1. Aritmtica

2. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 2 Aritmtica 2 TABLA DE CONTENIDO Justificacin...........................................................................................................................................................7 Objetivo General ...................................................................................................................................................7 Orientacin Metodolgica ....................................................................................................................................7 Criterios Evaluativos ............................................................................................................................................7 LA MATEMTICA..................................................................................................................................................8 EL NMERO ..........................................................................................................................................................9 Sistema de Numeracin Maya..............................................................................................................................9 Evolucin del Nmero..........................................................................................................................................9 Los Operadores...................................................................................................................................................10 Expresiones aritmticas.....................................................................................................................................11 Reglas de prioridad de los operadores aritmticos..........................................................................................11 Criterios de Divisibilidad....................................................................................................................................13 SISTEMAS DE NUMERACIN.............................................................................................................................15 Descomposicin polinmica de un nmero......................................................................................................15 NMEROS REALES .............................................................................................................................................16 NUMEROS ENTEROS ..........................................................................................................................................19 Ley de los signos.................................................................................................................................................20 Adicin y sustraccin de Nmeros Enteros ......................................................................................................20 Multiplicacin y Divisin de Nmeros Enteros.................................................................................................20 NUMEROS RACIONALES ....................................................................................................................................23 Definicin ............................................................................................................................................................23 Principio fundamental de los Racionales ..........................................................................................................24 Adicin y sustraccin de nmeros Racionales..................................................................................................25 Multiplicacin de los Racionales........................................................................................................................27 Divisin de los Racionales..................................................................................................................................27 Nmeros Mixtos..................................................................................................................................................27 Ecuaciones con nmeros Racionales.................................................................................................................28 NMERO DCIMAL.............................................................................................................................................34 Adicin y sustraccin de Nmeros Decimales ..................................................................................................35 Multiplicacin de Nmeros Decimales ..............................................................................................................35 Divisin de los Nmeros Decimales ..................................................................................................................35 3. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 3 Aritmtica 3 NMERO IRRACIONAL.......................................................................................................................................37 NMEROS COMPLEJOS.......................................................................................................................................38 La unidad imaginaria .......................................................................................................................................38 Nmeros Complejos ...........................................................................................................................................39 Suma y diferencia de nmeros complejos.........................................................................................................39 Multiplicacin de nmeros complejos...............................................................................................................39 RAZN Y PROPORCIN......................................................................................................................................40 Razn...................................................................................................................................................................40 Proporcin ..........................................................................................................................................................41 Cuarto proporcional ...........................................................................................................................................42 Magnitudes directamente proporcionales........................................................................................................43 Aplicaciones de la proporcionalidad directa.....................................................................................................43 Regla de tres simple y directa............................................................................................................................43 PORCENTAJE.......................................................................................................................................................46 Repartos Proporcionales....................................................................................................................................50 Magnitudes inversamente proporcionales...........................................................................................................51 Aplicaciones de la proporcionalidad inversa ........................................................................................................51 Regla de tres simple inversa.................................................................................................................................51 Repartos Inversamente Proporcionales ...............................................................................................................58 SISTEMAS DE MEDIDAS ........................................................................................................................................60 Conceptos Bsicos................................................................................................................................................60 Tipos de unidades de medidas .............................................................................................................................60 El sistema mtrico decimal...................................................................................................................................61 UNIDADES DE LONGITUD .....................................................................................................................................61 UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES ...................................................................................................62 UNIDADES DE SUPERFICIE Y REA........................................................................................................................63 UNIDADES AGRARIAS ...........................................................................................................................................64 UNIDADES DE VOLUMEN......................................................................................................................................65 UNIDADES DE CAPACIDAD ...................................................................................................................................66 UNIDADES DE MASA.............................................................................................................................................67 UNIDADES DE TIEMPO..........................................................................................................................................68 PERIMETRO, AREA Y VOLUMEN ...........................................................................................................................70 4. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 4 Aritmtica 4 Permetro y reas de figuras Planas.....................................................................................................................70 Volumen de Figuras del Espacio...........................................................................................................................72 POTENCIACIN.....................................................................................................................................................78 RADICACIN.........................................................................................................................................................82 LOGARITMACIN .................................................................................................................................................88 Tipos de Logaritmos .............................................................................................................................................88 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.................................................................................................................................91 CONCEPTOS BSICOS ...........................................................................................................................................91 LGEBRA ..............................................................................................................................................................91 Trmino Algebraico ..............................................................................................................................................91 Trminos Algebraicos Semejantes........................................................................................................................91 Suma y Diferencia de Trminos Algebraicos ........................................................................................................91 Multiplicacin de Trminos Algebraicos...............................................................................................................92 Expresin Algebraica............................................................................................................................................92 FACTORIZACIN ...................................................................................................................................................98 Factorizacin por divisin sinttica ....................................................................................................................102 FRACCIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................................................104 RACIONALIZACIN DE DENOMINADORES..........................................................................................................106 ECUACIONES.......................................................................................................................................................108 Escritura de Expresiones y Ecuaciones ...............................................................................................................112 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.................................................................................................................114 Sistemas de Ecuaciones......................................................................................................................................114 Mtodo de Igualacin ........................................................................................................................................114 Mtodo de Sustitucin.......................................................................................................................................115 Mtodo de Eliminacin ......................................................................................................................................116 Por Determinante...............................................................................................................................................117 ECUACIONES CUADRTICAS...............................................................................................................................123 Solucin de ecuaciones cuadrticas ...................................................................................................................123 DESIGUALDADES ................................................................................................................................................127 CONJUNTO .........................................................................................................................................................128 INTERVALOS .......................................................................................................................................................129 INECUACIONES LINEALES ...................................................................................................................................130 5. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 5 Aritmtica 5 INTERES O TASA DE INTERES ..............................................................................................................................132 Clases de inters.................................................................................................................................................132 LGICA ...............................................................................................................................................................139 Conectivos Lgicos .............................................................................................................................................140 La Negacin........................................................................................................................................................140 La Disyuncin .....................................................................................................................................................140 La Disyuncin Exclusiva ......................................................................................................................................141 La Conjuncin.....................................................................................................................................................141 El Condicional.....................................................................................................................................................142 Tipos de Condicionales.......................................................................................................................................144 El Bi-condicional.................................................................................................................................................144 Interpretacin oracional Idiomtica...................................................................................................................145 Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas.....................................................................................146 Tablas de Verdad................................................................................................................................................147 Equivalencia Lgica: Algebra de proposiciones ..................................................................................................147 INFERENCIA........................................................................................................................................................151 Reglas de Inferencia ...........................................................................................................................................151 Modus Ponendo Ponens (PP) .............................................................................................................................151 Doble Negacin (DN)..........................................................................................................................................151 Modus Tollendo Tollens (TT)..............................................................................................................................152 Modus Tollendo Ponens (TP)..............................................................................................................................152 Regla de Simplificacin (S)..................................................................................................................................152 Regla de Adjuncin (A) .......................................................................................................................................153 Regla de Adicin (LA)..........................................................................................................................................153 Regla del Silogismo Hipottico (SH)....................................................................................................................154 Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)....................................................................................................................154 Regla de la Simplificacin Disyuntiva..................................................................................................................154 Conmutativas (LC) ..............................................................................................................................................155 Leyes de Morgan (LM)........................................................................................................................................155 Reglas de las Proposiciones Bicondicionales ......................................................................................................155 CUANTIFICACIN DE ENUNCIADOS....................................................................................................................158 Cuantificador Universal ......................................................................................................................................158 6. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 6 Aritmtica 6 Cuantificador Existencial ....................................................................................................................................158 Negacin de los Cuantificadores ........................................................................................................................158 CLASIFICACIN DE LAS PROPOSICIONES CATEGRICAS POR LA CUALIDAD Y LA CANTIDAD. EXTENSIN DE SUS RESPECTIVOS SUJETOS Y PREDICADOS...............................................................................................................159 Las proposiciones categricas ............................................................................................................................159 EL CUADRADO DE LA OPOSICIN DE LAS PROPOSICIONES. INFERENCIAS QUE SE BASAN EN L.......................160 INFERENCIAS INMEDIATAS: CONVERSIN, OBVERSIN Y CONTRAPOSICIN....................................................162 CONVERSIN......................................................................................................................................................162 OBVERSIN ........................................................................................................................................................162 CONTRAPOSICIN ..............................................................................................................................................162 CONJUNTO .........................................................................................................................................................163 Notacin de Conjunto ........................................................................................................................................163 Tipos de Conjuntos.............................................................................................................................................163 Nmero de Elementos de un Conjunto ..............................................................................................................164 7. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 7 Aritmtica 7 Justificacin La presente compilacin es fruto de la experiencia obtenida durante 21 aos de servicio en la educacin en diferentes instituciones acadmicas en Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta, en los niveles de bsica, media, tcnica, tecnolgica y profesional. La propuesta busca dar sentido a la matemtica en otros contextos, que el estudiante le d una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye, por las dificultades de su aprendizaje, que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lgico del ser humano y el desarrollo de la sociedad. Objetivo General Exponer los conocimientos bsicos de la matemtica en forma sencilla, lgica, crtica y analtica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econmicos. Orientacin Metodolgica Para el desarrollo del mdulo se plantean las siguientes estrategias metodolgicas: Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios prcticos de su vida cotidiana. Mostrar al estudiante ejercicios prcticos, que estimulen el pensamiento crtico. Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccin de conocimiento, que permite discernir sobre la base conceptual. Complementar los temas tratados a travs de ejercicios prcticos utilizando herramientas informticas, en procura de reforzar, clasificar y analizar los diferentes conocimientos. Criterios Evaluativos Se busca aplicar una evaluacin integral donde el componente numrico proveniente de una evaluacin escrita no sea el nico a considerar, sino que adicionalmente a este, se tomarn aspectos como la participacin, talleres y evaluaciones escritas 8. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 8 Aritmtica 8 LA MATEMTICA Qu es MATEMTICA? Del latn. mathematca, y este del griego , derivado de , que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje La matemtica es la ciencia que mejor conocemos porque el nmero es una creacin humana. La matemtica es un modo de pensar, un modo de razonar. Se puede usar para comprobar si una idea es cierta, o por lo menos, si es probablemente cierta. La matemtica es un campo de exploracin e invencin, en el que se descubren nuevas ideas cada da, y tambin es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias, el gobierno y la industria. Es un lenguaje simblico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra. Hasta ha llegado a sugerirse que la matemtica sera el lenguaje que entendera los habitantes de Marte (si existieran)! Obtenido del libro: EXPLORANDO LA MATEMATICA, tomo 1 En general podemos concluir que el objetivo general de la matemtica es la bsqueda del desarrollo del pensamiento lgico del hombre. Cul es el problema de la matemtica? A travs de la historia la matemtica ha sido y es una de las reas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de enseanza y aprendizaje, Por qu? Cmo se justifica dicha complejidad? No sea comprendido el problema de las matemticas. Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad. (Falta trabajo en la formacin de los docentes?) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccin formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad. La figura del docente Hoy en da son muchas las personas que estn trabajando en el diseo de estrategias que permitan mejorar los procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas. Las competencias matemticas no se alcanzan por generacin espontnea, sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos, que posibiliten avanzar a niveles de competencia ms y ms complejos. http://jaa-matematicas.blogspot.com/2006/10/qu-es-la-matemtica.html http://www.sectormatematica.cl/simce.htm 9. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 9 Aritmtica 9 EL NMERO Es un smbolo que representa una cantidad. A travs de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades Sistema de Numeracin Maya Evolucin del Nmero La necesidad de contar. La invencin de la matemtica data de los albores de la humanidad. La matemtica es ms vieja como el instinto de propiedad, es decir tan antigua como el hombre, este se sinti matemtico en cuanto el afn de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebaos y medir sus tierras. Los dedos primer sistema de numeracin. En sus comienzo, el hombre numeraba las cosas con los dedos, si quera decir uno levantaba un dedo, dos levantaba dos dedos, con las dos manos poda contar hasta diez. Para sealar nmero mayor haca girar las manos: veinte la giraba dos veces, treinta tres veces, etctera. Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar: las yescas, piedras, nudos, rayas en las piedras, hasta llegar al baco. La forma de los Nmeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio, el uno, dos y tres corresponden a los dedos levantados, el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muecas. Los nmeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambin del sistema de contar con los dedos. El uno, desde un principio se escribi tal como lo hacemos hoy; el dos era representado por dos trazos pero horizontal; el tres por tres bastones acostados, el un sobre el otro, el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz, el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido. Al escribirse rpidamente, sin levantar la pluma del papel, fueron tomando la forma que conocemos. Los Nmeros Arbigos que son Hindes; Esos nmeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India, se denominan arbigos porque en el ao 711, los rabes invadieron a la India y 10. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 10 Aritmtica 10 tomaron contacto con esta civilizacin. Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los rabes en Europa; de all fueron conocidos como signos arbigos. http://viviendoyaprendiendo.wordpress.com/2008/07/14/los-nombres-de-los-numeros/ Lectura de Nmeros Lea las siguientes cifras: 5006.004 200.202 1001.000 1057.003.000 52,125 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana. El lunes consigna doscientos mil cien pesos, el martes un milln cinco mil diez pesos, el mircoles gira un cheque por un milln un mil diez pesos, el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos. Cunta plata le queda en el banco? Los Operadores Son smbolos que indican una relacin u operacin entre dos o ms nmeros. Existen diferentes tipos de operadores: Los lgicos, permiten combinar expresiones (y, o, no). De relacin: permiten realizar comparaciones entre valores (=, , , ). Aritmticos: Indican una operacin Adicin o Suma (+) Sustraccin o resta (-) Ejercicios Problema 11. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 11 Aritmtica 11 Multiplicacin ( x, *, . , la ausencia de signo se asume que hay una multiplicacin 2a) Divisin ( , /) Potenciacin () Radicacin () Logaritmacin: logaritmo de base 10 (log) y logaritmo natural (ln) Expresiones aritmticas: Es la combinacin de nmeros y operadores Realice las siguientes operaciones 1. 85935 + 97486 2. 7000 5699 3. 32476 25588 4. 4 x 2.5 5. 0 19 6. 23 0 7. 25.15 + 73.045 8. 3168 198 9. 7.745 5.48 Reglas de prioridad de los operadores aritmticos Las expresiones de dos o ms operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones, este orden es: 1. Los signos de agrupacin: ( ), [ ], { } 2. Logaritmacin 3. Potenciacin y radicacin 4. Multiplicacin y divisin 5. Suma y resta Si en una expresin se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha. Cul es el resultado de las siguientes operaciones? 5 + 4 * 1 - 2 6 + 9 2 54327*4 3 ^ 2 * 3 759*6 6 8 4 + 3 2 6 + 4 3 42 4 18 + 5 * 3 + 4 * 6 16 - 23 2 + 6 x 36 Ejercicios Ejercicios 12. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 12 Aritmtica 12 33 + 3 * 4 / 6 4 32 - 23 16 + 5 2 * 5 3 * 6 10 + 54 (3)2 18 + (2) 35 25 3 5 2 + 234 1500 + 50(3 2 1) (2) + (2)2 4 (3)(1) 2(3) Ejercicios Ubique los signos de agrupacin en el lugar adecuado para obtener el resultado indicado: 1 2 3 6 + 8 2 3 1= 4 6 + 8 2 3 1= -2 6 + 8 2 3 1= 7 6 + 8 2 3 1= -14 5 6 - 4 5 = 10 5 6 - 4 5 = 50 5 6 - 4 5 = 130 5 6 - 4 5 = -70 8 2 * 3 + 1 = 24 8 2 * 3 + 1 = 19 8 2 * 3 + 1 = 3 8 2 * 3 + 1 = 0 4 5 6 8 + 6 2 1 4 = 3 8 + 6 2 1 4 = 5 8 + 6 2 1 4 = 7 8 + 6 2 1 4 = 1 6 8 + 6 2 1 4 = 5 6 12 + 8 4 2 3 = 48 12 + 8 4 2 3 = 30 12 + 8 4 2 3 = 12 12 + 8 4 2 3 = 24 12 + 8 4 2 3 = 9 12 + 8 4 2 3 = 8 27 9 3 4 + 23 = 31 27 9 3 4 + 23 = 1 27 9 3 4 + 23 = 63 27 9 3 4 + 23 = 7 27 9 3 4 + 23 = 15 13. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 13 Aritmtica 13 Criterios de Divisibilidad Un nmero b es divisible por otro a cuando la divisin es exacta. http://www.vitutor.com/di/di/a_3.html Nmer o Criterio Ejemplo 2 El nmero termina en cero o cifra par 378: porque "8" es par 3 La suma de sus cifras es un mltiplo de 3 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es mltiplo de 3. 4 El nmero formado por las dos ltimas cifras es 00 mltiplo de 4. 7324: porque 24 es mltiplo de 4. 5 La ltima cifra es 0 5. 485: porque acaba en 5. 6 El nmero es divisible por 2 y por 3. 326 7 Para nmeros de 3 cifras: Al nmero formado por las dos primeras cifras se le resta la ltima multiplicada por 2. Si el resultado es mltiplo de 7, el nmero original tambin lo es. 469: porque 46-(9*2)= 28 que es mltiplo de 7. Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un mltiplo de 7. 52176376: porque (37- 12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es mltiplo de 7. 8 El nmero formado por las tres ltimas cifras es 000 mltiplo de 8. 27280: porque 280 es mltiplo de 8. 9 La suma de sus cifras es mltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es mltiplo de 9. 10 La ltima cifra es 0. 470: La ltima cifra es 0. 11 Sumando las cifras (del nmero) en posicin impar por un lado y las de posicin par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un mltiplo de 11, el nmero es divisible por ste. 42702: 4+7+2=13 2+0=2 13-2=11 11 es mltiplo de 11 Si el nmero tiene dos cifras ser mltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales. 66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Mltiplo de 11 12 El nmero es divisible por 3 y 4. 528 13 Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es mltiplo de 13, el nmero original tambin lo es. 528 25 Si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 25 500, 1025, 1875 125 Si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 125. 1000, 1125, 4 250 14. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 14 Aritmtica 14 Aplique los criterios de divisibilidad indicados en la tabla para comprobar las divisibilidades de cada nmero. 534 403 7286 56892 53955 Halla un nmero de 3 o ms cifras que sean divisibles por: Por 4 Por 7 Por 8 Por 11 Por 13 Ejercicios Ejercicios 15. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 15 Aritmtica 15 SISTEMAS DE NUMERACIN Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nmeros. Cada sistema de numeracin tiene una base. Entre los sistemas de numeracin conocidos tenemos: Binario de base dos, octal de base ocho, el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez, este ltimo es el que empleamos nosotros. Descomposicin Polinmica de un Nmero Dado el nmero 357 se puede descomponer: 300 + 50 + 7 3*100 + 5*10 + 7*100: como 100= 1, 3*102 + 5*101 + 7*1: Si hacemos x = 10, 3x2+5x+7 Es decir el nmero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7 Expresar cada nmero en forma polinmica 546 3457 12350 100201 Exprese cada polinomio en forma decimal 5x2+3x+9 2x3+6x2+8x+1 4x3+3x 7x2 5x + 3 Ejercicios Ejercicios 16. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 16 Aritmtica 16 NMEROS REALES Nmeros Dgitos: Son los que consta de una cifra Nmeros Reales: Se considera el conjunto universal, se representa con la letra R, a l pertenecen: Los Naturales: Los nmeros para contar, se representa con la letra N. Los Enteros: Estn formados por los naturales el cero y los negativos. Los Racionales son los de la forma a/b Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razn de dos enteros. Tienen representaciones decimales que no se repiten ni terminan Un nmero natural es cualquiera de los nmeros que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar objetos, ya que las tareas de contar y de ordenar son las ms elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural Los nmeros naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12,} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los nmeros naturales. Adems de cardinales (para contar), los nmeros naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1 (primero), 2 (segundo),, 16 (decimosexto), http://www.casdquindio.edu.co/userfiles/naturales.pdf?phpMyAdmin=eb0b7294f6d4a0e5612 6a77981c1b8cc 1. Una persona pago $8750 por un automvil gasto $830 en cambio de llantas y 200 en afinarlo para alquilarlo durante 2 aos a razn de $1500 por trimestre y luego lo vendi por $7750 Cul fue la utilidad? 2. A una funcin de teatro infantil entraron 270 personas. Por cada dos nios entro un adulto a la funcin. Cada adulto pago $6000 y los nios entraron gratis. a. Cuntos nios y cuntos adultos entraron a la funcin? Problemas 17. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 17 Aritmtica 17 b. Cunto dinero se recaud en la funcin? 3. A un estadio entran en total 12 425 personas de las cuales 1254 no pagan la boleta a la entrada. La recaudacin total fue de $39 098 500. Cul es el valor de cada boleta de entrada si todos los asistentes pagan el mismo valor? 4. Cierto almacn vende pantalonetas con las siguientes promociones Promocin A $9 000 cada pantaloneta Promocin B $30 000 la primera pantaloneta y $2500 por cada pantaloneta adicional a. Si se necesita comprar 4 pantalonetas. con cul promocin le sale ms barata? por qu? b. Si se cuenta con $100 000 Cuntas pantalonetas puede comprar en cada promocin? c. Qu cantidad de pantaloneta cuestan lo mismo en las dos promociones? 5. Una empresa obtuvo ganancias en el 2004 por $32,184 millones; en el 2005 $14,159 millones ms que el ao anterior; en el 2006 tanto como en los aos anteriores juntos; en el 2007 tanto como en los tres aos anteriores juntos; y en el 2008, $ 12,136 millones ms de lo que gano en 2007 y en el 2005 cunto ha ganado durante los 5 aos? 6. Una persona compr un libro que cost $105 000; un vestido por $140 000; una cmara fotogrfica que cost $180 000 ms que el libro y el vestido juntos; un anillo que cost $ 175 000 ms que el libro, el vestido y la cmara; y un computador que cost $ 235 000 ms que todo lo anterior. Si le sobraron $211 000, cunto dinero tena? 7. Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa: el inventario inicial es de 157 bolsas, recibe durante la semana las siguientes cantidades, el lunes 285, el martes 278, el mircoles 196, el jueves 418 y el viernes 332. El sbado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas. Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500. Cul es utilidad obtenida durante dicha semana? 18. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 18 Aritmtica 18 8. Cunto cost lo que al venderse por $12517.350 deja una prdida de $1383.500? 9. Si compro un computador porttil por 750 dlares si quiero ganarme $2 000 000 por su venta, teniendo en cuenta que el dlar est en $2190.80 en cunto debo vender? 10. Un comerciante hace un pedido de 3000 Kg de arroz. Inicialmente recibe 813 Kg, ms tarde 124 Kg menos que la primera vez y despus 156 Kg ms que la segunda vez. Cunto arroz falta por enviarle? 11. Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razn de $100 la unidad. Si se le daaron 35 naranjas cul es la ganancia o la perdida? 12. Un comerciante vende 14 sacos de harina a $10 800 cada uno con una prdida de $ 200 por saco; 20 sacos de arroz a $7 760 cada uno con una ganancia de $ 100 por saco y 7 sacos de frijoles a $ 4 800 con una prdida de $ 500 por saco. Cul fue el costo de toda la mercanca que se vendi? 13. Un comerciante compra un lote de sacos de azcar por $594 000 y luego los vendi $ 950 400 ganado as $ 2 640 por saco. cuntos sacos compr? 14. En un teatro las entradas de adulto costaban $ 9 000 y las de nios $ 3 000. Si se recaudaron $ 5 460 000 y por cada nio entraron dos adultos cuntos espectadores entraron al teatro? 15. Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno tiene que pagar $150 000 por el alquiler. Pero si se agregan a la casa tres amigos ms, cunto tendrn que pagar cada uno por el alquiler de la misma casa? Salud 19. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 19 Aritmtica 19 16. Un local de Policlnica funciona con los siguientes costos: El alquiler de $15000.000 al mes Salarios administrativos de $5000.000 $2000.000 de sueldos fijos a cada uno de los 5 mdicos Si cada consulta cuesta $15.000 y este es el nico ingreso del local cuntos pacientes deber atender cada mdico para cubrir los gastos de la clnica? 17. Un frasco de jarabe viene en presentacin de 250 ml. El mdico ha recetado a un paciente que tome 3 cucharadas diarias de 5 ml Tiene suficiente jarabe para los 12 das de tratamiento? 18. El corazn de una persona palpita 70 veces por minuto. Calcula el nmero de palpitaciones que habr dado en un da. Uso de la Tecnologa Suponga que un individuo tiene 125 monedas, algunas de $200 y otras $500. Podemos usar una hoja de clculo para averiguar los posibles valores de las diversas cantidades de monedas de $200 y $500. Para realizar la actividad desarrolle cada uno de los siguientes pasos: Entre a la hoja de clculo Excel En la posicin A1 digite 200, en B1 digite 500 y en C1 VALOR En la posicin A2 digite el nmero 125, en B2 digite el nmero 0 y en la posicin C2 digite la frmula =A2*200+B2*500 En la posicin A3 digite la frmula =A2 1 y cpiela hasta que el resultado sea cero (fila 127). Ubquese en la posicin B3 y escriba la frmula =A$2-A3. Copie la frmula hasta la fila 127. Copie los valores de la columna de VALOR al resto de filas. Grabe la informacin con su nombre Investigue el uso del carcter $ en el punto 5 Explique los procesos comprendidos entre los puntos 2 y 5 Analice los resultados que encuentra NUMEROS ENTEROS 20. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 20 Aritmtica 20 Matemticamente, el conjunto de los nmeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacin, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los nmeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemn Zahlen 'nmeros'). Valor Absoluto de un Nmero: Es la distancia del nmero al cero, por ello este valor siempre es positivo, es decir no tiene en cuenta el signo. Si x es un nmero entero el valor absoluto de x se representa |x|. Ejemplos: |-5| = |5| |-3||1| Ley de los signos Adicin y sustraccin de Nmeros Enteros: Para sumar o restar dos o ms nmeros enteros se debe tener en cuenta: Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nmero que tienen los nmeros Ejemplo 5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8 Si son de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nmero de mayor valor absoluto Ejemplo 5 3 = 2 -5 + 3 = -2 Multiplicacin y Divisin de Nmeros Enteros: Para multiplicar o dividir dos enteros se tienen en cuenta las siguientes consideraciones: El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo Ejemplo 6 * 3 = 18 (-6) * (-3) = 18 6 3 = 2 (-6) (-3) = (2) El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 * (-4) = -64 (-16) * 4 = -64 16 (-4) = -4 21. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 21 Aritmtica 21 (-16) (4) = -4 Marque con una C la afirmacin correcta y con una I la incorrecta. Si la repuesta es incorrecta justifquela: 1. 19 54 81 = 116 ( ) 2. 2. -9 + 18 10 = - 1 ( ) 3. Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( ) 4. Si 3x = -18 entonces x = 6 5. -1 > -2 ( ) 6. |-3| |8 3| ( ) 1. Se quiere resolver un problema sobre tres nmeros enteros consecutivos que sumados fueran 81. Se escribe la ecuacin (n 1) + n + (n + 1) a. Qu representa n? b. Cules son los tres nmeros? 2. Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de caf. a. Cuntos litros de agua quedan en el tanque despus de 5 horas, si se gastan un promedio de 4900 litros por hora? b. Cuntos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance? 3. En un campeonato de ftbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consista en: partido ganado daba 3 puntos, partido empatado daba 1 punto, partido perdido quitaba 2 puntos, cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1. Al final cada equipo jug 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes: EQUIPO PARTIDOS GOLES GAN EMP PER FAV CONTRA TIGRES 4 0 4 8 8 OSOS 5 1 2 10 9 TOROS 5 2 3 8 8 REBELDES 3 2 3 12 7 PITUFOS 2 0 6 7 12 Ejercicios Problemas 22. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 22 Aritmtica 22 En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos: 4. Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000. Vendi una parte por US $ 46400, a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte en US $ 36000, ganando US $ 100 a cada uno. a. Cuntos computadores tiene el lote? b. Para obtener una ganancia de US $ 4000 a cmo debe vender los restantes computadores? 5. Pitgoras, filsofo y matemtico griego, vivi entre los aos 582 y 496 A.C. A qu edad muri? Cuntos aos hace de eso? 6. Hipata de Alejandra fue una cientfica, filsofa y maestra que muri asesinada en el ao 415 a la edad de 45 aos. Arqumedes, en cambio, fue un matemtico griego que muri a la edad de 75 aos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el ao 212 a.C. En qu ao naci cada uno? 7. Euclides de Alejandra cientfico que enseo matemticas durante ms de 20 aos, naci hace 2336 aos y muri hace 2276 en qu ao naci? En qu ao muri? A qu edad muri? Posicin Equipo Puntos 1 2 3 4 5 23. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 23 Aritmtica 23 8. Los participantes de un concurso deben contestar 30 preguntas, cuando dan una respuesta correcta obtienen 3 puntos, si pasan no tienen puntos, si contestan incorrectamente pierden un punto. Cierto concursante acumula solamente 6 puntos. Indicar las posibles respuestas 2b y 0 m 4b y 6 m 6 b y 12 m 8b y 18 m 3 b y 3 m 5 b y 9m 7b y 15 m 9b y 21 m Uso de la tecnologa Utilice la hoja de clculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores NUMEROS RACIONALES http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional http://www.monografias.com/trabajos42/numeros-racionales/numeros-racionales.shtml Definicin La palabra racional se deriva del latn, ratio, que significa razn. Es el que se puede expresar como cociente de dos nmeros enteros. El conjunto de los nmeros racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los nmeros racionales est compuesto por los nmeros enteros y por los fraccionarios. Los nmeros enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los nmeros racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto Q de los nmeros racionales se representan de la forma a/b donde a y b R con b 0, a recibe el nombre de numerador y b denominador. Un racional es una divisin indicada. 24. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 24 Aritmtica 24 Existen dos tipos de racionales, propios e impropios. Un racional propio es aquel que el numerador es menor que el denominador; como por ejemplo: 1 2 , 2 3 y 11 15 Un racional impropio es aquel que el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo: 5 2 ,7 3 19 4 . Los racionales impropios se pueden convertir en nmeros mixtos o en enteros (por ejemplo, 21 3 , 53 4 y 62 3 )si se divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccin del denominador. Todo nmero entero se puede expresar como un racional. Origen de las fracciones Aritmtico: La divisin no exacta de los enteros Geomtrico: Un segmento con longitud no exacta Fsico: Medicin de magnitudes fsicas Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador. Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1. Si el numerador es igual a cero el racional es cero. Si el denominador es cero el racional es indeterminado. Principio fundamental de los Racionales El numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacin) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero. Amplificar en 2, 5, 7 y 8 cada racional Simplifique cada una de las siguientes expresiones: 4 8 30 35 54 152 183 642 4 3 2 5 3 7 7 4 Ejercicios Ejercicios 25. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 25 Aritmtica 25 Operaciones con los nmeros Racionales Adicin y sustraccin de nmeros Racionales Para sumar o restar nmeros racionales debemos tener en cuenta si: Si tienen el mismo denominador: Se mantiene el mismo denominador comn y se suman los numeradores. Simblicamente d ba d b d a Con d0 Si tiene diferente denominador: Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientos: Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominador Se busca el mximo comn divisor Si a y b son dos nmeros naturales distintos de cero, tal que a > b, entonces: M.C.D. (a, b) = M.C.D. (b, a b). Se aplica la frmula: cd bcad d b c a con c y d 0 Adems se puede calcular por mnimo comn mltiplo1, ejemplo: 2 3 + 1 4 Inicialmente se halla el mnimo comn mltiplo entre los denominadores Mltiplos de: 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 Como podemos observar el mnimo comn mltiplo de 3 y 4 es 12, luego escribimos el 12 como denominador, se divide este nmero por cada denominador de los sumandos y el resultado se 1 El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural que es mltiplo de todos ellos. Slo se aplica con nmeros naturales, es decir, no se usan decimales ni nmeros 26. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 26 Aritmtica 26 multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fraccin, as 8 + 3 12 = 11 12 Otra forma de realizar la operacin es por amplificacin, utilizando el mnimo comn mltiplo, se amplifican las fracciones para igualar los denominadores al mnimo comn mltiplo, as, se multiplica y se divide el 2 3 por 4 y el 1 4 por 3, quedando 8 12 + 3 12 = 11 12 En la calculadora utilizamos la tecla podemos sumar o restar fracciones. Si el resultado obtenido tiene tres trminos (312), est expresando la respuesta como un nmero mixto, pulse shift y para que el resultado quede expresado como fraccin. Para operar tres o ms fracciones halle el mnimo comn mltiplo de los trminos por descomposicin en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mnimo comn mltiplo ser el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia. Ejemplo calcular 3 8 + 5 12 + 2 15 Hallamos el mnimo comn mltiplo de 8, 12 y 15 8 12 15 2 4 6 15 2 2 3 15 2 1 3 15 3 1 1 5 5 1 1 1 Entonces el mnimo comn mltiplo de 8, 12 y 15 es 23x 3x5= 120, escribimos el 120 como denominador, se divide este nmero por cada denominador de los sumandos y el resultado se multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fraccin, as 120 8 3 = 45; 120 12 5 = 50; 120 15 2 = 16, 45 + 50 + 16 120 = 111 120 27. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 27 Aritmtica 27 Ejercicios Calcular: 2 3 + 1 9 1 4 + 3 6 2 3 + 3 2 1 4 1 4 + 3 6 2 5 6 5 5 3 9 7 8 3 10 7 4 7 2 5 7 2 3 8 4 3 + 5 6 1 2 1 + 5 6 + 1 2 1 2 + 5 2 Multiplicacin de los Racionales El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores. Es decir: bxd axc d c x b a Divisin de los Racionales El cociente de dos nmeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador. Es decir: cb da c d b a d c b a Nmeros Mixtos: Son aquellos formados por un entero y un racional. Es decir c ba Ejemplo: 4 1 2, 3 2 7, 2 1 3, 4 1 5 Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional. Ejemplo convertir en racional: 5 1 4 3 1 2 7 2 3 2 1 5 Para convertir una fraccin en mixto esta de ser impropia, se descompone el numerador en dos sumas tal que uno de los sumandos sea mltiplo del denominador, se separan los sumando, se simplifica y se expresa como mixto. 3 4 5 11 8 27 15 125 28. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 28 Aritmtica 28 Ecuaciones con nmeros Racionales Ejercicios Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones: m + 3 7 = - 4 7 x - 5 2 = - 8 1 x - 6 5 = 8 1 4 3x = - 5 1 - 5 6x = 5 4 3 x + 2 1 = 3 1 5 3x - 3 1 = - 3 2 Problemas de Aplicacin de los Racionales 1. Un granjero desea instalar mallas un terreno de 2275 m de largo. El primer da hace 3 7 del trabajo y el segundo 2 5 cuntos metros faltan para culminar el trabajo? 1 ( 3 7 + 2 5 ) = 1 29 35 = 6 35 6 35 2275m = 390m. Para culminar el trabajo faltan 390m 2. En un galpn, 4/6 de los conejos tienen una enfermedad. Despus de haberlos inyectado se observa que de los conejos enfermos han muerto 2/5 partes. Con base en lo anterior, El dueo decidi vender cada conejo sano a $2000 y cada conejo enfermo a $800. Si tena 600 conejos, cunto dinero recibe por la venta? Como se tenan 600 conejos Para hallar la cantidad de animales enfermos multiplicamos 4 6 600 = 400 enfermos. Para hallar la cantidad de animales muertos multiplicamos 2 5 400 = 160 muertos. Para hallar la cantidad de animales enfermos que no murieron restamos 400 160 = 240 Para hallar la cantidad de animales sanos restamos 600 240 = 360 Si se vende cada conejo enfermo en $800c/u se obtendra por la venta 240 800 = $192 000 29. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 29 Aritmtica 29 Si se vende cada conejo sano en $2000c/u se obtendra por la venta 360 2000 = $720 000 Suponiendo que se vendieron todos los conejos, se recibira por la venta 192 000 + 720 000 = 912 000 Por la venta de los animales se recibiran $912 000. 3. En las elecciones para presidente de cierta vereda, 3/11 de los votos fueron para el candidato A, 3/10 para el candidato B, 5/14 para el candidato C y el resto para el candidato D. El total de votantes fue 15 400. Calcular: a. El nmero de votos obtenidos por cada candidato. b. El nmero de abstenciones sabiendo que el nmero total de votantes representa 7/8 del potencial electoral de la vereda Para saber la cantidad de votos por candidato multiplicamos la cantidad de votos por la fraccin de votos obtenida por cada uno Candidato A: 15 400 3 11 = 4 200 Candidato B: 15 400 3 10 = 4 620 Candidato C: 15 400 5 14 = 5 500 Sumamos los votos de estos candidatos, se lo restamos a 15 400 que es el total de votos para obtener los votos del candidato D Candidato D: 15 400 (4 200 + 4 620 + 5 500) = 15 400 14 320 = 1 180 Para hallar el nmero de abstenciones hallamos inicialmente el total de habitantes que pueden votar. Teniendo en cuenta que: 7 8 = 15 400 Despejando = 15 4008 7 = 22 000 El total de personas que pueden votar es de 22 000. Se resta el potencial electoral de los votantes y obtenemos el nmero de abstencionistas: 22 000 15 400 = 2 200 El nmero de abstencionista fue de 2 200 4. En una encuesta aplicada a 15 000 habitantes de la ciudad de Santa Marta sobre el uso del medio de transporte se encontr que: 1/20 prefiere caminar, 1/15 prefiere la bicicleta, 1/5 la moto, 1/3 el vehculo particular y el resto el transporte pblico. a. Qu fraccin de habitantes prefiere el transporte pblico? b. Qu cantidad de habitantes de los encuestados utiliza cada medio de transporte? 30. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 30 Aritmtica 30 5. El propietario de un solar vende 1/3 de este a una empresa constructora y 3/4 del resto a otra, quedando an 5 Ha sin vender. Qu superficie tiene el solar? 6. Dos automviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. Cul de los dos va primero? Cuntos kilmetros lleva recorridos cada uno? 7. Una finca de 40 hectreas fue dividida en parcelas (partes) iguales como muestra la figura . La distribucin est dada por 8.Siembra de Cacao 9.Siembra de banano 10.Casas 11.Crianza de animales Se pregunta a. Qu fraccin de la finca es utilizada para la crianza de animales? es b.Qu cantidad de hectreas utilizada para la siembra de banano? 8. Al estreno de una obra han asistido 676 personas, de las cuales 7/13 son adolescentes. a. Cuntos adolescentes asistieron? b. Si la mitad de los adolescentes son chicas Cuntas chicas adolescentes asistieron? 31. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 31 Aritmtica 31 9. Una empresa gasta en enero 1/4 de su presupuesto en el sueldo de sus empleados, 3/5 en materiales y 1/8 en el alquiler del local Qu fraccin le queda al dueo de la empresa? 10. Alberto compr una finca de 900m2. Ha utilizado 1/3 de la finca para construir una casa, 1/4 para la piscina y el resto para jardn Qu fraccin de la finca ha utilizado para jardn? Cuntos m2 son? 11. Cierta empresa tiene 145 empleados de los cuales 1 29 son directivos, 3 28 de los restantes son profesionales, 2 5 de los dems son tecnlogos, 13 15 de los que quedan son tcnicos y los dems no tienen ningn tipo de formacin tcnica. Qu cantidad de trabajadores no tiene ninguna formacin acadmica? 12. Si un fosforo mide 1 25 cuntos fsforos se necesitan para cubrir 3 4 de metro? 13. Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacn y 3/7 de lo que le queda en otro. Si despus de efectuadas las compras le quedan $24 000 calcule la cantidad de dinero que tena al principio? 14. Una persona debe realizar un trabajo en 3 das, el primer da alcanza a realizar 7 1 del total, el segundo 5 2 y el tercero 4 1 alcanzo a cumplir con su trabajo? 15. En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nmero de estudiantes mujeres es de 7 18 del total cuntos estudiantes varones hay? 16. De un tanque de gas se gast 3 1 en la primera semana, 8 3 en la segunda y 4 1 en la tercera semana. Qu fraccin de gas queda en el tanque? 17. De un tanque de gas se gast 5 2 en la primera semana, 4 1 en la segunda, 20 3 en la tercera y 1 5 la cuarta semana Qu fraccin de gas queda en el tanque? Si el tanque se llena con 5000 cc qu fraccin de gas se gast cada semana? 32. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 32 Aritmtica 32 18. En una estacin de gasolina se llena el depsito el lunes con 2500 galones, el mismo da se venden 600 galones, el martes 500 galones y el mircoles 300 galones Qu fraccin de gasolina se vendi cada da? Qu fraccin de gasolina queda en el depsito? 19. Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma 5 1 para su esposa 4 1 para sus hijos, 6 1 para el resto de la familia y el restante lo donar a una casa de beneficencia. Si su herencia est valorada en 300 millones de pesos cunto le corresponde a cada uno? 20. Un seor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera: a dos de sus hijos les deja 2 5 1 3 de su herencia y al tercero el resto. Si la herencia es de 300 millones de pesos Cunto le corresponde a cada uno? 21. Un joven quiere comprar una bicicleta. El pap la da la mitad de la plata, la mam 5 2 de la parte que le falta. Si la bicicleta tiene un valor de $124.000 Qu fraccin le hace falta para comprar la bicicleta? 22. En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan ftbol. Cuntos no juegan ftbol? 23. Si un empleado devenga $1.200.000 y gasta $160.000 en servicios, $340.000 en alimentacin, $280.000 de la cuota de una deuda, reserva $200.000 para transporte y $100.000 para imprevistos, lo restante lo ahorra. Qu fraccin de su sueldo ahorra? 24. El valor de un artculo es $180.000, es incrementado en 6 1 de su valor Cul es su nuevo precio? Si el nuevo precio es de $24.000 cul es la fraccin del incremento? 25. Despus de una fiesta sobraron 5 28 del pastel Cuntos pasteles enteros se pueden formar? Qu cantidad sobra? 26. De una finca de 40 hectreas, 5 2 est sembrada en cacao y 4 1 del resto de banano y el resto es para crianza de animales Cuntas hectreas estn sembradas de cacao y cuntas de banano? Qu fraccin de la finca est destinada para la crianza de animales? 33. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 33 Aritmtica 33 27. Cuntos pedazos de varillas de 4 1 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de 4 25 metros de largo? 28. Si una llave vierte 8 1 4 litros de agua por minuto Cunto tiempo emplear en llenar un deposito de 90 1 4 ? 29. La propietaria de un jardn infantil solicita a un contador le disee un presupuesto para un ao. El presupuesto es 1/15 de los ingresos estn destinados para el arriendo, la de lo que quede es para pago de maestros, de lo dems es para la nmina del personal administrativo, 1/5 de lo restante est destinado para el pago de servicios, de lo dems para materiales e insumos, reserva 1/3 de lo que queda para actividades, guarda 5/8 de lo dems para imprevistos y lo que queda es ganancia. Si el ingreso del ao inmediatamente anterior fue de 60000.000 de cunto fue la ganancia obtenida? Salud 30. En un hospital trabajan 145 mdicos, de los cuales 3/29 son especialistas, la mitad de los que quedan estn asignados a emergencia, 3/5 de los restantes son de consulta externa y 8/13 de los restantes son internos los dems estn asignados para trabajos administrativos. Cuntos mdicos laboran en el rea administrativa? 31. De los pacientes que ingresaron a raz de una intoxicacin; la sexta parte se mantienen en terapia intensiva, la cuarta parte estn en observacin y 42 fueron dados de alta. Cuntas personas resultaron intoxicadas? 34. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 34 Aritmtica 34 NMERO DCIMAL Cualquier nmero racional expresado en el sistema de numeracin decimal se dice que son decimales. Por ejemplo 0,5; -2,84; 3,141592 Un nmero decimal est compuesto por una parte entera, el punto o la coma decimal y la parte decimal. Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman dcimas, centsimas, milsimas, diezmilsimas,, millonsimas. Si un nmero decimal tiene un nmero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto, si tiene infinito nmero de cifras que se repiten peridicamente, se llaman decimales peridicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten peridicamente, son nmeros irracionales. Es el caso de p = 3,141592 = 1,41424 Para convertir una fraccin en decimal se divide el numerador por el denominador. Por ejemplo: 5,1 2 3 ; 8,0 5 4 ; 5,0 2 1 Para convertir un decimal en fraccin se realiza el siguiente procedimiento: Procedimiento Ejemplo Se hace el decimal igual a una variable 25,0x Se multiplica la ecuacin por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nmero )100(25,0)100( x Se resuelve la operacin 25100 x Se despeja la variable 100 25 x Se simplifica si es posibles 4 1 x Ejercicios Convertir en decimal 2 1 12 5 5 2 96 24 Convertir en fraccin 0.8 0.17 0.125 0.015 0.0005 5 3 35. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 35 Aritmtica 35 Adicin y sustraccin de Nmeros Decimales Para sumar o restar nmeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas, unidades debajo de unidades, dcimas debajo de dcimas, centsimas debajo de centsimas y as sucesivamente, se efecta la operacin en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma, teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos. Si los nmeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales, inicialmente se iguala el nmero de cifras decimales de ambos nmeros, aadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos. Ejercicios Calcular 0,8 + 0,17 7,86 + 3,15 0,39 0,18 3,8 0,75 + 1,35 15,2 0,75 4,6 3,5 + 9,36 10,75 Multiplicacin de Nmeros Decimales Para multiplicar dos nmeros expresados en forma decimal, hacemos la multiplicacin sin tener en cuenta las comas, como si fueran nmeros naturales. Despus contamos cuntas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nmero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda. Ejercicios Calcular 0,5 x 0,3 0,18 x 3,74 11.87 x 0.1 0.008 x 0.96 45.89 x 0.67 Divisin de los Nmeros Decimales Para dividir dos decimales, si no son homogneos, es decir, si no tienen el mismo nmero de cifras decimales, se hace que lo sean aadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales. Una vez homogneos el dividendo y el divisor, se suprimen los puntos y se dividen como enteros. Si se divide un entero por un decimal al entero se le aaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros. Ejercicios Calcular 128 0.96 0,90,3 0,7350,15 130,3 0,64 16 36. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 36 Aritmtica 36 Ejercicios Evalu en la calculadora (1,4 0,25) x 3,18 15,47 + (0.025 x 51,32) 1000000 (1 +0.2) Problemas 1. Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 239,95 si la paga a crdito en 12 plazos le recarga $102 945,60. Si da una cuota inicial de $490 785,55 qu cantidad de dinero tendr que pagar cada mes? 2. Para hacer 36 vestidos se requieren 89.25 metros de tela Cuntos metros de tela se gastan en tres vestidos? 3. Se cancel un crdito de $30086 900 en 180 cuotas Cunto se cancel cada mes? 4. Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 567,5 Km. cuntos kilmetros es posible recorrer con 15 galones? 5. Un sastre gasta 890 metros de pao en la confeccin de 780 pantalones cuntos metros de pao emplea en cada tres pantalones? 6. Una madeja de lana tiene 900 metros. En un tejido se han gastado 267,25 metros. cuntos metros de lana no se han utilizado? 7. Un mantel de forma rectangular de 2,10 metros de largo por 1,5 metros de ancho se quiere adornar en su borde con 10 metros de encaje. Alcanzar el encaje? Cuntos metros de encaje sobran o faltan? 8. Una cuenta de $89654 823,50 se cancela con billetes de 20 000 Cuntos billetes se necesitan? 9. Un terreno cuadrado mide 0,096 metros de lado. Cunto mide el permetro? 10. En un terreno rectangular de 750,8 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de 137 m de largo por 12,45 m de ancho. a. Qu rea del terreno no est construida? b. Cuntas casas completas, de la misma rea pueden ocupar en el terreno desocupado? c. Para construir la casa se invirtieron $32907 50 Cunto se gast por metro cuadrado? d. En cunto excede el permetro del terreno al permetro de la casa? e. Si desea cercar el terreno, dando tres vueltas al alambre, cunto alambre se necesita? 11. Los porcentajes de ciertas asignaturas de un estudiante son 0.75, 0.90 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente Qu nota mnima debe obtener en el final para aprobar la asignatura? 37. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 37 Aritmtica 37 NMERO IRRACIONAL Son aquellos nmeros infinitos que tienen una expresin decimal no peridica y se representan con la letra I. Estos nmeros no se pueden representar como racionales es decir de la forma a/b. Las races pares de los nmeros primos son decimales infinitos no peridicos por lo tanto hacen parte del conjunto de los nmeros irracionales. Otros nmeros irracionales son: El nmero pi ( = 3.14159265 ) que es la proporcin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro. El nmero Euler ( = lim (1 + 1 ) = 2.71828182845905 .) que aparece en procesos de crecimiento, en la desintegracin radiactiva, en la frmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos elctricos. Su nombre por Leonhard Euler, e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier) El nmero ureo ( = 1+5 2 = 1.618033988749 ), utilizado por artistas de todas las pocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dal,..) en las proporciones de sus obras. http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf 1 0 1 22 3 1 2 38. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 38 Aritmtica 38 NMEROS COMPLEJOS Debido a la no existencia en el conjunto de los nmeros reales de los nmeros cuyo cuadrado sea un nmero negativo, hubo la necesidad de crear los nmeros complejos utilizados para resolver problemas de navegacin, electrnica, astronoma y sistemas dinmicos cuyos modelos son ecuaciones de grado dos o superior. Aquellas ecuaciones que no tienen solucin dentro del conjunto de los nmeros reales si la tienen en el conjunto de los complejos, expresadas en trminos de la unidad imaginaria . La unidad imaginaria Algunas ecuaciones cuadrticas no tienen solucin por ejemplo: 2 + 9 = 0 Despejando obtenemos: 2 = 9 2 = 9 La expresin = 9 no tiene solucin en los reales, ya que no existe ningn nmero negativo que al elevarlo al cuadrado de cmo resultado -9. Si descomponemos la expresin en = 9(1) = 91 = 31 Si hacemos = 1 la expresin quedara = 3 , donde se denomina unidad imaginaria Un nmero imaginario se denota por , donde b es un nmero real e es la unidad imaginaria, en general los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negativo. Potencias Imaginarias = = = 1 = = = () = = = ()() = Para hallar la potencia de una unidad imaginaria se se divide el exponente entre 4, y el residuo es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Ejercicios Determine las siguientes potencias de 7 , dividimos 7 /4=1 el residuo es 3 en 7 = 3 = 26 , dividimos 26 /4=6 el residuo es 2 en 26 = 2 = 1 13 35 39. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 39 Aritmtica 39 1001 Nmeros Complejos El conjunto de todos nmeros complejos se designa por Al nmero + le llamamos nmero complejo en forma binmica. El nmero se le llama par te real y el nmero parte imaginaria del nmero complejo. Si = el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que + = . Si = el nmero complejo se reduce a , y se dice que es un nmero imaginario puro. Los nmeros complejos + y se les dice opuestos. Los nmeros complejos = + y = se les dice conjugados. Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. Suma y diferencia de nmeros complejos La suma y diferencia de nmeros complejos se real iza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s. ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) Ejercicio (3 + 2) + (4 8) (2 + 4) = (3 + 4 + 2) + (2 8 4) = 9 10 Multiplicacin de nmeros complejos El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que 2 = 1 ( + )( + ) = ( ) + ( + ) Ejercicio ( )( + ) = + = () = 40. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 40 Aritmtica 40 RAZN Y PROPORCIN Magnitud: Es la cualidad de un objeto que se puede medir La longitud de un cuadrado La capacidad de un recipiente El nmero de trabajadores de una obra La cantidad de dinero que se paga por un producto Razn La razn entre dos cantidades y es la comparacin de ellas mediante la divisin, se denota b a o bien a : b , donde se denomina antecedente y consecuente Ejercicios Si de los 32 estudiantes de un saln de clase 12 son mujeres y 20 varones entonces La razn entre el nmero de mujeres respecto al total de estudiantes es = 12 32 = 3 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 3 son mujeres La razn entre el nmero de varones respecto al total de estudiantes es = 20 32 = 5 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 5 son varones 41. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 41 Aritmtica 41 La razn entre el nmero de mujeres respecto al nmero de varones es = 12 20 = 3 5 , es decir que por cada 5 varones hay 3 son mujeres Ejercicio En un terreno, el rea construida es de 120 metros cuadrados y el rea libre es de 80 metros cuadrados. Cul es la razn entre el rea construida y el rea del terreno total? La diferencia entre una razn y una fraccin radica que en la fraccin los trminos son nmeros enteros con el denominador diferente de cero, mientras que en la razn los trminos pueden ser decimales. Proporcin Es una igualdad entre dos razones. = , donde a, d son los extremos y b, d los medios Propiedades de las proporciones En una proporcin del producto de los medios es igual al producto de los extremos. a . d = b . c 2 5 = 4 10 2 .10 = 5 .4 20 = 20 En una proporcin o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. = = = + + + + Si en una proporcin cambian entre s los medios o extremos la proporcin no vara. = entonces = 42. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 42 Aritmtica 42 Ejercicios 1. La suma de las edades de dos personas es 80 aos y estn en la razn 7:9. Cules son las edades? 2. La razn entre dos nmeros es 4 9 y su diferencia es 1.205 Cules son los nmeros? 3. La razn entre dos nmeros es 5 4 y la suma de sus cuadrados 369 Cules son los nmeros? 4. La suma de dos nmeros es 91 y estn en la razn 4:3. Calcula el valor de cada nmero 5. La diferencia entre el peso de dos vehculos es 1.200Kg y estn en la razn 7:4. Calcula el peso de cada vehculo. 6. El permetro de un rectngulo es128 cm y la razn entre las medidas de sus lados es 5:3. Calcula su rea Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los trminos de una proporcin. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos trminos. 2 x = 4 10 entonces x= 2 10 4 por lo que x=5 x 5 = 4 10 entonces x= 5 4 10 por lo que x=2 Medio proporcional Una proporcin es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporcin continua se extrae la raz cuadrada del producto de los extremos. 3 x = x 12 entonces 2 =312=36 x=36 = 6 Tercero proporcional En una proporcin continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los trminos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los trminos iguales, dividido por el trmino desigual. x 6 = 6 12 entonces x = 36 12 =3 43. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 43 Aritmtica 43 Ejercicios Calcular el valor de x en las siguientes proporciones 105 = 20 35 4.4 = 6.6 5.4 5 14 9 25 = 8 15 4 + 2 7 15 + 2 5 = 11 2 3 Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo nmero. Se establece una relacin de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A ms corresponde ms. A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. Si 1 kg de tomates cuesta $ 1400 , 2 kg costarn $2 800 y kg costar $700. Es decir: A ms kilgramos de tomate mayor precio. A menos kilgramos de tomate menor precio. Tambin son directamente proporcionales: El espacio recorrido por un automvil y el tiempo empleado. El volumen de un cuerpo y su peso. La longitud de los lados de un polgono y su rea. Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. 44. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 44 Aritmtica 44 D 1 1 2 = = 2. 12 La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A ms a ms. A menos a menos. Problemas 1. Un automvil recorre 240 km en 3 horas. Cuntos kilmetros habr recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrer menos kilmetros. D 240 3 2 240 = 3 2 240 2 = 3 = 240 2 3 = 160 Es decir que en dos horas el automvil recorre 160 Km 2. Ana compra 5 kg de papa, si 2 kg cuestan $2 160, cunto pagar Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a ms kilos, mayor valor. D 2 $2 160 5 2 5 = $2 160 2 = 5 $2160 = 5 $2 160 2 = $5 400 Es decir que 5 Kg de papa costaran $5 400 3. Una mquina envasa 1200 latas de refresco en una jornada de 8 horas. Cuntas latas de refresco envasar en un da que trabaje 5 horas? 45. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 45 Aritmtica 45 4. Una tubera tiene una fuga de agua y pierde 322 litros de agua cada 7 minutos. En cunto tiempo se perdern 2300 litros? 5. Tres metros de tela cuestan valen $ 800. Cunto valen ocho metros de la misma tela? 6. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. Qu distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante? 7. Seis operarios cavan en 1 da una zanja de 80 metros de longitud. Cuntos metros cavarn, en un da, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? 8. Teresa trabaj 3 horas y gan $ 8.100. A esa razn, cunto tiempo le tomar ganar $ 27.000? 9. Marcela gana $ 540.000 mensuales (considera 30 das). Cunto dinero gana en 10 das? 10. Si la impresora de una universidad imprime 8 hojas por minuto, cunto tardar en imprimir 160 hojas? En una hora cuntas hojas imprimir? Salud 11. Un medicamento antitusivo viene en presentacin de 135 ml. Si se suministra a un paciente dosis de una cucharada cada 4 horas Para cuntos das le alcanza el medicamento? (1 cucharada = 15 ml) 46. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 46 Aritmtica 46 12. La presentacin de la penicilina es de 10 ml ya preparada y tiene 4 000 000 unidades internacionales. Si se debe suministrar en cada inyeccin 800 000 unidades qu cantidad de penicilina debe suministrarse PORCENTAJE Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Porcentaje, o tanto por ciento, es la fraccin de un nmero entero expresada en centsimas. El trmino se deriva del latn per centum, que significa por ciento, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. As, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el smbolo %. Los clculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados. Para calcular el porcentaje de un nmero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primero. Ejercicios Dado el nmero halla el porcentaje indicado: 1. 4 el 30%: 2,13,04 100 30 4 xx 2. 1600 el 18% : 28818,01600 100 18 1600 xx 3. 3.5 el 40% 4. 840 el 25% 5. 90 el 64% 6. 200 el 28% Ejercicios Calcula que tanto por ciento es 1. 20 de 80 2. 90 de 1900 3. 16 de 360 4. 38 de 96 Problemas 1. El precio del galn de gasolina corriente hoy en Colombia es de $8911.68 de dicho precio, el minorista de la bomba recibe 5% de utilidad, del restante se descuenta un 1% de "margen de continuidad" , del restante el distribuidor mayorista gana 3%, del restante los transportadores de combustible obtienen una utilidad del 4%, del restante el 27% es utilidad para el estado y de 47. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 47 Aritmtica 47 lo queda el 51% es utilidad para Ecopetrol, lo restante corresponde al costo de produccin de un galn del combustible Cul es el costo de produccin de un galn de gasolina corriente en Colombia?Cul es el porcentaje de incremento del galn de gasolina corriente al usuario? Item % Valor Precio de venta 8911.68 Vendedor 5 8466.10 Margen de continuidad 1 8381.44 mayorista 3 8129.99 Transportador 4 7804.79 Impuesto 27 5697.50 Ecopetrol 51 2791.77 El costo de produccin de un galn de gasolina corriente en Colombia es de $2791.77 Valor % 8911.68 x 2791.77 100 = 100% $8911.68 $2791.77 = 891168 2791.77 % = 319.21% El porcentaje de incremento de un galn de gasolina corriente en Colombia es del 319.21% 2. Una moto cuyo precio era de $5 000 000, cuesta en la actualidad $250 000 ms. Cul es el porcentaje de aumento? Las magnitudes son directamente proporcionales $5 000 000 100% $250 000 $5 000 000 $250 000 = 100% 5 000 000 = 250 000 100% = 250 000 100% 5 000 000 = 5% El porcentaje de aumento ser del 5%. 3. Al adquirir un vehculo cuyo precio es de $53 000 000, nos hacen un descuento del 7.5%. Cunto hay que pagar por el vehculo? 48. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 48 Aritmtica 48 $53 000 000 100% 7.5% $53 000 000 = 100% 7.5% $53 000 000 7.5% = 100% = $53 000 000 7.5 100 = $3 975 000 Para saber el costo del vehculo se debe restar 53 000 000 3 975 000 =49 025 000 Por lo tanto se debe pagar $49 0250 000 4. En una fiesta haba 100 nios, cada uno con 2 globos. Si el 40% de los nios perdi un globo y el 50% perdi ambos globos cuntos globos quedaron en la fiesta? Si 100 nios estaban en la fiesta cada uno con dos globos entonces haba 200 globos. Como el 40%, es decir 40 nios perdieron un globo, entonces se perdieron 40 globos. El 50%, es decir 50 nios perdieron los dos globos, entonces se perdieron 100 globos ms. Total de globos perdidos 140. En total haba 200 globos en la fiesta, entonces quedan 60 globos 5. Un joven prctica diariamente 3 deportes durante 2 horas, como lo muestra el siguiente grfico de sectores. Cunto tiempo le dedica a cada deporte? 6. Suponga que el precio normal de un artculo es $60 000, se le descuenta el 20% y al nuevo precio se le aumenta el 20%, determine el precio final del artculo 7. En una granja el 35% de las aves son patos, el 40% pollos y las restantes gallinas. Si en la granja hay 300 aves, Cuntas gallinas que hay? 8. El 24% de las gallinas de una granja avcola murieron debido a una epidemia. Si el nmero de aves muertas fue de 28 800, cuntas gallinas tena la granja avcola? 49. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 49 Aritmtica 49 9. El 56% de la produccin de la palma africana se utiliza para la produccin de aceite. Cunto aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma? 10. Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8%. Cunto se debe pagar por el vestido? Cul es el valor del descuento? 11. Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales. Si el arriendo se incrementa en el 6,2% cada ao, cunto debe pagar de arriendo cada uno de los prximos 5 aos? 12. El precio de un computador de $1 760 000. Si el pago es de contado se hace un descuento del 12%. Halle el precio de contado. 13. Si se producen 800 000 barriles de petrleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta qu porcentaje se exporta? 14. Si se producen 800 000 barriles de petrleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta, Qu porcentaje de barriles se exporta? 15. El precio de un artculo ms el impuesto del valor agregado (IVA) es de $ 145 000 si el IVA es del 16% halle el precio del producto sin IVA. 16. Si un salario se incrementa de $750 000 a $1 095 000 cul es el incremento porcentual? 17. Si a un trabajador le incrementan el salario mensual por 24 horas de trabajo semanal de $1 584 000 a $ 1 774 080 cul es el incremento porcentual del valor de la hora de trabajo? 18. El precio por la venta de un local es de 250 millones de pesos si se acuerda pagar 220 millones de pesos Qu porcentaje se descont? 19. Una mquina fabrica al da 450 piezas de las que 18 presentan algn defecto y se desechan. Qu porcentaje de piezas defectuosas fabrica la mquina? Salud 20. Si tres de cada 5 personas usan gafas, qu porcentaje de personas no usan gafas? y cul es el porcentaje de personas que usan gafas? 21. El intestino tiene una longitud total de 7,5 metros. Si el intestino grueso mide 1,5 metros qu porcentaje de longitud corresponde el intestino delgado? 22. El cuerpo humano tiene aproximadamente 80 cm3 de sangre por kilogramos. Una persona que pierde el 40% de su volumen sanguneo est en riesgo de muerte. cuntos litros de sangre tiene que perder una persona con peso de 90 Kg para estar en riesgo de muerte? 50. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 50 Aritmtica 50 Repartos Proporcionales Para realizar el reparto de una cantidad de forma directamente proporcional a unas cantidades a, b, c, hacemos lo siguiente: Se suman las cantidades en las que hay que repartir: a + b + c + ... Se divide la cantidad entre esa suma. El cociente nos da la constante de proporcionalidad. Para calcular cada parte basta con multiplicar cada cantidad a, b, c, por esa constante. Problemas 1. Un padre reparte $7 000 00 en partes directamente proporcionales a sus edades: El menor de 8 aos, el segundo de 12 aos y el mayor de 15 aos. Cunto recibir cada hijo? Inicialmente sumamos las edades 8 + 12 + 15 = 35 Dividimos la cantidad a repartir por la suma 7 000 000 35 = 200 000 Multiplicamos cada parte por la constante: Para el menor 8 200 000 = 1 600 000 Para el segundo 12 200 000 = 2 400 000 Para el mayor 15 200 000 = 3 000 000 Para verificar sumamos los valores 1 600 000 + 2 400 000 + 3 000 000 = 7 000 000 2. Una localidad tiene 3 colegios. El colegio A tiene matriculados 520 estudiantes, el B 360 estudiantes y el C 140 estudiantes. Para su funcionamiento se debe repartir $12 000 000 en partes directamente proporcionales al nmero de estudiantes que tienen matriculados. Cunto recibir cada colegio? Inicialmente sumamos el nmero de estudiantes de cada colegio 520 + 360 + 140 = 1020 Dividimos la cantidad a repartir por la suma 12 000 000 1020 = 11 764.7 Multiplicamos cada parte por la constante: Para el colegio A 520 11 764.7 = 6 117 644 Para el colegio B 360 11 764.7 = 4 235 292 Para el colegio C 140 11 764.7 = 1 647 058 Para verificar sumamos los valores 6 117 644 + 4 235 292 + 1 647 058 = 11 999 994 3. Tres obreros trabajan 15, 8 y 5 das, respectivamente, recibiendo en total $ 4 600 000 Cuanto corresponde a cada uno? 4. Dos socios tuvieron una ganancia de $28 300 000 qu beneficio correspondi a cada uno si el primero invirti $ 10 000 000 y el segundo $ 15 500 000? 51. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 51 Aritmtica 51 5. La construccin de un puente ha costado $5 813 560 000, cantidad que han de sufragar tres municipios proporcionalmente al nmero de sus habitantes. El primer tiene 43 390, el segundo 54 202 y el tercero 95 010 habitantes respectivamente. Qu cantidad debe pagar cada municipio? 6. Repartir 540 caramelos entre cuatro nios de forma directamente proporcional a las edades de cada uno de ellos, que son 3, 4, 5 y 6 aos. 7. Para la puesta en marcha de un negocio, tres socios aportan respectivamente 5, 8 y 7 millones de pesos. Cuando los beneficios llegan a 140 millones de pesos, deciden liquidar el negocio. Qu cantidad de dinero recibir cada socio? Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo nmero. Se establece una relacin de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: A ms corresponde menos. A menos corresponde ms. Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo: A ms velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde ms tiempo. Problemas 1. Un vehculo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuir a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto ser de 3 horas. Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. I 1 2 1 2 = 1 = 2 = 1 2 52. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 52 Aritmtica 52 La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: Problemas 1. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depsito. Cunto tardara si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardar ms en llenar el depsito. I 18/ 14 7 / 18 / 7 / = 14 = 14 18 7 = 36 Si el caudal fuera de 7 l/min se taradra 36 hras en llenar el deposito. 2. 3 obreros construyen un muro en 15 horas, cunto tardarn en construirlo 5 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a ms obreros tardarn menos horas. I 3 12 5 3 5 = 15 = 15 3 5 = 9 , obreros tardaran 9 horas en construir el muro 3. Dos ruedas estn unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuntas vueltas habr dado la segunda? Son magnitudes inversamente proporcionales: a ms radio menos vuelta A ms menos A menos ms. 53. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 53 Aritmtica 53 I 25 300 75 25 75 = 300 = 25 300 75 = 100 La rueda de 75 cm dar 100 vueltas 4. Circulando a 90 km/h hemos tardado 3 horas en recorrer una distancia. Cunto tardaramos en llegar si furamos a 120 km/h? 5. Una piscina tiene 6 grifos que manan el mismo caudal, en litros de agua por minuto. Si solo abrimos 2 grifos, la piscina tarda 8 horas en llenarse. Calcula cunto tiempo tardara en llenarse si abrimos los seis grifos. 6. Si para construir una obra en 36 das se necesitan 15 operarios, cuntos operarios sern necesarios para realizar la misma obra en 27 das? Salud 7. La frecuencia cardiaca es inversamente proporcional a la talla. Si la frecuencia cardaca de un adulto de 1.8 metros es de 67 latidos por minuto cul es la frecuencia esperada para un nio de 90 cm o de una persona de 2.1 metros? Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o ms magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Problemas 54. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 54 Aritmtica 54 1. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $56000. qu cuesta la cantidad de agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos das? Magnitudes N Grifos Tiempo (horas) Valor ($) 9 10 56 000 15 12 x Planteamos la relacin a partir de la magnitud en donde est la incgnita Magnitudes Relacin Tipo de Relacin Valor $- N Grifos A ms grifos abiertos ms valor Directa Valor $ - Tiempo A ms tiempo ms valor Directa La relacin sera $56000 = 9 15 = 10 12 Simplificando y despejando = $56000 15 12 9 10 = $112 000 Mantener 15 grifos abiertos durante 12 horas cuesta $112 000 2. 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 das. Cunto tardarn 4 obreros trabajando 8 horas diarias? Magnitudes Obreros Horas diarias Das 5 6 2 4 8 x Planteamos la relacin a partir de la magnitud en donde est la incgnita Magnitudes Relacin Tipo de Relacin Das - Obreros A ms obreros menos das Inversa Das Horas Diarias A ms horas diarias menos das Inversa La relacin sera 55. Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 55 Aritmtica 55 2 = 4 5 = 8 6