Plano Inclinado Estudio dinámico de un movimiento

Utilizando la filmación de un tobogán del parque infantil del Prado de Montevideo

Elegimos un sistema de referencia con el eje x a lo largo

del plano (eje del movimiento)

X

y

X

y

¿Qué fuerzas actúan sobre la niña?

Aplicando el 3er principio de Newton, vemos que las interacciones son con:

• el campo gravitatorio terrestre,

• el tobogán,

• el aire (que despreciamos por ser velocidades pequeñas)

La gravitatoria: El Peso(vertical y hacia abajo)

X

y

P

Podemos determinar su módulo:P = m.g

Para las cifras significativas que utilizamos

habitualmente, va a mantener un valor constante (Para el cálculo de g a nivel del mar – 9,81m/s2, la

distancia al centro de la tierra que se utiliza es el radio terrestre: 6,37x106

m, o sea que variaciones en la altura, menores a 1x104 m no producen cambios en el valor

utilizado).

La que hace el tobogán, que evita

que la niña se “hunda” en el plano: La Normal (perpendicular y hacia fuera)

X

y

P

N

Si el Peso se mantiene constante, no se aplican

nuevas fuerzas que tengan componentes

perpendiculares al plano y no se cambia el ángulo de

inclinación del mismo: ésta, también se

mantiene constante.

La que hace el tobogán, contraria al deslizamiento de la

niña:La fuerza de fricción o

rozamiento

X

y

P

N

froz

Ésta va cambiando con el tiempo, vemos que la niña agarra con sus manos los laterales del tobogán y además,

pudo establecer un contacto variable con la

suela de goma de los zapatos y la superficie o los laterales del tobogán

(se puede observar que es el modo intuitivo que utilizan los

niños para controlar la velocidad).

Esta fuerza es la

resultante de todos los rozamientos

posibles.

Prestando atención a las manos

Vemos que, en general, están en contacto con la

barandilla.

Aquí las manos quedaron atrás, ¿estará frenando o

impulsando?

Vuelven a estar al costado.

están siempre apoyadas.

Ahora frena, la velocidad disminuye, podemos verlo en el gráfico.

Estamos en el tramo con velocidad constante: ¿cómo es la fuerza neta?

Estamos realizando nuestras observaciones desde un sistema solidario a la Tierra (en reposo respecto a la

Tierra).

¿Qué nos dice el Primer Principio de Newton?

Aquí, parte de la niña se encuentra en un plano horizontal

(lo que explica la disminución en el módulo de la velocidad)

Velocidad en función del

tiempo

Este gráfico proviene del análisis cinemático del movimiento, contenido en la presentación “Movimiento en un Plano Inclinado”.

Vamos a considerar intervalos para determinar la aceleración media y trazar un gráfico de aceleración en función del tiempo.

El cuadro muestra las velocidades obtenidas en el gráfico para los

tiempos elegidos.

t(s) V(m/s)0,00 - 0,69

0,17 - 0,68

0,33 - 0,76

0,52 -1,21

0,70 -1,07

0,87 -1,73

0,98 - 1,62

1,08 - 1,55

1,76 - 1,55

1,95 - 1,39El criterio de elección de tiempos fue el de obtener tramos casi rectos.

Nº de I t(s) V(m/s) am (m/s2)

1 0,00 - 0,69 0,060,17 - 0,68

2 0,17 - 0,68 - 0,500,33 - 0,76

3 0,33 - 0,76 - 2,370,52 - 1,21

4 0,52 - 1,21 0,770,70 - 1,07

5 0,70 - 1,07 - 3,880,87 -1,73

6 0,87 - 1,73 1,000,98 - 1,62

7 0,98 - 1,62 0,701,08 -1,55

8 1,08 -1,55 0,001,76 -1,55

9 1,76 -1,55 0,841,95 - 1,39

En este cuadro tenemos:

En la primer columna el Nº que identifica al intervalo.

En la segunda: los tiempos inicial y final de cada intervalo.

En la tercera: las velocidades correspondientes a los tiempos inicial y final anteriormente mencionados.

Finalmente, en la cuarta columna: la aceleración media, que fue determinada a partir de la ecuación:

o sea:

El cálculo de la aceleración media correspondiente

al primer intervalo sería:

En el gráfico:

La aceleración media está representada con los segmentos azules, y la curva roja representa, aproximadamente la aceleración de la niña al bajar por el tobogán.

Para trazar la curva roja se consideró que:

1) La aceleración es una función continua (para cambiar de un valor a otro, necesariamente se pasa por todos los valores intermedios).

2) El área encerrada entre la curva y el eje del tiempo representa la variación de velocidad.

Esta flecha señala el tiempo correspondiente al fotograma en el que la niña tenía los brazos hacia atrás

Esta otra, el tiempo correspondiente fotograma siguiente, cuando los brazos estaban nuevamente al costado.

¿Qué podemos interpretar entonces?

¿Por qué los brazos de la niña estaban hacia atrás?

¿Qué pasó entre un fotograma y otro?

Podemos observar que la aceleración tiene variaciones más bruscas que la velocidad

¿Qué relación se establece, desde la

mecánica de Newton, entre la aceleración y la

Fuerza Neta?

¿Cómo sería el gráfico Fuerza neta

¿Qué forma tendrá un gráfico de Fuerza Neta en función del

tiempo?

¿De qué depende la Fuerza Neta?

X

y

P

N

froz

Primero descomponemos el

peso.

El módulo de las componentes será:

Py = P . cos 30º

Px = P . Sen 30º

La Fuerza Neta se puede

determinar:

FN = Px + froz

Py

Px

30º30º

Nos quedamos con el eje del movimiento.

Al tener una misma

dirección

FN = - Px + froz

XfrozPx

La fuerza neta será negativa, si la componente x del peso es mayor a la fuerza de rozamiento, de lo contrario, será positiva.

La relación que buscábamos es:

FN = m . a

(2º principio de Newton, principio de

masa)

XfrozPx

LaLa Fuerza Neta tiene la misma dirección y sentido que la aceleración, y su módulo, es el módulo de la aceleración multiplicado por la masa. Por lo tanto, la forma del gráfico Fuerza Neta en función del tiempo es la misma que la de la aceleración en función del tiempo, sólo cambia la escala.

XfrozPx

LaSi la componente X del Peso, fuera la única fuerza actuando sobre la niña:

a = - g/2 = - 4,9 m/s2

Vemos en la gráfica que el valor negativo de mayor módulo es aproximadamente - 4,5 m/s2

Por lo tanto, podemos afirmar que la fuerza de rozamiento en ningún momento fue despreciable y que en ese instante: t = 0,80s, toma su valor más pequeño.

Si la fuerza de rozamiento fuera la única fuerza sobre la niña, en ese instante

a = 0,4 m/s2

XfrozPx

LaEl máximo valor de la fuerza de rozamiento se da en el

tiempo: t = 0,95s

Y, de actuar sola, produciría una aceleración a = 6,1 m/s2

Si bien, después del tiempo t=1,80s la aceleración es mucho mayor, ya vimos que es debido al cambio de ángulo en el plano, por lo tanto, allí ya no podemos continuar con nuestro análisis.

Podemos afirmar entonces que la fuerza de rozamiento varía en un rango de: (0,4.m) N hasta (6,1.m) N en donde m es la masa de la niña y N es la unidad de fuerza: Newton.

Si suponemos que la niña tiene una masa de 30Kg el gráfico de la Fuerza Neta sería así.

¿Cuáles son los valores extremos de la Fuerza Neta?

¿y los de la fuerza de rozamiento?

Tenemos un máximo de 40N y un mínimo de -135N

Para calcualr el valor de fuerza de

rozamiento: froz = FNeta + Px

El máximo será en t = 0,95s no podemos elegir el valor de 40N por que allí el plano ya no tiene la misma

inclinación.

35N + 147N = 182N

El mínimo será:

-135N + 147N = 12N

Prueba, estudiar un movimiento rectilíneo

dinámicamente.