movimiento en un plano

Movimiento en un Movimiento en un PlanoPlanoAutoresAutores

Ignacio Cruz EncinasIgnacio Cruz EncinasMario Enrique Álvarez RamosMario Enrique Álvarez Ramos

Roberto Pedro Duarte ZamoranoRoberto Pedro Duarte ZamoranoEzequiel Rodríguez JáureguiEzequiel Rodríguez JáureguiRogelio Gámez CorralesRogelio Gámez Corrales

UNIVERSIDAD DE SONORAUNIVERSIDAD DE SONORADepartamento de FísicaDepartamento de Física

DESPLAZAMIENTO EN EL PLANODESPLAZAMIENTO EN EL PLANO Sea Sea rr11 el vector de posición inicial que ubica a la partícula el vector de posición inicial que ubica a la partícula

en el plano cartesiano, cuando éste está en el punto de en el plano cartesiano, cuando éste está en el punto de coordenadas coordenadas ( x( x11 , y , y11 ) ) en el instante de tiempo en el instante de tiempo tt11..

SeaSea rr22 el vector de posición final que ubica a la partícula el vector de posición final que ubica a la partícula en el plano cartesiano cuando está en el punto de en el plano cartesiano cuando está en el punto de coordenadas coordenadas ( x( x22 , y , y2 2 )) en el instante de tiempo en el instante de tiempo tt22..

Se define el vector Se define el vector AA o o cambio de posicióncambio de posición como aquél como aquél que va desde la posición inicial de coordenadas que va desde la posición inicial de coordenadas ( x( x11 , y , y11 ) ) hasta la posición final de coordenadas hasta la posición final de coordenadas ( x( x22 , y , y22 ) ). . Veámoslos gráficamente:Veámoslos gráficamente:

DESPLAZAMIENTO EN EL PLANODESPLAZAMIENTO EN EL PLANO

y +

x +

r 1

r 2

y = y2 – y1

x = x2 – x1

(x1 , y1) en t1

(x2 , y2) en t2

A

x2x1

y1

y2

Trayectoria del cuerpo

Donde:Donde:x = x = x2 – – x1 es la componente del vector es la componente del vector AA en el eje en el eje x

y =y = y2 – – y1 es la componente del vector es la componente del vector AA en el eje en el eje y

A = A = ||AA|= √ (|= √ (x)x)22 + ( + (y)y)2 2 == √(x√(x2 - x- x1))22 + (y + (y2 - y - y1))2 2

es la magnitud del vector es la magnitud del vector AA, la cual representa la distancia la cual representa la distancia entre la posición inicial y la final, entre la posición inicial y la final, más no la distancia más no la distancia recorrida por el cuerporecorrida por el cuerpo, puesto que la trayectoria que siguió , puesto que la trayectoria que siguió la partícula es diferente.la partícula es diferente.

Analizando a los vectores que tenemos en la figura, Analizando a los vectores que tenemos en la figura, observamos que el vectorobservamos que el vector rr22 es la resultante de sumar los es la resultante de sumar los vectores vectores rr11 y y AA; esto es:; esto es:

rr1 + + AA = = rr2

Despejando al vector Despejando al vector A A (siguiendo las reglas del álgebra) (siguiendo las reglas del álgebra) tenemos que:tenemos que:

AA = = rr22 - - rr11

definiendo a definiendo a AA comocomo rr , , tenemos que:tenemos que:

rr = = rr22 - - rr11 lo cual en expresiones verbales representa:lo cual en expresiones verbales representa:

Cambio de posición o Cambio de posición o Desplazamiento = Posición Desplazamiento = Posición final - Posición inicialfinal - Posición inicial

Características del vector desplazamientoCaracterísticas del vector desplazamientoComo el Como el desplazamientodesplazamiento es un es un vectorvector,, tiene:tiene: Magnitud,,

unidadunidad, , metros metros

direccióndirección

Sentido.- Sentido.- De acuerdo a los puntos cardinales. Por lo general se hace De acuerdo a los puntos cardinales. Por lo general se hace referencia primero al punto hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales referencia primero al punto hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales cuando los graficamos en un papel) y se continúa diciendo a partir de donde cuando los graficamos en un papel) y se continúa diciendo a partir de donde lo medimos (ejes horizontales).lo medimos (ejes horizontales). Por ejemplo:Por ejemplo:Al Sur del Este (al S del E)Al Sur del Este (al S del E)Al Norte del Oeste (al N del O) Al Norte del Oeste (al N del O)

212

212

22 )()()()( yyxxyxA A

xy

1tan

VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANOVELOCIDAD MEDIA EN EL PLANO Ya queYa que tenemos la definición de desplazamiento o cambio de posición, tenemos la definición de desplazamiento o cambio de posición, procedamos a calcular que tan rápido se realizaron tales cambios. procedamos a calcular que tan rápido se realizaron tales cambios.

Como una primera aproximación, una forma de calcularlos es mediante el Como una primera aproximación, una forma de calcularlos es mediante el cociente de: cociente de:

rr ∕ ∕ tt

cuyas unidades son m/scuyas unidades son m/s

Este concepto así definido recibe el nombre de Este concepto así definido recibe el nombre de velocidad media. velocidad media. Para ver Para ver que tipo de cantidad física es (escalar o vectorial) analicemos el cociente:que tipo de cantidad física es (escalar o vectorial) analicemos el cociente:

rr es una cantidad vectoriales una cantidad vectorial

t t es una cantidad escalar es una cantidad escalar

Y el cociente se puede expresar como:Y el cociente se puede expresar como:

∕ ∕ t ) ( t ) ( r r ))

Velocidad media …Velocidad media …

lo que representa la multiplicación de un escalar (1/lo que representa la multiplicación de un escalar (1/tt) por un ) por un vector (vector (rr), obteniendo un nuevo vector que es k veces mayor, ), obteniendo un nuevo vector que es k veces mayor, menor o igual.menor o igual.

La magnitud viene dada por:La magnitud viene dada por:

donde el subíndice donde el subíndice m m indica media. indica media.

Tal magnitud representa la Tal magnitud representa la rapidezrapidez del vector velocidad media. del vector velocidad media.

El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector que le da origenel vector que le da origen, esto es, , esto es, r r

VVmm = =||vvmm| =| =rt

rt=1 = r

t1


Con respecto a la Con respecto a la velocidad mediavelocidad media en el plano, existen dos en el plano, existen dos casos importantes de analizar:casos importantes de analizar:

Uno de ellos es cuando la trayectoria coincide con la Uno de ellos es cuando la trayectoria coincide con la dirección del desplazamiento.dirección del desplazamiento.

El otro que es el más general, cuando la trayectoria es El otro que es el más general, cuando la trayectoria es cualquier otra trayectoria diferente a la del caso anterior. cualquier otra trayectoria diferente a la del caso anterior.

El primer caso no presenta mayor problema. Se trata de unEl primer caso no presenta mayor problema. Se trata de un Movimiento rectilíneo uniformeMovimiento rectilíneo uniforme (la magnitud de la velocidad (la magnitud de la velocidad

media es constante, siempre en la misma dirección y sentido) o media es constante, siempre en la misma dirección y sentido) o Rectilíneo uniformemente aceleradoRectilíneo uniformemente acelerado (la magnitud de la velocidad (la magnitud de la velocidad

media es variable pero siempre con la misma dirección y sentido).media es variable pero siempre con la misma dirección y sentido).

En ambos casos, aunque la partícula se encuentre en un En ambos casos, aunque la partícula se encuentre en un plano, se está moviendo a lo largo de uno de los ejes (línea plano, se está moviendo a lo largo de uno de los ejes (línea recta), siendo el tema que se abordó en el movimiento recta), siendo el tema que se abordó en el movimiento unidimensional aunque no en forma vectorial.unidimensional aunque no en forma vectorial.


El que se analiza ahora es el otro caso: El que se analiza ahora es el otro caso: Cuando la partícula siga una trayectoria diferente a la del vector Cuando la partícula siga una trayectoria diferente a la del vector

desplazamiento. desplazamiento.

Dicho análisis se puede subdividir en dos partes:Dicho análisis se puede subdividir en dos partes: Analizar el problema en su forma más sencillaAnalizar el problema en su forma más sencilla Posteriormente aumentar el grado de complejidad.Posteriormente aumentar el grado de complejidad.

Sencillo:Sencillo: Cuando la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero Cuando la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero magnitudmagnitud del del

vector velocidadvector velocidad media media constanteconstante ( (misma rapidezmisma rapidez). ).

Complejo:Complejo: Aquél donde la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero la Aquél donde la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero la magnitudmagnitud

del del vector velocidadvector velocidad media es media es variablevariable (la (la rapidez cambiarapidez cambia de instante a de instante a instante).instante).


Analizaremos el primer caso a partir de la siguiente Analizaremos el primer caso a partir de la siguiente ilustración. Para ello tomamos tres posiciones diferentes que ilustración. Para ello tomamos tres posiciones diferentes que estén sobre la trayectoria de la partícula.estén sobre la trayectoria de la partícula.

1

2

3

x+

y+

r 12

r 13 trayectoria

r 1

r 2 r 3

Velocidad media …Velocidad media … La magnitud del vector La magnitud del vector vv1212 es:es:

vv1212 = |= | vv1212 || = (1 = (1 ∕∕ t t 1212) ) | | rr1212 | | Con misma dirección y sentido que Con misma dirección y sentido que rr1212

La magnitud del vector La magnitud del vector vv1313 es: es:vv1313 = |= | vv1313 || = (1 = (1 ∕∕ t t 1313) ) | | rr1313 | |

Con misma dirección y sentido que Con misma dirección y sentido que rr1313

Suponiendo que la rapidez es constante, es decir:Suponiendo que la rapidez es constante, es decir:|| vv1212 || == || vv1313 || == constanteconstante

a pesar de ello, a pesar de ello, los vectores velocidad media son los vectores velocidad media son diferentesdiferentes debido a que debido a que no tienen la misma direcciónno tienen la misma dirección (para (para que dos o mas vectores sean iguales, deben tener la misma que dos o mas vectores sean iguales, deben tener la misma magnitud, unidad, dirección y sentido, si una de esas magnitud, unidad, dirección y sentido, si una de esas condiciones cambia, entonces son diferentes).condiciones cambia, entonces son diferentes).


Luego entonces, nos vemos obligados a decir que Luego entonces, nos vemos obligados a decir que el vector el vector velocidad media está cambiando de instante a instantevelocidad media está cambiando de instante a instante y el y el concepto de velocidad media es insuficiente para describir concepto de velocidad media es insuficiente para describir el movimiento de la partícula en un plano cuando su el movimiento de la partícula en un plano cuando su trayectoria es curvilínea. trayectoria es curvilínea.

Para suplir esta deficiencia de información, se genera el Para suplir esta deficiencia de información, se genera el concepto de velocidad instantánea en el plano.concepto de velocidad instantánea en el plano.

Velocidad instantáneaVelocidad instantánea

Analicemos nuevamente la figura con mayor detalle y Analicemos nuevamente la figura con mayor detalle y siguiendo el siguiente procedimiento:siguiendo el siguiente procedimiento:

Elegir un punto de coordenadas (xElegir un punto de coordenadas (x00 , y , y00 ) que esté sobre ) que esté sobre la trayectoria de la partícula, en el instante de tiempo tla trayectoria de la partícula, en el instante de tiempo t00..

Elegir otro punto de coordenadas (x , y ) que también Elegir otro punto de coordenadas (x , y ) que también esté sobre la trayectoria pero en un instante de tiempo esté sobre la trayectoria pero en un instante de tiempo ( t( t1010 ), posterior a t ), posterior a t00 , es decir t , es decir t1010 > t > t00

Calcular la velocidad media entre esos dos puntos para Calcular la velocidad media entre esos dos puntos para ver su dirección y sentido ver su dirección y sentido

Velocidad instantánea …Velocidad instantánea …

velocidad media entre t velocidad media entre t 00 y t y t1010

vv1010 = |= | vv1010 || = (1 = (1 ∕∕ t t10 10 - t - t 00) ) | | rr1→10 1→10 ||misma dirección que misma dirección que

rr1→10 1→10

trayectoria(x0 , y0)(x10 , y10)

x+

y+

r 1

r 10

r 1→ 10


velocidad media entre t velocidad media entre t 00 y t y t 99

vv99 = |= | vv99 || = (1 = (1 ∕∕ t t 9 9 - t - t 00) ) | | r r 1→ 9 1→ 9 ||misma dirección que misma dirección que

rr1→ 9 1→ 9

(x0 , y0)

(x9 , y9)

x+

y+

trayectoria

r 1

r 9

r 1→ 9




rr1→ 8 1→ 8

(x0 , y0)

(x8 , y8)

x+

y+

trayectoria

r 1

r 8

r 1→ 8




rr1→ 7 1→ 7

(x0 , y0)

(x7 , y7)

x+

y+

trayectoria

r 1

r 7

r 1→

7


Analizando lo anterior, podemos decir que:Analizando lo anterior, podemos decir que: Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la

partícula.partícula. Encontramos vectores velocidades medias Encontramos vectores velocidades medias

diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud).diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud).

vv10 10 ≠ ≠ vv9 9 ≠ ≠ vv9 9 ≠ ≠ vv7 7

El intervalo de tiempo es cada vez menor El intervalo de tiempo es cada vez menor

(t (t 7 7 - t - t 0 0 ) <) < (t (t 8 8 - t - t 0 0 ) <) < (t (t 9 9 - t - t 0 0 ) <) < (t (t 10 10 - t - t 0 0 ) )

Nos estamos acercando al punto de coordenadas ( Nos estamos acercando al punto de coordenadas ( x x 00 , y , y 00 ) en el instante de tiempo t ) en el instante de tiempo t 00..


Seguimos desarrollando el mismo procedimiento de Seguimos desarrollando el mismo procedimiento de acercarnos mas al instante de tiempo t acercarnos mas al instante de tiempo t 00 eligiendo eligiendo otro instante de tiempo menor ( t otro instante de tiempo menor ( t 66 ). ).

Elegir el mismo punto de coordenadas (x Elegir el mismo punto de coordenadas (x 00 , y , y 00 ) en ) en t t 00 y otro punto que también esté sobre la y otro punto que también esté sobre la trayectoria pero en un instante de tiempo t trayectoria pero en un instante de tiempo t 66 anterior a t anterior a t 77..

Calcular la velocidad media entre este nuevo par Calcular la velocidad media entre este nuevo par de posiciones para ver su dirección y sentido.de posiciones para ver su dirección y sentido.

Comparar las velocidades medias obtenidas, así Comparar las velocidades medias obtenidas, así como los respectivos intervalos de tiempo. como los respectivos intervalos de tiempo.


velocidad media entre t velocidad media entre t 00 y t y t66

vv66 = |= | vv66 || = (1 = (1 ∕∕ t t6 6 - t - t 00) ) | | rr1→6 1→6 ||misma dirección que misma dirección que

rr1→6 1→6

(x0 , y0)

(x6 , y6)

x+

y+

trayectoria

r 1 r 6

r 1→6


Para abreviar, se sigue repitiendo el mismo procedimiento una Para abreviar, se sigue repitiendo el mismo procedimiento una infinidad de veces, de tal manera que las parejas de puntos (xinfinidad de veces, de tal manera que las parejas de puntos (x00 ,y ,y00) y ) y (x , y ) estén tan cerca uno del otro que prácticamente estaremos (x , y ) estén tan cerca uno del otro que prácticamente estaremos trabajando con la sección recta de una curva. trabajando con la sección recta de una curva.

En dichos puntos, los vectores velocidades medias variarán muy En dichos puntos, los vectores velocidades medias variarán muy poco en magnitud, dirección y en sentido, siendo el intervalo de poco en magnitud, dirección y en sentido, siendo el intervalo de tiempo tan pequeño como nosotros queramos (próximo a cero).tiempo tan pequeño como nosotros queramos (próximo a cero).

Cuando ocurre esto, Cuando ocurre esto, la dirección del vector velocidad media es la dirección del vector velocidad media es tangente a la trayectoriatangente a la trayectoria y y el intervalo de tiempo se dice que tiende el intervalo de tiempo se dice que tiende a ceroa cero (pero sin hacerse cero) y prácticamente estamos trabajando (pero sin hacerse cero) y prácticamente estamos trabajando alrededor del instante de tiempo t alrededor del instante de tiempo t 00 por lo que por lo que la velocidad media la velocidad media recibe el nombre de velocidad instantánea.recibe el nombre de velocidad instantánea.

Veámoslo en una última gráfica:Veámoslo en una última gráfica:


Velocidad instantáneaVelocidad instantánea = =

El significado de El significado de la derivada es la tangente a la curvala derivada es la tangente a la curva en un en un puntopunto y consecuentemente en un instante de tiempo. y consecuentemente en un instante de tiempo.

(x0 , y0) (x , y)

x+

y+

trayec

toria

r 0 r

rTangente a la curva en el punto (x0 , y0) en t0

Prolongación de r

tdd

ttt ttm

t

rr-rlim

rlimvlimv

0

0

000


Con dicho concepto, podemos conocer la dirección y el Con dicho concepto, podemos conocer la dirección y el sentido del vector velocidad en cualquier instante de sentido del vector velocidad en cualquier instante de tiempo, lo único que tenemos que hacer es trazar la tiempo, lo único que tenemos que hacer es trazar la tangente a un punto sobre la trayectoria de la partícula. Con tangente a un punto sobre la trayectoria de la partícula. Con esto, esto, la velocidad instantánea siempre será tangente a la la velocidad instantánea siempre será tangente a la trayectoriatrayectoria..

Veámoslo gráficamente utilizando la misma gráfica con la Veámoslo gráficamente utilizando la misma gráfica con la que desarrollamos el concepto de velocidad instantánea y que desarrollamos el concepto de velocidad instantánea y supondremos que supondremos que la rapidezla rapidez con la que se mueve la con la que se mueve la partícula partícula es constantees constante (la flecha que representa a la (la flecha que representa a la velocidad instantánea tendrá siempre la misma longitud).velocidad instantánea tendrá siempre la misma longitud).


x+

y+

trayec

toria

v4

v6

v5

v8

v7

v3

v2

v1 v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ v4 ≠ v5 ≠ v6 ≠ v7

v1 = v8

v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7 = v8

Vectores

Magnitudes

Aceleración mediaAceleración media

En la gráfica anterior, En la gráfica anterior, el el vector velocidadvector velocidad cambia de dirección cambia de dirección (aunque (aunque su magnitud sea la mismasu magnitud sea la misma). Como los vectores no son iguales implica ). Como los vectores no son iguales implica que existe un cambio en el vector velocidad. que existe un cambio en el vector velocidad.

Dicho cambio viene dado por:Dicho cambio viene dado por:

v = vf – vi

que viene siendo un nuevo vector que surge de la diferencia de dos que viene siendo un nuevo vector que surge de la diferencia de dos vectores. Como se vio anteriormente, también se puede expresar como:vectores. Como se vio anteriormente, también se puede expresar como:

v = vf +(– vi)

es decir, como la suma del vector velocidad final mas el negativo del es decir, como la suma del vector velocidad final mas el negativo del vector velocidad inicial.vector velocidad inicial.

Veámoslo gráficamenteVeámoslo gráficamente

Aceleración media …Aceleración media …

x+

y+v4

v6

v5

v8

v7

v3

v2

-v1

v12

-v2

-v3 -v4

-v5

-v6

-v7

v56

v78

v = v f +( – v i )v1

Aceleración media …Aceleración media …

Todos los cambios de velocidad son diferentes.Todos los cambios de velocidad son diferentes. Cada cambio del vector velocidad tiene su propiaCada cambio del vector velocidad tiene su propia

Magnitud, Magnitud, Dirección y Dirección y Sentido. Sentido.

Por tal motivo nos preguntamos Por tal motivo nos preguntamos ¿Que tan rápido está cambiando de velocidad el cuerpo? ¿Que tan rápido está cambiando de velocidad el cuerpo? Una forma de calcular dichos cambios son por medio del Una forma de calcular dichos cambios son por medio del cociente:cociente:

vv ∕ ∕ t = ( t = ( v v ff – – vv i i ) / ( t ) / ( t ff – t – t i i ))

que recibe el nombre de aceleración media. que recibe el nombre de aceleración media.

Aceleración media Aceleración media ≡≡ ā ā = = vv ∕ ∕ t t

Cuyas unidades son Cuyas unidades son m m ∕ s∕ s22

Aceleración instantáneaAceleración instantánea

Para calcular la aceleración instantánea, se recurre al mismo Para calcular la aceleración instantánea, se recurre al mismo procedimiento que se siguió para calcular la velocidad procedimiento que se siguió para calcular la velocidad instantánea.instantánea.

Aceleración instantánea Aceleración instantánea ≡ a≡ a

Existen dos casos especiales cuando la aceleración media es Existen dos casos especiales cuando la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, es decir, el vector igual a la aceleración instantánea, es decir, el vector aceleración tiene la misma magnitud, unidad, dirección y aceleración tiene la misma magnitud, unidad, dirección y sentido.sentido.

Tales casos son: Tales casos son: Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y Movimiento circular uniforme.Movimiento circular uniforme.

2

2

0

0

000

r)()r(vv-v

limv

limalimatd

dtdd

ddtd

dttt ttt

Movimiento de ProyectilesMovimiento de Proyectiles El movimiento de proyectiles o tiro parabólico se refiere a aquellos El movimiento de proyectiles o tiro parabólico se refiere a aquellos

cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre describen cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre describen una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones:una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones: Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento no presente resistencia al no presente resistencia al

objeto lanzadoobjeto lanzado, ya que con resistencia del aire la trayectoria tomaría , ya que con resistencia del aire la trayectoria tomaría otras formas.otras formas.

y +

x +Sin resistencia del aire

y +

x +Con resistencia del aire

Movimiento de ProyectilesMovimiento de Proyectiles

Que el lanzamiento Que el lanzamiento no sea muy elevadono sea muy elevado, de tal manera que la , de tal manera que la aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la aceleración es la aceleración de la gravedad, y aceleración es la aceleración de la gravedad, y g varía con la g varía con la alturaaltura..

Que el lanzamiento Que el lanzamiento no sea de muy largo alcanceno sea de muy largo alcance, de tal , de tal manera que la superficie de la tierra pueda considerarse manera que la superficie de la tierra pueda considerarse plana. Por ejemplo, en lanzamientos transcontinentales la plana. Por ejemplo, en lanzamientos transcontinentales la trayectoria toma trayectoria toma formas de elipsesformas de elipses..

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Shuttle.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Shuttle.svg


Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos (entre otros muchos) de cuerpos que describen una trayectoria (entre otros muchos) de cuerpos que describen una trayectoria parabólica:parabólica:

Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat. Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y

que cae al suelo.que cae al suelo. La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de

elevación.elevación. El primer ejemplo es de los considerados El primer ejemplo es de los considerados casos generalescasos generales ya que ya que

la pelota es la pelota es golpeada desde una cierta alturagolpeada desde una cierta altura, saliendo , saliendo con un con un ánguloángulo de elevación de elevación diferente de cerodiferente de cero y y cae en tierracae en tierra..

El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como tiro horizontaltiro horizontal, donde , donde el objeto sale con un ángulo de cero gradosel objeto sale con un ángulo de cero grados con respecto a la horizontal.con respecto a la horizontal.

El tercer ejemplo también es considerado un caso especial El tercer ejemplo también es considerado un caso especial ((Blancos y AlcancesBlancos y Alcances) y es cuando un objeto ) y es cuando un objeto sale de un nivelsale de un nivel ( por ( por ej. suelo) y ej. suelo) y llega a ese mismo nivelllega a ese mismo nivel (suelo). (suelo).


Para entrar en materia, diremos que Para entrar en materia, diremos que el movimiento de proyectiles el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un movimiento resultante o compuesto de dos o tiro parabólico es un movimiento resultante o compuesto de dos movimientos:movimientos: Uno horizontal y uniforme Uno horizontal y uniforme y el otro y el otro Vertical y uniformemente aceleradoVertical y uniformemente acelerado, ,

ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce el movimiento resultante.el movimiento resultante.

Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes entre sí.entre sí.

La presencia de uno (el horizontal) no influye o altera al otro (al La presencia de uno (el horizontal) no influye o altera al otro (al vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal. vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal.

Para demostrar lo anterior, realicemos el siguiente experimento:Para demostrar lo anterior, realicemos el siguiente experimento:


Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa alta y alta y sin rozamientosin rozamiento (no hay resistencia al objeto lanzado), si (no hay resistencia al objeto lanzado), si consideramos que dicha mesa es infinitamente larga, entonces consideramos que dicha mesa es infinitamente larga, entonces la pelota se movería en movimiento rectilíneo uniforme, es la pelota se movería en movimiento rectilíneo uniforme, es decir, siempre tendrá la misma velocidad recorriendo decir, siempre tendrá la misma velocidad recorriendo distancias iguales en iguales intervalos sucesivos de tiempo. distancias iguales en iguales intervalos sucesivos de tiempo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:

x t

x x x x t t t t

Movimiento horizontal: si la mesa es infinita y no presenta resistencia al objeto lanzado, éste se seguirá moviendo con la misma velocidad inicial con la que fue lanzado. La velocidad en el eje x será siempre la misma v0x = vx = constante.El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo.

Ver Simulación


Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la pelota desde el borde de la mesa y analicemos el pelota desde el borde de la mesa y analicemos el movimiento. Dicho movimiento será de caída libre, movimiento. Dicho movimiento será de caída libre, recorriendo el cuerpo distancias cada vez mayores para los recorriendo el cuerpo distancias cada vez mayores para los mismos intervalos de tiempo, es decir la magnitud de la mismos intervalos de tiempo, es decir la magnitud de la velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente figura:figura:

Movimiento vertical: es uniformemente acelerado. En los mismos intervalos de tiempo, el cuerpo recorre cada vez mayor distancia, es decir, la magnitud de su velocidad vertical vy se va incrementando.Se considera que cuando va en el aire, no hay oposición al objeto que se deja caer (caída libre, sin resistencia de ninguna índole)

Ver simulación

y t y

y

y

y

t

t

t

t


Ahora combinemos ambos movimientos, pero en el caso del Ahora combinemos ambos movimientos, pero en el caso del movimiento horizontal, ya no consideraremos una mesa infinita movimiento horizontal, ya no consideraremos una mesa infinita sino que ésta es corta, alta y sin fricción. En todo caso, como no sino que ésta es corta, alta y sin fricción. En todo caso, como no hay resistencia al objeto lanzado horizontalmente, éste tenderá a hay resistencia al objeto lanzado horizontalmente, éste tenderá a continuar moviéndose de la misma forma en el eje x, es decir continuar moviéndose de la misma forma en el eje x, es decir uniformemente.uniformemente.

Adicionalmente, recordemos que las velocidades son vectores que Adicionalmente, recordemos que las velocidades son vectores que se pueden sumar para obtener la resultante.se pueden sumar para obtener la resultante.

La combinación de ambos movimientos se ilustra en la siguiente La combinación de ambos movimientos se ilustra en la siguiente figura:figura:


x t

x x x x t t t t

y t

y t

y t

y t

y t

Ver simulación

Ecuaciones de movimiento de ProyectilesEcuaciones de movimiento de Proyectiles

Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos recordar Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos recordar lo relativo a la lo relativo a la descomposición de vectores en sus descomposición de vectores en sus componentes rectangulares:componentes rectangulares:

Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son independientes, teniendo en consecuencia independientes, teniendo en consecuencia uno horizontal y uno horizontal y uniformeuniforme y y otro vertical y uniformemente aceleradootro vertical y uniformemente acelerado, siendo las , siendo las mismas ecuaciones anteriormente vistas para ambos mismas ecuaciones anteriormente vistas para ambos movimientos, con la salvedad de que trabajamos en un plano por movimientos, con la salvedad de que trabajamos en un plano por lo que lo que se agrega a las velocidades el subíndice se agrega a las velocidades el subíndice xx o o yy dependiendo si la velocidad es dependiendo si la velocidad es horizontalhorizontal o o verticalvertical respectivamente.respectivamente.

v0y = │V0│sen θ0

v0x = │V0│cos θ0

V0

θ0

Ecuaciones de movimiento de ProyectilesEcuaciones de movimiento de Proyectiles MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme)MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme)x = xx = x00 + v + v0x0x t t

vv0x 0x = v= vxx = constante = constante MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado)MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado)y = yy = y00 + v + v0y0y t - t - ½ g t½ g t22

y = yy = y00 + + ½½ ( v ( vyy + v + v0y0y ) t ) t

vvyy = v = v0y0y – g t – g t

vvyy22 - v - v0y0y

22 = –2 g ( y – y = –2 g ( y – y00 ) ) MOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTEMOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTE

y = yy = y00 + x tan + x tan θθ00 – g x – g x 22 ⁄ ( ⁄ ( v v0 0 cos cos θθ0 0 ) ) 22

Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la primera Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la primera ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera del ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera del mov. vertical y realizando operaciones algebraicas.mov. vertical y realizando operaciones algebraicas.

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:

Tiro HorizontalTiro HorizontalEste caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente desde Este caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente desde

una cierta altura. Debido a esto:una cierta altura. Debido a esto: El ángulo inicial de salida es de cero grados.El ángulo inicial de salida es de cero grados.

θθ00 = 0 = 0

La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente horizontal de la velocidad inicial y como el movimiento horizontal horizontal de la velocidad inicial y como el movimiento horizontal es uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en es uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en cualquier instante de tiempocualquier instante de tiempo..

V0 =│V0│= v0x = vx La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es

cero.cero.

v0y = 0


Ecuaciones para Tiro HorizontalEcuaciones para Tiro Horizontal Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento

generales se reducen a:generales se reducen a:

x = vx = v0 0 tt

y = - y = - ½ g t½ g t22

y = y = ½½ ( v ( vyy ) t ) t

vvyy = – g t = – g t

vvyy22 = –2 g y = –2 g y

El tiempo que tarda en caer el cuerpo se encuentra El tiempo que tarda en caer el cuerpo se encuentra despejando el tiempo de la segunda ecuacióndespejando el tiempo de la segunda ecuación

t = (- 2y / g)t = (- 2y / g)½ ½ donde y < 0donde y < 0

│ V0 │ = v0x ; v0y = 0

y < 0

x +

y -


BLANCOS Y ALCANCESBLANCOS Y ALCANCES Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale

disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y llega a tierra). llega a tierra).

Debido a lo anterior, tenemos que:Debido a lo anterior, tenemos que:vv0x 0x == ││VV00│cos │cos θθ00

vv0y 0y == ││VV00│sen │sen θθ00

y = yy = y00 = 0 = 0

Los aspectos principales a considerar son:Los aspectos principales a considerar son: Tiempo total de vuelo.Tiempo total de vuelo. Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil.Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil. Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido.Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido.

ymax

Xmax = R

V0

vx = v0x

vy = 0

θ0


BLANCOS Y ALCANCESBLANCOS Y ALCANCES TIEMPO TOTAL DE VUELOTIEMPO TOTAL DE VUELO ( ( tt TT ))

Se encuentra a partir de la condición Se encuentra a partir de la condición y = yy = y00 = 0 = 0 y de y de la primera ecuación general para el movimiento la primera ecuación general para el movimiento vertical:vertical:

y = yy = y00 + v + v0y0y t - t - ½ g t½ g t22

0 = 0 + v0 = 0 + v0y0y t - t - ½ g t½ g t22

DespejandoDespejando el tiempo el tiempot = 2 vt = 2 v0y 0y ⁄ g⁄ g

O bienO bien

t t TT = (2 = (2 ││VV00│sen │sen θθ00 )) ⁄ g⁄ g

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:BLANCOS Y ALCANCES:BLANCOS Y ALCANCES: ALCANCE HORIZONTALALCANCE HORIZONTAL ( ( x = xx = xmax.max. = R = R ) )

Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal recorrida se da cuando t es el tiempo total.recorrida se da cuando t es el tiempo total.

Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento horizontal con xhorizontal con x00= 0= 0

x = vx = v0x0x t tTT

x = vx = v0x0x (2 v (2 v0y 0y ⁄ g)⁄ g)

Sustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad inicialSustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad inicialx = Vx = V0 0 cos cos θθ00 (2 v (2 v0 0 sen sen θθ0 0 ⁄ g)⁄ g)

x = Vx = V0022 (2cos (2cos θθ00 sen sen θθ0 0 ) ) ⁄ g⁄ g

Usando la identidad trigonométricaUsando la identidad trigonométrica 2 cos 2 cos θθ00 sen sen θθ0 0 = sen 2 = sen 2 θθ0 0

Se tiene que el alcance máximo viene dado por:Se tiene que el alcance máximo viene dado por:x = (Vx = (V00

22 sen 2 sen 2 θθ0 0 ) ) ⁄ g⁄ g

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:BLANCOS Y ALCANCES:BLANCOS Y ALCANCES: ALTURA MÁXIMAALTURA MÁXIMA ( ( y = yy = ymax.max. ))

Se obtiene considerando que la componente vertical de la velocidad es Se obtiene considerando que la componente vertical de la velocidad es cero.cero.

vvyy = 0 = 0Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima:Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima: La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que

en caso contrario el cuerpo todavía seguiría ascendiendo. Dicha en caso contrario el cuerpo todavía seguiría ascendiendo. Dicha componente hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor hasta componente hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor hasta hacerse nula. hacerse nula.

La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y como La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y como es uniforme, en dicho punto es tangente a la parábola.es uniforme, en dicho punto es tangente a la parábola.

Sustituyendo la condición anterior en la ecuación:Sustituyendo la condición anterior en la ecuación:vvyy

22 - v - v0y0y22 = –2 g ( y – y = –2 g ( y – y00 ) )

vv0y0y22 = 2 g ( y = 2 g ( ymaxmax ) )

yymax max = v= v0y0y22 ⁄⁄ 2 g 2 g

yymax max = (v= (v0 0 sen sen θθ00))22 ⁄⁄ 2 g 2 g


BLANCOS Y ALCANCES:BLANCOS Y ALCANCES: Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que

todas ellas dependen detodas ellas dependen de:: La velocidad inicialLa velocidad inicial VV00

El ángulo de disparoEl ángulo de disparo θθ00

El valor de la gravedadEl valor de la gravedad gg En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad

inicialinicial VV00 y variamos el ángulo de disparoy variamos el ángulo de disparo θθ0 0 tendremos que para tendremos que para mayor ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer. mayor ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer.

Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a mayor ángulo, mayor altura alcanzará. mayor ángulo, mayor altura alcanzará.

Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:


`

y +

x +

t`

t``

t```

mismaV 0

``

```

t```> t``> t`

``` ``̀ `


En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede observar que hay un ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo observar que hay un ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión:es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión:

x = (Vx = (V0022 sen 2 sen 2 θθ0 0 ) ) ⁄ g⁄ g

y puesto quey puesto que VV00 yy gg son constantes, entonces el alcance depende son constantes, entonces el alcance depende dede θθ00 , , además considerando que en blancos y alcances, el además considerando que en blancos y alcances, el ángulo varía de:ángulo varía de:

0000 << θθ < 90< 9000

la función seno tiene el siguiente comportamiento:la función seno tiene el siguiente comportamiento:

0 ≤ sen 0 ≤ sen θθ0 0 ≤ 1≤ 1

siendo su máximo valor la unidad. Consecuentementesiendo su máximo valor la unidad. Consecuentemente de la expresión de la expresión para el alcance máximo tenemos que:para el alcance máximo tenemos que:


sen 2 sen 2 θθ0 0 = 1= 1

resolviendo para el ángulo:resolviendo para el ángulo:

2 2 θθ0 0 = = sensen-1-1 ( ( 1 )1 )

θθ0 0 = = ½ ½ sensen-1-1 ( ( 1 )1 )

θθ0 0 = = ½ (½ (90900 0 ))

θθ0 0 = 45= 4500

Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:


y +

x +Misma V0

850

450 + 400 = 850 subo 400

450 - 400 = 50 bajo 400

450 + 200 = 650 subo 200

450 - 200 = 250 bajo 200

A partir de los 450

mismo alcance

mismo alcance

650450

250

50


NOTA.-NOTA.- No debe de olvidarse que No debe de olvidarse que las ecuaciones las ecuaciones encontradas para tiro horizontal y encontradas para tiro horizontal y blancos y alcances, son exclusivamente blancos y alcances, son exclusivamente para casos especialespara casos especiales,, no se pueden aplicar no se pueden aplicar indistintamente a cualquier problema, en todo caso, al indistintamente a cualquier problema, en todo caso, al resolver un problema se deben de aplicar las ecuaciones resolver un problema se deben de aplicar las ecuaciones generales de tiro parabólico ya que las de casos generales de tiro parabólico ya que las de casos especiales se dedujeron de ellas al considerar ciertas especiales se dedujeron de ellas al considerar ciertas condiciones iniciales y finales como son:condiciones iniciales y finales como son:

vv0y0y = 0 = 0 para tiro horizontal para tiro horizontal

y = yy = y00 = 0 = 0 para alcance máximopara alcance máximo

vvyy = 0 = 0 para altura máxima.para altura máxima.

movimiento en un plano

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