intervalo o en los puntos crıticos, quese encuentran en su interior.
Ejercicio muestra 3.2. Encuntre el maximo y el mınimo global de lafuncion f(x) = x3 − 3x2 + 1 si −1
2≤ x ≤ 4.
Solucion. Como f es continua en [−12, 4] y diferenciable en su interior
(−12, 4) (¿porque?), podemos aplicar el criterio de la proposicion 3.3.Primero evaluamos en los extremos.{
f(−12) = 1
8
f(4) = 17
Derivamos f y obtenemos los puntos crıticos, resolviendo la ecua-cion
f ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2) = 0.
Los puntos crıticos son x = 0 y x = 2. Sus respectivos valores sonf(0) = 1 y f(2) = −3.
Finalmente, basta comparar los diferente valores obtenidos paraconcluir que el maximo global es 17 y se alcanza en x = 4, mientrasque el mınimo global es −3 y se alcanza en x = 2.
Ejercicios.
§ 3.6. Encuentre los maximos y mınimos absolutos en el intervalo in-dicado. Grafique.
1. f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 1, [−2, 3]2. f(x) = x
x2−x+1, [0, 3]
3. f(x) = t√
4− t2, [−1, 2]4. φ(t) = 2 cos(t) + sin(2t), [0, π
2]
5. f(x) = xe−x2/8, [−1, 4]
6. f(x) = ln(x2 + x+ 1), [−1, 1]7. f(x) = x− 2 arctan(x), [0, 4]
4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31
4. Teorema del Valor Medio
Introduccion. ¿Como calculamos la velocidad de un objeto? Su-pongamos que en un intervalo de tiempo I := [t0, tf ], el desplazamientode este esta dado por s : I → R, es decir, solamente se mueve a lo largode una lınea recta. Si queremos calcular la velocidad promedio en I,usamos la siguiente formula:
v =s(tf )− s(t0)tf − t0
.
Sin embargo, puede ser que la velocidad varıe instantaneamente yen tal caso, necesitariamos considerar la velocidad instantanea en untiempo t ∈ I dada por:
v′(t) =ds
dt.
El siguiente teorema, uno de los mas importantes del calculo, nosdice que en algun instante t∗ ∈ I, la velocidad intantanea sera igual ala velocidad promedio en dicho intervalo I.
Teorema 4.1 (Teorema del Valor Medio). Sea f : [a, b]→ R una fun-cion continua, que ademas es diferenciable en (a, b). Entonces, existec ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a)
b− a= f ′(c).
Este teorema nos permitira estudiar el comportamiento de las fun-ciones en ciertos intervalos, a partir del comportamiento de sus de-rivadas en el mismo. A continuacion, presentamos algunos resultadosimportantes que se pueden obtener a patir de este teorema.
Crecimiento y primera derivada.
Proposicion 4.2. Sea f : (a, b) → R una funcion diferenciable. En-tonces f es constante en (a, b) si y solo si f ′(c) = 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostracion. Sabemos que si una funcion es constante, enton-ces su derivada es cero. Ahora supongamos que f ′(c) = 0 para todoc ∈ (a, b). Comparemos el valor de las funciones en dos puntos diferen-tes x, y ∈ I tales que x ≤ y.
Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] y comof ′(c) para todo c ∈ (a, b), en particular, para todo c ∈ (x, y) ⊂ (a, b),tenemos que para algun c ∈ (x, y) ⊂ (a, b):
f(y)− f(x)
y − x= f ′(c) = 0.
32 3. APLICACIONES
Multiplicando por ambos lados por y − x, tenemos que
f(y)− f(x) = 0,
y por tanto, para todo x, y ∈ (a, b),
f(x) = f(y),
es decir, la funcion f es contante en este intervalo.�
Definicion 4.1. Decimos que una funcion f.D ∈ R → R es creciente(resp. decreciente) en su dominio D si
x < y ⇒ f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)).
Proposicion 4.3. Si f : (a, b) → R una funcion diferenciable, enton-ces f es creciente en (a, b) si y solo si f ′(c) > 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostracion. Primero supongamos que f es creciente y sea x ∈(a, b). Si h > 0, entonces f(x + h) > f(x), porque x + h > x y por lotanto
f(x+ h)− f(x)
h> 0.
Si tomamos el lımite cuando h→ 0, entonces
f ′(x) = lımh→0+
f(x+ h)− f(x)
h> 0,
y por lo tanto f ′(x) > 0 para toda x ∈ (a, b).Ahora, supongamos que para toda x ∈ (a, b) : f ′(x) > 0. Escojamos
dos puntos, x, y ∈ (a, b), tales que x < y. Aplicando el teorema del valormedio en el intervalo [x, y] tenemos que para algun c ∈ (x, y)
f(y)− f(x)
y − x= f ′(c) > 0,
y multiplicando por y − x > 0 de ambos lados, obtenemos
f(y)− f(x) > 0,
es decir, si x < y entonces f(x) < f(y).�
De manera similar, se puede demostrar que
Proposicion 4.4. Si f : (a, b) → R una funcion diferenciable, enton-ces f es decreciente en (a, b) si y solo si f ′(c) < 0 para todo c ∈ (a, b).
4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 33
Figura 3. Funcion concava hacia arriba
Concavidad y segunda derivada. Consideremos la funcion f :D → R en la figura 3 y supongamos que es diferenciable en cadapunto; su grafica es concava hacia arriba. ¿Como podemos definir estode manera analitica? Note que para cualquier punto a ∈ D, la lıneatangente esta siempre por debajo de la grafica. La funcion que describeesta recta es
La(x) = f(a) + f ′(a)(x− a),
y entonces esta condicion de concavidad se expresarıa como que paracada punto x0 ∈ D
f(a) + f ′(a)(x− a) ≤ f(x), x ∈ D.
Entonces, tenemos la siguiente definicion.
Definicion 4.2. Una funcion f : D → R diferenciable es concava haciaarriba si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que
(5) f(x)− f(x0) ≤ f ′(x0)(x− x0).
En particular, si a < b, es decir, 0 < b − a, entonces usando laecuacion 6 para x0 = a, obtenemos que
f(b)− f(a)
b− a≥ f ′(a).
De manera similar, entonces usando la ecuacion 6 para x0 = b,
f(b)− f(a)
b− a≤ f ′(b).
Por tanto,
f ′(a) ≤ f(b)− f(a)
b− a≤ f ′(b),
34 3. APLICACIONES
es decir, la derivada es creciente si la funcion es concava hacia arriba.Lo cual se puede observar en la figura 3.
Ahora bien, si la derivada es creciente, ¿la funcion necesariamentees concava hacia arriba? Sı, y veamos porque.
Si la derivada es creciente y c ≤ a, entonces f ′(c) ≤ f ′(a). Suponga-mos que x > a, y que la derivada es creciente. Entonces, por el teoremadel valor medio, existe un c ∈ R, x > c > a, tal que
f(x)− f(a) = f ′(c)(x− a) ≥ f ′(a)(x− a),
que no es mas que la condicion 6 para el caso x > a. El caso x < a seobtiene de manera similar.
Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente
Proposicion 4.5. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f esconcava hacia arriba si y solo si f ′ es una funcion creciente.
Por el teorema 4.3, obtenemos el siguiente
Corolario 4.6. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con-cava hacia arriba si y solo si f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b).
De manera similar, podemos definir la concavidad hacia abajo.
Definicion 4.3. Una funcion f : D → R diferenciable es concava haciaabajo si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que
(6) f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0).y obtenemos resultados similares,
Proposicion 4.7. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f esconcava hacia abajo si y solo si f ′ es una funcion decreciente.
Corolario 4.8. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con-cava hacia abajo si y solo si f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b).
En particular, obtenemos una manera de caraterizar los maximos ymınimos locales de manera pratica.
Teorema 4.9 (Criterio de la Segunda Derivada). Sea f : (a, b) → Rcon segunda derivada. Entonces:
1. c ∈ (a, b) es maximo local si y solo si f ′(c) = 0 y f ′′(c) < 0.2. c ∈ (a, b) es mınimo local si y solo si f ′(c) = 0 y f ′′(c) > 0.
Para finalizar, tenemos la siguiente definicion
Definicion 4.4. Sea f : (a, b) → R con segunda derivada. Entoncesdecimos que c ∈ (a, b) es punto de inflexion si
f ′′(c) = 0,
es decir la funcion f cambia de concavidad en c.
5. GRAFICACION 35
Figura 4. Puntos de inflexion
Figura 5. Puntos de silla
5. Graficacion
Metodo para graficar. Supongamos que f : (a, b) es una funcioncon segunda derivada. Podemos proceder de la siguiente manera paraencontrar su grafica.
1. Encontrar las raices, es decir, los puntos c tales que f(c) = 0;2. Encontrar los puntos crıticos, es decir, los puntos c tales quef ′(c) = 0;a) Si f ′′(c) > 0, entonces c es mınimo local,b) Si f ′′(c) < 0, entonces c es maximo local,
3. Encontrar los puntos de inflexion, es decir, los puntos c talesque f ′(c) = 0.
Los puntos de inflexion pueden ser como en la figura 4. Si f ′′ cambiade negativa a positiva, la grafica localmente como la de la izquierda,mientras que en el otro caso, luce como en la de la derecha.
Falta por caracterizar los puntos crıticos c donde f ′′(c) = 0, es decir,que tambien son puntos de inflexion. Estos puntos se les conoce comopuntos de silla y alrededor de estos, la grafica se ve como alguna de lasde la figura 5.
Ejercicio muestra 3.3. Grafique la funcion f : [−1, 1] → R, f(x) =x3 − x.
Solucion. Primero, resolvemos la ecuacion
x3 − x = 0,
36 3. APLICACIONES
Figura 6. Grafica del ejericicio 3.3
y tenemos que las raices de f son x = −1, 0, 1.Despues derivamos f :
f ′(x) = 3x2 − 1,
y resolvermos la ecuacion f ′(c) = 0.Entonces, los puntos crıticos de la funcion son x = ± 1√
3. Utilizamos
el criterio 4.9 para decidir si son maximo o mınimos locales, o incluso,puntos de silla.
La segunda derivada de f es
f ′′(x) = 6x.
Como f ′′( 1√3) = 6
(1√3
)> 0, entonces
c =1√3
es un mınimo local.De manera similar, concluimos que
c = − 1√3
es un maximo local.Finalmente, resolvemos f ′′(c) = 0, pero la unica solucion es c = 0
y por tanto, este es el unico punto de inflexion. Como antes de c = 0,f ′′ < 0, mientras que despues f ′′ >, concluimos que en este punto, lagrafica se ve localmente como la grafica de la derecha en la figura 4.
Podemos utilizar GeoGebra para graficar y comparar con nuestrosresultados. La grafica esta dada en la figura 6.
6. TEOREMA DE L’HOSPITAL 37
Ejercicios.
§ 3.7. Esboce la grafica de cada una de las siguientes funciones, uti-lizando el metodo anterior. Grafique usando GeoGebra y compare susresultados.
1. x3 − 7x+ 6,2. 6x3 − x2 − 5x+ 2,3. x4 − 3x3 + 3x2 − 3x+ 2.
6. Teorema de L’Hospital
El siguiente teorema nos sera util para encontrar lımites de formasindeterminadas, tales como
0
0,±∞±∞
.
Teorema 6.1 (L’Hospital). Sea f, g : (c − ε, c + ε) → R funcionesdiferenciables, tales que
g′(x) 6= 0 si x ∈ (c− ε, c+ ε), x 6= c,lımx→c f(x) = lımx→c g(x) = 0.
Entonces,
lımx→c
f(x)
g(x)= lım
x→c
f ′(x)
g′(x),
si es que el lımite del lado derecho existe.La misma conclusion vale si cambiamos la hipotesis (2) por
lımx→c
f(x) = lımx→c
g(x) = ±∞.
Ejercicio muestra 3.4. Encuentre
lımx→1
ln(x)
x− 1.
Solucion. Las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = x−1 son diferenciablesen sus respectivos dominios y de hecho,
f ′(x) =1
x, g′(x) = 1.
Como g′(x) = 1 6= 0 en R, se cumple la primera hipotesis del Teoreade L’Hospital. Ademas,
lımx→1
ln(x) = lımx→1
(x− 1) = 0.
Ahora bien,
lımx→1
f ′(x) = lımx→1
1
x= 1,
38 3. APLICACIONES
mientras quelımx→1
g′(x) = lımx→1
1 = 1.
Por tanto
lımx→1
ln(x)
x− 1= lım
x→1
1/x
1= 1.
Ejercicios.
§ 3.8. Encuentre los siguientes lımites
1.
lımx→∞
ex
x3,
2.
lımx→∞
ln(x)3√x,
3.
lımx→0
tan(x)− xx3
,
4.
lımπ−
sin(x)
1− cos(x),
5.lımx→0+
x ln(x),
6.lımx→π
2−
(sec(x)− tan(x)) ,
7.lımx→0+
xx.
7. Proyecto final: Polinomios de Taylor
La aproximacion de la recta tangente L(x) es la mejor aproximacionde primer grado (lineal) a f(x), cerca de x = a, porque f(x) y L(x)tienen la misma relacion de cambio (derivada) en a. Para tener unamejor aproximacion que la lineal, intente una aproximacion de segundogrado (cuadratica)
P (x) = A+Bx+ Cx2.
En otras palabras, aproxime una curva mediante una parabola en lugarde una recta. Para tener la seguridad de que la aproximacion es buena,estipule lo siguiente:.
(i) P (a) = f(a)(ii) P ′(a) = f ′(a)
(iii) P ′′(a) = f ′′(a)
7. PROYECTO FINAL: POLINOMIOS DE TAYLOR 39
(a) Encuentre la aproximacion cuadratica
P (x) = A+Bx+ Cx2
para la funcion f(x) = cos(x), que satisfaga las condiciones (I)-(III), con a = 0. Grafique P, f, y L. ¿Que tanto se aproximan P yL a f en el intervalo (−1, 1)? Calcule el error absoluto y el relativo.
(b) Determine los valores de x para los cuales la aproximacion cuadrati-ca P (x) del inciso anterior tiene un margen de error menos que 0.1.Sugerencia: Grafique y = P (x), y = cos(x)− 0.1 y y = cos(x) + 0.1en una misma pantalla.
(c) Para aproximacion una funcion f por una cuadratica P cerca deun numero a, lo mejor es escribir
P (x) = A+B(x− a) + C(x− a)2.
Mostrar que la funcion cuadratica que satisface (I)-(III) es
P (x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1
2f ′′(a)(x− a)2.
(d) Encuentre la aproximacion cuadratica a f(x) =√x+ 3 alrededor
de a = 1. Grafique f y sus aproximaciones lienal y cuadratica, enuna pantalla comun. Comente acerca del resultado.
(e) De manera similar, podemos aproximar una funcion f alrededorde a con un polinomio de grado n usando el n-esimo polinomio deTaylor:
Tn(x) = f(a)+f (1)(a)(x−a)+...+f (k)(a)
k!(x−a)k+...+
f (n)(a)
n!(x−a)n,
donde k! = 1 · 2 · · · k, si k > 0 y f (k)(a) denota la k-esima derivadaevaluada en a.
Encuentre los polinomios de Taylor de f(x) = cos(x) en a = πcorrespondientes a k = 1, 2, 3, 4 y grafiquelos en el intervalo [0, 2π]en una misma pantalla. Encuentre el error absoluto de cada uno enx = 0.
Bibliografıa
[1] Stewart, J.; Calculo de una variable, trascendentes tempranas; Cengage Lear-ning, 6a Edicion, 2008.
[2] Thomas, G., Finney, R.; Calculo, una variable; Addison-Wesley, 9a Edicion,1998.
[3] Courant, R., Fritz, J.; Introduction to Calculus and Analysis; Interscience Pu-blisher, 1965.
[4] Rudin, W.; Priciples of Mathematical Analysis; Mc-Graw Hill,3a ed., 1976.
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