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Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y Comercio Internacionales y Finanzas.

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Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora.

UNIVERSIDAD DE SONORA.

División de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemáticas.

Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y

Comercio Internacionales y Finanzas. Fascículo V.

Tema: Introducción a la Estadística.

Semestre 2017-2.

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno


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Prólogo.

Este es el quinto y último folleto correspondiente al Tema V de Estadística Aplicada a las Licenciaturas:

Negocios y Comercio Internacionales, Administración, Contaduría e Informática Administrativa que se ofrecen

en la Universidad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vigente de la materia

de Estadística I del área económico- administrativo.

En este quinto tema del programa, denominado Introducción a los números índice, el alumno aprenderá a

calcular diversos números índice a partir de datos obtenidos en diversas fuentes, como por ejemplo el INEGI,

el SAT, etc.

Este trabajo se sitúa en el marco de un esfuerzo colectivo realizado por el Departamento de Matemáticas por

dotar al alumno del material didáctico necesario para que éste optimice su proceso de

enseñanza/aprendizaje/formación de las matemáticas.


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Contenido

Tema Página

5. Introducción a los números índice. 4

5.1. Introducción. 4

5.2. Definición y tipos de números índice. 4

5.3. Números índice simples. 5

5.3.1. Número índice simples en serie. 5

5.3.2. Número índice simples en cadena. 6

5.3.3. Tasa promedio de variación o tasa promedio de crecimiento acumulativo. 6

5.4. Números índice complejos. 9

5.4.1. Números índice complejos de precios no ponderados. 10

5.4.2. Números índice complejos de precios ponderados. 11

5.5. Deflación de series de tiempo. 15

5.6. Ejercicios prácticos. 18

5.7. Bibliografía. 18


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Introducción a los números índice.

5.1. Introducción.

En los últimos años los números índice han tomado gran relevancia para la administración, economía, negocios,

finanzas y otras áreas afines, ya que éstos pueden proporcionar, a quienes toman decisiones, un panorama más

exacto del comportamiento de las variables económicas o de negocios, a través del tiempo y hacer

comparaciones con periodos más significativos ya que son buenos indicadores de los cambios en estas

actividades económicas y financieras.

Realizar estas comparaciones es de gran importancia en el área de la estadística. Las comparaciones entre

variables o entre los valores de una sola variable pueden realizarse de diversas formas. Las más simples son las

que se llevan a cabo por diferencia o aquellas que se realizan por cociente. Los cocientes tienen la ventaja frente

a las diferencias porque eliminan el problema de las unidades de medida, que en algunos casos se vuelve

incomprensible. En cambio, con los cocientes, aunque no tiene este problema, no deja ser afectado por otros,

como el de elegir la unidad de referencia para realizar las comparaciones. Este problema de la comparación

estadística se resuelve en buena manera, mediante el uso de números índices.

Se puede construir muchas clases específicas de números índice, por ejemplo, los números índice de precios,

de calidad, de valor, de confianza del consumidor, de cantidad, de consumo, etc. También se han creado

números índice sociológicos tales como el crecimiento poblacional, de pobreza, de votación, de enfermedades,

etc.

En este último fascículo, abordaremos la construcción de los números índice para simplificar una serie de

tiempo y con fines de pronósticos.

5.2. Definición y tipos de números índice.

Los números índice son una medida estadística que permite comparar una magnitud simple o compleja en dos

periodos de tiempo o espacio distintos, tomando una de ellas como referencia y se pueden dividir en dos

categorías: números índice simples los cuales se refieren a un mismo concepto o producto, por ejemplo,

producción mensual de autos compactos, y números índice complejos los cuales se refieren a varios productos

o conceptos, por ejemplo, precio y cantidad de autos vendidos mensualmente. Los números índices pueden

tener distinta naturaleza: 1) Naturaleza estadística, cuando se obtienen sin tener en cuenta las posibles

relaciones funcionales de las magnitudes en estudio, y 2) Naturaleza funcional, cuando se obtienen suponiendo

una relación funcional entre los valores de las variables y su entorno. Por requerimientos del programa de la

materia, sólo nos centraremos en los números índices de naturaleza estadística.

Los números índice, dentro de un marco descriptivo, presentan diversos niveles que se interrelacionan entre sí.

Por un lado, pretende describir los hechos que nos interesa investigar y esto nos lleva al uso de la estadística

descriptiva. Por otro lado, intenta saber por qué los hechos observados tienen una explicación económica o

científica. Las herramientas más usuales son la contabilidad nacional, la balanza de pagos, los números índice,

la construcción de indicadores económicos o sociales, etc. En este aspecto, la estadística


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además de estudiar los hechos e investigar sus precisiones, pretende modificarlas, sólo que en este nivel, pueden

observarse influencias de políticas económicas. Con ello, la estadística descriptiva pretende describir la

actividad económica, política y social en un momento histórico específico. A continuación analicemos los tipos

de números índice que existen.

De acuerdo a la naturaleza estadística, los números índice se pueden clasificar de la manera siguiente:

En serie (referencia fija)

Simples En cadena (referencia dato anterior)

Aritmética simple

Números índice Media Geométrica simple

Sin ponderar Armónica simple

Complejos Media agregativa simple

Laspeyres

Ponderados Paasche

Edgeworth

Fisher Figura 5.1. Clasificación de los números índice.

5.3. Números índice simples.

Los números índice construidos en un periodo específico en el tiempo, miden el tamaño o magnitud de algún

artículo en ese punto específico en el tiempo, como un porcentaje de alguna base o elemento de referencia en

el pasado o en el espacio. En general, un número índice es una medida estadística que permite estudiar las

fluctuaciones o variaciones de una (o más) magnitud(es) en relación al tiempo o al espacio. Existen dos tipos

de números índice simples, en serie o en cadena.

5.3.1. Número índice simples en serie.

Una definición formal de números índice simple en serie es la siguiente:

Si 𝑥𝑡 y 𝑥0 son dos valores de una variable X de una serie de tiempo, el valor del número índice en serie que

corresponde al valor 𝑥𝑡 tomando como referencia o base fija 𝑥0 se representa por 𝐼0𝑡 y se define como sigue:

𝐼0𝑡 =

𝑥𝑡

𝑥0∙ 100

al periodo inicial 𝑥0 se le denomina periodo base o periodo de referencia y se le asigna el valor de 100 y al

momento que queremos comparar se le llama periodo actual o periodo corriente. Para realizar las

comparaciones se debe tener en cuenta los aspectos siguientes:

Fijar el periodo inicial a la que se referirán las comparaciones. La fijación de este periodo puede ser de

forma arbitraria o siguiendo un criterio previamente establecido de acuerdo a objetivos que se deseen

lograr y es elegido porque resulta ser el más idóneo para lograr estos objetivos.


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Las magnitudes que se comparan son simples cuando se realiza una comparación entre los valores de

una sola magnitud o son complejas cuando se trabaja con más de una magnitud a la vez. Esta distinción,

nos lleva al problema de la construcción de sistemas de comparación adecuados y que abordaremos en

la sección siguiente.

Para seleccionar un periodo base o un año base para un índice particular, debemos tener en cuenta dos reglas:

1) El periodo seleccionado debe ser, hasta donde sea posible, de normatividad o estabilidad económica, en

lugar de uno que esté cerca de un máximo o una cúspide de una economía en expansión o de una sima o

depresión en una economía declinante o en recesión, 2) El periodo base debe ser reciente con el propósito de

que las comparaciones no se afecten sin necesidad por cambios en la tecnología, calidad de los productos o en

las actitudes, intereses, gustos y hábitos de los consumidores.

5.3.2. Número índice simples en cadena.

Cuando el número índice correspondiente a cada dato se calcula tomado como referencia el dato anterior

inmediato, se le denomina números índice simple en cadena y se define de la manera siguiente:

𝐼𝐶𝑡 =𝑥𝑡

𝑥𝑡−1∙ 100 (5.1)

Donde 𝑥𝑡 y 𝑥𝑡−1 son valores observados de la serie de tiempo en dos periodos consecutivos.

La tasa de variación de estos números índice se define como sigue:

Si 𝑥1 es el valor de una serie de tiempo en el periodo 𝑡1 y 𝑥2 es el valor de la serie temporal en el periodo 𝑡2,

la tasa de variación de la serie en el periodo 𝑡2 con respecto a 𝑡1 se define por

Tasa en serie (𝑡1, 𝑡2) = (𝑥1−𝑥2

𝑥1 ) ∗ 100. (5.2)

La tasa de variación entre dos periodos consecutivos (𝑥𝑡−1, 𝑥𝑡) de la serie de tiempo, se calcula a partir del

número índice en cadena, Esto es,

Tasa en cadena (𝑡1, 𝑡2) = (𝑥𝑡−𝑥𝑡−1

𝑥𝑡−1 ) ∗ 100. (5.3)

De acuerdo a los periodos de tiempo de la serie de tiempo (anual, mensual, trimestral, etc.), podemos llamarla

tasa interanual de variación o tasa intermensual de variación, etc.

5.3.3. Tasa promedio de variación o tasa promedio de crecimiento acumulativo. Es la tasa que

permite obtener la observación 𝑥𝑡+𝑘 en el instante o periodo de tiempo 𝑡 + 𝑘, partiendo desde la observación

𝑥𝑡 al periodo t, aplicando entre periodos consecutivos un incremento porcentual constante e igual a 𝑇𝑘. Esta

tasa se obtiene mediante la relación:

𝑇𝑘 = ( √𝑥𝑡+𝑘

𝑥𝑡

𝑘− 1) ∗ 100. (5.4)

Ejemplo 5.1. De acuerdo al Inegi, en el estado de Sonora, México se han vendido las cantidades trimestrales

de automóviles que se muestran en la tabla 5.1. En la columna 3 se calcularon los números índice simples de

las ventas con base en el trimestre 2013/01.


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a. Los números índice calculados en la columna 3 de la tabla 5.1, indican la variación porcentual que

experimentan las ventas trimestrales de automóviles en el estado de Sonora, con respecto al periodo de

referencia elegido. Así, por ejemplo, en el tercer trimestre del año 2014, la cantidad de autos vendidos es un

5.87% superior a las realizadas en el periodo base (primer trimestre del año 2013). Los números índice así

calculados (como en la columna 3 de la tabla5.1), reciben el nombre de índices en serie.

b. La tasa inter-trimestral de variación en el periodo 2014/01 es

Tasa en serie (2013/01, 2014/01) = (2,368−2,307

2,368) ∗ 100 = 2.576%.

Esto significa que las ventas de automóviles en el primer trimestre del 2014 se incrementaron en un 2.576% en

comparación con primer trimestre del año 2013.

TABLA 5.1. NUMEROS INDICE SIMPLES DE VENTAS DE AUTOMOVILES EN SONORA

Trimestre Unidades

Vendidas*

Índice simple

(base 2013/01)

Índice simple en cadena

(base 2013/01)

Índice simple

(base 2013)

2013/01 2,368 2,368

2,368∙ 100 = 100 ----------------------------

2,368

2,441.25∙ 100 = 96.99949

2013/02 2,274 2,274

2,368∙ 100 = 96.03041

2,274

2,368∙ 100 = 96.03041

2,274

2,441.25∙ 100 = 93.149

2013/03 2,243 2,243

2,368∙ 100 = 94.72128

2,243

2,274∙ 100 = 98.63676

2,243

2,441.25∙ 100 = 91.87916

2013/04 2,880 2,880

2,368∙ 100 = 121.6216

2,880

2,243∙ 100 = 128.3995

2,880

2,441.25∙ 100 = 117.9724

2014/01 2,307 2,307

2,368∙ 100 = 97.42399

2,307

2,880∙ 100 = 80.10417

2,307

2,441.25∙ 100 = 94.50077

2014/02 2,194 2,194

2,368∙ 100 = 92.65203

2,194

2,307∙ 100 = 95.10186

2,194

2,441.25∙ 100 = 89.87199

2014/03 2,507 2,507

2,368∙ 100 = 105.8699

2,507

2,194∙ 100 = 114.2662

2,507

2,441.25∙ 100 = 102.6933

*Fuente: Banco de Información Económica. INEGI. Junio de 2017. Ruta: Manufacturas/Industria automotriz/Sonora

http://www.inegi.org.mx/Sistemas/BIE/Default.aspx?Topic=0&idserPadre=10000160020000900050#D10000160020000900050

c. Los números índice simples en cadena base 2013/01, son mostrados en la columna 4 de la tabla 5.1. Así,

por ejemplo, en el segundo trimestre del año 2014, la cantidad de autos vendidos es un 14.99769% superior a

las realizadas en el periodo inmediato anterior (primer trimestre del año 2014).

d. La tasa inter-trimestral de variación en el periodo 2014/01 es

Tasa en cadena (2013/04, 2014/01) = (2,307−2,880

2,880) ∗ 100 = −19.8958%.

Esto significa que las ventas de automóviles en el primer trimestre del 2014 disminuyó un 19.8958% en

comparación con el último trimestre del año 2013.

e. En ocasiones, los datos de la serie temporal vienen dados en periodos menores de un año tales como

quincenas, meses o trimestres, y es necesario calcular los números índice simple con respecto a un año base.

El procedimiento para calcular estos números índices simples es, obtener la suma anual de la variable en el año

base elegido y dividirla entre el número de periodos que hay en el año, después se divide cada dato entre ese

promedio y se multiplica por 100. Por ejemplo, las ventas anuales de automóviles en Sonora durante el

http://www.inegi.org.mx/Sistemas/BIE/Default.aspx?Topic=0&idserPadre=10000160020000900050#D10000160020000900050


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año 2013 fueron de 9,765 autos, el promedio trimestral en el año base es de 2,441.25 autos, ahora obtenemos

los números índice simple dividiendo cada uno de los datos trimestrales de la serie, entre 2,441.25 y

multiplicando el resultado obtenido por 100. La columna 5 de la tabla 5.1 muestra los números índice obtenidos.

Así que, en el tercer trimestre del año 2014, la cantidad de autos vendidos fue de un 2.6933% superior a las

realizadas en comparación con el año base (2013). Note que si se promedian los números índice del año base

(2013), se obtiene 100.

f. La tasa promedio de variación inter-trimestral del 2013 es:

𝑇4 = (√2,880

2,368

4

− 1) ∗ 100 = 5.015%

Es decir, la tasa promedio de crecimiento acumulativo de las ventas de automóviles en Sonora, en el 2013 fue

del 5.015% y la tasa promedio de variación del periodo del segundo trimestre de 2013 al tercer trimestre de

2014 es:

𝑇6 = (√2,507

2,274

6

− 1) ∗ 100 = 1.639%

Esto es, la tasa promedio de crecimiento acumulativo de las ventas de automóviles en Sonora, en el periodo del

segundo trimestre del año 2013 al tercer trimestre del año 2014 fue del 1.639%

Los índices simples más usados son:

1) Precio relativo. Relación entre el precio de un artículo en el periodo actual y el precio en el periodo

base.

𝑃𝑡0 =

𝑃𝑖𝑡

𝑃𝑖𝑜. (5.5)

2) Cantidad relativa. Razón entre la cantidad producida o vendida de un artículo en su periodo actual y

su periodo base.

𝑞𝑡0 =

𝑞𝑖𝑡

𝑞𝑖𝑜. (5.6)

3) Valor relativo. Valor de un artículo en un periodo cualquiera que se define como el producto del precio

de ese artículo y la cantidad producida (o vendida). El valor relativo es la razón entre los valores del

artículo en el periodo actual 𝑃𝑡 y el periodo base 𝑃0. El valor relativo de un artículo es igual al producto

de su precio relativo y su cantidad relativa.

𝑉𝑡0 =

𝑃𝑖𝑡∙𝑞𝑖𝑡

𝑃𝑖0∙𝑞𝑖0. (5.7)


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5.4. Números índice complejos.

Por lo general, el interés de calcular los números índice, no está en comparar precios, cantidades o valores de

manera individual, sino en realizar comparaciones en situaciones del mundo real donde intervienen dos o más

variables. Esta situación se resume en un único número índice denominado número índice complejo. Este

número índice se obtene de la información que se obtiene de los índices de diferentes artículos. Construir un

número índice complejo no es tarea facil. Para obtener la variación del costo de la vida en México, se selecciona

un grupo de artículos que reflejan dicho costo, a este grupo de artículos se le llama canasta básica, teniendo

en cuenta la importancia relativa de cada uno de los artículos que conforman esta canasta, se decide finalmente

la forma de unificar toda la información para obtener un único número índice simple que reuna la mayor

cantidad posible de infoermación. Tal y como se muestra en la Fig, 1, existen dos maneras de obtener este

número índice complejo: 1) Mediante números índice complejos no ponderados (no equilibrados), cuando se

busca sencillez en el cálculo y 2) Por medio de números índice complejos ponderados cuando se desea que

contenga la mayor cantidad de información.

5.4.1. Números índice complejos de precios no ponderados.

Por medio de los números índice de precios se analiza el estudio de magnitudes económicas, los cuales

cuantifican el progreso de la magnitud “precio” de un conjunto de bienes y servicios. Para realizar el cálculo

del número índice complejo de precios, es necesario tener la información necesaria para ello. Esta información

se resume en una tabla similar a la que se presenta en la tabla 5.2.

TABLA 5.2. FORMATO PARA CALCULAR LOS NÚMEROS ÍNDICE COMPLEJOS.

Artículos

Periodo 1 2 3 … n

0 𝑃10 𝑃20 𝑃30 … 𝑃𝑛0

1 𝑃11 𝑃21 𝑃31 … 𝑃𝑛1

2 𝑃12 𝑃22 𝑃23 … 𝑃𝑛2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮

t-1 𝑃1(𝑡−1) 𝑃2(𝑡−1) 𝑃3(𝑡−1) … 𝑃𝑛(𝑡−1)

t 𝑃1𝑡 𝑃2𝑡 𝑃3𝑡 … 𝑃𝑛𝑡

Dada esta información, el objetivo es calcular una medida estadística que la resuma y permita conocer cuál ha

sido la variación experimentada por los precios en el periodo t respecto al periodo base. Para resumir esta

información por medio de los números índice simples, vistos en la sección 5.3, la lógica nos lleva a promediar

estos números índice simples. Por lo tanto, los números índice complejos no ponderados serán medidas que se

calculan mediante medias aritméticas, geométricas, armónicas o agregativas de los números índice simples

como sigue:

1. Número índice de Sauerbeck. Se consideran los precios relativos 𝑃𝑖𝑡 por columnas de la tabla 5.2 con

respecto al periodo base 𝑃𝑖0 y se calcula mediante la relación siguiente:

𝑆𝑃 =1

𝑛∙ ∑

𝑃𝑖𝑡

𝑃𝑖0∙ 100.𝑛

𝑖=1 (5.8)

2. Número índice con media geométrica. Se obtiene mediante la siguiente relación:


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𝐼0𝑡 = √∏

𝑃𝑖𝑡

𝑃𝑖0

𝑛𝑖=1

𝑛∙ 100. (5.9)

3. Número índice con media armónica. Se estima por medio de la fórmula:

𝐼0𝑡 =

𝑛

∑𝑃𝑖0𝑃𝑖𝑡

𝑛𝑖=1

∙ 100. (5.10)

De estos tres últimos números índices, el más usado es el de Sauerbeck.

4. Número índice con media agregativa simple o de Bradstreet-Dûtot. Consiste en considerar un

número índice simple de agregados de precios o magnitudes, para ello se calcula la razón de la media

aritmética de los precios de n artículos en el periodo t como base. Este número índice complejo no

ponderado, se calcula con la relación siguiente:

𝐵 − 𝐷𝑃 = ∑ 𝑃𝑖𝑡

𝑛𝑖=1

∑ 𝑃𝑖0𝑛𝑖=1

∙ 100. (5.11)

Estos cuatro números índice tienen la ventaja de que son fáciles de calcular y aplicar, pero presentan

inconvenientes importantes tales como que no toman en cuenta la importancia relativa de cada uno de los

diferentes artículos en el conjunto total, debido a que no son ponderados.

Ejemplo 5.2. La tabla 5.3 muestra los precios de seis artículos comestibles consumidos por una familia común

hermosillense en los años 2012 y 2016.

TABLA 5.3. PRECIOS DE SEIS PRODUCTOS COMESTIBLES EN 2012 Y EN 2016.

Precio

Artículo 2012 2016

Pan virote (pieza) 1.50 2.50

Huevo (docena) 30.00 35.00

Leche (litro) 14.00 17.50

Manzana delicias (kg) 24.90 29.90

Jugo de naranja Tropicana (medio galón) 15.90 19.50

Café instantáneo Dolca (170 gms) 52.90 56.00

a. El número índice de Sauerbeck se calcula usando la relación 5.8. Así,

𝑆𝑃20122016 =

1

6∙ [

2.50

1.50+

35.0

30.0+

17.5

14.0+

29.9

24.9+

19.5

15.9+

56.0

52.9] ∙ 100 =

7.569153

6∙ 100 = 126.152546%

Esto significa que del año 2012 al año 2014, los precios de los productos dados en la tabla 5.3, se incrementaron

un promedio un 26.15%.

b. El número índice con media geométrica se obtiene con la relación 5.9. Esto es,

𝐼20122016 = √

2.5

1.5∙

35.0

30.0∙

17.5

14.0∙

29.9

24.9∙

19.5

15.9∙

56.0

52.9

6

∙ 100 = √28.68101436

∙ 100 = 124.860347


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Esto quiere decir, que del año 2012 al año 2014, los precios de los productos dados en la tabla 5.3, se

incrementaron en una media geométrica del 24.86%.

c. El número índice con media armónica se calcula usando la relación 5.10. Así que:

𝐼20122016 =

6

1.502.50

+30.035.0

+14.017.5

+24.929.9 +

15.919.5

+52.956.0

∙ 100 =6

4.84994625∙ 100 = 123.712711%

Así que, del año 2012 al año 2014, los precios de los productos dados en la tabla 5.3, se incrementaron con una

media armónica del 24.86%.

d. El Número índice con media agregativa simple o de Bradstreet-Dûtot se deduce de la relación 5.11.

Esto es,

𝐵 − 𝐷𝑃20122016 =

2.50 + 35.0 + 17.5 + 29.9 + 19.5 + 59.0

1.50 + 30.0 + 14.0 + 24.9 + 15.9 + 52.9=

160.4

139.2= 115.229885%

Esto es, del año 2012 al año 2014, los precios de los productos dados en la tabla 5.3, según Bradstreet-Dûtot se

incrementaron 15.229885%.

5.4.2. Números índice complejos de precios ponderados. Estos números índice, analizan las

variaciones debidas a los cambios en los precios de un conjunto de artículos que son ponderados

siempre por las mismas cantidades. Los números índice ponderados más usados son los de Laspeyres,

Paasche, Edgeworth y Fisher. Analicemos a continuación, cada uno de ellos.

1. Número índice de precios de Laspeyres. Se define como la media aritmética ponderada de los

números índice simples de precios. La ponderación se lleva a cabo con los precios y cantidades en el

periodo inicial. La relación para calcularlo es:

𝐿𝑝 =∑ 𝑝𝑖𝑡∙𝑞𝑖0

𝑛𝑖=1

∑ 𝑝𝑖0∙𝑞𝑖0𝑛𝑖=1

∙ 100. (5.12)

Los criterios para la elección del periodo base son variados, básicamente se requiere que sea un año sin

muchas variaciones en los precios. Es decir, un año normal. El inconveniente de estos números índice

es que Laspeyres supone que siempre se compran las mismas cantidades que en el periodo base, y que

lo único que varía son los precios de los productos.

2. Número índice de precios de Paasche. Este número índice se define como la media aritmética

ponderada de los números índice simples de precios. La ponderación se lleva a cabo con los precios en

el periodo base y con las cantidades en el periodo final. La manera de calcularlo es mediante la relación

siguiente:

𝑃𝑝 =∑ 𝑝𝑖𝑡∙𝑞𝑖𝑡

𝑛𝑖=1

∑ 𝑝𝑖0∙𝑞𝑖𝑡𝑛𝑖=1

∙ 100. (5.13)


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Los inconvenientes que presenta este número índice es que su cálculo es laborioso y que el número índice

de precios de cada periodo sólo se puede comparar con el periodo base. Estos dos inconvenientes han hecho

que el uso de este número índice haya disminuido.

3. Número índice de precios de Edgeworth. Este número índice es una medida agregativa ponderada,

cuya ponderación se lleva a cabo con la suma de las cantidades del periodo base 𝑞𝑖0 y el periodo actual

𝑞𝑖𝑡. Es decir, (𝑞𝑖0 + 𝑞𝑖𝑡). La relación para calcularlo es:

𝐸𝑝 =∑ 𝑝𝑖𝑡∙(𝑞𝑖0+𝑞𝑖𝑡)𝑛

𝑖=1

∑ 𝑝𝑖0∙(𝑞𝑖0+𝑞𝑖𝑡)𝑛𝑖=1

∙ 100. (5.14)

4. Número índice de precios de Fisher. Este número índice se obtiene mediante la media geométrica de

los índices de Laspeyres y de Paasche y es conocido como el número índice ideal de Fisher.

𝐹𝑝 = √𝐿𝑝 ∗ 𝑃𝑝. (5.15)

5. Número índice de valor. Se obtiene mediante el cociente del valor de los artículos considerados en el

periodo actual con los precios de este mismo periodo y el valor de los artículos en el periodo base con

precios en el periodo base. Esto es:

𝑁𝐼𝑉0𝑡 =

∑ 𝑝𝑖𝑡∙𝑞𝑖𝑡𝑛𝑖=1

∑ 𝑝𝑖0∙𝑞𝑖0𝑛𝑖=1

∙ 100. (5.16)

Existen varios factores que pueden distorsionar los números índice tanto simples, como complejos. Las cuatro

causas más comunes son las siguientes:

1. Problemas en encontrar una base adecuada para calcular los números índice. Por ejemplo, si una

empresa registra sus ventas anualmente, el administrador no podrá determinar el patrón de ventas estacional.

2. Falta de comparación de índices. Este caso ocurre cuando se intenta comparar un índice con otro después

de que ha habido un cambio básico en lo que se mide. Si la Secretaría de Infraestructura y Desarrollo Urbano

del estado de Sonora compara índices de precios de transportes urbanos de 2007 a 2017, y encuentra que los

precios han aumentado considerablemente. Sin embargo, esta comparación no toma en cuenta el aumento en

la calidad de las unidades de transporte debido a los avances tecnológicos logrados en el periodo de tiempo

bajo consideración.

3. Ponderación no apropiada de factores. Este caso puede pasar cuando se desarrolla un índice compuesto,

como por ejemplo, el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC) y el Índice Nacional de precios

Productor (INPP), aquí es necesario tomar en cuenta que los cambios en algunas variables son más importantes

que en otros. El efecto sobre la economía del aumento de 1 peso por litro de gasolina no puede contrarrestarse

con una disminución de 1 peso en el precio de los automóviles. Debe tomarse en cuenta que un aumento en el

precio de la gasolina tiene un efecto mucho mayor en los consumidores. Así, debemos asignar un peso mayor

al precio aumentado de la gasolina que a la disminución en el costo de los automóviles.

4. Selección de una base no apropiada. A veces, una compañía selecciona una base que automáticamente

conduce a un resultado que refleja sus propios intereses y lo usa para probar su suposición inicial. Por ejemplo,

Si la Secretaría de Infraestructura y Desarrollo Urbano del estado de Sonora desea que los concesionarios del

transporte tengan una mala imagen, podría medir las utilidades de este año usando como base un año de

recesión de las utilidades de estos concesionarios. Esto produciría un número índice que


13


mostraría que las utilidades de los concesionarios tuvo un aumento considerable. Por otro lado, si los

concesionarios desean demostrar que las utilidades de este año son mínimas, podrían elegir un año base con

utilidades altas. El resultado podría ser un índice que indica un pequeño aumento en las utilidades o quizá una

disminución de ésta en este año. Por tanto, siempre debemos considerar cómo y por qué se seleccionó el periodo

base antes de aceptar una aseveración basada en la comparación de números índice.

Ejemplo 5.3. La tabla 5.4 muestra los precios y cantidades de seis artículos comestibles, consumidos por una

familia común hermosillense en los años 2012 y en 2016.

TABLA 5.4. PRECIOS Y CANTIDADES DE PRODUCTOS CONSUMIDOS EN 2012 Y EN 2016.

Año 2012 Año 2016

Artículo Precio Cantidad Precio Cantidad

Pan virote (pieza) 1.50 50 2.50 55

Huevo (docena) 30.00 28 35.00 35

Leche (litro) 14.00 400 17.50 520

Manzana delicias (kg) 24.90 60 29.90 50

Jugo de naranja Tropicana (medio galón) 15.90 40 19.50 45

Café instantáneo Dolca (170 gms) 52.90 12 56.00 12

a. Aplicando la relación 5.12 a los datos de la tabla 5.3. Es decir, se calculan los valores de cada uno de

los productos con las cantidades consumidas en el año base (2012) con los precios del año actual

(2016). Luego, se calculan los valores de cada uno de los productos con las cantidades y precios del

año base (2012). La Tabla 5.5. muestra los resultados obtenidos en las columnas 2 y 3 respectivamente.

TABLA 5.5. TABLA PARA CALCULAR EL NUMERO INDICE DE LASPEYRES.

Artículo 𝒑𝒊,𝟏𝟔 ∙ 𝒒𝒊,𝟏𝟐 𝒑𝒊,𝟏𝟐 ∙ 𝒒𝒊,𝟏𝟐

Pan virote (pieza) 125 75

Huevo (docena) 980 840

Leche (litro) 7000 5600

Manzana delicias (kg) 1794 1494

Jugo de naranja Tropicana (medio galón) 780 636

Café instantáneo Dolca (170 gms) 672 634.8

Totales 11,351 9,279.80

Así, el número índice de precios de Laspeyres es:

𝐿20122016 =

11,351

9,279.80∙ 100 = 122.319447%.

Este resultado indica que la canasta de productos de la tabla 5.4 se incrementó un 22.32% de 2012 a 2016. Es

decir, costó en 2016, un 22.32% más comprar estos artículos que en el año 2012.

b. Similarmente se calcula el número índice de Paasche utilizando los valores de la tabla 5.4 y la relación

5.13. La tabla 5.6 muestra los resultados obtenidos.

TABLA 5.6. TABLA PARA CALCULAR EL NUMERO INDICE DE PAASCHE.

Artículo 𝒑𝒊,𝟏𝟔 ∙ 𝒒𝒊,𝟏𝟔 𝒑𝒊,𝟏𝟐 ∙ 𝒒𝒊,𝟏𝟔

Pan virote (pieza) 137.5 82.5




Jugo de naranja Tropicana (medio galón) 877.5 715.5


Totales 13,507 11,007.8

De manera que, el número índice de precios de Paasche es:


14


𝑃20122016 =

13,507.00

11,007.80∙ 100 = 122.703901%.


decir, costó un 22.7% más en 2016 comprar estos artículos que en el año 2012.

Análogamente, el número índice de precios de Edgeworth se obtiene usando la relación 5.14. Por lo tanto, el

número índice de precios de Edgeworth es:

𝐸20122016 =

24,858.00

20,287.60∙ 100 = 122.528047%.


decir, costó un 22.53% más en 2016, comprar estos artículos que en el año 2012.

TABLA 5.7. TABLA PARA CALCULAR EL NUMERO INDICE DE EDGEWORTH.

Artículo 𝒒𝒊,𝟏𝟐 + 𝒒𝒊,𝟏𝟔 𝒑𝒊,𝟏𝟔 ∙ (𝒒𝒊,𝟏𝟐 + 𝒒𝒊,𝟏𝟔) 𝒑𝒊,𝟏𝟐 ∙ (𝒒𝒊,𝟏𝟐 + 𝒒𝒊,𝟏𝟔) Pan virote (pieza) 105 262.5 157.5

Huevo (docena) 63 2205 1890

Leche (litro) 920 16100 12880

Manzana delicias (kg) 110 3289 2739

Jugo de naranja Tropicana (medio galón) 85 1657.5 1351.5

Café instantáneo Dolca (170 gms) 24 1344 1269.6

Totales 24,858.00 20,287.60

c. El número índice de precios de Fisher se deduce mediante la relación 5.15. Así que:

𝐹𝑝 = √122.319447% ∗ 122.703901% = 122.511523%.


decir, costó un 22.51% más en 2016, comprar estos artículos que en el año 2012.

d. Por último, el número índice de valor lo calculamos con la relación 5.16. Esto es,

TABLA 5.8. TABLA PARA CALCULAR EL NUMERO INDICE DE VALOR.

Artículo 𝒑𝒊,𝟏𝟔 ∙ 𝒒𝒊,𝟏𝟔 𝒑𝒊,𝟏𝟐 ∙ 𝒒𝒊,𝟏𝟐

Pan virote (pieza) 137.5 75




Jugo de naranja Tropicana (medio galón) 877.5 636


Totales 13,507 9,279.80

𝑁𝐼𝑉20122016 =

13,507.00

9279.80∙ 100 = 145.552706%.


15


El número índice de valor de la canasta de productos de la tabla 5.3 es de 145.55%. Este resultado indica que

el cambio de 2012 a 2016 en el valor nominal de la canasta antes mencionada, fue del 45.55%.

5.5. Deflación de series de tiempo.

La inflación es el aumento sostenido y generalizado de los precios de los bienes y servicios de una economía a

lo largo del tiempo. Por el contrario, la deflación es una tendencia sustancial y persistente del nivel general de

los precios a la baja, asociada generalmente con una reducción de la oferta de dinero o un deterioro en la

demanda de bienes. Deflactar una serie de tiempo, significa eliminar los efectos de la inflación en una variable

nominal que está expresada en términos económicos y transformándola en una variable real donde la inflación

sea del cero por ciento. Este proceso se realiza con el propósito de establecer comparaciones entre los periodos

de tiempo por medio de números índice que son establecidos por la economía de cada país.

Una comparación es posible cuando la valoración se realiza a precios constantes, es decir, a precios de un

periodo determinado, no es posible realizarla cuando se efectúa a precios corrientes, es decir, con precios de

cada periodo, puesto que las alteraciones de los precios de un periodo a otro asignan distinto poder adquisitivo

a las unidades monetarias; en cuanto a su poder de compra, un peso del año 2010 no es equivalente a un peso

del año 2018. Para clarificar esto último, consideremos que en el año 2017 el salario mínimo aumentó un 4.2%.

Sin embargo, lo realmente importante no es que el trabajador reciba más pesos cada mes, sino que si con esos

pesos puede comprar más o menos bienes y servicios. Si el promedio de los productos que compra sube un

4.2%, es evidente que el salario del trabajador no ha experimentado un incremento real, sólo ha tenido un

incremento monetario.

El procedimiento que permite transformar una serie expresada en valores corrientes a valores constantes se

conoce como deflactación de la serie y al número índice elegido para dicha transformación se le llama deflactor.

El deflactor no siempre es el mismo, en cada caso habrá que seleccionar el óptimo para alcanzar el objetivo

deseado. Algunos deflactores son: el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), el Índice Nacional de

precios Productor y el Índice Deflactor del PIB.

Ejemplo 5.4. Los salarios mínimos diarios de 2010 a 2017 en México se muestran en la tabla 5.9.

TABLA 5.9. NUMERO INDICE SIMPLE DE EVOLUCION DEL SALARIO MINIMO MEXICANO.

Año 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Salario en pesos 57.46 59.82 62.33 64.76 67.29 70.10 73.04 80.04

Índice evolución 100 104.107 108.472 112.704 117.108 122.00 127.115 139.30

Considerando un número índice simple de evolución del salario mínimo del trabajador, y tomando como base

el año 2010. El número índice de 2010 es de 139.30%. Esto significa que el salario mínimo diario del trabajador

mexicano, se ha incrementado durante este periodo de tiempo, un 39.30%. Ahora bien, para saber si realmente

han aumentado en término de lo que se puede adquirir con él, la forma más elemental es compáralos con los

incrementos de INPC el cual proporciona un indicador general de las variaciones de los precios de los bienes

y servicios que adquieren las familias mexicanas.


16


TABLA 5.10. NUMEROS INDICE SIMPLES DE EVOLUCION DEL SALARIO MINIMO MONETARIO

Y EL SALARIO MINIMO REAL MEXICANOS.

Año Salario*

mínimo diario

en pesos.

Número índice simple de

evolución del salario

mínimo mexicano.

INPC base

2010

(deflactor)*

Salario mínimo diario

real (deflactado) =

Salario real/ INPC

Número índice

de evolución del

salario real.

2010 57.46 100% 99.74209% 57.61% 100.258577%

2011 59.82 104.107205 103.551 57.77 100.537131

2012 62.33 108.475461 107.246 58.12 101.146394

2013 64.76 112.70449 111.508 58.08 101.073008

2014 67.29 117.107553 116.059 57.98 100.903466

2015 70.1 121.997912 118.532 59.14 102.92403

2016 73.04 127.114514 122.515 59.62 103.754246

2017 80.04 139.296902 128.64075 62.22 108.283652

Fuente: http://www.mexicomaxico.org/Voto/SalMinInf.htm

Como se puede comprobar en la tabla 5.10, el salario mínimo real (salario deflactado) se obtiene dividiendo el

salario mínimo diario de cada año o el salario monetario entre el INPC de cada año. La deflactación es el

proceso que ha permitido transformar los salarios mínimos diarios (en pesos), a salarios mínimos diarios reales,

eliminando el efecto de la inflación. El número índice elegido como deflactor ha sido el INPC. La serie

deflactada recibe el nombre de serie a precios constantes. En la última columna de la tabla 5.10, podemos ver

que la evolución real del salario mínimo diario de un trabajador mexicano en este periodo de tiempo, ha sido

de un incremento real del 8.28%.

Los números índice de precios más usados para deflactar series de tiempo son los de Laspeyres y de Paasche.

En un caso general, en donde la serie estadística sea el resultado de un valor obtenido de multiplicar precios

por cantidades consumidas, se tiene la tabla 5.11.

TABLA 5.11. VALORES REAL Y NOMINAL DE LA SERIE.

Laspeyres Paasche

Periodo Valor nominal

(pesos corrientes)

Valor real

(pesos corrientes del periodo 0)

0 𝑉0 = ∑ 𝑝𝑖0 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖0 𝑉0𝑅 = ∑ 𝑝𝑖0 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖0

1 𝑉1 = ∑ 𝑝𝑖1 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖1 𝑉1𝑅 = ∑ 𝑝𝑖0 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖1

2 𝑉2 = ∑ 𝑝𝑖2 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖2 𝑉2𝑅 = ∑ 𝑝𝑖0 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖2

⋮ ⋮ ⋮

t 𝑉𝑡 = ∑ 𝑝𝑖𝑡 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖𝑡 𝑉𝑡𝑅 = ∑ 𝑝𝑖0 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖𝑡

⋮ ⋮ ⋮

n 𝑉𝑛 = ∑ 𝑝𝑖𝑛 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖𝑛 𝑉𝑛𝑅 = ∑ 𝑝𝑖0 ∙

𝑛

𝑖=1

𝑞𝑖𝑛

Si usamos el número índice de precios de Laspeyres como deflactor, debemos dividir cada precio entre un

número índice de Laspeyres adecuado, en base a un periodo de referencia, ver sección 5.4.2, caso 1. A pesar

de que este deflactor no se pasa de los valores monetarios corrientes a los valores monetarios constantes, en

http://www.mexicomaxico.org/Voto/SalMinInf.htm


17


muchas de las ocasiones se usa como deflactor por ser el que se elabora más comúnmente. Por lo tanto, para

deflactar una serie de precios usando como deflactor un número índice de Laspeyres, se efectúan las divisiones

siguientes:

𝑉0

𝐿𝑝,

𝑉1

𝐿𝑝, ⋯ ,

𝑉𝑡

𝐿𝑝, ⋯ ,

𝑉𝑛

𝐿𝑝 (5.17)

de acuerdo con la tabla 5.11 y la fórmula 5.12.

Similarmente, si usamos el número índice de precios de Paasche como deflactor, debemos dividir cada precio

entre un número índice de Paasche adecuado, en base a un periodo de referencia ver sección 5.4.2 caso 2. Con

esto se obtiene una relación entre valores monetarios corrientes y valores monetarios constantes. En

consecuencia, el número índice de Paasche será el deflactor más adecuado siempre y cuando los valores que

aparecen en la serie estadística se puedan descomponer en sumas de precios por cantidades consumidas. Así

que, para deflactar una serie de precios usando como deflactor un número índice de Paasche, se efectúan las

divisiones siguientes:

𝑉0𝑅

𝑃𝑝,

𝑉1𝑅

𝑃𝑝, ⋯ ,

𝑉𝑡𝑅

𝑃𝑝, ⋯ ,

𝑉𝑛𝑅

𝑃𝑝 (5.18)

de acuerdo con la tabla 5.11 y la fórmula 5.13.

Ejemplo 5.5. Refiriéndose al problema 5.3, se tiene que los números índice de precios de Laspeyres y de

Paasche son respectivamente, 𝐿𝑃 = 122.319447% y 𝑃𝑃 = 122.703901%.

1) Por otro lado, considerando como año base 2012 y de acuerdo a la tabla 5.11,

𝑉0 = (1.50)(50) + (30)(28) + (14)(400) + (24.90)(60) + (15.9)(40) + (52.90)(12) = $9,279.8

𝑉1 = (2.50)(55) + (35)(35) + (17.5)(520) + (29.90)(50) + (19.50)(45) + (56)(12) = $13,507

Así que, los valores deflactados de Laspeyres de 2012 y 2016 son respectivamente:

𝑉0

𝐿𝑝=

9,279.8

1.2232= $7,586.49 y

𝑉0

𝐿𝑝=

13,507

1.2232= $11,042.35

2) Similarmente, considerando como año base 2012 y de acuerdo a la tabla 5.11,

𝑉0𝑅 = (1.50)(50) + (30)(28) + (14)(400) + (24.90)(60) + (15.9)(40) + (52.90)(12) = $9,279.8

𝑉1𝑅 = (2.50)(55) + (35)(35) + (17.5)(520) + (29.90)(50) + (19.50)(45) + (56)(12) = $13,507

Por lo tanto, los valores deflactados de Paasche de 2012 y 2016 son respectivamente:

𝑉0𝑅

𝑃𝑝=

9,279.8

1.2270= $7,563 y

𝑉0𝑅

𝑃𝑝=

13,507

1.2270= $11,008.15


18


5.6. Ejercicios. 1. En el año 2013 la producción de una determinada fábrica aumentó un 27% respecto a la de 2012. En 2014

la producción bajó un 18% con respecto a la de 2013, pero superó en un 23% a la de 2015. Calcule los números

índices simples de la producción de esta fábrica para el periodo 2013-2015:

a) tomando como base el año 2013.

b) tomando como base el año 2015.

2. En México el INPC* ha tenido la siguiente evolución en los últimos años:

Año 2012 2013 2014 2015 2016 2017

INPC (base 2002) 107.560 107.678 112.505 115.954 122.515 130.067

*Fuente: http://elinpc.com.mx/tablas-inpc/

a) ¿En qué año se produjo un mayor aumento en los precios?

b) ¿Cuál fue el aumento de los precios en el año 2016?

3. El Índice General de la Bolsa de Valores tomó, en las fechas que se detallan, los siguientes valores

Fecha 01/I/2014 01/I/2015 01/I/2016 01/I/2017 03/VII/2017

Número índice al cierre* 100 100.173 106.730 114.995 121.961

Fuente: https://mx.investing.com/indices/ipc-historical-data

a) Interpreta estas cifras en términos de la variación porcentual producida en el nivel general de las

cotizaciones.

b) Obtén la cifra que debe tomar el índice general el 1/1/2018 para que represente en el año 2017 igual variación

porcentual del nivel general que la producida en el año 2014.

c) Si en el 1/1/2015 se hubiese producido un cambio de base (el Índice en esa fecha igual a 100), ¿qué cifra

correspondería al Índice en la fecha de 03/VII/2017?

4. Una empresa de electrodomésticos dispone de dos secciones A y B. A lo largo de los últimos 5 años la

cantidad producida, en miles de unidades, y los precios unitarios, en miles de pesos, se muestran en la tabla

siguiente:

SECCIÓN A SECCIÓN B

Año Precios Cantidades Precios Cantidades

2013 5.4 10 6.7 11

2014 6.3 10 7.4 12

2015 7.8 15 8.9 12

2016 6.9 14 10.4 15

2017 7.5 20 12.6 10

Calcula:

a) Los índices de precios de Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher, tomando como base el año 2013

b) Los Índices de cantidades de Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher tomando como base el año

2013.

c) Los Índices de valor de Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher tomando como base el año 2013.

5. El índice de precios aumentó un 3% entre 2015 y 2016 y un 4.5% entre 2014 y 2015.

a) Obtén la serie de índices con base 2014.

b) El valor de un determinado producto en el año 2015 era de 120 pesos. Sabiendo que el valor de dicho

producto ha aumentado un 17% en términos corrientes entre 2015 y 2016, obtén i) el valor en términos

http://elinpc.com.mx/tablas-inpc/

https://mx.investing.com/indices/ipc-historical-data


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corrientes y constantes para el 2016. ii) el porcentaje de incremento o disminución del valor de este producto

en términos reales.

6. Una empresa de exportación de frutas muestra los siguientes datos en cuanto al salario pagado en pesos y

número de trabajadores eventuales.

Año 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Salario 75 80 95 105 120 130

No. de trabajadores 25 30 43 35 42 50

INPC 101.8 102.7 103.5 104.3 107.3 109.75

a) Obtén los índices simples anuales y las tasas de variación anuales para los salarios en todo el periodo.

Comenta los resultados que calculaste.

b) Calcula la tasa media de variación anual de los salarios y del número de trabajadores en todo el periodo.

Comenta los resultados encontrados.

c) Deflacta la serie de salarios a pesos del 2017 y obtén la tasa media de variación anual. Comenta el

resultado y compáralo con el resultado (para los salarios) que obtuviste en el inciso b).

7. Una empresa fabrica tres productos, A, B y C, cuyos precios y unidades producidas en el periodo 2014-

2016 se muestran en la tabla siguiente:

2014 2015 2016

Producto Precio No. de Unidades Precio No. de Unidades Precio No. de Unidades

A 230 1,500 250 1,600 300 1,400

B 610 1,900 720 2,020 850 2,150

C 415 1,700 470 1,510 520 1,750

INPC 112.505 115.954 122.515

Deflacta la serie de precios a pesos de 2016 y obtén la tasa media de variación anual. Comenta el resultado.

8. La empresa “Seguros del Noroeste, S.A.” se dedica a la realización de seguros de diversas clases en el estado.

Dada la alta competencia del sector, ofrece precios (primas de seguros) más bajos que otras compañías. Sin

embargo, éstos junto con la cuantía del riesgo cubierto (o coste de un siniestro), son únicos por cada tipo de

seguro. Los datos de los que se dispone se refieren al año 2016 y se muestran en la tabla siguiente:

Tipo de seguro Prima anual

(pesos)

Número de

asegurados

Costo de un

Siniestro (pesos)

Número

de siniestros

Obligatorio automotriz 7,500 750 8,000 86

Hogar 3,500 375 3,000 24

Responsabilidad civil limitada 1,100 100 1,750 2

Defensa jurídica 300 240 500 10

Vida 450 500 660 1

Mercancías 1,000 35 1,550 0

Accidentes 860 430 1,400 18

Viajero 100 90 300 0

Asistencia a la salud 2,200 280 370 180

Año 2012 2013 2014 2015 2016 2017 (estimado)

INPC (base 2002) 107.560 107.678 112.505 115.954 122.515 130.067

a) Obtén la serie del IPC en base 2015 para el periodo 2012-2017.

b) Calcula la prima de seguro que tendría que pagarse en 2017 en los seguros de “Defensa jurídica” y

“Asistencia a la salud” si se hubiera aplicado para su cálculo la variación del IPC.


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c) Calcula la serie en pesos constantes del año 2002 para la prima del seguro de hogar teniendo en cuenta la

tabla de abajo.

Año 2012 2013 2014 2015 2016

Prima del seguro de hogar (pesos corrientes) 1,800 1,850 1,970 2,100 2,400

d) Estima la tasa media de variación anual para el periodo 2012-2016 en ambas series. Comenta los resultados.

Profesor: Dr. Francisco Javier Tapia Moreno.


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