movimiento plano de fluidos

7/29/2019 Movimiento Plano de Fluidos

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Mecnica de Fluidos I Pgina 1

MOVIMIENTO PLANO DE FLUIDOSLa mayora de problemas sobre conduccin de agua en tuberas y canales se

resuelven con la hiptesis de flujo unidimensional. Pero tambin hay un grupo

importante de problemas en los que se hace imprescindible considerar el flujo en

dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que la descripcin del flujo en planos

paralelos es idntica a la estudiada.

Se hace el anlisis del flujo en un plano, es decir movimiento plano es aquel que es

idntico en todos los planos perpendiculares a una direccin, llamado direccin de

identidad.

Parecera que solamente el lquido ideal (sin viscosidad y por ello irrotacional)

puede ser objeto de estudio en lo que se refiere a movimiento plano, pero no es as.

Como regla general, se puede producir un flujo casi irrotacional en lquidos reales

si el efecto de la viscosidad en el movimiento es de poca importancia.

Un caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso, como

es el subsuelo o una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con

predominio de la viscosidad (flujo laminar) pero resulta casi irrotacional. Esto

hace que el estudio del flujo plano alcance tambin a este importante caso del flujo.

LA FUNCIN DE CORRIENTE ().Se puede suponer un lquido incomprensible en movimiento bidimensional,

permanente, que se desarrolla en planos perpendiculares al eje z direccinidentidad), de modo que su estudio puede hacerse en el plano x y; se puede

considerar luego una familia de L.C. (lneas de corriente), las que no cambiarn con

el tiempo por tratarse de un movimiento permanente.


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f(x,y,z)

Familia de lneas de corriente

Definicin:

La funcin corriente es una funcin escalar que define a una familia de lneas de

corriente. Esta funcin tiene un valor constante diferente para cada lnea de

corriente.

, . x y Cte

Las lneas de corriente sirven para la representacin grfica de los flujos llamados

bidimensionales, que pueden representarse fcilmente en un plano porque la

velocidad no tiene componente normal al plano del dibujo, y la configuracin de

corriente en todos los planos paralelos al del dibujo es idntica.

Por cada punto de la corriente pasa una lnea de corriente. Por tanto si se trazaran

todas las lneas de corriente no se distinguira ninguna y se trazaran demasiadas el

dibujo sera confuso. Por eso se trazan solo unas cuantas; pero de manera que

entre cada dos lneas consecutivas circula el mismo caudal, .


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En el punto P sobre una lnea de corriente, los tres vectores i ndicados en la figurason normales entre s, de modo que se cumple:

V k

i jx y

0 0 1

i j k

Vx y az

( )

V i j ay x

Pero: ( ) x yV V i V i b

En coordenadascartesianas:

Comparando (a) y (b)

x

y

Vy

Vx


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Componentes de V en coordenadas cartesianas, relacionada con la FuncinCorriente.En coordenadaspolares:

| |

r

1V

r

Vr

Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la Funcin

Corriente.

Campo de flujo bidimensional y permanente:

La figura muestra un campo de flujo bidimensional y permanente. La primera lnea

de corriente por el origen o, tambin incluimos las lneas de corriente MM y NNseparadas entre s una distancia dn.

.

, .


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Denominamos al gasto entre lneas de corriente desde o a MM, el gasto entreMM y NN se denominand. Por lo tanto el gasto entre o y NN es+ d.Para analizar este hecho se utiliza un volumen de control triangular de

catetos dx y dy e hipotenusa dn, donde el gasto que ingresa debe ser igual al que

sale:

+ El diferencial total de gasto

des:

+ Por comparacin podemos determinar:

+ +

Donde, esta ltima expresin es denominada Funcin de Corriente.

De la ecuacin analtica de las lneas de corriente para un flujo plano:

yxVV

dx dy


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Desarrollando: 0 x y x yV dy V dx V dy V dx

Sustituyendo:

x

y

Vy

Vx

en la expresin anterior, resulta:

0

dy dx ay x

0d ,

Integrando, resulta:

. Cte

Lo que confirma que la funcin corriente tiene un valor constante diferentepara cada lnea de corriente.

Adems sabemos que V y son ortogonales es decir:

Siendo:

x yV V i V j y i j x y

Donde se conoce que: xVy


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yVx

Luego:y xV i V j

Adems si son ortogonales 0 V y V

x y y xV V i V j V i V j

x y y xV V V V V

0 V

Conclusiones:

1) Conocido uno de las funciones vectoriales, se puede encontrar la otra funcinvectorial ortogonal.

2) El mdulo de V , es igual al mdulo del gradiente de V (a)

22 2 2 2 2

x y y x x yV V V y V V V V

3) El mdulo del gradiente de , es igual a la derivada de , segn la direccinnormal a las lneas de corriente Cte

n

(b)

V Vn

Si n es un vector unitario en la direccin normal a las lneas de corriente, por

definicin de derivada direccional se tiene que:


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n

n

Pero toda vez que y n son paralelos n

V

n

4) De modo que:

.

El gasto que pasa entre dos lneas de corriente (l.c) y + d por unidad deancho perpendicular al papel.

2

2 11q

Demostracin:

Consideremos dos lneas de corriente 1 2y separadas una distancia nnormal a las dos lneas de corriente 1 2, y segn Fig.


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Determinamos el gasto q que atraviesa la seccin identidad de dimensiones1; dA n es decir el gasto que pasa entre dos lneas de corriente 1 2y

separados una distancia n

Entindase como gasto o caudal el volumen que atraviesa a la seccin identidad,

normal a ella, en la unidad a tiempo, matemticamente expresado como:

/ q t

d

dqdt

En un intervalo dt el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficiedA seccin identidad es:

d dAds

Pero:

d dsdA

dt dt

dq VdA

A

q v dA q V A

El gasto es igual a la velocidad media (V ) por el rea (A).

Para el caso en estudio:

A

q v dn

.. )Adems si el flujo es incompresible y permanente V = Cte.

nq V dn q Vn


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Adems sabemos que: Vn

Luego v n ; apliquemos diferenciales normales d Vdn e integrando:

2

1

n

vdn ..( )

De () y ( ), resulta:2

1 q

LA FUNCIN POTENCIAL. ( ) Introduccin: El estudio del flujo plano es posible solo si se cumple que el campo

de velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una

funcin escalar ( ) , llamada funcin potencia tal que:

V

Se puede mostrar con facilidad que , es decir que si el

campo de velocidades es potencial, es irrotacional, lo cual justifica que se pueda

decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.

2 1 q


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Concepto:

Es una funcin escalar que define a una familia de lneas equipotenciales. Esta

funcin tiene un valor constante diferente para cada lnea equipotencial.

Familia de lneas equipotenciales

x,y Cte

Por definicin de campo potencial de velocidades, se sabe:

.........(1) V

Dnde: V = Campo potencial de velocidades

= Funcin potencial de velocidades

Desarrollando (1):

V i jx y

.................( )

V i j a

x y

Pero ......................( ) x yV V i V i b


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En coordenadas cartesianas:

Comparando (a) y (b):

x

y

Vx

Vy

En coordenadas polares:

1

r

y

V r

Vr

Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la FuncinPotencial.Ecuacin Analtica de las lneas equipotenciales

: Es otro vector del vector V , pero que define la direccin de la lneaequipotencial " " , tangente a " "

Componente de la velocidad en coordenadas

cartesianas, relacionada con la Funcin Potencial.


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De la ecuacin analtica de las lneas de corriente tenemos:

(1) yxVV

dx dy

Como y son lneas ortogonales, la ecuacin analtica de las lneas

equipotenciales se obtiene sustituyendo en (1)

x y

y x

V V

V V

como se aprecia en la

figura anterior, luego;

2

y xV V

dx dy

La expresin (2), constituye la ecuacin analtica de las lneas equipotenciales.

Desarrollando (2):

0........ 3 x y x yV dx V dy V dx V dy

Sustituyendo: 3

x y

V y V enx y

0

dx dy

x y

0

dx dy x y

0d

Integrando: cte


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Lo cual confirma que la funcin potencial tiene un valor constante diferente paracada lnea equipotencial.

Conclusiones

El mdulo de V es igual al mdulo del gradiente de " " , puesto que V ,entonces:

...........(1) V

El mdulo del gradiente de " " es la derivada de " " segn la normal a laslneas equipotenciales Cte .

...........(2)'

n

Pero de (1): V

Luego: .............(3)'

V

n

'V

n

'n = separacin entre dos lneas equipotenciales normales a y .

La velocidad esinversamente proporcional a la separacin de los equipotenciales.


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ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN.Del desarrollo anterior se desprende que las funciones " " " "y no son

independientes sino que estn relacionadas entre s a travs de las siguientes

expresiones, conocidas como ecuaciones de Cauchy RiemannEn coordenadas cartesianas.

x

y

Vy

Vx

(1)

Componentes de la velocidad en coordenadas cartesianas, relacionada con la

Funcin Corriente.

x

y

Vx

Vy

(2)

Componente de la velocidad en coordenadas cartesianas, relacionada con laFuncin Potencial.


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En coordenadas Polares

Comparando (1) y (2)

x

y

Vy x

Vx y

Ecuaciones de Cauchy Riemann en coordenadas cartesianasEn coordenadas Polares

(3)

Componentes deV en coordenadas polares, relacionada con la Funcin

Corriente.

Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la Funcin

Potencial.

Comparando (3) y (4):

Ecuaciones de Cauchy Riemann en coordenadas polares.


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RED DE CORRIENTE

Concepto:

Es una representacin diagramtico de las lneas de corriente y equipotenciales del

escurrimiento, por lo tanto es una malla formada por la funcin de corriente

Cte y la funcin potencial Cte . Esta malla resulta ser cuadrada.

Sabemos que:

'

V y V

n n

Igualandoambasexpresiones:'n n

Tomemosderivadasordinarias:'

d d

dn dn

Si tomamos: ,d d resulta que 'dn dn , lo que significa que las lneas

corrientes y las equipotenciales, adems de ser ortogonales formaran una malla

de cuadrados.


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En conclusin, el estudio del flujo plano en un cierto contorno, se refiere a la

obtencin de la red de corriente para ese contorno y a partir de la red de corriente,

que es nica en cada contorno, deducir la distribucin de velocidades o la

distribucin de presiones en las zonas de inters.

Por lo expuesto, la red de corriente es un espectro de lneas ortogonales. En una

red de flujo todas las reas limitadas por un par de lneas de corriente y un par de

lneas equipotenciales, son homlogas, por ejemplo, tienen la misma relacin de

anchura a longitud. Lo anterior implica que la red de flujo es un conjunto de

rectngulos; en la prctica, y por comodidad y conveniencia, se trazan lneas de

corriente y equipotenciales formando redes de cuadrados, debindose interpretar

como tales, las figuras que quedan determinadas al cortarse las lneas, de manera

que las longitudes medias sean iguales.

En el diseo de una presa de tierra es indispensable contar con el trazo de la red de

corriente.

EJEMPLOS APLICATIVOS.

PROBLEMAS DE APLICACIN

1. La componente x de la velocidad de un campo de flujo estable eincompresible es 2/x. Hallar la componente de la velocidad y.

() (

)

( )


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+ Gradientede la velocidad:

[ ]

+ Nota: Omitimos las constante para las condiciones iniciales: x=0, y=0, C=0

:

, +

2. Un flujo de dos dimensiones estable cuyo campo de velocidades esta dadpor: A=X (1+2T), V= y encuentre las variacin del tiempo de las lneas de

flujo del cual circulan cuyo punto de referencia es X, Y.SOLUCIN:

u=X (1+2T)

V=y

P (X, Y)

, ( +

)/


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Reemplazando u y V

+T

Integrando: +T + T log = l o g +

log

=

log+log

log log =

aciendo

RPT:


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3. Para un flujo en el plano (x,y) la componente y de la velocidades

+.determinarunaposible componente x para un flujo

estable en compresin.

1.- teniendo la componente y de la velocidad:

+.2.- se deriva la velocidad dada:

+ 3.- derivamos con respecto a x, y e igualamos a 0

+

4.-remplazamos la derivada de la velocidad

+ 5.-integramos

+ +

+ +


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Para condiciones iniciales, considerando que el flujo parte del origen

entonces:

x = 0, y =0 por lo tanto c =0

u = + u =

Componente x para unflujo estable en compresin

6.- como ya determinamos una nueva componente, determinamos una

velocidad bidimensional en el plano (x, y) en trminos de vectores

unitarios i,j

, + + 4. Se tiene un fluido cuyas partculas en movimiento estn gobernadas por los

siguientes campos:

Campo escalar de densidades ;4xyzt y el campo vectorial de

velocidades 6x 13y 13z

V i j k t 4t 4t

. Demostrar que cumple la ecuacin

de continuidad.

Solucin

Parael caso general: Flujo Incomprensible impermanente:

0

t

EcuacinDiferencialdecontinuidad


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4xyzt 4xyzt t

4xyz

t

?? V

Dnde: 6x 13y 13z

V i j k t 4t 4t

; y

4xyzt

2 2 2V 24 x yz i 13 xy z j 13 xyz k

2 2 2V 24x yz 13xy z 13xyz x y z

2 2 2x y zV 24yz 13xz 13xy

x y z

V 24yz 2x 13xz 2y 13xy 2z

V 48 xyz 26 xyz 26 xyz

v 4XYZ

4xyz 4xyz 0

V 0t

Verificndose la Ecuacin de Continuidad.


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