mis notas de clase cálculo diferencial

Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia

la administración y la economía”

Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2

Cálculo Diferencial

Con especial cariño a

mi madre Delva por su crianza, por

la semilla que sembraste en mí, a

Lilia mi esposa, por su apoyo,

estimulo, comprensión y sacrificio,

a mis hijos porque son mi fuente

de inspiración, a todas aquellas

personas que han creído en mi

trabajo y que me han dado la

oportunidad de seguir creciendo

cada día y a mis estudiantes a

quienes va dirigido este trabajo.

Gracias

José Francisco Barros Troncoso

Febrero 12 de 2013



Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................................................................5

FUNCIÓN .......................................................................................................................................................................................6

Producto Cartesiano ..................................................................................................................................................................6

Pareja Ordenada .........................................................................................................................................................................6

Intervalos ......................................................................................................................................................................................8

Relación ...................................................................................................................................................................................... 11

Función ....................................................................................................................................................................................... 12

Representación de una Función .......................................................................................................................................... 13

Función Inversa ....................................................................................................................................................................... 19

Funciones Pares e Impares ................................................................................................................................................... 20

Raíces e Interceptos ............................................................................................................................................................... 22

Función Creciente y Decreciente ......................................................................................................................................... 24

Función Acotada ...................................................................................................................................................................... 24

Concavidad y Convexidad...................................................................................................................................................... 26

Imagen de una Función ......................................................................................................................................................... 28

Algebra de Funciones ............................................................................................................................................................. 31

GRÁFICA DE FUNCIONES ...................................................................................................................................................... 35

Grafica de una Función con Tecnología ............................................................................................................................. 36

LA LÍNEA RECTA..................................................................................................................................................................... 43

Posición Relativa de la Recta ................................................................................................................................................ 45

FUNCIÓN LINEAL ................................................................................................................................................................... 48

Modelación de Función Lineal ............................................................................................................................................. 59

FUNCIÓN CUADRÁTICA ......................................................................................................................................................... 60

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS .................................................................................................. 71

FUNCIÓN EXPONENCIAL ....................................................................................................................................................... 73

FUNCIÓN LOGARÍTMICA ....................................................................................................................................................... 77

FUNCIÓN COCIENTE o RACIONAL ...................................................................................................................................... 88

FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS ........................................................................................................................... 91

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO ............................................................................................................................................... 99

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .....................................................................................................................................101

INCREMENTO Y TASAS ........................................................................................................................................................104

LIMITE ......................................................................................................................................................................................113



LA DERIVADA .........................................................................................................................................................................125

Fórmulas de la Derivada ......................................................................................................................................................128

Regla de la potencia ..............................................................................................................................................................142

Regla de la Cadena .................................................................................................................................................................142

DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES ......................................................................................................148

DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS .........................................................................................................152

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................156

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR ..................................................................................................................................159

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS ...................................................................................................................................160

Prueba de la primera derivada. .........................................................................................................................................160

Prueba de la segunda derivada ..........................................................................................................................................161

DERIVADA IMPLÍCITA .........................................................................................................................................................179

ELASTICIDAD EN LA DEMANDA .......................................................................................................................................186

DERIVADAS PARCIALES ......................................................................................................................................................190

Funciones de dos o más Variables ....................................................................................................................................190

Diferenciación Parcial ..........................................................................................................................................................195

Costo Conjunto y Costo Marginal ......................................................................................................................................198

Productividad Marginal .......................................................................................................................................................202

Funciones de Demanda ........................................................................................................................................................204

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................................................208

Web-grafía ...............................................................................................................................................................................209



INTRODUCCIÓN El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad. El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional. El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.



FUNCIÓN

En la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamiento de dos o más variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemáticas que representen el comportamiento de los agentes económicos En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo:

En consecuencia:

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴 Λ 𝑦 ∈ B (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴 Λ 𝑦 ∈ B

La representación geométrica de R × R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Cantidad de Producción - Costo Asociado Cantidad Comprada – Precio

Mano de Obra - Capital Oferta - Demanda

Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario

b

a

P(a,b)

Producto Cartesiano Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:

𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 ∈ 𝐴 Λ 𝑥 ∈ 𝐵}

Pareja Ordenada Conjunto de números de Una pareja ordenada consiste en dos elementos la forma (𝒂, 𝒃), de los cuales 𝒂 designa el primer elemento o componente, y 𝒃 el segundo. Dos parejas ordenadas (𝒂, 𝒃) y (𝒄, 𝒅) son iguales si y solamente si 𝒂 = 𝒄 y 𝒃 = 𝒅



Se establece una relación biunívoca entre R × R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b). Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. Gráficamente Ejemplo 2: Sean 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐑 Λ 1 < 𝑥 ≤ 3}

𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐑 Λ − 2 ≤ 𝑥 < 3} Su representación geométrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

1

1

2

2

3

4

5



Intervalos Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. Finitos Abierto

Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a , b) = {x 𝜖 𝑅/ a < x <b} Gráficamente

Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x 𝜖 𝑅/ a ≤ x ≤ b} Gráficamente

Semi-abierto o semi-cerrado

(a , b] = {x 𝜖 𝑅/ a < x ≤ b}

[a , b) = {x 𝜖 𝑅/ a ≤ x < b}

Intervalos Infinitos:

(a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x > a}

[a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x ≥ a}

(-∞, a) = {x 𝜖 𝑅/ x < a}

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

∞ -∞

a

∞ -∞

a

∞ -∞

a



(-∞, a] = {x 𝜖 𝑅/ x ≤ a}

Ejercicios 1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes

igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)

2. Sean 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐍 Λ 1 ≤ 𝑥 < 4} y 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐍 Λ 1 ≤ 𝑥 < 3} a. Calcular 𝐴 × 𝐵 b. Representar gráficamente 𝐴 × 𝐵

3. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1

y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A.

4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica

a.(1,3) b. (0,3] c. [-1,∞) d.(-∞,2)

e.[-0.5, 4.5) f. (− 2

3, 5] [− 3

4,7

2)

(25, ∞)

5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[-2,∞) calcular y representar gráficamente

a. A n B

b. B - A

c. Cc

d. Ac n Bc

e. (A - B)c – C

6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen:

a. Su unión (-8,2]

b. Su intersección [-3, 1)

c. Su diferencia (-∞, 3)

d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales

7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica?

∞ -∞

a



8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a

0.80x Si 0 < x ≤ 50 C(x)= 0.70x Si 50 < x ≤ 200 0.65x Si x > 200

, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg) a. Exprese cada condición en forma de intervalo. b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg

9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador

después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 𝑃(𝑡) = 27𝑡 + 6𝑡2 − 𝑡3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8

Donde P es el número de unidades producidas por hora. a. ¿Qué significa la condición 0 ≤ 𝑡 ≤ 8? b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo

10. La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto

producto Determine el o los intervalos

x

y

(100,3800)

(0,-200)

(2.53, 0)(197.46, 0)

Unidades Vendidas

Util

idad



a. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué? b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué? c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué? d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué?

Ejercicios 1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación:

a. Que la primera componente sea el doble de la segunda. b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no

consecutivo. d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la

segunda.

2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas: a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)

3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación.

Problemas Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular 1. Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el precio

disminuye en US$ 4 dólares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si se demandan 5 unidades.

2. Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada año se

deprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehículo a los cinco años de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y la segunda el precio.

Relación Regla que determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad.



3. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200.

La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. 𝑦 =120(2)0.2𝑥

4. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. 𝑦 = −20𝑥 + 40

5. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o

más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas

6. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de

$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

7. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de Santa

Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y la segunda el número de familias vinculadas al proyecto.

8. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del

precio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I).

9. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por

𝐶(𝑥) =1

2𝑥2 + 5𝑥 + 800. Si la primera componente representa la cantidad de litros del

producto y la segunda el costo total de la producción.

Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota

𝑓: 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente.



Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman las variables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente.

De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser la madre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…, más 3 unidades”, etc. Ejercicios Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa una función?

1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera? 2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda? 3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera? 4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda? 5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anterior

no consecutivo? Problemas

1. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. Si producir 100 artículos cuesta US$980 y por cada cien unidades que se produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500 unidades

2. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en

$1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio.

3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000

unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas.

Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas sagital, como graficas cartesianas y por formulas.



4. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas

5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es

de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen el salario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, precio de cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Ejercicios

1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de familias

128 253 378 503 628 753 878 1003 1128

2. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículo Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208

3. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingresos (millones)

63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15

4. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso

Años de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fracción de artefactos que funcionan

0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.33

5. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de días que

lleva trabajando en una empresas de informática



Días 1 5 10 15 20 25 30 45 60 Número de Computadores

1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5

En forma de Diagramas Sagital o de Venn Euler son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. Ejercicios

1. 2.

f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, 4} El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} Si en una función el co-dominio es igual al recorrido se dice sobreyectiva

f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, -2} El Co-dominio de f {1, 4, 9} El Recorrido de f{1, 4, 9} f es sobreyectiva

3. 4.

A B f

1

2

3

4

1

4

9

16

A B f

1

4

9

16

1

2

3

A B f

1

2

3

-2

1

4

9

A B f

1

2

3

1

4

9

16



f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3} El Co-dominio de f {1, 4, 9,16} El Recorrido de f{1, 4, 9} f no es sobreyectiva

f no es una función porque hay un elemento A que no tiene imagen en B

5. 6.

f no es una función porque hay un elemento A que no tiene dos imágenes en B

f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1} Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constante

En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos.

Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la gráfica, esta no representa a una función.

f A B

1

4

16

1

2

-2

4

f A B

1

2

3

4

1



Es función No es función Es función

Es función No es función Es función

Inyectiva sobreyectiva Inyectiva

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica de una función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno y si la corta en más de un punto se llama sobreyectiva



Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas y trascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas

Polinomiales

Lineales 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

Cuadráticas 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 5𝑥 − 2

Polinomiales 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 − 4

Racionales 𝑓(𝑥) =2𝑥 − 5

𝑥2 − 5𝑥 + 6

Irracionales 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2

Por trozos, (por sección o por partes )

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5

6 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 5

Las trascendentes

Logarítmicas 𝑓(𝑥) = log2 𝑥

Exponenciales 𝑓(𝑥) = (1200)20.25𝑥

Trigonométricas 𝑓(𝑥) = cos (𝑥)

x

y

f(x)=x̂ 2, x>=0Si una función, como la que se muestra en la gráfica, una parábola donde se considera únicamente la parte positiva del dominio, es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva



Esquemáticamente

f f:A B

f-1

f -1 :B A

Para hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la función original, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funciones tienen inversa. Ejercicios Obtener la función inversa de cada función

1. y=4x + 1

Despejando 𝑥 =𝑦−1

4

Graficas

2. y=x2+1

Despejando 𝑥 = ±√𝑦 − 1

Gráficas

3. 𝑦 =𝑥+3

𝑥−2

Despejando 𝑥 =3+2𝑦

𝑦−1

Gráficas

4. 𝑦 = √𝑥 − 1 Despejando 𝑥 = 𝑦2 + 1 Gráficas

x

y

y=4x+1

x=(y-1)/4x

y

y=x̂ 2+1

x=(y-1)^(1/2)

Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la función x= g(y).

A B

x

y=f(x)

B A

y=f(x)

x



5. 𝑦 = 3𝑥 − 5 6. 𝑦 = 𝑥2 − 4

7. 𝑦 =4𝑥

5+𝑥 8. 𝑦 = √3 − 𝑥

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar es simétrica respecto al origen Ejercicios En cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ninguna de las anteriores

1. f(x)=x2 Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)

Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como f(x)=x2 (-1)2=(1)2 1 = 1 Por lo tanto f(x)=x2 es par

Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como f(x)=x2 (-1)2=-(1)2 1 = -1 Por lo tanto f(x)=x2 no es impar

Gráfica

x

yy=(x+3)/(x-2)

x=(3+2y)/(y-1)

x

y

y=(x-1)^(1/2)

x=y^2+1

x

yy = x^2

Funciones Pares e Impares Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).



2. 𝑓(𝑥) =1

𝑥

Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Hagamos x=1 entonces

f(-1)=f(1) como 𝑓(𝑥) =1

𝑥

(−1

1 )= (

1

1)

- 1 = 1

Por lo tanto 𝑓(𝑥) =1

𝑥 no es par

Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)

Hagamos x=1 entonces

f(-1)=-f(1) como 𝑓(𝑥) =1

𝑥

(−1

1 )= - (

1

1)

-1 = -1

Por lo tanto 𝑓(𝑥) =1

𝑥 es impar

Gráfica

3. 𝑓(𝑥) =1

1+𝑥2

4. f(x)=x3

5. f(x)=2x

6. f(x)=4x2-2x

Ejercicios Verificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar

1.

2.

x

y

x

y

y = 3x-x^3

x

y



3.

4.

Raíces e Interceptos

x

y

y = 4x^5+3x^3-2x

x

y

x

y

y = x^3-4x

Raices

x

y

y = x^3-6x+3

Intercepto

Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la

curva corta al eje de la ordenada (y)

Las raíces o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, gráficamente son los puntos donde la grafica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen raíces, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x".



Ejercicios Halle las raíces y los interceptos de cada función (si existen)

1. f(x) = x2-2x-3 Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces x1-3=0 por lo que x1 = 3 y x2+1=0 por lo que x2=-1 Por lo tanto la función tiene dos raíces que son x1 = 3 y x2=-1.

Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-3 Por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-3

Gráfica

2. f(x)=x(x3-1) Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando x3=1, x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-1

Gráfica

3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. 𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥−2 6. f(x)=Ln(x-1)

x

y

Raices

Interceptos

x

y

InterceptosRaiz



(-∞,-1) (1, ∞) (-1,1)

Función Creciente y Decreciente Una función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo,

tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del

intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y).

Función Acotada

Una función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todo x, f(x) ≤ b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotada inferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f(x) ≥ b. Al número b´ se le llama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente y inferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´≤ f(x) ≤ b



Acotada Superiormente Acotada inferiormente

Acotada No acotada

x

y(x,y) = (0,1)

Cota Superior

x

yy = x(x^3)

Cota Inferior

x

yy = 2^(1-x^2)

Cota Superior

Cota Inferior

x

yy = x(x^2-1)



Concavidad y Convexidad

Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Ejercicios Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

1. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥+1

Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero

2𝑥 + 1 = 0

x

y

Concava

x

y

Convexa

Una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Una función es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

DOMINIOS Y RANGOS Las funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no se especifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste en todos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales. En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los números reales excepto:

Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo. Valores que dan como resultado el logaritmo de un número menor o igual a

cero.



Despejamos x 2𝑥 = −1

𝑥 = −1

2

Si remplazamos x en la función original obtendremos

𝑓(𝑥) =1

0= ∄

Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [𝑓(𝑥) =1

2𝑥+1]=R-{−

1

2}

2. 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 1

Como la función se hace indeterminada si el radicando es menor que cero

4𝑥 − 1 < 0

Despejamos x 4𝑥 < 1

𝑥 <1

4

Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 1]=R-

(−∞,1

4)

3. 𝑓(𝑥) =1

√3−𝑥

Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero

3 − 𝑥 ≤ 0

Despejamos x 3 ≤ 𝑥 Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [𝑓(𝑥) =

1

√3−𝑥]=R-[−∞, 3]

1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2

2. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑋 3. 𝑓(𝑥) =1

𝑋−2

4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 5. 𝑓(𝑥) =1

𝑥+1 6. 𝑓(𝑥) =

1

√2−𝑥

7. 𝑓(𝑥) =9𝑥−9

2𝑥+7 8. 𝑓(𝑥) = √4𝑥 + 3 9. 𝑓(𝑥) =

2

𝑥2+𝑥−6

10. 𝑓(𝑥) =1+𝑥

𝑥3−5𝑥2−6𝑥 11. 𝑓(𝑥) =

x−4

√𝑥−4 12. 𝑓(𝑥) =

4x−x2

x2−x−2

13. 𝑓(𝑥) = √t − 13

14. 𝑓(𝑥) =𝑥√𝑥2−1

𝑥2−𝑥−12 15. 𝑓(𝑥) =

√𝑥−1

√2𝑥+3

16. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4 17. 𝑓(𝑥) =1

1−𝑥 18. 𝑓(𝑥) =

9𝑥+9

2𝑥+7



Ejercicios 1. Si f(x)= 3x + 1 entonces

a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8

2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces

a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0 b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2 d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2

3. Determine f(x + h) si

a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2

d. f(x) =1

𝑥−2 entonces f(x + h) =

1

(𝑥+ℎ)−2

e. Nótese que donde esta x se escribe x + h

4. Dado 𝑓(𝑥) encuentre 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ con h≠0, simplificando a su más mínima expresión

a. f(x)= 2x Remplazamos

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=2(𝑥 + ℎ) − 2𝑥

ℎ=2𝑥 + 2ℎ − 2𝑥

ℎ=2ℎ

ℎ= 2

b. f(x) = x2 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2

ℎ

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2

ℎ

Simplificado

Imagen de una Función Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=2𝑥ℎ + ℎ2

ℎ

Factorizando 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=ℎ(2𝑥 + ℎ)

ℎ

Simplificando 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= 2𝑥 + ℎ

Ejercicios 1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2) Ejercicios

Dado 𝑓(𝑥) encuentre 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ con h≠0, simplifique hasta su forma más simple

1. f(x) = x + 1 2. f(x) = 3x + 2 3. f(x) = 3x2 4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3 Problemas 1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de

C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares

, donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra? Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x)

C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210 Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares.



Para 100 unidades x=100

𝐶(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 + 1200 = 32 200 Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares.

2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-

talkies ensamblados por un trabajador promedio a 𝑡 horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. está dado por

𝑁(𝑡) = −𝑡3 + 6𝑡2 + 15𝑡 (0 ≤ t ≤ 4) ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?

3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dólares por

unidad se describe por medio de

𝑝 =100

√2𝑞 + 1

a. Determine el precio si se demandan 4 y 8. b. Compare los resultados ¿qué encuentra?

4. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por

𝑓(𝑡) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54 , donde 𝑓(𝑡) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004? ¿Qué encuentra?

5. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 𝑓(𝑡) = √10𝑡2 + 𝑡 + 236 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?

6. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 – 6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales) a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500 b. ¿Qué significa cada expresión?



c. Compare e intérprete los resultados 7. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las

partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de

8.

p

ppC

100

7300)(

Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados

8. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dada por

𝐶(𝑥) =75 000𝑥

100−𝑥 ( 0 ≤ 𝑥 ≤ 100)

a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución

9. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de

niveles de contaminación se determina mediante

𝐶 =285000

𝑝− 2850

Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación

Ejercicio Dados f(x) y g(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f g)(x), (f g)(x) 1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1

Algebra de Funciones Si f y g funciones se define: a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) d. Función cociente: f(x) g(x) = (f g)(x) e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]



f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = 2𝑥

3𝑥+1, si la expresión no es factorizable y/o simplificable

se deja indicada (f g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2

Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1

2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = 𝑥2

𝑥−1,

(f g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 - 2x + 1

Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x – 1

1. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 2 2. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 4 3. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 1 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2

5. f(x) = 1

𝑥 y g(x) = x+1 6. f(x) =

1

𝑥2+1 y g(x) =

1

𝑥2−1

7. 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) =2𝑥

4+𝑥2 8. 𝑓(𝑥) =

1

2−𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) =

𝑥

𝑥+1

Problemas 1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de

su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la

producción y la venta de x unidades.

Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando

G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000

La función ganancia sería b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué

encuentra?

G(x) = 150x - 15000



Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000

Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0

Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500

Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500.

2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g, donde 𝑟 = 𝑔(𝑞) = 40𝑞. El número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde

𝑞 = 𝑓(𝑚) =40𝑚 −𝑚2

4

Determine (g o f) ¿qué encuentra? 3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p

(en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor

Por dato Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p) La expresión del gasto del consumidor sería

b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dólares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000

A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30 dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor

4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son 𝑓(𝑡) dólares.

El número de productos fabricados en el instante 𝑡 es 𝑔(𝑡) ¿qué representa 𝑓(𝑡)/𝑔(𝑡)? 5. El número de acciones que tiene una persona está dado por 𝑓(𝑡). El precio de la acción

en el instante 𝑡 es 𝑔(𝑡) miles de pesos ¿qué representa la expresión 𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)

𝐺𝑐 = 10 000𝑝 – 10𝑝2



6. Un empresario posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restaurante en el instante 𝑡 es 𝑓(𝑡) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en el instante 𝑡 es 𝑔(𝑡) miles de pesos ¿qué representa la función 𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)

7. Los ingresos de una empresa están dados por 𝑓(𝑥) dólares, donde 𝑥 son los gastos de

publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidad por la empresa en el instante 𝑡 está dada por 𝑔(𝑡) dólares ¿Qué representa la función 𝑓 𝑔

8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se

define como:

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑥

Suponga que el costo total de una compañía se obtiene 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 4000 + 55𝑥 + 0,1𝑥2

a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades. ¿Qué

encuentra 9. Suponga que los beneficios obtenidos por la producción y la venta de 𝑥 unidades de

cierto producto en un día se determina por medio de 𝑃(𝑥) = 180𝑥 − 0.01𝑥2 − 200. Además el número de unidades producidas en el día t del mes es 𝑥 = 1000 + 10𝑡. Encuentre a. La función compuesta [(𝑃 𝑜 𝑥)](𝑡) b. Los beneficios obtenidos el día 15 del mes

10. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del

precio ésta dado por 𝐼 = 300𝑝 – 2𝑝2 y la función demanda es 𝑝 = 150 – 0.5𝑞. a. Encuentre la función compuesta (𝐼 𝑜 𝑝)(𝑞). b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades c. Compare los resultados que encuentra



GRÁFICA DE FUNCIONES Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (𝑎, 𝑏), donde la primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda. Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: 𝐴(−3,5), 𝐵(−1, −4), 𝐶(5, −1), 𝐷(4,3), 𝐸(0,−2), 𝐹(4,0) Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x ∈ A le corresponde precisamente un número real f(x) ∈ B. Esto se puede expresar también como parejas ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y). La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la función dada



La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Ejercicio Grafique cada función en el intervalo entero indicado 1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑒𝑛 [0,3] 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑒𝑛 [−3,3] 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 2 𝑒𝑛 [−6,2] 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 2 𝑒𝑛 [−2,2] 5. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 + 2 𝑒𝑛 [−1,3] 6. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 𝑒𝑛 [−3,2] 7. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 𝑒𝑛 [−4,4] 8. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥 𝑒𝑛 [−2,2] 9. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥3 𝑒𝑛 [−2,2]

10.𝑓(𝑥) =1

𝑥2−1 𝑒𝑛 [−4,4]

11.𝑓(𝑥) =2𝑥2

x+3 𝑒𝑛 [−2,6]

12.𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑒𝑛 [−1,3] 13.𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(2𝑥 + 1)2 𝑒𝑛 [1,4]

−1

2𝑥 + 3 Si x < 1

14.𝑗(𝑥) = 2x2 + 1 Si x ≥ 1

Grafica de una Función con Tecnología Con Excel 2007

1. Entre a Excel 2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más

valores digite podrá obtener un mejor gráfico. 4. En A2 digite la variable dependiente (y) 5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener

en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1. 6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio. 7. Seleccione el rango 8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea. 9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar

datos.



10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar.

11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulse Aceptar.

12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y escoja Hoja nueva.

13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja la opción de formato.

Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments 1. Pulse Ctrl + w (Y=) 2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH) Con en el Winplot El winplot es un software gratuito especializado en el gráfico de funciones. Puede descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente. Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú Ecua y

seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.

Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala

Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir

Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar ubicado en el área de gráfico.

Para cambiar de tamaño a la gráfica del menú archivo seleccione la opción tamaño de la imagen, digite el nuevo alto y ancho, y pulse Ok

Para copiar un gráfico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.

Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo

Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.

Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas y Ajuste

http://winplot.softonic.com/descargar



Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar las opciones escala Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione

Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar

Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar

Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear

Para graficar una función por parte digite el tramo de función, digite los limites (Xinf y Xsup), active la opción bloquear intervalo y pulse Ok



TALLER DE GRÁFICOS Responda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular 1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y

(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es 𝑦 = 36 − 0.15𝑥

a. ¿Cuál es el valor de de la propiedad a los 60 meses de uso?

b. ¿Cuál es el valor de de la propiedad los 10 años de uso?

c. ¿Cuántos años pasan para que

la propiedad se deprecie por completo? Explique

2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto

producto está dada por P(x)=60x – x2

a. ¿Cuál es la máxima productividad que se puede obtener?

b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? ¿qué decisión tomaría al respecto?

c. ¿Cuál es la máxima

cantidad de unidades que puede producir? Justifique su respuesta

x

y Valor(Millones de Pesos)

Meses

x

y

y = 60x-x^2

Utilidad

Unidades Producidas



3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3

a. ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades?

b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? De una explicación

c. ¿Cuál es el

máximo ingreso que se puede obtener?

d. ¿Cuál es la

máxima cantidad que se puede vender? Explique

4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un

examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos

conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por

P(t)=180+20e0.5t

1+e0.5t

x

y

(x,y) = (614,0)

Cantidad Vendida

Ingreso

Cantidad Vendida



a. A la semana ¿qué porcentaje de conocimiento recuerda?

b. ¿En cuántos meses recuerda el 40% del conocimiento?

c. Escriba 2

comentarios de la situación presentada

5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares está dado

por 𝑃 = 10 + 50 𝑙𝑛(3𝑥 + 1)

a. ¿cuál es el precio si se ofertan 10 unidades?

b. ¿Cuántas unidades se deben ofertar a un precio de $260 dólares?

c. Escriba 2

comentarios de la situación presentada

x

y

Semanas

Conocimientos Recoordados

Semanas

x

y

Unidades

Precio



6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según

y(x)=200x

x+10

a. ¿cuál es el

volumen de ventas si se invierten 10 mil dólares en publicidad?

b. ¿Cuánto se debe invertir en publicidad para obtener 150 mil dólares en venta?

c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada

x

y

Volumen de Ventas

Gastos de Publicidad (Miles de Dólares)



LA LÍNEA RECTA La forma simplificada de la ecuación de la recta es

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , donde b es la ordenada en el origen, coordenada donde la recta corta al eje de la ordenada es

decir (0,b) m se denomina la pendiente y es la tangente del ángulo de inclinación de la recta

respecto al eje la abscisa (x).

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2) está dada por:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

, esta ecuación se le conoce con el nombre de punto-punto, ya que requiere de dos puntos para su aplicación. Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada. La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (𝑥1, 𝑦1) es:



𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Esta ecuación se le conoce como la ecuación punto pendiente, ya que para aplicarla se requiere conocer un punto por donde pasa la recta y su pendiente La ecuación de la general de la recta está dada por:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ R Ejercicios 1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes

funciones: a. y = 2x + 1 b. y = -2x – 1 b. 3x + 4y = 12 c. 2x – 3y = 12

2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:

a. (2,1) y (3,-4) b. (3,2) y (-4,2) c. (3,4) y (3,-1)

3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que:

a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3 b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2 c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)



Posición Relativa de la Recta Respecto a otras rectas Paralelas: Dos o más rectas son paralelas si su pendientes son iguales, también

podemos decir que dos o más rectas son paralelas si nunca se intersecan Perpendiculares dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es

igual a -1, también se dice que si se cortan formando un ángulo recto (90°). Oblicuas Dos rectas son oblicuas si no son paralelas o perpendiculares o si tienen un

punto en común

x

y

Recta A

Recta B

x

y

Recta A

Recta B

x

y

Recta A

Recta B



Respecto a otras rectas Secante Es una recta que corta a una curva en dos puntos Tangente Es una recta que toca la curva en un punto Asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando

por lo menos una de las variables de los ejes tiende al infinito. La asíntotas se clasifican en verticales, horizontales y oblicuas

x

y

Secante

x

y

Tangente

x

y

Asintota Horizontal

Asintota Vertical

x

y

Asintota Oblicua

Asintota Vertical



Ejercicios 1. Dibuje en un plano cartesiano cada grupo de funciones e identifique la posición de

cada recta a. 𝑦 = 2𝑥 − 1 y 𝑦 = 2𝑥 + 3

b. 𝑦 =1

2𝑥 − 2 y 𝑦 = −2𝑥 + 1

c. 𝑦 = −3

2𝑥 − 3 y 𝑦 = 5 − 𝑥

d. 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 4 𝑒𝑛 [−2,2], 𝑦 = −𝑥 + 3 y 𝑦 = 2 + 𝑥

e. 𝑦 =𝑥+1

𝑥+3 𝑒𝑛 [−6,2], 𝑦 = 1

f. 𝑦 =2𝑥2

𝑥+3 𝑒𝑛 [−6,6], 𝑦 = 2𝑥 − 6

2. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna

de las anteriores: a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6 b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 8

3. Escriba la ecuación de la recta que:

a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.



FUNCIÓN LINEAL

En geometría y en álgebra básica, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se denota:

𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙+ 𝒃

, donde 𝑚 𝑦 𝑏 ∈ 𝑅 y x es una variable real.

La variable m es la pendiente de la recta, si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, además muestra el número de unidades que varía y por cada unidad que varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varía x y varia 10 unidades.

La constante b es el punto de corte de la recta con el eje, si se modifica, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo En economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir, su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamente como:

Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Es decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivel de producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan la pendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) la ordenada en el origen. Se pueden presentar las siguientes situaciones: Si m > 0: La función es creciente. m < 0: La función es decreciente. m = 0: La función es constante. Si m es indeterminada: no existe función. Problemas 1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un

precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades

a. Halle la pendiente ¿qué significa?



Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda), , es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

=4500 − 4000

4000 − 5000=

500

−1000= −

1

2

Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.

b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) , remplazando

𝑦 − 4000 = −1

2(𝑥 − 5000)

𝑦 − 4000 = −1

2𝑥 + 2500

𝑦 = −1

2𝑥 + 2500 + 4000

𝑦 = −1

2𝑥 + 6500

c. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados

d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa?

x

y

Precio

Unidades Demandadas



Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades

e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar?

Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían negativas Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así:

0 = −1

2𝑥 + 6500

, despejando

−6500 = −1

2𝑥

(−6500) ∗ (−2) = 𝑦 13000 = 𝑦 ó 𝑦 = 13000

f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda?

Aquí x=4500 remplazando en la ecuación

𝑦 = −1

2(4500) + 6500 = −2250 + 6500 = 4250

, a $4500 se demandarían 4250 unidades

g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando

5240 = −1

2𝑥 + 6500

, despejando

5240 − 6500 = −1

2𝑥

−1260 = −1

2𝑥

(−1260) ∗ (−2) = 𝑥 2520 = 𝑥 ó 𝑥 = 2520

, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520

2. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km.

recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine: a. La ecuación

Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos



Relacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos) como x, por datos Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500 Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800 Remplazando

y = 800x + 1500

a. ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros? Si x = 5 entonces,

y = 800(5) + 1500 y=4000+1500

y=5500 b. Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500

¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar? y = 7 900 entonces,

7900 = 800x + 1500 7900 - 1500= 800x

6400= 800x 6400

800=x

X=8

Con $7900 se puede desplazar 8 Km. 3. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólares

producir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos por semana. Suponiendo que la función es lineal determine:

a. La expresión que representa el costo en función del número de hornos Las variables que participan en el problema son el costo, que representaremos con la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si el costo está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de la forma (x, c) Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000). Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente:

𝑚 =𝑐2 − 𝑐1𝑥2 − 𝑥1

=12000 − 9000

1500 − 1000=3000

500= 6

Entonces 𝒎 = 𝟔



Remplazando en la ecuación 𝑐 − 𝑐1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) obtenemos: 𝑐 − 9000 = 6(𝑥 − 1000) 𝑐 = 6𝑥 − 6000 + 9000

Por lo tanto la expresión que representa la función es 𝒄 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝟎

b. Grafique la función

c. ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 y

significa que por cada horno que se incremente en la producción los costos se incrementan en 6 dólares.

d. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen es b=3000, significan los costos fijos

¿Cuánto cuesta producir 500 hornos? La función es

𝒄 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝟎 , donde x=500, remplazando

𝒄 = 𝟔(𝟓𝟎𝟎) + 𝟑𝟎𝟎𝟎 = 𝟔𝟎𝟎𝟎

Por lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólares

e. ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación 𝒄 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝟎

, c=15 000, remplazando 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 = 𝟔𝒙 𝒙 = 𝟐 𝟎𝟎𝟎

Co

sto

(c)

Número de Hornos (x)



Con 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos 4. Un vehículo cuyo avalúo comercial en el 2012 fue de $4.7 millones y en 2013, $4.3

millones. Suponiendo que la relación es lineal determine a. La expresión que permita calcular el avalúo del vehículo en 𝑡 años desde el 2012. b. ¿Cuál será el valor comercial del vehículo en el 2015? c. ¿Para qué año se pronostica el devalúo total del vehículo?

a. Las magnitudes son tiempo (t) y valor (V)

La relación es (t, V), porque el valor depende del tiempo Por datos (0,4.7) y (1,4.3) Calculamos la pendiente

𝑚 =𝑉2 − 𝑉1𝑡2 − 𝑡1

=4.3 − 4.7

1 − 0=−0.4

1

𝑚 = −0.4 Remplazando en 𝑉 − 𝑉1 = 𝑚(𝑡 − 𝑡1)

𝑉 − 4.7 = −0.4(𝑡 − 0) 𝑉 = −0.4𝑡 + 4.7

Por tanto la expresión que permita calcular el avalúo del vehículo en 𝑡 años desde el 2012 es 𝑉 = −0.4𝑡 + 4.7

b. 𝑉 =? Si t=3 (2015-2012), remplazando en 𝑉 = −0.4𝑡 + 4.7

𝑉 = −0.4(3) + 4.7 𝑉 = 3.5

El valor comercial del vehículo para el 2005 será de $3.5 millones

c. 𝑡 =? Si 𝑉 = 0, remplazando en 𝑉 = −0.4(3) + 4.7

0 = −0.4𝑡 + 4.7 0.4𝑡 = 4.7

𝑡 =4.7

0.4= 11.75

Dentro de 11.75 años el vehículo se devaluará por completo es decir 2012 + 11.75 =2023, por tanto en el año 2023 el vehículo estará devaluado por completo 4. El costo de fabricar 10 bolsas de papel al día es de $22 000, mientras fabricar 20 bolsas

del mismo tipo cuesta $38 000. suponiendo que el modelo de costo es lineal,

determine

a. La fórmula correspondiente que permita calcula el costo de producción de 𝑥 bolsas

de papel.

b. ¿Cuánto cuesta producir 100 bolsas y 50 bolsas? ¿Qué encuentra?



c. ¿Cuántas bolsas aproximadamente se alcanzarían a producir con una inversión de

$800 000?

5. El propietario de una pequeña empresa inicia el negocio con una deuda de $100 000.

Después de 5 años de operación acumula una utilidad de $40 000. Suponiendo que la función es lineal determine a. La ecuación. b. La utilidad a los 4 años de haber iniciado. c. El tiempo que debe pasar para obtener una utilidad de $152 000.

6. El editor de una revista descubre que si fija un precio de us$1 a su revista, vende

20000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio es de us$1.5 sus ventas serán de 15000 ejemplares. Suponiendo que la ecuación de la demanda es lineal determine a. La ecuación b. ¿Cuántos ejemplares venderá si fija el precio en us$1.2? c. ¿Cuál debe ser el precio si desea vender 25000 ejemplares?

7. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos.

La relación entre el costo del artículo y la producción genera una función lineal. En cierta empresa si se producen 350 artículos la producción de cada artículo cuesta $993 y si se producen 500 el costo es de $990. a. Halle la función costo b. ¿Cuánto cuesta producir 1000, 2700 y 125 artículos? c. ¿Qué encuentra?

8. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal que

relaciona las temperaturas. ¿cuántos °C equivalen 72°F y cuántos °𝐹 equivalen 38 °C? 9. Sea 𝑃(𝑥) la producción para cierto artículo y 𝑥 el dinero invertido. Si se invierten

$10.000 dólares se producen 92 artículos; si se invierten $50.500 se producen 497.

Suponiendo que la función línea,

1. Determine la ecuación de la función

2. ¿Cuántos artículos se producen si se invierten $ 8000 dólares?

10. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese la

temperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal.

11. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1 000 000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5 000. Si 𝑥 representa el número de lámparas producidas en un mes, determine:



a. La expresión que representa la función costo C(x) b. El costo de producir 100 y 200 lámparas. Compare los resultados ¿qué encuentra? c. El número de lámparas que se pueden producir con $1 500 000.

12. Un comerciante puede vender 20 máquinas eléctricas a un precio de 25 dólares cada

una, pero a un precio de 20 dólares vende 30. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación de la demanda b. Si decide incrementar el precio en 30 dólares ¿cuántas máquinas venderá? c. Si quisiera vender 40 unidades ¿cuál sería el precio?

13. Si se demanda una unidad a un precio de 13 dólares pero por cada dólar que disminuya

el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determine a. La ecuación de la demanda b. ¿cuál sería el precio si se demandan 5 unidades? c. ¿cuántas unidades máximas se pueden demandar?

14. Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecia

linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determine a. La ecuación de la depreciación b. ¿El valor del auto 5 años después de comprado? c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo?

15. El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de

distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación b. El precio de un viaje de 8 millas c. ¿Qué distancia se recorre con $25 000?

16. A un precio de $10 dólares por unidad una compañía proveerá 1 200 unidades de su

producto y a $15 dólares, 4 200. Suponiendo que la ecuación es lineal, determine a. La ecuación de la oferta b. En $20 dólares ¿cuántas unidades proveerá? c. Si se desea proveer 5 000 unidades ¿a cómo debe vender?

17. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación lineal total

en 15 años hallar a. La ecuación b. El valor de la máquina en 7 años



18. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación de la demanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dólares y a qué precio se demandarán 2000 unidades

19. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con un

valor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuál es el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para que la impresora se deprecia por completo?

20. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de

$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle el costo de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué encuentra?

21. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cada

unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares. a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particular

b. Suponiendo que la función es lineal, halle la ecuación de la función

c. ¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades?

d. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar?

e. Grafique la función

f. Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquela

en el mismo plano a la anterior

g. El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo,

¿Qué significa?

h. ¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta?

22. Una maquinaria de construcción se deprecia en el tiempo y su valor se obtiene mediante la expresión.

𝑣(𝑡) = 36 − 0.15𝑡 , donde 𝑣 es el valor de la maquinaria, en millones de pesos y 𝑡 el tiempo de uso en meses.

a. Grafique la función. b. Calcule el valor de la maquinaria a los 60 meses y, a los 10 años de uso. c. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo?

Explique.



23. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en miles de dólares) de hombres y mujeres respectivamente. a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función?

Interprete la pendiente como tasa de cambio. b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿qué

pronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres?

24. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el número de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válido hasta 1998. Encuentre 𝑃(7), 𝑃(8) 𝑦 𝑃(9) y piense en lo que significa.

25. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo total

C(x)=17x+ 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x. a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras? b. Grafique la función ganancia c. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades?

26. Un productor puede vender 200 unidades de un artículo al mes a un precio de 15 U.M.

y 300 unidades a un precio de 10 U.M. Asumiendo que existe una relación lineal entre ellas, determine a. La demanda 𝑞 mensual en función del precio b. ¿Cuántas unidades se demandan a un precio de 25 U.M.? c. ¿A qué precio se demandan 250 unidades?

27. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal del número h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m3 de agua al mes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mes a. Determine la función lineal b. ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses? c. Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantes

como máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua?

28. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevó de $59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función es lineal a. Determine la ecuación del costo (𝑐) respecto al número de años (𝑡) desde 1990. b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010



29. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una función lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme N aumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), el precio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la recta determinada por esta información.

30. El gerente de una fábrica de motos observa que producir 30 unidades genera un costo de 27022 dólares y la producción de 40, 33030 dólares. Suponiendo que la relación es lineal determine a. La expresión que calcule el costo de producción. b. ¿En cuánto varía el costo al producir una moto más? c. ¿Cuánto cuesta producir 50 motos? d. ¿Cuántas motos se pueden producir con una inversión de 50000 dólares?

31. Un taxi nuevo cuesta 80 millones de pesos y para depreciarse totalmente debe

recorrer 800 mil kilómetros. Suponiendo que la relación es lineal.

a. Determinar la expresión que permite calcular el valor contable de un taxi cuando

a recorrido 𝑥 kilómetros.

b. Calcular el valor del vehículo cuando ha recorrido 600 mil kilómetros.

32. La siguiente tabla muestra la información de inversión en publicidad y las utilidades

(en millones de pesos) de cierta empresa durante los años 2015 y 2016

Año Inversión en Publicidad

Utilidad Obtenida

2015 150 4 000 2016 350 7 500

, se solicita determinar: a. La expresión que permita calcular la utilidad 𝑦 para una inversión en publicidad 𝑥 b. Calcular la utilidad para el 2017 si la inversión en publicidad proyectada es de 500

millones de pesos ( 𝑥 = 500) c. ¿Cuál debería ser la inversión en publicidad si se proyecta una utilidad de 13 625

millones de pesos (𝑦 = 13625)



Modelación de Función Lineal 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola

en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de familias

128 253 378 503 628 753 878 1003 1128

a. Escriba una ecuación lineal de la situación. b. Grafique la función c. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el 2010? d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familias

vinculadas al proyecto? 2. Debido al costo de la materia prima una fábrica se vio precisada en aumentar el precio

de sus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de las ventas con respecto al precio

Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208

Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación. a. Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000. b. Pronostique a qué precio no venderá nada



FUNCIÓN CUADRÁTICA La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma

𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, , donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 y 𝑎 ≠ 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. Si 𝑎 > 0, la parábola abre hacia arriba (convexa) y si 𝑎 < 0, abre hacia abajo (cóncava). Su dominio son todos los reales y el rango depende de 𝑎 así: Si 𝑎 > 0 el rango es [𝑦, ∞) y si 𝑎 < 0 es (−∞, 𝑦] donde 𝑦 es valor óptimo.

La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta otra línea. La ecuación del eje de simetría es

x

yy = -x^2+2x+1

a < 0

x=-b/2a

f(-b/2a)

V(-b/2a, f(-b/2a))

Máximo Relativo

Eje de Simetría

Valor óptimo

x

yy = x^2+2x-1

a > 0

x=-b/2a

Eje de Simetría

Valor óptimof(-b/2a)

V(-b/2a, f(-b/2a))

Mínimo Relativo



a

bx

2

El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en

a

bx

2 y es:

𝑦 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎) ó 𝑦 = 𝑐 −

𝑏2

4𝑎

El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en

Las raíces son los valores para los cuales 𝑓(𝑥) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen

a

acbbx

2

42

Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones a. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice b. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario

tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría.

El intercepto es el punto donde la curva corta al eje de la ordenada es decir donde 𝑥 = 0

Ejercicio De la función 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 6 halle las raíces (si existen), el intercepto, el dominio, el rango y grafíquela Para hallar las raíces hacemos y=0,

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 Factorizando

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 Es decir

(𝑥 − 3) = 0 entonces 𝑥 = 3 ó (𝑥 + 2) = 0 entonces x = −2 Por lo tanto las raíces son o los puntos donde la curva corta al eje de la abscisa son: 𝑥1 =−2 𝑦 𝑥2 = 3

a

bf

a

bV

2,

2



Para hallar el intercepto hacemos 𝑥 = 0, es decir 𝑦 = (0)2 − (0) − 6 = −6

Por lo tanto el intercepto o el punto donde la curva corta a la ordenada es el punto 𝑦 =−6 Por ser una función polinómica su dominio son todos los reales. Como 𝑎 > 0, el rango es de la forma [𝑦, ∞), hallamos 𝑦

𝑦 = 𝑐 −𝑏2

4𝑎

, donde 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 𝑦 𝑐 = −6, remplazando

𝑦 = −6 −(−1)2

4(1)= −6 −

1

4= −6.25

, entonces el rango es [−6.25,∞) La grafica es Ejercicio Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función.

1.y=x2 + 4x + 4 2.y=x2 - 6x + 4 3.y=x2 – 4 4.y = 2x2 +18x

x

yy = x^2-x-6

Raiz 1 Raiz 2

Intercepto



5.y=x - x2 6.y = -2x2 + 16 7.y = -x2 + 5x - 4 8.y= x2 − 8x + 15

9.y= x2 − 3x − 28 10.𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1 11.𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 12.𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 4

13.𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 − 2 14.𝑦 = −3𝑥2 + 6𝑥 − 4 15.𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 16.𝑦 = 3 − 𝑥 − 3𝑥2

Ejercicio 1. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5)

La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Ec 1)

Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazando cada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de 3x3, que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así: Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1) 8 = a(1)2 + b(1) + c 8 = a + b + c (Ec2) Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) 20 = a(3)2 + b(3) + c 20 = 9a + 3b + c (Ec3) Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c 5 = 4a - 2b + c (Ec4) Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5) Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a – b – c 12 = 8a + 2b Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6) Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a – b – c -3 = 3a - 3b Factorizando: -1 = a – b (Ec7) Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b -1 = a – b 5 = 5a Despejando a=1



Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b Despejando y resolviendo b=2 Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c Despejando y resolviendo c=5

Remplazando en (Ec1) la ecuación sería: Ejercicios Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados:

(1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0) (-1,1), (0,-1), (1,3)

Problemas Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x

dólares en publicidad del producto, y y = 50x – x2

a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa?

Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x=-b

2a

Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0 Remplazando:

x=-b

2a=-

50

2(-1)=-50

-2=25

Remplazando en la función original:

y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625 Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades y se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidad

b. Halle los interceptos ¿qué significa?

Remplazamos a, b y c en la ecuación general

x = -b±√b2-4ac

2a = -50±√502-4(-1)(0)

2(-1) = -50±√502

-2=-50±50

-2

, encontramos 2 raíces

y = x2 + 2x + 5



x1 = -50+50

-2 = 0 y x2 =

-50-50

-2 = -100

-2 = 50

Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando se invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad

c. Grafique la función

2. La función demanda para cierto producto está dada por 𝑝 = 200 − 5𝑞, donde 𝑝 es el

precio (en miles de pesos) por unidad cuando se demandan 𝑞 unidades. Si el ingreso total es el producto del precio por la demanda, determine: a. El número de unidades que maximiza el ingreso. b. El ingreso máximo. c. La máxima cantidad de unidades que se pueden demandar ¿por qué? d. Grafique la función

3. La utilidad que se obtiene de cierto producto si el precio de venta es de $𝑝 se puede

modelar por

𝑈 = −20𝑝2 + 1400𝑝 − 12000, miles de pesos a. Halle el valor óptimo ¿qué significa?

b. Halle las raíces (si existen) ¿cuáles tienen sentido para el problema? ¿qué

significan?

c. Utilice el winplot para graficar la función.

4. La función costo de un fabricante es 𝐶 (𝑥) = 1000 + 5𝑥 – 0.1 𝑥² dólares, cuando se

producen x unidades de cierto producto al día.

x

y

(25,625)

Publicidad

Unidades



a. Halle el valor óptimo ¿qué significa?

b. Grafique la función

5. Los ingresos mensuales de cierta fábrica de llantas se pueden calcular mediante la

expresión 𝐹(𝑥) = 2𝑥2 − 100𝑥 − 20

, donde x es el número de unidades vendidas en el mes y f(x) está dado en miles de

pesos. a. Determine el ingreso mensual si se venden 50 unidades. ¿Qué encuentra? b. Determine el ingreso mensual si se venden 60 unidades. ¿Qué encuentra? c. ¿Cuántas llantas se debe vender para que los ingresos sean de 180 miles de pesos? d. Grafique la función e. Interprete la gráfica

6. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina

fotocopiadora son de 𝑅(𝑥) = −0.04𝑥2 + 2000𝑥

, pesos por semana a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. ¿Cuántas copias debe vender para obtener ingresos de 20000 pesos por

semana? c. Determine los interceptos ¿qué significan? d. Grafique la función

7. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto

producto está dada por 𝑃(𝑥) = 60𝑥 − 𝑥2

a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. Grafique la función c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener una utilidad de 40

millones de pesos 8. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada por:

𝑃 = 0.125𝑥2 − 0.5𝑥 + 15 , donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares. Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo, ¿qué significa?

9. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender x

unidades de cámaras modelo M1 es:



𝑃(𝑥) = −0.04𝑥2 + 240𝑥 − 10000

, dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o mínimo y que significa.

10. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada

por 𝑔(𝑥) = 180𝑥 + 0.01𝑥2 − 200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función.

11. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de

producción diaria es 𝐶(𝑞) = 0.2𝑞2 + 𝑞 + 900 ¿Qué cantidad de unidades maximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la función.

12. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente 𝑞(𝑡) = 𝑡2 +

100𝑡 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es la máxima producción posible? Grafique la función.

13. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de

1001.016 2 xxP dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible?

14. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es 2004.080 2 xxP ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible?

15. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto está dada por:

𝑃(𝑥) = 90𝑥 − 200 − 𝑥2 , determine: a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría) b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?) c. Grafique la función

16. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por:

𝑈(𝑥) = 130 + 80𝑥 − 𝑥2 , millones de pesos , determine a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función



17. La rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión 𝑥, en millones de pesos viene dada por

𝑓(𝑥) = −0.002𝑥2 + 0.8𝑥 − 5 a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función

18. Una tienda de deporte estima que si se fija el precio de venta para un balón de futbol

en 𝑝 U.M. la cantidad demandada será 𝑞 = 40(22 − 𝑝) balones al mes. a. ¿Qué precio deberá fijarse al consumidor a fin de obtener la máxima utilidad? b. ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener? c. Grafique la función

19. La función oferta para un producto está dada por la ecuación 𝑓(𝑝) = 3𝑝2 − 4200,

donde 𝑓(𝑝) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine. a. El eje de simetría b. El valor óptimo ¿qué significa? c. Los interceptos ¿qué significa? d. Grafique la función. e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100?

20. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus

productos depende del precio. La función que describe esta relación es 𝑞 = 1500 −50𝑝, donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q. a. Escriba la expresión que representa el ingreso b. El eje de simetría c. El valor óptimo ¿qué significa? d. Los interceptos ¿qué significa? e. Grafique la función. f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10.

21. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad,

𝑅(𝑥) en miles de pesos, viene dada en función de la cantidad que se invierta, 𝑥 en miles de pesos, por medio de la siguiente expresión:

𝑅(𝑥) = −0.001𝑥2 + 0.5𝑥 + 2.5 Determine: a. El eje de simetría ¿qué significa? b. El valor óptimo ¿qué significa? c. Los interceptos (si existen) ¿qué significa?



d. Grafique la función e. Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en

dicho plan. Modelación de Función Cuadrática 1. Sabemos que la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 tiene un máximo en el punto (3,8), halle los

valores de “a” y “b” 2. Se estima que la cantidad de desperdicios echados a un río es una función cuadrática

del tiempo. Si se tiraron 11.5 ton en un periodo de 5 días, y 20.8 ton después de 8 días, hallar la cantidad tirada en t días.

3. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años

seleccionados

a. Encuentre la ecuación b. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre el

ingreso mínimo. c. Compruebe los datos contra los datos de la tabla d. Trace la gráfica

4. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresa

para varios años

a. Encuentre las ecuaciones: b. De ingreso por venta con respecto al número de años c. De costos y gastos con respecto al número de años d. Use la función para: e. Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima que se

pronostica

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingresos (millones)

63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingreso

x venta

2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7

Costos y

gastos

2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9



f. Trace la gráfica de la función Costos y Gastos g. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes o

decrecientes? Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 1 3. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥



FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS

Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función. En la Economía... Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. Problemas 1. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo total ( en dólares por

unidad) está dado por

𝐶 = 2𝑞3 − 36𝑞2 + 210𝑞 − 200 , donde 2 ≤ q ≤ 10 a. Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidades

b. Interprete los resultados

2. Un empresa fabrica mesas para computador y determina que el costo total (en miles

de pesos), cuando se producen que cientos de unidades está dada por

𝐶(𝑞) = 2𝑞³ − 9𝑞² + 12 𝑞 + 20

a. Calcule el costo de producir 100 (q=1), 300 (q=3) y 500 (q=5) unidades ¿qué

encuentra?

b. Grafique la función en el intervalo [0,5]



Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividad después de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función

4. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número

de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es

𝑦 = 70𝑡 + 1

2𝑡2 − 𝑡3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8

La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n-ésimo grado.



Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función

5. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta productora

de discos, está dado por 𝐶(𝑥) = 1 500 + 3𝑥 + 𝑥3, Calcule 𝐶(100), ¿qué significa? 6. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos

en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión

𝑦 = 3𝑥 + 8𝑥2 − 𝑥3 a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m. b. Compare los resultados que encuentra

7. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto está

dado por 𝑅(𝑥) = 70𝑥 + 0.5𝑥2 – 0.001𝑥3

, donde x son las unidades vendidas. a. Calcule el ingreso por la venta de 614 y 615 unidades b. Compare los resultados ¿qué encuentra?

8. La función costo de un artículo es 𝐶(𝑥) = 84000 + 0.16𝑥 – 0.6𝑥2 + 0.003𝑥3

a. Calcule 𝐶(100) ¿Qué significa? b. Calcule 𝐶(200) ¿Qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

9. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es

C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a. Calcule el costo de producir 1000 jeans. b. Calcule el costo de producir 2000 jeans. c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

10.La función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para una

empresa, está dada por

C(x)= 300x-10x2- 𝑥3

3

a. Calcule el valor de producir 100 unidades b. Calcule el costo de producir 200 unidades c. Compare los resultados ¿qué encuentra?



FUNCIÓN EXPONENCIAL

Consideremos la gráfica de la función 𝑦 = 2𝑥, que modela el crecimiento de diversas aplicaciones Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es 𝑦 = 𝑒𝑥, donde ℮ es un número irracional fijo (aproximadamente 2.71828…). Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula 𝑆 = 𝑃𝑒𝑟𝑡, donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años. El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse. Las funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎−𝑥 y 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑘𝑥 representan funciones de decaimiento exponencial. Ejercicios

Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en 3 decimales)

Si 𝑎 es un número real talque 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, entonces la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑓(𝑥) es una función exponencial

𝑆𝑖 𝑎 > 1 𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 1



100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3

e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2 Problemas 1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r

(expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será

𝐵(𝑡) = 𝑝(1 +𝑟

𝑘)𝑘𝑡

Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿Qué encuentra?

2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será

𝐵(𝑡) = 𝑃𝑒𝑟𝑡 Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente

3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%. Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué encuentra?

4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual de

𝑚 =𝑃𝑖

1 − (1 + 𝑖)−𝑁

, donde i es el pago del interés por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que

i=0.06

12 ).

5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de

interés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse mensualmente para amortizar la deuda?



6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente,

entonces el valor futuro de la inversión después de x años está dado por 𝑆 =10000(1.00512𝑥). Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años.

7. El porcentaje de personas que repondieron a un comercial televisivo para un nuevo producto después de t días después del lanzamiento, se encuentra con la expresión

𝑅 = 70 − 100𝑒−0.2𝑡 a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 días después

del lanzamiento del comercial. b. ¿Cuántos días deben pasar para que responda el 50% de las personas

8. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la

fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente 𝑓(𝑡) = 𝑒−0.12𝑡

a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año? b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los

artefactos?

9. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras domesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada por D(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0) Grafique la función y responda

a. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año? b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.

10. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) después

de t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula 𝑃 = 30 000𝑒−0.04𝑡

Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años

11. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para los años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de

𝑁 = 276𝑒0.1351𝑡 Donde t es el número de años que han pasado desde 1975. a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990 b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuos

llegará a 20 000.



12. Una organización de investigación de mercado afirma que si una compañía gasta x millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función

𝑃 = 40𝑥2𝑒−0.5𝑥 , donde P se expresa en millones de pesos.

a. ¿Cuál será la utilidad cuándo se gasta 2 millones (x=2), 4 millones (x=4) y 6 millones (x=6)?

b. Compare los resultados ¿qué encuentra?



FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

log𝑎 𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑎𝑏 = 𝑥

Donde a Є R, a > 0 y a ≠ 1, a se denomina base del sistema de logaritmos.

, que se lee: "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .

Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.

Propiedades

log𝑎 1 = 0 log𝑎 𝑎 = 1 log𝑎 𝑎𝑥 = 1

𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 log𝑎(𝑈. 𝑉) = log𝑎 𝑈 + log𝑎 𝑉 log𝑎

𝑈

𝑉= log𝑎 𝑈 − log𝑎 𝑉

log𝑎(𝑈𝑛) = 𝑛 log𝑎 𝑈

log𝑎( √𝑈𝑛

) =1

𝑛log𝑎 𝑈

ln(𝑒) = 1

𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥 𝑒ln (𝑥) = 𝑥

Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el número 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el número e. Se escriben loge x = ln x

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.



Ejercicios Escriba cada ecuación en forma exponencial

𝑙𝑜𝑔2 16 = 4

𝑙𝑜𝑔3 81 = 4

log4 2 =1

2 log3

1

9= −2

𝑙𝑜𝑔3 27 = 3

𝑙𝑜𝑔3 243 = 5 log8 2 =

1

3 log16

1

4= −

1

2

Ejercicio Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log2 𝑥 = 3 log4 𝑥 = −2

log8 𝑥 = −1

3 log25 𝑥 = −

1

2

log3 𝑥 = 4 log5 𝑥 = 3 log25 𝑥 =

1

2 log25 𝑥 =

1

2

Ejercicio Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmica

25

53

4−1 = 1

4

√9 = 3

√814

= 3

1

√643

√1

16

Ejercicio Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes

log𝑎𝑥

𝑥 + 𝑦 𝐿𝑛 (𝑥 + 𝑦)(4𝑥 + 5)

log7( 𝑥√𝑥 + 4

3) 𝑙𝑛

𝑥2

√𝑥 + 4

𝐿𝑛 𝑥 + 𝑦

𝑦

ln(2𝑥 + 1)(𝑥 − 5) ln 𝑥3√𝑥 + 4 ln

𝑥2

√𝑥 − 33

Ejercicio Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 2x – 1= 5 2.𝑒2𝑥 = 3 3. 3𝑒1−𝑥 = 7



4. log(3𝑥 + 2) = log (2𝑥 + 5) 5.5(3x+2) – 1 = 14 6. ln(−𝑥) = ln (𝑥2 − 6)

7. log(7) − log(𝑥 − 1) = log (4) 8.𝑒2𝑥𝑒5𝑥 = 𝑒14 9. 2𝑒2𝑥+2 = 17

10. 4𝑥/2 = 20 11.72𝑥+3 = 343 12. 2(10)𝑥 + 10𝑥+1 = 4

13. 4𝑥+1

2𝑥+2= 128

14.5(3𝑥 − 6) = 10 15. 4(10)0.2𝑥

5= 3

16. 𝐿𝑛(2𝑥 − 1) = 3 17. 𝐿𝑛(𝑥2) − 𝐿𝑛(3 − 2𝑥) = 0

Ejercicio Use la calculadora para determinar

ln √4 . 6 ln√56

23

1

2(ln 4 + ln 6)

1

2ln 56 − ln 23

ln √8

5

3

1

3ln 8 − ln 5

ln 34

17

5

2 ln 2

3

2ln(12)−ln (15) ln

√1728

15

ln 12√20 ln 12 +

1

2ln 20

1

2(ln 6 − ln 4)

𝑙𝑛 (√3

2)

ln 4

17

15 + 20𝑙𝑛[5 × 2 − 1]



Función Logarítmica Son de la forma:

𝑦 = log𝑎 𝑥, si 𝑎 > 1, la función es creciente y si 0 < 𝑎 < 1 es decreciente 𝑦 = ln (𝑥), si 𝑥 > 1, la función es creciente y si 0 < 𝑥 < 1 es decreciente

Gráfica

Problemas 1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es

𝑥 = 5000 − 1000𝐿𝑛(𝑝 + 40)

, donde se demandan 𝑥 unidades cuando el precio unitario es de 𝑝 dólares. Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólares Si 𝑝 =5,

x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8) x= 5000-3806.66=1193.33

Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidades Si 𝑝 =10

x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91) x= 5000-3912.02=1087.97

Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades. Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadas disminuyen de 1193 a 1088.



2. La ecuación de demanda de un producto es

𝑞 =60

𝑝+ 𝐿𝑛(65 − 𝑝3)

, donde 𝑞 es la cantidad y 𝑝 el precio por unidad, calcule la demanda para 𝑝 = 2 𝑦 𝑝 =4 ¿qué encuentra?

3. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas x es

𝐶 = 0.003𝑥2 − 0.216 ln(𝑥) + 5 a. Determine el costo promedio de realizar la tarea con 3, 6 y 9 personas. b. Compare los resultados ¿qué encuentra?

4. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de un producto está dada por

𝑦 = 200 ln(400

500 − 𝑥)

Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades, compare los resultados que encuentra.

a. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólares semanales en publicidad.

5. Digamos que la función demanda para un producto está dada por

𝑝 =100

ln (𝑞 + 1)

a. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29,4?

6. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

𝐶(𝑥) = 1500 + 200 𝑙𝑛(2𝑥 + 1) , donde x es el número de unidades producidas a.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades? b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares?

7. El ingreso total en dólares por la venta de 𝑥 unidades de un producto está dado por



𝑅(𝑥) = 2 500𝑥

ln (10𝑥+10)

Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado

8. Suponga que la oferta de 𝑥 unidades de un producto a un precio p de dólares está dado por 𝑃 = 10 + 50 𝑙𝑛(3𝑥 + 1).

a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares

9. La función demanda de un producto está dada por p = 4 000

ln(𝑥+10) donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?

10. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicó un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuación D satisface la formula 𝐷 = 80 – 12𝐿𝑛(𝑥 + 1), donde 𝑥 es el tiempo en meses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos?

11. El costo total de producir q cajas de cierto producto está dado por

𝐶 = 3𝑞2 + 50𝑞 − 18𝑞𝐿𝑛(𝑞) + 120

, determine el costo de producir 10 y 20 unidades ¿qué encuentra?

12. La ecuación de oferta de un fabricante es

𝑝 = 𝑙𝑜𝑔 (10 +𝑞

2)

, donde 𝑞 es el número de unidades ofrecidas con el precio 𝑝 por unidad ¿cuál será el precio si se ofertan 100 unidades?

13. Una compañía manufacturera encuentra que el costo de producir 𝑥 unidades por hora está dado por la fórmula

𝐶 = 5 + 10log (1 + 2𝑥)

Calcule: El costo extra por aumentar de 10 a 15 unidades por hora.

14. La ecuación de demanda para cierto producto está dada por



𝑝 = 15𝑒−0.001𝑞 , donde 𝑝 es el precio por unidad en miles de pesos y 𝑞 las unidades demandadas. Calcular a. El precio si se demandan 500 unidades R/9.09 miles de pesos b. ¿Cuántas unidades se demandan si el precio es de 5 mil pesos?

R/Aproximadamente 1099 unidades

15. La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelar por T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura al momento de servirlo? ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomado T=120 °F?

16. Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden en t horas está dado por 𝑓(𝑡) = 1 − 𝑒−0.003𝑡 ¿Qué fracción de bombillos se fundirán las primeras 48 horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos?

17. La eficiencia de un obrero común de un fábrica está determinada mediante la función

𝑓(𝑡) = 100 – 60𝑒-0.2t, donde el obrero puede completar 𝑓(𝑡) unidades por día después de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajador nuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día?

18. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de

𝑆 = 50000𝑒−0.1𝑥 , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña

publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.

19. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usando estas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con la ecuación

𝑦 = 4155𝑒0.0242𝑥 Donde x es el número años transcurridos desde 1990. a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes.

Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique la población de 1990.

b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008?

20. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la expresión



𝑉 = 15000𝑒−0.6286𝑡, 0 ≤ t ≤ 10 Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debe

pasar para que un objeto disminuya su valor a $10000

21. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de computadora después de t años de uso sea

𝑃(𝑡) = 100(1 − 𝑒−0.1𝑡) Grafique la función y responda lo siguiente a. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 años b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos.

Modelación de las Funciones Exponenciales 1. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, las ventas

de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habían bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine

a. La expresión que representa la función

La función es de la forma 𝑥 = 𝑥0𝑒

𝑘𝑡, donde x es el número de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad.

Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k, , por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando

14000 = 30000𝑒𝑘(1) 14000

30000= 𝑒𝑘

0.46 = 𝑒𝑘 ln(0.46) = ln(𝑒𝑘)

−0.776 = 𝑘 ln(𝑒 )

Por lo tanto 𝒌 = −𝟎. 𝟕𝟕𝟔 Es decir que la función es de la forma 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟕𝟕𝟔𝒕



Grafique la función

b. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando

𝒙 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟕𝟕𝟔(𝟏𝟐) = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟗.𝟑𝟏𝟐 = 𝟐. 𝟕𝟏 En un año venderá aproximadamente 3 ejemplares

c. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando

300 = 30000𝑒−0.776𝑡 300

30000= 𝑒−0.776𝑡

0.01 = 𝑒−0.776𝑡 𝑙𝑛(0.01) = 𝑙𝑛(𝑒−0.776𝑡) −4.605 = −0.776𝑡

Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300 ejemplares.

2. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $

100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000? Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es: 𝑝 = 𝑝0𝑒

𝑘𝑡 (Ec1) , donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos hallar así Remplazando

165 = 100𝑒𝑘(10) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 1.65 = 𝑒10𝑘 , aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

ln(1.65) = ln 𝑒10𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 0.5 = 10𝑘

x

yN

um

ero d

e E

jem

pla

res (

x)

Tiempo (meses)



, entonces k=0.05 Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 𝑝 = 100𝑒0.05𝑡 Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando

𝑝 = 100𝑒0.05(20)𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝 ≅ 272 Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones

3. Los sicólogos en ocasiones usan la función

𝐿 = 𝐴(1 − 𝑒−𝑘𝑡)

, para medir la cantidad L de palabras aprendida en el tiempo t. El número A representa la cantidad que debe aprenderse y k mide la tasa de aprendizaje. Suponga que un estudiante debe aprenderse una cantidad A de 200 palabras de un vocabulario. Un sicólogo determina que el estudiante aprendió 20 palabras en 5 minutos. a. Determine la tasa de aprendizaje k b. ¿Aproximadamente cuántas palabras aprenderá en 10 minutos? c. ¿Cuánto tiempo toma aprender 180 palabras?

4. El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional de comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008?

5. Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Su valor

actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuye en forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuál será el valor de la maquinaria en cuatro años

6. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110 517

en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población, calcule la población en el 2015.

7. La presión atmosférica como función de ℎ está dada por la fórmula 𝑃(ℎ) = 𝑐𝑒𝑘ℎ donde 𝑐 y 𝑘 son constante, ℎ es la altura y 𝑃(ℎ) es la presión en función de la altura. Si en el barómetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 1000 pies.

8. El azúcar se descompone en el agua según la fórmula 𝐴(𝑡) = 𝑐𝑒−𝑘𝑡 donde 𝑐 y 𝑘 son

constante. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 10 kilos e 4 horas ¿cuánto tardará en descomponerse el 95% del azúcar.



Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones:

𝑓(𝑥) = 4x f(x) = 2(x3)

f(x) = 3-2x

f(x)= e-x

f(x) = 50(1+e10x)

f(x)=100

1+𝑒−𝑥 f(x)=14.1 ln(x) f(x)=ln (x-3) f(x)=

ln(𝑥)

ln (2) f(x)=

100

ln (𝑥+1)



FUNCIÓN COCIENTE o RACIONAL

Problemas 1. Una persona comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que

calcula el número de computadores que ensambla, en función del tiempo, viene dada por:

𝑓(𝑡) =6𝑡

𝑡 + 5

, donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de computadores que ensambla. a. Grafique la función

b. ¿Cuántos computadores ensamblará el primer día? ¿Cuántos computadores ensamblará al mes?

Para t=1,

𝑓(1) =6(1)

(1) + 5=6

6= 1

El primer día ensamblará 1 computador Para t=30 (un mes)

𝑓(30) =6(30)

(30) + 5=180

35= 5.14

En un mes ensamblará aproximadamente 5 computadores.

c. ¿Cuántos días tardará para ensamblar 3 computadores?

x

y

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), es otra función definida donde g no puede ser igual a 0 por que tendríamos una

indeterminación.



Aquí f(t)=3

3 =6𝑡

𝑡 + 5

3(𝑡 + 5) = 6𝑡 3𝑡 + 15 = 6𝑡 15 = 3𝑡 𝑡 = 5

Por lo tanto en 5 días está ensamblando 3 computadores

2. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

𝑝 =200 + 300𝑥

1 + 𝑥

Determine el número de libras de durazno p de buena calidad si el árbol se rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida. Grafique, utilice un software para graficar funciones.

3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez

más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será

𝑝(𝑥) = 40 +30

𝑥+1 , dólares

Determine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un año después de haber salido al mercado. Compare los resultados ¿qué encuentra? Grafique, utilice un software para graficar funciones.

4. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la

función

𝑝 =100 + 10𝑥

400 − 𝑥

, donde x son las unidades demandadas. a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidades b. Compare los resultados que encuentra c. Grafique, utilice un software para graficar la función.

5. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de

dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera:

𝑆(𝑥) =𝑥2 + 40𝑥 + 36

4𝑥



Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitación. Compare los resultados ¿qué encuentra? Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según

𝑦(𝑥) =200𝑥

𝑥+10 , 𝑥 ≥ 10

a. Calcule las ventas si se invierten 10 y 20 mil dólares en publicidad ¿se duplican las

ventas? b. ¿Cuál debe ser la inversión en publicidad si se desea obtener una venta de 100 mil

dólares? c. Grafique, utilice un software para graficar funciones.

7. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es

𝑁 =50 000𝑡 + 3 000

𝑡 + 1

a. Calcule la población en 5 y 10 años ¿se duplica la población? b. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población llegue a 40 000 habitantes? c. Grafique, utilice un software para graficar funciones.

8. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo

para ensamblar una unidad de un producto está dado por

𝑀 =40 + 30𝑡

2𝑡 + 1

, donde t es el número de días en el trabajo. c. ¿Cuántos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un mes

laborando? d. Cuánto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamble

sea de 15 minutos e. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

9. Se ha estimado que la demanda 𝑞, de gasolina en una región en función del precio 𝑝 es

𝑞 =54 000

1+2𝑝 , miles de litros por mes

a. Calcule la demanda cuando el precio es de 10 U.M. y 8 U.M.

b. Compare los resultados ¿Qué encuentra?



FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS

Ejercicios Dadas las funciones

Determine: a. j(-1)

Inicialmente debemos ubicar el rango donde está el valor de la variable independiente x, para el caso particular el valor está ubicado en el primer rango, j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3

+ 1 = 1 + 1 = 2 b. j(0)

El valor x=0 está ubicado en el segundo rango

j(0)=3 + 0= 3 c. j(-2)

El valor x=-2 está ubicado en el primer rango

j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 = 0 + 1 = 1

x

y

y=x+3

y=(x+2 )^ 3 +1

(x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1, rango 1 1. j(x) = 3 + x Si x > -1, rango 2

Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable “x”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.



Determine a. f(3)

El valor x=3 está ubicado en el segundo rango f(3)=3 – 2 = 1

b. f(1) El valor x=1 está ubicado en el primer rango

f(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3 c. f(2)

El valor x=2 está ubicado en el segundo rango

f(2)=2 – 2 = 0

Gráfica

3. 𝑗(𝑥) = {𝑥2 + 1 𝑆𝑖 𝑥 ≤ 0

√𝒙 𝑥 > 0 4. 𝑗(𝑥) = {

−1

2𝑥 + 1 𝑆𝑖 𝑥 < 2

√𝑥 − 2 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 2

Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)

5. 𝑗(𝑥) = {−1

2𝑥 + 3 𝑆𝑖 𝑥 < 1

2𝑥2 + 1 Si x ≥ 1 6. 𝑗(𝑥) = {

−𝑥2 + 3 𝑆𝑖 𝑥 ≤ −1𝑥2 − 1 𝑆𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 2−𝑥 + 4 𝑆𝑖 𝑥 > 2

Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-2), j(-1),j(2) y j(3)

Problemas 1. El índice de contaminación atmosférica C en cierta ciudad varia durante el día de la

siguiente manera: 2 + 4t Si 0 ≤ t < 2 6 + 2t Si 2 ≤ t < 4 C(t)= 14 Si 4 ≤ t < 12

x

y

y=4 -x^ 2

y=x-2

4 – x2 Si x < 2, rango 1

2. f(x) = x – 2 Si x ≥ 2, rango 2



50 – 3t Si 12 ≤ t < 16 , donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m. a. Represente gráficamente la función dada.

b. En una tabla indique cuales son los niveles de contaminación a las 7:00 a.m., a

las 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m. Hora Tiempo (t) Nivel de contaminación C(t) 7:00 a.m. 1 C(1)=2+4(1)=6 8:00 a.m. 2 C(2)=6+2(2)=10 12:00 m 5 C(5)=14 4:00 p.m. 10 C(10)=14 8:00 p.m. 14 C(14)=50-3(14)=8

c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

2. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a

0.80x Si 0 < x ≤ 50 C(x)= 0.70x Si 50 < x ≤ 200 0.65x Si x > 200

, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y 200 kilogramos Si x=50, por datos está ubicado en el primer rango,

C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40 , el envío de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dólares Si x=200, por datos está ubicado en el segundo rango,

C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140

x

y

C (t)=2 +4 t

C (t)=6 +2 t

C (t)=1 4

C (t)=5 0 -3 t

H O RAS

NIV

EL

DE

CO

NT

AM

INA

CIÓ

N



, el envío de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dólares A mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviar mayor carga.

Gráfica

3. El precio 𝑝 de oferta de cierto producto, cuando se venden 𝑥 unidades esta dado por:

𝑝 =

{

3.2 +

𝑥

2000, 0 ≤ 𝑥 ≤ 6000

3 +𝑥

5000, 6000 < 𝑥 ≤ 8000

2.8 +𝑥

7000, 𝑥 > 8000 }

Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden: a. 2000 unidades

Observe que las x=2000 unidades estarían ubicadas en el 1 rango,

𝑝 = 3.2 + 2000

2000= 3.2 + 1 = 4.2

, es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sería 3.3 mil de pesos b. 7000 unidades

Para este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando

𝑝 = 3 + 7000

5000= 3 + 1.4 = 4.4

, es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sería 4.4 mil de pesos

x

y

C(x)=0.8x

C(x)=0.7x

C(x)=0.65x

CO

STO

( D

ólar

es)

PESO (KG)



c. 14 000 unidades Acá x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando

𝑝 = 2.8 + 14000

7000= 2.8 + 2 = 4.8

, es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sería 4.8 mil de pesos

4. La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguas negras esta dada por la función

130 si 0 ≤ t ≤ 1 -30t + 160 si 1 < t ≤ 2

𝑓(𝑡)= 100 si 2 < t ≤ 4 -5t2 +25t + 80 si 4 < t ≤ 6

1.25t2 – 26.25t + 162.5 si 6< t ≤ 10

Donde 𝑓(𝑡) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a 1989. a. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 y en

el 2000? Para hallar la cantidad de desechos sólidos que se descargan en un año específico se cuenta el número de años que han pasado desde 1989 hasta dicho año. Para 1991 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1991-1989=2 , es decir t=2, estaría ubicada en el segundo rango, remplazando

f(2)=-30(2)+160=-60+160=100 , indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/día de desechos sólidos

x

y

PR

EC

IO (

Mil

lon

es

de

Pe

sos)

UNIDADES OFERTADAS

3.2+X/20003+X/5000 2.8+X/7000



Para 1995 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1995-1989=6 , es decir t=6, estaría ubicada en el cuarto rango, remplazando

-5t2 +25t + 80 f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50

, indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/día de desechos sólidos Para 2000 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 2000-1989=11 , es decir t=11, está fuera de rango, es decir no aplica para este problema

5. Cierta compañía de telefonía celular líquida el pago mensual de sus usuarios de

acuerdo a la siguiente tabla

20 + 1.5𝑥 𝑆𝑖 𝑥 ≤ 50 -55+2x 𝑆𝑖 50 < 𝑥 ≤ 100 𝑐(𝑥) = -115+2.5x 𝑆𝑖 100 < 𝑥 ≤ 500 -555+3x 𝑥 > 500

, donde 𝑥 es el número de minutos de llamadas al mes. Calcule el pago para clientes que consumen 50, 80, 400 y 600 minutos, grafique la función

6. Cierta compañía de envío de mercados líquida los envíos de acuerdo a

120x+1200 Si 0.01 ≤ x ≤ 20 200x+1700 Si 20 < x ≤ 30

x

y

f(t)=-30x+160

f(t)=100

f(t)=130

f(t)=-5t^2+25t+80

f(t)=1.25t^2-26.5t+162.5

CA

NT

IDA

D D

E D

ESE

CH

OS

(Ton

elad

as/d

ía)

AÑOS ( t=0, 1989)



C(x)= 250x+2200 Si 30 < x ≤ 50 280x+2700 Si 50 < x

, donde C(x) se da en dólares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20, 45, 30 y 60 gramos

7. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la

función

10 + 0.094x Si 0≤ x ≤ 100 𝐶(𝑥 ) = 19.4 + 0.075(x – 100) Si 100 < x ≤ 500 49.40 + 0.05(x-500) Si x > 500 Calcule el cargo mensual si se consumen:

a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora 8. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de

dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función

𝑃(𝑡) = {1.965𝑡 – 5.65 𝑆𝑖 5 t 20

0.095𝑡2 – 2.925𝑡 + 54.15 𝑆𝑖 20 < t 40

Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto

para los programas de educación en 1980 y el 2007.

9. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función:

7.52 + 0.1079x si 0x5 19.22 + 0.1079x si 5<x750 C(x) = 20.795 + 0.1058x si 750<x1500 131.345 + 0.0321x si x>1500

Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos. a. a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh

10. La edad promedio (en años) de la población de Estados Unidos de 1900 a 2000 está

dada aproximadamente por la función 1.3t + 22.9 Si 0 ≤ t ≤ 3 f(t)= -0.7t2 +7.2t + 11.5 Si 3 < t ≤ 7

2.6t + 9.4 Si 7 < t ≤ 10



, donde t se mide en décadas y t=0 corresponde a 1900. ¿Cuál era la edad promedio de la población de Estados Unidos al inicio de 1900? ¿Al principio de 1950? ¿Principio de 1900?

11. De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud,

f(t) (como porcentaje de sus ingresos), en el año t, donde t=0 corresponde a 1977, está dado por

2

7𝑡 + 12 Si 0 ≤ t ≤ 7

f(t)= t + 7 Si 7 < t ≤ 10

3

5𝑡 + 11 Si 10 < t < 20

Determine el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 1982 y 1992. ¿Hasta qué año es aplicable el modelo?

12. El costo salarial de producir lana en una fábrica vallisoletana típica es:

𝐶𝑉 =3𝑞 −

1

4𝑞2 𝑞 ≤ 5

1

2𝑞 +

1

4𝑞2 𝑞 > 5

, donde 𝑞 son las toneladas producidas. a. Determine el costo salarial de produción de 2 toneladas, 5 toneladas y 8 toneladas. b. Grafique la función

http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/amaroto/pdfs/ej_tema4micro.pdf

13. Durante una jornada laboral (8 a,m. a 5 p.m.) el número de llamadas telefónicas por minutos que pasan por un conmutador varía de acuerdo con la fórmula:

𝑓(𝑡) =

{

5𝑡 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 12𝑡 + 9 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑡 < 46𝑡 𝑠𝑖 4 ≤ 𝑡 < 5

3𝑡 + 6 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑡 < 827 − 3𝑡 𝑠𝑖 8 ≤ 𝑡 < 9

, donde 𝑡 es el tiempo en horas, medido a partir de las 8:00 a.m. ¿Cuántas llamadas se reciben a las? a. 10 a.m. b. 12 m c. 4 p.m.




FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica va a estar siempre por encima del eje de la abscisa o, a lo sumo, tocándolo.

El valor absoluto de un número es la distancia de cualquier punto 𝑥 al origen. El valor absoluto de un número 𝑥 se denota |𝑥|

|𝑥| = 𝑥 , para x ≥ 0

Pero el valor absoluto de un número negativo es positivo

|𝑥| = −𝑥 , para x < 0

Se puede escribir una función 𝑦 = |𝑥| usando una función por pate o por trozos

x si x≥0

|𝑥| =

-x si x<0

La gráfica que genera una función 𝑦 = |𝑥| es

Ejercicios: Resolver cada función

a. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

𝑥 − 3 = 0, entonces 𝑥 = 3

Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

x

yy = abs(x)

La función de valor absoluto tiene por ecuación

f(x) =y= |x|

, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

3

+ --



Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante.

-(x-3) si x < 3

𝑓(𝑥) =

(x-3) si x ≥ 30

b. 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces 2𝑥 − 4 = 0 , entonces 𝑥 = 2 Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.


-(2x - 4) si x < 2

𝑓(𝑥) =

2x - 4 si x ≥ 2

c. 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 5𝑥 + 4| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0

, factorizando (𝑥 − 4)(𝑥 − 1) es decir 𝑥1 − 4 = 0, 𝑥1 = 4 y 𝑥1 − 1 = 0, 𝑥1 = 1 Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.


𝑥2 − 5𝑥 + 4 si x ≤ 1

𝑓(𝑥) = −(𝑥2 − 5𝑥 + 4) si 1<x<4

𝑥2 − 5𝑥 + 4 si x ≥ 4

d. 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e. 𝑓(𝑥) = |3𝑥 − 6| f. 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 4|

g. 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 2𝑥 − 3|

2

+ --

+ --

1 4

+



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas básicas son

Características Gráfica

Seno: Abreviado sen Raíz de la palabra del latín sinus

(hueco, cavidad, bahía). Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] El período de la función seno es 2

π. La función y =sen(x) es impar, ya

que sen(-x)=-sen (x), para todo x en IR.

La gráfica de y=sen(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. Para todo número entero n.

El valor máximo de sen(x) es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función.

f(x)=sen(x)

Coseno: Abreviado cos Es el complemento del seno Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] Es una función periódica, y su

período es 2 π.

f(x)=cos(x)

𝜋/2 𝜋 3𝜋/2 2𝜋

1

1

1

1

𝜋/2 𝜋 3𝜋/2 2𝜋

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.



La función y=cos(x) es par, ya que cos(-x)=cos (x), para todo x en IR.

La gráfica de y=cos(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =(π/2) + nπ, para todo número entero n.

El valor máximo de cos(x) es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cos(x) es 1.

Tangente: Abreviada tan o tg Línea o superficie] que se toca en

un punto sin cortarse La función tangente es una

función periódica, y su período es π.

La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan(x).

La gráfica de y=tan(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π , para todo número entero n.

f(x)=tan(x)

Cotangente: Abreviada cot o ctg Es la razón inversa de la tangente Dominio: IR –{n π, n∈ Z} Recorrido: IR Impar: cot(−x) = −cot(x)

f(x)=cot(x)

Secante: Del latín secare (cortar), recta

que corta a una circunferencia en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta

f(x)=sec

𝜋/2 3𝜋/2 2𝜋 𝜋

3𝜋/2 𝜋 𝜋/2 2𝜋



adquiere el nombre de recta tangente.

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto

La función secante. Abreviada sec Es la razón inversa de la función

coseno Dominio: IR –{(2n+1)(π/2), n∈

Z} Recorrido: (−∞,−𝟏] ∪ [𝟏,∞) Período:2𝜋rad Par: sec(-x) = sec(x). Cosecante Abreviada csc Es la razón inversa del seno Dominio: IR –{nπ, n∈ Z} Recorrido:(−∞,−𝟏] ∪ [𝟏,∞) Período: 2𝜋 rad Impar: csc(-x) = -csc (x)

f(x)=csc(x)

Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.



INCREMENTO Y TASAS

Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 – x1 se denomina incremento de x y se denota Δx . Usamos la letra griega Δ para denotar el cambio o incremento de cualquier variable. Es decir

𝜟𝒙 = 𝒙𝟐 – 𝒙𝟏 Si y es una variable que depende de x tal que y=f(x) esta definida para todo valor de x entre x1 y x2, cuando x=x1, y1=f(x1), de manera similar si x=x2, y2=f(x2), así el incremento de y es

𝜟𝒚 = 𝒚𝟐 – 𝒚𝟏 , entonces

𝜟𝒚 = 𝒇(𝒙𝟐) – 𝒇(𝒙𝟏) Problemas 1. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por

C=0.001x3-0.3x2+40x+1000 Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60. Debemos calcular ΔC= C2- C1 Hallamos C1, hacemos x=50

C1=0.001(50)3-0.3(50)2+40(50)+1000

C1=125-750+2000+1000=2350

Hallamos C2, hacemos x=60

C2=0.001(60)3-0.3(60)2+40(60)+1000

C2=216-1080+2400+1000=2536

El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en variables dependientes cuando hay variaciones en variables independientes. Por ejemplo

El cambio del costo de operación que resulta de cada unidad adicional producida

El cambio en la demanda de cierto artículo si se incrementa o disminuye el precio unitario de este.

El cambio del producto nacional bruto de un país con cada año que pasa



Remplazando en: ΔC= C2- C1 = 2536 -2350 = 186 Si las unidades se incrementan de 50 a 60 el costo de producción se incrementa en 186 Unidades monetarias

2. La venta semanal S (en dólares) de un producto se obtiene por medio de 𝑆 = 50000𝑒−0.1𝑥

, donde x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar la venta si el número de semanas se incrementa de 2 a 3. Debemos calcular ΔS= S2- S1

Calculamos S1 haciendo x=2, remplazando 𝑆2 = 50000𝑒−0.1(2) = 50000𝑒−0.2 = 50000(0.81) = 4093.65

Calculamos S2 haciendo x=3, remplazando

𝑆2 = 50000𝑒−0.1(3) = 50000𝑒−0.3 = 50000(0.74) = 3704.0.9 Remplazando en ΔS= S2- S1 = 3704.0.9 − 4093.65 = −389.56 El signo negativo indica que pasar de la 2 a la 3 semana las ventas disminuyen en 389.56 dólares.

Sean los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) de la función y=f(x), el incremento Δx es igual a la distancia horizontal de P a Q y el incremento Δy la distancia vertical

Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1, para x2, x2 = x1 + Δx remplazando x2 en la definición de Δy, obtenemos

Δy

Δx

P(x1,y1)

y=f(x) y

x

0

y1

y2

x1 x2

Q(x2,y2)

Δy< 0 y2

y1

x2 x1 y=f(x)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

Δx > 0 x

y



Δy=f(x1 + Δx) – f(x1) Ejercicios Determine los incrementos de cada función 1. f(x)=2x + 7 ; Si x=3 y Δx=0.2

Remplazando en Δy=f(x1 + Δx) – f(x1)

Δy=f(3 + 0.2) – f(3)=f(3.2)-f(3)=[2(3.2)+7)]-[2(3)+7] Δy=(6.4+7)-(6+7)=13.4-13

Δy=0.4

Es decir que un incremento de x en 0.2 genera un incremento en y de 0.4

2. 𝒈(𝒙) =𝟑𝒙𝟐−𝟗

𝒙−𝟑; 𝒙 = 𝟐 𝒚 ∆𝒙 = 𝟎. 𝟓

Remplazando en ∆𝒈 =f(x1 + Δx) – f(x1)

∆𝒈 =f(2 + 0.5) – f(2)=f(2.5)-f(2)

∆𝒈 =𝟑(𝟐. 𝟓)𝟐 + 𝟏

𝟐. 𝟓−𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟏

𝟐=𝟏𝟗. 𝟕𝟓

𝟐. 𝟓−𝟏𝟑

𝟐=𝟕

𝟓

∆𝒈 = 𝟏. 𝟒

Es decir que cuando el incremento de de x es de 0.5 𝒈 se incrementa en 1.4 La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x + Δx se define como la razón 𝛥𝑦/ 𝛥𝑥. Por tanto la tasa de cambio promedio de y respecto a x es

∆𝒚

∆𝒙=𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)

∆𝒙

Ejercicios Calcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado 1. 𝑓(𝑥) = 3 − 7𝑥; 𝑥 = 2, ∆𝑥 = 0.5

Remplazando en ∆𝑦

∆𝑥=𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

∆𝑦

∆𝑥=𝑓(2 + 0.5) − 𝑓(2)

0.5=𝑓(2.5) − 𝑓(2)

0.5

∆𝑦

∆𝑥=−14.5 − 11

0.5=−25.5

0.5

∆𝑦

∆𝑥= −5.1



Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a x cuando x=2 y su incremento 0.5 es igual a -5.1

2. 𝒇(𝒕) = √𝟒 + 𝒕; 𝒕 = 𝟓, ∆𝒕 = 𝟏. 𝟐𝟒 Remplazando en

∆𝑓

∆𝑡=𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)

∆𝑡

∆𝒇

∆𝒕=𝒇(𝟓 + 𝟏. 𝟐𝟒) − 𝒇(𝟓)

𝟏. 𝟐𝟒=𝒇(𝟔. 𝟐𝟒) − 𝒇(𝟓)

𝟏. 𝟐𝟒

∆𝒇

∆𝒕=𝒇(𝟓 + 𝟏. 𝟐𝟒) − 𝒇(𝟓)

𝟏. 𝟐𝟒=𝒇(𝟔. 𝟐𝟒) − 𝒇(𝟓)

𝟏. 𝟐𝟒

∆𝒇

∆𝒕=𝟑. 𝟐 − 𝟑

𝟏. 𝟐𝟒=𝟎. 𝟐

𝟏. 𝟐𝟒

∆𝒇

∆𝒕= 𝟎. 𝟏𝟔

Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a t cuando t=5 y su incremento 1.24 es igual a 0.16 Problemas 1. El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía está dado por la función

𝑰(𝒕) = −𝟎. 𝟐𝒕𝟑 + 𝟑𝒕 + 𝟏𝟎𝟎, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟎) , donde t=0 corresponde a 1991. Calcular la tasa de cambio promedio del IPC entre 1992 y 1993. Inicialmente debemos hallar ∆𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 Para 1992, t=1 y en el 1993 t=2 es decir que 𝒕 + ∆𝒕 = 𝟐 y ∆𝒕 = 𝟏 Remplazando en

∆𝐼

∆𝑡=𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)

∆𝑡

∆𝐼

∆𝑡=𝐼(2) − 𝐼(1)

∆𝑡=104.4 − 102.8

1= 1.6

Es decir que la tasa de cambio del índice de precios al consumidor entre 1992 y 1993 tuvieron una tasa de cambio promedio de 1.6

2. Cuando el precio (en dólares) de cierto producto es igual a p, el número de artículos

que pueden venderse por semana (demanda) está dado por



𝒙 =𝟏𝟎𝟎𝟎

√𝒑 + 𝟏

Determine la tasa de cambio promedio de la demanda si el precio se incrementa de 4 a 6.25 Debemos hallar

∆𝑥

∆𝑝=𝑓(𝑝 + ∆p) − 𝑓(p)

∆p

, donde 𝑝 + ∆p = 6.25 y ∆p = 6.25 − 4 = 2.25, remplazando

∆𝑥

∆𝑝=𝑓(6.25) − 𝑓(4)

2.25=285.71 − 333.33

2.25

∆𝑥

∆𝑝=−47.61

2.25= −21

Es decir que las unidades demandadas disminuyen en 21 unidades cuando el precio se incrementa de 4 a 6.25 dólares.

3. Sea la función

𝑓(𝑥) =3𝑥 − 6

𝑥 + 2

, que representa los beneficios expresados en millones de pesos que obtiene una determinada empresa, siendo 𝑥 los años de vida de la misma. Determine la tasa de variación de los beneficios entre el quinto y décimo año de vida de la empresa

4. El propietario de una maquinaria para la construcción la deprecia de acuerdo con 𝑦 = 36 − 0.1𝑥

, donde 𝑦 es el valor de la maquinaria (en millones de pesos) después de 𝑥 meses de uso. Calcular la tasa de variación media del valor de la maquinaría después de 5 a 10 años de uso. Interprete el resultado.

5. El ingreso total (en dólares) por la venta de 𝑞 unidades de cierto producto se modela con

𝑅 = 250𝑞 + 45𝑞2 − 𝑞3 Determine la tasa de variación del ingreso si la venta disminuye de 50 a 25 unidades. Interprete el resultado. R/-750

6. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es 𝐶(𝑥) = 5000 + 10𝑥 + 0.05𝑥2



Determinar la tasa de cambio del costo de producción el número de unidades producidas se incrementa de 50 a 100 unidades. Interprete el resultado.

7. La relación entre la cantidad de dinero x que se invierte en publicidad por una compañía y sus ventas totales S(x) está dada por la función

S(x)=-0.002x3+0.6x2+x+500 (0≤x≤200) , donde x se da en miles de dólares. Halle la tasa de cambio promedio de las ventas si la publicidad se incrementa de 100 000 (x=100) a 150 000 (x=150) dólares. Interprete el resultado.

8. El costo total de fabricar 𝑞 unidades de cierto producto está dado por 𝑐(𝑞) = 0.2𝑞2 + 𝑞 + 900

Calcular la tasa de variación media cuando se produce de 100 a200 unidades. Interprete el resultado. R/61 U.M.

9. Un análisis de producción diaria de una empresa muestra que en promedio, el número de unidades producidas por hora después de 𝑡 horas de labores es

𝑦 = 70𝑡 +1

2𝑡2 − 𝑡3

Calcular e interpretar la tasa de variación media entre las 4 y 8 horas de labores.

10.Las ventas en 𝑦 (en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad de acuerdo con

𝑦 =200𝑥

𝑥 + 10

Calcular e interpretar la tasa media cuando la inversión en publicidad disminuye de 10 a 5 mil dólares.

11. La demanda de cierto producto está dada por

𝑝 =5000

𝑞 + 1

, donde 𝑝 es el precio por unidad cuando se demandan 𝑞 unidades. Calcular e interpretar la tasa de variación media del precio cuando la demanda disminuye de 50 a 30 unidades.

12. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio

depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula



𝑝 =200 + 300𝑥

1 + 𝑥

Determine la tasa de cambio promedio del número de libras de durazno de buena calidad si la cantidad de insecticida se incrementa de de 0 a 3 libras. Interprete el resultado.

13. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera:

𝑆 = 𝑆(𝑥) =9

𝑥+ 10 +

𝑥

4 , x ≥ 4

Determine la tasa de cambio promedio de las ventas mensuales de un vendedor nuevo si las horas de capacitación se incrementan de 10 a 15. Interprete el resultado.

14. Se ha estimado que la demanda 𝑞, de gasolina en una región en función del precio 𝑝

es

𝑞 =54 000

1+2𝑝 , miles de litros por mes

Calcule la tasa de variación media de la demanda cuando el precio disminuye de 10

a 8 U.M.

15. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

𝑝 =200 000

(𝑞 + 1)2

Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas se incrementan de 40 a 50 unidades. Interprete el resultado.

16. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad

se describe por medio de

𝑝 =100

√2𝑞 + 1

Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas disminuyen de 12 a 6. Interprete el resultado.

17. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo


𝑀 =40 + 30𝑡

2𝑡 + 1



, donde t es el número de días en el trabajo. Determine la tasa de cambio promedio del promedio por minutos que requiere un empleado para ensamblar una unidad cuando lleva 15 días de haber ingresado al trabajo. Interprete el resultado.

18. Suponga que la demanda de un producto se define mediante

𝑝 =200 000

𝑞2 + 2𝑞 + 1

Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Determine la tasa de cambio promedio del precio cuando las unidades solicitadas se incrementan de 100 a 200. Interprete el resultado.

19. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por

𝑦(𝑝) =32

(𝑝 + 8)25⁄

, donde p es precio unitario en dólares. Determine la tasa de cambio del volumen de ventas si el precio disminuye de 11 a 10 dólares por unidad. Interprete el resultado.

20. El costo promedio de fabricar cierto artículo es

𝐶̅ = 5 +48

𝑥+ 3𝑥2

, donde x es el número de artículos producidos. Determine la tasa de cambio promedio del costo cuando se fabrican entre 10 y 20 artículos. Interprete el resultado.

21. La gráfica siguiente describe las utilidades, en millones de pesos, de una empresa durante 10 años consecutivos

Calcule e interprete las tasas de variación de la función en los intervalos a. [0,1] b. [1,5] c. [6,7]

x

y

Utilidades

(Millo

nes

de p

eso

s)

Años



d. [0,10]

22. La función de costos de una empresa viene de terminada por la función 𝐶(𝑡) = 3𝑡2 − 2𝑡 + 1

, donde t indica el número de años desde la creación de la empresa. Si la empresa se creó en el año 1985, determina ¿Cuál ha sido la tasa de variación del el costo de la empresa desde 1995 hasta el año 2008?



LIMITE

Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se tiene que analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la idea de límite (Técnicas de Aproximación) x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximos a -2

x -3 -2.5 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.8 -1.5 -1 f(x) -6 -5.5 -5.2 -5.1 -4.9 -4.8 -4.5 -4

Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a c excepto quizás a c, entonces: Se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”. El limite L existe si podemos hacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de x suficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito L cuando x tiende a c decimos que no existe el limite Ejercicio Calcule por tabulación a donde tiende cada función cuando 𝑥 toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde la función se hace indeterminada

𝑓(𝑥) =𝑥3 − 27

𝑥 − 3 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 2𝑥 − 3

𝑥 + 3 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑥 + 2

Si f(x)= x2-x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3 x + 2 x + 2

Lim f(x) = L x c

¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidad límite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable. A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeños números de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, se convierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas instantáneas.



𝑓(𝑥) =𝑥2 + 2𝑥 − 3

𝑥 − 1 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥 + 3 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 12

𝑥 + 4

𝑓(𝑥) =𝑥2 + 2𝑥 − 3

𝑥 − 3 𝑓(𝑥) =

𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥 − 3 𝑓(𝑥) =

𝑥2 − 25

𝑥 + 5

Ejercicio 1. La siguiente gráfica representa la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 , obtenga el límite de

𝑓(𝑥) cuando 𝑥 toma valores cercanos a: cero, 2 y 4

2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x)

cuando x toma valores próximos a 1 y a 0

x

yy = -x^2+4x



3. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 0

Límites Laterales Limite por la derecha: Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x c, aunque x > c. Limite por la izquierda Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x c, aunque x < c. Consideraciones Especiales El límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c, cuando existe 𝐿𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 cuando 𝑥 → 𝑐, el valor de la función en c puede ser: Igual al límite, Indefinido o definido pero diferente al límite. Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real) Propiedades de los Límites

𝑆𝑖 𝑘 ∈ ℝ, lim𝑥→𝐶

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim𝑥→𝐶

𝑔(𝑥) = 𝑀

Lim f(x) = L x c+

Lim f(x) = M x c-



Lim k = k x c-

,M ≠ 0

𝐿𝑖𝑚√𝑓(𝑥) = √𝐿𝑖𝑚(𝑓(𝑥) x c x c

Ejercicios 20 Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límites existentes

lim𝑥→−35

(34 + 𝑥) lim𝑥→−1

(4𝑥3 − 2𝑥2 + 2) lim𝑥→3 2⁄

4𝑥2 − 9

2𝑥 + 3

lim𝑥→2

2𝑥2

𝑥2 + 6𝑥 − 4 lim

𝑥→3

𝑥√𝑥2 + 16

2𝑥 − √2𝑥 + 3

limy→-1

y3-2y2+3y -4

lim𝑥→−3

𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥2 + 2𝑥 − 3 lim

𝑥→3

4 + √𝑥2 + 7

3𝑥 + 1 lim

𝑥→−−1

2𝑥2 − 𝑥 − 3

𝑥 − 1

Limites Indeterminados

Ejercicios 21 Calcule cada límite si existe

1. lim𝑥→1

6𝑥2+12𝑥−18

2𝑥−2

Sustituyendo directamente

lim𝑥→1

6𝑥2 + 12𝑥 − 18

2𝑥 − 2=6(1)2 + 12(1) − 18

2(1) − 2=6 + 12 − 18

2 − 2=0

0= ∞

Como es indeterminada tenemos que buscar una expresión equivalente a ver si tiene solución. Factorizamos

Lim [f(x) ± g(x)] = L + M x c

Lim [f(x) . g(x)] = L . M x c

Lim f(x) = L x c g(x) M

Lim x = c x c

Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tiene

la forma 0

0 en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción para

encontrar una función equivalente en la cual exista el límite.

Si Lim f(x) ≠ 0 y Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonceslim𝑥−𝑐

𝑓(𝑥)

lim𝑥−𝑐

𝑔(𝑥) no existe. En este

caso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c.



lim𝑥→1

6𝑥2 + 12𝑥 − 18

2𝑥 − 2= lim

𝑥→1

6(𝑥2 + 2𝑥 − 3)

2(𝑥 − 1)= lim

𝑥→1

3(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

𝑥 − 1

lim𝑥→1

3(𝑥 + 3)

Por tanto

lim𝑥→1

6𝑥2 + 12𝑥 − 18

2𝑥 − 2= lim

𝑥→13(𝑥 + 3)

Sustituyendo lim𝑥→1

3(𝑥 + 3) = 3(1 + 3) = 12

2. lim𝑥→−3

√𝑥+6−√3

𝑥+3

Sustituyendo en forma directa

lim𝑥→−3

√𝑥 + 6 − √3

𝑥 + 3=√−3 + 6 − √3

−3 + 3=√3 − √3

0=0

0= ∞

Como es indeterminada tenemos que buscar una expresión equivalente a ver si tiene solución. Aplicamos conjugada

√𝑥 + 6 − √3

𝑥 + 3×√𝑥 + 6 + √3

√𝑥 + 6 + √3=

𝑥 + 6 − 3

(𝑥 + 3)(√𝑥 + 6 + √3)=

𝑥 + 3

(𝑥 + 3)(√𝑥 + 6 + √3)

√𝑥 + 6 − √3

𝑥 + 3=

1

√𝑥 + 6 + √3

Es decir

lim𝑥→−3

√𝑥 + 6 − √3

𝑥 + 3= lim

𝑥→−3

1

√𝑥 + 6 + √3

Sustituyendo

lim𝑥→−3

1

(√𝑥 + 6 + √3)=

1

√−3 + 6 + √3=

1

√3 + √3=

1

2√3

lim𝑥→2

𝑥 − 2

𝑥2 − 4 lim

𝑥→−3

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑥2 − 𝑥 − 12 lim

𝑥→−3

𝑥2+2𝑥−3

𝑥+3

lim𝑥→3

x − 3

𝑥2 − 𝑥 − 6 lim

𝑥→−3

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥2 + 7𝑥 ∓ 12 lim

𝑥→4

𝑥2 − 6x + 8

𝑥2 − 16

lim𝑥→−

13

1 − 3𝑥

9𝑥2 − 1 lim

𝑥→3

𝑥2 − 9

𝑥 − 3 lim

𝑥→7

𝑥2 − 8𝑥 + 7

𝑥2 − 6𝑥 − 7



lim𝑠→1

𝑠3 − 1

𝑠 − 1 lim

𝑦→−3

𝑦2 − 9

2𝑦2 + 7𝑦 + 3 lim

𝑥→5

x2 + 7x − 60

3𝑥2 − 7𝑥 − 40

lim𝑥→−1

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑥 + 1 lim

𝑥→4

𝑥2 − 9𝑥 + 20

𝑥2 − 3𝑥 − 4 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

6𝑥2 + 12𝑥 − 18

2𝑥 − 2

lim𝑥→−1

𝑥4 − 16

𝑥2 − 𝑥 − 2 lim

𝑥→−2

𝑥3 + 8

𝑥4 − 16 lim

𝑥→−4

𝑥2 + 5𝑥 + 4

𝑥2 + 3𝑥 − 4

lim𝑥→5

x2 + 7x − 60

3𝑥2 − 7𝑥 − 40 lim

𝑥→5

3x2 − 13x − 10

2𝑥2 − 7𝑥 − 15 lim

𝑥→0

1𝑥 + 5

−15

𝑥

lim𝑥→6

√𝑥 − 2 − 2

𝑥 − 6 lim

𝑥→9

3 − √𝑥

9 − 𝑥 lim

𝑥→2

√x + 2 − 2

𝑥 − 2

lim𝑥→0

√2 + x − √2

𝑥 lim

𝑥→5

√7x + 1 − 6

x − 5 lim

𝑥→7

√𝑥 + 2 − 3

𝑥 − 7

lim𝑥→3

𝑥√𝑥2 + 1

2𝑥 − √2𝑥 + 3 lim

𝑡→0

2 − √4 − 𝑡

𝑡

𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑥 − 3

√𝑥 + 1 − 2

lim𝑥→1

√x + 3 − 2

𝑥2 − 1 lim

𝑥→0

√𝑥 − 3 + 1

𝑥 − √𝑥 + 3 lim

𝑥 → 0 1 − √1 − 𝑥2

𝑥2

lim𝑥→0

√4 + x − √4 − x

𝑥 lim

𝑥 → 1 √2 − 𝑥 − 1

2 – √𝑥 + 3 lim

𝑥→0

𝑥

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

lim𝑥→1

√4𝑥2 + 𝑥 + 11

𝑥 + 1

3

limℎ→0

(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3

ℎ lim

ℎ→0

2(𝑥 + ℎ)2 − 2𝑥2

ℎ

Continuidad en un punto La función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes

1. f(c): exista 2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista 3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c exista

Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c

Toda función polinómica es continua para todos los números reales. Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello

cuyo denominador es cero.



Ejercicios Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 1

𝑓(𝑥) =𝑥3 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥

𝑓(𝑥) =1

𝑥 − 2 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 𝑓(𝑥) =

2

1 − 𝑥

Ejercicio Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dada

f(x) = x3 − 5𝑥, 𝑥 = 0 f(x) =

x2 − 4

𝑥 − 2, 𝑥 = −2 f(x) =

x2 − 9

𝑥 + 3, 𝑥 = −3

𝑓(𝑥) = {2𝑥, 𝑥 ≤ 0𝑥 + 2, 𝑥 > 0

}

Límite de las Funciones Definidas por Partes El límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Es decir: Determine si los límites de cada función existen (x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1 4 – x2 Si x < 2

a. f(x) = b. g(x)= 1 - x Si x > -1 x – 2 Si x ≥ 2 Ejercicios Calcular cada limite si existe

𝑓(𝑥) = {2 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2𝑥 − 4, 𝑠𝑖 𝑥 > 2

} 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 3, 𝑥 ≤ 24𝑥 − 7, 𝑥 > 2

} 𝑓(𝑥) = {2𝑥, 𝑥 ≤ 0𝑥 + 2, 𝑥 > 0

}

Lim f(x) = L x c+

= Lim f(x) = M x c-



𝑓(𝑥) = {10 − 2𝑥 , 𝑥 < 3

𝑥2 − 𝑥, 𝑥 ≥ 3} 𝑓(𝑥) = {

2𝑥 + 1, 𝑥 > 310 − 𝑥, 𝑥 ≤ 3

} 𝑓(𝑥) = {

𝑥2 − 4, 𝑥 < 2

4 − 𝑥2, 𝑥 ≥ 2}

𝑓(𝑥) = {𝑥2 +

4

𝑥 , 𝑥 ≤ −1

3𝑥3 − 𝑥 − 1, 𝑥 > −1

} 𝑓(𝑥) = {2𝑥2 −

3

4𝑥, 𝑥 > −2

9 + 𝑥

2− 3𝑥, 𝑥 ≥ 2

}

Propiedades Si c es cualquier constante entonces Ejercicio Evaluar cada límite

Lim 1 = 0 x ∞ x

Lim c = c y Lim c = c x +∞ x -∞

Lim c =0, donde p>0 x +∞ xp

Lim c =0, donde n>0 x -∞ xn

limx→∞

3

x+1 lim

x→∞

3X

x+1 lim

x→∞

x3-1

x3+4

limx→∞

4x2+5

x2+4x lim

x→∞

3x2+5x

6x+1 lim

x→∞

5x3-8

4x2+5x

lim𝑥→∞

2𝑥3 − 5𝑥2

4𝑥3 + 1 lim

𝑥→∞

2𝑥2 − 5𝑥3

5𝑥3 + 3x lim

𝑥→∞

3𝑥2 − 𝑥 − 2

5𝑥2 + 4𝑥 − 1

lim𝑥→∞

1 − 4𝑥

√𝑥2 + 5+ 𝑥 + 2

Limites Infinitos Al evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve negativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota



Problemas 1. La nota obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya

dedicado a su preparación ( 𝑥, expresado en horas) en los siguientes términos:

𝑁(𝑥) =30𝑥

0.2𝑥 + 1

a. Calcular e interpretar lim𝑥→24

𝑁(𝑥).

b. Demostrar que la nota no puede ser superior a 150?

2. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por

𝐶(𝑥) =1

2𝑥2 + 5𝑥 + 800

a. Encuentre lim𝑥→10

𝐶(𝑥), lim𝑥→100

𝐶(𝑥) ¿Cuál es el significado de cada expresión?

b. Compare los resultados e interprételos

3. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera:

𝑆 = 𝑆(𝑥) =9

𝑥+ 10 +

𝑥

4 , x ≥ 4

a. Encuentre lim𝑥→4

𝑆(𝑥) , lim𝑥→10

𝑆(𝑥). ¿Cuál es el significado de cada expresión?

b. Compare los resultados e interprételos

4. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

𝑝 =200 + 300𝑥

1 + 𝑥

a. Calcule él lim 𝑝 cuando 𝑥 → 0 ¿qué encuentra? b. Calcule él lim 𝑝 cuando 𝑥 → ∞ ¿qué significa la expresión? ¿qué encuentra?

5. El número total de unidades producidas por día 𝑞 por 𝑚 empleados de cierta fabrica

está dado por:

𝑞 =100𝑚2

√𝑚2 + 19

, donde 𝑞 son las unidades producidas. Determine e interprete cada resultado a. El lim 𝑞 cuando 𝑚 → 20

b. ¿Qué pasa con la producción si el número de empleados es muy alto?




𝑁 =50 000𝑡 + 3 000

𝑡 + 1

Determine la población a largo plazo.

7. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por

𝑀 =40 + 30𝑡

2𝑡 + 1

, donde t es el número de días en el trabajo. Encuentre lim

𝑡→∞𝑀 ¿qué significa la

expresión? ¿Qué encuentra?

8. Suponga que la demanda de un producto se define mediante

𝑝 =200 000

𝑞2 + 2𝑞 + 1

Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Encuentre lim𝑞→∞

𝑝 ¿qué significa la

expresión? ¿Qué encuentra?

9. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la función

𝑓(𝑥) =375.5 − 15𝑥

𝑥 + 0.03

, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981. ¿Qué pasará con el número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos a largo plazo?

10. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad

x(en miles de dólares) según

𝑦 =200𝑥

𝑥 + 10

a. Encuentre limx→10

y(x) , limx→40

y(x)

b. ¿Qué pasa con 𝑦 cuando la inversión en publicidad es muy alta?

11. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será

𝑝(𝑥) = 40 +30

𝑥 + 1



, dólares. ¿Qué pasará con el precio de las calculadoras a largo plazo?


𝑝 =200 000

(𝑞 + 1)2

¿Qué pasa con el precio si la demanda es muy alta?


𝑝 =100

√2𝑞 + 1

¿Qué pasa con el precio si la demanda es muy alta?


𝑞 =100

√𝑝 + 5

¿Qué pasa con la demanda si el precio es muy alto?

15. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la función

𝑝 =100 − 10𝑥

400 − 𝑥

, donde x son las unidades demandadas. ¿Qué pasa con el precio si la demanda es muy alta?

16. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes

𝑝 =100𝐶

8100 + 𝐶

Encuentre 𝑙𝑖𝑚𝑐→∞

𝑝 ¿qué significa la expresión? ¿Qué encuentra?

17. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas residuales

de un proceso de fabricación se obtiene con

𝐶(𝑝) =9800𝑝

101 + 𝑝

Encuentre 𝑙𝑖𝑚𝑝→∞

𝐶( 𝑝)

¿Cuál es el significado de la expresión? ¿Qué significa la expresión? ¿Qué encuentra?



18. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una campaña publicitaría son

𝑆(𝑡) = 400 +2400

𝑡 + 1

a. Encuentre lim𝑡→14

S(t) 𝑦 lim𝑡→7

𝑆(𝑡)

b. ¿Qué significa cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos

19. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un

producto está dado por

𝑦(𝑝) =32

(𝑝 + 8)25⁄

, donde p es precio unitario en dólares a. Encuentre el límite de las ventas semanales cuando el precios toma valores

próximos a 10 y 11 dólares b. Compare los resultados e interprételos

Límites con Tecnología Use el Excel para tabular, graficar y calcular el valor de cada límite.

lim𝑥→3

𝑥2 − 9

𝑥 − 3 lim

𝑥→−4

𝑥2 − 16

𝑥 + 4 lim

𝑥→7

𝑥2 − 8𝑥 + 7

𝑥2 − 6𝑥 − 7 lim

𝑥→10

𝑥2 − 8𝑥 − 20

𝑥2 − 11𝑥 + 10

lim𝑥→5

𝑥2 − 6𝑥 + 8

𝑥 − 5 lim

𝑥→−1

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑥 + 1 lim

𝑥→3

𝑥2 + 2𝑥 − 3

𝑥 − 3 lim

𝑥→−2

𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑥2 + 3𝑥 + 2



LA DERIVADA

La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.

La tasa de cambio promedio de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) de 𝑥1 𝑎 𝑥2 está definida por:

Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento

(𝑥, 𝑓(𝑥)) 𝑦 ((𝑥 + ℎ), 𝑓( 𝑥 + ℎ)) así

𝑚 =𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

𝑥 + ℎ − 𝑥

, es decir



𝑚 =𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para cualquier valor de x, denotada f`(x), es

𝑓´(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Si este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c.

Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o

𝑑[𝑓(𝑥)]

𝑑𝑥 o Dxy o Dx[f(x)]



Ejercicio Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades está dado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para: Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100) Las segundas 100 unidades producidas

Ejercicio Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x) (en pies) se obtiene mediante la ecuación

𝑓(𝑥) = 96 + 64𝑥 − 16𝑥2

Encuentre la velocidad promedio de 𝑥 = 1 a 𝑥 = 1 + ℎ

Ejercicio Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4) Ejercicio Encuentre la derivada de cada función aplicando el concepto de límite 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 1

Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tiene su posición y en un momento x dado por 𝑦 = 𝑓(𝑥). Entonces, la velocidad del objeto en el momento x es:

𝑉 = limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ, si este límite existe

Pendiente de la Recta A la gráfica 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝐴(𝑥1, 𝑓(𝑥1) es

𝑚 = limℎ→0

𝑓(𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1)

ℎ

Si ese límite existe. ES decir, 𝑚 = 𝑓´(𝑥), la derivada en 𝑥 = 𝑥1.



Problema La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número de unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:

𝑀𝑅̅̅̅̅̅ = 𝑅`(𝑥) = limℎ→0

𝑅(𝑥 + ℎ) − 𝑅(𝑥)

ℎ

Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por

𝑅 = 𝑅(𝑥) = 100𝑥 − 𝑥2, 𝑥 ≥ 0 Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.

Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20.

Remplazando

𝑀𝑅̅̅̅̅̅ = 𝑅`(𝑥) = limℎ→0

[100(𝑥 + ℎ) − (𝑥 + ℎ)2] − (100𝑥 − 𝑥2)

ℎ

= limℎ→0

100𝑥 + 100ℎ − (𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) − 100𝑥 + 𝑥2)

ℎ

= limℎ→0

100ℎ − 𝑥2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 + 𝑥2)

ℎ= lim

ℎ→0

100ℎ − 2𝑥ℎ − ℎ2)

ℎ

= limℎ→0

ℎ(100 − 2𝑥 − ℎ)

ℎ= lim

ℎ→0100 − 2𝑥 − ℎ = 100 − 2𝑥

Como x=20

𝑀𝑅̅̅̅̅̅ = 𝑅`(𝑥) = 100 − 2(20) = 100 − 40 = 60

Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mil dólares

Fórmulas de la Derivada Si 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ son funciones definidas en 𝑥 y 𝑘 ∈ 𝑅 1. Constante: Si 𝑓(𝑥) = 𝑘 entonces 𝑓´(𝑥) = 0

Ejemplos: a. Si 𝑓(𝑥) = 5 entonces 𝑓´(𝑥) = 0

b. Si 𝑓(𝑥) = −2

3 entonces 𝑓´(𝑥) = 0



2. Múltiplo Constante: Si 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 entonces 𝑓´(𝑥) = 𝑘

Ejemplos: a. Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 entonces 𝑓´(𝑥) = 3 b. Si 𝑓(𝑥) = −2𝑥 entonces 𝑓´(𝑥) = −2

3. Potencia Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 entonces 𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 Ejemplos:

a. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥4 entonces 𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 b. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 entonces 𝑓´(𝑥) = −2𝑥−3

c. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3/2 entonces 𝑓´(𝑥) =3

2𝑥1/2

4. Múltiplo Potencia Si 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥𝑛 entonces 𝑓´(𝑥) = 𝑘𝑛𝑥𝑛−1

Ejemplos: a. Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 entonces 𝑓´(𝑥) = 12𝑥2 b. Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥−4 entonces 𝑓´(𝑥) = −12𝑥−5

c. Si 𝑓(𝑥) = 5𝑥2/3 entonces 𝑓´(𝑥) =10

3𝑥−1/2

5. Derivada de la Suma Si 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) entonces 𝑓´(𝑥) = 𝑔´(𝑥) + ℎ´(𝑥)

Ejemplos: a. Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 5 entonces 𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 + 2𝑥 − 2

b. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−3 + 𝑥1/2 entonces 𝑓´(𝑥) = −3𝑥−4 +1

2𝑥−1/2

6. Derivada de un producto Si 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × ℎ(𝑥) entonces

𝑓´(𝑥) = 𝑔´(𝑥) × ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) × ℎ´(𝑥) Ejemplos:

a. Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2)(1 − 3𝑥) entonces 𝑓´(𝑥) = 2𝑥(1 − 3𝑥) + (𝑥2 + 2)(−3) 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 − 6𝑥2 − 3𝑥2 − 6 = −9𝑥2 + 2𝑥 − 6

b. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3

2(3𝑥2 + 𝑥−1) entonces

𝑓´(𝑥) =3

2𝑥−

12(3𝑥2 + 𝑥−1) + 𝑥

32(6𝑥 − 𝑥−2)

𝑓´(𝑥) =9

2𝑥32 +

3

2𝑥−3/2 + 6𝑥

52 − 𝑥−1/2

7. Derivada de un Cociente Si 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥) con ℎ(𝑥) ≠ 0 entonces

𝑓´(𝑥) =𝑔´(𝑥) × ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥) × ℎ´(𝑥)

[ℎ(𝑥)]2



Ejemplos:

a. f(x)=𝑥2+1

2𝑥+1 entonces

𝑓´(𝑥) =2𝑥(2𝑥 + 1) − (𝑥2 + 1)2

(2𝑥 + 1)2=4𝑥2 + 2𝑥 − 2𝑥2 − 2

(2𝑥 + 1)2=2𝑥2 + 2𝑥 − 2

(2𝑥 + 1)2

b. 𝑓(𝑥) =3𝑥2

2−𝑥3 , entonces

𝑓´(𝑥) =6𝑥(2−𝑥3)−3𝑥2(−3𝑥2)

(2−𝑥3)2=

12𝑥−6𝑥4+9𝑥4

(2−𝑥3)2=

3𝑥4+12𝑥

(2−𝑥3)2

8. Derivada de un Cociente con numerador constante Si 𝑓(𝑥) =𝑘

ℎ(𝑥) con ℎ(𝑥) ≠ 0

entonces

𝑓´(𝑥) = −𝑘ℎ´(𝑥)

[ℎ(𝑥)]2

Ejemplos:

a.f(x)=5

𝑥2 entonces 𝑓´(𝑥) =-

5(2𝑥)

(𝑥2)2= −

10𝑥

𝑥4= −

10

𝑥3

b.f(x)=3

𝑥1/2 entonces 𝑓´(𝑥) = −

3(1

2𝑥−12)

(𝑥12)

2 = −3

2𝑥−12

𝑥=

3

2𝑥𝑥12

= −3

2𝑥3/2

Ejercicios Derivar cada una de las siguientes funciones

1.𝑓(𝑥) = 100 2.𝑓(𝑥) =1

4 3.𝑓(𝑥) = 21𝑥

4.𝑓(𝑥) = −1

2 5.𝑓(𝑥) = 𝑥5 6.𝑓(𝑥) = 𝑥−2/3

7.𝑓(𝑥) = 4𝑥3 8.𝑓(𝑥) =3

2𝑥−1/2 9. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 5𝑥 + 3

10.𝑓(𝑥) = 𝑥−2 + 𝑥1/2 11.𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 1)(5𝑥2 + 6𝑥) 12.𝑓(𝑥) = √𝑥 −1

√𝑥

13.𝑓(𝑥) =5

𝑥2 14. 𝑓(𝑥) =

7

6𝑥3 15.𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)2

16.𝑓(𝑥) =5𝑥−2

1+2𝑥2 17.𝑓(𝑥) =

x

x-1 18.𝑓(𝑥) =

3

√𝑥34

19. 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 20. 𝑓(𝑥) =𝑥

√𝑥 21. 𝑓(𝑥) =

2𝑥4

√𝑥54

22.𝑓(𝑥) =𝑥−3𝑥√𝑥

√𝑥 23.𝑓(𝑡) =

𝑡−√𝑡

√𝑡3 24.𝑔(𝑥) =

1

√8𝑥23



25.𝑓(𝑥) =𝑥 + 5

√𝑥23 26.𝑦 = 𝑥√𝑥

3 27. 𝑓(𝑥) = √𝑥

3(√𝑥4

− 6𝑥 + 3)

28.𝑦 =2𝑥2−3𝑥+1

2𝑥−1 29.𝑦 =

2

𝑥√𝑥 30.𝑦 =

𝑥

√𝑥3

Ejercicios Calcule la derivada de cada función en el punto indicado

1. 𝑦 = 3𝑥2 − 4 𝑒𝑛 𝑥 = 2 2. 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑥 = −2 3. 𝑦 =𝑥+1

𝑥−1 𝑒𝑛 𝑥 = −3

4. 𝑦 = 𝑥2 −1

𝑥2 𝑒𝑛 𝑥 = −1 5. 𝑦 = 𝑥3 −

1

𝑥3 𝑒𝑛 𝑥 = 1 6. 𝑦 = 2√𝑥 +

2

√𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 4

7. 𝑦 = 3√𝑥3

−3

√𝑥3 𝑒𝑛 𝑥 = 4 8. 𝑦 = 𝑥√𝑥

3 𝑒𝑛 𝑥 = 4 9. 𝑦 =

𝑥

√𝑥3 𝑒𝑛 𝑥 = 8

Ejercicios Determine la ecuación de la línea tangente a la gráfica de las siguientes funciones, utilice el winplot para graficar las funciones. 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 4 en (1,2)

Hallamos la pendiente de la recta tangente a la curva 𝑚 = 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 − 3

, como x=1, entonces m=2(1)-3, m=-1 Remplazando en la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 = −1(𝑥 − 1) 𝑦 = −𝑥 + 1 + 2 𝑦 = −𝑥 + 3

Graficando

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3 en (1,4) Hallamos la pendiente de la recta tangente

x

y

y=x^2-3x+4

y=-x+3



𝑚 = 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 , como x=1, m=3 Remplazando en la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 4 = 3(𝑥 − 1) 𝑦 = 3𝑥 − 3 + 4 𝑦 = 3𝑥 + 1

Graficando

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2 en (-1,2)

Hallamos la pendiente de la recta tangente

𝑚 = 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 −2

𝑥3

, como x=-1, m=0 Remplazando en la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 = 0(𝑥 + 1) 𝑦 = 2

Graficando

4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥 𝑒𝑛 (−1,3)

Hallamos la pendiente de la recta tangente

x

y

y=3x+1

y=x^3+3

x

y

y=x^2+1/x^2

y=2



𝑚 = 𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 5 , como x=-1 y 𝑦 = 3, m=1 Remplazando en la ecuación de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

3 = 1(−1) + 𝑏 3 = −1 + 𝑏 𝑏 = 4

Entonces la ecuación de la recta es y=x+4 La grafica es

5. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 en (1,5) 6. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑒𝑛 (−1,2)

7. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 𝑒𝑛 (−2,−2) 8. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 𝑒𝑛 (1,−1)

9. 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 + 2 𝑒𝑛 (−1, −3) 10. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥3 𝑒𝑛 (−1,−3)

11. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + √𝑥 𝑒𝑛 (1,2) 12. 𝑓(𝑥) =𝑥3

𝑥−1 𝑒𝑛 (0,0)

13. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥 − 3 𝑒𝑛 (−1,−2) 14. 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 2𝑥 − 2 𝑒𝑛 (0, −2)

15. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥3 𝑒𝑛 (−1,−1) 16. 𝑓(𝑥) =8

𝑥2+4 𝑒𝑛 (2,1)

Análisis Marginal En el mundo de los negocios y en las ciencias económicas se llama análisis marginal a la utilización de la derivada para estimar el cambio que experimenta una función que modele una situación relacionada con la economía (ingreso, costo, utilidad, producción, etc.) , al incrementar en una unidad la variable independiente (Lial y Hungerford, 2000; Salas et al., 1999). Profundizando un poco más en conceptos económicos en los que la derivada está presente, se aprecia lo importante que resulta para un profesional de las ciencias económicas tanto la derivada como las múltiples aplicaciones de esta. Además de las funciones marginales de ingreso, costo, utilidad, producción y tasa de impuesto,

x

y

f(x)=2x^3-5xy=x+4



están otras como la elasticidad de la demanda, la propensión al ahorro o al consumo en las que la derivada sirve de pieza fundamental para su análisis. Tomado de Historia y aplicaciones de la derivada en las ciencias económicas: Consideraciones didácticas Luis García, Mar Moreno, Edelmira Badillo y Carmen Azcárate

Problemas 1. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando la

inversión de capital asciende a x millones de dólares, y

𝐺(𝑥) = 400 + 280𝑥 +300

𝑥

a. Calcular la tasa de cambio del número de estufas producidas respecto al capital cuando la inversión se incrementa de 5 a 6 millones de dólares

𝐺´(𝑥) = 280 −300

𝑥2

Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares, x=5

𝐺´(𝑥) = 280 −300

52= 280 − 12 = 268

b. Interprete el resultado en a. Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares el número de unidades producidas se incrementan en 268 unidades

2. El costo de producir 𝑞 unidades de un producto está dado por 𝐶(𝑞) =1

3𝑞3 − 4𝑞2, en

dólares. ¿cuántas unidades se tienen que producir para obtener un costo marginal de 48 dólares? Sabemos que el costo marginal es 𝐶´(𝑞), es decir

𝐶´(𝑞) = 48 Derivando la función costo

𝐶´(𝑞) = 𝑞2 − 8𝑞 Igualando

48 = 𝑞2 − 8𝑞 Despejando

𝑞2 − 8𝑞 − 48 = 0 Factorizando

(𝑞 − 12)(𝑞 + 4) = 0 Es decir

𝑞 = 12 ó 𝑞 = −4



Como 𝑞 = −4 no tiene sentido para el problema, Por tanto para obtener un ingreso marginal de 48 dólares se tienen que producir 12 unidades

3. Los costos semanales de un negocio pequeño son 𝐶(𝑥) = 30𝑥 +𝑥2

10 , donde 𝑥 es el

número de unidades producidas cada semana. El precio del mercado competitivo para el producto de este negocio es de 46 U.M. por unidad. Calcule e interprete la utilidad marginal cuando se producción y vente se incrementan en 101 unidades. Inicialmente hallamos la función utilidad (𝑈), sabemos

𝑈 = 𝐼 − 𝐶 , pero 𝐼 = 𝑝𝑥, donde 𝑝 = 46, luego 𝐼 = 46𝑥, remplazando

𝑈 = 46𝑥 − (30𝑥 +𝑥2

10)

𝑈 = 46𝑥 − 30𝑥 −𝑥2

10

𝑈 = 16𝑥 −𝑥2

10

Derivando

𝑈´ = 16 −𝑥

5

Como x=100, remplazamos

𝑈´ = 16 −100

5= −4

Si la producción y venta se incrementan en 101 unidades la utilidad disminuirá en 4 U.M.

4. La ecuación 𝑁 = ƒ(𝑝) representa el número de galones N de gasolina normal sin plomo que vende una estación de combustible a un precio de p pesos por galón. a. Describir que significa ƒ(8263) b. Describir el significado de ƒ´(8263). c. ¿Qué pasa si ƒ´(8263) es positiva? d. ¿Qué pasa si ƒ´(8263) es negativa?

5. La función 𝑦 = 𝑓(𝑝) representa el volumen de ventas semanales (𝑦) de cierto

producto cuando se vende a un precio de p por unidad. a. Describir que significa ƒ(10) b. Describir el significado de ƒ´(10). c. ¿Qué pasa si ƒ´(10) es positiva?



d. ¿Qué pasa si ƒ´(10) es negativa?

6. Un fabricante estima que si se gastan 𝑥 miles dólares en publicidad, entonces se venderán 𝑀 = 𝑓(𝑥) unidades a. Describir que significa ƒ(8) b. Describir el significado de ƒ´(8). c. ¿Qué pasa si ƒ´(8) es positiva? d. ¿Qué pasa si ƒ´(8) es negativa?

7. Los beneficios trimestrales de una compañía de bienes raíces (en miles de dólares) están dadas por

𝑃(𝑥) = −1

3𝑥2 + 7𝑥 + 30

, donde 𝑥 (en miles de dólares) es el gasto en publicidad por trimestre. a. Determine la tasa de cambio de la ganancia respecto al gasto en publicidad. b. Calcule e interprete la tasa de cambio de los beneficios cuando 𝑥 = 11. c. Calcule e interprete la tasa de cambio de los beneficios cuando los gastos en

publicidad se incrementan en 15 mil dólares.

8. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es 𝑐(𝑥) = 5000 + 10𝑥 + 0.05𝑥2

Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando x=100.



, donde P es el número de unidades producidas por hora, calcule e interprete 𝑃´(3)𝑦 𝑃′(7).


𝐶(𝑥) = 200 + 3𝑥 + 0.01𝑥2 + 0.0002𝑥3

a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle 𝐶`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?

11. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3

a. Encuentre la función costo marginal. b.Halle 𝐶`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?




C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a. Encuentre la función costo marginal. b. Halle 𝐶`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?

13. Suponga que la función ingreso de ciertos productos está dada por:

𝑅(𝑥) =15

2𝑥 + 1+ 30𝑥 − 15

, donde 𝑥 está en miles de unidades y 𝑅(𝑥) en miles de dólares. Encuentre el ingreso marginal 𝑅´(𝑥) cuando se venden 20 000 unidades, es decir x = 20 ¿Qué significa?

14. Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es

𝑐̅ = 0.0001𝑞2 − 0.02𝑞 + 5 +5000

𝑞

Encontrar el costo promedio marginal cuando se producen 50 unidades

15. Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con 𝑥 años d educación antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales , donde

𝑦 = 5𝑥5/2 + 5900 Encuentre e interprete la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación cuando x=9.

16. Suponga que la función ingreso total para una mercancía es 𝑅(𝑥) = 25𝑥 – 0.05𝑥2

a. Encuentre la función ingreso marginal, es decir R´(x) b. Encuentre el ingreso marginal en x = 50 c. ¿Qué significa?

17. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es

𝑅(𝑥) = 150𝑥 −𝑥2

4

, determine: a.La función ingreso marginal [𝑅´(𝑥)] b.Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades

18. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función

del tiempo t por la fórmula



𝑆(𝑡) = 10 000 + 2 000𝑡 − 200𝑡2 , donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana determine la tasa de cambio cuando a. t=4 y ¿qué significa? b. t=8 y ¿qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

19. El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora de

discos, está dado por 𝐶(𝑥) = 1 500 − 3𝑥 + 𝑥3, a. Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad. b. Calcule C´ (100), ¿qué significa?

20. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores

pequeños sea 𝑅(𝑥) = 100𝑥 − 0.1𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 800

, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 600

21. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado

por la ecuación R(x) = 100x – x2, x ≥ 0

, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)

22. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto,

su ingreso está dado por 𝑅(𝑥) = 1 500𝑥 – 0.02𝑥2, 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 000

, donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal en x=500, interprete el resultado.

23. La producción semanal de cierto producto es

Q(x)= 200x + 6x2 , donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado

24. La demanda de q unidades de cierto producto depende del precio por unidad p (en

miles de pesos). En cada una de las ecuaciones de demanda encuentre la tasa de



variación de las unidades demandadas respecto al precio cuando 𝑝 = 24. Interprete cada resultado.

a. 𝑞 = (𝑝2 − 1)(𝑝3 + 3𝑝) b. 𝑞 =40000

𝑝 c. 𝑞 =

600

𝑝+2

d. 𝑞 =5000

𝑝− 1 e. 𝑞 =

4000

𝑝2 f. 𝑞 = 20 −

1

4𝑝

g. 𝑞 = 250 − 30𝑝 + 𝑝2 h. 𝑞 = 5 − 2√𝑝 i. 𝑞 =100

√𝑝− 1

25. El costo promedio en dólares de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas está

dado por

𝐷(𝑥) =50000

𝑥− 105𝑥

, donde x representa el número de televisores producidos por semana. Calcule e interprete la tasa de variación del costo promedio si la producción se incrementa de 100 a 101 televisores por semana.

26. El presidente de una importante constructora de vivienda informa que el número de

empleos creados por la construcción (en millones) está dado por 𝑁(𝑥) = 1.42𝑥

, donde x denota el número de pies de casa. Suponga que se espera que el número de pies de casa en los siguientes meses sea

𝑥(𝑡) =7𝑡2 + 140𝑡 + 700

3𝑡2 + 80𝑡 + 550

, miles de unidades ¿cuál es la razón de cambio del número de empleos creados en un año?

27. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio

depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

𝑝 =200 + 300𝑥

1 + 𝑥

a. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a las libras insecticida

b. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a las libras insecticida cuando las libras de insecticida se incrementan a 5 libras. Interprete el resultado


𝑁 =50 000𝑡 + 3 000

𝑡 + 1

a. Determine



b. La tasa de cambio del número de habitantes respecto a los años c. Calcular la tasa de cambio del número de habitantes dentro de 10 años. Interprete

el resultado 29. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo


𝑀 =40 + 30𝑡

2𝑡 + 1

, donde t es el número de días en el trabajo. Hallar e interpretar M´ para t=15. 30. Suponga que la demanda de un producto se define mediante

𝑝 =200 000

𝑞2 + 2𝑞 + 1

, donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Hallar e interpretar p´ cuando q=10. 31. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos

se puede modelar con la función

𝑓(𝑥) =375.5 − 15𝑥

𝑥 + 0.03

, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981 a. Encuentre f´(x) b. Calcule 𝑓´(20). Interprete el resultado.

32. El volumen de ventas, 𝑦 (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad

𝑥 (en miles de dólares) según

𝑦 =200𝑥

𝑥 + 10

Hallar e interpretar y´ cuando x=10. Interprete el resultado. 33. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez

más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será

𝑝(𝑥) = 40 +30

𝑥 + 1

, dólares. Calcule 𝑝´(24). Interprete el resultado 34. Dada la ecuación de la demanda



𝑝 =𝑞 + 750

𝑞 + 50

Halle e interprete la variación del precio cuando 𝑞 = 5 35. Dada la función de ingreso

𝐼 = (0.01𝑚2 − 0.5𝑚 + 9)(50𝑚 −𝑚2) , donde m es el número de empleados. Hallar la tasa de variación del ingreso si 𝑚 =10.

36. El costo anual de inventario 𝐶 de un fabricante es

𝐶 =1 008 000

𝑞+ 6.3𝑞

, donde 𝑞 es el tamaño del pedido cuando se reponen existencias. Calcular e interpretar el cambio del costo anual cuando 𝑞 se incrementa en 351 unidades.

37. La producción de cierta hortaliza en un invernadero, 𝑄(𝑥) en kg., depende de la

temperatura, 𝑥 en °𝐶, según la expresión: 𝑄(𝑥) = (𝑥 + 1)2 (32 − 𝑥)

Calcule e interprete la tasa de variación de la producción cuando la temperatura se eleva de 20 a 21 °C.



Regla de la Cadena

Ejercicios Derive cada una de las siguientes funciones

1.𝑓(𝑥) = (2𝑥4 − 5)25 2. 𝑓(𝑥) = (3 − 2𝑥)10 3. 𝑓(𝑥) =

2

3((𝑥6 + 3𝑥2 − 11)8

4. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 3𝑥 5. 𝑓(𝑥) =8(𝑥2−3)5

5 6. 𝑓(𝑥) =

5√1−𝑥3

6

7. 𝑓(𝑥) = √𝑥4 + 93

8. 𝑓(𝑥) = √1 − 5𝑥3 9. 𝑓(𝑥) = √7𝑥2 − 3𝑥 + 14

10.𝑓(𝑥) =(3𝑥+1)5−3𝑥

7 11.f(x) = (x2 – 9)2/3 12.f(x) =

1

(𝑥2−3𝑥)2

13.𝑓(𝑥) =5

7(2𝑥3 − 𝑥 + 6)14 14.𝑓(𝑥) = (𝑥2 −

4𝑥)−2 15.𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 1)−5

16.𝑓(𝑥) =1

(2𝑥3+3𝑥+5)34⁄ 17.𝑓(𝑥) =

1

(3𝑥3+4𝑥+1)32⁄ 18.𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 4𝑥 + 5

19.𝑓(𝑥) =(3𝑥+1)5−3𝑥

7 20.𝑓(𝑥) =

√2𝑥−1−√𝑥

2 21.𝑓(𝑥) =

1

√(𝑥2+1)3

Si f y g son funciones diferenciables donde 𝑦 = 𝑓(𝑢) 𝑦 𝑢 = 𝑔(𝑥), entonces y es una función diferenciable de x, y

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓´(𝑢). 𝑔´(𝑥)

, o su equivalente 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥

Regla de la potencia Si 𝑦 = 𝑢𝑛 , donde u es diferenciable de x, entonces

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑢𝑛−1

𝑑𝑢

𝑑𝑥



22.𝑓(𝑥) =√𝑥2+1

√𝑥2+13 23.𝑓(𝑥) =

1

(𝑥4+3)3 24.𝑓(𝑡) = 𝑡√𝑡2 + 3

25.𝑦 =1

(𝑥2−3𝑥)2 26.𝑦 = √(𝑥5 − 2𝑥)5

3 27. 𝑦 = ln√

𝑥−1

𝑥+1

Problemas 1. La producción diaria para cierta fabrica está dada por:

f(x) = 200 √2x+1

, donde x es la inversión de capital dada en miles de dólares. a. Calcular la tasa de cambio de la producción respecto a la inversión de capital

Derivamos:

f´(x)=200 (1

2) (2x+1)-

12 (2)

f´(x)=200 (2x+1)-1/2

b. Determinar la tasa de cambio de la producción si la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares Por datos x=1, remplazando

f´(x) = 200 (2(1)+1)-1/2 = 200 (3)-1/2 = 200(0.57) ≅ 115

c. Interprete el resultado. Significa que cuando la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares la producción diaria se incrementará aproximadamente en 115 unidades

d. Calcule la tasa de cambio de las unidades producidas respecto a la inversión si esta se incrementa de 7 a 8 mil dólares Si la inversión si esta se incrementa de 7 a 8 mil dólares, x=7

𝑓´(𝑥) =200

√2(7) + 1= 51.6

e. Interprete el resultado Cuando la inversión de capital se incrementa de 7 a 8 mil dólares el número de unidades producidas se incrementan aproximadamente en 52 unidades

2. La demanda de computadores viene dada por la ecuación p=√3400-x2 , donde x es el número de computadores y p es el precio de cada uno en miles de pesos



a. Determine la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandas

Derivamos dp

dx = 1

2(3400-x2)

12 . (-2x) =

1

(3400-x2) 12

.(-x)

dp

dx =

-x

√3400-x2

b. Calcule la tasa de cambio si x=9.

Remplazando en dp

dx =

-9

√3400-92 =

-9

√3400-81 =

-9

√3319 =

-9

57.6 ≅ -015

c. Interprete el resultado

Si la demandada de computadores se incrementa de 9 a 10 unidades el precio disminuye aproximadamente en 0.15 mil pesos

3. Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio diario (en cientos de

dólares) está dado por

𝐶̅ =324

√𝑞2 + 35+5

𝑞+19

18

Determine el costo marginal si la producción se incrementa en 18 unidades día Inicialmente hallamos el costo total, dado por la expresión

𝐶 = 𝑞𝐶̅ Remplazando

𝐶 = 𝑞 [324

√𝑞2 + 35+5

𝑞+19

18]

𝐶 =324𝑞

√𝑞2 + 35+ 5 +

19

18𝑞

Derivamos para hallar el costo marginal

𝐶´ =324√𝑞2 + 35 − 324𝑞2(𝑞2 + 35)−1/2

𝑞2 + 35+19

18



Para determinar la variación del costo cuando la producción se incrementa en 18 unidades día hacemos 𝒒 = 𝟏𝟕

𝐶´ =324√172 + 35 − 324(17)2(172 + 35)−1/2

172 + 35+19

18

𝐶´ =5832 − 5202

324+19

18

𝐶´ = 1.94 +19

18= 3

Si la producción se incrementa en 18 unidades, el costo se incrementará en 3 cientos dólares.

4. Cuando un determinado artículo se vende a 𝑝 dólares por unidad, la demanda de los

consumidores estará dada por 𝑞 =40 000

𝑝 unidades al mes. Se estima que dentro de 𝑡

meses el precio del artículo estará dado por 𝑝 = 𝑡3/2 + 4 dólares por unidad. ¿Cuál será la razón de cambio de la demanda respectos al tiempo dentro de 6 meses

5. El costo de producir q unidades de un producto está dado por

C=4000 + 10q + 0.1q2

Si las unidades producidas q se pueden obtener por q= 800 – 2.5p , donde p es el precio por unidad. Utilice la regla de la cadena para determinar la razón de cambio del costo respecto al precio unitario cuando p=80

6. Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio (en dólares) está

dado por

𝑐̅ =5

√𝑞2 + 3+ 5000

Encuentre e interprete el costo marginal si la producción se incrementa en 11

unidades 7. La función de costo total para un fabricante está dada por

𝐶(𝑞) =5𝑞2 + 4

√𝑞2 + 6+ 2500

, estimar el costo marginal cuando la producción se incrementa en 15 unidades.

8. La cantidad mensual demandada x de cierta marca de computadores personales se relaciona con el precio p ( en dólares) así



𝑥 =100

9√810 000 − 𝑝2

a. Determine la tasa de cambio de la demanda respecto al precio b. Calcule la tasa de cambio cuando p=100. Interprete el resultado

9. La ecuación de demanda de cierto artículo es

𝑝 =300

𝑥2 + 1

a. Determine la tasa de cambio del precio con respecto a las unidades demandadas. b. Calcule la tasa de cambio cuando x=3. Interprete el resultado

10. La concentración de monóxido de carbono en el aire debido a las emisiones de los

automóviles dentro de t años está dada por 𝐶(𝑡) = 0.01(0.2𝑡2 + 4𝑡 + 64)2/3 , partes por millón

Halle la tasa con que cambia el nivel de monóxido de carbono en el aire cuando t=5. ¿Qué significa?

11. El número de personas que ven una serie de televisión con varios años de salir al aire

se aproxima a la función 𝑁(𝑥) = (60 + 2𝑥)2/3

, N(x) (dado en millones) denota el número de espectadores semanales de la serie en la semana x. Calcule N´(12), ¿qué significa?

12. La demanda de cierto producto ésta dada por la ecuación p=√2500 − 𝑥2, en donde x unidades pueden venderse a un precio $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 unidades. Interprete el resultado.

13. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por

𝑥 = 98(2𝑝 + 1)−1 2⁄ − 1 , donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto al precio cuando p=24

14. El importe en dólares del ingreso por la venta de un producto es

𝑅 = 1500𝑥 + 3000(2𝑥 + 3)−1 − 1000 , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades. Interprete el resultado.

15. Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas),

depende del precio unitario del producto de acuerdo con 𝑦 = 32(3𝑝 + 1)−2 5⁄ , 𝑝 > 0



, donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando el precio es de $21? Interprete el resultado.

16. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 𝑓(𝑡) = √10𝑡2 + 𝑡 + 236 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿A qué razón aumentaron las ganancias brutas en 1997 y 2008?

17. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de

producción diaria es 𝐶(𝑞) = 0.2𝑞2 + 𝑞 + 900 . Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente 𝑞(𝑡) = 𝑡2 + 100𝑡 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. Calcular la razón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción.



DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Aplicando la Regla de la Cadena, es posible entonces escribir:

Ejercicios Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 4 ex f(x) = e5x f(x) = 3e4x

𝑓(𝑥) = 𝒆𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟏 f(x)=x2 ex 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥 + 5) 𝒆𝟔𝒙

f(x)= e(-1/2)x 𝑓(𝑥) = 𝒆𝒙 𝑙𝑛(𝑥) f(x)= 2

𝒆𝒙

𝑓(𝑥) = 𝒆𝒍𝒏(𝒙) 𝑓(𝑥) = (1 − 3𝒆𝒙)2 𝑓(𝑥) = 3𝒆𝟒𝒙 + 1

𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑥2 𝑓(𝑥) = 2𝑥3𝑥 𝑓(𝑥) = 32𝑥

𝑓(𝑥) = 3𝑥

Problemas

1. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 𝑝 = 10𝑒−𝑞, donde se demanda q

unidades cuando el precio es de p dólares.

a. Calcule la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandadas cuando

q=2

Derivamos

𝑝´ = 10𝑒−𝑞(−1)

𝑝´ = −10𝑒−𝑞

Como q=2,

𝑝´ = −10𝑒−2 = −1.35

b. Interprete el resultado

Si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝐻(𝑥) entonces 𝑓´(𝑥) = 𝑒𝐻(𝑥). [𝐻´(𝑥)] Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝐻(𝑥) entonces 𝑓´(𝑥) = (𝑎𝐻(𝑥))𝐿𝑛(𝑎)[𝐻´(𝑥)]



Cuando las unidades demandas se incrementa en 3 el precio disminuye e 1.35

dólares

2. La ecuación de la demanda para cierta clase de articulo está dada por:

x = 5 000e-0.04p

, donde se demanda x unidades cuando el precio es p.

a. Halle x´

Derivando

x´= 5 000 e-0.04p (-0.04)

x´= -200 e-0.04p

b. Calcule x´ cuando p=25

Remplazando

x´= -200 e-0.04(25) = −200 e-1 = 200(0.36) ≅ −74

c. ¿Qué significa? Si el precio se incrementa en 26 las unidades demandadas

disminuyen en 74.

3. El costo promedio (en miles de pesos) de producir q unidades de cierto producto está dado por

𝐶̅ =7000𝑒

𝑞700⁄

𝑞

a. Encuentre la función de costo marginal. Inicialmente debemos hallar el costo total por la expresión

𝐶 = 𝑞𝐶̅ Remplazando

𝐶 = 𝑞 [7000𝑒

𝑞700⁄

𝑞]

Es decir

𝐶 = 7000𝑒𝑞700⁄

Para hallar el costo marginal derivamos la función costo total,

𝐶´ =7000𝑒

𝑞700⁄

700

𝐶´ = 10𝑒𝑞700⁄

b. Calcule el costo marginal para 𝑞 = 700. Interprete el resultado. Remplazamos q,

𝐶´(700) = 10𝑒1



𝐶′(700) = 27.18

Es decir si la producción de la unidad 701 aumenta el costo total de producción en 27.18 mil de pesos.

4. Después que una persona ha trabajado por t horas con una máquina en particular su

tasa de rendimiento estará dada por

𝑅 = 10 (1 − 𝑒−𝑡5)

¿Cómo varia el rendimiento para t=4? Interprete el resultado

4. La ecuación de demanda par cierto producto está dada por 𝑝 = 4 + 𝑒−0.1𝑥. Dado que el ingreso es 𝐼 = 𝑥. 𝑝 encuentre el ingreso marginal cuando la demanda se incrementa en 11 unidades.

5. La ecuación de oferta de cierta mercancía es 𝑝 = 20𝑒𝑥/3, donde se ofrecen 𝑥 miles de unidades cuando el precio es de 𝑝 dólares. Determine a. La tasa de cambio del precio respecto a las unidades ofertadas b. La tasa de cambio cuando la oferta se incrementa en 6 mil unidades. c. Interprete el resultado

6. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un

examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos

conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por

𝑃(𝑡) =180 + 20𝑒0.5𝑡

1 + 𝑒0.5𝑡

a. Calcule P´(t)

b. Calcule P´(0) y P´(1). ¿Qué significan? Interprete los resultados

7. Una cadena de tienda femenina, determinó que t días después de concluir una

promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por

𝑆(𝑡) = 20 000(1 + 𝑒−0.5𝑡)

, millones de pesos. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al

número de días si t=3. ¿Qué significa?

8. El precio de cierto artículo en dólares por unidad en el tiempo t (medido en semanas)

está dado por 𝑝 = 8 + 4𝑒−2𝑡 + 𝑡𝑒−2𝑡, determine la tasa de cambio del precio respecto

al tiempo si t=2. Interprete el resultado.



9. La depreciación de unos bienes industriales se deprecian a una razón tal que su valor

contable dentro de 𝑡 años será 𝑉(𝑡) = 50 000𝑒−0.4𝑡 dólares, ¿con qué rapidez

cambiará el valor contable de los bienes dentro de 3 años?

10. Según la Internet Society, las conexiones de Internet están proliferando a una razón

cada vez más creciente. El número de computadores huésped (en millones) se estima

en 𝑁(𝑡) = 3.45𝑒0.64𝑡, en t años (t=0 corresponde al principio de 1994). ¿Con qué

rapidez aumento la cantidad de computadores huésped en 1996 y 1999?

11. En un estudio realizado en el 2000, el porcentaje proyectado de hogares que usa la

banca en línea es 𝑓(𝑡) = 1.5𝑒0.78𝑡 , donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio

del 2000. Halle 𝑓´(𝑡), calcule 𝑓(4) interprete el resultado.

12. Los viajes aéreos han aumentado drásticamente en los últimos 30 años. En un estudio

realizado en el 2000, una empresa aérea previó un incremento exponencial aún mayor

en los viajes aéreos hasta el 2010. La función 𝑓(𝑡) = 666𝑒0.0413𝑡 proporciona la

cantidad de pasajeros (en millones) para el año t, donde t=0 corresponde al 2000.

Determine 𝑓´(𝑡) ¿qué significa? , calcule 𝑓´(5) y f´(9) interprete los resultados

13. Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales)

compuesto continuamente, el valor futuro después de n años está dado por la función S= p℮0.1n

Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de pesos a 1 año.

14. Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es

𝑄(𝑡) = 20 000 𝒆−0.4𝑡 , dólares. ¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y 10 años? ¿Qué encuentra?

15. La demanda de consumo de cierto artículo es 𝐷(𝑝) = 3 000 𝒆−0.01𝑝 unidades por mes

cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para 𝑝 = 100 y 𝑝 = 200. ¿Qué encuentra?



DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Ejercicios Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:

𝑓(𝑥) = 4 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (8𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (4𝑥 + 9)

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥) – 𝑙𝑛(𝑥 − 1) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛√8𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 − 1) + 𝑙𝑛(2𝑥 + 1)

𝑓(𝑥) =1

3ln (𝑥2 − 1) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛

𝑥

𝑥 − 1 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛[𝑡3(𝑡2 − 1)]

𝑓(𝑥) = ln (3𝑥2 − 3𝑥 + 7) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 (𝑥√𝑥2 + 5) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (8𝑥3 − 2𝑥) – 2𝑥

𝑓(𝑥) = ln (√𝑥2 − 13

) 𝑓(𝑥) =ln (𝑥 + 1)

𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (

3𝑥 + 2

𝑥2 − 5)

14⁄

Problemas 1. Un fabricante de generadores eléctricos encontró que sus ventas han aumentado han

aumentado constantemente según la ecuación 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥)

, donde x es el número de años que la compañía está operando, x=0 en 1973 y y es el volumen de ventas en millones de dólares a. Calcular la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo

𝑦´ = ln(𝑥) + 𝑥.1

𝑥

𝑦´ = ln(𝑥) + 1 b. Halle la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo para 1977,

para hallar la tasa de cambio hacemos x=3 𝑦´ = ln(3) + 1 = 2.09861

c. Interprete el resultado

Para 1977 el volumen de ventas se incrementará en 2.09861 millones de dólares

Si 𝑦 = ln[𝐻(𝑥)] entonces 𝑦´ =𝐻´(𝑥)

𝐻(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝐻(𝑥) entonces 𝑓´(𝑥) =𝐻´(𝑥)

𝐻(𝑥)𝐿𝑛(𝑎)



2. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo cuando el precio sea 𝑝(𝑥) = 112 – 𝑥 𝑙𝑛(𝑥3) cientos de dólares por unidad a. Encuentre la función ingreso [I=x*p(x)] y de ingreso marginal [I´(x)].

Hallamos la función ingreso 𝐼 = 𝑥(112 − 𝑥𝑙𝑛(𝑥3) 𝐼 = 112𝑥 − 𝑥2𝑙𝑛(𝑥3) 𝐼 = 112𝑥 − 3𝑥2𝑙𝑛(𝑥)

Derivamos

𝐼´ = 112 − (6𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 3𝑥21

𝑥)

𝐼´ = 112 − 6𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 3𝑥 b. ¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad?

Hacemos x=4 𝐼´ = 112 − 6(4)𝑙𝑛(4) − 3(4)

𝐼´ = 66.72 La producción de la quinta unidad incrementa el ingreso en 66.72 dólares

3. La ecuación de demanda de un producto es

𝑞 =60

𝑝+ 𝐿𝑛(65 − 𝑝3)

Calcule e interprete la tasa de variación de la demanda si 𝑝 = 2

4. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuación

𝑆 = 𝑙𝑛 [5

3 + 𝑒−𝐼]

a. Halle la propensión marginal (S´) al consumo respecto al ingreso. b. Calcule e interprete la propensión marginal si I=1.

5. La ecuación de la demanda de cierto articulo está dada por

𝑥 = 30 −3

2ln (𝑝 + 1)

, calcule la tasa de cambio de las unidades demandadas con respecto al precio cuando p=2

6. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

𝐶(𝑥) = 1500 + 200 𝑙𝑛(2𝑥 + 1) , donde x es el número de unidades producidas a.Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x)) b.Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete el

resultado



7. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasa

de interés r compuesta continuamente, de acuerdo con

t = ln (2

𝑟)

a. Con que tasa 𝑑𝑡

𝑑𝑟cambia el tiempo requerido respecto de r si r = 10%, compuesto

continuamente b. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequeña

8. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por

R(x) = 2 500𝑥

ln (10𝑥+10)

a. Encuentre la función ingreso marginal b. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete el

resultado 9. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares está dado

por 𝑃 = 10 + 50 𝑙𝑛(3𝑥 + 1)

Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades es 33.

10. La función demanda de un producto está dada por p = 4 000

ln(2𝑥+10), donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio del precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?

11. Entre los años 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un año después de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x) donde x es el número de años después de 1970. Si este modelo es preciso después de 1998¿con que razón cambiará el porcentaje en el 2009?

12. El ingreso 𝑅 en millones de pesos, por la producción y venta de 𝑞 miles de unidades

de cierto producto se obtiene por la expresión

𝑅 =25𝑞

𝐿𝑛(𝑞 + 2)

Calcule e interprete la tasa de variación del ingreso si la producción se incrementa en 11 mil unidades.



Una compañía encuentra que la cantidad de dólares que deben gastar en publicidad se modela mediante

𝑦 = 200 ln (400

500 − 𝑥)

, semanalmente en publicidad para vender 𝑥 unidades. Calcule e interprete la tasa de variación de la publicidad respecto a la venta si la venta se incrementa a 4101 unidades.



DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

𝑑[𝑠𝑒𝑛(𝑢)]

𝑑𝑥= cos(𝑢) .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑠𝑐(𝑢)]

𝑑𝑥= −𝑐𝑠𝑐(𝑢)cot (𝑢).

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑜𝑠(𝑢)]

𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛 (𝑢).

𝑑𝑢

𝑑𝑥 𝑑[𝑠𝑒𝑐(𝑢)]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐(𝑢)𝑡𝑎𝑛(𝑢).

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑡𝑎𝑛(𝑢)]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2(𝑢).

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑜𝑡(𝑢)]

𝑑𝑥= −𝑐𝑠𝑐2(𝑢) .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejercicio Derivar: 1. y= sen(2x)

Derivando y´= cos(2x)(2) ó y´= 2cos(2x)

2. y= cos(3x) Derivando y´= - sen(3x)(3) ó y´= -3sen(3x)

3. y=tan(1/x) Derivando y´= sec2(1/x)(-1/x2) ó y´= (-1/x2)sec2(1/x)

4. y=cot2(x) Derivando y´=2cot(x)[csc2(x)]

5. y=sec2(3x2) Derivando y´=2sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2)6x ó y´=12x sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2)

6. 𝑦 =1

csc (𝑥)

Derivando 𝑦´ = −−csc(𝑥)cot (𝑥)

csc (𝑥)2=

csc(𝑥)cot (𝑥)

csc (𝑥)2=

cot (𝑥)

csc (𝑥)=

cos (𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)1

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= cos (𝑥)

7. 𝑦 = 𝑥2 sen(𝑥) tan(𝑥) Derivando

𝑦´ = [2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥2 cos(𝑥)] tan(𝑥) + 𝑥2 sen(𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑦´ = 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) tan(𝑥) + 𝑥2 cos(𝑥) tan(𝑥) + 𝑥2 sen(𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

Como: tan(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos(𝑥) y Sec(x) =

1

cos (x)

𝑦´ = 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos(𝑥)+ 𝑥2 cos(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos(𝑥)+ 𝑥2 sen(𝑥)

1

cos2 (x)

𝑦´ =2𝑥𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

cos (𝑥)+ 𝑥2 sen(𝑥) +

𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥)



𝑦´ =𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos (𝑥)[2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 cos(𝑥) + 𝑥𝑠𝑒𝑐(𝑥)]

𝑦´ = 𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥)[2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 cos(𝑥) + 𝑥𝑠𝑒𝑐(𝑥)]

8. 𝑦 =1+sen(𝑥)

𝑥+cos(𝑥)

𝑦´ =cos(𝑥) (𝑥 + cos (𝑥)) − (1 + sen(𝑥))(1 − sen(𝑥))

(𝑥 + cos(𝑥))2

𝑦´ =𝑥 cos(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2 − [1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)]

(𝑥 + cos(𝑥))2

𝑦´ =𝑥 cos(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2 − 1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

(𝑥 + cos(𝑥))2

Como: 𝑠𝑒𝑛2 + 𝑐𝑜𝑠2 = 1

𝑦´ =𝑥 cos(𝑥)

(𝑥 + cos(𝑥))2

10.𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos (𝑥) 11.𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − cos (2𝑥)

12.𝑓(𝑥) = √𝑥tan (𝑥) 13.𝑓(𝑡) = 𝑡3sec (𝑥)

14.𝑦 =𝑥

2−tan (𝑥) 15.𝑦 =

1+𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥+𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

16.𝑦 =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥 17.𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

18.𝑦 =𝑥2+1

𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 19.𝑦 = csc(𝛼) [𝛼 + cot(𝛼)]

20.y=x2sen5(2x) 21.y=sen4(x2+3x)

22.𝑓(𝑥) = 2 csc(𝑥) + 5cot (𝑥) 23.𝑦 = cos3(3x)

24.G(t)= Sec(5t)+tan(4t) 25.𝑦 = x2sen(𝛼) tan (𝛼)

26.𝑦 =1−𝑠𝑒𝑐(𝑥)

tan (𝑥) 27.y=sen3[cos(t)]

28.𝑦 =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1+cos (𝑥) 29. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑠𝑐(𝑥)



Ejercicio

1. Una compañía que vende abrigos para caballero obtiene la utilidad de sus ventas

aproximadamente por

𝑃(𝑡) = 20000 [1 − 𝐶𝑜𝑠 (𝜋

6𝑡)] 0 ≤ 𝑡 ≤ 36

, donde 𝑃(𝑡) es la utilidad por mes dada en dólares t meses desde el 1 de enero de 2013. Calcule la tasa de variación de la utilidad mensual al 1 de abril de 2013

2. El propietario de un almacén de electrodomésticos encuentra que durante el año

sus ventas varían de acuerdo a la expresión

𝑦 = 150 [1.5 − 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

4𝑡)] , 0 < 𝑡 ≤ 12

, donde t es el número de meses que han transcurrido en el año. Calcule e interprete la tasa de variación de la venta en abril y agosto.



Ejercicios Encuentre la segunda derivada de cada función

1. 𝑦 = 4𝑥3 − 16𝑥 6. 𝑦 = √3𝑥 + 3 11. 𝑦 = 𝑥√𝑥 − 2

2. 𝑦 = 𝑥5 – √𝑥 7. 𝑦 = √𝑥2 − 15

12. 𝑦 = 𝑒−2𝑥

3. 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥 − 1 8. 𝑦 =3

𝑥2−5 13. 𝑦 = 10𝑒𝑥

2

4. 𝑦 = 3𝑥4 + √𝑥3

9. 𝑦 = ln(𝑥) 14. 𝑢 =2𝑢2

5−𝑢

5. 𝑦 = √𝑥3 ´ 10. 𝑦 = √𝐿𝑛(5 − 2𝑥 15. 𝑓(𝑎) = −6

𝑎

Problemas 1. Suponga que dado el ingreso por la venta de cierto producto y la cantidad vendida

encuentre la tasa de cambio del ingreso marginal a. R(x) = 100x – 0.01x2; x = 10 b. R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3; x = 100 c. R(x) = 15x + 30(4x +1)-1 – 3; x = 25

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Como la derivada de una función es de por sí otra función, podemos calcular una derivada de la derivada. La derivada de la 1ra derivada recibe el nombre de 2da derivada. También podemos encontrar derivadas de 3er, 4to, 5to orden y superior



MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Prueba de la primera derivada. Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes

procedimientos:

Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la

función. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥2 + 6 𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 24𝑥

2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos. Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos.

𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 24𝑥 = 0 6𝑥(𝑥 − 4) = 0

Entonces si 6x=0, x=0 Si x – 4 = 0, x = 4 Los valores críticos son 0 y 4

3 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos

𝑓(0) = 6 𝑓(4) = −58

Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58)

4 Evalúe f`(x) en algunos valores de x a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico para construir un diagrama de signos Si f`(x) > 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a la derecha del valor crítico, el punto crítico es un punto máximo relativo Si f´(x) < 0 a la izquierda y f´(x) > 0 a la derecha del valor crítico es un punto mínimo relativo

f´(-1)=30 y f`(1)=-18 Hay un máximo f´(3)=-18 y f`(5)=30 Hay un mínimo

Gráficamente

x

y

f´(x)

f(x)

𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 24𝑥 𝑓´(𝑥2 − 1) > 0

Máximo Relativo

𝑓´(𝑥1 + 1) < 0

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥2 + 6

𝑓´(𝑥1 − 1) > 0 𝑓´(𝑥2 + 1) < 0

Valor Crítico

Valor Crítico

Punto Crítico

Punto Crítico

Mínimo Relativo



Es de notar que: Si 𝑓´(𝑥) > 0 la función es creciente. Si 𝑓´(𝑥) < 0 la función es decreciente. Si 𝑓´(𝑥) = 0 la función no es creciente ni decreciente.

Ejercicios Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la primera derivada

1. y = x3 – 3x + 2 2. y = 3x – x3 3. y = x3 – 12x + 2

4. y = -x2 + 6x + 6 5. y = x4 – 8x2 + 3 6. y = x2/3 + 2

7. 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1 8. 𝑦 =1

2𝑥2 − 𝑥 9. 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥

10. y= x3 – 3x - 4

11. y = 1 – 3x+ 3x2-x3

12. 𝑦 =𝑥3

3−𝑥2

2− 2𝑥 + 1

13.𝑦 = 2𝑥4 − 16𝑥2 + 4 14.𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 1 15.

Prueba de la segunda derivada Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes procedimientos:

Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la

función. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥2 + 6 𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 24𝑥

2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos. Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos.

𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 24𝑥 = 0 6𝑥(𝑥 − 4) = 0

Entonces si 6x=0, x=0 Si x – 4 = 0, x = 4 Los valores críticos son 0 y 4

3 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos

𝑓(0) = 6 𝑓(4) = −58

Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58)

4 Evalúe f´´(x) en cada valor crítico para el cual f`(x)=0 Si f´´(x0) <0, un máximo relativo ocurre en x0

f´´(x)=12x-24 Si x=0 f´´(x)=12(0)-24=-24 Ocurre un máximo relativo Si x=4



Si f´´(x0) > 0, un mínimo relativo ocurre en x0 Si f´´(x0) = 0 ó f´´(x0) es indefinida, la prueba de la segunda derivada falla; use la prueba de la primera derivada

f´´(4)=12(4)-24=24 Ocurre un mínimo relativo

Gráficamente

Es de notar que:

Criterio Característica Gráfica 𝑓´´(𝑥) > 0 Si la función es cóncava hacia arriba en el

punto 𝑥

𝑓´´(𝑥) < 0 Si la función es cóncava hacia abajo en el punto 𝑥

𝑓´´(𝑥) = 0 Hay un punto de inflexión en el punto 𝑥

x

y

Valor Crítico

𝑓´´(𝑥) = 12𝑥 − 24

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥2 + 6

Valor Crítico

Punto Crítico

Punto Crítico 𝑓´´(4) = 24 > 0

𝑓´´(0) = −24 < 0

Máximo Relativo

Mínimo Relativo



Ejercicios Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la segunda derivada y grafique 1. 𝑦 = 2𝑥4 − 16𝑥2 + 4

Se halla la primera derivada: 𝑦´ = 8𝑥3 − 32𝑥 Se iguala a cero 8𝑥3 − 32𝑥 = 0 Factorizando 8𝑥(𝑥2 − 4) = 0

Es decir 8𝑥 = 0 por lo que 𝒙 = 𝟎 ó 𝑥2 − 4 = 0 es decir 𝑥 = ±√4 = ±2 por lo que tendríamos tres valores críticos, 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟐 = 𝟐 𝑦 𝒙𝟑 = −𝟐 Reemplazando los valores críticos en la función original: Si 𝒙𝟏 = 𝟎 entonces 𝒚𝟏 = 𝟒, tendríamos un punto crítico en (0, 4) Si 𝒙𝟐 = 𝟐 entonces 𝒚𝟏 = −𝟐𝟖, tendríamos un punto crítico en (2, -28) Si 𝒙𝟑 = −𝟐 entonces 𝒚𝟏 = −𝟐𝟖, tendríamos un punto crítico en (-2, -28) Hallamos la 2da derivada 𝑦´´ = 24𝑥2 − 32 Se evalúa el valor crítico en la 2da derivada: Si 𝒙𝟏 = 𝟎 entonces 𝑦´´ = −32 entonces existe un máximo relativo en el punto (0, 4) Si 𝒙𝟐 = 𝟐 entonces 𝑦´´ = 64 entonces existe un mínimo relativo en el punto (2, -28) Si 𝒙𝟐 = −𝟐 entonces 𝑦´´ = 64 entonces existe un mínimo relativo en el punto (-2, -28)

Para graficar inicialmente siga los siguientes pasos ubique en el plano cartesiano los valores críticos, luego los puntos críticos, En cada punto crítico la curva cambia de dirección teniendo en cuenta que

Si es un máximo la forma de la curva toma la forma

Si es un mínimo la forma de la curva toma la forma

Para finalizar una las líneas La grafica resultante es



2.𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1 3.𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 4 4.𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 4

5.𝑦 =𝑥3

3−𝑥2

2− 2𝑥 + 1 6.𝑦 =

𝑥3

3−𝑥2

2− 6𝑥 + 2 7.y = 1 – 3x+ 3x2-x3

8.𝑦 = 2x3 − 9x2 + 12x 9.𝑓(𝑥) =2

3𝑥3 − 8𝑥

10.𝑓(𝑥) =1

2𝑥4 − 3𝑥2 + 4𝑥

11.𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥4 12.𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 32𝑥2 + 8 13.𝑦 = 𝑥4 + 4x3 + 4x2

14.𝑓(𝑥) =3

2𝑥2 +

81

𝑥

15.𝑓(𝑥) =

4

𝑥4 16.𝑓(𝑥) = 5𝑥3 +

4

𝑥

17.𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4√𝑥 18.𝑓(𝑥) = 𝑥5 3⁄ 19. 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2)(𝑥 − 4)

20. 𝑦 = −(𝑥 − 3)2

3 21. 𝑓(𝑥) =5

2(3𝑥4 + 6𝑥2 + 2)3 22. 𝑓(𝑥) = 𝑥√1 − 𝑥2

23. 𝑓(𝑥) =𝑥

√𝑥2−7 24. 𝑓(𝑥) =

2𝑥

√𝑥2−1

25.𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)1/3(𝑥 +1)2/3

Ejercicios Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen

1.f(x) = x ex 2.f(x) = x e2-x 3.f(x) = x2 e-x 4.f(x) = ex + e-x

5.f(x) = x ln (x) 6.f(x) = x2 ln (x) 7.f(x) = x2 8ln(x) 8.f(x) = ln (x) – x

x

y



Problemas 1. El análisis marginal es la rama de la economía que estudia la variación de ciertas

cantidades como precio, ingreso, costo y / o utilidad, cuando se presentan pequeños cambios en el nivel de producción. La utilidad G percibida por la producción y venta de q unidades es G (q) = I(q) – C(q) , donde C(q) es el costo total e I(q) el ingreso que se obtiene por I(q)=p×q , donde p es el precio por unidad.

Si un fabricante estima que si produce q miles de unidades por mes de cierto artículo su costo total C viene expresado por la relación:

𝑪(𝒒) = 𝟎. 𝟏𝒒𝟐 + 𝟎. 𝟐𝒒 − 𝟏𝟎𝟎 , dólares El precio por unidad está dado por

𝒑(𝒒) = 𝟎. 𝟏𝟏𝒒 + 𝟒𝟏. 𝟖 , dólares

b. Determina los máximo y/mínimos relativos (si existen) Hallamos la función ingreso I(q)=p×q

I(q)= (𝟎. 𝟏𝟏𝒒 + 𝟒𝟏. 𝟖)(𝒒) I(q)=𝟎. 𝟏𝟏𝒒𝟐 + 𝟒𝟏. 𝟖𝒒

Hallamos la utilidad G (q) = I(q) – C(q)

G (q) = 𝟎. 𝟏𝟏𝒒𝟐 + 𝟒𝟏. 𝟖𝒒 − (𝟎. 𝟏𝒒𝟐 + 𝟎. 𝟐𝒒 − 𝟏𝟎𝟎) G (q) = 𝟎. 𝟏𝟏𝒒𝟐 + 𝟒𝟏. 𝟖𝒒 − 𝟎. 𝟏𝒒𝟐 − 𝟎. 𝟐𝒒 + 𝟏𝟎𝟎

G (q) = 𝟎. 𝟎𝟏𝒒𝟐 − 𝟎. 𝟐𝒒 + 𝟏𝟎𝟎 Derivamos

G ´(q) = 𝟎. 𝟎𝟐𝒒 − 𝟎. 𝟐 Igualamos a cero y despejamos

𝟎. 𝟎𝟐𝒒 − 𝟎. 𝟐 = 𝟎 𝒒 = 𝟏𝟎

El valor crítico del nivel de producción se alcanza en q=10 (10000 unidades). Remplazando en la utilidad

G (q) = 𝟎. 𝟎𝟏(𝟏𝟎)𝟐 − 𝟎. 𝟐(𝟏𝟎) + 𝟏𝟎𝟎 G (q) = 99

Hallamos la segunda derivada G ´´(q) = 𝟎. 𝟎𝟐



Por tanto existe un mínimo relativo. Indica que la mínima utilidad que se puede obtener es de 99 dólares y se alcanza cuando se producen 10 000 unidades.

c. Verifique que se cumplan las condiciones

I´(qo) = C´(qo) Es decir que el costo marginal y el ingreso marginal son equivalentes en el punto crítico La función ingreso es I(q)=𝟎. 𝟏𝟏𝒒𝟐 + 𝟒𝟏. 𝟖𝒒 derivando obtenemos el ingreso marginal

I´(q)=𝟎. 𝟐𝟐𝒒 , remplazando q=10, I´(q0)=𝟎. 𝟐𝟐(𝟏𝟎) entonces I´(q0)=2.2 La función costo es 𝑪(𝒒) = 𝟎. 𝟏𝒒𝟐 + 𝟎. 𝟐𝒒 − 𝟏𝟎𝟎 derivando obtenemos el costo marginal

𝑪´(𝒒) = 𝟎. 𝟐𝒒 + 𝟎. 𝟐 , remplazando q=10, 𝑪´(𝒒𝟎) = 𝟎. 𝟐(𝟏𝟎) + 𝟎. 𝟐 entonces 𝑪´(𝒒𝟎) = 𝟐. 𝟐 Por tanto la condición se cumple

𝒅𝟐𝑰

𝒅𝒒𝟐(𝒒𝟎) <

𝒅𝟐𝑪

𝒅𝒒𝟐(𝒒𝟎)

Hallamos la segunda derivada del ingreso 𝑑2𝐼

𝑑𝑞2= 0.22

y la segunda derivada del costo 𝑑2𝐶

𝑑𝑞2= 0.2

Por tanto no se cumple la condición

2. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando la inversión de capital asciende a x millones de dólares, y

𝐺(𝑥) = 400 + 280𝑥 +300

𝑥

a. Calcule los máximos y mínimos relativos si existen

Hallamos la primera derivada

𝐺´(𝑥) = 280𝑥 −300

𝑥2

Igualamos la derivada en cero

280 −300

𝑥2= 0

Despejamos la variable para hallar el o los valores críticos



280 =300

𝑥2

𝑥2 =300

280= 1.07143

𝑥 = ±1.0351 El valor que tiene sentido para el problema es x=1.0351 Obtenemos el punto crítico

𝐺(𝑥) = 400 + 280(1.0351) +300

1.0351

𝐺(𝑥) = 400 + 280(1.0351) +300

1.0351= 979.6

El punto crítico es (1.0351, 979.6) Hallamos la segunda derivada

𝐺´´(𝑥) =600

𝑥3

Remplazando el valor crítico

𝐺´´(𝑥) =600

1.03513= 541

Como 𝐺´´(𝑥) es mayor que cero entonces existe un mínimo relativo.

b. Interprete el resultado en c. La mínima cantidad de estufa que se pueden producir son aproximadamente 980 con una inversión de capital de 1.0351 millones de dólares.

3. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos

en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión

𝑦 = 3𝑥 + 8𝑥2 − 𝑥3

a. Encuentre los valores críticos de esta una función Hallamos la primera derivada de la función y´= 3 + 16x – 3x2 Igualamos la derivada a cero: 3 + 16x – 3x2 = 0

Utilizando la ecuación general -b±√b2-4ac

2a para la solución de una ecuación cuadrática

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , obtenemos dos soluciones x1=5.5 y x2=-0.1

b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?

El valor que tiene sentido para el problema es 5.51, por lo que x es el número de horas trabajadas después de iniciar labores y este no puede ser negativo



c. Encuentre los puntos críticos

Remplazamos el valor crítico 5.5 en la función original Y= 3(5.5) + 8(5.5)2 - (5.5)3 = 16.5 + 242- 166.3 = 92

El punto crítico está en (5.5, 92)

d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? Hallamos la segunda derivada de la función y´´=16 – 6x, remplazamos el valor crítico, y´´=16 – 6(5.5) = -17 Como y´´<0, ocurre un máximo relativo. Significa que la máxima producción de se obtiene 5.5 horas después de haber iniciado labores, pintando 92 marcos

c. Graficando la función incluyendo la la segunda derivada

4. La demanda de cierto producto está dada por

𝑝 = 42 − 4𝑞 , y la función costo promedio

𝑐̅ = 2 +80

𝑞

Calcule el precio que maximiza la utilidad. Debemos hallar la función utilidad definida como Utilidad (U)=Ingreso (R) – Costo total (C) La función Ingreso (R) es el producto del precio por la cantidad, es decir

𝑅 = 𝑞𝑝 𝑅 = 𝑞(42 − 4𝑞) 𝑅 = 42𝑞 − 4𝑞2

La función costo total es el producto de la cantidad por el costo promedio es decir

(5.5, 92)

Horas Trabajadas

Can

t. de

mar

cos

Pin

tado

s

y=3x+8^2-x̂ 3

y´´=16-6x

y´´<0 (Máximo Relativo)



𝐶 = 𝑞𝑐 ̅

𝐶 = 𝑞 (2 +80

𝑞)

𝐶 = 2𝑞 + 80 Remplazando en la ecuación de la función utilidad

𝑈 = (42𝑞 − 4𝑞2) − (2𝑞 + 80) 𝑈 = 42𝑞 − 4𝑞2 − 2𝑞 − 80 𝑈 = −4𝑞2 + 40𝑞 − 80

Derivamos la utilidad 𝑈´ = −8𝑞 + 40

Igualamos a cero

−8𝑞 + 40 = 0 Despejamos

40 = 8𝑞

𝑞 =40

8= 5

El valor crítico se obtiene cuando se demandan 5 unidades. Remplazamos en la ecuación de la utilidad

𝑈 = −4(5)2 + 40(5) − 80 = 20 Es decir que existe un punto crítico cuando se demandan 5 unidades y la utilidad es de 20 unidades monetarias. Hallamos la segunda derivada de la función utilidad

𝑈´´ = −8 Como la segunda derivada es menor que cero, entonces la máxima utilidad es de 20 unidades monetarias y se obtiene cuando se demandan 5 unidades Si remplazamos la cantidad en la ecuación de la demanda

𝑝 = 42 − 4(5) = 42 − 20 = 22 Por lo tanto el precio que maximiza la utilidad es de 22 unidades monetarias

5. Cierta empresa líquida el costo total de almacenamiento y envio de materiales para un proceso de manufactura de acuerdo con la expresión

𝐶(𝑘) = 100 (100 + 9𝑘 +144

𝑘)

, donde 𝐶(𝑘) se da en dólares y k es el número de toneladas de material que se almacena y envía. Determine los máximos y/o mínimos relativos que tienen sentido para el problema ¿qué significa) Derivamos el costo



C´(k) = 100 (9 −144

k2)

Igualamos a cero

100 (9 −144

k2) = 0

9 −144

k2= 0

Despejando

k2 =144

9= 16

k = ±√16 = ±4 Es decir, se tendría dos valores críticos k=4 y k=-4, como k es la cantidad de toneladas de material k=-4 no tiene sentido, por lo tanto lo depreciamos y trabajamos solo con k=4.

Hallamos el punto crítico, remplazando k=4 en la función original

C(4) = 100 (100 + 9(4) +144

4)

𝐶(4) = 17200

Es decir, se tiene un punto crítico en (𝟒, 𝟏𝟕𝟐𝟎𝟎)

Se halla la 2da derivada:

𝐶´´(𝑘) =28800

k3

Se evalúa el valor crítico en la 2da derivada:

𝐶´´(4) =28800

43

𝐶´´(4) = 450 Luego existe un mínimo relativo en el punto (4,17200)

El costo mínimo de almacenamiento es de 17200 dólares y se obtiene cuando se almacena y envía 4 toneladas de material.

6. La función costo total de producción de 𝑞 unidades de cierto producto está dada por

𝐶 =𝑞2

4+ 3𝑞 − 67 , y 𝑝 =

1

5(45 − 𝑞) el precio al cual se venderían 𝑞 unidades. ¿Cuál es

la máxima utilidad que se puede obtener? Utilidad: 𝑈 = 𝐶 − 𝐼 Ingreso



Sabemos que el ingreso es: 𝐼 = 𝑝𝑞 remplazando

𝐼 =1

5(45 − 𝑞) × 𝑞

𝐼 = 9𝑞 −1

5𝑞2

La utilidad es 𝑈 = 𝐶 − 𝐼 remplzando

𝑈 = (9𝑞 −1

5𝑞2) − (

𝑞2

4+ 3𝑞 − 67)

𝑈 = 9𝑞 −1

5𝑞2 −

𝑞2

4− 3𝑞 + 67

𝑈 = 9𝑞 −1

5𝑞2 −

𝑞2

4− 3𝑞 + 67

𝑈 = −9

20𝑞2 + 6𝑞 + 67

Derivando

𝑈´ = −9

10𝑞 + 6

Igualando a cero:

−9

10𝑞 + 6 = 0

6 =9

10𝑞

6 =9

10𝑞

𝑞 =20

3≈ 7

Tenemos un valor critico cuando se venden 7 unidades Remplazamos en la función original

𝑈 = −9

20(7)2 + 6(7) + 67

𝑈 = −9

20(7)2 + 6(7) + 67

𝑈 = 86.95 Encontramos un punto crítico cuando se vende 7 unidades y la utilidad es de 86.95 U.M. Hallamos la segunda derivada:

𝑈´´ = −9

10< 0

Por lo tanto existe un máximo relativo, es decir la máxima utilidad es de 86.95 U.M. y se obtiene cuando se venden 7 unidades.



7. Una organización de investigación de mercado afirma que si una compañía gasta x millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función

𝑃 = 40𝑥2𝑒−0.5𝑥 , donde P se expresa en millones de pesos. a. ¿Cuál debería ser el gasto en publicidad por televisión con el fin de maximizar la

utilidad? b. ¿Cuál es la utilidad máxima que se puede obtener?

Hallamos la primera derivada de la utilidad respecto a la inversión en publicidad

𝑃´ = 80𝑥(𝑒−0.5𝑥) + 40𝑥2(𝑒−0.5𝑥)(−0.5) 𝑃′ = 80𝑥𝑒−0.5𝑥 − 20𝑥2𝑒−0.5𝑥

Igualamos a cero 80𝑥𝑒−0.5𝑥 − 20𝑥2𝑒−0.5𝑥 = 0

Despejamos 80𝑥𝑒−0.5𝑥 = 20𝑥2𝑒−0.5𝑥

𝑥 = 4 Existe un valor crítico cuando se invierten 4 millones de pesos en publicidad. Remplazamos en la función original

𝑃(4) = 40(4)2𝑒−0.5(4) 𝑃 = 86.61

Es decir que el punto crítico es (4, 86.61) Hallamos la segunda derivada 𝑃′′ = [80𝑒−0.5𝑥 + 80𝑥𝑒−0.5𝑥(−0.5)] − [40𝑥𝑒−0.5𝑥 + 20𝑥2𝑒−0.5𝑥(−0.5)]

𝑃′′ = [80𝑒−0.5𝑥 − 40𝑥𝑒−0.5𝑥] − [40𝑥𝑒−0.5𝑥 − 10𝑥2𝑒−0.5𝑥] 𝑃′′ = 80𝑒−0.5𝑥 − 40𝑥𝑒−0.5𝑥 − 40𝑥𝑒−0.5𝑥 + 10𝑥2𝑒−0.5𝑥

𝑃′′ = 80𝑒−0.5𝑥 − 80𝑥𝑒−0.5𝑥 + 10𝑥2𝑒−0.5𝑥 𝑃′′ = 10𝑒−0.5𝑥(8 − 8𝑥 + 𝑥2)

, evaluamos el valor crítico en la segunda derivada (x=4) 𝑃′′(4) = 10𝑒−0.5(4)(8 − 8𝑥 + (4)2)

𝑃′′(4) = −10.82

a. La inversión en publicidad que maximizar la utilidad es de 4 millones de pesos. b. La utilidad máxima que se puede obtener es de 86.61 millones de pesos

8. Un estudio de eficiencia indica que un trabajador que llega a las 8:00 a.m. ensamblará

𝑄(𝑡) = −𝑡3 +9

2𝑡2 + 15𝑡 Unidades por hora

¿En qué momento de la mañana opera con eficiencia máxima? Derivamos: 𝑄´ = −3𝑡2 + 9𝑡 + 15

Igualamos a cero: −3𝑡2 + 9𝑡 + 15 = 0



Factorizando: −3(𝑡2 − 3𝑡 − 5) = 0

Por lo que: 𝑡2 − 3𝑡 − 5 = 0

Al resolver aplicando formula general encontramos dos raíces: 𝑡1 = −1.1 y 𝑡2 = 4.1

Por ser 𝑡 tiempo depreciamos 𝑡1 = −1.1 y tomamos como valor crítico a 𝒕𝟐 = 𝟒. 𝟏

Remplazando en la función original: 𝑄´ = −3(4.1)2 + 9(4.1) + 15 = 1.47

Indica que existe un punto crítico en (4.1, 1.47)

Hallamos la segunda derivada: 𝑄´´ = −6𝑡 + 9

Remplazando 𝒕𝟐 = 𝟒. 𝟏: 𝑄´´ = −6(4,1) + 9 = −15.6 < 0

Entonces en (4.1, 1.47) existe un máximo relativo

Indica, que el momento de la mañana en que el trabajador opera con mayor eficiencia es 4.1 horas después de iniciar labores ensamblando 1.47 unidades por hora

9. Un empresario ha calculado que el costo total de repartir 𝑥 unidades de cierto

producto que fabrica es:

𝐶 = 2𝑥 +217800

𝑥

Determinar a. ¿Cuántas unidades se tienen que repartir para minimizar el costo total?

b. ¿Cuál es el costo mínimo relativo que se puede obtener?

Derivamos: 𝐶´ = 2 −217800

𝑥2

Igualamos a cero: 2 =217800

𝑥2

Despejando: 𝑥2 =217800

2

Por lo que: 𝑥2 = 108900

Sacando la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad obtenemos dos raíces:

𝑥1 = 330 y 𝑥2 = −330

Por ser 𝑥 unidades depreciamos 𝑥2 = −330 y tomamos como valor crítico a

𝑥1 = 330

Remplazando en la función original: 𝐶 = 2(330) +217800

330= 1320

Indica que existe un punto crítico en (330, 1320)

Hallamos la segunda derivada: 𝐶´´ =435600

𝑥3

Remplazando 𝑥1 = 330: 𝐶´´ =435600

3303= 1320 > 0

Entonces en (330, 1320) existe un mínimo relativo

a.Para minimizar el costo total se tienen que repartir 330 unidades.



b.El costo mínimo que se puede obtener es de 1320 U.M.

10. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( en

dólares por unidad) está dado por

𝑐̅ = 2𝑞2 − 36𝑞 + 210 −200

𝑞

, donde 2 ≤ q ≤ 10 a. Halle la función costo total (𝐶 = 𝑞𝑐̅) b. Determine los máximos y/mínimos de la función costo total (si existen) c. Interprete los resultados

11. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es

𝑅(𝑥) = 150𝑥 −𝑥2

4

, determine: a. El o los valores relativos si existen b. Los máximos o mínimos relativos si existen c. Interprete el resultado

12. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por

U(x)=130 + 80x – x2 miles de pesos

, donde x es la inversión en publicidad en miles de pesos a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. Encuentre los puntos críticos c. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

13. El costo promedio, en dólares, de la producción de x discos compactos en cierta compañía de discos está dado por

𝐶(𝑥)̅̅ ̅̅ ̅̅ = −0.0001𝑥 + 2 −2000

𝑥

a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

14. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función

del tiempo t por la fórmula 𝑆(𝑡) = 10 000 + 2 000𝑡 − 200𝑡2



, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

15. El costo promedio de fabricar cierto artículo es

𝐶̅ = 5 +48

𝑥+ 3𝑥2

, donde x es el número de artículos producidos a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

16. Una empresa vende todas las unidades que produce en 4 mil pesos cada una. El costo

total de la empresa C por producir x unidades esta dado en miles de pesos por

𝐶 = 50 − 1.3𝑥 + 0.001𝑥2 a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

17. La función de costo para una empresa, está dada por

C(x)= 300x-10x2- 𝑥3

3


18. La función de costo de una fabricante es C(x)=1000 - 5x + 0.1x2, cuando se producen

𝑥 artículos por día. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.Encuentre los puntos críticos c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?





Donde P es el número de unidades producidas por hora a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

20. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número

de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es

𝑦 = 70𝑡 + 1

2𝑡2 − 𝑡3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8


21. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de cierto

producto es

𝐶̅ = 5 000𝑥 +125000

𝑥, 𝑥 > 0

Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de producción a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

22. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo

que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio 𝑐̅ de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas 𝑥 específicamente.

𝑐̅ = 0.003𝑥2 − 0.216𝐿𝑛(𝑥) + 5 a. Determine el número de personas que deberían ser contratadas para minimizar

el costo promedio. b. ¿Cuál es el mínimo costo promedio?

23. La función costo promedio para cierto producto está dada por

𝐶̅ = 0.2𝑞 + 28 +200

𝑞

, donde 𝑞es el número de unidades producidas. Hallar e interpretar los valores máximos y/o mínimo, que tienen sentido para el problema (si existen)



24. Dada la función ingreso 𝑅 = 30𝑥2/3 − 2𝑥 donde 𝑥 es la cantidad vendida. ¿Cuál es la

cantidad que maximiza el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo?

25. Las ventas totales de cierta empresa A se relacionan con la inversión en publicidad

de acuerdo con 𝑓(𝑥) = −0.01𝑥3 + 1.5𝑥2 + 200. ¿Cuál es la inversión en publicidad que maximiza las ventas? y ¿Cuál es la venta máxima que se puede obtener?

26. El costo promedio (en miles de pesos) de producir q unidades de cierto producto

está dado por

𝐶̅ =7000𝑒

𝑞700⁄

𝑞

, donde 𝑞 son las unidades producidas. Calcule e interprete los valores máximos y/o mínimos relativos que tienen sentido para el problema (si existen) y grafique

27. Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 120 unidades diarias. La función de costo promedio está dada por

𝐶(𝑞) = 100 + 30𝑞 +75000

𝑞

Encuentre el nivel de producción que minimiza el costo promedio.

28. La producción de cierta hortaliza en un invernadero, 𝑄(𝑥) en kg., depende de la temperatura, 𝑥 en °𝐶, según la expresión:

𝑄(𝑥) = (𝑥 + 1)2 (32 − 𝑥) a. ¿Cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero? b. ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

29. Una compañía determina que si se gastan x miles de dólares en publicidad de cierto producto, entonces se venderán 𝑆(𝑥) unidades del producto, donde

𝑆(𝑥) =200𝑥 + 1500

0.02𝑥2 + 5

¿Cuánto se debe gastar en publicidad para maximizar el nivel de ventas?

30. En un negocio se estima que cuando se emplean x miles de personas, su utilidad será p(x) millones de dólares, donde

𝑃(𝑥) = 10 + 𝑙𝑛 (𝑥

25) − 12𝑥2, para 𝑥 > 0

¿Qué nivel de empleo maximiza la utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?



31. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas x es

𝐶 = 0.003𝑥2 − 0.216 ln(𝑥) + 5 a. Determine el número de personas que deberán ser contratadas para minimizar el

costo promedio. b. ¿Cuál es el mínimo es costo promedio?



DERIVADA IMPLÍCITA

Una ecuación de la forma 𝑭(𝒙, 𝒚) = 0, expresa a y como función de x en forma implícita. Se usa la palabra implícita puesto que ya y no está dada de manera explícita como función de x. sin embargo se supone o queda implícito que la ecuación define a y por lo menos como una función derivable en x. Procedimiento para derivar implícitamente Para una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una función

derivable en x, la derivada 𝒅𝒚

𝒅𝒙 puede encontrarse:

17. Derivar cada término de la ecuación respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y se

le agrega 𝒅𝒚

𝒅𝒙.

18. Despeja 𝒅𝒚

𝒅𝒙 , y tenga en cuenta las restricciones.

Ejercicio

Encuentre 𝒅𝒚

𝒅𝒙 mediante diferenciación implícita e indique las restricciones si existen.

1. 𝑥2 + 4𝑦2 = 4

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 2𝑥 + 8𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 8𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑥 ,

𝑑𝑦

𝑑𝑥=−2𝑥

8𝑦

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

𝒙

𝟒𝒚 La ecuación se restringe en y=0

2. 2𝑦3 − 7𝑥2 = 5

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 6𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 14𝑥 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑑𝑦

𝑑𝑥=14𝑥

6𝑦2 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜

𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝟕𝒙

𝟑𝒚𝟐

La ecuación se restringe en y=0

3. 𝑥𝑦 = 4

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 + 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜

𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

𝒚

𝒙 , la ecuación se restringe en x=0

4. 2𝑥3 + 𝑦3 − 12𝑥𝑦 = 0

La diferenciación implícita es una técnica para derivar funciones que no están dadas en la forma usual y = f(x).



𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 6𝑥2 + 3𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥− (12𝑦 + 12𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥) = 0,

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 6𝑥2 + 3𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 12𝑦 − 12𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0,

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 3𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 12𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −6𝑥2 + 12𝑦,

𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑦

𝑑𝑥(3𝑦2 − 12𝑥) = −6𝑥2 + 12𝑦,

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑦

𝑑𝑥=−6𝑥2 + 12𝑦

3𝑦2 − 12𝑥,

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝟒𝒚 − 𝟐𝒙𝟐

𝒚𝟐 − 𝟒𝒙

5. 𝑦 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑥𝑒𝑦

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 ln(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑦

𝑥= 𝑒𝑦 + 𝑥𝑒𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 ln(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥𝑒𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒𝑦 −

𝑦

𝑥

𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑦

𝑑𝑥(ln(𝑥) − 𝑥𝑒𝑦) = 𝑒𝑦 −

𝑦

𝑥

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒙𝒆𝒚 − 𝒚

𝒙(𝐥𝐧(𝒙) − 𝒙𝒆𝒚)

6. 𝟖(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎(𝒙𝟐 – 𝒚𝟐)

Derivando 16(𝑥2 + 𝑦2). (2𝑥 + 2𝑦𝑦′) = 100(2𝑥 − 2𝑦𝑦′)

Despejando 32𝑥(𝑥2 + 𝑦2) + 32𝑦𝑦′(𝑥2 + 𝑦2) = 200𝑥 − 200𝑦𝑦′

32𝑦𝑦′(𝑥2 + 𝑦2) + 200𝑦𝑦′ = 200𝑥 − 32𝑥(𝑥2 + 𝑦2)

𝑦´[32𝑦(𝑥2 + 𝑦2) + 200𝑦] = 200𝑥 − 32𝑥(𝑥2 + 𝑦2)

𝑦´ =200𝑥 − 32𝑥(𝑥2 + 𝑦2)

32𝑦(𝑥2 + 𝑦2) + 200𝑦

𝑦´ =8[25𝑥 − 4𝑥(𝑥2 + 𝑦2)]

8[4𝑦(𝑥2 + 𝑦2) + 25𝑦]



𝒚´ =𝟐𝟓𝒙 − 𝟒𝒙(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝟒𝒚(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) + 𝟐𝟓𝒚

7. 𝒙𝟑𝟒⁄ + 𝒚

𝟑𝟒⁄ = 𝟓

Derivando 3

4𝑥−1

4⁄ + 3

4𝑦−1

4⁄ 𝑦′ = 0

Despejando 3

4𝑦−1

4⁄ 𝑦′ = −3

4𝑥−1

4⁄

𝑦′ = −3

4 𝑥−1

4⁄

3

4𝑦−1

4⁄=

−𝑥−1

4⁄

𝑦−1

4⁄

𝒚′ = − 𝒚𝟏𝟒⁄

𝒙𝟏𝟒⁄

8. 𝒙 = √𝒚 + √𝒚𝟒

Re-expresando 𝑥 = 𝑦12⁄ + 𝑦

14⁄

Derivando 1 = 1

2𝑦−1

2⁄ 𝑦′ + 1

4𝑦−3

4⁄ 𝑦′

1 = 𝑦′(1

2𝑦−1

2⁄ + 1

4𝑦−3

4⁄ ) = 𝑦´ (1

2√𝑥+

1

4 √𝑥34 ) = 𝑦´ (

4 √𝑥34

+2√𝑥

8 √𝑥54 )

𝟖√𝒙𝟓𝟒

𝟒√𝒙𝟑𝟒

+ 𝟐√𝒙= 𝒚´

9. 𝒙√𝒚+ 𝟏 = 𝒚√𝒙 + 𝟏

Re-expresando 𝑥(𝑦 + 1)12⁄ = 𝑦(𝑥 + 1)

12⁄

Derivando (1). (𝑦 + 1)12⁄ + 𝑥.

1

2(𝑦 + 1)

−12⁄ . 𝑦′ = 𝑦′. (𝑥 + 1)

12⁄ + 𝑦.

1

2(𝑥 +

1)−1

2⁄ . (1)

(𝑦 + 1)12⁄ +

1

2𝑥𝑦′(𝑦 + 1)

−12⁄ = 𝑦′(𝑥 + 1)

12⁄ +

1

2𝑦(𝑥 + 1)

−12⁄



1

2𝑥𝑦′(𝑦 + 1)

−12⁄ − 𝑦′(𝑥 + 1)

12⁄ =

1

2𝑦(𝑥 + 1)

−12⁄ − (𝑦 + 1)

12⁄

𝑦′ (1

2𝑥(𝑦 + 1)

−12⁄ − (𝑥 + 1)

12⁄ ) =

1

2𝑦(𝑥 + 1)

−12⁄ − (𝑦 + 1)

12⁄

𝑦′ = 1

2𝑦(𝑥+1)

−12⁄ − (𝑦+1)

12⁄

1

2𝑥(𝑦+1)

−12⁄ − (𝑥+1)

12⁄

𝒚′ = 𝒚(𝒙+𝟏)

−𝟏𝟐⁄ − 𝟐(𝒚+𝟏)

𝟏𝟐⁄

𝒙(𝒚+𝟏)−𝟏

𝟐⁄ − 𝟐(𝒙+𝟏)𝟏𝟐⁄

10. 𝒆𝒙+𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙 + 𝒚)

Derivando 𝑒𝑥+𝑦. (1 + 𝑦′) = 1+𝑦′

𝑥+𝑦

Despejando 𝑒𝑥+𝑦 + 𝑦′𝑒𝑥+𝑦 = 1+𝑦′

𝑥+𝑦

(𝑥 + 𝑦)𝑒𝑥+𝑦 + (𝑥 + 𝑦)𝑦′𝑒𝑥+𝑦 = 1 + 𝑦´

(𝑥 + 𝑦)𝑦′𝑒𝑥+𝑦 − 𝑦´ = 1 − (𝑥 + 𝑦)𝑒𝑥+𝑦

𝒚´ =𝟏 − (𝒙 + 𝒚)𝒆𝒙+𝒚

(𝒙 + 𝒚)𝒆𝒙+𝒚 − 𝟏

11. 3𝑥2 + 6𝑦2 = 1 12. 2𝑥2 − 3𝑦2 = 4 13. 𝑦3 = 4𝑥

14. 𝑦2 + 𝑦 = ln(𝑥) 15. 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦2 = 0 16. (2𝑥 + 3)3 = 𝑥

17. (3𝑥𝑦2 + 1)4 = 2𝑥 − 3𝑦 18. (𝑥2 + 3𝑦2)5 = 2𝑥𝑦 19.

1

𝑥+

1

𝑦= 1

20. (1 − 2𝑥𝑦3)5 = 𝑥 + 4𝑦 21. (2𝑥 + 3𝑦)5 = 𝑥 + 1 22. (𝑥 − 2𝑦)2 = 𝑦

23. 𝑒𝑥𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦) 24. 𝑥2𝐿𝑛(2𝑦 + 10) = 0 25. 𝑥2𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 =

−8

Problemas 1. La producción de cierta planta es



0.06𝑥2 + 0.14𝑥𝑦 + 0.05𝑦2 = 7236 , unidades por día

, donde x es el número de horas-trabajador calificado utilizado y y es el número de horas-trabajador no calificado. Actualmente, se emplean 60 horas-trabajador calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Calcule intérprete la tasa de

variación del número de horas-trabajador no calificado (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

Derivamos implícitamente respecto al número de horas-trabajador calificado (x)

0.12𝑥 + 0.14𝑦 + 0.14𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 0.1𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Despejamos

0.14𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 0.1𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −0.12𝑥 − 0.14𝑦

Factorizamos 𝑑𝑦

𝑑𝑥[0.14𝑥 + 0.1𝑦] = −0.12𝑥 − 0.14𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥=−0.12𝑥 − 0.14𝑦

0.14𝑥 + 0.1𝑦

Como 𝑥 = 60 y 𝑦 = 300 remplazamos 𝑑𝑦

𝑑𝑥=−0.12(60) − 0.14(300)

0.14(60) + 0.1(300)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=−49.2

38.4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −1.28

Si las horas–trabajador calificado se incrementan en 61, las horas-trabajo no calificado disminuyen en 1.28 horas por día.

2. De cada función de costo conjunto hallar e interpretar la razón de cambio del insumo 𝑦 para los valores de 𝑥 e 𝑦 dados a. 5 + 5𝑥 + 22𝑦 = 160 para 𝑥 = 20 , 𝑦 = 25 b. 30 + 3𝑥 + 5𝑦 = 57 para 𝑥 = 4 , 𝑦 = 3 c. 𝑥3 + 2𝑥𝑦2 + 2𝑦3 = 41000 para 𝑥 = 10 , 𝑦 = 20 d. 𝑥2𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 + 8 = 200 para 𝑥 = 10, 𝑦 = 15 e. 100𝑥 + 64𝑦 − 0.01𝑥2 − 0.25𝑦2 = 3000 para 𝑥 = 10, 𝑦 = 20

f. 5𝑥−𝑦

𝑥+3𝑦= 3 para 𝑥 = 50, 𝑦 = 10

g. 2𝑥3 + 3𝑥2𝑦2 + (1 + 𝑦)3 = 189 para 𝑥 = 3, 𝑦 = 2

h. 𝑥√𝑦2 + 1 = 150 para 𝑥 = 10, 𝑦 = 15

i. 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑥𝑦 + 5 = 7.8 para 𝑥 = 0.1, 𝑦 = 0.2



j. 𝑥𝐿𝑛(5 + 𝑦) = 30 para 𝑥 = 10 , 𝑦 = 15 k. 𝑥2𝐿𝑛(𝑦 + 10) = 322 para 𝑥 = 10 , 𝑦 = 20

3. Suponga que la producción semanal de una compañía relaciona las horas de trabajo,

x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de

30𝑥13𝑦

23 = 384 000

Encuentre la razón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horas de trabajo, cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $64 000.

4. Suponga que el volumen de ventas de un compañía y (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo con

xy – 20x + 10y = 0

Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto de publicidad cuando x=10 (miles de dólares)

5. Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de

horas de trabajo calificado y, y no calificado, x, satisfacen

384 = (x + 1)3/4 × (y + 2)1/3

Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las horas de trabajo no calificado cuando x=255 y y=214. Podemos usar esto para hacer una aproximación del cambio de horas de trabajo calificado requerido para mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no calificado en una hora

6. Suponga que la producción de 10 000 unidades de cierta cosecha agrícola se relaciona

con el número de horas de trabajo, x, y el número de acres de la cosecha y , de acuerdo con

300x + 30 000y = 11xy – 0.0002x2 – 5y

Encuentre la razón de cambio del número de horas respecto al número de acres 7. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad está dada por

𝑝(𝑞 + 1)2 = 200 000

Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$80. Interprete el resultado

8. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $P por unidad está dada por



𝑝2(2𝑞 + 1) = 100 000

Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$50. Interprete el resultado.

9. La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p2 + q2 = 2500, donde q son

las unidades que pueden venderse a una precio de $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.

10. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación

𝑆2 +1

4𝐼2 = 𝑆𝐼 + 𝐼

, donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I=16 y S=12

11. Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad y estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y/y+2)+(160x/x+4) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son US$50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto? [nota: Utilidad=(Nº de unidades)(precio por unidad - costo por unidad) - cantidad total gastada en desarrollo y promoción

12. Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones,

respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=1000-x, y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que 𝐶(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑥𝑦 + 𝑦² es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x e y para maximizar las utilidades?

13. Un fabricante de calzado produce semanalmente 𝑥 miles pares de zapatos para

caballero y 𝑦 miles de pares de zapatos para dama, si la producción es 𝑥 = 2 y 𝑦 = 5 la relación entre 𝑥 y 𝑦 esta relacionada por la ecuación:

2𝑥2 + 𝑦2 = 25 Hallar e interpretar la razón de cambio de la cantidad de zapatos para dama respecto a la cantidad de zapatos de caballero.



ELASTICIDAD EN LA DEMANDA El grado de respuesta de los consumidores a los cambios de los precios varia en gran medida en diferentes productos Costo del combustible – consumo Precio de los medicamentos – enfermos Si los cambios de los de los precios son considerables, decimos que la demanda es elástica; cuando los cambios son leves en la demanda del producto, se dice que la demanda es inelástica. Los economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo el cambio porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio. Definimos la elasticidad de la demanda en un punto (qA , pA) como

η = 𝑝

𝑞 𝑑𝑞

𝑑𝑝|(qA, pA)

(η: Eta es la séptima letra del alfabeto griego) Los economistas clasifican las curvas de la demanda de acuerdo con la respuesta de la demanda a los cambios de precios usando la elasticidad

Si η < -1, la demanda es elástica y el decremento porcentual en la demanda es mayor que el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio.

Si -1< η < 0, la demanda es inelástica y el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.

Si η = -1, la demanda es elástica unitaria y el decremento porcentual de la demanda es aproximadamente igual al incremento porcentual correspondiente en el precio.

También podemos utilizar diferenciación implícita para encontrar dq/dp para evaluar la elasticidad puntual en la demanda. Problemas 1. La ecuación de demanda para cierta mercancía es qp3=24 000 calcule, indique el tipo

e intérprete la elasticidad en la demanda cuando p=2

Sabemos que la elasticidad en la demanda se define η = 𝑝

𝑞 𝑑𝑞

𝑑𝑝



Conocemos p, debemos hallar q y 𝑑𝑞

𝑑𝑝

Para hallar q remplazamos el valor de p en la ecuación original, q(2)3=24 000

q=24 000

8=3000

Hallamos 𝑑𝑞

𝑑𝑝 derivando implícitamente la ecuación original

p3dq

dp+3qp2=0

dq

dp=-3qp2

p3= -

3q

p

Remplazando en la ecuación de la elasticidad

η = 𝑝

𝑞−

3𝑞

𝑝= −3

Como η < -1, la demanda es elástica por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.

2. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 𝑝 = 10𝑒−𝑞, donde se demanda q

unidades cuando el precio es de p dólares. Halle la elasticidad en la demanda cuando

q=2 e indique su tipo

Derivamos la función

1 = 10𝑒−𝑞(−1)𝑑𝑞

𝑑𝑝

Despejando 𝑑𝑞

𝑑𝑝= −

1

10𝑒−𝑞

La elasticidad en la demanda es

η = 𝑝

𝑞 𝑑𝑞

𝑑𝑝

Remplazando

η =10𝑒−𝑞

𝑞 [−

1

10𝑒−𝑞]

Simplificando

η = −1

𝑞= −

1

2

Como -1<η<1, la demanda es elástica unitaria por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.



3. Dada la ecuación de la demanda 𝒒 = 𝟓𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝒑 + 𝒑𝟐 donde p es el precio en dólares y q las unidades demandadas. Si el precio es de 15 dólares determinar el número de unidades que se deben demandar para que la elasticidad se elástica unitaria.

Derivamos implícitamente:

𝑑𝑞

𝑑𝑝= −40 + 2𝑝

Como p=15, remplazamos 𝑑𝑞

𝑑𝑝= −40 + 2(15)

𝑑𝑞

𝑑𝑝= −10

La fórmula de la elasticidad es η = 𝑝

𝑞 𝑑𝑞

𝑑𝑝 . Como elasticidad se elástica unitaria η =-1,

sustituyendo

−1 =15

𝑞(−10)

Despejando

𝑞 =15

−1(−10)

𝑞 = 150) Para que la elasticidad sea elástica unitaria se tienen que demandar 150 unidades. Problemas 1. En cada uno de los siguientes problemas dada la ecuación de la demanda, encuentre

la elasticidad de la demanda, indique su tipo y explique cómo afectará un incremento de precio el ingreso total: a. p + 4q = 80 cuando el precio p = 40 b. 2p + 3q = 150 cuando el precio p=15 c. p2 + 2p + q = 49 cuando el precio p=6 d. pq=81 cuando el precio p=3 e. pq + p = 5000 cuando el precio p=450 y q=99 f. 2p2q = 10 000 + 9000p2 cuando el precio p=50 y q= 4502 g. (p + 1)(q + 1)1/2 = 1 000 cuando el precio p=39 h. p2(2q + 1) = 10 000 cuando el precio p=20 i. p = 100℮-0.1q cuando el precio p=36.79 y q=10 j. q= 250 – 30p + p2, cuando p=12 k. p=86-6q-3q2,cuando q=3

l. 𝑝 =100

√𝑞+4 cuando 𝑝 = 25



Problemas 2. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es

𝒙 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 – 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒏 (𝒑 + 𝟒𝟎) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular e indicar el tipo de la elasticidad en la demanda si el precio es de 60 dólares

3. La relación de la demanda para cierto producto es 𝒒 = 𝟐𝟓𝟎 − 𝟑𝟎𝒑 + 𝒑𝟐, donde q unidades pueden venderse a un precio p cada una. Calculo la elasticidad en la demanda e indique su tipo cuando el p=12

4. Dada la ecuación de la demanda 𝒒𝟐 − 𝟐𝒒√𝒑 − 𝒑𝟐 − 𝟑𝟏 = 𝟎 hallar e indicar el tipo

de la elasticidad de la demanda cuando el precio es de 9 dólares. Interprete el resultado.

5. Dada la ecuación de la demanda 𝟐𝟎𝟎𝒑 + 𝟐𝒒 − 𝒑𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. Calcular el número

de unidades que se tienen que demandar para que la elasticidad sea elástica unitaria si p=20.

6. La relación de demanda para cierto producto es 𝑝 = 250 − 0.5𝑞. Calcular el

número de unidas que se deben demandar para que la elasticidad sea elástica unitaria.

7. Dada la ecuación de demanda

𝑞 = 30 −2

3𝐿𝑛(𝑝 + 1)

, donde 𝑝 es el precio y 𝑞 la cantidad demandada. ¿Cuántas unidades se tienen que demandar para que la demanda sea elástica unitaria?

8. Sea la función de demanda

𝑝3 + 𝑞3 = 9 Si 𝑝 = 2 determinar para que cantidad la demanda es elástica unitaria.



DERIVADAS PARCIALES Funciones de dos o más Variables Existen magnitudes que dependen de dos o más variables independientes por ejemplo el área del rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el costo de producción de una artículo depende del costo de los materiales y de la mano de obra, la temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión, la concentración de una sustancia en cualquier punto de la vena luego de haber suministrado una inyección depende del tiempo, la velocidad de la sangre y la distancia en que se encuentra el punto de la inyección, Las funciones de dos variables se simbolizan f: R2 →R y se representan generalmente z = f(x; y)

El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función. Ejercicios Evalué las siguientes funciones para los valores dados de las variables independientes

1. z = x2+4xy+y2; x=1, y=-1 z = (1)2+4(1) (-1)+(-1)2 z = 1 - 4 + 1 z = -2

2. z = 4x2y-3xy3; x=2, y=2 z = 4(2)2(2)-3(2)(2)3 z = 32-48 z = -16

3. 𝑧 =𝑥−𝑦

𝑥+𝑦; x=4, y=-3

𝑧 =4 − (−3)

4 + (−3)

𝑧 =7

1

𝑧 = 7

4. C(x1,x2)=600+4x1+6x2; x1=400, x2

=50

C(x1,x2)=600+4(400)+6(50) C(x1,x2)=600+1600+300 C(x1,x2)=2500

5. 𝑞(𝑝1, 𝑝2) =𝑝1+4𝑝2

𝑝1−𝑝2 encuentreq(40,35)

𝑞(𝑝1, 𝑝2) =40 + 4(35)

40 − 35=180

5

𝑞(𝑝1, 𝑝2) = 36

7. 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥+𝑦 encuentre z(3.-3) 𝑧(𝑥, 𝑦) = (3)𝑒3+(−3) = 3(1) 𝑧(𝑥, 𝑦) = 3

Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y), de números reales, D ⊂ R2. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y).



8. z=3x + 4y; x=-1, y=2 9. z=2x3y-xy2; x=-1, y=1

10. 𝑧 =𝑥2+𝑥𝑦

𝑥−𝑦; x=3, y=2

11. C(x1,x2)=500+5x1- 7x2; C(200, 300)

12. 𝑞(𝑝1, 𝑝2) =5𝑝1− 𝑝2

𝑝1+3𝑝2,

encuentre q(50, 10)

13. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒2𝑥 + 𝑦2

𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓(0,7)

14. 𝑤 =𝑥2+4𝑥𝑦

𝑥𝑦𝑧 con(1, 3, 1)

15. 𝑢 = 𝐹(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑤𝑥−𝑦𝑧

𝑥𝑦−𝑤𝑧

con (2, 3, 1, -1)

16. g(PA,PB) = 2PA(PB2 – 5); g(4,8) 17. h(r,s,t,u)=

𝑟𝑠

𝑡2−𝑢2 ; h(-3,3,5,4)

18. h(r,s,t,u)= 𝑟𝑠

ln (𝑡𝑢) ; h(1,5,3,1)

Problemas

1. El costo (en dólares) de una pequeña compañía de muebles por fabricar una unidad

de varios artículos distinto de maderas está dado por C(x, y)= 5 + 5x +22y , donde x representa el número de píes de tablas utilizados y y expresa el número de horas de trabajo necesarias para ensamblado y acabado. Si para hacer un librero se necesitan 20 pies de tabla y 2.5 horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación. Por datos x=20 y y=2.5 remplazando C (20 ,2.5)= 5 + 5(20) +22(2.5) C (20 ,2.5)= 5 + 100 +55 C (20, 2.5)=160 dólares El costo de fabricación de un librero será de 160 dólares

2. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas

𝑄 = 30𝐾1/4𝐿3/4 , donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo.

a. Encuentre Q si K=10 000 dólares y L=625 horas. Remplazando



𝑄 = 30(10 000)14(625)3/4 = 30(10)(125) = 37 500

Cuando el capital invertido es 10 000 dólares y se trabajan 625 horas las unidades producidas serán 37 500

b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se reducen a la mitad? Entonces K=5 000 dólares y L=312.5 horas. Remplazando

𝑄 = 30(5 000)14(312.5)3/4 = 30(8.40)(74.32) = 18 750

Cuando el capital invertido y las horas trabajadas se reducen a la mitad la producción también se reduce a la mitad.

c. Si se mantiene la inversión de capital en 10 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L.

La ecuación sería 𝑄 = 30(10 000)1

4𝐿3/4 = 300𝐿3/4

3. Suponga que la función de utilidad de dos bienes X y Y estás dada por U=XY2.

a. Determinar la utilidad si un consumidor adquiere 9 unidades de X y 6 de Y. b. Si el consumidor compra 9 unidades de Y, ¿cuántas unidades de X se deben comprar

para mantener el mismo nivel de utilidad. c. Si el consumidor compra 81 unidades de X, ¿cuántas unidades de Y se deben

comprar para mantener el mismo nivel de utilidad.

HORAS TRABAJADAS (L)

UN

IDA

DE

S P

RO

DU

CID

AS

(Q

)



4. En economía la cantidad Q de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc.) más económica que pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaños de lote de Wilson:

Q= f(K, M, h)=√2𝐾𝑀/ℎ , donde K es el costo del pedido, M el número de artículos vendidos por semana y h el costo de almacenamiento por artículo (servicios, impuestos, seguridad, etc.). Encuentre f(200, 625, 1). Interprete la respuesta.

5. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas

𝑄 = 70𝐾2/3𝐿1/3 , donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K=64 000 dólares y L= 512 horas. b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se duplican? c. Si la inversión de capital se mantiene en 64 000 dólares, trace la gráfica de Q como

función de L.

6. Suponga que el número de unidades producidas de una mercancía, z, está dada por z=20xy, donde x es el número de máquinas que funcionan de manera apropiada y y el número promedio de horas de trabajo por máquina. Encuentre la producción para una semana en la que: a. 12 máquinas funciona de manera adecuada y el número promedio de horas de

trabajo por máquina es 30 b. ¿Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 10

máquinas que funcionan de manera adecuada para producir 7200 unidades de mercancía?

c. ¿Cuántas máquinas en buen estado se deben tener para producir 7200 unidades trabajando en promedio 24 horas?

7. La Kirk Kelly Kandy Company elabora dos tipos de dulces, Kisses y Kreams. La

ganancia, en dólares, para la empresa está dada por

P(x, y) = 100x + 64y – 0.01x2 – 0.25y2

, donde x es la cantidad de libras de Kisses y y el número de libras de Kreams vendidos por semana. a. ¿Cuál es la ganancia si se venden 20 libras de Kisses y 10 libras de Kreams? b. ¿Cuántas libras de Kisses se deben vender si se mantiene la venta de 10 libras de

Kreams y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares? c. ¿Cuántas libras de Kreams se deben vender si se mantiene la venta de 20 libras de

Kisses y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares?



8. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas por

𝒒𝑨 = 𝒆−(𝑷𝑨+𝑷𝑩) y 𝒒𝑩 =

𝟏𝟔

𝑷𝑨𝟐𝑷𝑩

𝟐

, donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitarios son PA y PB. Calcular las demandas de A y B si sus precios son $1000 y $2000

9. En cierta fabrica la producción de 𝑄 unidades de cierto producto está relacionada con

los insumos 𝑥 e 𝑦 mediante la ecuación

𝑄 = (5𝑘 + 10𝐿)1/2 , donde 𝐿 es el número de unidades de mano de obra y 𝐾 la inversión de capital.

Cuando 𝐿 = 800 horas y 𝐾 = 400 U.M. se producen 100 unidades. a. ¿Cuál será el incremento de la inversión de capital si se desea incrementar la

producción en un 10% manteniendo fija las horas de trabajo?

b. ¿Cuál será el incremento de las horas de trabajo si se desea incrementar la

producción en un 5% manteniendo fija la inversión de capital?



Diferenciación Parcial Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y=b, en donde b es una

constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija.

En general, si z=f(x, y) la derivada parcial de z respecto a x se expresa como 𝜕𝑧

𝜕𝑥 y la

derivada parcial de z respecto a y se expresa como 𝜕𝑧

𝜕𝑦. Obsérvese que

𝑑𝑧

𝑑𝑥 representa la

derivada de una función de una variable, x, y 𝜕𝑧

𝜕𝑥 representa la derivada parcial de una

función de dos o más variables. Las notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z=f(x, y) respecto a x son:

𝝏𝒛

𝝏𝒙,

𝝏𝒇

𝝏𝒙,

𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)

𝝏𝒙, 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚), 𝒇𝒙, 𝒛𝒙

Si x permanece constante en la función z=f(x, y) y se toma la derivada respecto a y, tenemos la derivada parcial de z respecto a y, que se denota

𝝏𝒛

𝝏𝒚, 𝝏𝒇

𝝏𝒚,

𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)

𝝏𝒚, 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚), 𝒇𝒚, 𝒛𝒚

Ejercicios 39 Para cada función hallar las derivadas parciales por cada variable

2. z= x4+3y3 𝝏𝒛

𝝏𝒙= 𝟒𝒙𝟑

𝝏𝒛

𝝏𝒚= 𝟗𝒚𝟐

3. z= 3xy +y2 𝝏𝒛

𝝏𝒙= 𝟑𝒚

𝝏𝒛

𝝏𝒚= 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.



4. z=(x3+2y2)3 𝝏𝒛

𝝏𝒙= 𝟑(𝒙𝟑 + 𝟐𝒚𝟐)𝟐(𝟑𝒙𝟐)

𝝏𝒛

𝝏𝒙= 𝟗𝒙𝟐(𝒙𝟑 + 𝟐𝒚𝟐)𝟐

𝝏𝒛

𝝏𝒚= 𝟑(𝒙𝟑 + 𝟐𝒚𝟐)𝟐(𝟒𝒚)

𝝏𝒛

𝝏𝒚= 𝟏𝟐𝒚(𝒙𝟑 + 𝟐𝒚𝟐)𝟐

C(x,y)=600-4x + 10x2y 𝝏𝑪

𝝏𝒙= −𝟒 + 𝟐𝟎𝒙𝒚

𝝏𝑪

𝝏𝒚= 𝟏𝟎𝒙𝟐

5. 𝑸(𝒔, 𝒕) =𝟐𝒔−𝟑𝒕

𝒔𝟐+𝒕𝟐

𝝏𝑸

𝝏𝒔

=𝟐(𝒔𝟐 + 𝒕𝟐) − (𝟐𝒔 − 𝟑𝒕)(𝟐𝒔)

(𝒔𝟐 + 𝒕𝟐)𝟐

𝝏𝑸

𝝏𝒔

=𝟐𝒔𝟐 + 𝟐𝒕𝟐 − 𝟒𝒔𝟐 + 𝟔𝒔𝒕

(𝒔𝟐 + 𝒕𝟐)𝟐

𝝏𝑸

𝝏𝒔=𝟐𝒕𝟐 + 𝟔𝒔𝒕 − 𝟒𝒔𝟐)

(𝒔𝟐 + 𝒕𝟐)𝟐

𝝏𝑸

𝝏𝒔

=−𝟑(𝒔𝟐 + 𝒕𝟐) − (𝟐𝒔 − 𝟑𝒕)(𝟐𝒕)

(𝒔𝟐 + 𝒕𝟐)𝟐

𝝏𝑸

𝝏𝒔=−𝟑𝒔𝟐 − 𝟑𝒕𝟐 − 𝟒𝒔𝒕 + 𝟔𝒕𝟐

(𝒔𝟐 + 𝒕𝟐)𝟐

𝝏𝑸

𝝏𝒔=3𝑡2 − 4𝑠𝑡 − 3𝑠2

(𝑠2 + 𝑡2)2

6. 𝒛 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝒚𝒍𝒏(𝒙) 𝝏𝒛

𝝏𝒙= 𝟐𝒆𝟐𝒙 +

𝒚

𝒙

𝝏𝒛

𝝏𝒚= 𝒍𝒏(𝒙)

7. z=5x2-2y

8. z= x5-6x+4y3-y2

9. 𝒇(𝒙,𝒚) = √𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒚𝟐

10. C(x, y)=1000-4xy+xy2

11. 𝒒 =𝟓𝒑𝟏+𝟒𝒑𝟐

𝒑𝟏+𝒑𝟐

12.𝒛 = 𝑳𝒏(𝟏 + 𝒙𝟐𝒚) − 𝒚𝒆−𝒙



Ejercicios Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas

1.f(x, y)=4x3 – 5xy + y2, respecto a x en el punto(1, -2)

𝝏𝒇

𝝏𝒙= 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒚

, como x=1 y y=-2 remplazamos

𝝏𝒇

𝝏𝒙= 𝟏𝟐(𝟏)𝟐 − 𝟓(−𝟐) = 𝟐𝟐

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2, respecto a y en el punto (2,

-1) 𝜕𝑓

𝜕𝑦=𝑥(𝑥2 − 𝑦2) − 𝑥𝑦(−2𝑦)

(𝑥2 − 𝑦2)2

, como x=2 y y=-1 remplazando y resolviendo

𝝏𝒇

𝝏𝒚=𝟏𝟎

𝟗

2. 𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙𝟑 + 𝒚𝟑𝟑

, respecto a x en el punto (1, 1)

𝝏𝒇

𝝏𝒙=𝟏

𝟑(𝒙𝟑 + 𝒚𝟑)−

𝟐𝟑(𝟑𝒙𝟐)

=𝒙𝟐

√(𝒙𝟑 + 𝒚𝟑)𝟐𝟑

, como x=1 y y=1, remplazando y resolviendo

𝝏𝒇

𝝏𝒙=

𝟏𝟐

√(𝟏𝟑 + 𝟏𝟑)𝟐𝟑

=𝟏

√𝟒𝟑 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟗

4. 𝒛 = 𝒚𝒆𝒙𝒚 , respecto a y en el punto (0, 1)

𝝏𝒛

𝝏𝒚= 𝒆𝒙𝒚 + 𝒙𝒚𝒆𝒙𝒚

, como x=0 y y=1, remplazando y resolviendo

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 1

18. g(PA,PB) = 2PA(PB2 – 5); respecto a PB en el punto g(4,8)

19.h(r,s,t,u)= 𝑟𝑠

𝑡2−𝑢2 ; respecto a u en el punto

h(-3,3,5,4)

20. h(r,s,t,u)= 𝑟𝑠

ln (𝑡𝑢) ; respecto a s en el

punto h(1,5,3,1)

21.h(r,s,t,u)= 𝑟𝑠

ln (𝑡𝑢) ; respecto a t en el

punto h(1,5,3,1)

22.Si z=2x + 3y, demuestre que 3zx – 2zy =0

23.Si 𝑧 = 𝑒𝑦/𝑥, demuestre que xzx + yzy = 0



24.Si 𝑧 = 𝑥2𝑒−𝑥/𝑦, demuestre que xzx + yzy = 2z

25.Si z= x3 + y3, demuestre que xzx + yzy = 3z

26.Si 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 , demuestre que xzx - yzy = −𝑒𝑥𝑦

27. Si 𝑧 =𝑦

𝑦−𝑥 , demuestre que

xzy – yzx = (𝑥

𝑥−𝑦)2

Costo Conjunto y Costo Marginal

Problemas 1.El costo (en dólares) de fabricar un artículo está dado por C(x, y)= 30 + 3x + 5y

, donde x es el costo de una hora de mano de obra y y es el costo de una libra de material. Si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra. Calcule el costo marginal respecto a la mano de obra y al costo de material e intérprete los resultados. Respecto a la mano de obra hallamos 𝝏𝑪/𝝏𝒙

𝝏𝑪

𝝏𝒙= 𝟑

Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 3 dólares por cada 1 dólar que se incremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante. Respecto a la mano de obra hallamos 𝝏𝑪/𝝏𝒚

𝝏𝑪

𝝏𝒚= 𝟓

Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 5 dólares por cada 1 dólar que se incremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante.

Suponga que una empresa fabrica dos bienes de consumo utilizando las mismas materias primas en distintas proporciones. En este caso, la función de costo de conjunto tiene la forma C=Q(x, y) donde x y y representan la las cantidades de cada bien y C expresa el costo total de ambos bienes. Entonces 𝝏𝑪/𝝏𝒙 es el costo marginal respecto al producto x y 𝝏𝑪/𝝏𝒚 es el costo marginal respecto al producto y.



2. El costo total de producir un artículo es 𝑪(𝒙,𝒚) = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒚 – 𝒙𝒚

, donde 𝒙 es la tarifa por hora de la mano de obra y 𝒚 el costo por libra de materia prima. La tarifa actual por hora de la mano de obra es de $15 y la materia prima cuestan $6 por libra ¿Cómo afectará el costo total un incremento de a. $1 por libra de materia prima?

Hallamos la derivada parcial del costo respecto a la materia prima 𝝏𝑪

𝝏𝒚= 𝟐𝟎 − 𝒙

Remplazando 𝝏𝑪

𝝏𝒚= 𝟐𝟎 − 𝟏𝟓 = 𝟓

Si se incrementa la materia prima en $7 el costo de producción se incrementa en $5

b. $1 por hora en los costos de mano de obra? 𝝏𝑪

𝝏𝒙= 𝟐𝟎𝒙 − 𝒚

Remplazando

𝝏𝑪

𝝏𝒙= 𝟐𝟎(𝟏𝟓) − 𝟔 = 𝟑𝟎𝟎 − 𝟔 = 𝟐𝟗𝟒

Si se incrementa la mano de obra en $16 el costo se incrementa en $294

3. La producción de cierta planta es 𝑄 = 0.006𝑥2 + 0.14𝑥𝑦 + 0.05𝑦2 unidades por día, donde X es el número de horas-trabajador calificado utilizado y Y es el número de horas –trabajador no calificado utilizado. Actualmente, se emplean 60 horas-trabajador-calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Utilice el cálculo para estimar el cambio que debe hacerse en el número de horas de trabajo no calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual

Derivamos parcialmente respecto a las horas-trabajador calificado

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0.012𝑥 + 0.14𝑦

Para que la producción se mantenga en su nivel actual 𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0 y como x=60,

remplazamos 0 = 0.012(60) + 0.14𝑦 0 = 0.72 + 0.14𝑦

Despejando 0.14𝑦 = −0.72



𝑦 = −5.14 Para que la producción se mantenga en su nivel actual las horas-trabajo no calificado tienen que disminuirse en 5.14 horas día aproximadamente

4. La utilidad obtenida por la producción de dos productos está dada por: 𝑃 = 7𝑥 + 0.3𝑦2 + 2𝑦 + 900

a. ¿Cuál es el costo si se producen 20 unidades de 𝑥 y 30 de 𝑦? b. Si se desea obtener una utilidad de 2000 U.M ¿cuántas unidades de 𝑥 se tienen que

producir si se desea mantener la producción de 𝑦? c. Si se desea obtener una utilidad de 2000 U.M ¿cuántas unidades de 𝑦 se tienen que

producir si se desea mantener la producción de 𝑥?

d. Hallar e interpretar 𝜕𝑃

𝜕𝑥

e. Hallar e interpretar 𝜕𝑃

𝜕𝑦

5. La función costo conjunto para dos productos es

C(x, y)= 50 + x2 + 8xy + y3

a. Calcule el costo marginal respecto a x y respecto a y en (5, 3). b. Intérprete los resultados.

6. El costo total de producir un artículo es

C(x, y)= 40 + 4x + 6y +𝒙𝟐𝒚

𝟏𝟎𝟎

, donde x es el costo por libra de las materias primas y y representa el costo por hora de la mano de obra. ¿De qué manera afectará el costo total un aumento de a. $1 por libra de materia prima? b. $1 por hora en los costos de mano de obra?

7. El costo conjunto (en dólares) de los producto 𝑿 y 𝒀 esta dado por

C(x, y)= 40 + 3x2+y2+xy

, donde 𝒙 expresa la cantidad del producto 𝑿 y 𝒚 la cantidad del producto Y. Si se producen 20 unidades del producto 𝑿 y 15 del producto 𝒀, calcule e interprete el costo marginal: a. Respecto a 𝒙 b. Respecto a 𝒚

8.Si la función costo conjunto para dos productos es



C(x, y)= 𝒙√𝒚𝟐 + 𝟏

Si se produce 10 unidades de x y 15 de y calcule e interprete a. El costo marginal respecto a x. b. El costo marginal respecto a y.

9. La función de costos conjuntos para producir qA unidades del producto A y qB

unidades del producto B está dada por

𝑐 =(𝑞𝐴)

2(𝑞𝐵3 + 𝑞𝐴)

1/2

17+ 𝑞𝐴𝑞𝐵

1/3 + 600

a. Encuentre la función costo marginal con respecto a qA y qB b. Evalúe las funciones costos marginales obtenidas en el enciso anterior cuando

qA =17 y qB = 8. Interprete los resultados



Productividad Marginal

Problemas 1. Dadas las funciones de producción P(K, L), calcule e intérprete las productividades

marginales para los valores dados de L y K. L es el número de horas trabajadas por semana, K en millones de pesos y P miles de artículos producidos por semana a. P(L, K)= 7L + 5K + 2LK – L2 – 2K2; L=3 y K=10

La productividad marginal de mano de obra se obtiene por 𝜕𝑃/𝜕𝐿, derivando P(L,K)

𝜕𝑃

𝜕𝐿= 7 + 2𝐾 − 2𝐿 = 7 + 2(10) − 2(3) = 21

Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P se incrementa en 21 por cada incremento unitario en L. Es decir por cada unidad de hora trabajada que se incremente (1 000) semanal la producción se incrementa en 21 un mil unidades, manteniendo la inversión de capital K fija. La productividad marginal de capital se obtiene por 𝜕𝑃/𝜕𝐾, derivando P(L, K)

𝜕𝑃

𝜕𝐿= 5 + 2𝐿 − 4𝐾 = −29

Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P disminuye 29 por cada incremento unitario en K. Es decir por cada millón de pesos adicional que se incremente el

La producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresa puede modificar. Los dos factores más importantes son la mano de obra y el capital invertido. Consideremos L el número de unidades de mano de obra empleada y K el monto de capital invertido, entonces el número de unidades del producto producidas en un mes (la producción total) P se denota P = f(L, K) esta función se conoce como función de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos de factores de insumos de producción La derivada parcial 𝜕𝑃/𝜕𝐿 se denomina productividad marginal de la mano de obra y 𝜕𝑃/𝜕𝐾productividad marginal del capital.



monto de capital la producción disminuye en 29 unidades manteniendo el número de horas laboradas L fija.

b. 𝑃(𝑙, 𝑘) = 15𝑙𝑘 − 3𝑙2 + 5𝑘2 + 500; 𝑙 = 48 y 𝑘 = 16 c. P(L, K)= 18L – 5L2 + 3LK+7K - K2; L=96 y K=8 d. P(L, K)= 50L + 3L2 – 4L3 + 2LK2 – 3L2K – 2K3; L=64 y K=5 e. P(L, K)= 25L + 2L2 – 3L3 + 5LK2 – 7L2K+ 2K2 – K3; L=128 y K=10

f. 𝑃(𝐿, 𝐾) = (5𝑘 + 10𝐿)1

2; 𝐿 = 800 𝑦 𝑘 = 400 g. 𝑃(𝐿, 𝐾) = 2𝐿3 + 2𝐿2𝐾2 + (1 + 𝐾)3; 𝐿 = 768 𝑦 𝐾 = 15

h. 𝑃(𝐿, 𝐾) = 300𝐾1/2𝐿1/3; 𝐿 = 400 𝑦 𝐾 = 133 2. La productividad de cierto país de Europa Occidental está dada por la función

𝑃(𝐿, 𝐾) = 40𝐿4/5𝐾1/5 unidades, donde se utiliza 𝐿 unidades de mano de obra y 𝐾 unidades de capital. a. ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal

del capital cuando los gastos respectivos son de 32 y 243 unidades? b. ¿El gobierno debería alentar la inversión en capital en vez del gasto en mano de

obra en ese momento para incrementar la productividad del país?

3. La productividad de cierto país de Europa Occidental está dada por la función 𝑃(𝐿, 𝐾) = 30𝐿2/3𝐾1/3 unidades, al utilizar 𝐿 unidades de mano de obra y 𝐾 unidades de capital.

a. ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal del capital cuando los gastos respectivos son de 125 y 27 unidades?

b. ¿El gobierno debería alentar la inversión en capital en vez de incrementar el gasto en mano de obra en ese momento para incrementar la productividad del país?



Funciones de Demanda

Problemas 29 1. La función demanda par dos productos están dadas por

q1=300 – 8p1 - 4p2 q2=400 – 5p1 - 10p2

a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=8

q1=300 – 8(10) – 4(8)=188 q2=400 – 5(10) – 10(8)=270

A los precios dados la demanda del producto 2 es mayor b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1

𝜕𝑞1𝜕𝑝1

= −8

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 1 la demanda del producto 1 disminuye en 8 unidades, manteniendo constante el precio del producto 2

c. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2

𝜕𝑞2𝜕𝑝2

= −10

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 2 disminuye en 10 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2

𝜕𝑞1𝜕𝑝2

= −4

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 1 disminuye en 4 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1

2. La función demanda para dos productos están dadas por

q1=900 – 9p1 + 2p2 q2=1200 + 6p1 - 10p2

Suponga que dos productos se venden a los precios p1 y p2 (ambos en dólares), la cantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambos productos en el mercado, Si q1 representa la demanda del primer producto entonces q1=f(p1,p2) es la función demanda de dicho producto y si q2 representa la demanda del segundo producto entonces q2=g(p1,p2), por lo tanto las derivadas parciales de q1 y q2 se conocen como funciones de demanda marginal



a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=12

b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1

c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2

d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p1

3. Dadas las funciones qA, qB, pA y pB las demandas y los precios (en dólares) de dos productos A y B calcule las demandas marginales: de qA respecto al precio pA, qA respecto al precio pB, qB respecto al precio pB y qB respecto al precio pA

Función Demanda PA PB

a. qA=400 – 3pA - 2pB y qB=250 - 5pA - 6pB 10 15

b. qA=600 – 4pA + 6pB y qB=1200 + 8pA - 4pB 5 7

c. 𝑞𝐴 = 5000 − 50𝑝𝐴 −600

𝑝𝐵+1 𝑦 𝑞𝐵 = 10000 −

400

𝑝𝐴+4+

400

𝑝𝐵+4 4 6

d. 𝑞𝐴 = 500 −10

𝑝𝐴+2− 5𝑝𝐵 𝑦 𝑞𝐵 = 400 − 2𝑝𝐴 +

7

𝑝𝐵+3 5 10

e. 𝑞𝐴 = 3000 +400

𝑝𝐴+3+ 50𝑝𝐵 𝑦 𝑞𝐵 = 2000 +

500

𝑝𝐵+4−

100𝑝𝐴

10 15

f. 𝑞𝐴 = 2500 +600

𝑝𝐴+2− 40𝑝𝐵 𝑦 𝑞𝐵 = 3000 − 100𝑝𝐴 +

400

𝑝𝐵+5

10 12

g. 𝑞𝐴 =100

𝑃𝐴√𝑃𝐵 y 𝑞𝐵 =

500

𝑃𝐵 √𝑃𝐴3 10 15

h. 𝑞𝐴 =50 √𝑝𝐵

3

√𝑃𝐴 𝑦 𝑞𝐴 =

75𝑝1

√(𝑝𝐵)23 2 3

4. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas por

𝒒𝑨 = 𝟔𝟒𝒆−(𝑷𝑨+𝑷𝑩) y 𝒒𝑩 =

𝟏𝟔

𝑷𝑨𝟐𝑷𝑩

𝟐

, donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitarios son PA y PB. a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es pA= 0.1 y

del segundo pB=0.2 b. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pA

c. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pB d. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pA



e. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pB

5. Una tienda tiene dos tipos de CD virgen. Se ha estimado que si se vende el primer tipo de CD a p1 y el segundo tipo de CD a p2 el ingreso total a la semana (I), se denota

𝐼(𝑝1, 𝑝2) = −5𝑝1

2 − 10𝑝22 + 18𝑝1𝑝2 + 100𝑝1 + 200𝑝2

Si el primer tipo de CD se vende en 3 U.M. y el segundo en 2 U.M., hallar e interpretar la razón de cambio del ingreso respecto al primer tipo de CD.

6. Dos productos A y B son complementarios si 𝜕𝑞𝐴

𝜕𝑃𝐵< 0 y

𝜕𝑞𝐵

𝜕𝑃𝐴< 0 , son competitivos o

sustitutos si 𝜕𝑞𝐴

𝜕𝑃𝐵> 0 y

𝜕𝑞𝐵

𝜕𝑃𝐴> 0 de lo contrario no son ni sustitutos ni complementarios.

Dadas las ecuaciones de la demanda para dos artículos A y B determine si son competitivos o complementarios o ninguno de los dos, para 𝑝𝐴 = 3 y 𝑝𝐵 = 2

a. 𝑞𝐴 =2𝑃𝐵

𝑝𝐴2+1

; 𝑞𝐵 =2𝑃𝐴

𝑝𝐵2+2

b. 𝑞𝐴 = 125 − 𝑝𝐴2 − 0.1𝑝𝐵

2; 𝑞𝐵 = 130 − 0.1𝑝𝐴2 − 2𝑝𝐵

2

c. 𝑞𝐴 = 1000 +2

𝑝𝐴+1− 20𝑝𝐵; 𝑞𝐵 = 1500 − 70𝑝𝐴 +

2

𝑝𝐵+2

d. 𝑞𝐴 =50𝑝𝐵

√𝑝𝐴; 𝑞𝐵 =

30𝑝𝐴

√𝑝𝐵3

e. 𝑞𝐴 =250

√𝑝𝐴√𝑝𝐵3; 𝑞𝐵 =

300

√𝑝𝐴𝑝𝐵

Otras aplicaciones

1. La fórmula del interés compuesto anual está dada por

𝐴(𝑃, 𝑟, 𝑡) = 𝑃 (1 +𝑟

100)𝑡

, donde A es el valor futuro de una inversión de P dólares en los t años a una tasa de interés anual r.

a. Calcule 𝜕𝐴

𝜕𝑟 en A(100,10,5)

b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado 2. El director de mercadeo de una fábrica de bicicletas propone el siguiente esquema:

ofrecer x bicicletas y triciclos a un agente de ventas por: 𝑅(𝑥, 𝑦) = 3500 − 3500𝑒−0.02𝑥−0.01𝑦 , dólares

a. Calcule 𝜕𝑅

𝜕𝑥 en R(200,100)

b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado



3. Una empresa fabrica pañuelos según la siguiente función de producción

𝑸(𝑴𝟏,𝑴𝟐, 𝑳) = (𝑴𝟏)𝟐 + 𝟐(𝑴𝟐)

𝟐 + 𝑳𝟐 −𝑴𝟏𝑴𝟐𝑳

𝟐𝟎𝟎

, donde 𝑴𝟏 es el tiempo que se utiliza la máquina 1, 𝑴𝟐 el tiempo que se utiliza la máquina 2 y L es el número de horas de mano de obra. Calcula e interpreta la productividad marginal respecto de las horas empleadas en las máquinas 1 y 2, y respecto de L para 𝑸(𝟏𝟔, 𝟖, 𝟐𝟒).



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mis notas de clase cálculo diferencial

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