mm guiones

TEMA 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES: INTRODUCCIN.

- Introduccin. Interpretacin geomtrica. Nomenclatura. (Captulo 1 de

las referencias [1] y [2])

- Principales mtodos de resolucin directa de ecuaciones: Variables separadas,

Diferenciales exactas, Ecuacin lineal de primer orden. (Captulo 2 de las

referencias [1] y [2])

- Ecuaciones lineales de coeficientes constantes y de Euler. (Captulo 2 de

las referencias [1] y [2])

Problemas 1.1.- Hallar y dibujar las soluciones de

a) y =2t yt y

b) y = t 2y

1.2.- Hallar la solucin general de las ecuaciones:

a) sin(t)dx

dt cos(t)x = sin2(t).

b) (y + t)y + y + bt = 0 con b IR.

1.3.- Probar que la ecuacin lineal admite un factor integrante que slo depende

de t y utilizarlo para deducir la expresin de la solucin general de dicha

ecuacin.

1.4.- Resolverdy

dx=x+ 2y + 2

y 2x+ 6 ,

convirtindola en homognea mediante un adecuado cambio de variables.

1.5.- Sea ty = tey/t+y. Resolverla. Cuntas soluciones satisfacen y(1) = 0?Probar que todas las soluciones de la ecuacin son crecientes. Dibujar la isoclina

1

asociada a la pendiente 1 de las soluciones de la ecuacin y la curva de puntos

de inflexin.

1.6.- Comprobar que y = tn1f(y + atn) se convierte en una ecuacin de

variables separadas haciendo z = y + atn y utilizarlo para resolver y = 2t(y +

t2)2. Est definida hasta la solucin que satisface y(1) = 2?

1.7.- Hallar las soluciones particulares que satisfacen los siguientes problemas

de valores iniciales:

2tyy 3y2 + 3t2 = 0y(1) = 0

ey 2t+ teyy = 0y(1) = 0 y = 1 cos2(y t)y(0) = 0

ysent+ ylny = 0

y(0) = 2

t2y = 2ty y2y(1) = 1 ty = 2y + ty(1) = 2

2

TEMA 2.- PROBLEMADE CAUCHY. EXISTENCIA Y UNICIDAD..

- Problema de condiciones iniciales. Introduccin. (Pginas 63 a 65 de la

referencia [2]. Punto 1.3 de la referencia [3].)

- Teorema de existencia y unicidad (Pginas 66 a 74 de la referencia [2].

Punto 1.3 de la referencia [3].)

- Prolongabilidad y regularidad de soluciones. (Pginas 75 a 78 y 80 a 81

de la referencia [2].)

Problemas

2.1.- Estudiar existencia, unicidad y prolongabilidad, segn los valores iniciales,

de las soluciones de

y = y4 + y, y = 4y + cos y, y = 1 y2, y = y2 + t2, y = y cos2y + t2,

y = yey2 , y = 1t2 + y2

, y =y

y t , y =

y3

1 + y2, y =

y

t+ sin t.

2.2.- Sea la ecuacin y = y2 ay3, a 0. Dibujar aproximadamente sussoluciones. Estudiar su existencia, unicidad y prolongabilidad. Resolverla.

Comprobar la dependencia continua del parmetro a cuando ste tiende a 0.

2.3.- Sea la ecuacin

[Ea] y = ay

t+y3

t3.

a) Estudiar existencia y unicidad.

b) Resolverla para todos los posibles valores de a.

c) Dibujar el campo de direcciones y las soluciones para a = 1, a =0, a = 1/2 y a = 1.

d) Discutir la prolongabilidad de las soluciones verificando y(1) = b para

el caso a = 0.

3

e) Comprobar que hay dependencia continua del parmetro a de la solucin

con y(1) = 1.

2.4.- Estudiar la existencia y unicidad de las soluciones de

a) xx xx 2x2 = tgt

b) (1 t2)x 2tx + x = 0

c)x = tx + lnt

y = xt y

d)x = x+ sent

y = tx2/3 y

2.5.- Estudiar la existencia y unicidad de las soluciones de

dy

dt=y

t

(3 + ln

(yt

)2), y(t0) = y0.

para t0 > 0 e y0 0.

4

TEMA 3.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (TEORA

GENERAL).

- Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Forma matricial. Sistema

homogneo y sistema completo. (Pginas 109 a 110 en el captulo 4 de la

referencia [2] y punto 7.1 de la referencia [3])

- Estructura vectorial del conjunto de soluciones de los sistemas homogneos.

Sistemas fundamentales de soluciones. Matrices fundamentales y propiedades.

(Pginas 111 a 116 en el captulo 4 de la referencia [2] y punto 7.2 de la

referencia [3])

- Estructura lineal (afn) del conjunto de soluciones de los sistemas completos.

Mtodo de variacin de las constantes. (Pginas 116 a 121 en el captulo

4 de la referencia [2] y punto 7.3 de la referencia [3])

- Ecuacin lineal de orden n. Sistema equivalente. (Pginas 122 a 124 en el

captulo 4 de la referencia [2] y punto 7.4 de la referencia [3])

Problemas

3.1.- (a) Compruebe que y1(t) =t e y2(t) = 1/t son soluciones de la ecuacin

2t2y + 3ty y = 0,

en el intervalo 0 < t 0.

(c) Compruebe que y1(t) e y2(t) forman un conjunto fundamental de

soluciones de dicha ecuacin.

(d) Resolver el problema de Cauchy definido por la ecuacin anterior y

las condiciones iniciales y(1) = 2, y(1) = 1.

3.2.- (a) Compruebe que y1(t) = et2/2 e y2(t) = et

2/2

t0

es2/2ds son soluciones

5

de la ecuacin

y + ty + y = 0,

en el intervalo < t 0.

(c) Compruebe que y1(t) e y2(t) forman un conjunto fundamental de

soluciones de dicha ecuacin.

(d) Resolver el problema de Cauchy definido por la ecuacin anterior y

las condiciones iniciales y(0) = 0, y(0) = 1.

3.3.- Hallar una matriz fundamental, y el Wronskiano correspondiente, del

sistema lineald

dt

xy

= 3 0t 1

xy

.3.4.- Encontrar la solucin general de las siguientes ecuaciones

(a)d2y

dt2 y = 0 (b)6d

2y

dt2 7dy

dt+ y = 0

(c)d2y

dt2 3dy

dt+ y = 0 (d)3

d2y

dt2+ 6

dy

dt+ 2y = 0

3.5.- Resolver los siguientes problemas de condiciones iniciales

a)d2y

dt2 3dy

dt 4y = 0; y(0) = 1, y(0) = 0.

b) 2d2y

dt2+dy

dt 10y = 0; y(1) = 5, y(1) = 2.

c) 5d2y

dt2+ 5

dy

dt y = 0; y(0) = 0, y(0) = 1.

d)d2y

dt2 6dy

dt+ y = 0; y(2) = 1, y(2) = 1.

6

3.6.- Encontrar la solucin general de:

(a)d2y

dt2+dy

dt+ y = 0 (b)2

d2y

dt2+ 3

dy

dt+ 4y = 0;

(c)d2y

dt2+ 2

dy

dt+ 3y = 0 (d)4

d2y

dt2 dydt

+ y = 0.

3.7.- Resolver los siguientes problemas de condiciones iniciales

a)d2y

dt2+dy

dt+ 2y = 0; y(0) = 1, y(0) = 2.

b)d2y

dt2+ 2

dy

dt+ 5y = 0; y(0) = 0, y(0) = 2.

c) 2d2y

dt2 dydt

+ 3y = 0; y(1) = 1, y(1) = 1.

d) 3d2y

dt2 2dy

dt+ 4y = 0; y(2) = 1, y(2) = 1.

3.8.- Encontrar la solucin general de:

t2y + 5ty 5y = 0, t > 0

3.9.- Resolver el problema de Cauchy

t2y ty 2y = 0; y(1) = 0, y(1) = 1.

3.10.- Encontrar la solucin general de

a) t2d2y

dt2+ t

dy

dt+ y = 0, t > 0.

b) t2d2y

dt2+ 2t

dy

dt+ 2y = 0, t > 0.

7

TEMA 4.- SISTEMAS LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES.

- Exponencial de una matriz. Propiedades. (Punto 3.5 del captuolo 3 de

la referencia [3])

- Sistemas de ecuaciones linales de coeficientes constantes. Ecuacin de

orden n. (Pginas de 139 a 155 de la referencia [2])

Problemas

4.1.- Encontrar una solucin particular de las siguientes ecuaciones

(a)y + 3y = t3 1, (b)y + 4y + 4y = tet,

(c)y y = t2et, (d)y + y + y = 1 + t+ t2,

(e)y + 2y + y = et, (f)y + 5y + 4y = t2e7t,

(g)y + 4y = tsen2t, (h)y 6y + 9y = (3t7 5t4)e3t,

(i)y 2y + 5y = 2 cos2 t, (j)y 2y + 5y = 2(cos2 t)et,

(k)y + y 6y = sent+ te2t, (l)y + y + 4y = t2 + (2t+ 3)(1 + cos t),

(m)y 3y + 2y = et + e2t, (n)y + y = cos t cos 2t.

8

4.2.- Resolver x = Ax para las siguientes matrices:

1 0 0

0 1 0

1 1 1

1 0 10 3 00 0 1

1 0 0

2 2 32 3 4

2 1 0 1

0 2 1 0

0 0 2 1

0 0 0 2

39 8 1636 5 16

72 16 29

15 7 4

34 16 1117 7 5

2 17 41 6 1

0 1 2

5 1 11 3 0

3 2 1

3 5 5

3 1 38 8 10

1 4 0 2

0 1 0 0

6 12 1 60 4 0 1

1 1 1 2

7 4 6 115 1 1 36 2 2 6

3 4 1 04 3 0 1

0 0 3 40 0 4 3

9

TEMA 5.- PROBLEMADE CAUCHY EN ECUACIONES EN DERIVADAS

PARCIALES. CARACTERSTICAS.

- Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Curvas

caractersticas. (La materia anterior se puede seguir en el captulos 1

(secciones 1.1 a 1.3) de la referencia [4]; tambin se puede seguir en el

captulo 1, puntos 1 a 5, pags. 1-14, de la referencia [5] y en las secciones

2.1 a 2.4 de la referencia [6])

- Problema de Cauchy para ecuaciones de segundo orden en dos variables.

Compatibilidad entre las condiciones iniciales. Caractersticas, clasificacin

y formas cannicas. (Ver este tema en la seccin 1.4 de la referencia [4],

en las pginas 33-35 y 37-38 de la ref. [5], en las pags. 52-74 de la ref. [7]

o en las pags. 90-109 de la ref. [8].)

- Problema general de Cauchy para sistemas de primer orden en dos y

en varias variables. (Seccin 1.5 de la referencia [4], pags. 46-52 de la

referencia [5] y pags. 292-302 de la ref. [6])

Problemas

5.1.- Hallar las curvas caractersticas de las ecuaciones:

a) ux + cuy = x+ u.

b) uxx + c2uyy = ux + u.

c) uxx c2uyy = 0.

d) ut uxx = 0.

5.2.-Hallar las curvas caractersticas de los sistemas:

10

a)

t+(v)

x= 0

(v)

t+(v2)

x+P

x= 0

Donde la variable P es una funcin conocida de , P = f().

b) Un sistema de primer orden equivalente a la ecuacin uxx c2uyy = 0.

5.3.- Encontrar, desarrollando en serie, la solucin de los siguientes problemas

de Cauchy:

a)

utt uxx = 0, (t, x) [0,[IRu(0, x) = 0, ut(0, x) = sinx, x IR

b)

utt + uxx = 0, (t, x) [0,[IRu(0, x) = 0, ut(0, x) = sinx, x IR

5.4.- Est bien planteado el problema de coeficientes analticos

ut = uxx, (t, x) [0,[IRu(0, x) = sinx, x IR

en el conjunto de las funciones analticas?

5.5.- Hallar la ecuacin que cumplen las superficies caractersticas de la ecuacin

diferencial utt uxx uyy = 0, hallando algunas de dichas superficies.

5.6.- Dado el problema de primer orden

ux + y uy = u, (x, y) [0,[IRu(0, y) = y3, y IR

.Se pide:

11

a) Hallar las lneas caractersticas del sistema.

b) Transformar la ecuacin con un cambio de variable en el que las lineas

caractersticas sean de la forma = Cte..

c) Resolver la ecuacin, estudiando el comportamiento de la misma a lo largo

de las lneas caractersticas.

5.7.- Obtener las curvas caractersticas de las siguientes ecuaciones, reduciendolas

a su forma cannica:

a) uxx + 2uxy + 3uyy + 4ux + 5uy + u = ex.

b) 6uxx uxy + u = y2.

c) uxx + 5uxy + 4uyy + 7uy = sinx.

d) uyy 9ux + 7uy = cos y.

5.8.- Dado el problema de segundo orden

utt + u = c2uxx, (x, t) [0,[[0,[

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1, x [0,[u(0, t) = ect, t [0,[,u(x, t)

TEMA 6.- ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER

ORDEN. ECUACIN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL.

- Resolucin de ecuaciones de primer orden. Mtodo de las caractersticas

y mtodo de Lagrange. (Captulo 2 de la referencia [4] y secciones 2.1 a

2.4 de [6]).

- Ecuacin de ondas unidimensional. Problema de Cauchy. Frmula de

DAlembert. Problemas con condiciones mixtas. (Ver secciones 3.1 a 3.3

de [4], pags. 40-45 de [5] y el libro de problemas [9] (pags. 18-24) soluciones

en pag. 148)

- Problemas no homogneos. Principio de Duhamel. (Secciones 3.4 y 3.5

de [4], punto 16.2.2 de la referencia [3], pags. 427-428. En general est

descrito en las pags. 135-138 de la ref. [5])

Problemas


ux + uy = u, IR.

Se pide:

a) Hallar su solucin general.

b) Encontrar la solucin que cumple la condicin u(0, t) = sin t, t IR.

c) Idem para u(t, t) = et, t IR.

d) Estn bien planteados los problemas b) y c)?.

6.2.- Buscar todas las soluciones de (ux)2 + (uy)2 = 1 que cumplan u(x, y) =

(x) + (y).

6.3.- Dado el problema de segundo orden

13

uxy + uy = 0.

Se pide:

a) Hallar su solucin general.

b) Encontrar las soluciones que cumplen la condicin u(t, t) = 1, t IR.

c) Idem para u(t, t) = 1, ux(t, t) uy(t, t) = 2 e2t, t IR.

d) Idem para u(t, t) = 1, ux(t, t) + uy(t, t) = 0, t IR.

e) Estn bien planteados los problemas b), c) y d)?.


ux + uy + u = 1.

Se pide:

a) Encontrar la solucin que cumple la condicin u(t, t+ t2) = 2, t IR.

b) Idem para u(t, t+ t2) = 1, t IR.

6.5.- Encontrar la solucin del problema de primer orden

xux + (x2 + y)uy +

(yx x

)u = 1, (x, y) IR2

u(1, t) = 1, t IR.


ux + 3 y23uy = 2, (x, y) IR2

u(t, 1) = 1 + t, t IR.


14

y ux xuy = 2x y u, (x, y) IR2

u(s, s) = s2, s [0,[.

6.8.- Encontrar la solucin general de los problemas de primer orden

a) (x+ y)(ux uy) = u.

b) y ux + xuy = 1.

c) x(x+ y)ux + y(x+ y)uy = (x y)(2x+ 2 y + u).

6.9.- Encontrar la solucin general de la ecuacin de primer orden

(y + u)ux y uy = x y, (x, y) IR2,

y la solucin particular que cumple u(s, 1) = 1 + s, s IR.

6.10.- Resolver el siguiente problema de ondas:

utt = uxx, (x, t) IR [0,[u(x, 0) = ex, ut(x, 0) = 1, x IR.

6.11.- Dados los siguientes problemas de ondas:

utt uxx = 0, (x, t) [0, 1[[0,[u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 0, x [0, 1[,u(0, t) = 1, u(1, t) ux(1, t) = 1 t [0,[.

utt uxx = 0, (x, t) [0, 1[[0,[u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 2, x [0, 1[,u(0, t) ux(0, t) = t, u(1, t) = 1 t [0,[.

Se pide en ambos casos la solucin analtica u = u(x, t) en t = 1 para todo

x [0, 1[.

15

6.12.- Hallar la solucin del problema de ondas definido por

2u

t2

2u

x2= 0 en ]0,+[]0,+[.

u(x, 0) = sin(x),u

t(x, 0) =

1

x2 + 1en [0,+[.

u(0, t) = 0 en ]0,+[.

6.13.- Hallar la solucin del problema de ondas definido porutt uxx = f(x), (x, t) [0,[[0,[u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x [0,[ux(0, t) = 0, t [0,[

en los siguientes casos:

a) f(x) = cos(x).

b) f(x) = 1 x.

16

TEMA 7.- ECUACIONES DE LAPLACE Y DEL CALOR.

- Teorema de la Divergencia. Frmulas de Green. Problemas de contorno

para las ecuaciones de Laplace y Poisson. Problemas de contorno en

dominios no acotados. (Se pueden seguir estos temas en las secciones

4.1 a 4.5 del captulo 4 de [4], en las pags. 94-98 de [5] y en las secciones

69, 70, 71, 72, 75 y 76 de [11])

- Ecuacin del Calor. Principio de Duhamel. (Seccin 4.6 de [4])

Problemas

7.1.- Encontrar la funcin de Green de los siguientes problemas:

a)

u(x, y) = F (x, y), (x, y) IR [0,[,u(x, 0) = f(x), x IR,u(x, y)

7.3.- Encontrar la funcin de Green del siguiente problema:

u(x, y) = 0, en {(x, y) IR2 : (x2 + y2) < a2, y > 0},u(x, y) = y, en {(x, y) IR2 : (x2 + y2) = a2, y > 0},uy(x, 0) = f(x), x ] a, a[.

7.4.- Hallar la funcin de Green del problema:

u(x, y, z) = F (x, y, z), (x, y, z) IR [0,[[0,[,

u(x, y, 0) = f(x, y), (x, y) IR [0,[,u

y(x, 0, z) = g(x, z), (x, z) IR [0,[,

obteniendo una expresin de la solucin para el caso especfico:

F (x, y, z) 0, f(x, y) 0 y g(x, z) = ex2z.

7.5.- Resolver, desarrollando en serie la solucin en serie de potencias,

ut = uxx, (t, x) [0,[IRu(0, x) = sinx, x IR

.

18

TEMA 8.- SERIES DE FOURIER. SERIES DE FOURIER

TRIGONOMTRICAS.

- Repaso sobre espacios vectoriales, normados y eucldeos.

- Ortogonalidad y series de Fourier. (Secciones 3.1 a 3.2 de [10])

- Series trigonomtricas de Fourier. Desarrollos en senos y cosenos. (Seccin

2.1 de [10])

Problemas

8.1.- Desarrollar en serie de Fourier en el intervalo ]pi, pi[ las funciones definidasen los siguientes apartados:

a) f(x) = x, x ] pi, pi[.Cunto vale la suma de la serie en x = pi?

b) f(x) =

0, x ] pi, 0[,sinx, x ]0, pi[.c) f(x) = ex, x ] pi, pi[.

d) f(x) = sin2 x, x ] pi, pi[.

e) f(x) = | sinx|, x ] pi, pi[.

f) f(x) =

1, x ] pi, 0[,1, x ]0, pi[.8.2.- Desarrollar en serie de cosenos la funcin f(x) = x, x ]0, pi[. Demostrarque la serie obtenida converge uniformemente en x IR y que por tanto lafuncin que representa es continua, peridica y par en la recta real.

8.3.- Desarrollar en serie de cosenos y en serie de senos las siguientes funciones

definidas en el intervalo ]0, pi[:

a) f(x) = 1, x ]0, pi[.

19

b) f(x) = pi x, x ]0, pi[.

c) f(x) = 1. x ]0, pi/2[, y , f(x) = 0x ]pi/2, pi[.

8.4.- Hallar el desarrollo en serie en senos y cosenos de la onda trapezoidal:

f(x) =

x, x ]0, a[,a, x ]a, pi a[,

pi x, x ]pi a, pi[,

donde 0 < a < pi/2. Para ello, hallar previamente el desarrollo en senos y

cosenos de

f(x) =

1, x ]0, a[,0, x ]a, pi a[,1, x ]pi a, pi[.

8.5.- Demostrar las siguientes identidades:

a) x2 =c2

3+

4c2

pi2

n=1

(1)nn2

cos(npix

c

), en x [0, c].

b)pi2

12=

n=1

(1)n+1n2

;pi2

6=

n=1

1

n2.

c) x+ x2 =1

3+

2

pi

n=1

(1)n[

2 cos(npix)

pin2 sin(npix)

n

].

8.6.- Hallar el desarrollo en serie de Fourier en ] pi, pi[ de la funcin f(x) =x(pi |x|). Basndose en el resultado obtenido, encontrar la suma de la seriefuncional:

f(x) =

n=1

cos(2n 1)x(2n 1)4 .

8.7.- Basndose en el resultado del ejercicio 8.1(e) y en las igualdades:

cosx =d

dx(sinx) =

xpi/2

sin y dy,

encontrar dos desarrollos diferentes de cosx en ]0, pi[. Existe alguna contradiccin

con lo estudiado en teora? Por qu?.

8.8.- Hallar el desarrollo en serie de senos en el intervalo ]0, 1[ de las funciones:

20

a) f(x) = 1, x ]0, 1[.

b) f(x) = x x2, x ]0, 1[.

8.9.- Hallar el desarrollo en serie de cosenos en el intervalo ]0, 2[ de las funciones:

a) f(x) = 2 x, x ]0, 2[.

b) f(x) =

1, x ]0, 1[,1, x ]1, 2[.8.10.- Dada la funcin de periodo 2pi, definida como f(x) = (1 x2), en elintervalo [pi, pi], se pide:

a) Encontrar la serie de Fourier de f(x) y dibujarla.

b) A partir de la serie anterior, encontrar la serie de Fourier de la funcin

2pi-peridica definida como g(x) = 2x en el intervalo [pi, pi]. Dibujarg(x).

c) A partir de la serie de Fourier de f(x), encontrar la suma de la serie

n=1

1

n2.

8.11.- 1) Encontrar la serie de Fourier de la funcin de perido 2L definida como

f(x) =

A, L < x 0,A, 0 < x < L.Dibujar f(x). Coincide el valor de f(x) con el valor de la serie de Fourier

x ] L,L[?. Justificar la respuesta.

2) A partir del desarrollo en serie anterior, encontrar el valor de la serie

n=1

1

(2n 1)2 .

21

TEMA 9.- SEPARACIN DE VARIABLES. INTRODUCCIN.

- Metodo general de separacin de variables. Problema de autovalores

asociado. Sistemas de autofunciones (Secciones 5.1 y 5.2 de [4]. En [3],

hay una introduccin general en el captulo 15, pags. 399 a 404).

- Ejemplos elementales de separacin de variables. Aplicacin a la resolucin

de ecuaciones diferenciales. (Secciones 5.3 a 5.5 de [4]. En [3], se ven

diversos casos para las ecuaciones de ondas, del calor y de Laplace en

los captulos 16, 17 y 18. Hay ejemplos resueltos sobre este tema en el

Captulo 2 (Sec. 3), el Captulo 3 (Sec. 2) y Captulo 4 (Sec. 4) de la

referencia [9]).

Problemas

9.1.- Resolver el siguiente problema del calor, haciendo uso del mtodo de

separacin de variables:

ut = uxx, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, x [0, pi],ux(0, t) = 1, ux(pi, t) = 0, t [0,[.

9.2.- Resolver el siguiente problema parablico, haciendo uso del mtodo de


ut + u = uxx, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, x [0, pi],ux(0, t) = 0, ux(pi, t) = 0, t [0,[.



ut + cosx = uxx + u, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, x [0, pi],ux(0, t) = 1, u(pi, t) = 0, t [0,[.

22



ut + sinx = uxx + u, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, x [0, pi],u(0, t) = 0, u(pi, t) = 1, t [0,[.

9.5.- Resolver el siguiente problema parablico, haciendo uso del mtodo de


ut + x = uxx, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, x [0, pi],ux(0, t) = 0, ux(pi, t) = 0, t [0,[.

9.6.- Resolver el siguiente problema de ondas, haciendo uso del mtodo de


utt + sin t = uxx, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 1, x [0, pi],u(0, t) = 0, ux(pi, t) = 0, t [0,[.



utt + u = uxx, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 1, x [0, pi],u(0, t)x = 0, u(pi, t) = 0, t [0,[.



utt u = uxx, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 0, x [0, pi],ux(0, t) = 1, ux(pi, t) = 0, t [0,[.



utt + u+ sinx = uxx, (x, t) ]0, pi[[0,[u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 1, x [0, pi],u(0, t) = 0, u(pi, t) = 0, t [0,[.

23

9.10.- Resolver el siguiente problema de Poisson, haciendo uso del mtodo de

separacin de variables:uxx + uyy = sin(2y), (x, y) [0, 2pi] [0, pi/2]u(x, 0) = 0, u(x, pi/2) = 0, x [0, 2pi]u(0, y) = 0, ux(2pi, y) = 0, y [0, pi/2]

9.11.- Resolver el siguiente problema de Poisson en el crculo, haciendo uso del

mtodo de separacin de variables:

2u

r2+

1

r

u

r+

1

r22u

2= 8 r sin(), (r, ) [0, 1[[0, 2pi[

u(1, ) = 1 [0, 2pi[.

9.12.- Resolver el siguiente problema de Poisson en el crculo, haciendo uso del

mtodo de separacin de variables:

2u

r2+

1

r

u

r+

1

r22u

2= 8 r cos(), (r, ) [0, 1) [0, 2pi)

u(1, ) = cos() [0, 2pi)

24

TEMA 10.- FUNCIONES COMPLEJAS. FUNCIONES ANALTICAS

Y ARMNICAS.

- Repaso de la teora de nmeros complejos. Definicin y propiedades ms

importantes. (Captulo 1 de la referencia [12], pp. 1 a 29).

- Funciones complejas. Lmites y continuidad. (Secciones 9 a 14 del captulo

2 de [12])

- Derivada de una funcin compleja. Condiciones de Cauchy-Riemann.

(Secciones 15 a 18 del captulo 2 de [12])

- Funciones analticas. Definicin. Funciones armnicas. Aplicacin a la

resolucin del problema de Laplace en el plano. (Secciones 20 y 21 del

captulo 2 de [12])

- Funciones complejas elementales. Funcin logaritmo, puntos de ramificacin.

(Captulo 3 de [12])

Problemas

10.1.- Calcular los siguientes lmites

(a) limz

4z2

(z 1)2 (b) limz11

(z 1)3 (c) limzz2 + 1

z 1

(d) limz0

x2 + x

x+ y+ i

y2 + y

x+ y(e) lim

z11 z1 z (f) limz3i

z2 + 9

z 3i

10.2.- Calcular el lmite de

(a) limz0

z2

z(b) lim

z0z

z

10.3.- Probar, a partir de la definicin de derivada, que las siguientes funciones

no son derivables en ningn punto del plano complejo

(a) f(z) = Re(z) (b) f(z) = Im(z) (c) f(z) = z (c) f(z) = |z|

25

10.4.- En qu puntos son derivables cada una de las siguientes funciones

(a) f(z) = x2 y2 + i2xy (b) f(z) = x2 3y + i(y2 + 2xy)

10.5.- Demuestre que en el punto z = 0 la funcin f(z) =|xy| verifica las

condiciones de Cauchy-Riemann pero no tiene derivada. 10.6.- Calcular los

valores que deben tomar las constantes a, b y c para que la funcin f(z) sea

analtica en alguna regin de IC:

a) f(z) = x+ ay + i(bx+ cy)

a) f(z) = cosx(chy + a shy) + i senx(chy + b shy)

10.7.- Determinar en qu conjuntos son analticas las siguientes funciones:

a) 8z + i b)z

z + 2c)

iz3 + 2z

z2 + 1

d) x2 y2 + i2xy e) x2 + y2 + y 2 + ix f) |z2|+ 2z

g)(x+

x

x2 + y2

)+ i

(y y

x2 + y2

)

10.8.- Expresar la forma ms general de una funcin analtica f(z) = f(x+iy) =

u(x, y) + iv(x, y) que cumple u(x, y) = x2 y2 x

10.9.- Compruebe que las condiciones de Cauchy-Riemann se verifican para las

funciones zn, ez, cos z y logz y demuestre que

(zn) = nzn1, (ez) = ez, (cosz) = sen z, (logz) = 1z.

10.10.- Calcule para n = 1, 2, 3, 4 los polinomios armnicos pn(x, y) y qn(x, y)

definidos por la igualdad zn = pn + iqn.

10.11.- a) Encontrar las soluciones lineales del problema de Laplace con condiciones

de Neumann: = 0, (x, y) R]0,[,

n(x, 0), x R.

b) Basndose en el resultado anterior y sabiendo que la transformacin compleja

w = z +1

z

26

transforma el exterior del crculo de radio unidad en todo el plano salvo un

segmento del eje real, encontrar soluciones del problema exterior:

= 0, (x, y) R2 con (x2 + y2) > 1,

n(x, y), (x2 + y2) = 1.

10.12.- a) Encontrar la solucin del problema de Dirichlet:

= 0, (x, y) R] pi, pi[,(x, pi) = 1, (x,pi) = 1, x R.

b) La transformacin compleja w = z + ez transforma la banda R [pi, pi]en todo el plano complejo. Hallar en forma implcita la solucin del problema

(condensador semi-infinito):

V = 0, (x, y) R2 {(x, pi), (x,pi) | x ],1]} ,V (x, pi) = 1, V (x,pi) = 1, x ],1].

10.13.- Resolver el problema de Dirichlet:

V = 0, (x, y) ,V (x, 0) = ex

2

, x 0,V (0, y) = ey

2

, y 0,

con ={

(x, y)) R2 | x > 0, y > 0}.(NOTA.- La transformacin compleja w = zpi/ transforma el sector de ngulo

interior , con 0 2pi, en el semiplano Im(w) > 0)

27

BIBLIOGRAFA

1.- Boyce, W.E. y DiPrima, R.C., "Ecuaciones Diferenciales y Problemas con

valores en la frontera". Limusa, 2002 (4a Ed.).

2.- Gmez-Lpez, M. y Cordero-Gracia, M., Ecuaciones Diferenciales (Sistemas

linales y teora cualitativa). Garca-Maroto Editores.

3.- Marcellan, F., Casass, L., Zarzo, A., Ecuaciones Diferenciales. Problemas

lineales y aplicaciones. McGraw-Hill.

4.- Parra, I. E., Zameknic, M. A., Olarrea, J., Ecuaciones en derivadas parciales.

Garca-Maroto Editores.

5.- John, F., Partial Differential Equations. Springer.

6.- Williams, W. E., Partial Differential Equations. Oxford University Press.

7.- Vladimirov, V. S., Equations of Mathematical Physics. Mir.

8.- Godunov, S. K., Ecuaciones de la Fsica Matemtica. Mir.

9.- Budak, B. M., Samarski, A. D., Tijonov A. N., Problemas de la Fsica

Matemtica. Mir, McGraw-Hill.

10.- Folland, G. B., Fourier analysis and its applications. Brooks/Cole. 1992.

11.- Weinberger, H. F., Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, con

mtodos de variable compleja y transformaciones integrales. Editorial

Reverte.

12.- Churchill, R.V. y Brown, J.W., Variable compleja y aplicaciones. Quinta

Edicin. Mc Graw Hill.

28

Tabla de series de Fourier

Funcin f(t) Serie

f(t) = t pi < t < pi 2n=1

(1)n+1n

sinnt

f(t) = |t| pi < t < pi pi2 4pi

n=1

cos (2n 1)t(2n 1)2

f(t) = pi t 0 < t < 2pi 2n=1

sinnt

n

f(t) =

0 pi < t < 0t 0 < t < pi pi4 2pin=1

cos (2n 1)t(2n 1)2 +

+

n=1

(1)n+1n

sinnt

f(t) =

1 pi < t < 01 0 < t < pi 4pin=1

sin (2n 1)t2n 1

f(t) =

0 pi < t < 01 0 < t < pi 12 + 2pin=1

sin (2n 1)t2n 1

f(t) = | sin t| pi < t < pi 2pi 4pi

n=1

cos 2nt

4n2 1

f(t) = | cos t| pi < t < pi 2pi 4pi

n=1

(1)n cos 2nt4n2 1

f(t) =

0 pi < t < 0sin t 0 < t < pi 1pi 2pin=1

cos 2nt

4n2 1 1

2sin t

29

mm guiones

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