mis notas de clase razonamiento cuantitativo mayo 18 de 2015

Razonamiento Cuantitativo

Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 2

Pensamiento Cuantitativo

Con especial cario a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en m, a

Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensin y sacrificio, a mis hijos porque

son mi fuente de inspiracin, a todas aquellas personas que han credo en mi trabajo y que

me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada da y a mis estudiantes a

quienes va dirigido este trabajo. Gracias

Jos Francisco Barros Troncoso Mayo 1 de 2015

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIN5 LA MATEMTICA6 LGICAError! Marcador no definido. Conectivos Lgicos8 La Negacin8 La Disyuncin9 La Conjuncin10 El Condicional11 Tipos de Condicionales12



El Bi-condicional12 Interpretacin oracional Idiomtica14 Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas15 Tablas de Verdad15 Equivalencia Lgica: Algebra de proposiciones16 INFERENCIA18 Reglas de Inferencia18 Modus Ponendo Ponens (PP)18 Doble Negacin (DN)19 Modus Tollendo Tollens (TT)19 Modus Tollendo Ponens (TP)19 Regla de Simplificacin (S)20 Regla de Adjuncin (A)20 Regla de Adicin (LA)20 Regla del Silogismo Hipottico (SH)21 Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)21 Regla de la Simplificacin Disyuntiva22 Conmutativas (LC)22 Leyes de Morgan (LM)22 Reglas de las Proposiciones Bicondicionales22 CUANTIFICACIN DE ENUNCIADOS24 Cuantificador Existencial25 Negacin de los Cuantificadores25 CLASIFICACIN DE LAS PROPOSICIONES CATEGRICAS POR LA CUALIDAD Y LA CANTIDAD.25 Las proposiciones categricas25 EL CUADRADO DE LA OPOSICIN DE LAS PROPOSICIONES. INFERENCIAS QUE SE BASAN EN L26 CONJUNTO28 Nmero de Elementos de un Conjunto30 EL NMERO38 Sistema de Numeracin MayaError! Marcador no definido. Evolucin del Nmero39 Los Operadores40 Reglas de prioridad de los operadores aritmticos41 Criterios de Divisibilidad42 SISTEMAS DE NUMERACIN44 NMEROS REALES44 NUMEROS ENTEROS48 Ley de los signos48 NUMEROS RACIONALES51 Definicin51 Principio fundamental de los Racionales51 Adicin y sustraccin de nmeros Racionales 52 Multiplicacin de los Racionales54 Divisin de los Racionales54



Ecuaciones con nmeros Racionales54 NMERO DCIMAL60 Adicin y sustraccin de Nmeros Decimales61 Multiplicacin de Nmeros Decimales61 Divisin de los Nmeros Decimales61 NMERO IRRACIONAL63 NMEROS COMPLEJOS64 La unidad imaginaria 64 Nmeros Complejos65 Suma y diferencia de nmeros complejos65 Multiplicacin de nmeros complejos65 RAZN Y PROPORCIN66 Razn66 Proporcin67 Cuarto proporcional68 Magnitudes directamente proporcionales69 Aplicaciones de la proporcionalidad directa 69 Regla de tres simple y directa69 Porcentaje71 Magnitudes inversamente proporcionales75 Aplicaciones de la proporcionalidad inversa75 Regla de tres simple inversa75 Regla de tres compuesta78 Repartos Directamente Proporcionales82 Repartos Inversamente Proporcionales84 SISTEMAS DE MEDIDAS87 Conceptos Bsicos87 Tipos de unidades de medidas87 El sistema mtrico decimal88 Unidades de Longitud89 PERIMETRO91 POLGONOS91 Unidades de Longitud del Sistema Ingles96 REA97 reas de figuras Planas97 Unidades de rea o Superficie99 Unidades Agrarias103 VOLUMEN105 Volumen de Figuras del Espacio105 Unidades de Volumen107 UNIDADES DE CAPACIDAD109 UNIDADES DE MASA112 UNIDADES DE TIEMPO113 POTENCIACIN115 RADICACIN119



LOGARITMACIN124 Tipos de Logaritmos125 EXPRESIONES ALGEBRAICAS127 CONCEPTOS BSICOS127 LGEBRA127 ECUACIONES143 Escritura de Expresiones y Ecuaciones150 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES154 Mtodo de Igualacin154 Mtodo de Sustitucin155 Mtodo de Eliminacin156 Por Determinante157 ECUACIONES CUADRTICAS163 Solucin de ecuaciones cuadrticas163 ECUACIONES CON RADICALES167 ECUACIONES EXPONENCIALES169 ECUACIONES LOGARTMICAS171 DESIGUALDADES172 INECUACIONES LINEALES173 FUNCIN176 Representacin de una Funcin176 Imagen de una Funcin181 GRFICA DE FUNCIONES184 FUNCIN LINEAL186 FUNCIN POLINMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS196 FUNCIN EXPONENCIAL197 FUNCIN LOGARTMICA200 FUNCIN COCIENTE o RACIONAL207 FUNCIN POR PARTES O POR TROZOS210 BIBLIOGRAFA217 Web grafa217 Biografa del Autor218 INTRODUCCIN La presente compilacin es fruto de la experiencia obtenida durante 21 aos de servicio en la educacin en diferentes instituciones acadmicas en Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta, en los niveles de bsica, media, tcnica, tecnolgica y profesional. La propuesta busca dar sentido a la matemtica en otros contextos, que el estudiante le d una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye, por las dificultades de su aprendizaje, que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lgico del ser humano y el desarrollo de la sociedad.



El propsito de la propuesta busca exponer los conocimientos bsicos de la matemtica en forma sencilla, lgica, crtica y analtica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econmicos. Para el desarrollo del mdulo se plantean las siguientes estrategias metodolgicas: Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios prcticos de su vida cotidiana. Mostrar al estudiante ejercicios prcticos, que estimulen el pensamiento crtico. Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccin de conocimiento, que permite discernir sobre la base conceptual. Complementar los temas tratados a travs de ejercicios prcticos utilizando herramientas informticas, en procura de reforzar, clasificar y analizar los diferentes conocimientos. LA MATEMTICA Qu es MATEMTICA? Del latn. Mathematca, y este del griego , derivado de , que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje La matemtica es la ciencia que mejor conocemos porque el nmero es una creacin humana. La matemtica es un modo de pensar, un modo de razonar. Se puede usar para comprobar si una idea es cierta, o por lo menos, si es probablemente cierta. La matemtica es un campo de exploracin e invencin, en el que se descubren nuevas ideas cada da, y tambin es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias, el gobierno y la



industria. Es un lenguaje simblico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra. Hasta ha llegado a sugerirse que la matemtica sera el lenguaje que entendera los habitantes de Marte (si existieran)! Obtenido del libro: EXPLORANDO LA MATEMATICA, tomo 1 En general podemos concluir que el objetivo general de la matemtica es la bsqueda del desarrollo del pensamiento lgico del hombre. Cul es el problema de la matemtica? A travs de la historia la matemtica ha sido y es una de las reas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de enseanza y aprendizaje, Por qu? Cmo se justifica dicha complejidad? No sea comprendido el problema de las matemticas. Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad. (Falta trabajo en la formacin de los docentes?) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccin formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad. La figura del docente Hoy en da son muchas las personas que estn trabajando en el diseo de estrategias que permitan mejorar los procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas. Las competencias matemticas no se alcanzan por generacin espontnea, sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos, que posibiliten avanzar a niveles de competencia ms y ms complejos. http://jaa-matematicas.blogspot.com/2006/10/qu-es-la-matemtica.html http://www.sectormatematica.cl/simce.htm Lgica Lgica (Del lat. logca, y este del gr. ). 1. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento cientfico. Formal, o ~ matemtica. 1. f. La que opera utilizando un lenguaje simblico artificial y haciendo abstraccin de los contenidos. Tomado de: http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logica



La lgica es una ciencia formal y una rama de la filosofa que estudia los principios de la demostracin e inferencia vlida. La palabra deriva del griego antiguo (logike), que significa "dotado de razn, intelectual, dialctico, argumentativo", que a su vez viene de (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razn o principio". Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica La lgica matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad. Tomado de: http://www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones Una Proposicin es una expresin u oracin declarativa con sentido completo que no depende de la persona, ni del espacio ni del tiempo. Toda proposicin tiene un valor de verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, esto es una ley denominada ley del tercer excluido. La proposicin es el elemento fundamental de la lgica matemtica. Una proposicin se expresa generalmente con letra minscula, dos puntos y a continuacin la oracin. Algunos ejemplo de proposiciones validas o no validas son: : La tierra es plana. : Los mdicos prolongan la enfermedad de los pacientes : Ningn abogado es honesto : Los economistas pronostican fenmenos fsicos : Buenos das : Hoy es lunes : Hace Calor : Santa Marta es ms bonita que Valledupar Conectivos Lgicos Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las proposiciones simples estn formadas por una sola oracin y las compuestas por ms de una oracin y enlazadas por conectivos lgicos a saber: la negacin, disyuncin, conjuncin, condicional y bicondicional. La Negacin Si a una proposicin simple se le antepone la expresin no es cierto o se le interpone el adverbio no se forma una proposicin compuesta llamada la negacin de la proposicin principal. Se simboliza con ~ . Si p es una proposicin simple, la negacin de p se representa ~ p y se lee no p.



Tabla de verdad Utilizaremos los nmeros 1 y 0 para indicar que las proposiciones son verdaderas o falsas respectivamente

~ 1 0 0 1

Ntese que si la proposicin es verdadera su negacin es falsa y viceversa Ejercicio. Niegue cada una de las siguientes proposiciones

a: La matemtica es la madre de todas las ciencias b. La drogas genricas no sanan c: Algunas leyes no son claras d: Colombia tiene la mejor democracia en Amrica Latina e: El hombre no es el nico animal racional f: No es cierto que todas las aves vuelan g: No hay nadie en casa

La Disyuncin Es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo v se lee o. Si p y q son proposiciones simples la disyuncin de p y q se representa p v q se lee p o q. Tabla de verdad

P q p v q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Ntese que la disyuncin solamente es falsa si las dos proposiciones son falsas Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si:

r: Simn Bolvar era venezolano s: Simn Bolvar era colombiano. Entonces: r v s p: La tierra es redonda q: La tierra es ovalada Entonces: p v q p: La ballena es un mamfero



s: La ballena no tiene branquias Entonces: p v s p: El calentamiento global es consecuencia de que la tierra se acerca al sol s: El calentamiento global es consecuencia del nmero de habitantes de la tierra Entonces: p v s p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombre s: La evolucin tecnolgica no aporta a la inteligencia del hombre Entonces: p v s

La Disyuncin Exclusiva Es un caso especial de disyuncin cuyo smbolo es v, que se diferencia del anterior en que solo es verdadera cuando una y solamente una de las proposiciones es verdadera. La Conjuncin Es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee y. Si p y q son proposiciones simples la conjuncin de p y q se representa p q se lee p y q. Tabla de verdad

p Q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Ntese que la conjuncin es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si:

r: Simn Bolvar era venezolano s: Simn Bolvar lidero la libertad de las chilenos. Entonces: r s p: La tierra es redonda q: La tierra es achatada en los polos Entonces: p q p: La ballena tiene branquias s: La ballena es un mamfero Entonces: ~



p: La Sierra nevada de Santa Marta pertenece al Cesar s: La sierra nevada de Santa Marta est afectada por el calentamiento global Entonces: ~ p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombre s: La evolucin tecnolgica aporta a la inteligencia del hombre Entonces: ~

El Condicional Es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee Si...entonces. Si p y q son proposiciones simples el condicional de p y q se representa p q se lee Si p entonces q. Tabla de verdad

p Q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Ntese el condicional solo es falso cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda es falsa. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si:

r: Todos los peces son ovparos s: La ballena no es pez Entonces: r s

b.

p: Colombia es el tercer pas ms rico en agua q: En Colombia hay problemas con el consumo de agua Entonces: p ~ q

c. p: Colombia instalar bases militares de EEUU s: Venezuela mantiene relaciones con Colombia Entonces: ~

d. p: Los paramilitares devuelven las tierras



s: Hay desplazados en Colombia Entonces: p ~ s

e. p: La evolucin tecnolgica ha mejorado el nivel de vida del hombre s: El hombre ha aprovechado la evolucin tecnolgica Entonces: p s

Tipos de Condicionales Dado la condicional pq denominada condicional directa entonces se denomina: Contraria: la condicional ~ p ~ q Reciproca: la condicional q p Contra-reciproca: la condicional ~q ~p Ejercicio: Escriba la contraria, la recproca y la contra-reciproca de cada proposicin 1. Si los pases vecinos a Colombia colaboran con los grupos insurgentes entonces no son pases

amigos 2. Si no aumenta el precio del petrleo entonces disminuye el consumo de bio-combustible 3. Si las religiones son utilizadas para alabar un Dios entonces porque explotan a los feligreses 4. Si el banco de la Repblica sube las tasas de inters entonces no se estimula la actividad

econmica y se desacelera la economa 5. Si la administracin del recurso pblico es eficiente entonces no hay que crear nuevos

impuestos 6. Si el banco de la Repblica sube las tasas de inters entonces no se estimula la actividad

econmica y se desacelera la economa Salud 1. Si las nias presentan mejora entonces no se le puede diagnosticar una enfermedad 2. Si el flujo sanguneo no es regular entonces el vaso capilar esta obstruido 3. Si la salud es un negocio entonces no hay mdicos humanistas 4. Si no actualizan las historias clnicas entonces la atencin mdica es deficiente 5. Si no aumenta la inversin en salud entonces cerraran los hospitales y no habr atencin

mdica. 6. Si hay fiebre y no expectora entonces se tiene que recetar antibitico y no expectorante. 7. Si es una enfermedad rara entonces no es fcil su diagnstico y El Bi-condicional Es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee Si .. Solo si. Si p y q son proposiciones simples la bicondicional de p y q se representa p q se lee p si solo si q. Tabla de verdad



p Q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ntese la bi-condicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son iguales. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si

r: En Colombia hay paz s: En Colombia todos los gobernantes son honestos Entonces: r s

p: x + 5 = 7 q: x = 2 Entonces: p q

p: Las clulas vegetales poseen cloropastos s: Las clulas vegetales poseen clorofila Entonces: p s

p: Los paramilitares devuelven las tierras s: Los paramilitares tienen garantizado el reintegro a la sociedad Entonces: p s

p: El Unin Magdalena volver a la primera categora s: El unin Magdalena es vendido Entonces: p s

p: Hait es el pas ms pobre del mundo s: Hait es el pas con mayor posibilidad de invasin extranjera Entonces: p s



Equivalencias de los Conectores

Conector Lenguaje Comn Negacin No; No es cierto que; no es el caso que Conjuncin Y: Pero; Sin embargo; Adems; Aunque; A la vez; No

obstante, Ni Disyuncin O; Condicional Si entonces; Por lo tanto, si, dado que;

siempre que; porque; en vista que Bicondicional Si y solo si

Interpretacin oracional Idiomtica Se denomina interpretacin idiomtica, a cualquier enunciado cuya estructura coincida con una proposicin dad: Ejercicio. Interprete oracionalmente cada enunciado, identifique las proposiciones simples y represente en forma simblica Si la salud es una empresa entonces los mdicos son mercaderes y los pacientes sus clientes. Si los estudiantes son responsables de sus compromisos y muestran inters en el estudio de su profesin entonces la universidad mejora el nivel acadmico o buscar estrategias para la desercin Si el hombre fuera racional entonces no construyera armas lesivas para la humanidad Es falso, que las rosas son rojas y las violetas son azules Si las polticas de estado son buenas entonces el pas no estara en guerra Si Radamel Garca y Aldo Leao son samarios entonces son buenos jugadores de futbol o se formaron en otro pas Si Colombia es el pas que ms abastece a Venezuela y Venezuela es el principal comprador de los productos colombianos entonces las diferencias en sus presidentes no convienen a ninguno de los dos pases Los residentes cancelarn la administracin si solo si la junta administradora cambia al administrador o abren una cuenta bancara donde se pague la administracin Si el calentamiento global es producto de la contaminacin ambiental o de la tala indiscriminada de rboles, entonces no, a la contaminacin ambiental y a la tala indiscriminada de arboles



La inversin social se mejora si solo si se implementan polticas de fortalecimiento tributario y no hay corrupcin administrativa. Si no es cierto que, el decrecimiento sea un modelo econmico y no social entonces su idea principal relaciona la produccin y al ser humano. Salud Si la mayora de las menores de edad se han quejado de dolor de cabeza y no han presentado movimientos anormales entonces el diagnostico no pueden ser clasificados como convulsiones o alteracin del sistema nervioso. Si la salud en Colombia es administrada por polticos o no profesionales de la salud entonces se seguirn creando clnicas de garaje y no gozaremos de un servicio de salud ptimo En Colombia habr una poblacin sana si solo si la salud no se trata como un negocio y los pacientes como clientes Si las estadsticas sobre las enfermedades raras son pobres o no existen entonces no se tiene identificada la poblacin vulnerable y hay un alto desconocimiento mdico Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas Los diagramas de verdad nos permiten conocer el valor de verdad de un enunciado compuesto Ejercicio. Hallar el valor de cada proposicin si: (1), (0), (0) (1) (a b) c (b v c) d ~(b v d) ~b v ~d [(d a) v c] [(d v c) (a v c)] c (a ~c) Ejercicios Hallar el valor de cada proposicin [ ( )] [ ] con (0) (1) {[( )] } con (0), (0) (1) Tablas de Verdad Una tabla de verdad es un diagrama que permite determinar claramente cuando una proposicin compuesta es verdadera, falsa o variada.



Si todos los valores de verdad de una proposicin compuesta son verdaderos se denomina una tautologa, por ejemplo [p (p v q)], si son falsos una contradiccin, por ejemplo [(p q) ~q], de lo contrario se llama indeterminada o contingencia, por ejemplo [(p v q) ~p]. El proceso de construccin de una tabla de verdad inicia por determinar el nmero de combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples constituyentes. Si la proposicin consta de n proposiciones simples diferentes, puesto que cada una de ellas tiene dos valores posibles (verdadero o falso) habr 2n combinaciones posibles de valores. Ejemplo. Construir la tabla de verdad de la proposicin (p q) ~r Ejercicio. Construir la tabla de verdad de cada proposicin compuesta e indique su tipo ~( p q) (p v q) p p (p ~q) ~ (p v q) (~p ~ q) ~[ (p ~ p ) q] p (p q) (p q) ~(p v q) [(p q) q] p (p ~ q) v r (p ~q) (~p r) (~p ~q) r Ejercicio Construye la tabla de verdad de cada proposicin e indica su tipo

~{ [~ ( ~)]} ( ) ~( ) [( ) ] [( ~) ] ~

[ ( )] [ ] {[( )] } Equivalencia Lgica: Algebra de proposiciones Se dice que dos proposiciones (, , ) (, , ) son lgicamente equivalentes si tienen idnticas tablas de verdad, se denota (, , ) (, , ). Por ejemplo. Consideremos las tablas de verdad de las proposiciones ~ (p q) y ~p v ~ q

P Q p q ~(p q) p q ~p ~ q ~p v ~ q 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1



Como los resultados finales de las tablas de verdad son iguales, las proposiciones son equivalentes es decir ( ) ( ) Ejercicio. Verifique la equivalencia de la siguiente proposicin

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ]

Las proposiciones satisfacen muchas equivalencias lgicas, o leyes, a continuacin enunciamos unas de las ms importantes, t denota tautologa y f contradiccin Leyes del Algebra de Proposiciones

Leyes Proposiciones

Idempotencia p v p p p p p

Asociativas (p v q) v r p v (q v r) (p q) r p (q r)

Conmutativas (p v q) (q v p) (p q) (q p)

Distributivas p v (q r) (p v q) (p v r) p (q v r) (p q) v(p r)

Leyes de identidad

P v f p P t p P v t t P f f

Leyes de complementos

p v ~p t p ~p f ~t f ~f t

Leyes de involucin

~ ~p p

Morgan ~(p v q) ~p ~ ~(p q) ~p v ~

Implicacin y disyuncin

p q ~p q

Negacin de la implicacin

~(p q) p ^ ~q

0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1



Inferencias Lgicas Uno de los objetivos de la lgica es determinar cmo unas proposiciones pueden derivarse de otras, esta derivacin es de naturaleza puramente formal y recibe el nombre de deduccin. Por medio de la deduccin se muestra si una determinada proposicin llamada conclusin resulta de una o ms proposiciones llamadas premisas. El proceso por el cual se establece que la conclusin se sigue de las premisas recibe el nombre de prueba. Una prueba se desarrolla de acuerdo con las tautologas y a partir de ciertas reglas, denominadas reglas de inferencias, que son necesarias establecerlas desde un principio.. Llamaremos correcta a una inferencia que siga las reglas establecidas. Una inferencia lgica consiste en obtener una proposicin verdadera (conclusin) a partir de una proposicin verdadera dada (premisas) a la que aplicamos las reglas de inferencia. Reglas de Inferencia Modus Ponendo Ponens (PP) Ejemplo Premisa 1: Si la emisin de gas carbnico aumenta entonces aumentar la temperatura sobre la tierra Premisa 2: La emisin de gas carbnico aumenta Conclusin: Aumentar la temperatura sobre la tierra Premisa 1: p q Esquemticamente: p q p1 Premisa 2: p p p2 Conclusin: q . . q



Ejemplo p p1 p ~ q p2 .. ~ q Ejemplo-3 (~ p v q) (s r) p1 (~ p v q) p2 .. s r Doble Negacin (DN) Premisa 1: ~ (~ p) Esquemticamente: ~ (~ p) P1 Conclusin: p . . p La regla de la doble negacin se puede expresar p P1 ~ (~ p) Premisa: La ballena no es un animal mamfero Conclusin: No es cierto que la ballena no sea un animal mamfero Modus Tollendo Tollens (TT) Premisa 1: p q Esquemticamente: p q P1 Premisa 2: ~ q ~ q P2 Conclusin: ~ p .. ~ p Premisa 1: Si los Mayas predecan el futuro entonces porque no evitaron su destruccin. Premisa 2: Los mayas evitaron su destruccin Conclusin: Los mayas predecan el futuro Modus Tollendo Ponens (TP) Premisa 1: p v q Esquemticamente: p v q P1 Premisa 2: ~ p ~ p P2 Conclusin: q . . q p v q P1+ ~ q P2 .. p



Premisa 1: Los carnavales son fiestas de sectas satnicas o del pueblo Premisa 2: Los carnavales no so fiestas de sectas satnicas Conclusin: Los carnavales son fiestas del pueblo Regla de Simplificacin (S) Esquemticamente p q P1 p q P1 .. p ..q Ejemplo Premisa: La tala de rboles acaba las fuentes de agua y aumenta la temperatura del suelo Conclusin-1: La tala de rboles acaba las fuentes de agua Conclusin-2: La tala de rboles aumenta la temperatura del suelo Ejemplo Premisa: El incremento de la inflacin sube las tasas de inters e incrementa la inversin extranjera Conclucin-1: El incremento de la inflacin sube las tasas de inters Conclucin-2: El incremento de la inflacin incrementa la inversin extranjera Regla de Adjuncin (A) Esquemticamente p P1 p P1 q P2 q P2 .. p v q ..q v p Ejemplo Premisa-1: El gobierno colombiano es democrtico Premisa-2: El gobierno colombiano es socialista Conclucin-1 El gobierno colombiano es democrtico o es socialista Conclucin-2 El gobierno colombiano es socialista o es democrtico Ejemplo Premisa-1: Albert Einstein era fsico Premisa-2: Albert Einstein era filsofo Conclucin-1 Albert Einstein era fsico o era filsofo Conclucin-2 Albert Einstein era filsofo o fsico Regla de Adicin (LA) Esquemticamente p P1 ..p v q



Ejemplo Premisa: Los economistas predicen el futuro Conclusin: Los economistas predicen el futuro o analizan el presente Ejemplo-2 El plan Colombia fue un fracaso Conclusin: El plan Colombia fue un fracaso o un xito Regla del Silogismo Hipottico (SH) Esquemticamente p q P1 q r P2 .. p r Ejemplo Premisa-1: Si tengo problemas de obesidad entonces tendr problemas de hipertensin Premisa-2: Si tengo problemas de hipertensin entonces puedo morir del corazn Conclusin: Si tengo problemas de obesidad entonces puedo morir del corazn Ejemplo Premisa-1: Si el Unin Magdalena tiene buenos jugadores entonces juega bien el futbol Premisa-2: Si Unin Magdalena juega bien el futbol entonces subir de categora Conclusin: Si el Unin Magdalena tiene buenos jugadores entonces subir de categora Regla del Silogismo Disyuntivo (SD) Esquemticamente p r P1 q s P2 p v q P3 .. r v s Ejemplo Premisa-1: Si aumenta el precio de la gasolina entonces sube el precio del transporte urbano Premisa-2: Si se incrementa el cultivo de palma entonces utilizaremos biocombustible Premisa-3: Aumenta el precio de la gasolina o se incrementa el cultivo de palma Conclusin: Sube el precio del transporte urbano o utilizaremos biocombustible Ejemplo Premisa-1: Si se incrementa el desempleo entonces las empresas estn quebrando Premisa-2: Si se aplican nuevos impuestos entonces la economa decrece Premisa-3: Se incrementa el desempleo o se aplican nuevos impuestos



Conclusin: Las empresas estn quebrando o la economa decrece Regla de la Simplificacin Disyuntiva Esquemticamente p v p .. p Ejemplo Premisa-1: Aprueba el curso o aprueba el curso Conclusin: Aprueba el curso Ejemplo Premisa: Se opera o se opera Conclusin: Se opera Conmutativas (LC) p v q P1 p q P1 .. q v p .. q p Leyes de Morgan (LM) ~(p v q) P1 ~p ~q P1 ..~p ~q ..~(p v q) ~ (p q) P1 ~p v ~q P1 ..~p v ~q ..~(p q) Reglas de las Proposiciones Bi-condicionales (p q) P1 (p q) (q p) P1 ..(p q) (q p) ..(p q) Ejercicios Escriba la conclusin que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y represntela simblicamente: Si no hay inyeccin de capital, entonces la empresa debe cerrar Si en Venezuela continan los cierres a las empresas privadas y los apagones entonces Chvez baja en su popularidad o no ser re-elegido Hoy es el ltimo da del mes. Si hoy es ltimo da del mes entonces solo habr banco hasta las once de la maana a > b y k > 0. Si a > b y k > 0 entonces a x k > b x k



Ejercicio Escriba la conclusin en cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y determine la regla de inferencia utilizada

p ~q P1 ~p P2

~p ~q P1 ~q r P2

~(~p ~q P1

p ~r P1 ~q s P2 p v ~q P3

(p ~q) v r P1 ~p v q P2

p (r s) P1 q ~s P2 p v q P3

~p P1 ~q P2

(p ~q) (~q p) P1

(p v ~q) r P1 ~(~p v q) P2

Ejercicio Aplique las leyes de Morgan para establecer la conclusin

~(p v ~q)

~[(p v ~q) r]

~(~p ~q)

p ~q

~p v ~q

~[(p v (~q r)

Ejercicio Verifique si la conclusin dada es correcta Si Pedro llama entonces Mara regresa. Pedro llama. Por lo tanto Pedro llama Es falso que: estudio y trabajo. Por lo tanto ni estudio ni trabajo. Si es mltiplo de y es mltiplo de c entonces a es mltiplo de c. no es mltiplo de . Por lo tanto, concluyo que no es mltiplo de o no es mltiplo de

~p ~q P1 p P2 .. q

p ~q P1 ~q r P2 .. r p

~(~p v q) P1 .. p ~q

p r P1 ~q s P2 p v ~q P3 .. r s

(~p q) v r P1 P v ~q P2 .. r

(~p q) r P1 ~r P2 .. p v ~q



Ejercicio Escriba la conclusin que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y represntela simblicamente e indique la regla inferencia que aplica: Si bajan los aranceles entonces aumenta la importacin. No aumenta la importacin. Si el mototaxismo le gana la batalla al transporte legal entonces las empresas de transporte pblico tendrn una dura crisis financiera. Si las empresas de transporte pblico tienen una dura crisis financiera entonces el transporte pblico queda en manos de ilegales. No es cierto que, si suben las tasas de inters se incrementa la inversin extranjera y aumenta el empleo. Si las grandes cadenas de supermercado siguen abriendo sucursales en los barrios entonces las tiendas de barrio tienden a desaparecer. No es cierto que las tiendas de barrios tiendan a desaparecer No es cierto que, si se aumenta la importacin se incrementa la inversin de capital o crece la economa. No es cierto que, todos los estudiantes son irresponsables y no respetan a los docentes Los argentinos no son los mejores jugadores de futbol o no son las personas ms humildes. Si se cuentan con los recursos para cancelar las deudas entonces no continua la anormalidad acadmica. Se cuenta con los recurso para cancelar la deudas Cuantificacin de Enunciados Aristteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma S es P donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso sera un enunciado conceptual o general. En los Analticos Anteriores slo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos. El enunciado es una oracin que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo;



indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad Cuantificador Universal Se representa con el smbolo que se lee para todo. Contiene una expresin lingstica como todos o para todo, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el sujeto. Simblicamente /() La expresin afirmativa es todo S es P y la expresin negativa ningn S es P Cuantificador Existencial Se simboliza con se lee existe. Contiene una expresin lingstica como algn o hay o para algn y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir es decir solo afirma que el concepto que el concepto del predicado es aplicable a algunos casos a las que tambin se aplica el concepto sujeto. Simblicamente /() La expresin afirmativa es Algn S es P, la expresin negativa algn S no es P Negacin de los Cuantificadores Simblicamente

~( /()) ( /~()) ~( /()) ( /~())

Clasificacin de las Proposiciones Categricas por la Cualidad y la Cantidad. Las proposiciones categricas Proposicin Universal Afirmativa: Todos los gatos son mamferos (A) Proposicin Universal Negativa: Ningn gato es mamfero (E): Proposicin Particular Afirmativa: Algn gato es mamfero (I) Proposicin Particular Negativa: Algn gato no es mamfero (O) Ejercicio Identifique las siguientes proposiciones y determine si el sujeto y el sujeto y el predicado son universales o particulares. Algunos polticos son candidatos presidenciales Ningn msico es boxeador Todo locutor es poseedor de un permiso para ejercer su profesin Algunos de tus poemas no estn bien logrados Todos los artefactos que necesitan gasolina son contaminantes del aire Algn miembro de ese consejo no apoyo la medida



Ninguna de las decisiones emanadas de organismo tan ineficientes son eficaces Todos los integrantes del equipo son menores de doce aos Ningn desinfectante es inofensivo para la salud Algunos escritores de novelas de ciencia-ficcin no son detectives El Cuadrado de la Oposicin de las Proposiciones. Inferencias que se basan en l Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera y O es falsa Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa y O es verdadera Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas Si O es verdadera: A es falsa, E e I quedan determinados Si A es falsa: O es verdadera, E e I quedan indeterminadas Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminados Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera y O es verdadera Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa e I es verdadera Ejercicio Qu puede inferirse acerca de las siguientes proposiciones, en cada uno de los conjuntos dados, si suponemos que la primera de ellas es verdadera? Y si suponemos que es falsa?

N Proposiciones Valores de Verdad

1 Todos los filsofos son inteligentes 1 0 Ningn filosofo es inteligente Algn filosofo es inteligente Algn filosofo no es inteligente

2 Ningn poltico es mentiroso 1 0 Todos los polticos son mentirosos Algn poltico es mentiroso Algn poltico no es mentiroso

3 Algunos titulares de prensa estn mal redactados 1 0 Ningn titular de prensa est mal redactado Todos los titulares de prensa estn mal redactados



Algunos titulares de prensa no estn mal redactados 4 Ningn mamfero es roedor 1 0

Todos los mamferos son roedores Algunos mamferos son roedores Algunos mamferos no son roedores

5 Algunos ejercicios de lgica no son difciles de resolver 1 0 Todos los ejercicios de lgica son difciles de resolver Ningn ejercicio de lgica es difcil de resolver Algunos ejercicios de lgica son difciles de resolver

Ejercicio Utilice el cuadrado de la oposicin para escribir el enunciado que corresponda a la negacin de cada una de las siguientes proposiciones Ejercicio Identifique el cuantificador que aplica y niegue cada una de las siguientes proposiciones Todos los tumores son malignos Ninguna droga genrica cura Algunos mdicos no son humanitarios Algunas clnicas estafan al estado Algunas enfermedades no tiene explicacin cientifica Todos los polticos son corruptos Algunos futbolistas son profesionales Ningn hombre es racional Existen buenas polticas de estado Todos los jvenes siente atraccin hacia la tecnologa Algunos guerrilleros no son delincuentes Ningn programa de televisin ensea Existen profesores malos Todo el que se educa es culto Algunos mototaxistas son delincuentes Todas las investigaciones cientficas aumentan las expectativas de vida del ser humano. Ningn pas latinoamericano posee una economa solida. Algunos reinsertados continan delinquiendo. Algunos costeos no son mamadores de gallo. Todas las polticas de estado buscan superar una crisis. Todos los seres vivos son pluricelulares Ejercicios Niegue las siguientes proposiciones Todos los mdicos confunden las patologas de las enfermedades raras (0) Algunas enfermedades raras no tienen tratamiento (1) Algunos medicamentos alteran el sistema nervioso (1)



Algunas personas no nacen con malformaciones cardiacas (0) Ninguna de las nias han presentado sntomas que comprometa su vida (1) Todas las nias que manifiestan malestares fueron vacunadas (0) Algunos gremios no apoyan el cambio de horario de entrada a la oficina (1) Todas las empresas en Colombia destacan el incremento de las ventas en el 2014 (0) CONJUNTO Intuitivamente un conjunto es una coleccin de elementos bien definidos Notacin de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras maysculas y sus elementos con letra minscula. Los conjuntos se enuncian por extensin (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensin (Se enuncia una o ms propiedades del conjunto) A = {a, e i, o, u}; por extensin A= {x/x es una letra vocal}; por comprensin Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser: Finitos: Se pueden contar sus elementos. Infinitos: No se pueden contar sus elementos. Vaco: No tiene elementos. Universal: Conjunto de referencia Relacin entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser: Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos: No tienen elementos en comunes Representacin Grfica de un Conjunto Diagrama de Venn-Euler (Diagrama Sagital) Es una herramienta que ilustra las relaciones entre conjuntos, se representa en un rea plana, por lo general delimitada por un crculo.



Operacin entre Conjuntos Unin: A U B = {x/x A v x B} Interseccin: A n B = {x/x A ^ x B} Diferencia: A B = {x/x A ^ x B} Complemento: Ac = {x/x U ^ x A} Diferencia Simtrica: A B = {x/x (A U B) ^ x (A n B)} Ejercicio Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8, 9} C= {2, 4, 6, 8, 10} Determinar

A U C C n B B C Ac C A Ac n Bc (A n B) c Bc U Cc (B U C) c (C - B) c A c (B n C c) A n (C B) c

Ejercicio Sean = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, = {1,3,5,6,8,9}, = {0,2,4,5,7,9} = {1,3,5,7,8,9} Determinar

( ) ( ) ( )

Ejercicio Escriba la expresin del conjunto cuya rea se encuentra sombreada



Ejercicio Representa en el diagrama dado (por separado) los siguientes conjuntos

( )

( ) ( )

Nmero de Elementos de un Conjunto El conjunto A es finito si podemos determinar su nmero de elementos. Notamos n(A) al nmero de elementos o cardinal de un conjunto A Dados dos conjuntos finitos A y B podemos considerar 2 posibilidades Si A y B son disyuntos es decir A n B = , entonces n(A U B)=n(A) + n(B) Si A y B tienen elementos comunes es decir A n B , n(A U B)=n(A) + n(B) n(A n B) Si tenemos 3 conjuntos ( )

= () + () + () ( ) ( ) ( ) + ( ) Problemas De un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 80 tomaban jugos y leche, 100 tomaban caf con leche, 190 tomaban leche, 220 tomaban jugo o leche, 210 tomaba caf o leche, 20 toman jugo y caf pero no leche y 50 tomaban caf con leche y no jugo. Se pregunta Cuntas personas toman de los tres alimentos? Cuntas personas toman solo jugo? Cuntas personas toman solo leche? Cuntas personas toman solo caf? Cuntas personas no toman ninguna de las tres cosas al desayuno? http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/conjuntos_y_operaciones_agsm/ejercicios.pdf



Por datos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 250 4 + 5 = 80 4 + 6 = 100 4 + 5+6 + 7 = 190 1 + 2+4 + 5 + 6 + 7 = 220 3 + 4+5 + 6 + 7 = 210 2 = 20 6 = 50 De en 4 + 50 = 100 , entonces 4 = 50

Remplazando en 5 + 50 = 80, entonces 5 = 30 Remplazando en 50 + 30 + 50 + 7 = 190, entonces 7 = 60 Remplazando en 3 + 50 + 50 + 30 + 60 = 210, entonces 3 = 20 Remplazando en 10 + 20 + 20 + 50 + 30 + 50 + 60 + 8 = 250, entonces 8 = 10 Respuesta 50 de los encuestados toman los tres alimentos. 10 de los encuestados toman solo jugos. 60 de los encuestados toman solo leche. 20 de los encuestados toman solo caf. 10 de los encuestados no toman ninguno de los tres alimentos. En una batalla campal intervinieron 1200 hombres, de los cuales: 420 fueron heridos en la cabeza 430 fueron heridos en los brazos 320 fueron heridos en las piernas 80 fueron heridos en ambos miembros (brazos y piernas) 50 fueron heridos en la cabeza y en brazos 60 fueron heridos en piernas y cabezas 20 fueron heridos en las tres partes 200 no fueron heridos Se pregunta Cuntos fueron heridos solo en un lugar? Consideremos el conjunto C los heridos en la cabeza, B los heridos en los brazos y P los heridos en las piernas, Representamos grficamente el problema as

J

L

C



Por datos ( ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+7 + 8 = 1200 (1) 1 + 2 + 4 + 5 = 420 (2) 2 + 3 + 4 + 6 = 430 (3) 4 + 5 + 6 + 7 = 320 (4) 4 + 6 = 80 (5) 2 + 4 = 50 (6) 4 + 5 = 60 (7) 4 = 20 (8) 8 = 200 (9) Remplazando (8) en (7): 20 + 5 = 60; 5 = 40 Remplazando (8) en (6): 2 + 20 = 50; 2 = 30 Remplazando (8) en (5): 20 + 6 = 80; 6 = 60 Remplazando en (4): 20 + 40 + 60 + 7 = 320; 7 = 200 Remplazando en (3): 30 + 3 + 20 + 60 = 430 ; 3 = 320 Remplazando en (2): 1 + 30 + 20 + 40 = 420 ; 1 = 330 Verificando en (1): ( ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+7 + 8 = 1200 330 + 30 + 320 + 20 + 40 + 60 + 200 + 200 = 1200 1200 = 1200 Cuntos fueron heridos solo en un lugar? 330 Fueron heridos solo en la cabeza 320 fueron heridos solo en los brazos 200 fueron heridos solo en las piernas Por lo tanto 850 fueron heridos solo en un lugar

C

P

B



Una encuesta a un grupo de 100 estudiantes acerca de los gustos en la lectura aporta los siguientes datos; 65 leen novelas, 75 poesa, 55 leen novelas y poesa, 20 novelas y diarios, 30 diarios y poesa; 10 leen los tres temas y 5 no leen ninguno de los tres temas Se pregunta Cuntos estudiantes leen solo poesa? Cuntos estudiantes leen solo diario? Cuntos estudiantes leen solo novela? Grficamente

r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8=100 r4+r5+r6+r7=65 r1+r2+r4+r5=75 r5+r4=55 r6+r4=20 r2+r4=30 r4=10 r8=5

Por (7) y (4): r5 + 10 = 55; r5 = 55 10= 45 (9) Por (7) y (5): r6 + 10 = 20; r6 = 20 10 = 10 (10) Por (7) y (6): r2 + 10 = 30; r2 = 30 10=20 (11) Por (7), (9) y (10): 10 + 45 + 10 + r7 = 65; r7 = 0 (12) Por (11), (7) y (9):r1 + 20 + 10 + 45 = 75; r1 = 0 (13) Por todo: 0 + 20 + r3 + 10 + 45 + 10 + 0 + 5 = 100; r3=10 Respuesta: 10 estudiantes leen solo diario, y ningn estudiante lee solo poesa o novelas En una investigacin realizada sobre los hbitos de lectura de los estudiantes de la Universidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista C, 20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leen ninguna de las revistas. Se pregunta Qu porcentaje leen las tres revistas? Qu porcentaje leen la revista A y la C, pero no la B? Qu porcentaje leen solo la revista B? Representamos grficamente

N

P D

r8



Por datos 1 + 2 + 4 + 5 = 48 (1) 2 + 3 + 4 + 6 = 50 (2) 4 + 5 + 6 + 7 = 30 (3) 2 + 4 = 20 (4) 4 + 6 = 10 (5) 4 + 5 = 13 (6) 8 = 10 (7) Qu pregunta? 4 = 5 = 3 =

Sabemos que: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 100 (8) De (6) 5 = 13 4 De (5) 6 = 10 4 De (4) 2 = 20 4 Remplazando 5 6 en (3) 4 + 13 4 + 10 4 + 7 = 30 despejando 7 = 7 + 4 Remplazando 2 6 en (2) 20 4 + 3 + 4 + 10 4 = 50 despejando 3 = 20 + 4 Remplazando 2 5 en (1) 1 + 20 4 + 4 + 13 4 = 48 despejando 1 = 15 + 4 Remplazando en (8)

15 4 + 20 4 + 20 4 + 4 + 13 4 + 10 4 + 7 4 + 10 = 100 , despejando 4 = 5 Por tanto

1 = 15 + 5 = 20 2 = 20 5 = 15 3 = 20 + 5 = 25 5 = 13 8 = 8 6 = 10 5 = 5 7 = 7 + 5 = 12

En conclusin El 5% leen las tres revistas. El 8% leen la revista A y la C, pero no la B. El 25% leen solo la revista B. En un estudio realizado sobre los pacientes adultos admitidos durante un mes se encontr: 57 con problemas cardiacos 57 con problemas Renales 57 con problemas respiratorios 8 ninguna de las tres 44 con problemas cardiacos y renales 32 con problemas renales y respiratorios 31 cardiacos y respiratorios 21 las tres enfermedades Se pregunta

A B

C



cuntos pacientes ingresaron? cuntos tienen problemas solo cardiacos? cuntos tienen problemas solo renales? cuntos tienen problemas solo respiratorios? Un grupo de jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automvil) los datos de la encuesta fueron los siguientes Motocicleta solamente: 5 Motocicleta: 38 No gustan del automvil: 9 Motocicleta y bicicleta, pero no automvil: 3 Motocicleta y automvil pero no bicicleta: 20 No gustan de bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la motocicleta: 61 Se pregunta Cul fue el nmero de personas entrevistadas? A cuntos les gusta la bicicleta solamente? A cuntos les gusta el automvil solamente? A cuntos les gusta las tres cosas? A cuntos les gusta la bicicleta y el automvil pero no la motocicleta? De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente informacin 391 ven programas deportivos 230 ven programas cmicos 545 ven programas sobre el mundo animal 98 ven programas cmicos y deportivos 152 ven programas cmicos y sobre el mundo animal 88 ven programas deportivos y sobre mundo animal 90 ninguno de los tres programas 50 ven programas deportivos y cmicos pero no sobre el mundo animal Se pregunta Cuntos de los entrevistados ven los tres tipos de programas? Cuntos de los entrevistados ven slo uno de los tres tipos de programas? En una seccin de 45 estudiantes, 24 juegan futbol, de los cuales 12 solo juegan futbol, 25 juegan basquetbol, 10 solo basquetbol, 19 juegan vley bol y 9 juegan futbol y basquetbol. Si todos prctica por lo menos un deporte, se pregunta Cuntos juegan basquetbol y vley bol? Cuntos juegan futbol y no basquetbol? Cuntos juegan vley bol y no basquetbol? Un colegio realiza tres pruebas a 100 estudiantes y sta arroja los siguientes resultados 2 Estudiantes fracasaron en las tres pruebas 7 Estudiantes fracasaron en la primera y segunda prueba 8 Estudiantes fracasaron en la segunda y tercera 10 Estudiantes fracasaron en la primera y tercera 25 Estudiantes fracasaron en la primera prueba



30 Estudiantes fracasaron en la segunda prueba 25 Estudiantes fracasaron en la tercera prueba Se Pregunta Cuntos fracasaron solamente en la primera prueba? Cuntos fracasaron en la segunda y en la tercera pero no en la primera? Cuntos aprobaron las tres pruebas? En una encuesta realizada a un grupo de empleados revel que 277 tenan casa propia; 233 posean automvil; 405 televisor; 165 automvil y televisor; 120 automvil y casa; 190 casa y televisor 15 tenan casa, automvil y televisor. Se pregunta: Cuntas personas fueron encuetadas? Cuntas personas tienen solo casa propia? Cuntas personas tienen solamente casa y televisor? Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: futbol en el otoo, basquetbol en el invierno y beisbol en la primavera. Algunos de los atletas juegan solamente un deporte, otros dos y otros tres. 40 personas juegan futbol, 15 los tres deportes, 5 basquetbol y futbol pero no beisbol y 10 solamente futbol. Cuntas personas juegan tanto beisbol como futbol? Una empresa de servicios va a ampliar su red comercial y por ello necesita incorporar a 25 asesores. La empresa requiere fundamentalmente personas que posean, al menos, una de las caractersticas siguientes Alguna experiencia en el rea de ventas Formacin tcnica Conocimiento del ingls En concreto, la empresa ofrece 12 plazas para los de la caracterstica a; 14 para la los de caractersticas b; 11 plazas para los de caracterstica c. Ahora bien la empresa quiere que 5 asesores posean caractersticas a y b, que 3 posean caractersticas a y c, que 6 asesores posean b y c, y 3 asesores con b y c y no con a. Cunto de esos 25 asesores quiere la empresa que posean las tres caractersticas citadas? A cuntos asesores se les erige tener solo conocimientos del ingls? Cuntos tienen experiencia en ventas y conocimiento en ingls y no tienen formacin tcnica? Una universidad aplica una encuesta a los 60 de sus egresados en Salud para conocer sus preferencias en 3 especializaciones, obteniendo los siguientes resultados 15 estudian pediatra solamente, 11 estudian pediatra e ciruga; 12 estudian cardiologa solamente; 8 estudian pediatra y cardiologa; 10 estudian ciruga solamente; 5 estudian ciruga y cardiologa; 3 las tres especializaciones. Se pregunta:



Cuntos no quieren estudiar ninguna de las especializaciones propuestas? Cuntos no quieren estudiar pediatra? Cuntos quieren estudiar pediatra y cardiologa pero no ciruga? De un total de 60 estudiantes de un colegio: 15 estudian francs solamente, 11 estudian francs e ingls; 12 estudian alemn solamente; 8 estudian francs y alemn; 10 estudian ingls solamente; 5 estudian ingls y alemn; y 3 los tres idiomas. Se pregunta Cuntos no estudian ningn idioma? Cuntos estudian alemn? Cuntos estudian alemn e ingls solamente? Cuntos estudian francs? En una encuesta a 200 estudiantes, se hall que: 68 se comportan bien. 138 son inteligentes. 160 son habladores. 120 son habladores e inteligentes. 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes. 13 se comportan bien y no son habladores. 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes. Se pregunta Cuntos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes? Un alumno de la facultad efecta una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes acerca de los hbitos de estudio en la biblioteca de ingenieras y aporta los siguientes datos: Estudian Fsica 40, lgebra 55, geometra 55, fsica y lgebra 15, fsica y geometra 20, lgebra y geometra 30, estudian las tres asignaturas 10, no asisten a la biblioteca 5. Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas result lo siguiente: Hablan ingls 27; francs 22; italiano 12; ingls y francs 10; francs y alemn 9; ingls, francs y alemn 6; alemn e italiano 5; 19 hablan ingls pero no alemn; el nmero de los que hablan alemn es el triple de los que hablan nicamente francs; ninguno de los que hablan italiano hablan ni francs ni ingls. Se pregunta Cuntos no hablan ninguno de los 4 idiomas? Cuntos hablan nicamente alemn? Cuntos saben al menos 2 idiomas?



Cuntos saben italiano o francs pero no ingls? Cuntos no saben alemn y no saben ingls, pero saben francs? Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente informacin : Todos los que queran estudiar Ingeniera Civil , tambin queran estudiar Ingeniera de Procesos Ninguno quera estudiar Ingeniera Civil y Educacin Preescolar 10 estudiantes preferan estudiar otras carreras 60 queran estudiar Educacin Preescolar e Ingeniera de Procesos 440 quieren estudiar Ingeniera de Procesos 180 quieren estudiar Ingeniera Civil Represente la situacin de forma grfica. Cuntos estudiantes desean estudiar solamente Educacin de Preescolar? Una encuesta aplicada a 75 pacientes admitidos en la unidad de cardiologa de un hospital durante un periodo de dos semanas, arrojo los siguientes resultados: 47 llegaron con presin arterial alta 12 tena problemas de presin arterial alta y respiratorios pero no con colesterol alto 46 llegaron con nivel de colesterol alto 31 llegaron con problemas de presin arterial alta y nivel de colesterol alto 52 llegaron con problemas respiratorios 29 llegaron con problemas de nivel de colesterol alto y problemas respiratorios 33 llegaron con problemas de presin arterial alta y problemas respiratorios Se pregunta: Cuntos pacientes llegaron con las tres dificultades? Cuntos pacientes llegaron con ninguna de las tres dificultades? EL NMERO Es un smbolo que representa una cantidad. A travs de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades



Evolucin del Nmero La necesidad de contar. La invencin de la matemtica data de los albores de la humanidad. La matemtica es ms vieja como el instinto de propiedad, es decir tan antigua como el hombre, este se sinti matemtico en cuanto el afn de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebaos y medir sus tierras. Los dedos primer sistema de numeracin. En sus comienzo, el hombre numeraba las cosas con los

dedos, si quera decir uno levantaba un dedo, dos levantaba dos dedos, con las dos manos poda contar hasta diez. Para sealar nmero mayor haca girar las manos: veinte la giraba dos veces, treinta tres veces, etctera. Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar: las yescas,

piedras, nudos, rayas en las piedras, hasta llegar al baco. La forma de los Nmeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio, el uno, dos y tres corresponden a los dedos levantados, el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muecas. Los nmeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambin del sistema de contar con los dedos. El uno, desde un principio se escribi tal como lo hacemos hoy; el dos era representado por dos trazos pero horizontal; el tres por tres bastones acostados, el un sobre el otro, el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz, el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido. Al escribirse rpidamente, sin levantar la pluma del papel, fueron tomando la forma que conocemos. Los Nmeros Arbigos que son Hindes; Esos nmeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India, se denominan arbigos porque en el ao 711, los rabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacin. Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los rabes en Europa; de all fueron conocidos como signos arbigos.

http://viviendoyaprendiendo.wordpress.com/2008/07/14/los-nombres-de-los-numeros/



Lectura de Nmeros

Lea las siguientes cifras: 5006.004 200.202 1001.000 1057.003.000 52,125

Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana. El lunes consigna doscientos mil cien pesos, el martes un milln cinco mil diez pesos, el mircoles gira un cheque por un milln un mil diez pesos, el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos. Cunta plata le queda en el banco? Los Operadores Son smbolos que indican una relacin u operacin entre dos o ms nmeros. Existen diferentes tipos de operadores: Los lgicos, permiten combinar expresiones (y, o, no). De relacin: permiten realizar comparaciones entre valores (=, , , ). Aritmticos: Indican una operacin Adicin o Suma (+) Sustraccin o resta (-) Multiplicacin ( x, *, . , la ausencia de signo se asume que hay una multiplicacin 2a) Divisin ( , /) Potenciacin () Radicacin () Logaritmacin: logaritmo de base 10 (log) y logaritmo natural (ln) Expresiones aritmticas: Es la combinacin de nmeros y operadores

Realice las siguientes operaciones 85935 + 97486 7000 5699 32476 25588 4 x 2.5 0 19 23 0 25.15 + 73.045 3168 198

Ejercicios

Problema

Ejercicios



7.745 5.48 Reglas de prioridad de los operadores aritmticos Las expresiones de dos o ms operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones, este orden es: Los signos de agrupacin: ( ), [ ], { } Logaritmacin Potenciacin y radicacin Multiplicacin y divisin Suma y resta Si en una expresin se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha.

Cul es el resultado de las siguientes operaciones?

5 + 4 * 1 - 2 6 + 9 2 54327*4 3 ^ 2 * 3 759*6 6 8 4 + 3 2 6 + 4 3 42 4 18 + 5 * 3 + 4 * 6 16 - 23 2 + 6 x 36 33 + 3 * 4 / 6 4 32 - 23 16 + 5 2 * 5 3 * 6

10 + 54 (3)2 18 + (2) 35 25 3 5 2 + 234 1500 + 50(3 2 1)

(2) + (2)2 4 (3)(1)

2(3)

Ejercicios Ubique los signos de agrupacin en el lugar adecuado para obtener el resultado indicado:

1 2 3 6 + 8 2 3 1= 4 6 + 8 2 3 1= -2 6 + 8 2 3 1= 7 6 + 8 2 3 1= -14

5 6 - 4 5 = 10 5 6 - 4 5 = 50 5 6 - 4 5 = 130 5 6 - 4 5 = -70

8 2 * 3 + 1 = 24 8 2 * 3 + 1 = 19 8 2 * 3 + 1 = 3 8 2 * 3 + 1 = 0

4 5 6 8 + 6 2 1 4 = 3 8 + 6 2 1 4 = 5 8 + 6 2 1 4 = 7 8 + 6 2 1 4 = 1 6 8 + 6 2 1 4 = 5 6

12 + {[(8 4) 2] 3} = 12 {12 + [8 (4 2)]} 3 = 48 12 + 8 4 2 3 = 30 12 + 8 4 2 3 = 36 12 + 8 4 2 3 = 24 12 + 8 4 2 3 = 9 12 + 8 4 2 3 = 8

27 9 3 4 + 23 = 31

27 9 3 4 + 23 = 1

27 9 3 4 + 23 = 63

27 9 3 4 + 23 = 7

27 9 3 4 + 23 = 15

Ejercicios



Criterios de Divisibilidad Un nmero b es divisible por otro a cuando la divisin es exacta. http://www.vitutor.com/di/di/a_3.html

Nmero Criterio Ejemplo 2 El nmero termina en cero o cifra par 378: porque "8" es par 3 La suma de sus cifras es un mltiplo de 3 480: porque 4+ 8+ 0 =

12 es mltiplo de 3. 4 El nmero formado por las dos ltimas cifras es 00

mltiplo de 4. 7324: porque 24 es mltiplo de 4.

5 La ltima cifra es 0 5. 485: porque acaba en 5. 6 El nmero es divisible por 2 y por 3. 326 7 Para nmeros de 3 cifras: Al nmero formado por las

dos primeras cifras se le resta la ltima multiplicada por 2. Si el resultado es mltiplo de 7, el nmero original tambin lo es.

469: porque 46-(9*2)= 28 que es mltiplo de 7.

Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un mltiplo de 7.

52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es mltiplo de 7.

8 El nmero formado por las tres ltimas cifras es 000 mltiplo de 8.

27280: porque 280 es mltiplo de 8.

9 La suma de sus cifras es mltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es mltiplo de 9.



10 La ltima cifra es 0. 470: La ltima cifra es 0. 11 Sumando las cifras (del nmero) en posicin impar por

un lado y las de posicin par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un mltiplo de 11, el nmero es divisible por ste.

42702: 4+7+2=13 2+0=2 13-2=11 11 es mltiplo de 11

Si el nmero tiene dos cifras ser mltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Mltiplo de 11

12 El nmero es divisible por 3 y 4. 528 13 Un nmero es divisible por trece si al tomar la ltima

cifra de la derecha multiplicada por 9 y restar esta cantidad al nmero que resulta de quitar dicha cifra el resultado es cero o un mltiplo de 13. Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es mltiplo de 13, el nmero original tambin lo es.

528

25 Si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 25 500, 1025, 1875

125 Si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 125. 1000, 1125, 4 250

Aplique los criterios de divisibilidad indicados en la tabla para comprobar las divisibilidades de cada nmero.

534 403 7286 56892 53955

Halla un nmero de 3 o ms cifras que sean divisibles por: Por 4 Por 7 Por 8 Por 11 Por 13

Ejercicios

Ejercicios



SISTEMAS DE NUMERACIN Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nmeros. Cada sistema de numeracin tiene una base. Entre los sistemas de numeracin conocidos tenemos: Binario de base dos, octal de base ocho, el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez, este ltimo es el que empleamos nosotros. NMEROS REALES Nmeros Dgitos: Son los que consta de una cifra Nmeros Reales: Se considera el conjunto universal, se representa con la letra R, a l pertenecen: Los Naturales: Los nmeros para contar, se representa con la letra N. Los Enteros: Estn formados por los naturales el cero y los negativos. Los Racionales son los de la forma a/b Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razn de dos enteros. Tienen representaciones decimales que no se repiten ni terminan Un nmero natural es cualquiera de los nmeros que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar objetos, ya que las tareas de contar y de ordenar son las ms elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural Los nmeros naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12,} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los nmeros naturales.



Adems de cardinales (para contar), los nmeros naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1 (primero), 2 (segundo),, 16 (decimosexto), http://www.casdquindio.edu.co/userfiles/naturales.pdf?phpMyAdmin=eb0b7294f6d4a0e56126a77981c1b8cc Problemas En cierta isla se carece de moneda, pero maneja la siguiente tasa de cambio 50 pltanos = 20 cocos 30 cocos = 12 pescados 100 pescados = 1 hamaca Cuntos pltanos equivale una hamaca? Por datos: 50 pltanos equivalen a 20 cocos , si dividimos ambos valores por 2 encontramos que: 25 pltanos equivalen a 10 cocos , si multiplicamos ambos valores por 3 encontramos que: 75 pltanos equivalen a 30 cocos , pero 30 cocos equivalen a 12 pescados, por tanto 75 pltanos equivalen a 12 pescados , si dividimos ambos valores por 3, encontramos 25 pltanos equivalen a 4 pescados , si multiplicamos por 25, encontramos que: 625 pltanos equivalen a 100 pescados , como 100 pescados equivalen a una hamaca, entonces 625 pltanos equivalen a una hamaca. Juan vende pescados en el mercado. Si los vende a 500 pesos cada uno, se comprara una carreta y le sobraran 160 pesos, pero si los vende a 550 pesos cada uno, le sobraran 2500 pesos luego de comprar la carreta. Cunto cuesta la carreta? Un empleado ha sido contratado por 15 meses, tiempo por el cual se le ha ofrecido pagar $3240.000 ms un auxilio de transporte. Cumplidos los ocho meses, el empleado renunci al trabajo, y recibi como paga $2320.000 incluido el auxilio de transporte. De cunto fue el auxilio? Un distribuidor de helados distribuye helados de acuerdo con: cada 4 das de vainilla, cada 6 das de arequipe y cada 8 das de fresa, despus de cuntos das vuelve a surtir los 3 sabores? Una persona pago $8750 por un automvil gasto $830 en cambio de llantas y 200 en afinarlo para alquilarlo durante 2 aos a razn de $1500 por trimestre y luego lo vendi por $7750 Cul fue la utilidad?



Si 40 libros cuestan lo mismo que 20 cuadernos, y 18 lpices lo mismo que 4 borradores, cuntos cuadernos nos pueden dar por 60 lpices, si el precio de 30 libros equivale a 40 borradores? A una funcin de teatro infantil entraron 270 personas. Por cada dos nios entro un adulto a la funcin. Cada adulto pago $6000 y los nios entraron gratis. Cuntos nios y cuntos adultos entraron a la funcin? Cunto dinero se recaud en la funcin? Transcurridas 24 semanas desde el inicio de un proyecto de vivienda se han construido 24 casas. En las ltimas 8 semanas se construyeron 2 casas por semana. cuntas casas por semana construyeron las primeras 16 semanas? A un estadio entran en total 12 425 personas de las cuales 1254 no pagan la boleta a la entrada. La recaudacin total fue de $39 098 500. Cul es el valor de cada boleta de entrada si todos los asistentes pagan el mismo valor? Cierto almacn vende pantalonetas con las siguientes promociones

Promocin A $9 000 cada pantaloneta Promocin B $30 000 la primera pantaloneta y

$2500 por cada pantaloneta adicional Si se necesita comprar 4 pantalonetas. con cul promocin le sale ms barata? por qu? Si se cuenta con $100 000 Cuntas pantalonetas puede comprar en cada promocin? Qu cantidad de pantaloneta cuestan lo mismo en las dos promociones? Una empresa obtuvo ganancias en el 2004 por $32,184 millones; en el 2005 $14,159 millones ms que el ao anterior; en el 2006 tanto como en los aos anteriores juntos; en el 2007 tanto como en los tres aos anteriores juntos; y en el 2008, $ 12,136 millones ms de lo que gano en 2007 y en el 2005 cunto ha ganado durante los 5 aos? Una persona compr un libro que cost $105 000; un vestido por $140 000; una cmara fotogrfica que cost $180 000 ms que el libro y el vestido juntos; un anillo que cost $ 175 000 ms que el libro, el vestido y la cmara; y un computador que cost $ 235 000 ms que todo lo anterior. Si le sobraron $211 000, cunto dinero tena? Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa: el inventario inicial es de 157 bolsas, recibe durante la semana las siguientes cantidades, el lunes 285, el martes 278, el mircoles 196, el jueves 418 y el viernes 332. El sbado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas. Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500. Cul es utilidad obtenida durante dicha semana? Cunto cost lo que al venderse por $12517.350 deja una prdida de $1383.500? Si compro un computador porttil por 750 dlares si quiero ganarme $2 000 000 por su venta, teniendo en cuenta que el dlar est en $2190.80 en cunto debo vender?



Un comerciante hace un pedido de 3000 Kg de arroz. Inicialmente recibe 813 Kg, ms tarde 124 Kg menos que la primera vez y despus 156 Kg ms que la segunda vez. Cunto arroz falta por enviarle? Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razn de $100 la unidad. Si se le daaron 35 naranjas cul es la ganancia o la perdida? Un comerciante vende 14 sacos de harina a $10 800 cada uno con una prdida de $ 200 por saco; 20 sacos de arroz a $7 760 cada uno con una ganancia de $ 100 por saco y 7 sacos de frijoles a $ 4 800 con una prdida de $ 500 por saco. Cul fue el costo de toda la mercanca que se vendi? Un comerciante compra un lote de sacos de azcar por $594 000 y luego los vendi $ 950 400 ganado as $ 2 640 por saco. cuntos sacos compr? En un teatro las entradas de adulto costaban $ 9 000 y las de nios $ 3 000. Si se recaudaron $ 5 460 000 y por cada nio entraron dos adultos cuntos espectadores entraron al teatro? Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno tiene que pagar $150 000 por el alquiler. Pero si se agregan a la casa tres amigos ms, cunto tendrn que pagar cada uno por el alquiler de la misma casa? Un constructor compra una parcela de 5 hectreas que le cuesta $6500.000. Se gasta $1200.000 en urbanizarla, y pierde 1 hectrea entre calles y aceras. El terreno que le queda lo divide en 25 parcelas. Si quiere ganar $5400.000, a qu precio tiene que vender el metro cuadrado de parcela? Los abuelos de Ana son granjeros y venden huevos de gallina. Averigua el beneficio que obtendrn durante un ao sabiendo que: Tienen 1.000 gallinas. Cada gallina pone una media de 26 huevos al mes. Los huevos los ponen en cartones de 2,5 docenas. Cada docena la venden a 0,58 euros. Por cada cartn pagan 0,03 euros. Se les rompen el 5% de los huevos. Salud Un local de Policlnica funciona con los siguientes costos: El alquiler de $15000.000 al mes Salarios administrativos de $5000.000 $2000.000 de sueldos fijos a cada uno de los 5 mdicos Si cada consulta cuesta $15.000 y este es el nico ingreso del local cuntos pacientes deber atender cada mdico para cubrir los gastos de la clnica? Un frasco de jarabe viene en presentacin de 250 ml. El mdico ha recetado a un paciente que tome 3 cucharadas diarias de 5 ml Tiene suficiente jarabe para los 12 das de tratamiento?



El corazn de una persona palpita 70 veces por minuto. Calcula el nmero de palpitaciones que habr dado en un da. NUMEROS ENTEROS Matemticamente, el conjunto de los nmeros enteros con las operaciones de suma y

multiplicacin, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los nmeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemn Zahlen 'nmeros'). Valor Absoluto de un Nmero: Es la distancia del nmero al cero, por ello este valor siempre es positivo, es decir no tiene en cuenta el signo. Si x es un nmero entero el valor absoluto de x se representa |x|. Ejemplos: |-5| = |5| |-3||1| Ley de los signos Adicin y sustraccin de Nmeros Enteros: Para sumar o restar dos o ms nmeros enteros se debe tener en cuenta: Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nmero que tienen los nmeros Ejemplo 5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8 Si son de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nmero de mayor valor absoluto Ejemplo 5 3 = 2 -5 + 3 = -2 Multiplicacin y Divisin de Nmeros Enteros: Para multiplicar o dividir dos enteros se tienen en cuenta las siguientes consideraciones: El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo Ejemplo 6 * 3 = 18



(-6) * (-3) = 18 6 3 = 2 (-6) (-3) = (2) El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 * (-4) = -64 (-16) * 4 = -64 16 (-4) = -4 (-16) (4) = -4

Marque con una C la afirmacin correcta y con una I la incorrecta. Si la repuesta es incorrecta justifquela: 19 54 81 = 116 ( ) 2. -9 + 18 10 = - 1 ( ) Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( ) Si 3x = -18 entonces x = 6 -1 > -2 ( ) |-3| |8 3| ( )

Se quiere resolver un problema sobre tres nmeros enteros consecutivos que sumados fueran 81. Se escribe la ecuacin (n 1) + n + (n + 1) Qu representa n? Cules son los tres nmeros? Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de caf. Cuntos litros de agua quedan en el tanque despus de 5 horas, si se gastan un promedio de 4900 litros por hora? Cuntos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance? En un campeonato de ftbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consista en: partido ganado daba 3 puntos, partido empatado daba 1 punto, partido perdido quitaba 2 puntos, cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1. Al final cada equipo jug 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes:

EQUIPO PARTIDOS GOLES

GAN EMP PER FAV CONTRA

TIGRES 4 0 4 8 8

OSOS 5 1 2 10 9

TOROS 5 2 3 8 8

REBELDES 3 2 3 12 7

PITUFOS 2 0 6 7 12

Ejercicios

Problemas



En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos: Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000. Vendi una parte por US $ 46400, a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte en US $ 36000, ganando US $ 100 a cada uno. a. Cuntos computadores tiene el lote? b. Para obtener una ganancia de US $ 4000 a cmo debe vender los restantes computadores? Pitgoras, filsofo y matemtico griego, vivi entre los aos 582 y 496 A.C. A qu edad muri? Cuntos aos hace de eso? Hipata de Alejandra fue una cientfica, filsofa y maestra que muri asesinada en el ao 415 a la edad de 45 aos. Arqumedes, en cambio, fue un matemtico griego que muri a la edad de 75 aos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el ao 212 a.C. En qu ao naci cada uno? Euclides de Alejandra cientfico que enseo matemticas durante ms de 20 aos, naci hace 2336 aos y muri hace 2276 en qu ao naci? En qu ao muri? A qu edad muri? Los participantes de un concurso deben contestar 30 preguntas, cuando dan una respuesta correcta obtienen 3 puntos, si pasan no tienen puntos, si contestan incorrectamente pierden un punto. Cierto concursante acumula solamente 6 puntos. Indicar las posibles respuestas

2b y 0 m 4b y 6 m 6 b y 12 m 8b y 18 m 3 b y 3 m 5 b y 9m 7b y 15 m 9b y 21 m

Salud Una vacuna viene en presentacin de 12.5 cc y se aplica 2.5 cc por paciente. Si se cuenta con 5 cajas de vacunas cada una con 100 unidades y se necesita aplicar a una poblacin de 3000 personas cuntas personas quedan sin vacunarse?

Posicin Equipo Puntos 1

2

3

4 5



Un paciente herido pierde 3 cc de sangre por minuto. Si el cuerpo humano tiene 5000 cc de sangre, se pregunta En una hora qu cantidad de sangre queda en el cuerpo? Si cada bolsa de sangre posee 0.25 cc cuntas bolsas de sangre se necesitan para recuperar la sangre perdida? NUMEROS RACIONALES http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional http://www.monografias.com/trabajos42/numeros-racionales/numeros-racionales.shtml Definicin La palabra racional se deriva del latn, ratio, que significa razn. Es el que se puede expresar como cociente de dos nmeros enteros. El conjunto de los nmeros racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los nmeros racionales est compuesto por los nmeros enteros y por los fraccionarios. Los nmeros enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los nmeros racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto Q de los nmeros racionales se representan de la forma a/b donde a y b R con b 0, a recibe el nombre de numerador y b denominador. Un racional es una divisin indicada. Existen dos tipos de racionales, propios e impropios. Un racional propio es aquel que el numerador

es menor que el denominador; como por ejemplo: 1 2 , 23 y

1115 Un racional impropio es aquel

que el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo: 5 2 ,7 3 19 4 . Los racionales impropios se pueden convertir en nmeros mixtos o en enteros (por ejemplo, 21

3 , 53

4 y 62

3 )si se

divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccin del denominador. Todo nmero entero se puede expresar como un racional. Origen de las fracciones Aritmtico: La divisin no exacta de los enteros Geomtrico: Un segmento con longitud no exacta Fsico: Medicin de magnitudes fsicas Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador. Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1. Si el numerador es igual a cero el racional es cero. Si el denominador es cero el racional es indeterminado. Principio fundamental de los Racionales El numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacin) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero.



Amplificar en 2, 5, 7 y 8 cada racional

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

4

8

30

35

54

152

183

642

Operaciones con los nmeros Racionales Adicin y sustraccin de nmeros Racionales Para sumar o restar nmeros racionales debemos tener en cuenta si: Si tienen el mismo denominador: Se mantiene el mismo denominador comn y se suman los numeradores. Simblicamente

d

ba

d

b

d

a Con d0

Si tiene diferente denominador: Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientos: Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominador Se busca el mximo comn divisor Si a y b son dos nmeros naturales distintos de cero, tal que a > b, entonces: M.C.D. (a, b) = M.C.D. (b, a b). Se aplica la frmula:

cd

bcad

d

b

c

a , con c y d 0

Adems se puede calcular por mnimo comn mltiplo1, ejemplo:

2

3+1

4

Inicialmente se halla el mnimo comn mltiplo entre los denominadores Mltiplos de: 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 Como podemos observar el mnimo comn mltiplo de 3 y 4 es 12, luego escribimos el 12 como denominador, se divide este nmero por cada denominador de los sumandos y el resultado se

1 El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural que es mltiplo de todos ellos. Slo se aplica con nmeros naturales, es decir, no se usan decimales ni nmeros

4

3

2

5

3

7

7

4

Ejercicios

Ejercicios



multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fraccin, as

8 + 3

12=11

12

Otra forma de realizar la operacin es por amplificacin, utilizando el mnimo comn mltiplo, se amplifican las fracciones para igualar los denominadores al mnimo comn mltiplo, as, se

multiplica y se divide el 2

3 por 4 y el

1

4 por 3, quedando

8

12+3

12=11

12

En la calculadora utilizamos la tecla podemos sumar o restar fracciones. Si el resultado

obtenido tiene tres trminos (312), est expresando la respuesta como un nmero mixto, pulse

shift y para que el resultado quede expresado como fraccin. Para operar tres o ms fracciones halle el mnimo comn mltiplo de los trminos por descomposicin en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mnimo comn mltiplo ser el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.

Ejemplo calcular 3

8+

5

12+

2

15

Hallamos el mnimo comn mltiplo de 8, 12 y 15

8 12 15 2 4 6 15 2 2 3 15 2 1 3 15 3 1 1 5 5 1 1 1

Entonces el mnimo comn mltiplo de 8, 12 y 15 es 23x 3x5= 120, escribimos el 120 como denominador, se divide este nmero por cada denominador de los sumandos y el resultado se multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fraccin, as

120 8 3 = 45; 120 12 5 = 50; 120 15 2 = 16,

45 + 50 + 16

120=111

120

Ejercicios



Calcular: 2

3+1

9

1

4+3

6

2

3+ 3 2

1

4

1

4+3

62

5

6

5

5

3

9

7

8

3

10

7

4

7

2

5

7

2

3

8

43 +

56

12

1 +

56 +

12

12 +

52

Multiplicacin de los Racionales El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores.

Es decir: bxd

axc

d

cx

b

a

Divisin de los Racionales El cociente de dos nmeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador.

Es decir: cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

Nmeros Mixtos: Son aquellos formados por un entero y un racional. Es decir c

ba

Ejemplo: 4

12,

mis notas de clase razonamiento cuantitativo mayo 18 de 2015

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