capitulo 3. movimiento en un plano y en el espacio

Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmn

1

CAPTULO 3. MOVIMIENTO EN UN PLANO Y EN EL ESPACIO

MOVIMIENTO CIRCULAR Se define movimiento circular como aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. Posicin angular, En el instante t el mvil se encuentra en el punto P. Su posicin angular viene dada por el ngulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ngulos O. El ngulo , es el cociente entre la longitud del arco S y el radio de la circunferencia r, rS /= . La posicin angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto no tiene dimensiones.

Velocidad angular, En el instante 1t el mvil se encontrar en la posicin P1 dada por el ngulo 1 . El mvil se habr desplazado 01 = en el intervalo de tiempo 01 ttt = comprendido entre 0t y

1t .

Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.

tm = , con las unidades en el SI de rad/s.

Como ya se explic en el movimiento rectilneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

dtd

tt =

= 0lim

Aceleracin angular, Si en el instante t la velocidad angular del mvil es y en el instante 1t la velocidad angular del mvil es 1 . La velocidad angular del mvil ha cambiado 01 = en el intervalo de tiempo 01 ttt = comprendido entre 0t y 1t .

Se denomina aceleracin angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

tm =

La aceleracin angular en un instante, se obtiene calculando la aceleracin angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

dtd

tt =

= 0lim Relacin entre las magnitudes angulares y lineales De la definicin de radin (unidad natural de medida de ngulos) obtenemos la relacin entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ngulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

''

rs

rs ==

Derivando s = r respecto del tiempo obtenemos la relacin entre la velocidad lineal y la velocidad angular

dtdr

dtds = rv =


2

La direccin de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la direccin radial Aceleracin tangencial Derivando esta ltima relacin con respecto del tiempo obtenemos la relacin entre la aceleracin tangencial ta y la aceleracin angular.

dtdr

dtdv = rat =

Existe aceleracin tangencial siempre que el mdulo de la velocidad cambie con el tiempo, es decir, en un movimiento circular no uniforme Hallar el desplazamiento angular a partir de la velocidad angular Si conocemos un registro de la velocidad angular del mvil podemos calcular su desplazamiento

0 entre los instantes 0t y t , mediante la integral definida.

= tt dt00 Hallar el cambio de velocidad angular a partir de la aceleracin angular. Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del mvil entre los instantes 0t y t , a partir de un registro de la velocidad angular en funcin del tiempo t .

dtd =

dtd =

= tt dt0 0 = tt dt0 0 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Un movimiento circular uniforme (MCU) es aquel cuya velocidad angular es constante, por tanto, la aceleracin angular es cero.

dtd = dtd =

La posicin angular del mvil en el instante t podemos calcularla integrando

= 0 0tt dtd ( )00 tt = O grficamente, en la representacin de en funcin de t. Habitualmente, el instante inicial 0t se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son anlogas a las del 1Hmovimiento rectilneo uniforme

0= constante= t 0 += MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Un movimiento circular uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin angular podemos obtener el cambio de velocidad angular 0 entre los instantes 0t y t , mediante integracin de la velocidad angular en funcin del tiempo ( )00 tt += . Siendo

dtd = dtd = , integrando

obtenemos el desplazamiento 0 del mvil entre los instantes 0t y t :

( )[ ] += tt dtttd 00 00 ( ) ( )20000 2

1 tttt ++= Habitualmente, el instante inicial 0t se toma como cero. Las frmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son anlogas a las del movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

constante= , t 0 += , 2

00 21 tt ++=

Despejando el tiempo t en la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular con el desplazamiento 0 .

( )0202 2 += COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIN. Cuando el sistema de referencia se sita sobre la partcula tal como se indica en la figura, pero no de cualquier modo. Uno de los ejes siempre est perpendicular a su trayectoria, y el otro siempre es tangente a la misma. As pues,


3

El primero siempre pasar por el centro de la circunferencia. Al primer eje se le denomina eje normal, con vector unitario ( )n y al segundo eje tangencial, con vector unitario ( )t . Debemos estudiar ahora que componentes tienen la velocidad y la aceleracin en este sistema de referencia. Velocidad. Con anterioridad se ha deducido que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria descrita. Por tanto es fcil afirmar que en este movimiento la velocidad ser de la forma

tvv = Aceleracin. No es tan obvio que la aceleracin tenga una sola componente, de manera que adoptar la

expresin general nataa nt +=

Sabemos por la definicin de aceleracin que

dtvda

= , luego.

dttdvt

dtdv

dttdv

dtvda

+===

Estudiemos el ltimo trmino de esta expresin

dttd

.

Si se define el ngulo , como el ngulo formado por el eje normal con el eje de abscisas (eje x), tal como se muestra en la figura.

No es difcil darse cuenta que el vector t desde el sistema de referencia situado en el centro de la circunferencia tendr la forma

jit cos sen += , mientras que n al ser perpendicular a este adoptar la expresin

jin sen cos += Derivando t j

dtdi

dtd

dttd sen cos =

( )jidtd

dttd sen cos =

Ahora bien, si tomamos un desplazamiento diminuto sobre la circunferencia, al que denominamos ds , teniendo en cuenta que arco = ngulo x radio, del esquema adjunto se deduce que Rdds = , y adems el mdulo de la velocidad instantnea lo podemos expresar como

dtdsv = , utilizando estos dos ltimos llegamos a

Rv

dtd == , reemplazando en

dttd

:

( )jiRv

dttd sen cos += , si observamos

detenidamente esta ecuacin, comprobaremos que el parntesis es efectivamente n , por lo que

dttd

quedar como nRvn

dttd

== .

Finalmente: nRvt

dtdva

2

= As, en esta expresin, se denomina aceleracin

tangencial ( )ta al trmino dtdvat = y

aceleracin normal ( )na a la ecuacin Rvan

2

= De esta expresin para la aceleracin pueden concluirse cosas sustancialmente importantes: Existen dos componentes: Una tangente a la trayectoria y una perpendicular y orientada hacia el centro de la circunferencia. La aceleracin tangencial slo se dar en aquellos movimientos en los que el mdulo de la velocidad vare con el tiempo. Por tanto, en el caso particular del MCU, su aceleracin tangencial ser nula. La aceleracin normal siempre existir, salvo que el radio de curvatura fuera muy grande, con lo cual tendera a cero, que es el caso extremo de los movimientos rectilneos. Concluyendo pues, en un MCU, la aceleracin

tendr la expresin nRva

2

= , es decir slo presentar aceleracin normal. Un objeto puede experimentar la aceleracin normal o centrpeta y la aceleracin tangencial. En las figuras siguientes se muestran algunas


4

combinaciones posibles para v y a para un auto en movimiento. Para entender la aceleracin, descompngala en las componentes paralela y perpendicular a v . Para decir si el auto est dando vuelta a la derecha o a la izquierda, imagnese que usted es el conductor que se sienta con el vector de la velocidad dirigido hacia adelante de usted. Un componente de la aceleracin hacia adelante significa que la velocidad est aumentando.

Ejemplo 1. Las figuras muestran los vectores de la velocidad y de la aceleracin de un objeto en diferentes tipos de movimiento. Describa cada una de las situaciones. a)

b)

c)

d)

e)

a) El objeto est en movimiento circular uniforme, girando a la derecha.

b) El objeto est frenando y girando a la derecha

c) El objeto est acelerando y girando a la izquierda.

d) El objeto est acelerando y girando a la izquierda.

e) El cuerpo se mueve en lnea recta, hacia la izquierda frenando

Ejemplo 2. Un avin a chorro militar de combate volando a 180 m/s sale de una picada vertical dando la vuelta hacia arriba a lo largo de una trayectoria circular de 860 m de radio cul es la aceleracin del avin? Exprese la aceleracin como mltiplo de g. Solucin.

2

22

7,37860

180sm

rva ===

gga 8,38,9

7,37 == Ejemplo 3. Una rueda de 75 cm de dimetro gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular de 1 rev/s. La aceleracin es de 1,5 rev/s2. a) Calclese la velocidad angular al cabo de 6 segundos. b) Cunto habr girado la rueda en ese tiempo? c) Cul es la velocidad tangencial en un punto de la periferia de la rueda en t = 6 s? d) Cul es la aceleracin resultante de un punto de la de la periferia para t = 6 s? Solucin.


5

R = 37,5 cm , s

rad20 = , 2srad3 =

a) ( ) tt 0 += ( ) ( ) s

rad206326 =+= b) ( ) 20 2

1 ttt +=

( ) ( ) ( )( ) rad 66632162 26 =+= Habr girado

2

66 = 33 vueltas.

c) ( ) ( )tt Rv = ( ) ( )205,376 =v = s

cm750 d) ( ) Ran 26= ( ) ( )5,3720 2=na = 147894 cm/s2.

Rat = ( )( )5,373=na = 353,25 cm/s2. 22tn aaa += = 147894,42 cm/s2.

Ejemplo 4. Una rueda de la fortuna de 14,0 m de radio gira sobre un eje horizontal en el centro. La rapidez lineal de un pasajero en el borde es constante e igual a 7,00 m/s. Qu magnitud y direccin tiene la aceleracin del pasajero al pasar a) por el punto ms bajo de su movimiento circular? b) por el punto ms alto? c) cunto tarda una revolucin de la rueda?

Solucin.

a) 222

sm50,3

0,1400,7 ===

Rva . La aceleracin el

punto ms bajo del crculo es hacia el centro, hacia arriba. b) 2m/s 50,3=a , dirigida hacia abajo., hacia el centro.

c) Como T

Rv 2= ( ) s 6,1200,7

0,1422 === vRT

Ejemplo 5. La rueda del problema anterior, que gira en sentido antihorario, se acaba de poner en movimiento. En un instante dado, un pasajero en el borde de la rueda que est pasando por el punto ms bajo de su movimiento circular tiene una rapidez de 3,00 m/s, la cual est aumentando a razn de 0,500 m/s2. Calcule la magnitud y la direccin de la aceleracin del pasajero en este instante. Solucin.

2

22

sm643,0

0,1400,3 ===

Rvac , y 2s

m5,0=ta Luego:

tanaa tc +=

= ij 5,0643,0 + 22tc aaa += = 222 s

m814,05,0643,0 =+

9,37643,05,0tan 1 ==

Ejemplo 6. Una partcula se mueve sobre una circunferencia de radio R con aceleracin angular constante partiendo del reposo. Si la partcula realiza n vueltas completas a la circunferencia en el primer segundo, determine la aceleracin angular de la partcula. Determine adems el nmero de vueltas que realiza la partcula durante el siguiente segundo del movimiento. Solucin.

Aqu 221 t =

Entonces 212 =n n 4=

Como ( ) 22 2421 nttn == ,

Nmero de vueltas para 1=t ( ) ( )

2

1 12 =n


6

Nmero de vueltas para 2=t ( ) ( )

2

2 22 =n Durante el siguiente segundo (dos) realiza

( ) ( ) ( ) nn 3122

2212 ==

vueltas.

Ejemplo 7. En un reloj anlogo el horario y el minutero coinciden a las 12:00:00 horas. A qu hora minutero y horario formarn un ngulo de 90? Solucin.

Como los movimientos del horario y minutero son circulares uniformes, encontramos para la posicin angular del horario:

tHHH += 0 . (1) Anlogamente para el minutero se tiene:

tMMM += 0 . (2) Como

MM

HH TT

2,2 == donde h 12=HT y h 1=MT y bajo la condicin que estos formen un

ngulo de 90, es decir, 2 = HM

De (2) - (1), con 000 == MH , ( )tHMHM = Se encuentra para t:

( ) h 113

2== HM

t

,

Es decir, en t = 16,36 min. Por lo tanto forman 90 a las 12:16:22 h. Ejemplo 8. Dos partculas describen movimientos circulares de radio R = 1m, como lo muestra la figura. El primero (1) parte de O con rapidez angular rad/s 10= constante en sentido antihorario y el segundo (2) parte del reposo del mismo punto en sentido horario con aceleracin tangencial constante de 2m/s 2 . Determine cuando y donde se cruzan ambas partculas.

Solucin. Como el cuerpo (1) se mueve con M.C.U., la posicin angular de este ser:

tt 100 11 =+= . (1) El cuerpo (2) posee una aceleracin tangencial constante y por lo tanto, se trata de un M.C.U.A. Debido que 22 rad/s2,m/s 2 === Rat . Por otro lado, como parte del reposo, 00 = .

222 22

1 tt == El recorrido se muestra en la figura siguiente:

El encuentro se produce cuando:

221 =+ 210 2 =+ tt

02102 =+ tt

==

s 59,10s 59,0

2

1

tt

La solucin significativa es: s 59,0=t Reemplazando este valor de t en ecuacin (1), se obtiene para el ngulo de encuentro:

04,338rad 9,5 ==encuentro . Ejemplo 9. Dos vehculos describen la misma trayectoria circular de radio 0,75 m. El primero est animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es de 60 rpm. y sale de la posicin A cuando se empieza a contar el tiempo. El segundo mvil est animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleracin angular vale - /6 rad/s2, pasa por B en el mismo instante llevando una velocidad angular de 120 rpm. a) Escribir las ecuaciones del movimiento de cada uno de los mviles. Hallar el instante y la posicin de encuentro por primera vez de ambos mviles. b) La velocidad lineal, la velocidad angular, las componentes tangencial y normal de la


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aceleracin de cada uno de los mviles en el instante de encuentro. c) Realcese un esquema en el que se especifique los vectores velocidad, aceleracin, en dicho instante de encuentro.

Solucin

rad/s 2 rpm 120y rad/s 2 rpm 60 == a) El grfico muestra la posicin de los mviles en el instante inicial.

Mvil 1:

===

rad2s/rad2

0

1

1

1

t

Mvil 2:

+=

=

=

rad12

42

s/rad6

4

s/rad6

22

2

22

tt

t

Los mviles se encontrarn cuando 21 = 2

124

22 ttt +=

02

212

2 = tt 06242 = tt Resolviendo

=

=s 25,24s 25,0

tt

La solucin es 24,25 s. El punto de encuentro es ( ) rad 5,4825,2421 ==

( ) ( )22 25,241225,2445,0 +=

rad 5,48 = Los valores son iguales, tal como esperbamos. Como rad 5,4821 == , equivalente a 24 vueltas mas 1/4 de vuelta, el encuentro es en punto B. b) La velocidad lineal, la velocidad angular, las componentes tangencial y normal de la aceleracin de cada uno de los mviles en el instante de encuentro. Mvil 1

=====

===

s/m3

00m/s 5,1

s/rad2

2211

111

11

1

rara

rv

n

t

Mvil 2

====

====

22222

222

22

2

m/s 0012,0

m/s 125,0

m/s 03,0

s/rad04,0625,244

rara

rv

n

t

El mvil 2 tiene velocidad negativa, porque a l tiempo t = 24 s su velocidad se hizo cero e inicia el retorno, al tiempo t = 24,25 s se produce el encuentro. c) Esquema especificando los vectores velocidad, aceleracin, en el instante de encuentro. En el instante del encuentro el esquema sera el siguiente:

MOVIMIENTO CURVILNEO El movimiento curvilneo es aquel en el que pueden combinarse tramos rectos y/o curvos. La extensin de las ecuaciones en el sistema intrnseco es inmediata sufriendo slo una ligera modificacin respecto a la aceleracin. Esta

adopta la expresin nvtdtdva

2

+=

donde es el denominado radio de curvatura y corresponde


8

al radio de una hipottica circunferencia en cada uno de los puntos de la trayectoria. Es evidente que en el caso del movimiento circular ste no vara ya que coincide con el radio de la circunferencia en cada uno de esos puntos.

dtdvat = y

2van =

La figura siguiente muestra la velocidad y la aceleracin con las coordenadas x e y para un determinado instante.

Como 2m/s cosaat = y 2m/s senaan = , La aceleracin tangencial en cualquier instante, se obtiene a partir del producto escalar del vector

aceleracin a y el vector velocidad

v .

tvavaav == cos

22yx

yyxxt

vv

avavvava +

+==

La aceleracin normal, se obtiene a partir del mdulo de la aceleracin a y de la aceleracin tangencial ta .

22222tnyx aaaaa +=+=

2222 tyxn aaaa += 2

22

222

+

++=yx

yyxxyxn

vv

avavaaa

Finalmente 22yx

yxxyn

vv

avava

+=

El radio de curvatura

2van =

nav 2=

Ejemplo 10. El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por

( ) ( ) jtitv 5623 2 += m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin y el radio de curvatura en el instante t =2 s. Solucin.

( ) m/s 23 = tvx 2m/s 3== dtdv

a xx

( ) m/s 56 2 = tvy 2m/s 12tdtdva yy == En el instante t = 2 s

====

2

2

m/s 24 m/s 19

m/s 3 m/s 4

yy

xx

avav

m/s 49,19194 22 =+=v 222 m/s 19,24243 =+=a

La aceleracin tangencial es:

22yx

yyxxt

vv

avavvava +

+==

= ( ) ( ) 2m/s 24

49,19241934 =+

La aceleracin normal es: ( ) ( ) 2

22m/s 2

49,19244319 ==

+=

yx

yxxyn

vv

avava

El radio de curvatura

2van =

nav 2=

222 m/s 19,24243 =+=am/s 49,19194 22 =+=v

3772 =v , 2m/s 2=na m 5,188

23772 ===

nav

Ejemplo 11. Una partcula se mueve de modo que sus coordenadas cartesianas estn dadas como funciones del tiempo

tx 3= , 252 tty = Determine a) las componentes cartesianas de la velocidad y de la aceleracin.


9

b) las componentes normal y tangencial de la velocidad y aceleracin. c) la ecuacin de la trayectoria en coordenadas cartesianas. Solucin.

tx 3= , 252 tty = a) vx = 3; vy = 2 - 10t; ax = 0; ay = -10;

b) ( )( )21029

1023t

jtivvt

++==

,

( )( )21029

1023t

itjktn++== entonces

( )21029 tvtvvt +=== 0=nv ( )

( )2102910210.

ttttaaT +

==

( )( )21029

10210.ttttaaT +

==

( )2102930

tnaan +

==

c) 295

32 xxy =

Ejemplo 12. Una partcula se mueve trayectoria de tramos semicirculares con una ley horaria ( ) 5,043 2 ++= ttts m, t en segundos.

R = 0,5 m a) Hallar las velocidades en los puntos A, B y C. b) Hallar las aceleraciones en los puntos A, B y C. c) En qu punto de la trayectoria regresa? Solucin. El desplazamiento est dado por: ( ) 5,043 2 ++= ttts Punto de partida 0t

m 5,00 =S Posicin de A

m 79,025,021 === RSA

Posicin de B m 57,15,0 === RSB

Posicin de C

m 36,275,02

3 === RSC En el punto de retorno la velocidad es cero.

( ) ( )64046 ==+== ttts

dtdtv =0,66 s

( ) ( ) 5,066,0466,03 2 ++=RS = m 84,15,067,233,1 =++ El punto de retorno es 2,2=retornoS .

Representacin lineal del recorrido

La partcula no llega a C, pasa dos veces por A y por B, ida y vuelta. Tiempos en que pasa por A

m 79,0=AS 5,04379,0 2 ++= tt

==+

s 27,1s 07,0

1,033,12

12

tt

tt

Tiempos en que pasa por B m 57,1=BS

5,04357,1 2 ++= tt

==+

s 97,0s 33,0

36,033,12

12

tt

tt

La velocidad esta dada por:

( ) ( ) 46 +== ttsdtdtv

La aceleracin esta dada por.

( ) ( ) 6== tvdtdta

Velocidades en A Em la ida ( ) 407,061 +=Av = 3,58 m/s. Em el retorno ( ) 427,162 +=Av = - 3,62 m/s. Velocidades en B


10

Em la ida ( ) 433,061 +=Bv = 2,02 m/s. Em el retorno ( ) 497,062 +=Bv = - 2,02 m/s. La aceleracin tangencial est dada por.

( ) ( ) 6== tvdtdta

En el recorrido de ida la aceleracin tangencial es 6 m/s2 disminuyendo a la velocidad, en l retorno la aceleracin es 6 m/s2 incrementando a la velocidad Ejemplo 13. Las coordenadas x e y de una particular en movimiento, son funciones de t, como sigue:

223 2 += ttx , 41232 23 = ttty a) Calcular las componente de la aceleracin media, en el intervalo de t = 0,0 s a t = 3,0. b) El instante en que la componente y del vector velocidad es igual a cero, calcular la componente y de la aceleracin. c) Calcular la menor magnitud de la aceleracin. Solucin. a) Las componentes de la velocidad son

26 == tdtdxvx , 1266

2 == ttdtdyvy

Para t = 0 20 =xv , 120 =yv

Para t = 3 162183 ==xv , 241218543 ==yv

Luego

63

216 =+=xma , 1231224 =+=yma

b) La componente y del vector velocidad es igual a cero

01266 2 == ttvy 2

41

21 +=t =

23

21

==

s 1s 2

2

1

tt

La aceleracin en y

612 == tdt

dva yy

Para t = 2 s: ( ) 6212 =ya = 18 m/s2 c) Las componentes de la aceleracin son

612 = tay , 6=xa La magnitud de la aceleracin es

22yx aaa +=

La menor magnitud de la aceleracin ser cuando

0=ya 0612 =t s 5,0

126 ==t

Como ax = 6 m/s2 es constate, ese ser el menor valor de la magnitud de la aceleracin. Ejemplo 14. Una partcula se mueve en el plano xy de acuerdo con la ley ax = 0, ay = 4cos(2t) m/s2. En el instante t = 0, el mvil se encontraba en x = 0, y = -1 m, y tena la velocidad vx = 2, vy = 0 m/s. a) Hallar las expresiones de r(t) y v(t). b) Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t = /6 s. Solucin. a) En 0=t

0=xa , smvx 2= , 0=x

( ) 22cos4 smtay = , 0=yv , 1=y m.

En el eje x el movimiento es uniforme

svx

m 2= , m 2tx = Para encontrar el movimiento en y hay que integrar

( ) = tv y dttvy 00 2cos4 ( ) sm 2sen2 tvy = ( )dttdy ty = 01 2sen2 ( ) ( ) 2cos11 ty =

( )m 2cos ty = b) Las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t = /6 s.

2=xv , 0=xa 3=yv , 2=ya

2sm31,1cos2 == ta , 2s

m51,1sen2 == na ,

32tan ==

y

x

vv 1,49= .


11

Ejemplo 15. Un mvil se mueve en el plano xy con las siguientes aceleraciones: ax=2 m/s2, ay =10 m/s2. Si en el instante inicial parte del origen con velocidad inicial vx = 0 y vy = 20 m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin, y el radio de curvatura en el instante t = 2 s. Solucin.

210 smay = ( )tvy 1020 +=

22 smax = tvx 2=

Para t = 2 s

==

4

0

x

y

vv

2sm2== xt aa 2s

m10== yn aa .

2van = m6,110

422 ===na

v Ejemplo 16. El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por

( ) ( ) m/s.5623 2 jtitv += Si la posicin del mvil en el instante t = 1 s es

m.23 jir = Calcular a) El vector posicin del mvil en cualquier instante. b) El vector aceleracin. c) Las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t = 2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho instante. Solucin. a) Para el movimiento horizontal

2-3tvx = 23 sm

dtdv

a xx ==

Como dtdxvx = dtvdx x= , integrando

( )dttdx tt = 13 23 m27223 2 += ttx Para el movimiento vertical

5-6 2tvy = 212 smt

dtdv

a yy ==

Como dtdyvy = dtvdy y= , integrando

( )dttdy tt = 1 22 56 ( )m152 3 += tty ( ) jttittr 152-

272

23 32 +

+=

b) jtia 123 += c) Para t = 2 s vx = 4 m/s, vy = 19 m/s ax = 3 m/s2, ay = 24 m/s2

222 s/m2,24=+= yx aaa 75,4

419tan ===

x

y

vv o78=

3324tan ===

x

y

aa o83=

( ) 2s/m1,24cos == aat ( ) m2sen == aan MOVIMIENTO PARABLICO. Considere un objeto que se desplaza en el aire sin ninguna fuerza con excepcin de la gravedad y de la resistencia del aire. La fuerza de la gravedad produce una aceleracin constante hacia abajo de magnitud 9,80 m/s2. Como primera aproximacin, no tomemos los efectos del aire y de variaciones en g . Asumiremos que la tierra es plana para el rango horizontal de los proyectiles. A pesar de estas simplificaciones, podemos an obtener una descripcin bastante buena del movimiento del proyectil. El recorrido de un proyectil se llama su trayectoria. Si se desprecia la resistencia del aire, no hay entonces aceleracin en la direccin horizontal, y

0=xa . La aceleracin en la direccin de y es


12

debido a la gravedad. Es constante y dirigida hacia abajo, as que gay = . Es conveniente elegir 00 =x y 00 =y (es decir, poner el origen en el punto donde el proyectil comienza su movimiento). Adems, nos referimos tpicamente a 0v como la rapidez inicial del proyectil. Si el proyectil es lanzado con un ngulo sobre la horizontal, la velocidad inicial en la direccin x y la velocidad inicial en la direccin y se pueden expresar en trminos de g y de y usando la trigonometra.

cos00 vv x = , sen00 vv y = 0=xa , gay =

Con esto: constante cos0 == vvx , gtvvy = sen0

( )tvx cos0= , ( ) 20 21sen gttvy =

Ecuacin de la trayectoria.

De la ecuacin para x obtenemos cos0vxt = .

Sustituyendo en la ecuacin para y

( ) 2220 cos2

tan xv

gxy

=

Corresponde a la ecuacin de una parbola que pasa por el origen. Una caracterstica dominante del movimiento del proyectil es que el movimiento horizontal es independiente del movimiento vertical. As un proyectil se mueve a una velocidad constante en la direccin horizontal, independiente de su movimiento vertical. Esto se ilustra en la figura.

Podemos entender mejor el significado de la

ecuacin ( ) 20 21sen gttvy = viendo el

movimiento del proyectil de esta manera: Primero, si no hubiera fuerza de la gravedad y aceleracin hacia abajo, en el tiempo t el proyectil movera una distancia tv0 en una lnea inclinada recta. Si ahora imaginamos con la gravedad el efecto sera hacer que el proyectil se aleje de la trayectoria recta por una distancia gt2. De la superposicin de estos dos efectos resulta la trayectoria parablica como se muestra en la figura.

Tiempo de vuelo. Poniendo y = 0

( ) 021sen 20 == gttvy , despejando t, 0sen2 02 = t

gvt

Resolviendo obtenemos dos soluciones t = 0, que corresponde al disparo del proyectil

gvt sen2 0=

El valor mximo de t se obtiene para = 90. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilnea a lo largo del eje y. El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y = 0.

( ) ( )

==g

vvtvxmx sen2coscos 000

= ( )

gv 2sen20

La altura mxima que alcanza un proyectil se obtiene con 0=yv .

0sen0 == gtvvy , despejando t.

gvt sen0= , como vemos es igual a la mitad del

tiempo de vuelo.

( ) 20 21sen gttvymx =

= ( )2

000

sen21sensen

gvg

gvv

Finalmente:


13

gv

ymx 2sen 220 =

Su valor mximo se obtiene para el ngulo de disparo = 90. Ejemplo 17. Un blanco en cada libre (Tiro al mono) Se deja caer una botella desde el reposo en el instante en que una piedra es lanzada desde el origen. Determinar los valores del ngulo y de la velocidad de disparo para que la piedra rompa la botella. (Tmese g = 9,8 m/s2)

Solucin. Movimiento de la piedra: El movimiento curvilneo de la piedra se realiza bajo la 3Haceleracin constante de la gravedad, es decir, es la composicin de dos movimientos - Uniforme a lo largo del eje horizontal

===

tvxvv

a

p

px

px

coscos

0

Horizontal

0

0

- Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical.

==

=

2/ sen

sen Vertical 2

0

0

gttvy

gtvvga

p

px

px

Movimiento de la botella: La botella se mueve verticalmente bajo la 4Haceleracin constante de la gravedad.

2/

2gtHygtvga

b

bx

bx

===

Choque de la piedra con la botella: Cuando se produce el choque, la posicin de la piedra y de la botella coincide.

tvA cos0 =

2/ sen2/ 202 gttvgtH =

tvH sen0 = Dividimos la segunda ecuacin entre la primera.

AH=tan

Para romper la botella debemos de apuntarla directamente y en el instante en el que se deja caer, se debe lanzar la piedra. La velocidad debe tener un valor mnimo para hacer el recorrido A, mientras la botella est en el aire.

Esto sucede para el tiempo gHt 2= , y el

recorrido horizontal de la piedra debe cumplir:

AgHv

2 cos0 H

gAv2cos0

Ejemplo 18. Una bolsa de arena cae del reposo de un globo de aire caliente desde una altura de 124 m est soplando un viento horizontal, y el viento da a bolsa de arena una aceleracin horizontal constante de 1,10 m/s2. a) Demuestre que la trayectoria de la bolsa de arena es una lnea recta. b) Cuanto tiempo toma para llegar la tierra? c) Con qu velocidad llega a la tierra? Solucin.

a) 221 tax x=

xaxt 22 =

2

21 gty =

gyt 22 =

De estas ecuaciones, obtenemos:

gy

axx

22 = xagy

x

= Ecuacin de una lnea recta. b) En tierra, 124=y , tal que

( )8,9

12422 =t s 03,5=t c) ( )( )03,58,900 == gtvv yy =

sm 3,49

( )( )03,510,100 +=+= tavv xxx =

sm 53,5

22yx vvv += = ( ) ( )22 3,4953,5 +


14

= sm 6,49

Ejemplo 19. Disparamos un proyectil desde el origen y ste describe una trayectoria parablica como la de la figura. Despreciamos la resistencia del aire. Dibuja en las posiciones A, B, C, D y E el vector velocidad, el vector aceleracin y las componentes normal y tangencial de la aceleracin. (No se trata de dar el valor numrico de ninguna de las variables, slo la direccin y el sentido de las mismas) Qu efecto producen an y at sobre la velocidad?

Solucin.

v es tangente a la trayectoria

Cuando sube

ta y v tienen sentidos opuestos.

Cuando baja

ta y v tienen el mismo sentido

ta modifica el mdulo de la velocidad con el tiempo.

na modifica la direccin de v

Ejemplo 20. Una bala del rifle se dispara con una velocidad de 280 m/s hacia arriba de una superficie plana inclinada 30 sobre la horizontal. La bala se dispara con un ngulo de elevacin inicial de 45 sobre la horizontal (es decir, 15 sobre la superficie plana). Cul es el alcance de la bala sobre el plano? Solucin. La ecuacin del plano inclinado es

= 30tanxy

3

xy = La ecuacin de la trayectoria parablica.

( ) 2220 cos2

tan xv

gxy

=

La interseccin de la parbola y la lnea recta ocurre cuando

( ) 2220 cos2

tan3

xv

gxx =

Para = 45 :

=3

1120

gvx

Para un tringulo 30, 60, 90 vemos que

SSx2330cos == .

De aqu ( )gv

gvS

20

20 49,013

32 == , arriba del

plano. Con 0y = 280 m/s, S = 3,90 km. Ejemplo 21. Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de 150 (m) de altura con una rapidez de 180 (m/s) y formando un ngulo de 30 con la horizontal. Calcule: (a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto de cada del proyectil. (b) La altura mxima del proyectil con respecto al suelo. (c) Las componentes normal y tangencial de la aceleracin al salir en el punto de disparo. Solucin. x = 180(cos /6)t y = 150 + 180(sen /6)t - 5t2 a) Punto de cada 150 + 180(sen /6)t - 5t2 = 0, t = 19,5 s x = 180(cos /6)(19,5) = 3039,8m b) Tiempo para la altura mxima 180(sen /6) - 10t = 0, t = 9,0 s entonces ymax = 150 + 180(sen /6)(9) - 5(9)2 = 555,0m El vector unitario tangente es

6sen

6cos ji

vvt +==

ja 10= Entonces

2m/s 56

sen10 === taat 222 m/s 66,825100 === nn aaa


15

Ejemplo 22. Un can de artillera lanza proyectiles con una rapidez de 300 m/s. El artillero debe darle a un blanco que se encuentra a 8640 m detrs de un cerro, cuya altura es de 1000 m ubicado a 1200 m del can. Demuestre que es posible darle al blanco y determine el ngulo de elevacin para cumplir el objetivo. Solucin. Supondremos que damos en el blanco, entonces

0cos2

tan 220

2

== vgxxy

( )( ) 0cos300

86495tan8649 222

= Tiene dos races reales 1 = 53,03 2 = 36,97 Debemos verificar que el disparo pasa sobre el cerro, para ello evaluamos en ambos ngulos y(1200) y1 (1200) = 1373,0 m y2 (1200) = 777,95 m La altura del cerro es excedida en el primer caso. Ejemplo 23. Se dispara un proyectil de modo que su alcance horizontal es igual al triple de la altura mxima. Encuentre el ngulo de lanzamiento. Solucin. Sabemos que

gvy

gvx

2sen

2sen

220

max

20

max

=

=

Entonces

gv

gv

2sen32sen

220

20 =

sen3cos2 =

32tan = =33,69

Ejemplo 24. Un lanza granadas tiene un alcance mximo de 300 m. Para dar en un blanco que se encuentra a una distancia de 400 m del lanza granadas. Determine: a) La altura mnima que debe subirse el lanza granadas. b) La rapidez de lanzamiento c) El ngulo de lanzamiento Solucin. La ecuacin de la parbola de seguridad es

20

220

22 vgx

gvhy +=

Sabemos tambin que para h = 0 la distancia mxima alcanzable es

( ) 30020

0 == gvx

y para una altura h la distancia horizontal mxima ser

( ) ( ) m4002 020 =+= gvhgvx h de la primera b)

sm77,5430000 ==v

y de ( ) ( )10

77,5410277,54 2 h+ = 400 a) h = 116,701m c) El ngulo de lanzamiento cuando el blanco est sobre el lmite de la parbola de seguridad es

gxv 20tan = entonces = 36,87o

Ejemplo 25. Una bola se lanza en forma horizontal con una rapidez 0v desde una altura H con respecto al piso. Hallar los mdulos de la aceleracin tangencial y normal cuando ha pasado la mitad del tiempo que necesita para llegar al piso. (Aceleracin de la gravedad g) (2 puntos) Solucin. Tiempo de cada

gHt 2=

La mitad del tiempo es:

gHt 2

21

21 = = gH2

0vvx = gtvy =

2220 tgvv +=

Para el tiempo 21tt = 2

220

221

+=

gHgvv =

220

gHv +


16

2220 tgvdt

dat += = 2

2 2 20

g tv g t+

Para el tiempo 21tt =

gHgv

gHg

ao

t

2

222

2

+= =

gHv

gHg

o +22

22tn aga = =

gHvgv

o +20

22

Ejemplo 26. Un patinador desciende por una pista helada, alcanzando al finalizar la pista una velocidad de 45 m/s. En una competencia de salto, debera alcanzar 90 m a lo largo de una pista inclinada 60 respecto de la horizontal. a) Cul ser el ngulo (o los ngulos) que debe formar su vector velocidad inicial con la horizontal? b) Cunto tiempo tarda en aterrizar? c) Calcular y dibujar las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t/2. Siendo t el tiempo de vuelo. Tomar g =10 m/s2

Solucin. a) y b)

100=

=y

x

aa

tv

v

y

x

10sen45cos45

==

21021.sen45

.cos45

tty

tx

==

Punto de impacto 45=x , 345=y

==

25.sen45345

.cos4545

ttt

2cos15

cos1.sen45345 =

0391tan9tan 2 =+ o

o

5,54

5,84

2

1

==

stst

72,145,10

2

1

==

c) Para 21tt =

==

46,731,4

y

x

vv

10

0=

=y

x

aa

y

x

vv=tan o30=

2

2

sm530sen

sm3530cos

====

on

ot

gaga

Ejemplo 27. Se deja caer una botella desde el reposo en la posicin x =20 m e y =30 m. Al mismo tiempo se lanza desde el origen una piedra con una velocidad de 15 m/s. a) Determinar el ngulo con el que tenemos que lanzar la piedra para que rompa la botella, calcular la altura a la que ha ocurrido el choque. b) Dibujar en la misma grfica la trayectoria de la piedra y de la botella. (Tomar g = 9,8 m/s2). Solucin: a)


17

Movimiento de la botella

8,90=

=y

x

aa

tv

v

y

x

8,90=

= 28,9

2130

20

ty

x

==

Movimiento de la piedra

8,90=

=y

x

aa

tv

v

y

x

8,9sen15cos15

==

28,921sen 15

cos15

tty

tx

==

Punto de encuentro

22 8,921sen158,9

2130

.cos20015

ttt

t

=

De las dos ecuaciones

=

2030tan

m69,13,56

==

y

o

b)

Ejemplo 28. Desde un can que est sobre un plano inclinado un ngulo con la horizontal se dispara un proyectil. Este sale con una velocidad

0v formando un ngulo con el plano horizontal. Encontrar: a) El punto ms alto al que llega el proyectil. b) El alcance del proyectil. Solucin.

a) cos00 vv x = sen00 vv y =

gtsenvvy = 0 La altura mxima se produce cuando 0=yv

gv

ymx 2sen 220 =

Con ese valor,

=

gvvx sencos 00 = 2sen2

20

gv

tan2sen2

tan20

gv

xy ==

yyh mx = = ( ) tan2sensen2 220 g

v

b) El alcance mximo S . tvx cos0 = 2210 sen gttvy =

Ecuacin del plano en funcin de t tanxy = Dividiendo xy :

tan cos

sen

0

221

0 ==tvgttv

xy

tvgttv cos tan sen 0

221

0 = Resolviendo encontramos el tiempo para el que el proyectil toca tierra:

( ) tancossen2 0 =gvt

El valor de x cuando el proyectil toca tierra es:

( ) tancossencos2 cos 200 == gvtvx

Y el alcance S es:

cosxS = = ( )

tancossencoscos2 20

gv

Ejemplo 29. La figura muestra una colina inclinada un ngulo respecto a la vertical y la trayectoria de un proyectil. El proyectil se lanza desde el origen O con una velocidad inicial de mdulo 0v y que forma un ngulo con el eje z (perpendicular al plano). El eje x se toma tangente al plano apuntando hacia abajo. a) Tome el sistema de referencia indicado en la figura y halle las componentes de los vectores aceleracin, velocidad y posicin del proyectil en funcin del tiempo. b) Halle la mxima separacin entre el proyectil y la colina. c) Halle la distancia entre el origen y el punto de cada del proyectil sobre la colina. Demuestre que esa distancia es mxima si 2/ = .


18

Solucin. a) cosgax = , sen cos 0vtgvx += ,

tvtgx sen cos21

02 +=

sengaz = , cos sen 0vtgvz += , tvtgz cos sen

21

02 +=

b) La mxima separacin ocurre para 0=zv y vale

sen2

cos2

220

gvz =

c) El punto de cada ocurre para z = 0 y la distancia vale

( )

++=

2sentan2cos1

sen

20

gv

x

La distancia mxima ocurre para ( ) 0=

ddx

.

Ejemplo 30. Dos balas se dispararon simultneamente hacia arriba paralelo a un plano inclinado. Las balas tienen diferentes masas y velocidades iniciales diferentes. Cul de las bala llega primero al plano?

Solucin Consideremos el sistema de coordenadas indicado en la figura

ivv 00 =

, jgigg cossen +=

tgvvx sen0 = , tgvy sen= 2

0 sen21 tgtvx = , 2sen

21 tgy =

El tiempo de viaje para las dos balas son iguales, porque los recorrido vertical es para las dos la misma distancia, luego

2sen21 tgH = sen

2g

Ht= Por lo tanto, las dos balas llegan al mismo tiempo. Ejemplo 31. Un proyectil se dispara en el tiempo t = 0,0 s, desde el punto O en el borde de un acantilado, con los componentes de la velocidad inicial 0xv = 60 m/s, y 0yv = 100 m/s. El proyectil se eleva, y luego cae en el mar en el punto P. El tiempo de vuelo del proyectil es 22,0 s.

a) Calcular la magnitud de la velocidad para el tiempo t = 15,0 s . b) Calcular la coordenada x del proyectil cuando la componente y de la velocidad es igual a - 80 m/s. c) Calcular la altura H del acantilado. d) Calcular la distancia horizontal D. e) calcular la coordenada y del proyectil con respecto al suelo inferior cuando la coordenada x es 900 m. Solucin. a) tenemos

jHr 0 =

, jiv 100600 +=

, ja 8,9= La velocidad es

( ) jtiv 8,910060 += Para t = 15,0 s.

jiv 4760 = Su magnitud

( )22 4760 +=v = 76,22 m/s b) La velocidad

( ) jtiv 8,910060 +=


19

La posicin

jttHitr 8,92110060 2

++=

Cuando yv = - 80 m/s 808,9100 = t s 37,18=t

Luego ( )37,1860=x = 1102 m c) La posicin vertical esta dada por

28,921100 ttHy +=

Para t = 22,0 s y = 0 Luego

( ) ( ) 0228,92122100 2 =+H

H = 171,6 m d) Para t = 22,0 s ( )2260=x = 1320 m Correspondiente a la distancia horizontal D. e) Cuando la coordenada x es 900 m

tx 60= t60900 = 60

900=t = 15 s Luego para t = 15 s

28,921100170 tty +=

( ) ( )2158,92115100170 +=y

y = 568 m Ejemplo 32. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota adems es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleracin de 2 m/s2. Calcular: a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto. b) La altura mxima c) El valor de las componentes tangencial y normal de la aceleracin cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo. Tmese g =10 m/s2.

Solucin.

2=xa , tvx 2= , 2221 tx =

10=ya , ( )tvy 1020 += , ( ) 210

2120 tty +=

a) Punto de impacto y = -50 t = 5,74 s x = 32,97 m b) altura mxima

0=yv t = 2 s y = 20 m hmxima = 70 m sobre el suelo. c) h = 60 y = 10 m t1 = 0,59 s t2 = 3,41 s

===

14,1417,1

59,01y

x

vv

st

==

102

y

x

aa

22 102 +=a 08,0

14,1417,1tan 1 ===

y

x

vv o7,41 =

52

10tan 2 ===x

y

aa o7,782 =

o7312 ==

==

==2

2

m/ 80,9sen.

m/ 81,2cos.

saasaa

t

n

===

svsv

sty

x

m/ 14,14m/ 83,6

41,32

==

102

y

x

aa

22 102 +=a


20

07,283,614,14tan 1 ===

x

y

vv o2,641 =

52

10tan 2 ===x

y

aa o7,782 =

o5,1412 ==

==

==2

2

m/ 55,2sen.

/m, 87,9cos.

saasaa

t

n

Ejemplo 33. Nos encontramos en la antigua Suiza, donde Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta distancia d del punto de disparo (la manzana est 5 m por debajo del punto de lanzamiento de la flecha). La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s haciendo una inclinacin de 30 con la horizontal y el viento produce una aceleracin horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s2. a) Calcular la distancia horizontal d a la que deber estar el hijo para que pueda ensartar la manzana. b) Hllese la altura mxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento (g = 9,8 m/s2).

Solucin.

2=xa , tv ox 230cos50 = ,

222130cos50 tx o =

8,9=ya , tv oy 8,930sen50 = , 28,9

2130sen50 ty o =

Punto de impacto x = d, y = -5 -5 =25 t -4,9 t2 t = 5,29 s x = 201,23 m Mxima altura vy = 0 50sen30 - 9,8t = 0 t = 2,55 s y = 31,89 m

Ejemplo 34. Un parque elico utiliza un generador de hlice de dos palas montada en una torre a una altura de 20 m. La longitud de cada hoja de la hlice es de 12 m. Una punta de la hlice se rompe cuando la hlice est vertical. En ese instante, el perodo del movimiento de la hlice es de 1,2 s. El fragmento vuela fuera horizontalmente, cae en el punto P.

a) Calcular la distancia desde la base de la torre hasta el punto de que el fragmento toca el suelo. b) Calcular el ngulo con respecto a la vertical en el que el fragmento toca el terreno. Solucin. a) Como s 2,1=T

2,122 ==

T = 5,24 rad/s

Tambin

ivv x 00 =

( )24,512120 === xx vv = 62,88 m/s

tvy 8,9= Luego

tvx x0= = t88,62 2

00 21 attvyy y ++= = 29,432 t

Cuando toca suelo y = 0 09,432 2 = t s 56,2=t

El fragmento toca suelo en ( )56,288,62=x = 160,7 m de la torre b) El dibujo muestra el punto en el que el fragmento toca el terreno

En el punto P:

m/s 62,88=xPv ( )2,56-9,88,9 == tvyP = 25,1 m/s 1,25

88,62tan ==yP

xP

vv = 2,51 2,68=

Ejemplo 35. Se lanza una pelota de 2 kg de masa con una velocidad inicial ( )ki 102 + m/s desde el origen de coordenadas.


21

La aceleracin de la gravedad acta en el eje z. Un viento fuerte le aplica una fuerza ( )ji 86 + N a la pelota. a) Calcular la mxima altura a la que llegar la pelota b) Hallar la distancia de la pelota al punto de lanzamiento cuando llegue a tierra. c) Una persona que se encuentra en el punto ( )ji + m parte con aceleracin constante en el mismo instante en que se lanza la pelota de modo que se encuentre en el punto donde la pelota llega a tierra simultneamente con la pelota. Encuentre dicha aceleracin. Solucin.

Condiciones iniciales

kiv 1020 += m/s 20 =xv , 00 =yv , m/s 100 =zv

2m/s 3=xa , 2m/s 4=ya , 2m/s 10za Posicin de la pelota al tiempo t.

2321 2 ttx += , 24

21 ty = , 210

2110 ttz =

Velocidad de la pelota al tiempo t. tvx 32 += , tvy 4= , tvz 1010 =

a) La pelota alcanza la mxima altura cuando 0=zv

t10100 = s 1=t La mxima altura es

( ) ( ) m 511021110 2 ==mxz

b) La pelota llega a tierra cuando z = 0.

0102110 2 == ttz s 2=t

Las coordenadas del punto de llegada son:

( ) ( ) m 2232122 2 =+=x , ( ) m 824

21 2 ==y ,

0=z La distancia del punto de cada al punto de lanzamiento es

m 25,882 22 =+=d

c) Sea d la persona que se encuentra en el punto ( )ji + m (x =1 m, y = 1 m) del punto de cada de la pelota

( ) ( ) m 07,71812' 22 =+=d Para que la persona que parte en el mismo instante en que se lanza la pelota, llegue simultneamente al punto de cada debe ir con una aceleracin a

2'21' tad = , el tiempo a emplear es t = 2 s.

( )22'2107,7 a= 2m/s 54,3'=a

2m/s 5,007,7154,3' ==xa ,

2m/s 5,307,7754,3' ==ya

jia 5,35,0' +=

Ejemplo 36. Un paraguas abierto mojado se sostiene hacia arriba como se muestra en la figura y se gira sobre la manija a razn uniforme de 21 revoluciones en 44 s. Si el borde del paraguas es un crculo de 1 m de dimetro, y la altura del borde sobre el piso es 1,5 m, hallar dnde las gotas del agua tocan el piso al hacer girar el paraguas.

Solucin.


22

La velocidad angular del paraguas es

s/rad344

rad221 ==s

La velocidad tangencial de las gotas de agua que salen del borde del paraguas es ( )( ) s/m5,135,00 === rv Para calcular el tiempo en que la gota llega al

piso usamos 221 gth =

( ) m553,08,95,122 ===

ght

El alcance horizontal de la gota es x = v0t = (1,5)(0,55) = 0,83 m; y el locus de las gotas es un crculo de radio

( ) ( )22 83,05,0 +=R = 0,97 m. Ejemplo 37. El jugador A observa al jugador B a 50m delante de l, y realiza un pase de pelota parada con una velocidad de 25m/s formando un ngulo de 370 con la horizontal. El jugador B, 0,56 segundos despus del momento del pase, imprime una aceleracin tal que le permite alcanzar la pelota antes de que este caiga al piso. Adems, en el estadio corre un viento con una fuerza tal que le transmite una aceleracin adicional permanente a la pelota de

kiap 42 +=

. Hallar: a) El tiempo que le toma a B alcanzar la pelota despus del pase de A. b) La distancia que corre B para alcanzar la pelota. c) La aceleracin de B. d) La velocidad con la que B llega a la pelota.

Solucin. Ecuaciones paramtricas de la pelota

( ) 2221256,0 ttx p +=

( ) 28,921258,0 tty p =

2421 tz p =

El instante antes de tocar el piso es cuando

0=py ( ) 28,921258,00 tt =

s 02,2=t

a) El tiempo que le toma a B para alcanzar la pelota despus del pase de A es: 2,02 0,56 = 1,46 s. b) La distancia que la pelota recorre en el eje x es

( )( ) ( )202,204,22102,2256,0 +=px

= 34,46 m. La distancia que corre B para alcanzar la pelota en x: 50 34,46 = 15,54 m La distancia que recorre en z

22 )02,2(4214

21 == tzp

= 8,16 m

22 16,874,15 +=d = 17,73 m

La distancia que corre B para alcanzar la pelota es 17,73 m. c) Para encontrar la aceleracin de B en x

( )246,12154,15 Bxa=

( )246,1

54,152=Bxa = - 14,58 m/s2 Para encontrar la aceleracin de B en z

( )246,12116,8 Bza= ( )

246,116,82=Bza = 7,66 m/s2

Luego jia B 66,758,14 +=

m/s 63,16 2=Ba d) La velocidad de B cuando llega a la pelota en x ( ) ( )46,158,1446,1 == BxBx av = -21,28 m/s La velocidad de B llega a la pelota en z ( ) ( )46,1/1646,1 == BzBz av = 11 m/s

jiv B 1128,21 += m/s 24=Bv

VELOCIDAD Y ACELERACIN RELATIVAS.


23

Movimiento relativo de traslacin uniforme. La relatividad de Galileo Consideramos dos sistemas de referencia S y S', S' tiene un movimiento de traslacin rectilneo uniforme con respecto a S; S' se aleja de S con

una velocidad ivV =

Sea un objeto P determinado por un observador

en el sistema S por kzjyixr ++= y por un observador en el sistema S' por

kzjyixr '''' ++= como se muestra en la figura.

Las ecuaciones de transformacin de Galileo que relacionan las observaciones desde los sistemas S y S' son

Vtxx '+= , 'yy = , 'zz = 'tt = . Aqu se supone que puede establecerse una escala de tiempo absoluta aplicable a ambos marcos de referencia de manera que 'tt = . Esto sucedera si la velocidad de la luz fuera infinita (Debemos reconocer que las escalas de tiempo asociadas a dos marcos de referencia no son los mismos si existe movimiento relativo entre ellos es uno de los principios fundamentales de la teora especial de la relatividad propuesta por Einstein en 1905). Vectorialmente podemos representar la transformacin de Galileo como

tVrr += ' .

Derivando las relaciones anteriores podemos obtener la relacin de la velocidad.

Vdtdx

dtdx += ' Vvv xx ' ' +=

dtdy

dtdy '= '' yy vv =

dtdz

dtdz '= '' zz vv =

Vectorialmente += Vvv '

Derivando nuevamente obtenemos la relacin de la aceleracin

dtdV

dtdv

dtdv xx += ''

dtdVaa xx += ''

dtdv

dtdv yy ''= '' yy aa =

dtdv

dtdv zz ''= '' zz aa =

Si la velocidad V del sistema S' es constante,

0=

dtVd

y = 'aa

Estas relaciones encontradas son de aplicacin general si S y S' estn animadas por un movimiento relativo cualquiera, como se muestra en la figura siguiente

Las ecuaciones son:

tVrr += ' , tVrr =' += Vvv '

= 'aa Ejemplo 38. Desde la plataforma de un camin en movimiento horizontal V

r constante se lanza

un proyectil directamente hacia arriba con una velocidad 0v

r. Cmo ser visto el movimiento

del proyectil por: a) un observador situado en el camin (sistema S')? b) un observador situado en el suelo (sistema S)? Solucin. a) El tiempo se mide desde el momento del lanzamiento 00 =t , cuando el proyectil se eleva con velocidad 0v . La componente horizontal de la velocidad coincide con la velocidad V del camin. El observador O' en el camin ver nicamente la componente vertical 0'' yv , la componente horizontal ser 0' 0' =xv . Para un instante t cualquiera


24

0'0'

0'

'

'

==

=

x

x

avx

gagtvv

gttvy

y

yy

y

===

'''

''

0''

20'

b) Si se observa el mismo proyectil desde un sistema de referencia situado en el suelo S con un origen en el lugar de lanzamiento (para

00 =t , O = O'), entonces las posiciones, las velocidades y las aceleraciones respecto de O estarn dadas por la transformacin de Galileo. En este caso la velocidad inicial 0v vista desde el suelo ser

jviVv y 00 +=

202

0 yvVv +=

Vvy01

0 tan=

La trayectoria ser una parbola tal como se ve en la figura siguiente

La componente horizontal del movimiento del proyectil es igual al movimiento del can, de modo que cuando cae el proyectil coincidir con el can. Ejemplo 39. El observador O suelta una piedra del trigsimo piso de un rascacielos. El observador O, descendiendo en un ascensor a velocidad constante de V = 5,0 m/s, pasa el trigsimo piso justo cuando se suelta la piedra. Al tiempo t = 3,0 s despus de que se suelta la piedra, hallar: a) La posicin, la velocidad, y la aceleracin de la piedra relativa a O. b) La posicin, la velocidad, y la aceleracin de la piedra relativa a O. Solucin. a) Para O, la posicin de la piedra est dada por:

200 2

1 attvxx ++=

Donde x = 0 en el trigsimo piso con la direccin hacia abajo como la direccin positiva de x. As, en t = 3,0 s,

( )( )20,38,92100 ++=x = + 44 m/s

Tambin, v = v0 + at da v = 0 + 9,8 m/s2 x 3,0 s = +29 m/s. La aceleracin de un cuerpo en cada libre, segn el observador O que est inmvil con respecto a la tierra. La aceleracin gravitacional es constante. (De hecho, esto es la base de la validez de los dos clculos anteriores.) As tenemos: a = + g = +9,8 m/s2. b) O mide la posicin x', relativa a x por medio de la ecuacin x' = x - Vt. Luego, despus de 3,0 s, x' = 44 m 5,0 m/s x 3,0 s = +29 m. Es decir, la piedra se localiza 29 m debajo del observador O despus de 3,0 s. La velocidad de la piedra relativa a O' es v' = v -V; de aqu, en t =3,0s, v' = 29 m/s 5,0 m/s = +24 m/s Puesto que V es constante, a' = a, y a'= +g = +9,8 m/s2. El observador O ve la piedra con la misma aceleracin vista por O (en general, las aceleraciones son iguales en todos los sistemas inerciales). Ejemplo 40. Un automovilista viaja hacia el oeste a 80 km/h y es seguido por un auto patrulla que viaja a 95 km/h. a) Cul es la velocidad del automovilista respecto al auto patrulla? b) Cul es la velocidad del auto patrulla respecto al automovilista? Solucin. Si el Oeste indica el sentido positivo entonces a) 80 - 95 = -15 km/h b) 95 - 80 = 15 km/h Ejemplo 41. Un ro tiene una rapidez uniforme de 0,5 m/s. Un estudiante nada corriente arriba una distancia de 1 km y regresa al punto de partida. Si el estudiante puede nadar con una rapidez de 1,2 m/s en agua tranquila, cunto dura el recorrido? Compare este resultado con el tiempo que durara el recorrido si el agua estuviera tranquila. Solucin. La rapidez absoluta (respecto a la ribera) cuando nada corriente arriba es 1,2 0,5 = 0,7 y cuando


25

nada corriente abajo es 1,2 + 0,5 = 1,7 entonces el tiempo de ida y vuelta ser

7,11000

7,01000 +=t = 2016,81 s = 0,56 h

Ejemplo 42. Dos remeros en idnticas canoas ejercen el mismo esfuerzo remando en un ro, uno corriente arriba (y se mueve corriente arriba), mientras que el otro rema directamente corriente abajo. Un observador en reposo sobre la orilla del ro determina sus rapideces que resultan ser de V1 y V2 respectivamente. Determine en trminos de los datos la rapidez de las aguas del ro. Solucin. Sea W la rapidez del ro y u la rapidez de los botes respecto al agua (igual en ambos), entonces V1 = u -W V2 = u + W de modo que

212 VVW =

Ejemplo 43. Un bote cruza un ro que mide de ancho a en el cual la corriente fluye con una rapidez uniforme u. El botero mantiene una orientacin (es decir, la direccin en la cual apunta el bote) perpendicular al ro y al motor fijo para dar una rapidez constante de v m/s con respecto al agua. De acuerdo a los datos a) Cul es la velocidad del bote respecto a un observador detenido en la orilla? b) Hasta dnde estar el bote, medido corriente abajo paralelamente al ro, desde la posicin inicial hasta cuando alcance la orilla opuesta? Solucin. a)

jviuV += b) La componente de la velocidad absoluta perpendicular al ro determine el tiempo de cruce

de acuerdo a vat =

Por lo tanto el bote avanza paralelamente al ro una distancia

avuutd ==

Ejemplo 44. Un comprador que est en una tienda puede caminar sobre una escalera mecnica en 30 s cuando est detenida. Cuando la escalera mecnica, funciona normalmente, puede llevar al comprador sin caminar al siguiente piso en 20 s. Cunto tiempo le tomara

al comprador al subir caminando con la escalera mecnica en movimiento? Suponga que el comprador hace el mismo esfuerzo al caminar sobre la escalera mecnica en movimiento o cuando est parada. Solucin. Sea L el largo de la escalera. Entonces la velocidad de la persona respecto a la escalera es

30' Lv = .

Sea ve la velocidad de la escalera. Ella corresponde a la de la persona cuando no camina, es decir

20Lve =

Si la escalera funciona y la persona camina, entonces

tLLLvvv e =+=+= 3020'

de donde el tiempo ser t = 12 s. Ejemplo 45. El piloto de un avin observa que la brjula indica que va dirigindose hacia el oeste. La rapidez del avin respecto al aire es de 150 km/h. Si existiera un viento de 30 km/h hacia el norte, calcule la velocidad del avin respecto a la Tierra.

Solucin. La velocidad del viento es vv = 30 km/h y la rapidez del avin respecto al aire es v = 150 km/h. Pero

+== '30 vijvv De donde ijvv 30' = , y si tomamos magnitudes

22 30150 += v v = 146,969 km/h. Ejemplo 46. El piloto de un avin desea volar hacia el oeste en presencia de un viento que sopla hacia el sur a 50 km/h. Si la rapidez del avin cuando no sopla el viento es de 200 km/h, a) hacia qu direccin debe dirigirse el avin? b) cul debe ser su rapidez respecto a la Tierra?


26

Solucin. La velocidad del viento es vv = 50 km/h hacia el sur y la rapidez del avin respecto al aire es v = 200 km/h. Para poder volar directamente hacia el oeste con respecto a tierra debe compensar el arrastre producido por el viento, tal como se muestra en la figura siguiente.

a) La direccin hacia la que debe dirigirse el avin est dada por el ngulo .

25,020050cos ===

vvv 5,75=

Debe dirigirse 75,5 direccin N-O. b) Su velocidad respecto a la Tierra es:

ivv 50'= Y su rapidez respecto a tierra es:

2222 5020050' == vv = 193,6 km/h Ejemplo 47. Una nadadora de larga distancia es capaz de nadar a travs de aguas tranquilas a 4 km/h. Ella tratar de nadar de Port Angeles, WA con rumbo norte hasta Victoria, BC, a una distancia de 50 km. Una corriente ocenica fluye a travs del Estrecho de Juan de Fuca de oeste a este a 3 km/h. En qu direccin debe nadar para cruzar a lo largo de una lnea recta entre las dos ciudades? Solucin. Para poder para cruzar a lo largo de una lnea recta, debe nadar formando un ngulo con la direccin deseada como se muestra en la figura.

43sen = 6,48=

Debe nadar en direccin 48,6 al oeste del norte Ejemplo 48. Un nio en peligro de ahogarse en un ro est siendo llevado corriente abajo por una corriente que fluye uniformemente con una rapidez de 2,5 km/h. El nio est a 0,6 km de la orilla y a 0,8 km corriente arriba de un embarcadero cuando un bote de rescate se pone en camino. a) Si el bote procede a su rapidez mxima de 20 km/h con respecto al agua, cul es la direccin, relativa a la orilla, que deber tomar el conductor del bote? b) Cul es el ngulo que hace la velocidad v del bote con respecto a la orilla? c) Cunto tiempo le tomar al bote para alcanzar al nio? Solucin. a) Considerando que el bote y el nio dentro del ro se encuentran en un sistema inercial S. En este sistema el nio esta en reposo y el bote se mueve con su velocidad, para poder alcanzar al nio en el menor tiempo, el bote debe enfilar con un ngulo relativo a la orilla dado por

5,18,06,0tan == 37=

b) La velocidad del bote v, con respecto a la orilla

5,135,237cos20 =+=xv (1) 1237sen20 ==yv (2)

Dividiendo (2) : (1)

89,05,13

12tan === yx

vv

41=


27

c) El tiempo que le tomar al bote para alcanzar al nio:

vtd = vdt =

Siendo v = 20 km/h y 22 6,08,0 +=d = 1,0 km

201=t = 0,05 h = 3 min

Ejemplo 49. Desde el techo del carro de un tren que est acelerando hacia el norte a una razn de 2,5 m/s2 , un perno se suelta y cae. Cul es la aceleracin del perno con respecto a: a) el carro del tren? b) la estacin? Solucin. Si y es la vertical hacia arriba y x es la direccin de la aceleracin del tren, entonces a)

jia 8,95,2' = b)

ja 8,9= Ejemplo 50. Un estudiante de la Facultad de Ingeniera pasea sobre el vagn de un tren que viaja a lo largo de una va horizontal recta a una rapidez constante de V m/s. El estudiante lanza una pelota al aire a lo largo de una trayectoria que inicialmente forma un ngulo de con la horizontal y est en lnea con la va. Un profesor que est parado cerca sobre la tierra, observa que la pelota sale verticalmente. Qu altura subir la pelota? Solucin. Si V es la rapidez inicial de lanzamiento relativa al tren, entonces en la direccin x tenemos: Vx = V cos V = 0 Porque el profesor observa que sale verticalmente.

cos'VV =

Luego Vy = Vy = Vsin = V cot Subir una altura h dada por

gVh

2cot 22 =

Ejemplo 51. La brjula de un avin indica que se est dirigiendo hacia el este con una velocidad de 400 km/h. La informacin de tierra indica que el viento sopla hacia el norte con una velocidad de 300 km/h. Cul es la velocidad del avin con respecto a tierra? Solucin. En este caso tenemos dos sistemas, el sistema tierra (S) y el sistema aire (S') que se mueve con una velocidad de 300 km/h respecto a tierra.

jV 300= iv 400' =

tVR =

tvr = ''

La posicin del avin visto desde O es += 'rRr = + 'rtV

La velocidad es

+== 'vV

dtrdv

Luego ijv 400300 += Su magnitud es

hkm500400300 22 =+=v

o1- 37400300 tan ==

El avin se dirige hacia el NE formando un ngulo de 37 con la direccin este, el mdulo de la velocidad es 500 km/h. Ejemplo 52. Un nadador recorre una piscina de 100 m en 2 min. Va a nadar en un ro y observa, antes de lanzarse al agua, que un trozo de madera que flota en ella recorre 20 m en 1 minuto. Calcular el tiempo que tardar el nadador en recorrer 100 m en el ro, segn vaya a favor o en contra de la corriente. Solucin.


28

La velocidad del nadador es:

minm50

2100 ===

tsvn

La velocidad del agua del ro es: minm20=rv

La velocidad nadando a favor de la corriente es: rn vvv +=1 = 50 + 20 = 70 m/min

Y el que tarda en recorrer 100 m es:

70100

11 == v

st = 1 min 26 s

La velocidad nadando en contra de la corriente es: rn vvv =2 = 50 - 20 = 30 m/min

Y el que tarda en recorrer 100 m es:

30100

22 == v

st = 3 min 20 s

Ejemplo 53. Un acorazado navega con rumbo NE a una velocidad de 50,56 km/h. Suena zafarrancho de combate y uno de los tripulantes marcha corriendo de babor a estribor para ocupar su puesto, a una velocidad de 10 km/h. Calcular el valor de la velocidad resultante y su direccin. Solucin.

hkm56,55=Av , h

km10=Tv 22 1056,55 +=V = 56,45 km/h

1056,55tan = 8,79=

8,34458,79 == = 34 47 49 La direccin ser 90 - = 55 12 11 Ejemplo 54. Una pequea lancha atraviesa un ro de 50 m de anchura; al mismo tiempo la corriente lo arrastra 60 m aguas abajo. Qu camino ha recorrido? Solucin.

Si en la figura y es el ancho del ro y x el avance producido por la corriente, el camino recorrido por la lancha es s.

2222 5060 +=+= yxs = 78,1 m Ejemplo 55. La velocidad que provocan unos remeros a una barca es de 8 km/h, la velocidad del agua de un ro es 6 km/h, y el ancho de tal ro 100 m. a) Suponiendo la posicin de la proa perpendicular a las orillas, calcular el tiempo que tarda la barca en cruzar el ro y la distancia a que es arrastrada, aguas abajo, por la corriente.

b) En qu direccin debe colocarse la proa de la barca para alcanzar el punto de la orilla opuesta situado enfrente del de partida? El punto de partida y llegada se encuentran en la perpendicular comn a las orillas.

c) Qu velocidad, respecto a la tierra, lleva la barca en los dos casos estudiados? d) Cunto tarda en atravesar el ro? Solucin. a) vx = vr = 6 km/h, vy = vb = 8 km/h

tvy y= h81,0==

yvyt = 45 s

La distancia a que es arrastrada por la corriente:

tvx x= = Km81,06 = 75 m

b) Para que la barca vaya en la direccin de v2 la componente horizontal de vb ha de ser igual a 6 km/h.

rb vv =sen 86sen =


29

= 48o 35 c) En el primer caso

22221 86 +=+= yx vvv

= 10 km/h En el segundo caso: v2 = vbcos = 8cos 48 35 = 5,3 km/h d) En el primer caso son 45 s ya calculados. En el segundo caso:

h3,51,0

2

==vyt = 68 s

Ejemplo 56. Una canoa de 2,5 m de largo est junto a la orilla de un ro y perpendicularmente a ella. Se pone en marcha con una velocidad de 5 m/s y al llegar a la orilla opuesta ha avanzado en el sentido de la corriente 23,4 m. a) Calcular la velocidad del agua sabiendo que el ro tiene una anchura de 100 m. b) Si la canoa marcha a lo largo del ro, determinar el camino recorrido en 1 minuto segn vaya en el sentido de la corriente o en sentido contrario. Solucin . a) La proa de la canoa debe recorrer un espacio en direccin perpendicular al ro: y = 100 2,5 = 97,5 m siendo y = vc t = 97,5 m el ro arrastra a la canoa x = 23,4 m = vr t dividiendo las dos anteriores

rv5

4,235,97 = s/m2,1=rv

b) rc vvv +=1 = 5 + 1,2 = 6,2 m/s x1 = 6,2 x 60 =372 m

rc vvv =2 = 5 - 1,2 = 3,8 m/s x2 = 3,8 x 60 = 228 m Ejemplo 57. Un bote de remos se dirige perpendicular a la orilla de un ro. Los remos pueden propulsar el bote con una velocidad de 3,0 m/s con respecto al agua. El ro tiene una corriente de 4,0 m/s. a) Construya un diagrama en el cual las dos velocidades se representen como vectores. b) Encuentre el vector que representa la velocidad del bote con respecto a la orilla. c) Qu ngulo forma este vector con la direccin en la cual el bote est sealando? d) Si el ro tiene 100 m de ancho, determnese cun lejos ro abajo del punto del lanzamiento el bote llega a la orilla opuesta. Solucin.

a) Diagrama.

b y c) La velocidad del bote con respecto a la

orilla es += RBneta vvv .

Como Bv y

Rv son perpendiculares, tenemos

22RBneta vvv +=

= s/m543 22 =+ . El ngulo mostrado en la figura se determina por

B

R

vv=tan .

Para las velocidades dadas encontramos o1,53= .

El bote se mueve a lo largo de una lnea dirigida 53,1 ro abajo.

d) Haciendo D = distancia ro abajo, tenemos

34

100==

B

R

vvD

, tal que D = 133 m.

Ejemplo 58. Un submarino de propulsin convencional (Diesel) sufri un incendio en el Atlntico Norte despus de salir de Inglaterra. Debido a un huracn no era posible enviar barcos ni aviones para ayudar al submarino Diesel. La marina decidi enviar un submarino de propulsin nuclear para ayudar al de propulsin Diesel. El submarino diesel se encuentra al Sur a 500 km de distancia del submarino nuclear (ver figura). La rapidez del submarino nuclear respecto al agua es de 54 km/h. Adems, hay una corriente marina de 36 km/h que se mueve al NE formando un ngulo de 30 respecto al norte. Asuma que el eje x es el eje DE, y el eje y es el NS. a) Si V es el mdulo de la velocidad del submarino nuclear visto desde tierra, escriba en forma vectorial, usando el sistema de coordenadas x-y, la velocidad del submarino nuclear respecto a tierra para que llegue al submarino diesel y la velocidad de la corriente marina con respecto a tierra. b) Halle la velocidad del submarino con respecto


30

a la corriente de agua. c) Calcule el mdulo de la velocidad V. d) Halle el tiempo en el cual los marineros son rescatados.

Solucin. a) Si V es el mdulo de la velocidad del submarino nuclear visto desde tierra, escriba en forma vectorial, usando el sistema de coordenadas x-y, la velocidad del submarino nuclear respecto a tierra para que llegue al submarino Diesel y la velocidad de la corriente marina con respecto a tierra.

b) Halle la velocidad del submarino con respecto a la corriente de agua.

jiV sR cos54sen54 = , jijiv c 18,311830cos3630sen36 +=+=

018sen54 =+ 31

5418sen ==

94,0cos = ( ) jV sT 18,31cos54 +=

( ) j18,3176,50 += = j18,19 c) Calcule el mdulo de la velocidad V. 19,18 km/hora d) Halle el tiempo en el cual los marineros son rescatados.

18,19

500==Vdt

= 26 horas

Ejemplo 59. Desde el interior de un tren que viaja a 108 km/h, un nio lanza un objeto por una ventana con una velocidad de 36 km/h, horizontalmente y perpendicularmente a la marcha del tren, justo en el momento en que pasa en frente de un poste indicador. a) A qu distancia del poste contada a lo largo de la va, y a qu distancia de esta chocar el cuerpo con el suelo? b) Realcese un esquema de la trayectoria seguida por el cuerpo. Dato: la altura inicial del objeto sobre el suelo es de 2,45 m.

Solucin.

Velocidad del tren sm30

hkm108 ==yv ,

Velocidad de la piedra sm10

hkm36 ==xv

2sm10g

a) El movimiento de la piedra lanzada est dada por las ecuaciones:

tx 10= , ty 30= , 2102145,2 tz =

Cuando la piedra llega al suelo z = 0 210

2145,20 tz == st 7,0=

Distancia del poste medida desde la va: m21)7,0(3030 === ty

Distancia de la va al punto de cada: m7)7,0(1010 === tx

b)

PREGUNTAS Y PROBLEMAS


31

1. La velocidad de la corriente de un ro aumenta en proporcin a la distancia de la orilla y alcanza su valor mximo 0v en el medio. Cerca de la orilla la velocidad es cero. Un bote que navega en el ro tiene una velocidad u relativa al agua, constante y perpendicular a la corriente. a) Encontrar la distancia que fue arrastrando el bote al cruzar el ro de ancho C. b) Determinar la trayectoria del bote Respuesta

a) u

vCd

20=

2. Un automovilista entra en una curva de 150 m de radio, una velocidad de 72 km/h. Accionando los frenos hace disminuir su velocidad de modo uniforme a razn de 1,5 m/s 2 . Determinar el mdulo de la aceleracin del automvil cuando su velocidad es de 63 km/h. Respuesta 2,53 m/s 2 3. Las ecuaciones paramtricas del movimiento de una partcula son tRx cos= ,

tRy sen= , vtz = . R, , v son constantes. Probar que se trata de un movimiento uniforme, dibujar la trayectoria. Respuesta Movimiento helicoidal con velocidad angular y subiendo con velocidad v. 4. Dadas las ecuaciones paramtricas de un movimiento tAx sen= , tAy cos= , a) Escribir la ecuacin del movimiento. b) La ley horaria c) La trayectoria Respuesta

a) jtAitAr cos sen += , b) Ats = , c) 222 Ayx =+

5. Dos objetos se mueven en el plano xy de

acuerdo a ( ) ( ) jtittr 12222834 21 ++++= y ( ) ( ) jtittr 245444118 22 ++=

respectivamente. a) Cuales son la velocidad y aceleracin de cada objeto? b) Dnde y cuando chocan? Respuesta

a) ( ) jitv 2381 ++= , ia 81 = ( ) jitv 511162 ++= , ia 161 =

b) jirr 3684021 +== , 12=t 6. Las posiciones de dos partculas P1 y P2 estn

dadas por ( )ittr 235 21 ++= , ( )ittr 5 22 += . a) En qu instante chocarn las dos partculas? b) Cul es la diferencia de velocidades en ese instante? Respuesta a) t = 2 b) 8 7. El movimiento de una partcula est definido por el vector posicin

ktbRjCtitbRr cos sen ++= . Determinar. a) La velocidad y aceleracin de la partcula. b) La trayectoria de la partcula. c) El radio de curvatura. Respuesta

a) 222 bRCv += , 2Rba = , b) Helicoide, c) 2

2

RbCR +=

8. El movimiento de una partcula est definido por el vector posicin

jtitr 2cos25,0 sen1,0 += , r en metros y t en segundos: a) Determinar la velocidad y aceleracin para t = l s. b) Demostrar que la trayectoria de la partcula es una parbola. Respuesta

a) m/s 1,0 iv = , 0=a b) 25025,0 xy = 9. La aceleracin de un cuerpo es: ( ) 2cm/s23 kjia ++= a) Si el cuerpo parte del reposo Cul es su velocidad despus de 3 segundos? b) Cul es su posicin despus de 10 segundos? c) Cul es su rapidez media durante los primeros 10 segundos? Respuesta a) ( )cm/s369 kji ++ b) ( )cm50100150 kji ++


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c) 18,71 cm/s 10. Si una partcula que se mueve sobre una trayectoria curva tiene una aceleracin total en

un momento dado ( ) 2cm/s23 nta += . Hallar: a) La aceleracin tangencial. b) La aceleracin centrpeta. c) El mdulo de la aceleracin total. d) El ngulo que la aceleracin total forma con la tangente a la curva. Respuesta: a) 2cm/s 3=ta b) 2cm/s 4=ca c) 25cm/s=a d) o53,1 = 11. Dos cuerpos se lanzan simultneamente desde un mismo punto con la misma rapidez inicial pero en distintas direcciones, uno verticalmente hacia arriba y el otro formando un ngulo = 60 con la horizontal. Conociendo que la rapidez inicial de ambos cuerpos es 0v = 25 m/s, a qu distancia se encontrarn cuando hayan pasado 1,7 s? 12. Una partcula se mueve en un plano de tal suerte que su radio vector con respecto a un punto fijo barre ngulos iguales en tiempos iguales mientras que la distancia al punto fijo es variable con el tiempo. Escriba las componentes radial y tangencial de la velocidad y la aceleracin de la partcula mostrando explcitamente cualquier cantidad que se mantenga constante durante el movimiento. 13. Un tren pasa por una estacin con una velocidad de 30 km/h. En el instante en que la locomotora pasa junto al guardagujas este lanza una bolsa a uno de los ingenieros de mquinas. Sabiendo que la rapidez inicial con que el guardagujas lanz la bolsa fue de 45 km/h a) Cul tendr que ser el ngulo de lanzamiento para lograr el objetivo? b) Describa la trayectoria de la bolsa en el sistema de referencia del maquinista. 14. Un arquero est en una colina cuya pendiente forma un ngulo con la horizontal. Si el arquero dispara la flecha segn una direccin respecto a la colina y con velocidad 0v , encontrar la distancia, medida a lo largo de la colina, a la cual caer la flecha.

15. Dos partculas se encuentran inicialmente en reposo en las posiciones que muestra la figura. Ambas comienzan a moverse al mismo tiempo,

la partcula 1 con aceleracin constante jaa = , y la partcula 2 con aceleracin angular constante , en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, describiendo una circunferencia de radio R, como se muestra en la figura. Determine en funcin de a y R: a) El tiempo que tardan en encontrarse, suponiendo que lo hacen sobre el eje de las ordenadas, antes de que la partcula 2 complete una vuelta completa. Encuentre el valor de que hace esto posible. b) Halle los vectores velocidad y aceleracin de las dos partculas para el instante del encuentro.

16. Un nio hace girar uniformemente una piedra en un crculo horizontal por medio de una cuerda de 1 m de longitud. El nio se encuentra sobre un montculo de tal forma que el plano del movimiento se encuentra a 5 m de altura sobre el suelo. La cuerda se rompe y la piedra sale disparada horizontalmente, golpeando el suelo a 3 m de distancia. Cul fue la aceleracin centrpeta de la piedra mientras estaba en movimiento circular?

17. Desde un sistema de referencia situado en el suelo, con eje horizontal x y vertical y, se


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observa el movimiento de un objeto sometido a una aceleracin jia 62 = (m/s). Si en el instante inicial el objeto se encontraba en el punto P = (-3, 2) (m), movindose con una velocidad ( ) jv t 30 == (m/s): a) Obtenga la ecuacin explcita de la trayectoria del objeto. b) Determine el instante en el que la velocidad y la aceleracin son perpendiculares. c) Calcule las coordenadas del punto ms alto de la trayectoria. d) Calcule el tiempo que tard el mvil desde que sali del punto P hasta que lleg al suelo. 18. La figura muestra una cuenta P que desliza por un alambre plano en forma de parbola. La ecuacin de la parbola es y = x2/b, donde b es una constante positiva con dimensiones de longitud. Llamaremos al ngulo entre la tangente a la curva y el eje x. en el punto donde se encuentra la cuenta. a) Halle tan en funcin de la coordenada x de P. b) Suponga que la cuenta tiene rapidez v y se mueve hacia la derecha. Halle las componentes x e y de la velocidad de la cuenta en funcin de y y de la coordenada x de P. Ayuda: recuerde que el vector velocidad es tangente a la trayectoria.

Respuesta

a) bx2tan =

b) 22 4xb

bvvx += , 22 42

xbxvvy +=

19. Un ascensor parte del reposo y desciende con aceleracin constante de 1 m/s2 respecto a tierra. Dos segundos despus de iniciarse el descenso se cae la lmpara del techo del ascensor. La distancia del techo al piso del ascensor es de 2 m. Definimos el referencial del ascensor como aquel con origen en su techo y direccin y positiva apuntando hacia abajo. a) Halle los vectores aceleracin, velocidad y posicin de la lmpara respecto al ascensor.

b) Determine el tiempo que tarda la lmpara en caer. c) Encuentre la distancia recorrida por el ascensor mientras cae la lmpara. Respuesta Todas las unidades estn expresadas en el sistema MKS. L indica lmpara, A ascensor y T tierra. a) Tomaremos como t = 0 el instante para el cual se desprende la lmpara.

jaaa ATLTLA 9== , jtv LA 9= , jtr LA 29 2=

b) 229 2 == tyLA 3

2=t

c) 9

14=D 20. Los instrumentos de un aeroplano en vuelo horizontal indican que se dirige hacia el Este con una rapidez de 300 km/h respecto al aire. En Tierra se observa que el aeroplano se encuentra en medio de una corriente de aire que sopla hacia el Norte con rapidez de 60 km/h. Halle la velocidad y rapidez del avin respecto a Tierra. Respuesta. Llamaremos E y N a los vectores unitarios en direccin Este y Norte respectivamente.

( )NEv 60300 += km/h, 2660=v km/h. 21. Un hombre gua su automvil bajo lluvia a una velocidad constante respecto a Tierra de mdulo y direccin. Mientras conduce el hombre observa que la trayectoria de cada gota es una lnea recta que se aparta un ngulo

capitulo 3. movimiento en un plano y en el espacio

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