movimiento armonico

LABORATORIO DE ONDAS Y CALORNro. PFR

Tema :

Movimiento armónicoCódigo : PG1014Semestre: IGrupo : C

MOVIMIENTO ARMÓNICO.

INTRODUCCIÓN

En el presente informe se dará a conocer el procedimiento para reconocer la fuerza de los resortes utilizando un sensor de fuerza y el programa PASCO CAPSTONE. Se empezará con el armado de los materiales disponibles para determinar u obtener los datos necesarios para realizar los cálculos respectivos y objetivos planteados.Luego se procederá a obtener los gráficos y datos mediante el software PASCO CAPSTONE, hallando la amplitud, periodo, frecuencia, y un aproximado de las constantes de los resortes.

La energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, dando como resultado de la fuerza disipada. Y es posible compensar esta pérdida de energía aplicando una fuerza externa que suministre la energía disipada realizando un trabajo positivo sobre el sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.

1. OBJETIVOS

1) Verificar las ecuaciones correspondientes al movimiento armónico simple.

2) Determinar experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación del sistema.

3) Verificar las ecuaciones dinámicas y cinemáticas que rigen el movimiento armónico para el sistema masa–resorte.

4) Ser capaz de configurar e implementar equipos para toma de datos experimentales y realizar un análisis gráfico utilizando como herramienta el software PASCO CapstoneTM.

5) Utilizar el software PASCO CapstoneTM para verificación de parámetros estadísticos respecto a la información registrada.


Tema :


2. ANALISIS DE TRABAJO SEGURO (ATS)

N° PASOS BÁSICOS DEL TRABAJO

DAÑO(RIESGO)PRESENTE EN CADA PASO

CONTROL DE RIESGO

1Recojo de los materiales.

Caída de los materiales. Trasladar los materiales con mucho cuidado.

2Armado de los soportes de las barras sobre la mesa.

No tenerlos bien sujetos provocaría accidentes con los materiales que se trabajen en este.

Armar estas barras de la manera correcta y verificar si están bien sujetas a la mesa.

3Uso de los sensores para las mediciones.

No tener bien conectados estos sensores y hacer un buen uso provocaría malos datos y un malogramiento de los sensores.

Seguir las indicaciones del profesor para el uso de los sensores y verificar las respectivas conexiones.

4Elongaciones con los resortes.

Si el resorte se estira demasiado ya no permitiría obtener buenos datos.

Al momento de poner peso al resorte tener cuidado de que el resorte se estire demasiado.

5Guardado de los materiales.

Caída de los materiales al momento de dejar en lugar donde corresponde.

Trasladar con sumo cuidado cada uno de los materiales usados en el experimento.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO

Hay muchos casos en los cuales el trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo y cuyo valor cambia durante el desplazamiento; por ejemplo, para estirar un resorte ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre que esta ultima no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el enunciado, publicado por Robert Hooke en 1678, el cual es conocido hoy como “La Ley de Hooke”, que en términos matemáticos predice la relación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida.

F = - k x (1)

Donde k es la constante elástica del resorte y x es la elongación del resorte.


Tema :


El signo negativo en el lado derecho de la ecuación (1) se debe a que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento.

3.1. Sistema masa-resorte.

Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior como se ve en la figura 3.1.1. Si se aplica una fuerza al cuerpo desplazándose una pequeña distancia y luego se le deja en libertad, oscilara ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a la sección de la fuerza elástica.

Figura. 3.1.1. Sistema masa-resorte.

Este movimiento se le puede denominar armónico, pero se realiza en ausencia de fuerzas de rozamiento, entonces se define como “Movimiento Armónico Simple” (MAS).

Si aplicamos la Segunda ley de Newton sobre el lado izquierdo de la ecuación (1), podemos escribir:

-k x = m a (2)

Luego si consideramos que:

(3)Entonces

(4)

En este punto introduciremos la variable, tal que:

ω=√ km (5)


Tema :


Por lo cual la ecuación (4) se modifica, transformándose en la siguiente expresión:

(6) La solución de (5) es una función sinusoidal conocida y se escribe de la

siguiente manera:X = A cos (t +) (7)

Donde A, es la amplitud de oscilación.

La amplitud representa el desplazamiento máximo medido a partir de la posición de equilibrio, siendo las posiciones –A y +A los limites del desplazamiento de la masa. (t+) es el ángulo de fase y representa el argumento de la función armónica. La variable es la frecuencia angular y nos proporciona la rapidez con que el ángulo de fase cambia en la unidad de tiempo. La cantidad se denomina constante de fase o fase inicial del movimiento, este valor se determina usando las condiciones iniciales del movimiento, es decir el desplazamiento y la velocidad inicial, seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta destiempo (t = 0). También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente.

Como el movimiento se repite a intervalos iguales, se llama periódico debido a esto se puede definir algunas cantidades de interés que facilitaran la descripción del fenómeno.

Frecuencia (f), es el número de oscilaciones completas o ciclos de movimiento que se producen en la unidad de tiempo, esta relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación:

= 2 f (8)

Periodo (T), es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación o un ciclo completo, esta relacionado con f y, por medio de la relación:

T=1f=2 π

ω (9)

Las expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple, pueden ser deducidas a partir de la ecuación (6) usando las relaciones cinemáticas de la segunda Ley de Newton.

Velocidad de la partícula (v), como sabemos por definición que: , podemos usar la ecuación (6), para obtener lo siguiente:

V = - A sen ( t +) (10)


Tema :


Aceleración de la partícula (a), como sabemos por definición que: , podemos usar la ecuación (10) para obtener lo siguiente:

A = - 2 A cos (t +) (11)

La ecuación (11) nos indica que en el MÁS, la aceleración es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento.

Respecto al periodo de oscilación, es posible señalar algo adicional; su relación con la masa y la constante elástica del resorte, la cual puede obtenerse usando la ecuación (9) y la definición de, que se empleó para llegar a la ecuación (6).

Dicha relación se escribe de la siguiente forma:

T=2 π √ mk (12)

Transformada de Fourier

Es un tratamiento matemático para determinar las frecuencias presentes en una señal. La computadora puede obtener el espectro de frecuencias, pero no por el uso de filtros, sino por esta técnica. Dada una señal, la transformada de Fourier da el espectro de frecuencias. El algoritmo se llama la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform).

4. MATERIALES

MATERIAL CANTIDAD IMAGEN

Computadora personal con programa PASCO CapstoneTM instalado

01

Interface USB Link 02

Sensor de movimiento 01


Tema :


Sensor de fuerza 01

Resortes 03

Pesas con porta pesas 06

Regla metálica 01

Balanza 01

5. PROCEDIMIENTO

Determinación de la constante de elasticidad.

Ingrese al programa PASCO CapstoneTM, haga clic sobre el icono tabla y gráfica y seguidamente reconocerá el dinamómetro y el sensor de movimiento, previamente insertado a la interface 850 Universal Interface.

Seguidamente arrastre el icono GRÁFICO sobre el sensor de fuerza (Tiro positivo, 2 decimales), elabore una gráfica fuerza vs desplazamiento.

Haga el montaje de la figura 4.1, mantenga siempre sujeto con las manos el montaje de los sensores y ponga el sensor de movimiento perfectamente vertical a fin de que no reporte lecturas erróneas.

Con el montaje de la figura sólo hace falta que ejercer una pequeña fuerza que se irá incrementando gradualmente hacia abajo, mientras se hace esta operación, su compañero grabará dicho proceso.


Tema :


No estire mucho el resorte, pues puede vencerlo y quedar permanentemente estirado, no deje el equipo suspendido del resorte.

Figura. 4.1. Primer montaje.

La relación de la gráfica fuerza vs desplazamiento es obviamente lineal, de la pendiente de esta gráfica obtenga el valor de k.

Repita el proceso para los otros 2 resortes. Anote el valor de la constante k en la tabla 4.1.

TABLA 4.1. Coeficientes de elasticidad k.

Resorte Nº 1 2 3

Constante k teórica (N/m)

5 8 70

Constante k (N/m) 5.52 7.86 76.8

E (%) 10.4 1.75 8.86


Tema :


Primer Resorte

Segundo Resorte


Tema :


Tercer Resorte

Determinación del periodo y la frecuencia de oscilación.

Ingrese al programa PASCO CapstoneTM, haga clic sobre el icono tabla y gráfica y seguidamente reconocerá el sensor de movimiento previamente insertado a la interface 850 Universal Interface.

Seguidamente arrastre el icono GRÁFICO sobre el sensor de movimiento, elabore una gráfica posición, velocidad y aceleración vs tiempo.

Haga el montaje figura 4.2.1, deberá hacer oscilar la masa suspendida del resorte, mientras hace esta operación su compañero grabará los datos resultantes de hacer dicha operación.

Masa adicional para el resorte 1: 0.05 ± 0.00 kgMasa adicional para el resorte 2: 0.05 ± 0.00 kg (Consultar al

docente)Masa adicional para el resorte 3: 0.05 ± 0.200 ± 0.200 kg

Cuide de no estirar mucho el resorte pues con la masa adicional corre el peligro de quedar permanentemente estirado, cuide que la masa suspendida no caiga sobre el sensor de movimiento.


Tema :


Figura. 4.2.1. Segundo montaje.

Detenga la toma de datos después de 10 segundos de iniciada. Es importante que la masa sólo oscile en dirección vertical y no de un lado a otro.

Repita la operación para cada resorte y complete las tablas 4.2.1. Al 4.2.9.

Identifique y halle las variables solicitadas con la ayuda del icono puntos coordenados.

Borre los datos erróneos, no acumule información innecesaria.

RESORTE 1, k= 5.52TABLA 4.2 Grafica posición vs tiempo.

Masa suspendida (kg):

0.05 1 2 3 Promedio total

Amplitud (m)0.016 0.015 0.015 0.0156

Periodo (s)0.6 0.62 0.61 0.61

Periodo teórico (s) T=2 πω

=0.598E% 2%

x(t) X=0.0156cos (10.507 t+δ)


Tema :


TABLA 4.3 Grafica velocidad vs tiempoMasa

suspendida (kg):


Amplitud (m/s)0.15 0.16 0.16 0.156

Periodo (s)0.66 0.64 0.65 0.65

Amplitud teórica (m/s) E%

v(t) V=0.0156Sen (10.507 t+δ)


Tema :


TABLA 4.4 Grafica aceleración vs tiempoMasa

suspendida (kg):


Amplitud (m/s2)1.84 1.62 1.61 1.69

Periodo (s)0.6 0.6 0.58 0.59

Amplitud teórica (m/s2) E%

a(t)A=−110.397 x 0.0156 cos(10.507 t+δ)


Tema :


RESORTE 2, k = 7.86 TABLA 4.5 Grafica posición vs tiempo.

Masa suspendid

a (kg):0.05 1 2 3 Promedio total

Amplitud (m)0.011 0.012 0.015 0.012

Periodo (s)0.500 0.550 0.500 0.516

Periodo teórico (s) T=2 πω

=0.50E% 3.2%

x(t) X=0.012cos(12.537 t+δ )


suspendida (kg):


Amplitud (m/s)0.12 0.13 0.12 0.123

Periodo (s)0.500 0.550 0.500 0.516

Amplitud teórica (m/s) E%

v(t) V=−12.537 x0.123 Sen(12.537+δ)


Tema :



suspendida (kg):


Amplitud (m/s2)1.45 1.52 1.44 1.47

Periodo (s)0.400 0.432 0.412 0.414


a(t)A=−157.176 x1.47 cos (12.537 t+δ)


Tema :


RESORTE 3, k= 76.8 TABLA 4.8 Grafica posición vs tiempo.

Masa suspendid

a (kg):0.450 1 2 3 Promedio total

Amplitud (m)0.009

0.0088 0.0081 0.00863

Periodo (s)0.520

0.498 0.452 0.490

Periodo teórico (s)T=2 π

ω=0.480

E% 2.08%

X(t) X=0.00863 cos (13.063 t+δ )


suspendida (kg):


Amplitud (m/s)0.130

0.134 0.136 0.133

Periodo (s)0.5

0.52 0.59 0.536

Amplitud teórica (m/s)

E%

V(t) V=−13.063 x 0133 Sen (13.063 t+δ)


Tema :



suspendida (kg):

0.450 2 3 Promedio total

Amplitud (m/s2)1.83 1.72 1.62 1.723

Periodo (s)0.84 0.81 0.78 0.81


a(t)A=−170.641 x 1.723 cos(13.063 t +δ)


Tema :


6. CUESTIONARIO

5.1 Halle la frecuencia natural teórica del resorte. Con la ayuda de la Transformada rápida de Fourier halle la frecuencia experimental (realice un grafico para cada resorte). Calcule el error porcentual.

Primer Resorte

Frecuencia

f = ω2 π

=1.6722

Error porcentual

error %=1.672−1.6111.672

X 100

error %=3.64 %

Segundo Resorte

Frecuencia

f = ω2 π

=1.995

Error porcentual


Tema :


error %=1.995−1.9341.995

X 100

error %=3.05 %

Tercer Resorte

Frecuencia

f = ω2 π

=2.079

Error porcentual

error %=2.079−2.0022.079

X 100

error %=3.70 %


Tema :


5.2 Utilizando la calculadora halle la variable elongación desde la posición de equilibrio, Realice un diagrama de fase (grafica velocidad versus elongación) para cada uno de los resortes e interprete cada uno de los gráficos y sus diferencias debido a la constante de los resortes.

Primer Resorte

Segundo Resorte


Tema :


Tercer Resorte

5.3 Realice el ajuste sinusoidal a la posición y velocidad para cada uno de los resorte y escribe sus ecuaciones cinemáticas.

Primer Resorte

Posición


Tema :


Velocidad

Segundo resorte

Posición


Tema :


Velocidad

Tercer Resorte

Posición


Tema :


Velocidad

5.4 ¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador con amplitud A y frecuencia f cuando su velocidad es máxima?


Tema :


5.5 ¿Qué magnitud caracteriza el periodo de un sistema resorte?

Es unidad fundamental denominada como tiempo cuya medida es el segundo

5.6 Compare el sentido de la aceleración con la velocidad y posición para un movimiento armónico simple. ¿Tiene el mismo sentido o sentidos opuestos? Explique.

La posición y la velocidad son directamente proporcionales, es decir, tienen el mismo sentido mientras que la posición y la aceleración son inversamente proporcionales, por lo tanto tienen sentidos opuestos.

5.7 Realice un análisis teórico las condiciones necesarias para que el péndulo sea un péndulo simple y su semejanza con el sistema masa resorte.

Los péndulos al igual que los resortes cuando se le aplica una fuerza, comienza una función periódica, por lo que su amplitud variaría por la fuerza perturbadora

5.8 En la experiencia realizada se consideró un sistema masa resorte en la dirección vertical, se obvio la fuerza gravitacional (peso del objeto suspendido) ¿Por qué no se consideró? Explique.

Cuando la masa está por debajo de esta zona, el resorte atrae al cuerpo de regreso hacia arriba pero cuando la masa está arriba de esta zona, la gravedad atrae al cuerpo de regreso hacia abajo

5.9 ¿Cuál es la importancia de estudio de movimiento armónico simple? Explique con ejemplos de aplicados en el ejercicio de su profesión.

El movimiento armónico en la naturaleza no se da de una manera exacta pero sin embargo sirve como un aproximado para diferentes movimientos

Ejemplo:

a=dV dt


Tema :


Sistema de suspensión de los neumáticos, sistemas de amortiguado forzado, etc.

6 PROBLEMAS6.1 A mass m = 2.4 kg is attached to two springs, and the springs are

fastened to two walls as shown in Figure. The springs both have k = 400 N/m and are both in their relaxed states (upstretched and uncompressed) when the mass is centered between the two walls. What is the frequency of this simple harmonic oscillator? (Consider only the horizontal motion and ignore the effect of gravity.)

6.2 Un tubo de vidrio en forma de U con un área de sección transversal, Ha, está parcialmente lleno con un líquido de densidad. Una presión incrementada se aplica a uno de los brazos, lo cual resulta en una diferencia en la elevación de L entre los dos brazos del tubo, como se muestra en la figura. Entonces, se retira el incremento de presión y el fluido oscila en el tubo. Determine el periodo de la oscilación de la columna de fluido. (Usted tiene que determinar cuáles son las cantidades desconocidas.)

ρ=mv

----> m =ρ V=ρ (A.L)

P= FA

F=()

F=p.g.L.A

m= ρ.v= ρAL


Tema :


7 OBSERVACIONES

7.1 Tuvimos problemas por la falta de tiempo para tomar datos con mayor seguridad y precisión.

7.2 Tuvimos que juntar pesas para poder llegar al peso requerido para proceder a la toma de datos necesarios para el laboratorio

8 CONCLUSIONES

8.1 Se verifico las ecuaciones sobre el movimiento armónico simple.

8.2 Se logró conseguir experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación.

8.3 En el movimiento armónico se verifico la dinámica y la cinemática.

8.4 Se experimentó a mayor profundidad el Software PASCO Capstonetm.

9 BIBLIOGRAFIA (según formato de la APA)

Serway, R., & Jewett, J. (2009). Física para ciencias e ingeniería. Editorial Cengage

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